ioprog - ingmar olsson · web viewpythagoras sats trigonom e tri – rätvinkliga trianglar...

Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3 IOPROG

GeoGebra introduktionNedslag i Matematik Origo 1c. Kap. 7 Geometri och bevis

Linje

Verktyget/knappen och dess undermenyer.

Visa/dölja

”Börja med GeoGebra 1” sidan 18.

Verktyget/knappen och dess undermenyer.

©www.ioprog.se

1


Stråle, sträcka

Konstruktionsprotokoll

”Börja med GeoGebra 1” sidan 17.

2


Webbsida/Dynamiskt arbetsblad/e-learning

GeoGebra har bra möjlighet att skapa webbsida eller dynamiskt arbetsblad för demonstrationer/visualisering av och framställning av undervisningsmaterial för GeoGebra exempel (se Börja med GeoGebra 1, sidan 3).

1) Aktivera Arkiv/File menu och välj Exportera/Export -> Dynamisk arbetsbok som Webbsida (html)/Dynamic Worksheet as Webpage (html)

Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.

Länken http://wiki.geogebra.org/en/Export_Worksheet_Dialog innehåller information om hur webbsida/dynamiskt arbetsblad skapas.

2) Ett annat sätt att skapa webbsida/arbetsblad är att använda View/Construction Protocol (Visa/Konstruktionsprotokoll).


En fil Linje_sträcka_stråle.html skapas av GeoGebra filen Linje_sträcka_stråle.ggb

3

http://wiki.geogebra.org/en/Export_Worksheet_Dialog


Övningar/e-lärande/e-learning:

Besvara följande frågor i ett svarsdokument (text eller html) som öppnas i ett separat fönster!Avmarkera alla kryssrutorna: Linje, Stråle, Sträcka och Vinkel1) Markera Linje: Vad kännetecknar en linje?2) Markera Stråle: Vad kännetecknar en stråle?3) Markera Sträcka: Vad kännetecknar en sträcka4) Höger-klicka på objekten stråle och sträcka och flytta start/ändpunkt till origo.5) Byt färg på objekten.6) Orientera objekten stråle och sträcka vertikalt.

Glidare/skjutreglage/reglerbart tal/slider

”Börja med GeoGebra 1”, sidan 10.

Skapa 3 st Glidare med Min = 0 och Max = 10.

4


Triangelolikheten

http://sv.wikipedia.org/wiki/Triangelolikheten

Kommandot Segment

Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot Segment. Då erhålls fönstret

Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Segment_Command

Längst ner på den öppnade sidan anges också motsvarande verktyg/knapp till kommandot.


Använd verktyget/knappen och dess undermeny

Ange Glidaren a_1 i fältet för Length

5

http://wiki.geogebra.org/en/Segment_Command

http://sv.wikipedia.org/wiki/Triangelolikheten


Det naturligaste valet av variabelnamn för glidarna hade varit a, b och c men vi vill reservera dessa variabelnamn till den blivande triangelns sidolängder. Indexeringen för variabel namn skrivs som a_1, b_1 och c_1.

Längden av sidan/sträckan/segmentet AB kan nu regleras med Glidaren a_1, exempelvis till värdet a_1 = 5. Genom att högerklicka på objektet för sida/sträcka/segment AB och använda Rename kan vi ge sida/sträcka/segment AB sidlängden c som är ett naturligt val i den blivande triangeln ABC.

Med hjälp av skärningspunkten mellan cirklarna med medelpunkt i A resp B och radierna b_1 resp c_1 kan vi nu skapa punkten C i triangeln ABC.

Kommandot Cirkel

Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot Cirkel. Då erhålls fönstret

6


Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command



Konstruera en cirkel med medelpunkten i A och radien b_1.

7

http://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command


Konstruera en cirkel med medelpunkten i B och radien c_1.

Markera skärningspukter mellan cirklarna.

Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot Intercect. Då erhålls fönstret

8


Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Intersect_Command



9

http://wiki.geogebra.org/en/Intersect_Command


Skärningspunkten (erna) blir C (och D).

Konstruera triangelsidorna AC (b) och BC (a) med hjälp av verktyget/knapp ”Segment between Two Points”.

Namnen på sidlängderna a och b skapas genom ”Rename”.

Öppna objekten för cirklarna med högerklick och avmarkera ”Show Objeckt” eller avmarkera cirkelobjekten under ”Conic” i Algebra vyn. Lägg märke till att symbolerna (ringarna) för de matematiska uttrycken för cirklarna under rubriken Conic i den Algebraiska vyn nu blivit ofyllda. Det går alltså lika bra att visa/dölja objekt grnom att klicka på ringsymbolen i den Alebraiska vyn som att högerklicka på objektet.

10


Skapa Text objekt som skriver ut när Triangelolikheten inte är uppfylld.

Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot Text. Då erhålls fönstret

Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Text_Command


11

http://wiki.geogebra.org/en/Text_Command


Ett objekt med texten ”Triangelolikheten är ej uppfylld!” skrivs ut.

Öppna Object Properties för textobjektet Text1 genom att högerklicka på objektet. Välj alternativet Advanced för att ange ”Condition to show Object” dvs villkoret då triangelolikheten inte är uppfylld:

a + b <= c eller a + c <= b eller b + c <= a

Reglera valfri glidare eller alla tre så triangelolikheten inte är uppfylld, exempelvis b + c <= a: 4 + 3 = 7

12


Skapa ett konstruktionsprotokoll:

Webbsida/Dynamiskt arbetsblad/e-learning



13






En fil Triangel_olikheten_sida1_2_3.html skapa av GeoGebra filen Triangel_olikheten_sida1_2_3.ggb

Den kan öppnas i en valfri webbläsare:

Triangelolikheten:

I text: Summan av längderna av två valfria sidor i en triangel är större än längden av den återstående sidan.

Med skalära enheter: a + b >= c eller a + c >= b eller b + c >= a

Med vektorer:

14



Låt och vara vektorer. Triangelolikheten ges av

Låt och vara komplexa tal. Triangelolikheten ges av

Generellt uttryck för triangelolikheten:


Besvara följande frågor i ett svarsdokument (text eller html) som öppnas i ett separat fönster!

1. Undersök triangelolikheten a + b > c med hjälp av glidaren a12. Undersök triangelolikheten a + b > c med hjälp av glidarna a1 , b1ochc1 3. Gör motsvarande undersökning för triangelolikheterna a + c > b och c + b > a4. Vad händer när a + b = c, a + c = b och c + b = a?

Vinklar/Angles

Verktyget/knappen och dess undermenyer

Öppna länken http://wiki.geogebra.org/en/Angle_Tool

Kommandot Vinkel/Angle

Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Då erhålls fönstret

(i engelsk version) eller (i svensk version)

15

http://wiki.geogebra.org/en/Angle_Tool


Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command

GeoGebra: Presentation av vinkelbegreppet (Matematik Origo 1c, kap 7, sidan 245-246).

Använd följande konstruktionsprotokoll (ingår som en del av en exporterad webbsida, se Webbsida/Dynamiskt arbetsblad nedan)

16

http://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command


för att skapa följande GeoGebra exempel för introduktion av vinkelbegreppet.

Webbsida/Dynamiskt arbetsblad



17







Besvara följande frågor i ett svarsdokument (text eller html) som öppnas i ett separat fönster!Avmarkera alla kryssrutan: Vinkel

Markera Vinkel:1. Ställ in en spetsig vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.2. Ställ in rät vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet. 3. Ställ in en trubbig vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.4. Ställ in en rak vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.

