deOPERACIONES7 a. e d i c i n

INVESTIGACIN

7 a. e d i c i n

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HAMDY A. TAHATA

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Vistenos en:www.pearsoneducacion.net

Vistenos en:www.pearsoneducacion.net

La sptima edicin de esta reconocida obra ofrece una cobertura equilibrada

de la teora, las aplicaciones y el clculo en la investigacin de operaciones,

e incluye situaciones prcticas completamente analizadas. Cada captulo

contiene ejemplos y aplicaciones tomadas de estudios de casos ya publicados.

Para destacar la efectividad de la investigacin de operaciones para la toma de

decisiones, esta edicin hace nfasis en las herramientas de clculo modernas

los programas de cmputo. Prcticamente cada algoritmo es respaldado y

explicado por medio de una herramienta de software apropiada, lo que facilita

considerablemente la comprensin de los conceptos.

La obra incluye los siguientes apoyos tecnolgicos:

Poderoso software TORA, con caractersticas tutoriales nuevas y nicas.

Las plantillas Excel, diseadas para resolver problemas generales

cambiando simplemente en una plantilla los datos de entrada.

Excel Solver para resolver problemas de transportacin, de red y de programacin lineal y no lineal.

Investigacin deoperaciones

Investigacin deoperaciones

Sptima edicin

Hamdy A. TahaUniversity of Arkansas, Fayetteville

TRADUCCIN:Virgilio Gonzlez PozoIngeniero QumicoUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

REVISIN TCNICA:M. en C. Guillermo Martnez del Campo VarelaUniversidad Iberoamericana

Bonifacio Romn TapiaIngeniero Mecnico ElectricistaUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Heriberto Garca ReyesDirector Asociado del Departamento de Ingeniera Industrial y de SistemasInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Monterrey

Datos de catalogacin bibliogrfica

TAHA, HAMDY A.

Investigacin de operaciones, 7a. edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2004

ISBN: 970-26-0498-2 rea: Universitarios

Formato: 18.5 23.5 cm Pginas: 848

Authorized translation from the English language edition, entitled Operations Research: An Introduction, SeventhEdition, by Hamdy A. Taha, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2003. All rights reserved.ISBN 0-13-032374-8

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Operations Research: An Introduction, Seventh Edition,por Hamdy A. Taha, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright 2003. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Guillermo Trujano Mendoza

e-mail: guillermo.trujano@pearsoned.com Supervisor de desarrollo: Jorge Bonilla Talavera Supervisor de produccin: Enrique Trejo Hernndez

Edicin en inglsEditor-in-Chief: Denise J. Clinton Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J.

HortonAcquisitions Editor: Dorothy MarreroEditorial Assistant: Erin KatchmarVice President and Director of Production andManufacturing, ESM: David W. RiccardiExecutive Managing Editor: Vince OBrienManaging Editor: David A. George

Production Editor: Ann ImhofDirector of Creative Services: Paul BelfantiCreative Director: Carole AnsonArt Director: Jayne ConteCover Designer: Bruce KenselaarArt Editor: Greg DullesManufacturing Manager: Trudy PisciottiManufacturing Buyer: Lynda CastilloMarketing Manager: Holly Stark

SPTIMA EDICIN, 2004

D.R. 2004 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco No. 500-5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: editorial.universidades@pearsoned.com

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse,por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico,fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin deleditor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0498-2

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 05 04 03 02

A Karen

Los ros no llevan agua,el sol las fuentes sec

Yo s dnde hay una fuente que no ha de secar el sol! La fuente que no se agota

es mi propio corazn

V. Ruiz Aguilera (1862)

vi

Contenido abreviado

Prefacio xv

Acerca del autor xvii

Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones? 1

Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal 11

Captulo 3 El mtodo smplex 71

Captulo 4 Anlisis de dualidad y sensibilidad 115

Captulo 5 Modelo de transporte y sus variantes 165

Captulo 6 Modelos de redes 213

Captulo 7 Programacin lineal avanzada 289

Captulo 8 Programacin de metas 347

Captulo 9 Programacin lineal entera 361

Captulo 10 Programacin dinmica determinstica 401

Captulo 11 Modelos determinsticos de inventarios 429

Captulo 12 Repaso de probabilidad bsica 463

Captulo 13 Modelos de pronsticos 491

Captulo 14 Anlisis de decisiones y juegos 503

Captulo 15 Programacin dinmica probabilstica 547

Captulo 16 Modelos probabilsticos de inventario 559

Captulo 17 Sistemas de colas 579

Captulo 18 Modelado de simulacin 639

Captulo 19 Proceso de decisin markoviana 675

Captulo 20 Teora clsica de la optimizacin 701

Captulo 21 Algoritmos de programacin no lineal 731

Apndice A Repaso de vectores y matrices 765

Apndice B Introduccin a TORA 779

Apndice C Tablas estadsticas 785

Apndice D Respuestas parciales de problemas seleccionados 789

ndice 825

vii

Contenido

Prefacio xv

Acerca del autor xvii

Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones? 1

1.1 Modelos de investigacin de operaciones 11.2 Solucin del modelo de investigacin de operaciones 41.3 Modelos de colas y simulacin 51.4 El arte del modelado 51.5 Ms que slo matemticas 61.6 Fases de un estudio de investigacin de operaciones 81.7 Acerca de este libro 9

Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal 11

2.1 Modelo de programacin lineal con dos variables 112.2 Solucin grfica de la programacin lineal 14

2.2.1 Solucin de un modelo de maximizacin 152.2.2 Solucin de un modelo de minimizacin 182.2.3 Solucin grfica con TORA 20

2.3 Anlisis grfico de sensibilidad 232.3.1 Cambios en los coeficientes de la funcin objetivo 242.3.2 Cambio en disponibilidad de recursos 272.3.3 Valor por unidad de un recurso 28

2.4 Soluciones de problemas de programacin lineal en computadora 332.4.1 Solucin de programacin lineal con TORA 332.4.2 Solucin de programacin lineal con Solver de Excel 362.4.3 Solucin de programacin lineal con LINGO

y AMPL 382.5 Anlisis de modelos seleccionados de programacin lineal 47

Referencias seleccionadas 66Problemas integrales 67

Captulo 3 El mtodo smplex 71

3.1 Espacio de soluciones en forma de ecuacin 713.1.1 Conversin de desigualdades a ecuaciones 713.1.2 Manejo de variables no restringidas 73

3.2 Transicin de solucin grfica a solucin algebraica 753.3 El mtodo smplex 80

3.3.1 Naturaleza iterativa del mtodo smplex 803.3.2 Detalles de clculo del algoritmo smplex 833.3.3 Iteraciones smplex con TORA 92

3.4 Solucin artificial de inicio 943.4.1 Mtodo M 943.4.2 Mtodo de dos fases 98

3.5 Casos especiales de aplicacin del mtodo smplex 1033.5.1 Degeneracin 1033.5.2 ptimos alternativos 1063.5.3 Solucin no acotada 1093.5.4 Solucin no factible 110Referencias seleccionadas 112Problemas integrales 112

Captulo 4 Anlisis de dualidad y sensibilidad 115

4.1 Definicin del problema dual 1154.2 Relaciones primal-dual 120

4.2.1 Repaso de operaciones matriciales sencillas 1204.2.2 Planteamiento de la tabla smplex 1224.2.3 Solucin dual ptima 1224.2.4 Clculos con la tabla smplex 1264.2.5 Valor objetivo primal y dual 130

4.3 Interpretacin econmica de la dualidad 1324.3.1 Interpretacin econmica de las variables duales 1324.3.2 Interpretacin econmica de las restricciones

duales 1354.4 Otros algoritmos smplex para programacin lineal 137

4.4.1 Mtodo dual smplex 1374.4.2 Algoritmo smplex generalizado 143

4.5 Anlisis postptimo o de sensibilidad 1444.5.1 Cambios que afectan la factibilidad 1454.5.2 Cambios que afectan la optimalidad 155Referencias seleccionadas 161Problemas integrales 162

Captulo 5 Modelo de transporte y sus variantes 165

5.1 Definicin del modelo de transporte 1655.2 Modelos no tradicionales de transporte 1725.3 El algoritmo de transporte 177

5.3.1 Determinacin de la solucin de inicio 1785.3.2 Clculos iterativos del algoritmo de transporte 1825.3.3 Solucin del modelo de transporte con TORA 1875.3.4 Explicacin del mtodo de los multiplicadores

con el mtodo smplex 1955.4 El modelo de asignacin 196

5.4.1 El mtodo hngaro 1975.4.2 Explicacin del mtodo hngaro con el mtodo

smplex 202

viii Contenido

5.5 El modelo de transbordo 203Referencias seleccionadas 208Problemas integrales 208

Captulo 6 Modelos de redes 213

6.1 Definiciones para redes 2146.2 Algoritmo de rbol de expansin mnima 2156.3 Problema de la ruta ms corta 220

6.3.1 Ejemplos de aplicaciones de ruta ms corta 2206.3.2 Algoritmos de ruta ms corta 2246.3.3 Formulacin del problema de la ruta ms corta

en programacin lineal 2346.3.4 Solucin del problema de la ruta ms corta

con hoja de clculo Excel 2376.4 Modelo de flujo mximo 239

6.4.1 Enumeracin de cortes 2406.4.2 Algoritmo de flujo mximo 2416.4.3 Formulacin del problema de flujo mximo

con programacin lineal 2506.4.4 Solucin del problema de flujo mximo con

hoja de clculo Excel 2506.5 Problema del flujo capacitado con costo mnimo 252

6.5.1 Representacin en red 2526.5.2 Formulacin con programacin lineal 2546.5.3 Algoritmo smplex de red capacitada 2596.5.4 Solucin del modelo de flujo capacitado con

costo mnimo con hoja de clculo Excel 2656.6 Mtodos CPM y PERT 266

6.6.1 Representacin en red 2676.6.2 Clculos para la ruta crtica (CPM) 2726.6.3 Construccin del cronograma 2756.6.4 Formulacin del mtodo de la ruta crtica

con programacin lineal 2816.6.5 Redes de PERT 283Referencias seleccionadas 286Problemas integrales 286

Captulo 7 Programacin lineal avanzada 289

7.1 Fundamentos de mtodo smplex 2897.1.1 Desde puntos extremos hasta soluciones bsicas 2907.1.2 Tabla smplex generalizada en forma matricial 294

7.2 Mtodo smplex modificado 2977.2.1 Desarrollo de las condiciones de optimalidad

y factibilidad 2987.2.2 Algoritmo smplex modificado 300

7.3 Algoritmo de variables acotadas 305

Contenido ix

7.4 Algoritmo de descomposicin 3127.5 Dualidad 322

7.5.1 Definicin matricial del problema dual 3227.5.2 Solucin dual ptima 322

7.6 Programacin lineal paramtrica 3267.6.1 Cambios paramtricos en C 3277.6.2 Cambios paramtricos en b 329

7.7 Mtodo del punto interior de Karmarkar 3327.7.1 Idea bsica del algoritmo del punto interior 3327.7.2 Algoritmo del punto interior 334Referencias seleccionadas 344Problemas integrales 344

