investigación de operacionesm. en c. eduardo bustos farias1 project scheduling: pert/cpm

Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farias 1

Project Scheduling: PERT/CPM

M. En C. Eduardo Bustos Farias 2Investigación de Operaciones

Characteristics of a Project A unique, one-time effort Requires the completion of a large

number of interrelated activities Resources, such as time and/or

money, are limited Typically has its own management

structure


Project Management A project manager is appointed to

head the project management team The team members are drawn from

various departments and are temporarily assigned to the project

The team is responsible for the planning, scheduling and controlling the project to its completion


PERT and CPM PERT: Program Evaluation and

Review Technique CPM: Critical Path Method

Graphically displays project activities Estimates how long the project will take Indicates most critical activities Show where delays will not affect project


Project Schedule Converts action plan into operating timetable Basis for monitoring & controlling project

activity More important for projects than for day-to-

day operations projects lack continuity of on-going functions more complex coordination needed

One schedule for each major task level in WBS

Maintain consistency among schedules Final schedule reflects interdependencies,

departments.


Network Model Serves as a framework for:

planning, scheduling, monitoring, controlling

interdependencies and task coordination when individuals need to be available communication among departments and

functions needed on the project Identifies critical activities and slack

time Reduces interpersonal conflict


PERT / CPM PERT:

Program Evaluation and Review Technique estimates probability of on-time completion

CPM: Critical Path Method deterministic time estimates control both time and cost

Similar purposes, techniques, notation Both identify critical path and slack time Time vs. performance improvement


PERT / CPM Definitions Activity: task or set of tasks

uses resources and takes time Event: result of completing an activity:

has identifiable end state at a point in time Network: combined activities & events in a

project Path: series of connected activities Critical: activities, events, or paths which, if

delayed, will delay project completion Critical path: sequence of critical activities

from start to finish Node / Arrow (Arc) - PERT / CPM notation


The Basics of Using PERT/CPM


The Project Network Model


PERT / CPM Notations EOT:

earliest occurrence time for event time required for longest path leading to

event LOT: latest occurrence time for event EST: earliest starting time for activity LST: latest starting time for activity Critical time: shortest time in which

the project can be completed Notation: AOA, AON, dummy activities


Slack Time


Gantt Charts

Henry Laurence Gantt (1861-1919)


Planned and actual progress for multiple tasks on horizontal time

scale easy to read, easy to construct effective monitoring and control of

progress requires frequent updating


Components of GANTT Chart Activities - scheduled and actual Precedence relationships Milestones (identifiable points in

project) usually represents reporting requirements usually corresponds to critical events

Can add budget information Does not show technical

interdependencies Need PERT network to interpret,

control, and compensate for delays


Planning and Scheduling

MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC

Locate newfacilities

Interview staff

Hire and train staff

Select and orderfurniture

Remodel and installphones

Move in/startup

Gantt Chart


Benefits of CPM/PERT Useful at many stages of project

management Mathematically simple Give critical path and slack time Provide project documentation Useful in monitoring costs


Advantages of PERT/CPM

useful at several stages of project management straightforward in concept, and not mathematically

complex uses graphical displays employing networks to help user

perceive relationships among project activities critical path and slack time analyses help pinpoint

activities that need to be closely watched networks generated provide valuable project

documentation and graphically point out who is responsible for various project activities

applicable to a wide variety of projects and industries useful in monitoring not only schedules, but costs as well


Limitations to CPM/PERT Clearly defined, independent and

stable activities Specified precedence relationships Subjective time estimates Over emphasis on critical paths


Limitations of PERT/CPM

project activities must be clearly defined, independent, and stable in their relationships

precedence relationships must be specified and networked together

time activities in PERT are assumed to follow the beta probability distribution -- this may be difficult to verify

time estimates tend to be subjective, and are subject to fudging by managers

there is inherent danger in too much emphasis being placed on the critical path


EJEMPLO 1

PERT/CPM


The Sharp CompanyThe Sharp Company fabrica una línea completa de

productos para afeitar. Recientemente, un competidor presentó una nueva

rasuradora con hoja doble que en los últimos seis meses ha absorbido una parte significativa de un mercado que la Sharp había tenido durante años.

