ipaee capitulo 3_slides_2

IINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AOAO PPLANEJAMENTOSLANEJAMENTOS EE AANÁLISENÁLISE EESTATÍSTICASTATÍSTICA DEDE EEXPERIMENTOSXPERIMENTOS

22ºº SSEMESTREEMESTRE DEDE 2010 2010

CCAPÍTULOAPÍTULO 33

IINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AA PPROBABILIDADEROBABILIDADEIINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AA PPROBABILIDADEROBABILIDADE

EE AA IINFERÊNCIANFERÊNCIA EESTATÍSTICASTATÍSTICA



INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:

A inferência estatística consiste em um conjunto

de métodos usados para tomar decisões ou tirarde métodos usados para tomar decisões ou tirar

conclusões acerca de uma população. Esses métodos

utilizam a informação contida em uma amostra da

população para tirar conclusões.




DUAS GRANDES

ESTIMAÇÃO

PONTUAL

INTERVALARDUAS GRANDES ÁREAS

TESTE DE HIPÓTESES

INTERVALAR



EEXEMPLOXEMPLO::

SITUAÇÃO 1:Considere que um engenheiro de estruturas esteja analisando aresistência a tensão de um componente usado em um chassi deautomóvel.

Uma vez que a variabilidade da resistência à tração está naturalmentepresente entre componentes individuais, o interesse do engenheiro estána estimação da resistência média a tração dos componentes.

Na prática, o engenheiro usará dados da amostra para calcular umnúmero que e, de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) damédia verdadeira. Esse número é chamado de estimativa.



EEXEMPLOXEMPLO::

Situação 2:

Considere agora uma situação em que duas temperaturas diferentes

de reação, como t1 e t2 possam ser usadas em um processo químico.

O engenheiro conjectura que t1 resulta em rendimentos maiores que t2

Neste caso não há ênfase na estimação de rendimentos; em vez disso,

o foco está na tirada de conclusões acerca de uma hipótese

estabelecida (t1 tem maior rendimento que t2).



DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES EE PROPRIEDADESPROPRIEDADES BÁSICASBÁSICAS::

Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou

impraticável observar a população inteira.

Por exemplo, não poderíamos testar a resistência a tração de todos os

elementos estruturais dos chassis, pois consumiria muito tempo e seria

muito caro

ALTERNATIVA:

Observar um conjunto de observações da população (AMOSTRA) para

ajudar a tomar decisões à cerca da população.




PopulaçãoPopulação

amostra




OBJETIVO:

A amostra tem que ser representativa da população.

SOLUÇÃO:

Selecionar uma amostra aleatória.




DEFINIÇÃO 1:

As observações (X1,X2,...,Xn) são uma amostra aleatória de tamanho n, se:

(a) os X’s são observações independentes,

(b) todos os Xi’s podem ser representados pela distribuição deprobabilidade.



DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES EE PRPRIEDADESPRPRIEDADES BÁSICASBÁSICAS::

EXEMPLO:

Suponha que estejamos investigando a vida efetiva de serviço de um

componente eletrônico usado em um marca-passo cardíaco e que a vida

do componente seja normalmente distribuída.do componente seja normalmente distribuída.

Então, esperaríamos que cada uma das observações da vida do

componente Xl, X2, ..., X. em uma amostra aleatória de n componentes

fosse uma variável aleatória independente com, exatamente, a mesma

distribuição normal.

Depois dos dados serem coletados, os valores numéricos dos tempos de

vida observados são denotados por x1,x2,...,xn.




DEFINIÇÃO 2:

Uma estatística é qualquer função das observações de uma amostra

aleatória.

Exemplos de Estatísticas:

Média da amostraVariância da amostraDesvio-padrão S da amostra




O objetivo da estimação pontual é selecionar um único número

baseado nos dados da amostra, sendo esse o valor mais plausível para

θθθθ (parâmetro).

DEFINIÇÃO 3:

Uma estimativa pontual de algum parâmetro θ da população é umúnico valor numérico de uma estatística .