Captulo 8 Programacin de metas 347

8.1 Una formulacin de programacin de metas 3478.2 Algoritmos de programacin de metas 352

8.2.1 El mtodo de factores de ponderacin 3528.2.2 El mtodo por jerarquas 354Referencias seleccionadas 359Problemas integrales 359

Captulo 9 Programacin lineal entera 361

9.1 Aplicaciones ilustrativas 3619.2 Algoritmos de programacin entera 372

9.2.1 Algoritmo de ramificacin y acotamiento (B&B) 3739.2.2 rbol de ramificacin y acotamiento generado

con TORA 3799.2.3 Algoritmo del plano cortante 3849.2.4 Consideraciones computacionales en programacin

lineal entera 3899.3 Solucin del problema del agente viajero 390

9.3.1 Algoritmo de solucin con ramificacin y acotamiento 393

9.3.2 Algoritmo del plano de corte 396Referencias seleccionadas 397Problemas integrales 397

Captulo 10 Programacin dinmica determinstica 401

10.1 Naturaleza recursiva de los clculos en programacin dinmica 401

10.2 Recursin en avance y en reversa 40410.3 Aplicaciones de programacin dinmica 406

10.3.1 Problema de la mochila/equipo de vuelo/carga delcontenedor 407

10.3.2 Modelo del tamao de la fuerza de trabajo 41510.3.3 Modelo de reposicin de equipo 41810.3.4 Modelo de inversin 42110.3.5 Modelos de inventario 425

x Contenido

Contenido xi

10.4 Problema de dimensionalidad 425Referencias seleccionadas 428Problema integral 428

Captulo 11 Modelos determinsticos de inventarios 429

11.1 Modelo general de inventario 42911.2 Modelos estticos de cantidad econmica de pedido

(CEP, o EOQ) 43011.2.1 Modelo clsico de cantidad econmica de pedido 43011.2.2 Cantidad econmica de pedido con discontinuidades

de precio 43511.2.3 Cantidad econmica de pedido de varios artculos

con limitacin de almacn 43911.3 Modelos dinmicos de cantidad econmica de pedido 443

11.3.1 Modelo sin costo de preparacin 44411.3.2 Modelo con preparacin 448Referencias seleccionadas 460Problemas integrales 460

Captulo 12 Repaso de probabilidad bsica 463

12.1 Leyes de la probabilidad 46312.1.1 Ley aditiva de las probabilidades 46412.1.2 Ley de la probabilidad condicional 465

12.2 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidades 46712.3 Expectativa de una variable aleatoria 469

12.3.1 Media y varianza de una variable aleatoria 47012.3.2 Media y varianza de variables aleatorias

conjuntas 47112.4 Cuatro distribuciones comunes de probabilidades 474

12.4.1 Distribucin binomial 47412.4.2 Distribucin de Poisson 47612.4.3 Distribucin exponencial negativa 47712.4.4 Distribucin normal 478

12.5 Distribuciones empricas 480Referencias seleccionadas 489

Captulo 13 Modelos de pronstico 491

13.1 Tcnica del promedio mvil 49113.2 Suavizacin exponencial 49513.3 Regresin 497

Referencias seleccionadas 501Problema integral 502

Captulo 14 Anlisis de decisiones y juegos 503

14.1 Toma de decisiones bajo certidumbre: proceso de jerarqua analtica (AHP) 503

xii Contenido

14.2 Toma de decisiones bajo riesgo 51314.2.1 Criterio del valor esperado 51414.2.2 Variaciones del criterio del valor esperado 519

14.3 Decisin bajo incertidumbre 52714.4 Teora de juegos 532

14.4.1 Solucin ptima de juegos de dos personas con suma cero 532

14.4.2 Solucin de juegos con estrategia mixta 536Referencias seleccionadas 543Problemas integrales 543

Captulo 15 Programacin dinmica probabilstica 547

15.1 Un juego aleatorio 54715.2 Problema de inversin 55015.3 Maximizacin del evento de lograr una meta 554

Referencias seleccionadas 558Problema integral 558

Captulo 16 Modelos probabilsticos de inventario 559

16.1 Modelos de revisin contnua 55916.1.1 Modelo probabilizado de cantidad econmica

de pedido 55916.1.2 Modelo probabilista de cantidad econmica

de pedido 56216.2 Modelos de un periodo 567

16.2.1 Modelo sin preparacin 56716.2.2 Modelo con preparacin (poltica s-S) 571

16.3 Modelos de varios periodos 573Referencias seleccionadas 576Problemas integrales 576

Captulo 17 Sistemas de colas 579

17.1 Por qu estudiar sistemas de colas? 57917.2 Elementos de un modelo de cola 58117.3 Papel de la distribucin exponencial 58217.4 Modelos con nacimientos y muertes puras (relacin

entre las distribuciones exponencial y de Poisson) 58517.4.1 Modelo de nacimientos puros 58617.4.2 Modelo de muertes puras 590

17.5 Modelo generalizado de cola de Poisson 59317.6 Colas especializadas de Poisson 597

17.6.1 Medidas de desempeo en estado estacionario 59917.6.2 Modelos con un servidor 60217.6.3 Modelos con varios servidores 61117.6.4 Modelo de servicio a mquinas(M/M/R) : (DG/K/K),

R K 62117.7 (M/G/1) : (DG//)Frmula de Pollaczek-Khintchine

(P-K) 624

Contenido xiii

17.8 Otros modelos de cola 62717.9 Modelos de decisin con colas 627

17.9.1 Modelos de costo 62717.9.2 Modelo de nivel de aspiracin 632Referencias seleccionadas 634Problemas integrales 634

Captulo 18 Modelado de simulacin 639

18.1 Simulacin Monte Carlo 63918.2 Tipos de simulacin 64418.3 Elementos de simulacin de evento discreto 645

18.3.1 Definicin genrica de eventos 64518.3.2 Muestreo a partir de distribuciones de

probabilidades 64718.4 Generacin de nmeros aleatorios 65618.5 Mecnica de la simulacin discreta 657

18.5.1 Simulacin manual de un modelo con un servidor 65718.5.2 Simulacin del modelo con un servidor basado

en hoja de clculo 66318.6 Mtodos para reunir observaciones estadsticas 666

18.6.1 Mtodo del subintervalo 66718.6.2 Mtodo de rplica 66918.6.3 Mtodo regenerativo (ciclo) 669

18.7 Lenguajes de simulacin 672Referencias seleccionadas 674

Captulo 19 Proceso de decisin markoviana 675

19.1 Alcance del problema de decisin markoviana: el problema del jardinero 675

19.2 Modelo de programacin dinmica con etapas finitas 67719.3 Modelo con etapas infinitas 681

19.3.1 Mtodo de enumeracin exhaustiva 68119.3.2 Mtodo de iteracin de poltica sin descuento 68419.3.3 Mtodo de iteracin de poltica con descuento 687

19.4 Solucin con programacin lineal 69019.5 Apndice: repaso de las cadenas de Markov 693

19.5.1 Procesos de Markov 69419.5.2 Cadenas de Markov 694Referencias seleccionadas 700

Captulo 20 Teora clsica de la optimizacin 701

20.1 Problemas sin restriccin 70120.1.1 Condiciones necesarias y suficientes 70220.1.2 El mtodo de Newton-Raphson 706

20.2 Problemas con restricciones 70820.2.1 Restricciones de igualdad 70820.2.2 Restricciones de desigualdad 723Referencias seleccionadas 730

xiv Contenido

Captulo 21 Algoritmos de programacin no lineal 731

21.1 Algoritmos sin restriccin 73121.1.1 Mtodo de bsqueda directa 73121.1.2 Mtodo del gradiente 735

21.2 Algoritmos con restriccin 73821.2.1 Programacin separable 73921.2.2 Programacin cuadrtica 74721.2.3 Programacin geomtrica 75221.2.4 Programacin estocstica 75721.2.5 Mtodo de combinaciones lineales 76121.2.6 Algoritmo SUMT 763Referencias seleccionadas 764

Apndice A Repaso de vectores y matrices 765

A.1 Vectores 765A.1.1 Definicin de un vector 765A.1.2 Suma (resta) de vectores 765A.1.3 Multiplicacin de vectores por escalares 766A.1.4 Vectores linealmente independientes 766

A.2 Matrices 766A.2.1 Definicin de una matriz 766A.2.2 Tipos de matrices 766A.2.3 Operaciones aritmticas de matrices 767A.2.4 Determinante de una matriz cuadrada 768A.2.5 Matrices no singulares 770A.2.6 Inversa de una matriz no singular 770A.2.7 Mtodos para calcular la inversa de una matriz 771

A.3 Formas cuadrticas 775A.4 Funciones convexas y cncavas 777

Referencias seleccionadas 777Problemas 777

Apndice B Introduccin a TORA 779

B.1 Men principal 779B.2 Modo y formato de ingreso de datos 780B.3 Pantalla de ingreso de datos 780B.4 Men Solve/Modify 781B.5 Formato de los resultados 782B.6 Pantalla de resultados 782

Apndice C Tablas estadsticas 785

Apndice D Respuestas parciales de problemas seleccionados 789

ndice 825

Prefacio

Es gratificante saber que durante ms de 30 aos, cientos de miles de estudiantes en todo elmundo han conocido la investigacin de operaciones a travs de las varias ediciones de estelibro. Este xito conlleva la responsabilidad de cumplir con las necesidades de futuras gene-raciones de alumnos. La sptima edicin es el resultado de un esfuerzo dirigido a cumplir conesta responsabilidad.

El principal impulso para la sptima edicin es el extenso respaldo de programacinque se usa en el libro:

1. TORA basado en Windows.2. Plantillas de hoja de clculo de Excel.3. Ejemplos de aplicaciones de LINGO y de AMPL.

El programa TORA tiene mdulos para inversin de matrices, solucin de ecuaciones li-neales simultneas, programacin lineal, modelos de transporte, modelos de redes, programa-cin entera, modelos de colas, planeacin de proyectos con CPM y PERT, y teora de juegos.TORA puede ser ejecutado en modo automtico o tutorial. En el modo automtico presenta lasolucin final del problema, por lo general en el formato normal que usan los paquetes comer-ciales. El modo tutorial es una funcin nica que proporciona retroalimentacin inmediata paraprobar el conocimiento de los detalles de clculo de cada algoritmo por parte del lector. Comoen su predecesor para DOS, las distintas pantallas en TORA se presentan en una manera lgicay no ambigua, y eliminan esencialmente la necesidad de contar con un manual de usuario.