Los administradores de la Sharp han decidido que deben introducir un producto competidor.

Bill Bowen, vicepresidente de planeación y desarrollo, ha Identificado las tareas que se necesitan para diseñar, desarrollar y comercializar el nuevo producto y el tiempo esperado que se requiere para llevar a cabo cada una de ellas (véase la tabla).


The Sharp Company


The Sharp CompanyBowen le pidió a Phil Wright, su gerente asesor, revisar

las tareas y entregarle un informe resumido que señale:

(1) el tiempo total que se requiere desde el principio del proyecto hasta que el producto nuevo se encuentre en las manos del distribuidor,

(2) las fechas específicas de inicio y terminación para cada tarea y

(3) las tareas críticas, es decir, las que deban terminarse a tiempo para que el proyecto se concluya en una fecha específica.


The Sharp CompanyBowen le señaló a Wright que, aunque los tiempos de

terminación son valores esperados (promedio) y son bastante realistas, para darse una idea de la variabilidad del proyecto completo sería deseable tener alguna idea de los tiempos que se tendrían en los casos más desfavorables y más favorables.

Bowen también señaló que las tareas no necesariamente estaban listadas en orden secuencial, sino que se habían listado conforme se habían identificado.


SOLUCIÓN


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

F

H

GI J


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

F

H

G

I J

( , ,

)

( , , )

( , , )

( , ,

)

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Análisis hacia adelante


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

F

H

G

I J

(0,6

,6)

( , , )

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)

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

F

H

G

I J

(0,6

,6)

( , , )

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)

(6,3,9) ( , , )

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

F

H

G

I J(0

,6,6

)

( , , )

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( , ,

)

(6,3,9) (9,4,13)

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

( , , )

(13,6,19)

( , ,

)

(6,3,9) (9,4,13)

( , , ) ( , , )

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

( , ,

)

(6,3,9) (9,4,13)

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

( , ,

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) ( , , )

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

( , ,

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

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1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

( , , ) ( , , )


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) ( , , )


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0

,6,6

)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

Duración delproyecto


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

( , , )

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)

Análisis haciaatrás


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

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( , , ) (20,0,22 )( , , )

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)


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

( , , )

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(19,0,20) (20,0,22 )( , , )

( , ,

) (13,0,19)

(15,

7,19

)


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

( , , )

( , , ) (9,0,13)

(12,7,15)

(19,0,20) (20,0,22 )( , , )

( , ,

) (13,0,19)

(15,

7,19

)


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

(9,7,12)

(6,0,9) (9,0,13)

(12,7,15)

(19,0,20) (20,0,22 )( , , )

( , ,

) (13,0,19)

(15,

7,19

)


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

(9,7,12)

(6,0,9) (9,0,13)

(12,7,15)

(19,0,20) (20,0,22 )(7,7

,9)

(0,0

,6) (13,0,19)

(15,

7,19

)


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

(9,7,12)

(6,0,9) (9,0,13)

(12,7,15)

(19,0,20) (20,0,22 )(2,7

,9)

(0,0

,6) (13,0,19)

(15,

7,19

)

Ruta crítica


SOLUCIÓN CON WINQSB


The Sharp Company


Modelos de PERT/CPM: Probabilístico


Existen proyectos con actividades que tienen tiempos inciertos, es decir, se tienen solo estimaciones de tiempo por lo cual deben ser tratados como variables aleatorias con distribuciones de probabilidad asociadas.

Para incluir los tiempos inciertos de las actividades en el análisis de la red, es necesario obtener tres estimaciones de tiempo para cada actividad. Las tres estimaciones son:

TIEMPO OPTIMISTA (a) Es el tiempo requerido para la

actividad si todo marcha idealmente TIEMPO MÁS PROBABLE (m) Es el tiempo requerido para la

actividad con más probabilidades bajo condiciones estándar o normales.

