investigacion operativa ii laboratotio3

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investigacion de operaciones 2

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INVESTIGACION OPERATIVA: LABORATORIO PROGRAMACION DINAMICA

[Seleccionar fecha]INVESTIGACION OPERATIVA: LABORATORIO PROGRAMACION DINAMICA

INDICEI.INTRODUCCION...2

II. PROBLEMA DE CAMINO MS LARGO (RUTA CRTICA)3

III. PROBLEMA DE CAMINO MS CORTO.....8

IV. PROBLEMA DE ASIGNACIN.12

V.MODELO DE INVERSION....20

VI. MODELO VOLUMEN CARGA...28

VII.PLANIFICACIN DE PRODUCCIN E INVENTARIO..36

VIII.METODO DE REPOSICIN DE EQUIPO.48

I. INTRODUCCINGeneralidades:PROGRAMACIN DINMICA:Para abordar la resolucin de un problema con Programacin Dinmica, habra que verificar, en primer lugar, la naturaleza N-etpica del problema bajo consideracin, para caracterizar la estructura de una solucin optima. Posteriormente, se tendra que comprobar el cumplimiento del Principio de Optimalidad de Bellman como condicin absolutamente necesaria para su aplicacin, y si este se verificara, apoyndose en su propio significado en el caso concreto que estemos resolviendo, formular una ecuacin de recurrencias que represente la forma de ir logrando etapa por etapa la solucin optima correspondiente. A partir de esa ecuacin, a continuacin, habr que determinar la solucin optima resolviendo problemas encajados para, por ultimo, construir la solucin. Con esos ingredientes, se podra iniciar la solucin del problema que, a su vez, podra realizarse desde el primer estado hasta el ultimo, o bien a la inversa. De forma mas concisa, el desarrollo de un algoritmo de PD correspondera a las siguientes etapas:1.- Caracterizar la estructura de una solucin optima2.- Definir recursivamente el valor de una solucin optima3.- Calcular el valor de una solucin optima en forma encajada de menos a mas, y4.- Construir una solucin optima a partir de la informacin previamente calculada.Las etapas 1-3 constituyen la base de la solucin de PD para un cierto problema. La etapa 4 puede omitirse si lo nico que buscamos es el valor de una solucin optimal. Cuando se realiza la etapa 4, a veces mantenemos informacin adicional durante la etapa 3 para facilitar la construccin de una solucin optima.Vemos as que la PD, igual que la tcnica Divide y Vencers, resuelve problemas combinando las soluciones de subproblemas. Como sabemos, los algoritmos Divide y Vencers peticionan el problema en subproblemas independientes, resuelven estos recursivamente, y combinan sus soluciones para obtener la solucin del problema original. En contraste, la PD es aplicable cuando los subproblemas no son independientes, es decir, cuando los subproblemas comparten sub-subproblemas. En este contexto, un algoritmo Divide y Vencers hace mas trabajo del necesario, ya que resuelve repetidamente sub-subproblemas comunes. Un algoritmo de PD resuelve cada sub-subproblema solo una vez, salvando su solucin en una tabla de cara a evitar el trabajo de recalcular la solucin cada vez que se encuentra ese sub-subproblema.

II. PROBLEMA DE CAMINO MS LARGO (RUTA CRTICA)PROBLEMA1Considere la siguiente red de proyecto, donde el nmero sobre el arco es el tiempo requerido para la actividad correspondiente y la letra el respectivo nombre de la actividad. Considere el problema de encontrar la trayectoria ms larga (el mayor tiempo total) a travs de esta red desde el inicio hasta su trmino, puesto que la trayectoria ms larga es la ruta critica.

Solucin:Dividimos el problema en 5 etapas, como se muestra en la siguiente figura:

Etapas: n=1, 2, 3, 4, 5Funcin recursiva: Donde:fn(Sn,Xn):Tiempo total cuando se ha realizado n etapas.t(Sn,Xn):Tiempo de la etapa n.fn-1(Xn-1):El mejor tiempo total cuando se ha recorrido n-1 etapas.