Las plantillas de la hoja de clculo de Excel complementan los mdulos de TORA.Esas plantillas incluyen programacin lineal, programacin dinmica, proceso analtico dejerarquas (AHP), modelos de inventario, histogramas de datos sin procesar, teora de deci-siones, colas de Poisson, frmula P-K, simulacin y modelos no lineales. Algunas de lasplantillas son hojas de clculo directas. En otras se usa el Solver de Excel o macros de VBA(Visual Basic). Independientemente del diseo, todas las plantillas ofrecen la particularidadnica de estar equipadas con una seccin de entrada de datos que permite resolver problemasdiferentes sin necesidad de modificar las frmulas ni la distribucin de la hoja de clculo. Deesta manera, el usuario puede experimentar, probar y comparar distintos conjuntos de datosen una forma cmoda. Donde fue posible, se protegieron las frmulas y la distribucin de lashojas de clculo para reducir al mnimo la posibilidad de alterarlas en forma inadvertida.

Este libro contiene ejemplos de los paquetes comerciales LINGO y AMPL, para resol-ver problemas de programacin lineal. El objetivo es familiarizar al lector con la forma en quese resuelven en la prctica modelos matemticos de programacin muy grandes.

El programa TORA y las hojas de clculo de Excel se integraron al texto en una formaque facilita el presentar y probar conceptos que de otra manera no se hubieran podido presen-tar con eficiencia. De acuerdo con mi experiencia personal, he visto que el mdulo tutorial deTORA y las hojas de clculo de Excel son muy efectivos en las presentaciones en clase. Se

xv

xvi Prefacio

pueden demostrar muchos conceptos al instante, slo cambiando los datos del problema. Ci-tando algunos ejemplos, se puede usar TORA para demostrar el extraordinario comporta-miento del algoritmo de ramificacin y acotamiento, aplicndolo a un problema pequeo deprogramacin entera, en el que la solucin se encuentra en nueve iteraciones, pero su optima-lidad se comprueba en ms de 25,000 iteraciones. Sin el programa y el diseo especial de TO-RA, sera imposible demostrar esta situacin en una forma efectiva. Otro ejemplo es el diseonico de las hojas de clculo de programacin dinmica y de AHP (proceso analtico de jerar-quas), donde el ingreso interactivo por parte del usuario debe ampliar la comprensin efecti-va de los detalles de esos dos tpicos. Un tercer ejemplo tiene que ver con la explicacin delmtodo congruente multiplicativo para generar nmeros pseudoaleatorios 0-1. Con la hoja declculo de inmediato se puede demostrar el efecto de seleccionar la semilla y los parmetros,sobre la calidad del generador, en especial respecto a la longitud del ciclo de la secuenciadel nmero aleatorio y, por tanto, advertir al alumno sobre el peligro de una implementacincausal del mtodo congruente multiplicativo dentro de un modelo de simulacin.

Adems del apoyo de los programas en el libro, todos los captulos han sido revisados (mu-chos se han vuelto a escribir) para presentar el material en una forma concisa. Entre el materialnuevo est una introduccin a la investigacin de operaciones (captulo 1); el mtodo smplex ge-neralizado (Captulo 4); la representacin de todos los modelos de redes, incluyendo la ruta crti-ca, en forma de programas lineales (Captulo 6); las redes PERT (Captulo 6); la solucin delproblema del agente viajero (Captulo 9), y el mtodo de la seccin dorada (Captulo 21).

Al igual que en la sexta edicin, el libro est organizado en tres partes: modelos determins-ticos, modelos probabilsticos y modelos no lineales. Los apndices A a D contienen un repaso delgebra de matrices, una introduccin a TORA (a pesar de que el diseo de TORA hace innecesa-rio un manual), tablas estadsticas bsicas y respuestas parciales de problemas seleccionados.

RECONOCIMIENTOS

Agradezco a muchos de mis colegas, y a cientos de estudiantes, sus comentarios y apoyo. Enparticular, deseo reconocer la ayuda extraordinaria que recib de los profesores R. MichaelHarnett (Kansas State University), Yasser Hosni (University of Central Florida), Guy L. Curry(Texas A&M University), Rafael Gutirrez (University of Texas at El Paso), Robert Lewis(United States Army Management Engineering College), Allen C. Schuermann (OklahomaState University) y Steven L. VanDrew (Mercer University).

Mis colegas de ingeniera industrial en la Universidad de Arkansas, los profesores Ri-chard Cassady, Mike Cole, Erhan Kutanoglu, Scott Mason, Heather Nachtmann y ManuelRossetti, me han ayudado en muchas formas, y aprecio su apoyo.

Estoy especialmente agradecido a los profesores Jos Ventura de Pennsylvania StateUniversity, Jorge Valenzuela de Auburn University, Burak Eksioglu de la Universidad de Flo-rida, Michael Harnett de Kansas State University y a Steven L. VanDrew, de Mercer Univer-sity, por sus valiosas revisiones de la sexta edicin.

Deseo expresar mi aprecio a la editora de produccin, Ann Imhoff de Carlisle Commu-nications, y a Dorothy Marrero y Lynda Castillo de Prentice Hall, por su apoyo durante la pro-duccin del libro. Sus conocimientos fueron una ayuda inmensa para m.

HAMDY A. TAHAhat@engr.uark.edu

xvii

Acerca del autor

Hamdy A. Taha es profesor de Ingeniera Industrial enla Universidad de Arkansas, donde ensea e investigaen el rea de investigacin de operaciones y simu-lacin. Es el autor de otros tres libros sobre programa-cin entera y simulacin, y sus obras se han traducido alchino, coreano, espaol, japons, ruso, turco e indone-sio. Sus artculos han sido publicados en las revistasManagement Science, Operations Research and Inter-faces [Institute for Operations Research and Manage-ment Science], Naval Research Logistics [John Wiley& Sons], European Journal of Operations Research[International Federation of Operations Research So-cieties] y en AIIE Transactions.

El profesor Taha fue nombrado becario FullbrightSenior en la Universidad Carlos III en Madrid, Espa-

a. Recibi un premio Alumni por excelencia en investigacin, y el premio de enseanza Na-dine Baum, ambos de la Universidad de Arkansas, as como muchos otros premios deinvestigacin y enseanza por parte del Colegio de Ingeniera, Universidad de Arkansas.Domina tres idiomas, y ha desempeado puestos en Mxico y en el Medio Oriente.

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C A P T U L O 1

Qu es la investigacin de operaciones?

Las primeras actividades formales de investigacin de operaciones se dieron en Inglaterra du-rante la Segunda Guerra Mundial, cuando se encomend a un equipo de cientficos ingleses latoma de decisiones acerca de la mejor utilizacin de materiales blicos. Al trmino de la gue-rra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficienciay la productividad en el sector civil. Hoy en da, la investigacin de operaciones es una herra-mienta dominante e indispensable para tomar decisiones.

Un elemento principal de la investigacin de operaciones es el modelado matemtico.Aunque la solucin del modelo matemtico establece una base para tomar una decisin, sedeben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo el comportamientohumano, para poder llegar a una decisin final.

1.1 MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONESImagine usted que tiene un compromiso de negocios por cinco semanas entre Fayetteville(FYV) y Denver (DEN). Vuela hacia FYV el lunes y regresa el mircoles. Un boleto normalde viaje redondo cuesta $400 dlares, pero se ofrece el 20% de descuento si las fechas del bo-leto abarcan un fin de semana. Un boleto de viaje en cualquier direccin cuesta 75% del pre-cio normal. Cmo debe comprar los boletos para el periodo de cinco semanas?

Se puede considerar que el caso es un problema de toma de decisiones, cuya solucinrequiere identificar tres componentes.

1. Cules son las alternativas de decisin?2. Bajo qu restricciones se toma la decisin?3. Cul es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas?

Se consideran tres alternativas:

1. Comprar cinco boletos normales FYV-DEN-FYV.2. Comprar uno FYV-DEN, cuatro DEN-FYV-DEN que abarquen fines de semana, y uno

DEN-FYV.

2 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones?

3. Comprar uno FYV-DEN-FYV que abarque el lunes de la primera semana y el mirco-les de la ltima, y cuatro DEN-FYV-DEN que cubran los viajes restantes. Cada boletode esta alternativa abarca un fin de semana.

La restriccin para estas opciones es que debe usted poder salir de FYV el lunes y regresar elmircoles de la misma semana.

Un criterio objetivo obvio para evaluar cada alternativa es el precio de los boletos. Laalternativa que tenga el costo mnimo es la mejor. En forma especfica,

Costo de la alternativa 1 5 $400 $2000

Costo de la alternativa 2 0.75 $400 4 (0.8 $400) 0.75 $400 $1880

Costo de la alternativa 3 5 (0.8 $400) $1600

Entones, debera usted escoger la alternativa 3.Aunque en el ejemplo anterior se ilustran los tres componentes principales de un mode-

lo de investigacin de operaciones, que son: alternativas, objetivo y restricciones, los casosdifieren por los detalles de la construccin de cada componente. Para ilustrar este punto, ima-gine la formacin de un rea rectangular que tenga rea mxima con un trozo de alambre de Lcentmetros de longitud. Cul ser el ancho y la altura del rectngulo?

En contraste con el ejemplo de los boletos, la cantidad de alternativas en este ejemplono es finito; es decir, el ancho y la altura del rectngulo pueden tener una cantidad infinita deposibilidades. Para formalizar esta observacin, las alternativas en el problema se identificandefiniendo el ancho y la altura como variables (algebraicas) continuas.

Seanw ancho del rectngulo, en centmetros

h altura del rectngulo, en centmetros

Con base en estas definiciones, las restricciones del caso se pueden expresar verbalmente co-mo sigue:

1. Ancho del rectngulo altura del rectngulo la mitad de la longitud del alambre.2. El ancho y la altura no pueden ser negativos.

Estas restricciones se traducen al lgebra como sigue:

1.2.

El ltimo componente que ahora resta es el objetivo del problema: maximizar el readel rectngulo. Si se define a z como el rea del rectngulo, el modelo es

Maximizar z wh

sujeta a

w, h 0

21w + h2 = L

w 0, h 021w + h2 = L

1.1 Modelos de investigacin de operaciones 3

La solucin ptima de este modelo es , que equivale a formar un cuadrado.Los dos ejemplos anteriores demuestran las variaciones en los detalles de los modelos

de investigacin de operaciones. En general, el primer paso crucial de cualesquiera de esosmodelos es la definicin de las alternativas o las variables de decisin del problema. A con-tinuacin, se usan las variables de decisin para construir la funcin objetivo y las restric-ciones del modelo. Terminados los tres pasos, el modelo de investigacin de operaciones sesuele organizar con el siguiente formato general:

w = h = L4

Una solucin del modelo es factible si satisface todas las restricciones. Es ptima si,adems de ser factible, produce el mejor valor (mximo o mnimo) de la funcin objetivo. Enel ejemplo de los boletos, el problema presenta tres alternativas factibles, y la tercera es la queproduce la solucin ptima. En el problema del rectngulo, una solucin factible debe satisfa-cer la condicin , y w y h deben tener valores no negativos. Esto conduce a una in-finidad de soluciones factibles y, a diferencia del problema de los boletos, la solucin ptimase determina con un mtodo matemtico adecuado, que en este caso es el clculo diferencial.