18



Likbelägna vinklar

Sidovinklar

19


Bissektris (Origo 1c sid 244)

Vinkelsumma (fyrhörning, Origo 1c sid 248)

Randvinkel (Origo 1c sid 287)

20


Eqvilateral TrianglesAnother classic geometry construction is eqvilateral triangels. Here is an abstract from http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements that gives an overview of Euclid's Elements a collection of 13 books written by the Greek mathematician Euclid in Alexandria about 300 BC.

A proof from Euclid's Elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.

Again GeoGebra is perfect for this construction.Double-click on any of the GeoGebra WebStart icon, GeoGebra Installer icon or links to GeGebra4/GeoGebra5. The GeoGebra tool opens the standard window.Hide the Axes view.

Use the “New Point” tool to create a point A and point B.Use the Circle tool “Compass” to draw a circle with the radius = distance between A and B. Activate the tool “Compass” and click with the mounse on point A and B and then on A again to make A as the circle center.Repeat the same scenario for a similar circle but center on the point B.Create/fix the upper intersection point between the circles with the tool “Intersect Two Objects”.

Create segment AB, AC and BC with the tool “Segment between Two Points”. Hide the Circle Object.

21


Use the tool “Angle” to control the eqvilateral triangle angels. Activate the toll “Angle” and click on the point B, A and C to get the angle BAC.

Nivå2: 7108 (sid 246)

Klocka:

Öppna länken http://wiki.geogebra.org/en/Numbers_and_Angles för information om Numbers och Angles. Öppna länken http://wiki.geogebra.org/en/Points_and_Vectors för information Points and Vectors.Punkt/vektor i rätvinkliga koordinater: P = (1,0 ) resp v = (1,0).Punkt/vektor i polära koordinater, (radie; vinkel): P = (1;0º) eller v = (1;0º). Använd ; för polära korrdinater. Symbolen för grader används om vinkeln är i grader. Om symbolen för grader utelämnas tolkas vinkeln i radianer.Skriv uttrycket v = (2;45º) eller v = (2;∏/4) i Input fältet. Detta avbildas på ritytan som en vektorpil med längden 2 och vinkeln 45º från origo.Ett polärt uttryck kan användas för att avbilda visare i en klocka. Gör en glidare med namnet m med talområdet 0 till 12*360 och ökningen 6 (motsvarar vinkeln som en minutvisare rör sig på 1 minut).Skapa en minutvisare/vektorpil som är 3 enheter lång med uttrycket mm=(3;mº).Skapa en timvisare/vektorpil som är 2 enheter lång med uttycket hh=(2;mº/12)Symbolen för grader, º, får man med Alt+o i GeoGebra (Windows).Visarna/vektorpilarna startar på x-axeln och rör sig moturs. Ändra detta genom att använda uttryckenmm = (3; 90º - mº) resp hh = (2; 90º - mº/12)Använd en glidare med stor bredd så att glidarens värden blir lätt att ställa in.

Nivå 2: 7108 (sid 246)

Använd verktyget/knappen Vinkel eller kommandot v = Vinkel[hh, mm] för att bestämma vinkeln för klocka 5

Nivå3:7110-7112 (sid 246)

22

http://wiki.geogebra.org/en/Points_and_Vectors

http://wiki.geogebra.org/en/Numbers_and_Angles


Öppna Inställningar -> Avancerat. I detta fönster kan omställning mellan grader och radianer göras.

Använd följande konstruktionsprotokoll för 7110 och 7112

Pythagoras sats

23


Trigonometri – rätvinkliga trianglar

24


Trigonometri – unit circle

25


Unit circle and definition of trigonometri functions sin α and cos αIn the context of the standard unit circle with radius 1, where a triangle is formed by a ray originating at the origin and making some angle with the x-axis, the sine of the angle gives the length of the y-component (rise) of the triangle, the cosine gives the length of the x-component (run), and the tangent function gives the slope (y-component divided by the x-component).Step-by-step collaborationThe following Construction Protocol gives the step-by-step to construct a unit Circle, (a Circle with radius = 1), a slider for assigning values to an angle, a movable point P on the circle and P:s x- and y- coordinates with sign, visualized with the y-projection PB and x-projection PA. The x-coordinate is defined as sin α and the y-coordinate is defined as cos α.