TIEMPO PESIMISTA (b) Es el tiempo para la actividad cuando

se afrontan demoras considerables. Las tres anteriores estimaciones de tiempo permiten al

administrador de un proyecto desarrollar una mejor apreciación del tiempo con una mayor probabilidad para cada actividad, el cual se calculará con la fórmula:


t= a + 4m + b

6

Por el tipo de distribución: (Beta)


DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM El tiempo más probable es el tiempo

requerido para completar la actividad bajo condiciones normales.

Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.


DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM El tiempo esperado de finalización de un

proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica.

De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realmente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.


DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo.

Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen.

A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso.

Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos.


Con tiempos inciertos en las actividades, puede utilizarse la medida estadística común conocida como varianza para describir la dispersión o variabilidad en los valores de tiempo de actividades, la cual estará determinada por la siguiente fórmula:


Como podrá concluirse, en la medida en que existan diferencias grandes entre b y a se tendrá un elevado grado de incertidumbre en el tiempo de actividad.

PERT probabilístico parte de dos suposiciones: 1. Que las actividades son estadísticamente

independientes, lo cual permitirá sumar las varianzas de las actividades para obtener la varianza total del proyecto.

2. Que el tiempo de terminación de un proyecto es una variable normalmente distribuida, lo cual permite usar la distribución normal en el análisis.


SHARP COMPANYPERT PROBABILÍSTICO


SHARP COMPANY PROBABILÍSTICO

Tres estimaciones de tiempo (optimista, más probable y pesimista) para las actividades del caso de la Sharp Company


SOLUCIÓN


1

32

6 7

4

8 9 10

5

A

BD

C E

FH

G

I J(0,6

,6)

(0,2,2)

(13,6,19)

(8,4

,12

)

(6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (20,2,22 )

(9,1,12)

(6,0,9) (9,0,13)

(12,2,15)

(19,0,20) (20,0,22 )(2,2

,9)

(0,0

,6) (13,0,19)

(15,

7,19

)


Recuérdese que la ruta crítica incluía las actividades A, C, E, G, I y J, con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas. Por tanto, la varianza para el proyecto es:

semanas

JIGECA tttttt

98.3

11.009.044.000.156.078.1

2222222

semanas298.32


Puesto que la variación en el tiempo de duración del proyecto sigue una distribución normal, puede utilizarse lo que se sabe acerca de esta distribución para hacer un planteamiento de probabilidades con respecto a una fecha específica de terminación del proyecto; dada una fecha objetivo específica de terminación, puede calcularse la probabilidad de que el proyecto se termine en esa fecha o antes.

Como ejemplo, suponga que Bill Bowen, vicepresidente de la Sharp Company, ha indicado que sería deseable terminar el proyecto antes de 6 meses (26 semanas), y le gustaría conocer la probabilidad de que esto ocurriera.

Para determinar este valor de la probabilidad, primero se convierte el valor de 26 semanas a un valor de Z.

Se sabe que el valor de Z está expresado mediante la siguiente función:

x

Z


Por tanto, x = 26, = 22 (nuestro tiempo esperado de terminación), y = 2, el valor de Z es

Utilizando Z = 2.0 y una tabla para la distribución normal, se encuentra que a probabilidad asociada (y por ello el porcentaje del área total que se encuentra bajo la curva y a la izquierda de x = 26) es 0.5000 + 0.4772 = 0.9772.

Ver tabla en la siguiente diapositiva. La probabilidad de que el proyecto se termine en 26

semanas o menos es 0.9772; por tanto, el señor Bowen puede tener bastante confianza en que el proyecto pueda terminarse hacia esa fecha.

22

2226

Z


SOLUCIÓN CON WINQSB


Modelos de Pert/CPM: intercambios de tiempo y costo


Hasta este punto nos hemos concentrado la atención en los aspectos del tiempo de PERT/CPM y en que debe tenerse cuidado de satisfacer una fecha programada de terminación.