Aunque los modelos de investigacin de operaciones deben optimizar determinadocriterio objetivo sujeto a un conjunto de restricciones, la calidad de la solucin que se obtengadepende de la exactitud del modelo para representar el sistema real. Por ejemplo, en el mo-delo de los boletos, si uno no puede identificar todas las alternativas dominantes para com-prarlos, entonces la solucin resultante slo es ptima en relacin con las alternativas que serepresentaron en el modelo. En forma especfica, si en el modelo falta la alternativa 3, la solu-cin ptima resultante dira que hay que gastar $1880 como mnimo en compra de boletos,y con ello slo se obtiene una solucin subptima del problema. La conclusin es que lasolucin ptima de un modelo slo es la mejor para ese problema. Si sucede que el modelorepresenta al sistema real en forma razonablemente buena, su solucin tambin ser ptimapara el caso real.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 1.1A

1. En el ejemplo de los boletos, identifique una cuarta alternativa factible.2. En el problema del rectngulo, identifique dos soluciones factibles, y a continuacin determine

la mejor (la que tenga el rea mayor).

3. Determine la solucin ptima del problema del rectngulo. (Sugerencia: use la restriccin para expresar la funcin objetivo en trminos de una variable, y a continuacin use clculo diferencial.)

4. Ana, Jaime, Juan y Pedro estn en la orilla oriente de un ro, y desean cruzarlo en canoa hasta laorilla opuesta. La canoa puede llevar cuando mucho dos personas en cada viaje. Ana es la ms

w + h = L2

Maximizar o minimizar la funcin objetivo

Sujeta a

restricciones

4 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones?

vigorosa y puede cruzar el ro en 1 minuto. Jaime, Juan y Pedro tardan 2, 5 y 10 minutos, respectivamente. Si hay dos personas en la canoa, la persona ms lenta es la que determina el tiempo de cruce. El objetivo es que los cuatro estn en la orilla opuesta en el mnimo tiempo posible.

a) Identifique al menos dos planes factibles para cruzar el ro. Recuerde que la canoa es el nico medio de transporte, y que no puede viajar vaca.

b) Defina el criterio para evaluar las alternativas.c) Cul es el tiempo mnimo para pasar a los cuatro hasta la otra orilla del ro?

5. En un juego de bisbol, Juan es el lanzador y Jos el bateador. Suponga que Juan puede lanzaruna bola rpida o una curva, al azar. Si Jos adivina que viene una curva, puede mantener unpromedio de bateo de .500. Si no, cuando Juan lanza una curva y Jos se prepara para una bolarpida, su promedio de bateo baja a .200. Por otro lado, si Jos adivina bien una bola rpida,mantiene un promedio de bateo de .300; si no, su promedio de bateo slo es .100.

a) Defina las alternativas para este caso.b) Defina la funcin objetivo para el problema, y describa en qu difiere de la optimizacin co-

mn (maximizacin o minimizacin) de un criterio.

1.2 SOLUCIN DEL MODELO DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES

En la investigacin de operaciones no se tiene una sola tcnica general con la que se resuel-van todos los modelos matemticos que surgen en la prctica. En lugar de ello, la clase y lacomplejidad del modelo matemtico determina la naturaleza del mtodo de solucin. Porejemplo, en la seccin 1.1, la solucin del problema de los boletos requiere una clasificacinsencilla de las alternativas, basada en el precio de compra total, mientras que la solucin delproblema del rectngulo usa clculo diferencial para determinar el rea mxima.

La tcnica ms importante de investigacin de operaciones es la programacin lineal.Se disea para modelos con funciones objetivo y restricciones estrictamente lineales. Hayotras tcnicas, como la programacin entera, en la que las variables toman valores enteros; laprogramacin dinmica, en la que el modelo original se puede descomponer en subproble-mas ms pequeos; la programacin de red, en la que el problema se puede modelar comouna red, y la programacin no lineal, en la que las funciones del modelo son no lineales. Lastcnicas mencionadas no son ms que una lista parcial de la gran cantidad de herramientas dis-ponibles en la investigacin de operaciones.

Una peculiaridad de la mayor parte de las tcnicas de investigacin de operaciones esque en general las soluciones no se obtienen en formas cerradas, es decir, parecidas a frmu-las. En lugar de ello, se determinan mediante algoritmos. Un algoritmo proporciona reglas fi-jas de cmputo que se aplican en forma repetitiva al problema, y cada repeticin (llamadaiteracin) obtiene una solucin cada vez ms cercana a la ptima. Como los clculos asocia-dos con cada iteracin suelen ser tediosos y voluminosos, es necesario ejecutar esos algorit-mos en una computadora.

Algunos modelos matemticos pueden ser tan complicados que es imposible resolverloscon cualesquiera de los algoritmos disponibles de optimizacin. En esos casos se podr necesi-tar abandonar la bsqueda de la solucin ptima para slo buscar una solucin buena usandoheursticas o reglas simples.

1.4 El arte del modelado 5

Modelo

Mundo real

Mundo real supuesto

FIGURA 1.1

Niveles de abstraccin en eldesarrollo de un modelo

1.3 MODELOS DE COLAS Y SIMULACIN

Las colas o lneas de espera, y la simulacin, tratan de estudiar las lneas de espera. No sontcnicas de optimizacin; ms bien determinan medidas de eficiencia de las lneas de espera,como pueden ser el tiempo promedio de espera en la cola, tiempo promedio para el servicio yla utilizacin de las instalaciones de servicio.

Los modelos de colas usan a su vez modelos de probabilidad y estocsticos para anali-zar las lneas de espera, y la simulacin estima las medidas de eficiencia al imitar el compor-tamiento del sistema en la realidad. En cierto modo, se puede considerar que la simulacin escasi lo mejor para observar un sistema real. La diferencia principal entre colas y simulacines que los modelos de colas slo son matemticos, y en consecuencia, estn sujetos a hipte-sis especficas que limitan el alcance de la aplicacin. Por otro lado, la simulacin es flexibley con ella se puede analizar prcticamente cualquier caso de colas.

El uso de la simulacin no carece de inconvenientes. El proceso de desarrollar modelos desimulacin es costoso, tanto en tiempo como en recursos. Adems, la ejecucin de los modelosde simulacin suele ser lenta, aun con la computadora ms rpida.

1.4 EL ARTE DEL MODELADO

Los modelos ilustrativos que se desarrollaron en la seccin 1.1 son representaciones exactas de los casos reales, porque no se usan aproximaciones. Esto es raro en la investigacin de ope-raciones, porque la mayor parte de las aplicaciones suelen implicar diversos grados de aproxi-macin. La figura 1.1 ilustra los niveles de abstraccin que caracterizan al desarrollo de unmodelo en investigacin de operaciones. El mundo real supuesto se abstrae del caso real, con-centrndolo en las variables principales que controlan el comportamiento del sistema real. Elmodelo, como es una abstraccin del mundo real supuesto, expresa en una forma adecuada lasfunciones matemticas que representan el comportamiento del sistema supuesto.

Para ilustrar los niveles de abstraccin en el modelado, veamos el caso de la Tyko Manu-facturing, que produce una variedad de recipientes de plstico. Cuando se emite una orden deproduccin al departamento de produccin, se adquieren las materias primas necesarias en losalmacenes de la empresa, o se compran a proveedores externos. Una vez terminado un lote deproduccin, el departamento de ventas se hace cargo de distribuir el producto entre los consu-midores.

6 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones?

Una pregunta lgica al analizar el caso de Tyko es la determinacin del tamao de unlote de produccin. Cmo se puede representar este caso en un modelo?

Al considerar el sistema en general, se ve que algunas variables influyen en forma di-recta sobre el nivel de produccin, entre las que estn las de la siguiente lista (parcial), clasifi-cada por departamentos.

1. Departamento de produccin: Capacidad de produccin expresada en funcin de lashoras mquina y mano de obra disponibles, inventario en proceso y normas de controlde calidad.

2. Departamento de materiales: Existencia disponible de materias primas, programasde entrega de sus proveedores y limitaciones de almacenamiento.

3. Departamento de ventas: Pronstico de ventas, capacidad de las instalaciones de dis-tribucin, eficacia de la campaa publicitaria y efecto de la competencia.

Cada una de esas variables afecta el nivel de produccin en Tyko. Sin embargo, es realmentedifcil establecer relaciones funcionales explcitas entre ellas y el nivel de produccin.

Un primer nivel de abstraccin requiere la definicin de las fronteras del mundo realsupuesto. Pensando un poco, se puede aproximar el sistema real mediante dos variables do-minantes:

1. Tasa de produccin.2. Tasa de consumo.

La determinacin de la tasa de produccin implica variables como la capacidad de produc-cin, las normas de control de calidad y la disponibilidad de las materias primas. La tasa deconsumo est determinada por las variables asociadas al departamento de ventas. En esencia,se logra la simplificacin del mundo real al mundo supuesto agrupando varias variables delmundo real en una sola variable para el mundo real supuesto.

Ahora es ms fcil abstraer un modelo del mundo real supuesto. A partir de las tasas deproduccin y de consumo se pueden establecer medidas de exceso o carencia de inventario.El modelo abstrado se puede definir de modo que equilibre los costos contrapuestos de exce-so y de carencia de inventario; es decir, que minimice el costo total del inventario.

1.5 MS QUE SLO MATEMTICAS

Debido a la naturaleza matemtica de los modelos de investigacin de operaciones, hay unatendencia a pensar que un estudio de investigacin de operaciones siempre tiene en su raz alanlisis matemtico. Aunque las matemticas son esenciales en la investigacin de operacio-nes, no debe uno recurrir de inmediato a los modelos matemticos, sino hasta despus de ha-ber investigado mtodos ms sencillos. En algunos casos se podr encontrar una solucin desentido comn mediante observaciones sencillas. En realidad, como el elemento humanoafecta en forma invariable la mayor parte de los problemas de decisiones, podra ser clave unestudio de la psicologa de las personas para resolver el problema. A continuacin describire-mos tres ejemplos que respaldan este argumento.

