investigacion operativa 2

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guia resuelta

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  • Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa II

    Parcial de estudio: Primero

    Introduccin Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte, elctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representacin de redes se utiliza de manera amplia en reas tan diversas como produccin, distribucin, planeacin de proyectos, localizacin de instalaciones, administracin de recursos y planeacin financiera, por mencionar solo algunos ejemplos. En realidad, una representacin de redes proporciona un poderoso apoyo visual y conceptual para mostrar las relaciones entre las componentes de los sistemas, de tal modo que se usa casi en todos los mbitos cientficos, sociales y econmicos.

    Uno de los mayores desarrollos recientes en investigacin de operaciones (IO) ha sido el rpido avance tanto en la metodologa como en la aplicacin de los modelos de optimizacin de redes. La aparicin de algunos algoritmos ha tenido un efecto importante, al igual que las ideas de ciencias de la computacin acerca de estructuras de datos y la manipulacin eficiente de stos. En la actualidad se dispone de algoritmos y paquetes de computadora que se usan en forma rutinaria para resolver problemas muy grandes que no se habran podido manejar hace dos o tres dcadas.

    Muchos modelos de optimizacin de redes son en realidad tipos especiales de problemas de programacin lineal. Por ejemplo, tanto el problema de transporte como el de asignacin, que se presentaron en el captulo anterior, pertenecen a esta categora debido a su representacin mediante una red.

    Uno de los ejemplos de programacin lineal que se present en la seccin 3.4 tambin es un problema de optimizacin de redes. ste es el ejemplo de la Distribution Unlimited Co, que desea saber cmo repartir sus bienes en la red de distribucin que se muestra en la figura 6.13. Este tipo especial de problema de programacin lineal, llamado de flujo de costo mnimo se presenta en la seccin 9.6. Se volver a analizar este ejemplo en particular en esa seccin y despus se resolver con la metodologa de redes en la seccin siguiente.

    En este captulo solo sern planteadas las bases de la metodologa de redes actual. Sin embargo, se presentar una introduccin a cinco tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas bsicas sobre cmo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructuras de bases de datos, tan vitales para la aplicacin exitosa en los problemas a gran escala). Los tres primeros tipos de problemas el de la ruta ms corta, el del rbol de mnima expansin y el del flujo mximo tienen una estructura especfica que surge con frecuencia en la prctica.

    El cuarto tipo problema del flujo de costo mnimo proporciona un enfoque unificado de muchas otras aplicaciones debido a su estructura mucho ms general. Esta estructura es tan general que incluye como casos especiales el problema de la ruta ms corta y el de flujo mximo, al igual que los problemas de transporte y de asignacin del captulo 8. En razn de que el problema del flujo de costo mnimo es un tipo especial de problema de programacin lineal, se puede resolver en forma eficiente mediante una versin simplificada del mtodo smplex llamada mtodo smplex de redes. (No se presentarn problemas de redes an ms generales cuya solucin es ms complicada). El quinto tipo de problemas de redes que se considera aqu implica la determinacin del modo ms econmico de realizar un proyecto de forma que ste pueda terminarse en su fecha lmite. Se utiliza una tcnica llamada mtodo CPM de trueques entre tiempo y costo para formular un modelo de red del proyecto y los trueques entre tiempo y costo para sus actividades. Despus se utiliza el anlisis de costo marginal o la programacin lineal para resolver el plan de proyecto ptimo.

    Asesora didctica Durante este primer periodo usted revisar los captulos 6 y 10, del texto gua Introduccin a la Investigacin de Operaciones, contenido que le servir para desarrollar la actividad. Adicionalmente, usted dispondr de ejemplos relacionados con el tema de estudio en esta asesora. La tcnica del rbol de expansin mnima implica conectar todos los puntos de una red al mismo tiempo que se minimiza la distancia entre ellos. Ha sido aplicada, por ejemplo, por compaas

  • Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa II

    Parcial de estudio: Primero

    telefnicas para conectar varios telfonos entre s al mismo tiempo que se minimiza la longitud total del cableado necesario. Considere la de Lauderdale Construction Company, la que en la actualidad est desarrollando un lujoso proyecto residencial en Panam City Beach, Florida. Melvin Lauderdale, propietario y presidente de Lauderdale Construction, debe determinar la forma ms barata de suministrar agua y electricidad a cada casa. La red de casas se muestra en la figura 10.1. Como se ve en esa figura, hay ocho casas en el golfo. La distancia entre cada una de ellas en cientos de pies se muestra en la red. La distancia entre la casa 1 y 2, por ejemplo, es de 300 pies. (Se coloca un 3 entre los nodos 1 y 2). Ahora, se utiliza la tcnica del rbol de expansin mnima para determinar la distancia mnima que puede ser utilizada para conectar todos los nodos. El mtodo se describe como sigue: Pasos de la tcnica del rbol de expansin mnima

    1. Seleccionar cualquier nodo de la red. 2. Conectar este nodo al nodo ms cercano que minimice la distancia total. 3. Considerando todos los nodos que ahora estn conectados, encontrar y conectar el nodo ms

    cercano que no est conectado. Si hay un empate para el nodo ms cercano, seleccionar uno arbitrariamente. Un empate sugiere que puede haber ms de una solucin ptima.

    4. Repetir el tercer paso hasta que todos los nodos estn conectados.

    Tcnica del flujo mximo Cuatro pasos de la tcnica de flujo mximo

    1. Elija cualquier trayectoria del inicio (origen) a la terminacin (destino) con algo de flujo. Si no existe ninguna trayectoria con flujo, entonces se lleg a la solucin ptima.

    2. Localice el arco en la trayectoria con la capacidad del flujo ms pequea disponible. Llame C a

    esta capacidad. sta representa la capacidad mxima adicional que puede ser asignada a esta ruta.

    3. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, disminuye la capacidad de flujo en la direccin

    del flujo en la cantidad C. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, incremente la capacidad de flujo en la direccin inversa en la cantidad C.

    4. Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo.

    Tcnica de la ruta ms corta La tcnica de la ruta ms corta seala la forma en que una persona o artculo puede viajar de un lugar a otro al mismo tiempo que se minimiza la distancia total recorrida. En otras palabras, encuentra la ruta ms corta una serie de destinos. Todos los das, Ray Desing, Inc, transporta camas, sillas y otros muebles de la fbrica al almacn. Esto implica pasar por varias ciudades. Ray desea encontrar la ruta de menor extensin. Pasos de la tcnica de la ruta ms corta

    1. Encuentre el nodo ms cercano al origen. Coloque la distancia en una casilla junto al nodo. 2. Encuentre el siguiente nodo ms cercano al origen (planta) y coloque la distancia en una

    casilla junto al nodo. En algunos casos, se tendrn que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo ms cercano

    3. Repita este proceso hasta que haya recorrido toda la red. La ltima distancia en el nodo final

    ser la distancia de la ruta ms corta. Es de notar que la distancia colocada en la casilla junto

  • Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa II

    Parcial de estudio: Primero

    a cada nodo es la ruta ms corta a este nodo. Se utilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo ms cercano.

    Algoritmo de la ruta ms corta

    Objetivo de la n-sima iteracin: encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen. (Este paso se repetir paran n =1, 2 hasta que el n-simo nodo ms cercano sea el nodo destino.)

    Datos de la n-sima iteracin: n -1 nodos ms cercanos al origen - que se encontr en las iteraciones previas, incluida su ruta ms corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos; el resto son nodos no resueltos.)

    Candidatos para n-simo nodo ms cercano: cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos proporciona un candidato, esto es, el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)

    Clculo del n-simo nodo ms cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms pequea es el n-simo nodo ms cercano los empates proporcionan nodos resueltos adicionales, y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.

    Aplicacin de este algoritmo al problema de la ruta ms corta de Seervada Park

    La administracin de Seervada Park necesita encontrar la ruta ms corta desde la entrada del parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a travs del sistema de caminos que se presenta en la figura 9.1. En la tabla 9.2 se encuentran los resultados que se obtuvieron al aplicar el algoritmo anterior, donde el empate del segundo nodo ms cercano permite pasar directo a buscar el cuarto nodo ms cercano. La primera columna (n) indica el nmero de la iteracin. La segunda proporciona una lista de los nodos resueltos para comenzar la iteracin actual, despus de quitar los que no sirven (los que no tienen conexin directa con nodos no resuelt