No se ha analizado el costo de los recursos asociados con cumplir con una fecha específica de terminación, o de los costos que estarían relacionados con reducir el tiempo de terminación.


Hemos visto como PERT/CPM se concentra en el factor tiempo del desarrollo de un proyecto y ofrece información que puede utilizarse para programar y controlar actividades y del proyecto en total.

No obstante, aunque el tiempo es una consideración importante, existen muchas situaciones en las que el costo es casi tan importante como el tiempo.

A continuación veremos como PERT/costo puede ser utilizado, adicionalmente, para controlar los costos de un proyecto, puesto que su objetivo es ofrecer información que sirva para mantener los costos del proyecto dentro de un presupuesto especificado y para un mejor ejercicio de recursos adicionales.


EJEMPLO 1 Sharp Company


Muchas actividades de una red pueden reducirse, pero sólo aumentando los costos.

Por ejemplo, en la red de la Sharp Company, es probable que pudieran reducirse lo tiempos de la actividad C, “ordenar y recibir los materiales para el producto”, y de la actividad D, “ordenar y recibir los materiales para el empaque” invirtiendo dólares adicionales para acelerar los pedidos y/o estando dispuestos a pagar cantidades extra por entregas más prontas de los materiales.

De la misma manera, los tiempos de la actividad de fabricación E y F, y de los tiempos de las actividades de prueba, G y H, pueden reducirse utilizando equipo y/o mano de obra adicionales, todo lo cual añade costos extra para la terminación del proyecto.


Sin embargo, las actividades no pueden reducirse más allá de cierto punto, sin importar la cantidad de dinero adicional que se invierta.

Por ello, existe un límite mínimo sobre el tiempo total que se requiere para terminar un proyecto; más allá de este punto el costo simplemente se incrementa sin una reducción adicional en el tiempo de terminación del proyecto.


La figura es un representación gráfica de la relación entre el tiempo y el costo en un proyecto representativo.

Cada punto de esta curva de intercambio de tiempo y costo representa un programa factible para el proyecto.

Observe que existe un programa de tiempo mínimo así como también un programa de costo mínimo.

Sólo este programa y los que están sobre la curva y entre los dos puntos extremos son programas factibles.


Podría desarrollarse un programa de tiempo y costo para el caso de la Sharp Company; sin embargo, puesto que es muy alta la probabilidad (recuerde que era de 0.9772) de que se satisfaga la fecha fijada de 26 semanas, es poco probable que los administradores estuvieran dispuestos a invertir dinero extra para reducir el tiempo de terminación del proyecto.

Por ello, consideremos otro ejemplo que puede usarse para ilustrar la construcción de una curva de tiempo y costo, así como también otros conceptos de intercambio entre tiempo y costos.

Suponga que se tiene un proyecto formado por ocho actividades.


Los cálculos de la ruta crítica (anotados en la red) muestran que las actividades A, B, C y D son críticas y que el tiempo esperado de terminación es 17 días (suponiendo que los tiempos de las actividades se expresen en días).


Reducción de los tiempos de las actividades (tiempos “de urgencia”)


Para determinar qué actividad debe reducirse y en cuánto, es necesario saber:

(1)el costo esperado asociado con cada tiempo esperado de actividad;

(2) el tiempo más breve posible para cada actividad, si se aplica el máximo de recursos, y

(3) el costo esperado para la actividad y asociado con el tiempo más corto posible para esa actividad.