EXEMPLO:

Suponha que a variável aleatória X seja normalmente distribuída

com uma média desconhecida µµµµ. A média da amostra é um

estimador da média desconhecida µµµµ da população. Isto é . Depoisestimador da média desconhecida µµµµ da população. Isto é . Depois

da amostra ter sido selecionada, o valor numérico é a estimativa

de µµµµ. Assim, se x1 = 25, x2 = 30, x3 = 29 e x4 = 31, então a estimativa

de µµµµ é:




EXEMPLO:

Similarmente, se a variância da população σσσσ2 for também

desconhecida, um estimador para σσσσ2 será a variância da amostra

S2 e o valor numérico s2 = 6.9, calculado a partir dos dados

amostrais, é chamado de estimativa de σσσσ2.




Problemas de estimação ocorrem freqüentemente em engenharia.Geralmente, é necessário estimar:

A. A média µµµµ de uma única população;

B. A variância σσσσ2 (ou desvio-padrão σσσσ) de uma única população;

C. A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe

de interesse;.

D. A diferença nas médias de duas populações, µµµµ1 - µµµµ2;.

E. A diferença nas proporções de duas populações, p1 – p2;



Estimativas razoáveis desses parâmetros são dadas a seguir:

Para µµµµ, a estimativa é , a média da amostra.

Para σσσσ2 a estimativa é a variância da amostra.

Para p, a estimativa é a proporção da amostra, sendo x o número

de itens em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a classe de

interesse.

Para µµµµ1 - µµµµ2, a estimativa é a diferença entre as médias

de duas amostras aleatórias independentes.

Para p1 – p2 a estimativa é , a diferença entre duas proporções

amostrais, calculadas a partir de duas amostras aleatórias independentes.



Podemos ter várias escolhas diferentes para o estimador pontual de um

parâmetro. Por exemplo, se desejarmos estimar a média de uma

população, podemos considerar como estimadores a média ou a

mediana da amostra ou talvez a média das observações menores e

maiores da amostra.maiores da amostra.

SOLUÇÃO: Estabelecer critérios para escolha de um estimador.

Os critérios para escolha do “melhor” estimador para um

determinado parâmetro populacional são definidos a partir de

“propriedades” desejáveis destes estimadores.



PROPRIEDADE 1:

Um estimador é não viciado (ou não tendencioso) para um

parâmetro populacional θθθθ se:

Essa propriedade diz que um estimador deve estar "perto", de

algum modo, do valor verdadeiro do parâmetro desconhecido.



PROPRIEDADE 2:

Sejam e dois estimadores não viciados de um parâmetro θθθθ.

é mais eficiente do que se:

Var( ) < Var( )

ou seja, um estimador é mais eficiente quanto menor for a sua

variância, ou ainda, quanto mais preciso (menor dispersão) ele for.



DEFINIÇÃO 4:

Se considerarmos todos os estimadores não viciados de um parâmetro θ,

aquele com menor variância será denominado de estimador não viciado

de menor variância.

EXEMPLO:

Deseja-se comprar um rifle, e após algumas seleções, restaram quatro

alternativas que denominamos de rifles A, B, C e D. Realiza-se um teste

para cada um dos rifles que consistiu em fixá-lo num cavalete, mirar o

centro de um alvo e disparar 15 tiros.



Rifle A: Não viciado combaixa precisão (grandedispersão ou variância);

Rifle B: Viciado combaixa precisão;

Rifle C: Não viciado comboa precisão;

Rifle D: Viciado com altaprecisão;



MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:

A forma de obtenção de um estimador para um dado parâmetro

populacional, de preferência com as propriedades desejáveis, pode ser

feita utilizando-se diferentes procedimentos chamados de métodos de

estimação. Esses métodos não serão aqui apresentados e podem serestimação. Esses métodos não serão aqui apresentados e podem ser

vistos, por exemplo, em Montgomery e Runger (ver bibliografia do curso).

Destacamos que os principais métodos de estimação são:

1. Métodos dos Momentos;

2. Método da Máxima Verossimilhança;

3. Método dos Mínimos Quadrados;



DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:

A inferência estatística, como vimos anteriormente, tem por objetivo tomar

decisões acerca de uma população.

Por exemplo, podemos estar interessados no volume médio de enchimento de

uma lata de refrigerante. O volume médio de enchimento na população é 300 ml.uma lata de refrigerante. O volume médio de enchimento na população é 300 ml.