1. Al atender quejas sobre un servicio lento de elevadores en un edificio de oficinasgrande, se percibi al principio que la situacin era un problema de lnea de espera, que po-

1.5 Ms que slo matemticas 7

dra requerir el uso de anlisis matemticos de colas o de simulacin. Sin embargo, despusde estudiar el comportamiento de las personas que se quejaban, el psiclogo del equipo de in-vestigacin de operaciones sugiri instalar espejos de cuerpo entero en la entrada de los ele-vadores. Como por milagro, desaparecieron las quejas, porque se mantuvo ocupada a la genteexaminndose a s misma y a los dems mientras esperaban al elevador.

2. En un estudio del registro en las instalaciones en un gran aeropuerto ingls, un equi-po de consultores de Estados Unidos y Canad aplicaron la teora de colas para investigar yanalizar la situacin. Parte de la solucin recomend usar letreros bien ubicados, si la salidade los pasajeros fuera en los prximos 20 minutos, pasaran a la cabeza de la cola y pidieranservicio de inmediato. La solucin no tuvo xito porque los pasajeros, al ser ingleses en sumayora, estaban condicionados a un comportamiento muy estricto en las colas y en conse-cuencia se rehusaban a pasar frente a otros que esperaban en la fila.

3. En una fundidora de acero, primero se producen lingotes a partir del mineral, que seusan a continuacin para producir diversas clases de barras y perfiles de acero. El gerente dela instalacin not que haba una gran demora entre el momento en que se producan los lin-gotes y cuando eran transferidos a la siguiente fase (donde se fabrican los productos finales).En el caso ideal, la siguiente fase debera comenzar tan pronto como los lingotes salen de loshornos, para reducir los costos de recalentamiento. Al principio se percibi que el problemaera de un caso de balanceo de lneas de produccin, que se deba resolver reduciendo la capa-cidad de produccin de los hornos, o aumentando la capacidad del siguiente proceso. Sin em-bargo, como parte de la comprensin del problema, el equipo de investigacin de operacioneselabor tablas sencillas para resumir la produccin de los hornos durante los tres turnos delda, y descubrieron que, aun cuando el tercer turno comenzaba a las 11:00 P.M., la mayor par-te de la produccin sala entre las 2:00 y las 7:00 A.M. Investigando ms a fondo se vio que losoperadores del tercer turno preferan tener prolongados descansos al comenzar el turno, paradespus compensar, durante las horas de la madrugada, la produccin perdida. El problema seresolvi nivelando la produccin de los lingotes en el turno.

De las ilustraciones anteriores se pueden sacar tres conclusiones:

1. Antes de embarcarse en un modelado matemtico complicado, el equipo de investiga-cin de operaciones debe aplazar la posibilidad de usar ideas agresivas para revolver la si-tuacin. La solucin del problema del elevador con la instalacin de espejos tiene ms base en elestudio del comportamiento humano que en el modelado matemtico. Tambin es ms sencillo ymenos costoso que cualquier otra recomendacin que se pudiera haber obtenido con un modelomatemtico. Quiz sea sta la razn por la que los equipos de investigacin de operaciones sue-len incluir los conocimientos de gente de fuera, procedente de otros campos no matemticos(en el caso del problema del elevador, la psicologa). Esto fue reconocido e implementado por elprimer equipo ingls de investigacin de operaciones durante la Segunda Guerra Mundial.

2. Las soluciones tienen su base en las personas, y no en la tecnologa. Toda solucinque no tenga en cuenta al comportamiento humano, probablemente fallar. Aun cuando la so-lucin matemtica del problema del aeropuerto britnico pudiera haber sido razonable, el hecho de que el equipo de consultores no percibi las diferencias culturales entre EstadosUnidos e Inglaterra (los estadounidenses y canadienses tienden a ser menos formales) produ-jo una recomendacin ineficaz.

3. Nunca debera iniciarse un estudio de investigacin de operaciones si se tiene el pre-juicio de usar determinado modelo matemtico, antes de poder justificar su uso. Por ejemplo,

8 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones?

1Decidir acerca de determinado modelo matemtico antes de usarlo es como poner la carroza frente al ca-ballo, y me recuerda la historia de un viajero frecuente de aerolnea, paranoico aterrado por la posibilidadde una bomba terrorista a bordo. Calcul la probabilidad de ocurrencia de ese evento que, aunque fue muypequea, no lo fue lo suficiente como para calmar su ansiedad. En adelante siempre llevaba una bomba alavin, dentro de su portafolio, porque de acuerdo con sus clculos, la posibilidad de tener dos bombas a bor-do era prcticamente cero!

como la programacin lineal es una tcnica efectiva, hay una tendencia a aplicarla como laadecuada para modelar cualquier situacin. Ese proceder suele conducir hacia un modelomatemtico muy apartado de la situacin real. En consecuencia, es imperativo analizar pri-mero los datos disponibles, con las tcnicas ms sencillas posibles (por ejemplo, promedios,tablas e histogramas), con objeto de determinar la fuente del problema. Una vez definido elproblema, se puede tomar una decisin acerca de la herramienta ms adecuada para llegar a lasolucin.1 En el problema de la fundidora, todo lo que se necesit para rectificar la situacinfue elaborar tablas sencillas.

1.6 FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Un estudio de investigacin de operaciones se basa en la labor de equipo, donde los analistas deinvestigacin de operaciones y el cliente trabajan hombro con hombro. Los analistas, con susconocimientos de modelado, deben complementarse con la experiencia y la cooperacin delcliente para quien hacen el estudio.

Como herramienta de toma de decisiones, la investigacin de operaciones es una cienciay un arte. Es una ciencia por las tcnicas matemticas que presenta, y es un arte porque el xitode todas las fases que anteceden y siguen a la resolucin del modelo matemtico depende mu-cho de la creatividad y la experiencia del equipo de investigacin de operaciones. Willemain(1994) aconseja que la prctica efectiva [de la investigacin de operaciones] requiere algoms que la competencia analtica. Tambin requiere, entre otros atributos, el juicio (por ejem-plo, cundo y cmo usar determinada tcnica) y la destreza tcnica en comunicaciones y en su-pervivencia organizacional.

Es difcil recetar cursos especficos de accin (parecidos a los que establece la teoraprecisa de los modelos matemticos) para esos factores intangibles. Slo se pueden ofrecer li-neamientos generales para implementar la investigacin de operaciones en la prctica.

Las fases principales de la implementacin de la investigacin de operaciones en laprctica comprenden:

1. La definicin del problema.2. La construccin del modelo.3. La solucin del modelo.4. La validacin del modelo.5. La implementacin de la solucin.

De las cinco fases, slo la nmero tres de la solucin del modelo es la que est mejor definiday es la ms fcil de implementar en un estudio de investigacin de operaciones, porque mane-ja principalmente modelos matemticos precisos. La implementacin de las dems fases esms un arte que una teora.

1.7 Acerca de este libro 9

La definicin del problema implica definir el alcance del problema que se investiga. Esuna funcin que se debe hacer entre todo el equipo de investigacin de operaciones. Su resulta-do final ser identificar tres elementos principales del problema de decisin, que son: 1) la des-cripcin de las alternativas de decisin; 2) la determinacin del objetivo del estudio, y 3) laespecificacin de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.

La construccin del modelo implica traducir la definicin del problema a relacionesmatemticas. Si el modelo que resulte se ajusta a uno de los modelos matemticos normales,como puede ser la programacin lineal, se puede llegar a una solucin empleando los algorit-mos disponibles. En forma alternativa, si las relaciones matemticas son demasiado complejascomo para permitir el clculo de una solucin analtica, puede ser que el equipo de investiga-cin de operaciones opte por simplificar el modelo y usar un mtodo heurstico, o que el equi-po pueda recurrir al uso de una simulacin, si es aproximada. En algunos casos se podrnecesitar una combinacin de modelos matemticos, de simulacin y heursticos para resolverel problema de decisiones.

La solucin del modelo es, con mucho, la fase ms sencilla de todas las de la investiga-cin de operaciones, porque supone el uso de algoritmos bien definidos de optimizacin. Unaspecto importante de la fase de solucin del modelo es el anlisis de sensibilidad. Tiene quever con la obtencin de informacin adicional sobre el comportamiento de la solucin ptimacuando el modelo sufre ciertos cambios de parmetros. Se necesita en especial el anlisis desensibilidad cuando no se pueden estimar con exactitud los parmetros del modelo. En esoscasos es importante estudiar el comportamiento de la solucin ptima en las proximidades delos parmetros estimados.

La validacin del modelo comprueba si el modelo propuesto hace lo que se quiere quehaga, esto es, predice el modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema que se es-tudia? Al principio, el equipo de investigacin de operaciones se debe convencer que el resul-tado del modelo no incluya sorpresas. En otras palabras, tiene sentido la solucin? Sepueden aceptar intuitivamente los resultados? Desde el lado formal, un mtodo frecuente paracomprobar la validez de un modelo es comparar su resultado con datos histricos. El modeloes vlido si, bajo condiciones de datos semejantes, reproduce el funcionamiento en el pasado.Sin embargo, en general no hay seguridad de que el funcionamiento en el futuro contine re-produciendo los datos del pasado. Tambin, como el modelo se suele basar en un examen cui-dadoso de los datos histricos, la comparacin propuesta debera ser favorable. Si el modelopropuesto representa un sistema nuevo, no existente, no habr datos histricos para las com-paraciones. En esos casos se podr recurrir a una simulacin, como herramienta independien-te para verificar los resultados del modelo matemtico.

La implementacin de la solucin de un modelo validado implica la traduccin de losresultados a instrucciones de operacin, emitidas en forma comprensible para las personasque administrarn al sistema recomendado. La carga de esta tarea la lleva principalmente elequipo de investigacin de operaciones.

1.7 ACERCA DE ESTE LIBRO

Morris (1967) dijo que la enseanza de modelos no equivale a la enseanza del modelado.He tomado nota de esta importante afirmacin al preparar la sptima edicin. Se ha hecho unesfuerzo consciente para presentar el arte del modelado en investigacin de operaciones. Los

10 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones?

modelos realistas que se presentan en el libro, los numerosos problemas (en palabras) de apli-cacin y los casos detallados que se presentan al final de los captulos permiten tener una pers-pectiva del anlisis de casos en la prctica. Debido a la importancia de los clculos en lainvestigacin de operaciones, el libro contiene muchas herramientas para llevar a cabo esta ta-rea, que van desde tutoriales hasta paquetes de programas comerciales y hojas de clculo deExcel.

El autor cree que un primer curso de investigacin de operaciones debe proporcionar alalumno una buena base de las matemticas de esta disciplina, as como una idea de las aplica-ciones y clculos en el campo. De este modo se proporciona a los usuarios de investigacinde operaciones la clase de confianza que faltara, normalmente, si el adiestramiento principalse concentrara slo en los aspectos filosficos y artsticos de la investigacin de operaciones.Una vez establecido un conocimiento fundamental de las bases matemticas, el lector podraumentar sus posibilidades en el lado artstico de modelado, revisando los casos que se ven endiversas revistas y publicaciones. El autor recomienda en particular Interfaces (publicada porINFORMS) como una rica fuente de aplicaciones interesantes de la investigacin de opera-ciones.