Se utiliza la siguiente notación para representar estos factores:


tn= tiempo normal (esperado) para la actividad

cn= costo asociado con el tiempo normal de la actividad

tc= tiempo reducido: al menor tiempo posible para terminar la actividad (reducción máxima)

cc= costo de reducción: el costo asociado con el menor tiempo posible para la actividad (reducción máxima)


Las relaciones entre tn, cn, tc y cc se muestran en la figura:


Datos normales y de reducción para el ejemplo del proyecto con ocho actividades

ActividadTiempo

Normal (tn)Costo

Normal (cn)Tiempo de

Urgencia (tc)Costo de

Urgencia (cc)

A 3 $ 300 2 $ 360

B 4 $ 500 2 $ 900

C 6 $1000 3 $1600

D 4 $ 600 3 $ 650

E 5 $1200 2 $1500

F 3 $ 500 3 $ 500

G 6 $ 800 5 $1050

H 3 $ 900 2 $1200


Para utilizar estos datos con el objeto de determinar qué actividades deben reducirse y en qué medida, deben calcularse dos factores:

(1) la reducción máxima de tiempo para cada actividad, que se expresa de la siguiente manera:

cnD ttt


(2) el costo de reducción por unidad de tiempo que se expresa como sigue:

Para ilustrar esto, la actividad C tiene un tiempo normal de 6 días con un costo asociado de $1000 y un tiempo máximo de reducción de 3 días con un costo asociado de $6000.

D

nc

cn

nc

aemergengcinormal

normalemergencia

tcc

ttcc

TiempoTiempoCostoCosto

S


Por tanto, el tiempo máximo de reducción para la actividad es:

tD = tn – tc = 6 – 3 = 3 días. El costo diario asociado para alcanzar

esta reducción es

pordíattcc

Scn

nlc200$

3600

3610001600


Máxima reducción y costos de emergencia por unidad de tiempo para el proyecto

ActividadTiempo

Normal (tn)

CostoNormal

(cn)

Tiempo deUrgencia (tc)

Costo deUrgencia

(cc)

Reducción Máxima de Urgencia

Costo de urgenciaPor unidad de tiempo

A 3 $ 300 2 $ 360 1 $ 60

B 4 $ 500 2 $ 900 2 $ 200

C 6 $1000 3 $1600 3 $ 200

D 4 $ 600 3 $ 650 1 $ 50

E 5 $1200 2 $1500 3 $ 100

F 3 $ 500 3 $ 500 0 $ 0

G 6 $ 800 5 $1050 1 $ 250

H 3 $ 900 2 $1200 1 $ 300

$5800 $7760

cnD ttt cn

nlc

ttcc

S


Una vez que se han obtenido los datos de la tabla anterior, es posible comenzar con el proceso de reducción.

El procedimiento que se utiliza consiste n examinar las actividades de la ruta crítica y elegir la actividad que tenga el menor costo de reducción por unidad y tiempo.

Se reduce esa actividad en una unidad de tiempo a la vez y después se revalúa la red para identificar la ruta crítica.

Si aparecen rutas críticas paralelas, deben reducirse todas ellas en forma simultánea en etapas de reducción subsecuentes.

Puede continuarse este proceso hasta que todas las actividades de cualquier ruta crítica se hayan reducido en su totalidad.


RUTA CRÍTICA


Comenzando con la figura anterior se observa que las actividades A, B, C y D se encuentran todas sobre la ruta crítica.

Dado que la actividad D tiene el menor costo de reducción por unidad de tiempo, $50, se reduce esta actividad en un día.

La red que resulta se muestra en la figura siguiente:


Las actividades A, B, C y D siguen siendo las actividades críticas en la figura anterior, y la actividad D se ha reducido a su máximo posible (1 día).

Puesto que la actividad A tiene el menor costo de reducción por unidad de tiempo y se encuentra sobre la ruta crítica, ahora se procede a reducir esta actividad.

La figura siguiente es la nueva red después de reducir la actividad A en un día.


La ruta crítica sigue incluyendo las actividades A, B, C y D, pero las actividades A y D se han reducido a su máximo, por tanto, sólo las actividades B y C son elegibles para reducción.

Ambas actividades tienen el mismo costo de reducción por unidad de tiempo; sin embargo, reducir la actividad B reduce la longitud de dos rutas.

Por ello, debe reducirse enseguida la actividad B.


De la tabla de datos se observa que la máxima reducción para la actividad B es 2 días.

Esto indica que el tiempo de la actividad podría reducirse en 2 días en vez de uno solo; pero sólo puede hacerse una reducción de un día.