Um engenheiro considera uma amostra aleatória de 25 latas e calcula o volume

médio amostral de enchimento como ml.

O engenheiro decidirá, provavelmente, que a média da população é µµµµ = 300 ml,

muito embora a média amostral tenha sido 298 ml.

De fato, se a média verdadeira for 300 ml, os testes de 25 latas feitos

repetidamente devem resultar valores de x que variarão acima e abaixo de µµµµ =

300 ml.




A média amostral é uma estatística:

Uma vez que uma estatística, ela tem uma distribuição de probabilidades.

Qual a distribuição da média amostral?

DEFINIÇÃO 5:

A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de uma distribuição amostral.

Por exemplo, a distribuição de probabilidades de é chamada de distribuição amostral da média.




A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição da

população, do tamanho da amostra e do método de seleção da amostra.

A próxima seção deste capítulo apresenta talvez a mais importante

distribuição amostral. Outras distribuições amostrais e suas aplicações

serão ilustradas quando necessárias (por exemplo a distribuição

amostral da variância amostral).



DDISTRIBUIÇÃOISTRIBUIÇÃO AAMOSTRALMOSTRAL DADA MMÉDIAÉDIA::

CASO DE UMA MÉDIA:

Considere a determinação da distribuição amostral da média da

amostra. Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n sejaamostra. Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n seja

retirada de uma população normal com média µµµµ e variância σσσσ2.




JUSTIFICATIVA EMPÍRICA:

Seleciona-se várias amostras aleatórias de um determinado tamanho n de

uma população com média µµµµ desvio padrão σσσσ e:

1. Calcule a média amostral para cada amostra.

2. Construa um histograma dos valores de

3. Examine a forma, centro e dispersão da distribuição apresentada no

histograma, bem como valores atípicos e ou desvios.




Distribuição amostral de “x barra”

HistogramaHistogramade 1000 médias

amostrais




Distribuição amostral de “x barra”

σ/√n




JUSTIFICATIVA TEÓRICA:

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

O Teorema Central do Limite nos diz que, independente da distribuição queO Teorema Central do Limite nos diz que, independente da distribuição que

a característica em estudo pode ser representada, a medida que o tamanho

da amostra aumenta, a distribuição amostral da média pode ser

representada pelo modelo normal.



DDISTRIBUIÇÃOISTRIBUIÇÃO AAMOSTRALMOSTRAL DADA MMÉDIAÉDIA:: EXEMPLO:

Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistênciamédia de 100Ω e um desvio padrão de 10Ω. A distribuição dasresistências pode ser representada pelo modelo normal. Encontre aprobabilidade de uma amostra aleatória de tamanho n = 25 resistorester uma resistência média menor que 95Ω?

Solução:

X = resistência dos resistores ⇒

= Média da amostra de n = 25 resistores

⇒

Conseqüentemente a probabilidade desejada é dada por:



DDISTRIBUIÇÃOISTRIBUIÇÃO AAMOSTRALMOSTRAL DADA DDIFERENÇAIFERENÇA DEDE MMÉDIASÉDIAS::

SITUAÇÃO:

1. Duas populações independentes.2. Faça a primeira população ter uma media µ1 e variância e a segunda

população ter uma media µ2 e variância .Suponha que ambas as populações possam ser representadas peloSuponha que ambas as populações possam ser representadas pelomodelo normal.

3. Resultado:Combinações lineares de variáveis aleatórias normais têm distribuiçãonormal.




CONSEQÜÊNCIA:

distribuição amostral de é normal:

Com média:Com média:

e variância:




EXEMPLO:A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma turbina de um aviãoa jato é uma variável aleatória, com média de 5.000 h e desvio-padrão de 40 h.A distribuição da vida efetiva é razoavelmente próxima da distribuição normal.0 fabricante do motor introduz uma melhoria no processo de fabricação para essecomponente, que aumenta a vida média para 5.050 h e diminui o desvio-padrãocomponente, que aumenta a vida média para 5.050 h e diminui o desvio-padrãopara 30 h.Suponha que uma amostra aleatória de n1= 16 componentes seja selecionada doprocesso "antigo" e uma amostra aleatória de n2 = 25 componentes sejaselecionada do processo "melhorado".Considere que o processo antigo e o melhorado possam ser considerados comopopulações independentes.Qual é a probabilidade de que a diferença nas duas médias amostrais sejano mínimo de 25 h?




