investigaciòn de operaciones modelos matematicos
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Investigacion de operaciones, modelosmatematicos y optimizacion
Guillermo Duran
Centro de Gestion de OperacionesDepartamento de Ingenierıa Industrial
Universidad de Chile
Seminario JUNAEB-DIIEnero de 2006
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¿Que es la Investigacion de Operaciones?
I Una definicion que se acerca mucho a la realidad serıa “laciencia de la toma de decisiones”. Conviven en esta disciplinaprofesionales de las mas diversas ramas: ingenieros,matematicos, computadores, economistas. Todos ellos debenaprender una tecnica fundamental: el modelamientomatematico.
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Un problema de produccion
I Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesasque debe producir el proximo dıa para maximizar su ganancia.
I Cuenta con 38m2 de madera y dispone de 7, 5 hs/hombre.
I Se requiere de 4m2 y 1 hora/hombre para confeccionar cadasilla; y de 9, 5m2 de madera y 1 hora/hombre paraconfeccionar cada mesa.
I Se asume que se vende todo lo que se produce y que elbeneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesaes de $8, 5.
I ¿Cuantas sillas y mesas debe producir?
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¿Que significa hacer un modelo matematico?
I Hacer un modelo matematico es interpretar lo mejor posible larealidad a traves de ciertas formulas.
I Por ejemplo, en el problema de produccion planteado,podemos definir una variable x1, que medira el numero desillas, y una variable x2, que medira el numero de mesas.
I Veamos como relacionar estas variables para cumplir con lascondiciones del problema.
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El modelo de las sillas y las mesas
I ¿Como decimos en formulas matematicas que el maximonumero de metros cuadrados que podemos usar es 38?
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
I ¿Como decimos en formulas matematicas que el maximonumero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5?
x1 + x2 ≤ 7, 5
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El modelo de las sillas y las mesas
I ¿Como decimos en formulas matematicas que el maximonumero de metros cuadrados que podemos usar es 38?
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
I ¿Como decimos en formulas matematicas que el maximonumero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5?
x1 + x2 ≤ 7, 5
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El modelo de las sillas y las mesas
I ¿Cual es la funcion de utilidad que tenemos que maximizar?
max 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
I Por ultimo, el numero de sillas y de mesas debe ser positivo:
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
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El modelo de las sillas y las mesas
I ¿Cual es la funcion de utilidad que tenemos que maximizar?
max 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
I Por ultimo, el numero de sillas y de mesas debe ser positivo:
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
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Resumiendo: tenemos un modelo de programacion lineal
max 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
Sujeto a:
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
x1 + x2 ≤ 7, 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
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Graficamente...
4
7,5
7,5
9,50
(6,05;1,45)
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Algo anda mal...
I No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!
I ¿Que le falta al modelo?
I Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
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Algo anda mal...
I No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!
I ¿Que le falta al modelo?
I Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
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Algo anda mal...
I No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!
I ¿Que le falta al modelo?
I Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
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Tenemos entonces un modelo de programacion linealentera
max 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
Sujeto a:
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
x1 + x2 ≤ 7, 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
x1 y x2 son enteras.
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Veamos entonces la nueva solucion...
4
7,5
7,5
9,50
(0;4)
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El problema de los 4 colores
I Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modoque 2 regiones limıtrofes (con al menos un borde en comun)tengan diferente color.
I Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3colores.
I Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4colores.
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El problema de los 4 colores
I Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modoque 2 regiones limıtrofes (con al menos un borde en comun)tengan diferente color.
I Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3colores.
I Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4colores.
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El problema de los 4 colores
I Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modoque 2 regiones limıtrofes (con al menos un borde en comun)tengan diferente color.
I Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3colores.
I Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4colores.
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¿Que es un problema combinatorial?
Es un problema en el que deben contarse una cierta cantidad decasos, configuraciones, conjuntos, etc.
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Ejemplos de problemas combinatoriales
I El problema de programacion entera y el problema de los 4colores son ejemplos de problemas combinatorios.
I Otro ejemplo:
¿De cuantas formas diferentes pueden sentarse ustedes enesta sala? ¿Sera difıcil hacer esa cuenta?
Hagamosla juntos...
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¿Que es un problema de optimizacion?
I Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cadauno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor.
I Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos.
I 10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cualcompro?
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¿Que es un problema de optimizacion?
I Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cadauno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor.
I Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos.
I 10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cualcompro?
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¿Que es un problema de optimizacion?
I Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cadauno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor.
I Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos.
I 10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cualcompro?
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¿Que es un problema de optimizacion combinatorial?
I Es un problema donde se busca la mejor opcion entre unconjunto de un numero finito de elementos.
I Los elementos pueden ser generados mediante reglas quedefinen el problema.
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Ejemplos de problemas de optimizacion combinatorial
I Ruteo de vehıculos.
I Planificacion de la produccion.
I Asignacion de tareas.
I Localizacion.
I Procesamiento de tareas.
I Cortes de materia prima.
I Asignacion de tripulaciones.
I Planificacion de vuelos.
I Licitaciones.
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Problema del vendedor viajero (PVV)
Un viajero debe recorrer cierta cantidad de ciudades y volverfinalmente a la ciudad donde vive.
¿Cual es el mejor recorrido?
I El mas corto (tambien podrıamos preferir el mas rapido).
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Recorridos con cuatro ciudades
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Recorridos con cinco ciudades
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
181440
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
2
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
2
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
2
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
2
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
181440
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
2
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
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Recorridos con mas de cinco ciudades
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
181440
I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
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I ¿Cuantos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
(n − 1)!
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¿Como se resuelve un problema de optimizacioncombinatorial?
Diferentes opciones:
I Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
I Encontrando una solucion “relativamente buena” pero sintener garantıa de que es la mejor.
I Encarando problemas mas chicos pero con la certeza de queencuentro la solucion optima.
I Buscando mediante metodos “inteligentes” encontrar lasolucion optima, aun en problemas grandes.
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¿Como se resuelve un problema de optimizacioncombinatorial?
Diferentes opciones:
I Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
I Encontrando una solucion “relativamente buena” pero sintener garantıa de que es la mejor.
I Encarando problemas mas chicos pero con la certeza de queencuentro la solucion optima.
I Buscando mediante metodos “inteligentes” encontrar lasolucion optima, aun en problemas grandes.
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¿Como se resuelve un problema de optimizacioncombinatorial?
Diferentes opciones:
I Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
I Encontrando una solucion “relativamente buena” pero sintener garantıa de que es la mejor.
I Encarando problemas mas chicos pero con la certeza de queencuentro la solucion optima.
I Buscando mediante metodos “inteligentes” encontrar lasolucion optima, aun en problemas grandes.
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¿Como se resuelve un problema de optimizacioncombinatorial?
Diferentes opciones:
I Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
I Encontrando una solucion “relativamente buena” pero sintener garantıa de que es la mejor.
I Encarando problemas mas chicos pero con la certeza de queencuentro la solucion optima.
I Buscando mediante metodos “inteligentes” encontrar lasolucion optima, aun en problemas grandes.
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Fuerza bruta
I Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cadauno calcular su costo, identificando de este modo el caso decosto mas conveniente.
I Podrıamos pensar que como tenemos computadores muyeficientes y rapidos no tendremos inconveniente en resolverproblema tan grandes como se nos presenten.
I ¡Error! Estamos ante gigantes enormemente mas fuertes quenuestros poderosos computadores.
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Fuerza bruta
I Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cadauno calcular su costo, identificando de este modo el caso decosto mas conveniente.
I Podrıamos pensar que como tenemos computadores muyeficientes y rapidos no tendremos inconveniente en resolverproblema tan grandes como se nos presenten.
I ¡Error! Estamos ante gigantes enormemente mas fuertes quenuestros poderosos computadores.
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Fuerza bruta
I Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cadauno calcular su costo, identificando de este modo el caso decosto mas conveniente.
I Podrıamos pensar que como tenemos computadores muyeficientes y rapidos no tendremos inconveniente en resolverproblema tan grandes como se nos presenten.
I ¡Error! Estamos ante gigantes enormemente mas fuertes quenuestros poderosos computadores.
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Un caso con cincuenta ciudades
I Supongamos que quiero resolver el problema del viajante decomercio para 50 ciudades.
I ¿Cuanto creen que tardara un buen computador en evaluartodos los posibles recorridos?
¡Arriesguen!
1 minuto, 1 hora, 1 dıa, 1 ano, 1 siglo, mas de 1 siglo.
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Resultados
I 31557600000 cantidad de segundos en un siglo.
I 6000000000 personas en el mundo (una computadora porpersona).