Si se redujeran 2 días en una sola etapa, podría pasarse por alto una ruta crítica paralela, lo cual daría como resultado una red no válida.

Por tanto, se reduce la actividad B en un solo día. La red resultante para esta etapa se muestra en la figura siguiente:


3


Al reducir B en un día, se crean dos rutas críticas: A-B-C-D y A-G-H-D.

Ambas actividades A y D, son comunes a las dos rutas; sin embargo, estas actividades se han reducido a su máximo.

Por tanto, debemos reducir en forma simultánea (en un día9 una actividad en cada una de las rutas.

Puesto que la actividad B todavía puede reducirse en un día antes de llegar a su reducción máxima, es posible utilizar el mismo razonamiento que se empleó en la etapa anterior para elegir esta actividad para la ruta crítica A-B-C-D.

Dado que el costo de reducción por unidad de tiempo para la actividad G es menor que para la actividad H (obsérvese la tabla), debe decidirse reducir la actividad G en la ruta crítica A-G-H-D.

La red resulta después de reducir estas actividades en forma simultánea se muestra en la figura siguiente:


Obsérvese que con cada nueva red el costo se incrementa.

En la red inicial, el costo para el programa de 17días era $5800.

El programa de 13 días que se muestra en la figura da costos de $6560.

En la figura anterior son críticas las mismas dos rutas que lo eran en la figura de 14 días, pero ahora las actividades B y G se han reducido al máximo.

Las únicas actividades restantes que son elegibles para reducción son las actividades C y H.

Reduciendo en forma simultánea estas actividades en un día cada una de ellas y volviendo a calcular las rutas críticas, se obtiene la red que se muestra en la figura siguiente:


En este punto, todas las actividades de la red son críticas; por tanto, para hacer una mayor reducción en el tiempo total de proyecto, debe hacerse una reducción simultánea en las tres rutas críticas A-B-C-D, A-G-H-D y A-B-E-F.

Pero todas las actividades de la ruta A-B-C-D se han reducido al máximo; por lo tanto, la red completa se ha reducido a su máximo.


Resumen del proceso de reducción para el proyecto.

No. DelPrograma

Del Proyecto

Tiempo deTerminaciónDel proyecto

(día)

CostosTotales

($)

ÚltimaActividadreducida

CostosPor DíaQue seahorra

ActividadesDe La

Ruta Crítica

1 17 $5800 Ninguna - A,B,C,D

2 16 $5850 [D] $ 50 A,B,C,D

3 15 $5910 [A] $ 60 A,B,C,D

4 14 $6110 [B] $200 A,B,C,D

A,G,H,D

5 13 $6560 [B] $200 A,B,C,D

[G] $250 A,G,H,D

6 12 $7060 [C] $200 A,B,C,D

[H] $300 A,B,E,F


Si se trazan en una gráfica los datos de “tiempo de terminación del proyecto” y “costos totales” que aparecen en las columnas respectivas de la tabla anterior, el resultado sería la curva de intercambio de tiempo y costo para el proyecto, y esta curva se muestra en la figura siguiente.

Esta curva presenta un resumen completo de los programas posibles y señala cuál es el programa más eficiente, así como también las sucesivas reducciones en el tiempo de terminación del proyecto.

Esto no quiere decir que el proyecto deba terminarse en 12 días, que es el tiempo mínimo de terminación; más bien, los administradores deben elegir el programa que satisfaga requerimientos tanto de tiempo como de costo.


Un modelo de PL para la reducción de los tiempos de las actividades


Dado elsiguienteproblema


VARIABLES DE DECISIÓN

xi= tiempo de ocurrencia del evento i, en donde i=1,2,3,4,5,6,7

yk= cantidad de tiempo de reducción para la actividad k, en donde k=A,B,C,D,E,F,G,H


FUNCIÓN OBJETIVO En el proceso de reducción, el objetivo

consiste en minimizar el costo asociado con la reducción del tiempo total de terminación del proyecto.