Etapa 1S1= A,BX1= INICIO

X1

S1INICIOf1X1

A33INICIO

B22INICIO

Etapa 2S2 = C, D, EX2 = A,B

X2

S2ABf2X2

C8-8A

D7-7A

E-55B

F2(A,C) = max [ t( A, C ) + f1 ( X1 ) ]= 5+ 3 = 8

F2(A,D) = max [ t( A, D) + f1 ( X1 ) ]= 4+ 3 = 7F2(B,E) = max [ t( B, E) + f1 ( X1 ) ]= 3 + 2 = 5

Etapa 3S3 = F, G, H, IX3 = C,D,E

X3

S3CDEF3X3

F12--12C

G9--9C

H-151215D

I-989D

F3(C,F) = max [ t( C, F ) + f2( X2) ]= 4+8 = 12

F3(C,G) = max [ t( C, G) + f2( X2) ]= 1+8 = 9

F3(D,H) = max [ t( D, H) + f2( X2) ]= 8+ 7 =15

F3(D,I) = max [ t( D, I) + f2( X2) ]= 2+ 7 =9F3(E,H) = max [ t( E, H) + f2 ( X2 ) ]= 7+ 5 =12F3(E,I) = max [ t( E, I) + f2 ( X2 ) ]= 3+ 5 =8

Etapa 4S4 = J, K, LX4 = F, G, H, I

X4

S4FGHIf4X4

J13---13F

K-1321-21H

L---1111I

F4(F,J) = max [ t( F, J ) + f3( X3) ] = 1+12 = 13F4(G,K) = max [ t( G, K )+ f3( X3) ]= 4+9 = 13

F4(H,K)= max [ t( H, K )+ f3( X3) ] = 6+15 = 21

F4(I,L)= max [ t( I, L )+ f3( X3) ]= 2+9 = 11

Etapa 5S5= INICIOX5 = J, K ,L

X5

S5JKLf5X4

FIN18251825K

F4(J,FIN) = max [ t( J, FIN ) + f4( X4) ]= 5+13=18

F4(K,FIN) = max [ t( K, FIN ) + f4( X4) ]= 4+21 = 25

F4(L,FIN) = max [ t( L, FIN ) + f4( X4) ]= 7+11 = 18

Duracin del proyecto:25Ruta Crtica:Inicio A D H K FIN, segn los nodosSegn las actividades:A-D-H-N-Q

SOLUCIN CON SOFTWARE WinQSB

1) Ingresamos los datos

2) Informe de resultados e interpretacin

III. PROBLEMA DE CAMINO MS CORTO

Un vuelo de Speedy Airlines est a punto de despegar de Seattle sin escalas a Londres. Existe cierta flexibilidad para elegir la ruta ms precisa, segn las condiciones del clima. La siguiente red describe las rutas posibles consideradas, donde SE y LN son Seattle y Londres, respectivamente, y los otros nodos representan varios lugares intermedios.

El viento a lo largo de cada arco afecta de manera considerable el tiempo de vuelo, y por ende, el consumo de combustible. Con base en el informe meteorolgico actual junto a los arcos se muestran los tiempos de vuelo (en horas).

Debido al alto costo del combustible, la administracin ha adquirido la poltica de elegir la ruta que minimiza el tiempo total de vuelo. Resuelva el problema utilizando PD.

Solucin:

Dividimos el problema en 3 etapas, como se muestra en la siguiente figura:

Etapas: n=1, 2, 3Funcin recursiva: Donde:fn(Sn,Xn) :Tiempo total cuando se ha realizado n etapas.t(Sn,Xn) :Tiempo de la etapa n.fn-1(Xn-1) :El mejor tiempo total cuando se ha recorrido n-1 etapas.