EXEMPLO:

Solução:

X1 = tempo de vida do processo antigo ⇒

X2 = tempo de vida do processo melhorado ⇒

Logo:

E

Desta forma:



INTERVALOS DE CONFIANÇA:INTERVALOS DE CONFIANÇA:

PROBLEMA:Considere o problema da condutividade térmica de ferro Armaco. Usandouma temperatura de 100ºF e uma potência de 550w, 10 medidas foramobservadas obtendo-se uma média amostral de BTU/h.ft.oF.

QUESTÃO:

Quão próximo está da verdadeira média populacional este valor?

Em muitas situações, uma estimativa pontual de um parâmetro,

como foi vista até o momento, não fornece informação completa.




ALTERNATIVAS:

1. Calcular o erro-padrão da estimativa (desvio do estimador) é um

guia aproximado para a precisão da estimação.

2. Obter um intervalo de confiança para expressar o grau de

incerteza associado com uma estimativa.




DEFINIÇÃO 6:Uma estimativa do intervalo de confiança de um parâmetro desconhecido θé um intervalo da forma l ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ s em que os pontos finais l e s dependem dovalor numérico da estatística da amostra para uma amostra particular.

Uma vez que amostras diferentes produzirão valores diferentes de e ,Uma vez que amostras diferentes produzirão valores diferentes de e ,conseqüentemente, valores diferentes dos pontos finais l e s, esses pontosfinais são valores de variáveis aleatórias, como I e S, respectivamente.

Da distribuição amostral da média seremos capazes de determinar valoresde I e S, tal que a seguinte afirmação sobre probabilidade seja verdadeira:

P [ I ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ S ] = 1 - αααα




DEFINIÇÃO 7:

P [ I ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ S ] = 1 - αααα

sendo 0 < αααα < 1. Assim, temos uma probabilidade de 1 - αααα desendo 0 < αααα < 1. Assim, temos uma probabilidade de 1 - αααα de

selecionar uma amostra que produzirá um intervalo contendo o valor

verdadeiro de θ.




As grandezas l e s são chamadas de limites inferior e superior de

confiança, respectivamente, e (1 - αααα) é chamado de coeficiente de

confiança.

INTERPRETAÇÃO:

intervalo de confiança considera que se um número infinito de

amostras aleatórias for calculado e um intervalo com 100( 1 - αααα)% de

confiança para θθθθ for obtido a partir de cada amostra, então 100(1 -

αααα)% desses intervalos conterão o valor verdadeiro de θθθθ.




Na prática:

Obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos um intervalo de

confiança.

Uma vez que esse intervalo conterá ou não o valor verdadeiro de θ, não éUma vez que esse intervalo conterá ou não o valor verdadeiro de θ, não é

razoável fixar um nível de probabilidade a esse evento específico.

A afirmação apropriada é: O intervalo observado [l, s] contém o valor

verdadeiro de θ, com 100( 1 - αααα) de confiança. Essa afirmação tem uma

interpretação de freqüência; ou seja, não sabemos se a afirmação é

verdadeira para essa amostra especifica, mas o método usado para obter o

intervalo [l, s] resulta em afirmações corretas em 100( 1 - αααα)% do tempo.




Essa afirmação tem uma interpretação de freqüência; ou seja, não sabemos

se a afirmação é verdadeira para essa amostra específica, mas o método

usado para obter o intervalo [l, s] resulta em afirmações corretas em 100

( 1 - αααα)% do tempo.




O comprimento s - l do intervalo observado de confiança é umaimportante medida da qualidade da informação obtida a partir daamostra.

A metade do comprimento do intervalo θθθθ - l ou s - θθθθ é chamada deA metade do comprimento do intervalo θθθθ - l ou s - θθθθ é chamada deprecisão do estimador.

Quanto maior for o intervalo de confiança, mais confiantes estaremos deque o intervalo realmente contem o valor verdadeiro de θ.Por outro lado, quanto maior for o intervalo, menos informação teremos arespeito do valor verdadeiro de θ.