Esto se expresa en forma de una función objetivo como la minimización de la suma de los costos asociados de reducción.


FUNCIÓN OBJETIVO

MINIMIZAR

Z = 60yA + 200yB + 200yC + 50yD + 100yE + 0yF + 250yG + 300yH


RESTRICCIONESExisten tres tipos de restricciones

asociadas con el modelo: (1) las que se utilizan para describir la

estructura de la red, (2) las que limitan los tiempos de

reducción de las actividades y (3) las que están asociadas con la

reducción de la fecha de terminación del proyecto.


Para elaborar las restricciones descriptivas, se escriben las condiciones de tiempos para los eventos (nodos) de la red.

Estas condiciones son similares a las que se utilizaron en los procedimientos de revisión hacia atrás y revisión hacia delante, del proceso de la ruta crítica y se estructuran reconociendo que las siguientes relaciones deben cumplirse:

(1) el tiempo de ocurrencia de un evento (nodo) debe ser mayor o igual que el tiempo de terminación para todas las restricciones,

(2) el tiempo de iniciación para una actividad es igual al tiempo en el que ocurre el evento (nodo) precedente, y

(3) el tiempo real para una actividad es igual al tiempo normal (esperado) para la actividad, menos la magnitud del tiempo reducido.


Haciendo referencia a la figura e igualando el tiempo del evento 1 a cero (x1 = 0), pueden escribirse restricciones descriptivas para cada uno de los eventos.


El formato para desarrollar estas restricciones se expresa utilizando la siguiente relación:

final

evento

elpara

ocurrencia

de

Tiempo

actividadla

deurgencia

deTiempo

actividad

ladeesperado

normalTiempo

inicial

eventodel

ocurrenciade

tiempodecir

esactividad

lapara

inicialTiempo

)(,

,


Entonces, las restricciones reales de los eventos son las siguientes:


3

final

evento

elpara

ocurrencia

de

Tiempo

actividadla

deurgencia

deTiempo

actividad

ladeesperado

normalTiempo

inicial

eventodel

ocurrenciade

tiempodecir

esactividad

lapara

inicialTiempo

)(,

,


final

evento

elpara

ocurrencia

de

Tiempo

actividadla

deurgencia

deTiempo

actividad

ladeesperado

normalTiempo

inicial

eventodel

ocurrenciade

tiempodecir

esactividad

lapara

inicialTiempo

)(,

,

M. En C. Eduardo Bustos Farias 133Investigación de OperacionesX7 <= tiempo deseado de terminación y todas las variables >=0

3


EJERCICIOS PARA RESOLVER


EJERCICIO 1. FLOW ASOCIATESTiene un proyecto con la siguiente información.

1.Elaborar la gráfica de Gantt2. Elaborar la red de actividades PERT/CPM.3. Encontrar la duración del proyecto y su ruta crítica


EJERCICIO 2.

Construir la red para actividades para el siguiente programa de ensamble de una aeronave pequeña. Determinar la ruta crítica y el menor tiempo posible en el cual puede terminarse el programa.

ACTIVIDAD DESCRIPCIÓN TIEMPO (hrs)

1 – 2 Ensamblar las alas. 29

1 – 3 Ensamblar la estructura 15

2 – 3 Montar las alas. 13

3 – 4 Terminar el fuselaje 46

2 – 5 Colocar el tren de aterrizaje 11

4 – 5 Instalar motor 37

4 – 7 Conectar controles del piloto 8

5 – 6 Conectar radio e instr. De nav. 13

6 – 7 Instalar asientos e interiores 5

6 – 8 Colocar hélice 7

7 – 8 Pintar exteriores 12


EJERCICIO 3. El proyecto para desarrollar un producto nuevo (electrodoméstico) consta de las siguientes actividades y tiempos:

ACTIVIDAD ACTIVIDAD PRECEDENTE

a

TIEMPOSm

(SEMANAS)b

t

VARIANZA

A / 4 5 12 6 1.78

B / 1 1.5 5 2 0.44

C A 2 3 4 3 0.11

D A 3 4 11 5 1.78

E A 2 3 4 3 0.11

F C 1.5 2 2.5 2 0.03

G D 1.5 3 4.5 3 0.25

H B, E 2.5 3.5 7.5 4 0.69

I H 1.5 2 2.5 2 0.03

J F, G, I 1 2 3 2 0.11

Se pide dibujar la red del proyecto y la gráfica de Gantt, encontrar la ruta crítica, ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla el proyecto en 20 semanas? Y¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en 14 semanas?