Etapa 1S1= A,B,CX1= SE

X1

S1SEf1X1

A4.64.6SE

B4.74.7SE

C4.24.2SE

Etapa 2S2 = D, E,FX2 = A,B,C

X5

S5ABCF2X2

D8.18.3-8.1B

E87.97.77.7C

F-87.67.6C

F2(A,D) = min[ t( A, D ) + f1 ( X1 ) ]= 3.5 + 4.6 = 8.1

F2(A,E) = min[ t( A, E) + f1 ( X1 ) ]= 3.4+ 4.6 = 8F2(B,D) = min[ t( B, D) + f1 ( X1 ) ]= 3.6 + 4.7 = 8.3F2(B,E) = min [ t( B, E) + f1 ( X1 ) ]= 3.2 + 4.7 = 7.9F2(B,F) = min[ t( B, F) + f1 ( X1 ) ]= 3.3 + 4.7 = 8

F2(C,E) = min [ t( C, E) + f1 ( X1 ) ]= 3.5+4.2 = 7.7F2(C,F) = min[ t( C, F) + f1 ( X1 ) ]= 3.4+4.2= 7.6Etapa 3S3 = LNX3 = D, E, F

X3

S3DEFf3X3

LN11.511.311.411.3E

F3(D,LN) = min [ t( D, LN) + f2( X2) ]= 3.4+ 8.1 = 11.5F3(E,LN) = min [ t( D, LN) + f2( X2) ]= 3.6 + 7.7 = 11.3F3(F,LN) = min [ t( F, LN) + f2( X2) ]= 3.8 + 7.6 = 11.4

Tiempo mnimo de vuelo:11.3 horasCamino ms corto:SE C E LN

SOLUCIN EN SOFTWARE WinQSB:

Solucion: Tiempo mnimo de vuelo:11.3 horasCamino ms corto:ST C E LN

IV. PROBLEMA DE ASIGNACIN:Problema 1:El propietario de 3 tiendas ha comprado 5 cestas de cerezas, para satisfacer la demanda en las diferentes tiendas. El propietario desea determinar la forma de distribuir los canastos, de manera de maximizar el beneficio total. Los retornos (utilidades) enfuncin del nmero de canastos distribuidos (se asume vendidos) en las 3 tiendas estn dados en la siguiente tabla:

Tienda\canastos012345

103791213

20510111111

3046111212

Solucion:Funcin de recurrencia:

ETAPA I: TIENDA 3Si\Xi012345F(Xi)Xi

0000

10441

204662

304611113

40461112124

5046111212124,5

ETAPA II:TIENDA2S2\X2012345F(Xi)Xi

0000

14551

265+4=910102

3115+6=1110+4=1411142

4125+11=1610+6=1611+4=1511161,2

5125+12=1710+11=2111+6=1711+4=1511212

ETAPAIII:TIENDA1

S2\X2012345F(Xi)Xi

521+03+16=197+14=219+10=1912+5=1713212,0

Alternativa 1Alternativa 2

T10T12

T22T22

T33T31

Beneficio total21Beneficio total21

Solucion utilzando DIN:

La solucin ptima nos indica que se tienen dos alternativas:

Alternativa 1Alternativa 2

T10T12

T22T22

T33T31

Beneficio total21Beneficio total21

PROBEMA 2:El propietario de una cadena de tres supermercados compr cinco cargas de fresas frescas. La distribucin de probabilidad estimada de las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los tres supermercados. El propietario quiere saber cmo debe asignar las cinco cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada.Por razones administrativas, no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, est de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas.En la siguiente tabla se proporciona la ganancia estimada de cada tienda al asignar distintas cantidades de carga:

Numero de cargasTienda

123

0000

1564

29119

3141513

4171918

5212220

Utilice programacin dinmica para determinar cuntas cargas debe asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.Solucin:Funcin de recurrencia:

ETAPA I: TIENDA 1S1 X1012345X1*

00-----00

105----51

2059---92

305914--143

40591417-174

5059