REFERENCIAS SELECCIONADAS

Altier, W. J., The Thinking Managers Toolbox: Effective Processes for Problem Solving and DecisionMaking, Oxford University Press, Nueva York, 1999.

Checkland, P., Systems Thinking, System Practice, Wiley, Nueva York, 1999.Evans, J., Creative Thinking in the Decision and Management Sciences, South-Western Publishing,

Cincinnati, Ohio, 1991.Gass, S., Model World: Danger, Beware the User as a Modeler, Interfaces, vol. 20, nm. 3, pgs.

60-64, 1990.Morris, W., On the Art of Modeling, Management Science, vol. 13, pgs. B707-B717, 1967.Paulos, J. A., Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its Consequences, Hill and Wang, Nueva York,

1988.Taha, H., Guide to Optimization Models, captulo 11.3 en Maynards Industrial Engineering Hand-

book, 5a. ed., Kjel Zandon, editor, McGraw-Hill, Nueva York, 2001, pgs. 11.45-11.65.Willemain, T. R., Insights on Modeling from a Dozen Experts, Operations Research, vol. 42, nm. 2;

pgs. 213-222, 1994.

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C A P T U L O 2

Introduccin a la programacinlineal

La programacin lineal se aplica a modelos de optimizacin en los que las funciones objetivo yrestriccin son estrictamente lineales. La tcnica se aplica en una amplia variedad de casos, enlos campos de agricultura, industria, transporte, economa, salud, ciencias sociales y de la con-ducta, y militar. Tambin produce algoritmos eficientes de cmputo para problemas con milesde restricciones y variables. En realidad, debido a su tremenda eficiencia de clculo, la progra-macin lineal forma la columna vertebral de los algoritmos de solucin para otros modelos deinvestigacin de operaciones, como las programaciones entera, estocstica y no lineal.

Este captulo comienza con el caso de un modelo de dos variables, y presenta su solu-cin grfica. Esta solucin grfica permite tener una perspectiva del desarrollo del mtodosmplex, tcnica algebraica general (vase el captulo 3). Tambin presenta ideas concretaspara el desarrollo y la interpretacin de anlisis de sensibilidad en programacin lineal. El ca-ptulo termina con la formulacin y la interpretacin de la solucin de varias aplicaciones rea-listas.

2.1 MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL CON DOS VARIABLES

Esta seccin explicar la solucin grfica de una programacin lineal con dos variables. Aunqueen la prctica casi no existen problemas con dos variables, la presentacin aportar ideas con-cretas para el desarrollo del algoritmo de solucin general que se presentar en el captulo 3.

12 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

Ejemplo 2.1-1 (La compaa Reddy Mikks)

Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente pro-porciona los datos bsicos del problema.

Ton de materia prima de

Pinturas para Pinturas para Disponibilidad diariaexteriores interiores mxima (ton)

Materia prima, M1 6 4 24Materia prima, M2 1 2 6Utilidad por ton (miles de $) 5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no pue-de ser mayor que 1 tonelada ms que la de pintura para exteriores. Tambin, que la demandamxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.

Reddy Mikks desea determinar la mezcla ptima (la mejor) de productos para exterioresy para interiores que maximice la utilidad diaria total.

El modelo de programacin lineal, como en cualquier modelo de investigacin de opera-ciones, tiene tres componentes bsicos.

1. Las variables de decisin que se trata de determinar.2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.3. Las restricciones que se deben satisfacer.

La definicin correcta de las variables de decisin es un primer paso esencial en el desarrollodel modelo. Una vez hecha, la tarea de construir la funcin objetivo y las restricciones se ha-ce en forma ms directa.

Para el problema de Reddy Mikks, se necesita determinar las cantidades a producir depinturas para exteriores e interiores. As, las variables del modelo se definen como sigue:

x1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exterioresx2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores

Para formar la funcin objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Siz representa la utilidad diaria total (en miles de dlares), el objetivo de la empresa se expresa as:

Maximizar z = 5x1 + 4x2A continuacin se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la

demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue:

Segn los datos del problema,

Uso de la materia prima M1, por da = 6x1 + 4x2 toneladas

Uso de la materia prima M2, por da = 1x1 + 2x2 toneladas

Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respec-tivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue:

aUso de una materia prima

para ambas pinturas b aDisponibilidad mximade materia prima b

2.1 Modelo de programacin lineal con dos variables 13

6x1 + 4x2 24 (Materia prima M1)

x1 + 2x2 6 (Materia prima M2)La primera restriccin de la demanda indica que la diferencia entre la produccin diaria de

pinturas para interiores y exteriores, , no debe ser mayor que 1 tonelada, y eso se tradu-ce en . La segunda restriccin de la demanda estipula que la demanda mximadiaria de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como .

Una restriccin implcita (o que se sobreentiende) es que las variables y no puedenasumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad, , , expresan eserequisito.

El modelo de Reddy Mikks completo es

sujeta a

Cualquier valor de y que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solucinfactible. Por ejemplo, la solucin toneladas diarias y tonelada diaria es facti-ble, porque no viola alguna de las restricciones, incluyendo las de no negatividad. Para com-probar este resultado se sustituye en el lado izquierdo de cada restriccin.Por ejemplo, en la primera restriccin, , que es menorque 24 en el lado derecho. El valor de la funcin objetivo correspondiente a la solucin

es (miles de dlares).Desde el punto de vista de todo el modelo, nos interesa determinar la solucin ptima

factible que produzca la utilidad total mxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restric-ciones. No se acepta enumerar las soluciones factibles, porque el modelo tiene una cantidadinfinita de ellas. En su lugar, se necesita un procedimiento sistemtico que ubique con eficien-cia la solucin ptima. El mtodo grfico de la seccin 2.3, y su generalizacin algebraica en el captulo 3, resuelven este punto.

En el ejemplo anterior, las funciones objetivo y restricciones son lineales, todas. La linea-lidad implica que la programacin lineal debe satisfacer dos propiedades: proporcionalidad yaditividad.

1. La proporcionalidad requiere que la contribucin de cada variable de decisin en lafuncin objetivo, y sus requerimientos en las restricciones, sea directamente proporcional alvalor de la variable. Por ejemplo, en el modelo de Reddy Mikks, las cantidades 5x1 y 4x2 ex-presan las utilidades por producir x1 y x2 toneladas de pintura para exteriores y para interiores,respectivamente, y las utilidades unitarias por tonelada son 5 y 4, que definen las constantes deproporcionalidad. Si, por otra parte, Reddy Mikks ofrece alguna clase de descuentos por canti-dad cuando las ventas son mayores que ciertas cantidades, la utilidad ya no ser proporcional alas cantidades producidas x1 y x2.

z = 5 * 3 + 4 * 1 = 191x1 = 3, x2 = 12

6x1 + 4x2 = 6 * 3 + 4 * 1 = 221x1 = 3, x2 = 12

x2 = 1x1 = 3x2x1

x1, x2 0

-x1 + 2x2 2

-x1 + 2x2 1

x1 + 2x2 6

6x1 + 4x2 24

Maximizar z = 5x1 + 4x2

x2 0x1 0x2x1

x2 2x2 - x1 1

x2 - x1

14 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

2. La aditividad estipula que la contribucin total de todas las variables en la funcinobjetivo y sus requerimientos en las restricciones, sean la suma directa de las contribuciones orequerimientos individuales de cada variable. En el modelo de Reddy Mikks, la utilidad totales igual a la suma de dos componentes individuales de utilidad. Sin embargo, si los dos pro-ductos compiten por la misma parte de mercado en forma tal que un aumento de ventas de unoafecte negativamente al otro, ya no se satisface la propiedad de aditividad.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.1A

1. Para el modelo de Reddy Mikks, defina cada una de las siguientes restricciones y exprsela conuna constante del lado derecho:

a) La demanda diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para exteriores en almenos 1 tonelada.

b) El uso diario de la materia prima M2 es 6 toneladas cuando mucho, y 3 toneladas cuando menos.c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para

exteriores.

d) La cantidad mnima que se debe producir de pinturas para interiores y para exteriores es de 3 toneladas.

e) La proporcin de pintura para interiores entre la produccin total de pinturas para interiores ypara exteriores no debe ser mayor que 0.5.

2. Determine la mejor solucin factible entre las siguientes soluciones (factibles y no factibles) delmodelo de Reddy Mikks:

a)b)c)d)e)

3. Para la solucin factible x1 = 2, x2 = 2, del modelo de Reddy Mikks, determinea) La cantidad no usada de la materia prima M1.b) La cantidad no usada de la materia prima M2.

4. Suponga que Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un mayorista, con un descuento porvolumen. La utilidad por tonelada es $5000 si el mayorista no compra ms de 2 toneladas diarias, yde $4500 en los dems casos. Se puede traducir esta situacin a un modelo de programacin lineal?

2.2 SOLUCIN GRFICA DE LA PROGRAMACIN LINEAL

El procedimiento de solucin grfica comprende dos pasos:

1. Determinacin del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles delmodelo.

2. Determinacin de la solucin ptima, entre todos los puntos factibles del espacio de so-luciones.

Usaremos dos ejemplos en el procedimiento, para mostrar cmo se manejan las funcio-nes objetivo de maximizacin y de minimizacin.

x1 = 2, x2 = -1x1 = 2, x2 = 1x1 = 3, x2 = 1.5x1 = 2, x2 = 2x1 = 1, x2 = 4

2.2 Solucin grfica de la programacin lineal 15

5

1

16x1 4x2 24

Restricciones:

2x1 2x2 6

3x1 x2 1

4x2 2

5x1 0

6x2 03

2

4

6

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3

D

Espacio desoluciones

E

F

A B

C

4 5 6x1

x2 FIGURA 2.1

Espacio factible del modelo de Reddy Mikks

2.2.1 Solucin de un modelo de maximizacin

Ejemplo 2.2-1

En este ejemplo se resolver el modelo de Reddy Mikks, de la seccin 2.1.

Paso 1. Determinacin del espacio de soluciones factibles:Primero, se tendrn en cuenta las restricciones de no negatividad y .En la figura 2.1, el eje horizontal x1 y el eje vertical x2 representan las variablespintura para exteriores y pintura para interiores, respectivamente. En consecuencia,las restricciones de no negatividad limitan el rea del espacio de soluciones al pri-mer cuadrante: arriba del eje x1 y a la derecha del eje x2.

Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones, primero se sustituye cada de-sigualdad con una ecuacin, y a continuacin se grafica la recta resultante, ubicandodos puntos diferentes de ella. Por ejemplo, despus de sustituir 6x1 4x2 24 con larecta 6x1 4x2 24, se pueden determinar dos puntos distintos, primero igualan-do x1 0 para obtener y despus igualando x2 0 para obtener

. De este modo, la recta que pasa por los dos puntos (0, 6) y (4, 0) es la que se identifica con (1) en la figura 2.1.

A continuacin consideraremos el efecto de la desigualdad. Todo lo que hace ladesigualdad es dividir al plano (x1, x2) en dos semiespacios que en este caso son semi-planos, uno a cada lado de la lnea graficada. Slo una de esas dos mitades satisface ladesigualdad. Para determinar cul es el lado correcto, se elige cualquier punto de refe-rencia en el primer cuadrante. Si satisface la desigualdad, el lado en el que est es elsemiplano factible. En caso contrario, quiere decir que es el otro lado. Desde el punto

x1 =246 = 4

x2 =244 = 6

x2 0x1 0

16 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

1

2

3

2

1

0 1 2 3 4x1

x2

DE

F

(Maximizar z 5x1 4x2)

Incre

mento

de z

z 10

z 15

z 21

x1 2x2 6

x1 3 tonptimo:x2 1.5 tonz $21,000

A B

C

6x1 4x2 24

FIGURA 2.2

Solucin ptima del modelode Reddy Mikks

de vista de los clculos, es cmodo seleccionar a (0, 0) como el punto de referencia, amenos que la recta pase por el origen; si as fuera, se debera elegir otro punto.

El uso del punto de referencia (0, 0) se ilustra con la restriccin .Como es menor que 24, el semiplano que representa la desi-gualdad incluye al origen (lo que se indica con la flecha en la figura 2.1). Para de-mostrar el uso de otros puntos de referencia, investigaremos (6, 0). En este caso

, que es mayor que el lado derecho de la primera restriccin, yeso indica que el lado en el que est (6, 0) no es factible para la desigualdad. Este re-sultado es consistente con el que se obtuvo usando (0, 0) como punto de referencia.

Con la aplicacin del procedimiento del punto de referencia a todas las restric-ciones del modelo se obtiene el espacio factible que se indica en la figura 2.1.

Paso 2. Determinacin de la solucin ptima:El espacio factible de la figura 2.1 est delimitado por los segmentos de recta queunen a los vrtices A, B, C, D, E y F. Todo punto dentro o en la frontera del espacioABCDEF es factible, porque satisface todas las restricciones. Ya que el espacio fac-tible ABCDEF est formado por una cantidad infinita de puntos, es obvio que senecesita un procedimiento sistemtico para identificar la solucin ptima.

Para identificar la solucin ptima se requiere identificar la direccin en la queaumenta la funcin utilidad (recurdese que se est maximizando a z).Para hacerlo se asignan valores arbitrarios crecientes a z. Por ejemplo, si y

equivaldra a graficar las dos rectas y . Enconsecuencia, la direccin de aumento en z es la que se ve en la figura 2.2. La solu-cin ptima se encuentra en C, que es el punto, en el espacio de soluciones, ms alldel cual cualquier aumento en z saca a uno de las fronteras de ABCDEF.

5x1 + 4x2 = 155x1 + 4x2 = 10z = 15z = 10

z = 5x1 + 4x2

6 * 6 + 4 * 0 = 36

6 * 0 + 4 * 0 = 06x1 + 4x2 24

2.2 Solucin grfica de la programacin lineal 17

Los valores de x1 y x2 correspondientes al punto ptimo C se calculan resolvien-do las ecuaciones asociadas a las rectas (1) y (2), esto es, resolviendo

La solucin es y y en ese caso . Esoequivale a una mezcla de productos de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5toneladas de pintura para interiores. La utilidad diaria correspondiente es $21,000.

No es por accidente que la solucin ptima se encuentre en un punto de esqui-na del espacio de soluciones, donde se cruzan dos lneas. En realidad, si se cambiala pendiente de la funcin utilidad z (cambiando sus coeficientes), se ver que la so-lucin ptima siempre se encuentra en esos puntos de esquina. Esta observacin esclave para desarrollar el algoritmo smplex general que se presenta en el captulo 3.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.2A

1. Determine el espacio factible para cada una de las siguientes restricciones independientes, cuan-do x1, x2 0.

a)b)c)d)e)

2. Identifique la direccin de aumento de z, en cada uno de los casos siguientes:a) Maximizar z = x1 x2b) Maximizar z = 5x1 6x2c) Maximizar z = x1 2x2d) Maximizar z = 3x1 x2

3. Determine el espacio de soluciones y la solucin ptima del modelo de Reddy Mikks para cadauno de los siguientes cambios independientes:

a) La demanda diaria mxima de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente 1 tonelada ms que la de pintura

para exteriores.

d) La disponibilidad diaria de la materia prima M1 es cuando menos 24 toneladas.e) La disponibilidad diaria de la materia prima M1 es cuando menos 24 toneladas, y la demanda

diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para exteriores en al menos 1 tonelada.

4. Para el modelo original de Reddy Mikks, identifique el o los puntos de esquina que defina(n) lasolucin ptima para cada una de las siguientes funciones objetivo:

a)b)c)En qu difiere la solucin de c), de las de a) y b)?

z = 6x1 + 4x2z = x1 + 3x2z = 3x1 + x2

-x1 + x2 0x1 - x2 02x1 - 3x2 12x1 - 2x2 5-3x1 + x2 6

z = 5 * 3 + 4 * 1.5 = 21x2 = 1.5x1 = 3

x1 + 2x2 = 6

6x1 + 4x2 = 24

18 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

5. Juan acaba de entrar a la universidad, y se da cuenta que si slo estudia y no juega, su personali-dad ser gris. Desea repartir su tiempo disponible, aproximadamente de 10 horas por da, entrejuego y estudio. Estima que el juego es doblemente divertido que el estudio. Tambin desea es-tudiar cuando menos un tiempo igual al que pasa jugando. Sin embargo, se da cuenta que si debehacer todas sus tareas escolares, no puede jugar ms de 4 horas diarias. Cmo debe repartirJuan su tiempo, para maximizar su placer de estudiar y jugar?

2.2.2 Solucin de un modelo de minimizacin

Ejemplo 2.2-2 (Problema de la dieta)

En Granjas Modelo se usa diariamente un mnimo de 800 libras (lb) de un alimento especial,que es una mezcla de maz y soya, con las composiciones siguientes:

lb por lb de alimento

Alimento Protenas Fibras Costo ($/lb)

Maz 0.09 0.02 0.30Soya 0.60 0.06 0.90

Las necesidades dietticas del alimento especial son un mnimo de 30% de protenas y unmximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento queproduzcan un costo diario mnimo.

Como la mezcla de alimentos consiste en maz y soya, las variables de decisin del mo-delo se definen como sigue:

x1 = lb de maz en la mezcla diaria

x2 = lb de soya en la mezcla diaria

La funcin objetivo trata de minimizar el costo (en dlares) diario total de la mezcla dealimentos, y en consecuencia se expresa como sigue:

minimizar z = 0.3x1 0.9x2Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos

dietticos. Como Granjas Modelo necesita un mnimo de 800 lb diarias de alimento, la res-triccin correspondiente se puede expresar como sigue:

x1 x2 800

En cuanto a la restriccin diettica de necesidades de protena, la cantidad de protena quecontienen x1 lb de maz y x2 lb de soya es (0.09x1 0.6x2) lb. Esta cantidad debe ser cuandomenos igual al 30% de la mezcla total de alimentos, (x1 x2) lb; esto es

0.09x1 0.6x2 0.3(x1 x2)

De manera similar, la restriccin de la fibra se define como

0.02x1 0.06x2 0.05(x1 x2)

Las restricciones se simplifican agrupando todos los trminos en x1 y x2 y pasndolos allado izquierdo de cada desigualdad, para que slo quede una constante en el lado derecho.As, el modelo completo viene a ser

minimizar z = 0.3x1 0.9x2

2.2 Solucin grfica de la programacin lineal 19

1500

1000

500

0 500 1000 1500x1

x2

x1 470.6 lbptimo:

0.21x 1

0.3

x 2

00.0

3x1

0

.01x

2

0

Minimizar z 0.3x1 0.9x2

x1

x2

800

x2 329.4 lbz $437.64

FIGURA 2.3

Solucin grfica del modelo de la dieta

sujeta a

La figura 2.3 muestra la solucin grfica del modelo. A diferencia del modelo de ReddyMikks (Ejemplo 2.2-1), la segunda y la tercera restricciones pasan por el origen. Para graficarlas rectas correspondientes slo se necesita un punto adicional, que se puede obtener asignan-do un valor a una de las variables y despejando la otra. Por ejemplo, en la segunda restriccinx1 200 produce 0.21 200 0.3x2 0, es decir, x2 140. Eso quiere decir que la recta0.21x1 0.3x2 0 pasa por (0, 0) y (200, 140). Tambin obsrvese que no se puede usar (0, 0)como punto de referencia en las restricciones 2 y 3, porque ambas rectas pasan por el origen.En lugar de ellos se puede usar cualquier otro punto, por ejemplo (100, 0) o (0, 100) para esepropsito.

Ya que en este modelo se busca minimizar la funcin objetivo, necesitamos reducir todolo posible el valor de z, en la direccin que muestra la figura 2.3. La solucin ptima es la in-terseccin de las dos rectas, x1 x2 800 y 0.21x1 0.3x2 0; as se obtienen x1 470.6 lby x2 329.4 lb. El costo mnimo correspondiente, de la mezcla de alimentos, es z 0.3 470.6 + 0.9 329.4 $437.64 diarios.

x1, x2 0

0.03x1 - 0.01x2 00.21x1 - 0.30x2 0

x1 + x2 800

20 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.2B

1. Identifique la direccin de decrecimiento de z en cada uno de los siguientes casos:a) Minimizar z 4x1 2x2b) Minimizar z 3x1 x2c) Minimizar z x1 2x2

2. Para el modelo de la dieta, suponga que la disponibilidad diaria del maz se limita a 450 lb. Iden-tifique el nuevo espacio de soluciones y determine la nueva solucin ptima.

3. Para el modelo de la dieta, qu clase de solucin ptima producira el modelo si la mezcla dealimentos no debe exceder de 800 lb por da? Tiene sentido esa solucin?

4. Juan debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos, y al mis-mo tiempo asistir a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al menudeo: en latienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas por semana, y en la tianda 2 le permiten trabajar entre 6y 10 horas. Ambas tiendas le pagan el mismo sueldo por hora. En consecuencia, Juan quiere basarsu decisin acerca de cuntas horas trabajar en cada tienda en un criterio distinto: el factor de ten-sin en el trabajo. Con base en las entrevistas con otros empleados, Juan estima que en una escalade 1 a 10, los factores de tensin son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Como la tensinaumenta cada hora, supone que la tensin total al final de la semana es proporcional a la cantidadde horas que trabaja en las tiendas. Cuntas horas debera trabajar Juan en cada tienda?