IDEAL: Obter um intervalo relativamente pequeno com alta precisão.




QUESTÃO: Como encontrar Intervalos de Confiança com estascaracterísticas.

Em muitas situações práticas, é fácil encontrar os pontos finais que definemo intervalo de confiança para um parâmetro.o intervalo de confiança para um parâmetro.Por exemplo, os pontos finais para o intervalo de confiança para a média µµµµde uma distribuição normal envolvem o erro-padrão da média amostral .

Na verdade, o intervalo de confiança para µµµµ é encontrado adicionando esubtraindo um múltiplo do erro-padrão ou do erro-padrãoestimado, da média amostral.



IINTERVALONTERVALO DEDE CCONFIANÇAONFIANÇA PARAPARA MMÉDIAÉDIA µµµµµµµµ

SITUAÇÃO:

Temos interesse em construir um intervalo de confiança para a média

µµµµ, de uma característica que pode ser representada pelo modelo

normal:normal:

DUAS SITUAÇÕES

Variância Conhecida

Variância Desconhecida



IINTERVALONTERVALO DEDE CCONFIANÇAONFIANÇA PARAPARA MMÉDIAÉDIA µµµµµµµµ COMCOM VVARIÂNCIAARIÂNCIA CCONHECIDAONHECIDA::

OBSERVAÇÃO: Situação pouco usual em termos práticos!

Para estimar a média µ de uma população usamos a média da amostraobservada.Qualquer que seja a amostra coletada, no intervalo de confiançadefiniremos um “erro” observado em torno do valor médio, este “erro” édefiniremos um “erro” observado em torno do valor médio, este “erro” édado por ,ou seja, o desvio da média amostral em relação averdadeira média populacional.

Consideremos a variável aleatória “erro” dada por . Dividindo estaúltima expressão por temos pelo Teorema Central do Limite que,




Assim, fixado um valor (100(1 - αααα)%) tal que 0 < α < 1, podemosencontrar um valor de Zα/2 tal que




Por exemplo, αααα = 5% ⇒ (1-αααα)=0.95

0.95




Valores para mais usuais:

Nível de Confiança

90% 95% 99%

Valor crítico : 1.645 1.960 2.576

2/αz

Valor crítico : 1.645 1.960 2.576




A amplitude do intervalo de confiança

2/αz

-




Exemplo 1:Um cientista descobriu que uma doença que afeta indivíduos de certaregião está relacionada com a concentração da substância A no sangue,sendo considerado doente todo indivíduo para o qual a concentração de A émenor que 1,488 mg/cm3.

2/αz

menor que 1,488 mg/cm .Com o intuito de conhecer a concentração da substância A no sangue emindivíduos desta região afetados pela moléstia em estudo, o cientista avaliouum grupo 867 pessoas.Supondo que a concentração da substância A no sangue, em indivíduos coma doença em estudo, tem distribuição normal com média µ desconhecida edesvio padrão 0,4 mg/cm3 determine uma estimativa intervalar com 95% deconfiança para o nível médio da concentração de substância, sabendo quepara esta amostra de 867 pessoas obteve-se




2/αz

Exemplo 1: SOLUÇÃO

Dados do Problema:

X : Concentração da substância A no sangue;

n : tamanho da amostra = 867




2/αz

Exemplo 1: RETORNANDO AO PROBLEMA

Questão:Questão:

É considerado doente todo indivíduo para o qual a concentração de A émenor que 1,488 mg/cm3.

O que concluir a respeito da população estudada?




TAMANHO DE AMOSTRA:

ObservaçãoObservação:: ExemploExemplo anterioranterior:: n=n= 867867

ConseqüênciaConseqüência:: ErroErro padrãopadrão baixobaixo

2/αz

ConseqüênciaConseqüência:: ErroErro padrãopadrão baixobaixo

Quanto maior o tamanho da amostra menor o erro padrão

QUESTÃO:Como determinar o tamanho de amostra adequado de forma a garantir um “erro padrão” e um nível de confiança desejado??




