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Invito alla Geometria

Renato Betti

Corso per studenti di Liceo Classici – Politecnico di Milano

29 gennaio 2013

http://www.polimi.it/

Renato Betti – Politecnico di Milano

La geometria è la scienza del

ragionare corretto su figure

scorrette

(J.-H. Poincaré)

Invito alla Geometria




Invito alla Geometria – 27 marzo 2012

La geometria è la “misura della terra”



Invito alla geometria

Altezza di monumenti,

volumi di solidi

5

3

10

1

2

1

Frazioni egiziane: 1/2, 1/3, 1/4 ….

Aritmetica

Papiro Rhind

Circa 2000 aC



Solstizio d’estate


Astronomia

Orione





Matematica

forme dello spazio rapporti quantitativi

(aspetti qualitativi, geometria) (calcolo, aritmetica/algebra)

Eraclito (VI-V sec. aC):

“La natura ama nascondersi”

M. Kline: “La matematica è il tentativo più

profondo fatto dall’uomo per utilizzare la

propria ragione”

La geometria diventa una scienza razionale





La scuola di Atene Raffaello Sanzio 1509-10




Il metodo scientifico

Talete di Mileto

(VII-VI sec. aC)

''

''

DC

BA

CD

AB

tgABOB




Un diametro divide

il cerchio in due

parti uguali

Il metodo scientifico

I teoremi di Talete

Angoli opposti al vertice sono uguali

Gli angoli alla base di un triangolo

isoscele sono uguali (pons asinorum)

Angoli inscritti in

una

semicirconferenza

sono retti




Pitagora di Samo

(VI-V sec. aC)

“L’amore degli uomini per i numeri forse

è più antico della teoria dei numeri”

André Weil

Numeri figurati




2

)1(...321

nnnTn

2)12(...531 nn

tetractys

2

)1(

2

)1(

1

2

nnnn

TTn nn




I poliedri regolari convessi (solidi platonici)

terra

fuoco

acqua

aria

etere

(modello di universo)




“Quelli che affermano che le scienze matematiche

non parlano della bellezza sono in errore. Le

maggiori forme di bellezza sono ordine,

commensurabilità, precisione”.

Aristotele




Bellezza dei poliedri

Luca Pacioli (1445 circa – 1517)




Mysterium Cosmographicum

(Keplero 1596)

Johannes Kepler

(1571-1630)

Armonia del mondo



Teorema di Morley

(Frank Morley, 1860-1937)


Teorema di Napoleone




.............

415,12414,1

42,1241,1

5,124,1

221

Dubbi e critiche

Incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato =

irrazionalità della radice di 2



Dubbi e critiche



Achille e la tartaruga

Zenone di Elea (V sec.aC)




Euclide di Alessandria

(IV-III sec. aC)

Gli «Elementi» di Euclide

Definizioni

1. il punto è ciò che non ha parti,

2. La linea è lunghezza senza larghezza,

3. lasuperficie è ciò che ha soltanto lunghezza e

larghezza,

….…..

Nozioni comuni (o assiomi)

1. Cose uguali ad una stessa sono uguali tra loro

2. Aggiungendo quantità uguali a quantità uguali si ottengono quantità uguali

3. Sottraendo quantità uguali da quantità uguali si ottengono quantità uguali

4. Cose che coincidono sono uguali

5. Il tutto è maggiore delle parti




Postulati

1. Una retta può essere disegnata per due punti qualsiasi

2. Una retta può essere estesa indefinitamente in entrambe le

direzioni

3. un cerchio può essere disegnato usando un segmento come

raggio ed un punto come centro

4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro

5. Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela

Gli «Elementi» di Euclide




V postulato (delle parallele):

Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela

P


r

.



Il problema delle parallele

V postulato (delle parallele):

Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela

Geometria euclidea

Esiste un’unica parallela a r passante per P


P

r

.



Postulato non euclideo iperbolico

Esistono almeno due parallele a r

passanti per P

Postulato non euclideo ellittico

Non esistono parallele ad r passanti per P

Geometria non euclidea

sfera

pseudosfera




I protagonisti della geometria non euclidea

N.I. Lobačevskij

(1792-1856)

J. Bolyai

(1802-1860)

Eugenio Beltrami

(1835-1900)

C.F. Gauss

(1777-1855)




Costruzioni con riga e compasso

punto medio perpendicolare

parallela





Operazioni aritmetiche a a+b a-b somma/sottrazione

prodotto e divisione

a

b

ab

1

abxx

b

a

1

a

1

b

b/a

a

bx

b

x

a

1

1 a

a

radice quadrata




3/


Problemi classici: quadratura del cerchio

duplicazione del cubo

trisezione dell’angolo

ciclotomia (poligoni regolari)

3 2ll

Teorema: Con riga e compasso si possono risolvere solo le

equazioni (irriducibili) che hanno come grado una potenza di 2





Triangolo regolare Pentagono regolare

0)1)(1(1 23 XXXX 0)1)(1(1 2345 XXXXXX





Ciclotomia: 3, 5… )

3

1

5

2(2

15

2

Gauss (1801): I poligoni regolari con un

numero primo di p lati che si possono

costruire con riga e compasso sono soltanto

quelli che hanno

lati

122 k

p

k = 0 p = 3

k = 1 p = 5

k = 2 p = 17

k = 3 p = 257

k = 4 p = 65.537

I numeri primi di Fermat




a

b ba

4

2

24

2 ab

ax

Algebra geometrica

baxx 2




Quali forme?