This Construction Protocol is realized in the following GeoGebra construction.

E-learning Trig_degree.html

Open the web page Trig_degree.html. Navigate in the web page and investigate the following exercises or select others after your own choice

26


1. Find the values for sin α and cos α for the angle values α = 0ºα = 90ºα = 180ºα = 360º2. Which is the minimum and maximum value for sin α and cos α for angle values in 1st quadrant, 0 ≤ α ≤ 902nd quadrant, 90 ≤ α ≤ 1803rd quadrant, 180 ≤ α ≤ 2704th quadrant, 270 ≤ α ≤ 360Express the answer with an intervall minValue ≤ sin α ≤ maxvalue and minValue ≤ cos α ≤ maxvalue3. Find the value for the angle α when P has the coordinates

P = (12

, √32

¿

P = ( 1√2

, 1√2

)

P = (14

, √1516

)

Use the Input Field. Calculate the numbers with the symbol √ with the function sqrt().Step-by-step collaboration:The trigonometric functions tan α and cot α are defined by the expressions

tan α = sin αcosα

and cot α = cosαsinα

Continue the construction above (Unit Circle) and make the following step-by-steps 18 – 23:

Use the uniform triangles OBP and OXC to get the definition for tan α.

27


Step-by-step elaboration:Continue the construction above (Unit Circle) and make the following step-by-step 18 – 24:

Use the uniform triangles OAP and OYD to get the definition for cot α.

Step-by-step elaboration Investigate the trigonometric functions sin x, cos x, tanx and cot x measuring the angle in radians. In the GeoGebra menu, open Options -> Settings -> Advanced to check the ”Angle Unit to Radians”.

E-learning Trig_radian.htmlOpen the web page Trig_radian.html. Navigate in the web page and make the same investigation as for exercises for Trig_degree.html, now with the angles measured in radians.

E-learning Trig_CAS.htmlOpen the web page Trig_CAS.html. Navigate in the web page and investigate the following exercises or select others/similar after your own choice.4. Test the value of sinα2 + cosβ2 or sin2α + cos2β for optional values of α and β. The result is obvious when applying the Pythagoras’ theorem on the unit circle construction. Verify that. 5. Use the Input field and function sin() or cos() and calculate values of sin(α + n*2π) or cos(α + n*2π)

(sin(α + n*360º) or cos(α + n*360º)) for different values of α and n. For example sin 13π6

= sin(π6 + 2*2π

28


) (sin 750º = sin(30º + 2*360º)), and compare this to sinπ6 (sin 30º). Verify that the result is obvious

from the properties of the angle rotation in the unit circle.The graphs y = sin x, y = cos x, y = tan x and y =cot xStep-by-step collaborationConstruct the graph for y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot xPut the unit circle to the left in the graphics pane and locate a x-y-coordinate system to the right in the graphics pane. Visualize the graph y = sin α with the point S = (α, sin α) as a red trace and the graph y = cos α with the point C = (α, cos α) as a blue trace in the coordinate system. The angle α must be measured in radians when it is plotted on the x-axis. Open Options -> Settings -> Advanced to check the “Angle Unit to Radians”.The following Construction Protocol gives the step-by-step collaboration to construct the graph y = sin x, y = cos x.


29


Step-by-step collaborationConstruct the graph for y = tan x.Visualize the graph y = tan α with the point T = (α, tan α) as a brown trace and the graph in the coordinate system.


30


Vektorer – addition

Vektor – subtraktion

31


32

ioprog - ingmar olsson · web viewpythagoras sats trigonom e tri – rätvinkliga trianglar...

Documents