5. OilCo construye una refinera para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y com-bustible para aviones. Las demandas (en barriles/da) de esos productos son 14,000, 30,000, 10,000y 8000, respectivamente. Irn y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuo-tas de produccin que especifica la OPEP (Organizacin de Pases Exportadores de Petrleo) la nue-va refinera puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irn, y el resto de Dubai. OilCo pronosticaque estas cuotas de demanda y de crudo permanecern estables durante los 10 aos siguientes.

Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas deproductos: un barril de crudo de Irn rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barrilde lubricante y 0.15 barril de combustible para avin. Los rendimientos correspondientes delcrudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente.

OilCo necesita determinar la capacidad mnima de la refinera, en barriles de crudo por da.6. Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mnimo de $10,000. Dis-

pone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnologa, con un rendimiento anualpromedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnologa dan ms rendi-miento, son ms arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un mximode 60% del total.

Cul es la cantidad mnima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para al-canzar la meta de inversin?

2.2.3 Solucin grfica con TORA

El diseo del programa TORA le permite usarlo en modo tutorial o en modo automtico (o si lodesea, una combinacin de los dos). Se maneja con mens, y en consecuencia no requiere unmanual del usuario. Sin embargo, para su comodidad, se presenta una introduccin a TORA enel apndice C.

La solucin grfica de problemas de programacin lineal con TORA requiere los pasossiguientes:

1. Seleccione (programacin lineal) del men (menprincipal).

MAIN menu Linear Programming

2.2 Solucin grfica de la programacin lineal 21

FIGURA 2.4

Resultado grfico del modelo de Reddy Mikks obtenido con TORA

2. Especifique el modo de captura (archivo existente o problema nuevo) y el formato decaptura.

3. En problemas nuevos, use la tabla de captura para ingresar los datos.4. Oprima (men resolver).5. Seleccione (resolver grfico) del men

(resolver/modificar).6. Especifique el formato del resultado y a continuacin oprima

(ir a la pantalla de resultados).7. El modelo de programacin lineal se grafica y se resuelve.

La figura 2.4 muestra la solucin grfica del modelo de Reddy Mikks (archivo ch2Tora-ReddyMikks.txt). En la ventana izquierda se ve la programacin lineal algebraica. La ventanaderecha comienza con un primer cuadrante, con ejes x1 y x2 ya con escala adecuada, exacta-mente como hara usted si estuviera graficando en un papel. Puede graficar la programacin li-neal de dos maneras: si hace clic en el rengln Click here to graph LP in one stroke (clic aqupara presentar la grfica de una vez) de la ventana izquierda, toda la programacin lineal se

GoTo Output Screen

SOLVE/MODIFY1Graphical1SolveSolve Menu

22 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

graficar de una vez. O bien, haciendo clic en las restricciones, una por una (en cualquier or-den) y a continuacin otro clic en la funcin objetivo para producir una presentacin animada dela determinacin ptima.

Para tener ms flexibilidad al experimentar con el mdulo grfico de TORA, se pue-de reiniciar toda la grfica haciendo clic en el rengln de restriccin de no negatividad

(todas las xj 0) en la ventana izquierda. Tambin puede modificar la progra-macin lineal del momento haciendo clic en (ver/modificar), resolviendo acontinuacin el nuevo modelo.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.2C

1. Tutorial de TORA. Ingrese la siguiente programacin lineal en TORA y seleccione el modo desolucin grfica para presentar la pantalla correspondiente.

Minimizar z = 3x1 8 x2

sujeta a

A continuacin, en una hoja de papel, trace los ejes x1 y x2 con escalas adecuadas [tambin podrhacer clic en (imprimir grfica) en la parte superior de la ventana derecha para te-ner una hoja ya a escala y lista para usarse]. A continuacin grafique manualmente una restricciny a continuacin haga clic en ella, en la ventana izquierda de la pantalla, para comprobar su res-puesta. Repita lo anterior para cada restriccin, y a continuacin termine el procedimiento conuna grfica de la funcin objetivo. El proceso que se sugiere tiene por objeto ejercitar y reforzarsu comprensin de la solucin grfica de programacin lineal, en cuanto TORA le proporciona re-troalimentacin inmediata.

2. Regrese al modelo de Reddy Mikks (archivo ch2ToraReddyMikks.txt). Use TORA para demos-trar que la solucin ptima de programacin lineal siempre est relacionada con un punto de es-quina del espacio de soluciones. En forma especfica, use la opcin(ver/modificar datos) con las opciones siguientes, para demostrar que los cambios en la pendien-te de la funcin objetivo podran ubicar la solucin ptima en un punto de esquina distinto. Laconclusin de este ejercicio es que los puntos de esquina del espacio de solucin son todo lo quenecesita para determinar la solucin ptima del problema de programacin lineal.a)b)c)d)e)f)

3. Entre al modelo del problema de la dieta (archivo ch2ToraDiet.txt) y cambie la funcin objetivo a

Minimizar z 0.8x1 0.8x2

z = -x1 - x2z = -2x1 + x2z = -x1 + 2x2z = x1 + 3x2z = 5x1 + 4x2z = 5x1 + x2

View/Modify Input Data

Print Graph

x1, x2 0 x2 9 x1 10

3x1 - x2 0 x1 + 2x2 30

2x1 - 3x2 0 x1 + x2 8

View/Modify

all xj>= 0

2.3 Anlisis grfico de sensibilidad 23

Use el mdulo grfico de TORA para demostrar que la solucin ptima est asociada con dospuntos de esquina distintos, y que ambos puntos producen el mismo valor objetivo. En este casose dice que el problema tiene ptimos alternativos. Explique las condiciones que causan esta si-tuacin y demuestre que, de hecho, el problema tiene una cantidad infinita de ptimos alternati-vos; a continuacin deduzca una frmula para determinar todas esas soluciones.

4. Se tiene el siguiente modelo de programacin lineal:

Maximizar z = 5x1 + 4x2sujeta a

En programacin lineal, se dice que una restriccin es redundante si al eliminarla del modelo nocambia el espacio de soluciones. Use la funcin grfica de TORA para identificar las restriccionesredundantes, y a continuacin demuestre que su eliminacin no afecta al espacio de soluciones nia la solucin ptima.

5. En el modelo de Reddy Mikks, use TORA para demostrar que la eliminacin de las restriccionesde materia prima (restricciones 1 y 2) dan como resultado un espacio de soluciones no acotado.Qu se puede decir en este caso, acerca de la solucin ptima del modelo?

6. En el modelo de Reddy Mikks, suponga que se le aade la siguiente restriccin:

Use TORA para demostrar que el modelo resultante tiene restricciones conflictivas que no sepueden satisfacer al mismo tiempo, y en consecuencia, no tiene solucin factible.

2.3 ANLISIS GRFICO DE SENSIBILIDAD

Un modelo de programacin lineal es una foto instantnea de una situacin real en la que losparmetros del modelo (coeficientes de la funcin objetivo y de las restricciones) asumen va-lores estticos. Para aumentar la aplicacin de la programacin lineal en la prctica, se necesi-ta agregar una dimensin dinmica que investigue el impacto que tiene hacer cambios en losparmetros del modelo (coeficientes de la funcin objetivo y de las restricciones) sobre la so-lucin ptima. A este proceso se le llama anlisis de sensibilidad, porque estudia la sensibili-dad de la solucin ptima respecto a los cambios que se hagan en el modelo.

En esta seccin se investigarn dos casos de anlisis de sensibilidad basados en la solu-cin grfica de la programacin lineal: 1) cambios en los coeficientes de la funcin objetivo y2) cambios en el lado derecho de las restricciones. Aunque la presentacin es elemental y sualcance es limitado, proporciona perspectivas fundamentales del desarrollo del anlisis desensibilidad. En el captulo 4 se describe una presentacin completa del tema.

x2 3

x1, x2 0

x2 2

-x1 + x2 1

x1 + 2x2 6

x1 + x2 5

6x1 + 3x2 22.5

6x1 + 4x2 24

24 Captulo 2 Introduccin a la programacin lineal

2.3.1 Cambios en los coeficientes de la funcin objetivo

La funcin objetivo en general en un problema de programacin lineal con dos variables sepuede escribir como sigue:

Maximizar o minimizar z c1x1 c2x2Los cambios de los coeficientes c1 y c2 harn cambiar la pendiente de z y en consecuencia, posi-blemente, el punto de esquina ptimo (vase una ilustracin en la figura 2.1). Sin embargo, hayun intervalo de variacin, tanto para c1 como para c2, dentro del cual el ptimo del momentopermanece sin cambio. En forma especfica nos interesa determinar el intervalo de optimalidadde la relacin donde se mantenga sin cambio la solucin ptima del momento. En elsiguiente ejemplo se ilustra el procedimiento.

Ejemplo 2.3-1

Acerca del modelo de Reddy Mikks (Ejemplo 2.1-1), en la figura 2.5 la solucin ptima en Cproporciona el valor mximo de z 5x1 4x2. Si se cambia la solucin objetivo a z c1x1 c2x2, la solucin en C permanecer ptima mientras la pendiente de z quede entre las pendientesde las dos lneas que se cruzan en C, que son 6x1 4x2 24 (materia prima, M1) y x1 2x2 6(materia prima, M2). Esta relacin se puede expresar algebraicamente como

o bien

En la primera condicin, c1 0 significa que la recta de la funcin objetivo no puede serhorizontal. De igual modo, en la segunda condicin c2 0 significa que z no puede ser verti-cal. Como se puede ver en la figura 2.5, el intervalo de optimalidad en este modelo (definidopor las dos rectas que se cruzan en C) no permite que la funcin objetivo z c1x1 c2x2 seauna lnea horizontal o vertical. El resultado es que se aplica a este ejemplo cada una de las doscondiciones dadas. Para los casos en los que c1 y c2 pueden asumir valores cero, el intervalode deben dividirse en dos conjuntos, en los que los denominadores no puedan sercero. Vanse algunas ilustraciones en el problema 1, conjunto de problemas 2.3a.

Lo que indican las condiciones para y es que mientras que esas relaciones estn den-tro de los lmites especificados, la solucin ptima permanece sin cambio en C. Obsrveseque si sucede que z c1x1 c2x2 coincide con x1 2x2 6, pueden presentarse ptimos alternativos en cualquier lugar del segmento de recta CD. De igual manera, si coincide con6x1 4x2 24, todos los puntos del segmento de recta BC son ptimos alternativos. Sin em-bargo, esta observacin no cambia el hecho que C siga siendo ptimo en ambos casos.

Se pueden usar las condiciones dadas para determinar el i