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INTRODUZIONE ALL’ANALISI DI MISSIONI SPAZIALI PROBLEMA FONDAMENTALE DELLA MECCANICA CELESTE

Problema N Corpi

Prob. N Corpi 2

Intr. Analisi di Missioni Spaziali

Prob. N Corpi Intr. Analisi di Missioni Spaziali 3

Obiettivo: Identificare la traiettoria Z e la legge oraria s di ciascun corpo celeste mi, sotto l’influenza delle forze gravitazionali F

Z=z(x,y) S=s(t)

Legge di Gravitazione Universale di Newton (1687)

Problema N Corpi

z

x

y

m1 mi

m2 mn

r1

ri

r2 rn

F1i

F2i Fni

Fi

Tin= [x y z]inertial

⋅=

−=

−=

⋅−

2

3

skgm11

jiji

ji3ji

ijjig,

106.67259G

rrr

r|r|mGm

F


Equazioni Cardinali per un sistema di N Corpi

Modello matematico del problema della meccanica celeste

z

x

y

m1 mi

m2 mn

r1

ri

r2 rn

F1i

F2i Fni

Fi

Tin= [x y z]inertial

=

∧=∧

=

∑

∑∑

∑∑

≠=

==

==

N

ij1j

jig,i

N

1iii

N

1i2

i2

ii

N

1ii

N

1i2

i2

i

FF

cardinale equazione seconda Frdt

rdmr

cardinale equazione prima Fdt

rdm

⋅=

−=

−=

⋅−

2

3

skgm11

jiji

ji3ji

ijjig,

106.67259G

rrr

r|r|mGm

F


Ricerca delle costanti del moto (con 6N il moto sarebbe integrabile)

Soluzione del problema della meccanica celeste

C tCr Cdtrd 0

dtrdm

rm

rm

0r|r|mGm

r|r|mGm

rr

r|r|mGm

dtrdm

r|r|mGm

FFFFdt

rdm

21cm1cm

N

1i2

i2

i

cmN

1ii

N

1iii

ij3ij

jiji3

ji

ijijji

N

1i

N

ij1j

ji3ji

ijN

1i2

i2

i

ji3ji

ijjig,

N

ij1j

jig,i

N

1ii

N

1i2

i2

i

+=⇒=⇒=

=

=+⇒−=

−=

−===

∑

∑

∑

∑∑∑

∑∑∑

=

=

=

=≠==

≠===


Ricerca delle costanti del moto (con 6N il moto sarebbe integrabile)


∑∑

∑ ∑∑

∑∑∑

==

=≠==

≠===

==∧⇒=∧

=∧∧−=∧

−∧−=∧

−==∧=∧

N

1i30

iii

N

1i2

i2

ii

iijiij

N

1i

N

ij1j

ji3ji

iji

N

1i2

i2

ii

ji3ji

ijjig,

N

ij1j

jig,i

N

1iii

N

1i2

i2

ii

CΓdtrdmr 0

dtrdmr

0rrrrrr

)rr(|r|

mmrG

dtrdmr

r|r|mGm

FFFFrdt

rdmr

necessarie ancora 9-6Nscalari costanti 3x3CCC

3

2

1→=


Le forze gravitazionali sono conservative

Si deduce che il problema degli N corpi non ha soluzione in forma chiusa


∑≠=

=⇒=⇒∇=−=N

ij1j

jiiji

ijjijiji3

ji

ijjig, VV

rmGm

V Vr|r|mGm

F

( ) Vdtrd

dtrdm

dtrd N

1ii

iN

1i2

i2

ii ∑∑

==

∇⋅=⋅

dtrd

dtrdm

21T ii

ii ⋅=

( )N

i i tot 4i 1

d T V 0 E C dt=

− = ⇒ =∑

incognite 10-6Nscalari costanti 10

CCCC

4

3

2

1

→=

Problema 2 Corpi

Prob. N Corpi 8

Intr. Analisi di Missioni Spaziali


Ipotesi: N=2 masse puntiformi

Valido se: Masse dei corpi N-2 sono piccole Distanze dei corpi N-2 sono grandi

Il modello Kepleriano

−=

=

12312

2122

22

12312

2121

21

r|r|

mGmdt

rdm

r|r|

mGmdt

rdm


Giustificazioni del modello kepleriano



Nome Distanza Massa Periodo Inclinazione Eccentricità (x 106 km) (x 1024 kg) (deg)