I 1000000000000 (un billon) de evaluaciones por segundo.
I 1.606274.093599.924056.519539.306224 cantidad de siglos enevaluar todos los casos para 50 ciudades.
I 200000000 edad del universo en siglos segun algunas teorıascosmologicas.
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Metodos aproximados: Heurısticos.
I Tratan de orientarse en el universo de todas las posiblessoluciones en busca de la mejor.
I Un inconveniente que tienen es que en la mayorıa de losproblemas combinatoriales en general no puedo estar segurode que encontre la mejor solucion.
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Metodos aproximados: Heurısticos.
I Tratan de orientarse en el universo de todas las posiblessoluciones en busca de la mejor.
I Un inconveniente que tienen es que en la mayorıa de losproblemas combinatoriales en general no puedo estar segurode que encontre la mejor solucion.
![Page 48: Investigaciòn de operaciones modelos matematicos](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052307/55898d5fd8b42aeb738b46fc/html5/thumbnails/48.jpg)
Metodos exactos.
I Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones paraacelerar la busqueda y llegar a la conclusion de que la mejorsolucion que encontraron en realidad es la optima.
I Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendoresolver solo problemas pequenos o problemas grandes conciertas caracterısticas particulares.
I ¿Como trabajan los metodos exactos “inteligentes”?
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Metodos exactos.
I Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones paraacelerar la busqueda y llegar a la conclusion de que la mejorsolucion que encontraron en realidad es la optima.
I Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendoresolver solo problemas pequenos o problemas grandes conciertas caracterısticas particulares.
I ¿Como trabajan los metodos exactos “inteligentes”?
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Metodos exactos.
I Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones paraacelerar la busqueda y llegar a la conclusion de que la mejorsolucion que encontraron en realidad es la optima.
I Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendoresolver solo problemas pequenos o problemas grandes conciertas caracterısticas particulares.
I ¿Como trabajan los metodos exactos “inteligentes”?
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Asignemos un operario distinto a cada uno de lossiguientes 3 trabajos
Trabajo 1
Trabajo 2
Trabajo 3
Operario 1
Operario 2
Operario 3
9
3
5
98
2
17
2
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Asignemos un operario distinto a cada uno de lossiguientes 3 trabajos
Trabajo 1
Trabajo 2
Trabajo 3
93 5
8 2
72
93 5
9 2 9 8 8 2 9 2
12 17 72 1
13 12 16 8 25 18 13 12 8
![Page 53: Investigaciòn de operaciones modelos matematicos](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052307/55898d5fd8b42aeb738b46fc/html5/thumbnails/53.jpg)
Soluciones optimas para el PVV
I En 1954 Dantzig, Fulkerson y Johnson resolvieron un caso de49 ciudades del PVV.
I “Resolvieron” significa que D,F&J estaban seguros de que lasolucion que presentaban era la mejor de un conjunto de 60decillones de soluciones posibles.
![Page 54: Investigaciòn de operaciones modelos matematicos](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052307/55898d5fd8b42aeb738b46fc/html5/thumbnails/54.jpg)
Solucion record (en 2001) de 15112 ciudades de Alemania
I Resuelta en una red de 110maquinas en lasuniversidades de Rice yPrinceton, por Applegate,Bixby, Chvatal y Cook.
I Tiempo total de computo de22.6 anos de una PC de 500MHz.
I Longitud total deaproximadamente 66.000Km (Un poco mas de unavuelta y media a la tierrapor el ecuador).
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Solucion record (en 2004) de 24978 ciudades de Suecia
I Resuelta por Applegate,Bixby, Chvatal, Cook yHelsgaun.
I Longitud total deaproximadamente 72.500Km.
![Page 56: Investigaciòn de operaciones modelos matematicos](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052307/55898d5fd8b42aeb738b46fc/html5/thumbnails/56.jpg)
Solucion record actual (2005)
I Cook, Espinoza y Goycoolea: 33810 ciudades!
![Page 57: Investigaciòn de operaciones modelos matematicos](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052307/55898d5fd8b42aeb738b46fc/html5/thumbnails/57.jpg)
Agradecimientos
I A los doctores Flavia Bonomo y Pablo Coll, de la Facultad deCiencias Exactas y Naturales de la Universidad de BuenosAires, por facilitarme parte del material para la preparacion deesta charla.