TAMANHO DE AMOSTRA:

FixadoFixado umum erroerro máximomáximo admissíveladmissível::

2/αz




EXEMPLO:

DesejaDeseja--sese obterobter umauma estimativaestimativa dede ICIC parapara oo ganhoganho emem umum circuitocircuito dedeumum dispositivodispositivo semicondutorsemicondutor.. SuponhaSuponha queque oo ganhoganho sejaseja normalmentenormalmentedistribuídodistribuído comcom desviodesvio padrãopadrão == 2020

2/αz




EXEMPLO:

DesejaDeseja--sese obterobter umauma estimativaestimativa dede ICIC parapara oo ganhoganho emem umum circuitocircuito dede umumdispositivodispositivo semicondutorsemicondutor.. SuponhaSuponha queque oo ganhoganho sejaseja normalmentenormalmentedistribuídodistribuído comcom desviodesvio padrãopadrão == 2020..

2/αz

distribuídodistribuído comcom desviodesvio padrãopadrão == 2020..

a)a) EncontreEncontre ICIC 9595%% parapara oo ganhoganho médio,médio, quandoquando n=n=1010 ee aa médiamédiaamostral=amostral=10001000

b)b) QuãoQuão grandegrande nn devedeve serser sese oo comprimentocomprimento dodo ICIC dede 9595%% devedeve serser == 4040??




EXEMPLO: SOLUÇÃO

A:

2/αz




EXEMPLO: SOLUÇÃO

B:

2/αz

e = 10 (maior precisão)



IINTERVALONTERVALO DEDE CCONFIANÇAONFIANÇA PARAPARA MMÉDIAÉDIA µµµµµµµµ COMCOM VVARIÂNCIAARIÂNCIA DDESCONHECIDAESCONHECIDA::

2/αz

DUAS


DUAS SITUAÇÕES





SITUAÇÃO: (USUAL)

Parâmetros do modelo são desconhecidos, portanto devem ser estimados

a partir dos dados da própria amostra. No caso do modelo normal, nessa

2/αz

situação tanto a média µµµµ e a variância σσσσ2 não são conhecidas e seus

valores serão estimados pela média e variância amostral.



NOVA ESTATÍSTICA:

2/αz


T também é uma variável aleatória:

Diferença: Apesar de ter distribuição normal, o denominador de T

envolve a variável aleatória S2:

Conseqüência: Distribuição de T será diferente da normal.



COMPARANDO:

2/αz


Conhecido ⇒⇒⇒⇒ Constante Desconhecido ⇒⇒⇒⇒ Precisou ser estimado na Amostra ⇒⇒⇒⇒ Distribuição amostral S.



NOVA ESTATÍSTICA:

2/αz

Essa estatística tem distribuição conhecida como t-Student com n-1 graus


de liberdade, sendo n o tamanho da amostra. A forma da distribuição t-

Student é parecida com a da normal. É simétrica em relação a zero, mas

apresenta caudas “grossas”, ou seja, maior variância do que a normal.

Aumentando-se o tamanho de amostra n, a distribuição t de Student

aproxima-se do modelo normal.



NOVA ESTATÍSTICA:

2/αz




O procedimento para a obtenção do intervalo é semelhante ao desenvolvido

anteriormente. Utilizando a estatística,

2/αz




Exemplo:

Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma

grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75

2/αz


grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75

operários. A média amostral é dada por = 427,00 reais e s= 15,00 reais.

Determine um intervalo de confiança para µ considerando coeficientes de

confiança 0,90 e 0,95.


22ºº SSEMESTREEMESTRE DEDE 2010 2010 2/αz


Dados do Problema:

X : Rendimento semanal dos operários





Exemplo 2:

Em uma pesquisa para toxinas produzidas por um parasita que infecta as safras de

milho, um bioquímico preparou extratos da cultura do parasita com solventes

orgânicos e mediu a quantidade de substância tóxica por grama de solução. Paraorgânicos e mediu a quantidade de substância tóxica por grama de solução. Para

uma amostra de 9 culturas encontrou uma quantidade média de substância tóxica

igual a 1,02 miligramas e um desvio padrão de 0,26 miligramas. Seja µ a verdadeira

quantidade média de substância tóxica. Construir um Intervalo de 95% de confiança

para µ.