Sole - 1989100.0000 - - - Mercurio 57.910 0.3304 87.97 g 7.00 0.21 Venere 108.200 4.8673 224.70 g 3.39 0.01 Terra 149.600 5.9722 365.26 g 0.00 0.02 Marte 227.940 0.6417 686.98 g 1.85 0.09 Giove 778.330 1898.1300 11.86 a 1.31 0.05 Saturno 1429.400 568.3190 29.46 a 2.49 0.06 Urano 2870.990 86.8103 84.00 a 0.77 0.05 Nettuno 4504.300 102.4100 164.80 a 1.77 0.01 Plutone 5909.600 0.0131 247.92 a 17.14 0.24


Ricerco le costanti del moto

Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme Proseguendo si trovano al massimo altre 4 costanti del moto (insufficienti)


12312

21213

21

2122

2

221

2

1

12312

21122

22

2

21321

21212

12

1

r|r|mGmr

|r|mGm

dtrdm

dtrdm

r|r|mGmF

dtrdm

r|r|mGmF

dtrdm

−−=+

−==

−==

21cm2cm

2

tot CtCr0dt

rdm +=⇒=


Modello relativo


+=−=

1122cmtot

12rmrmrm

rrr

+=

+−=

rmm

mr

rmm

mr

21

12

21

21

cmr 0 origine nel centro di massa del sistema= ⇒


Modello relativo


+=

+−=

2

2

21

122

2

2

2

21

221

2

dtrd

mmm

dtrd

dtrd

mmm

dtrd

r21

21 mmm

mm=

+

r|r|mGm

dtrdm 3

totr2

2r −=

r|r|

)mG(mdt

rd3

212

2 +−=

µ==≅ k1tot GmGm

r|r|dt

rd32

2 µ−=

Sun 132712439935.5Mercury 22032.1Venus 324858.8Earth 398600.4Mars 42828.3Jupiter 126711995.4Saturn 37939519.7Moon 4902.8

µ (km3/sec2)

⇒

⇓

⇒


Ricerca Costanti del Moto: Momento della quantità di moto


2

2 3

2

2

3

3

d r μr r r 0dt |r|

d r d dr dr drr rdt dt dt dt dt

d drr 0dt dt

drh r r v Cdt

C momento della quantità di moto per unità di massa

∧ = − ∧ =

∧ = ∧ − ∧ ∧ =

= ∧ = ∧ =

⇒


Ricerca Costanti del Moto: Momento della quantità di moto


( )

( ) ϑϑϑ

ϑϑ

2rrrrrh

rrrdtrdrrr

dtrrdv

rrr

=+⋅∧=

+⋅=⋅+⋅=⋅

=

⋅=

trasversadirezione versoreradiale direzione versorer

=

=

ϑ


Ricerca Costanti del Moto: Vettore Eccentricità


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 3

2

2

2

2 3

22

2 3 3 3

d r μh h rdt |r|

d r d dr dh dr d drh h hdt dt dt dt dt dt dtd r μh r v rdt |r|

a b a a a b- a b a

d r μ μ μh r v r r r v r v r r rdt |r| |r| |r|

∧ = − ∧

∧ = ∧ − ∧ = ∧

∧ = − ∧ ∧

⇓ ∧ ∧ = ⋅ ⋅

∧ = − ∧ ∧ = − ⋅ − ⋅ = − ( )

( ) ( ) ( )

2 33

4

μ drr r rr r r μ|r| dt

v hd h v μr 0 μe v h μr e r Cdt μ

ϑϑ ϑϑ ⋅ + − = − = −

⇓

∧∧ + = ⇒ = ∧ − ⇒ = − =


Ricerca Costanti del Moto: Vettore Eccentricità


0he vincolodal legate perché tiindipenden scalari costanti 5 CeCh

4

3 =⋅⇒==

r1 v1

h

e r2

v2 h

Π


Ricerca Costanti del Moto: Energia

Costanti del moto (moto assoluto)

Costanti del moto (moto relativo)


5

32

2

CErμvv

21 0

rμ

dtrd

dtrd

21

dtd

r|r|

μvdt

rdv

==−⋅⇒=

−⋅

⋅−=⋅

3

4

5

h Ce C 6 costanti del motoE C

= = ⇒ =

scalari 6uniforme rettilineo moto di muove si c.m.CC

2

1 →=

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