ACTIVIDADPRECEDENTES

TIEMPOOPTIMISTA

TIEMPO MÁSPROBABLE

TIEMPO PESIMISTA

TIEMPO ESPERADO

VARIANZADESVIACIÓN ESTÁNDAR

A - 3 5.5 11 6 1.33 1.78 1.33

B A 1 1.5 5 2 0.67 0.44 0.67

C B 1.5 3 4.5 3 0.50 0.25 0.50

D C 1.2 3.2 4 3 0.47 0.22 0.47

E D 2 3.5 8 4 1.00 1.00 1.00

F E 1.8 2.8 5 3 0.53 0.28 0.53

G F 3 6.5 7 6 0.67 0.44 0.67

H G 2 4.2 5.2 4 0.53 0.28 0.53

I H 0.5 0.8 2.3 1 0.30 0.09 0.30

J I 0.8 2.1 2.8 2 0.33 0.11 0.33

EJERCICIO 4.Dibuje la red de actividades del proyecto y la gráfica de Gantt.Calcule la ruta crítica, la duración y la desviación estándar del proyecto.


ACTIVIDAD

DESCRIPCION ACTIVIDAD PRECEDENTE

TIEMPO NORMAL (SEM)

TIEMPO DE

URGENCIA (SEM)

COSTO NORMAL

($)

COSTO DE

URGENCIA ($)

COSTO DE REDUCCIÓ

N POR SEMANA

A INV. DE MERCADO.

/ 1 1 5000 5000 /

B DES. DEL DISEÑO A 3 2 5000 12000 7000

C DES.DE ING. BAS. Y DE DETALLE.

A 7 4 11000 17000 2000

D CONSTR. Y PRUEBA DEL PROTOTIPO.

B 5 3 10000 12000 1000

E PRUEBAS DE MERCADO Y PUBLICIDAD.

B 8 6 8500 12500 2000

F DET. COSTOS Y PRONOSTICOS.

C, D 4 2 8500 16500 4000

G REPORTE FINAL E, F 1 1 5000 5000 /

53 000 80 000

EJERCICIO 5


1. ¿Cuál es la red de actividades para este proyecto?2.Identificar la ruta y el tiempo del camino crítico.3. ¿Cuál es el costo marginal por concluir el proyecto en

12 semanas?4. La gerencia de la empresa ha decidido canalizar

recursos adicionales para terminar en el menor tiempo el proyecto.

¿Cuál es el menor tiempo para concluir el proyecto? ¿Cuál es, en dicha circunstancia, el costo total?


ACTIVIDAD ACTIVIDAD PRECEDENTE

TIEMPONORMAL (sem)

TIEMPO URGENCIA (sem) COSTO NORMAL ($) COSTO URGENCIA ($)

A / 6 4 18 000 24 000

B / 5 4 15 000 22 000

C B 4 2 12 000 24 000

D A, C 4 3 10 000 15 000

E B 6 3 20 000 26 000

F D 4 2 15 000 25 000

G E 5 4 25 000 30 000

H F, G 6 6 30 000 30 000

145 000

EJERCICIO 61. ¿Cuánto cuesta concluir el proyecto en 22 semanas? 2. Suponer que se dispone de un presupuesto ilimitado y que se desea concluir el proyecto lo más pronto posible, cuantas semanas requiere y a que costo?

investigación de operacionesm. en c. eduardo bustos farias1 project scheduling: pert/cpm

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shortest time

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