Nel piano, poligoni, spezzate, circonferenze…. ma anche…

Nello spazio, poliedri, superfici

di rotazione … intersezioni ...

Spirale di Archimede

Cicloide




La geometria è lo studio delle proprietà delle forme

che sono “invarianti” rispetto alle trasformazioni di un

“gruppo” (Felix Klein, 1872)

Quali proprietà delle forme?

Le proprietà delle forme si possono classificare tenendo

conto delle trasformazioni dello spazio rispetto alle quali

non variano




Proprietà delle forme

Lo spazio è omogeneo

e

isotropo

invarianza rispetto alla scelta

dell’unità di misura




Ogni diametro divide la circonferenza

in due parti uguali

La somma degli angoli interni di un

poligono convesso di n lati vale

n

i

i n1

)2(

Proprietà delle forme




3n

3

1i

i

n

i

i nn1

)2(2





Una proprietà dell’iperbole

L’area del triangolo OAB non

dipende dal punto di tangenza

1xy

200 yxxy

)0,/2( 0yA )/2,0( 0xB

224

2

1

0000

yxyx

S



affinità





Geometria metrica

Gli invarianti metrici fondamentali sono:

la distanza di due punti (AB=A’B’):

l’angolo fra due direzioni (α=α’):

22 )()( BABA yyxxAB

coscoscoscos)cos(rs

Il gruppo delle trasformazioni piane generato da traslazioni,

rotazioni e riflessioni è il gruppo delle “isometrie”: dist(T(P),T(Q)=dist(P,Q)

)1(

'

'bdae

feydxy

cbyaxx

…… ……



Geometria delle similitudini

l’incentro e il circocentro di un triangolo sono nozioni invarianti

per similitudine




Geometria affine

Invarianza rispetto alle affinità:

feydxy

cbyaxx)0( bdae

L’invariante affine fondamentale è il rapporto semplice

di tre punti allineati:

BC

ACABC )(




In particolare è invariante il punto medio di un segmento:

Esempio:

la nozione di baricentro di un triangolo è una nozione affine

1)( BC

ACABC




Esempio

Il teorema di Pitagora è una proprietà simile

2

'k

T

Sk

CB

BC




U=T+S

2

2

c

a

U

T

c

a

2

2

c

b

U

S

c

b

222

2

2

2

2

1 cbac

b

c

a

U

S

U

T




In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due figure simili

costruite sui cateti è uguale all’area della figura, simile alle precedenti,

costruita sull’ipotenusa

Il teorema di Pitagora generalizzato




Esempio

L’area dell’ellisse

feydxy

cbyaxx)0( bdae

bdaeed

badet )(' bdaeSS

con una affinità, l’area delle figure viene moltiplicata per una costante




222 ryx 12

2

2

2

b

y

a

x

yr

by

xr

ax

'

'

2det

r

abA




2det'

r

abSASS

L’area dell’ellisse di semiassi a e b è: S’=πab

Area dell’ellisse

πr2 πr2·ab/r2= π·ab





Creare lo spazio




La nascita della prospettiva

Giotto (XIII-XIV sec.)

Piacemi il pittor sia dotto in

quanto e’ possa in tutte l’arti

liberali; ma in prima desidero

sappi geometria.

Leon Battista Alberti

De Pictura, 1435




Il punto di fuga




Ambrogio Lorenzetti

(1344)




La Trinità,

di Masaccio,

1426-1428




La costruzione legittima

Leon Battista Alberti




La costruzione con punto di distanza

Piero della Francesca




Paolo Uccello,

Il miracolo dell’ostia profanata,

1465-69

Piero della Francesca,

“De prospectiva pingendi”,

1475 circa

Paolo Uccello,

Studio di prospettiva



Proiettività




Il piano proiettivo è il piano esteso con i “punti impropri” in modo

che due rette parallele abbiano sempre esattamente un punto di

intersezione.

I punti del piano improprio si rappresentano analiticamente con tre

“coordinate omogenee”.

3332321313

3232221212

3132121111

'

'

'

xaxaxax

xaxaxax

xaxaxax

0det

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

AD

BD

BC

AC

ABD

ABCABCD

)(

)()(Invariante proiettivo: il birapporto





Il teorema dei triangoli omologici

Desargues, 1636




Il modello di Poincaré


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