Dados do Problema:

X : quantidade de substância tóxica por grama de solução




IINTERVALONTERVALO DEDE CCONFIANÇAONFIANÇA PARAPARA DDIFERENÇASIFERENÇAS DEDE MMÉDIASÉDIAS: :

LEMBRANDO:




DIFERENTES SITUAÇÕES:

Variâncias dos diferentes grupos (tratamentos) são conhecidas;(tratamentos) são conhecidas;

Variâncias dos diferentes grupos (tratamentos) são Desconhecidas

e precisam ser estimada na amostra;




IINTERVALONTERVALO DEDE CCONFIANÇAONFIANÇA PARAPARA DDIFERENÇAIFERENÇA DEDE MMÉDIASÉDIAS COMCOM

VVARIÂNCIASARIÂNCIAS DDESCONHECIDASESCONHECIDAS EE IIGUAISGUAIS::

Nessa situação temos que a variância dos dois tratamentos em

estudo são desconhecidas, logo devem também ser estimadosestudo são desconhecidas, logo devem também ser estimados

pela amostra. Porém, embora desconhecidas, têm-se a

informação que as variâncias dos dois tratamentos são iguais.






PROBLEMA:

Considerando que as variâncias são desconhecidas, porém iguais eque é possível obter uma estimativa para variância amostral emcada um dos tratamentos, como pode-se estimar, a partir dessesvalores, a variância que é igual para ambos os tratamentos?






uma amostra de tamanho n1 do tratamento 1 com variância estimada denotada por ;uma amostra de tamanho n do tratamento 2 com variância estimada uma amostra de tamanho n2 do tratamento 2 com variância estimada denotada por ;

Estimador Combinado: (pooled variance)






Assim:

E, IC (1-αααα)% para µ1 - µ2 é dado por:






Exemplo:

As análises de dois lotes de carbono de

Amostras Lote 1 Lote 2

1 1.7 5.9

2 5.9 6.9

ix 2iS


cálcio apresentaram os seguintes teor

de cinzas (%) indicadas na tabela a

seguir. Construir um intervalo de

confiança de 95% para à diferença de

médias destes dois lotes.

2 5.9 6.9

3 1.5 3.6

4 4.1 4.3

5 5.9 8.0

6 1.7 2.0

7 3.7 4.8

8 3.1 6.8

9 1.7 9.1

10 3.2 1.5

Média Amostral 3.25 5.29

Variância Amostral 2.805 6.263






Logo:

ix 2iS

Qual o significado do intervalo conter apenas valores negativos?





VVARIÂNCIASARIÂNCIAS DDESCONHECIDASESCONHECIDAS EE IIGUAISGUAIS::Exemplo 2:

ix 2iS

Na fabricação de semicondutores, o ataquequímico por via úmida é freqüentemente usadopara remover silicone da parte posterior das

S1 S2

9.9 10.2

9.4 10.6

9.3 10.7para remover silicone da parte posterior daspastilhas antes da metalização. A taxa de ataque éuma característica importante nesse processo e ésabido que ela segue uma distribuição normal.Duas soluções diferentes para ataque químico têmsido comparadas, usando duas amostras aleatóriasde 10 pastilhas para cada solução. As taxasobservadas de ataque (10-3mils/min) são dadas natabela a seguir:

9.3 10.7

9.6 10.4

10.2 10.5

10.6 10.0

10.3 10.2

10.0 10.7

10.3 10.4

10.1 10.3

Questão: A taxa de média de ataque é a mesma para ambas as soluções???





VVARIÂNCIASARIÂNCIAS DDESCONHECIDASESCONHECIDAS EE IIGUAISGUAIS::Solução:

ix 2iS

S1 S2

9.9 10.2

9.4 10.69.4 10.6

9.3 10.7

9.6 10.4

10.2 10.5

10.6 10.0

10.3 10.2

10.0 10.7

10.3 10.4

10.1 10.321

10.8

10.6

10.4

10.2

10.0

9.8

9.6

9.4

9.2

Solucao

Taxa

Boxplot of Taxa





VVARIÂNCIASARIÂNCIAS DDESCONHECIDASESCONHECIDAS EE IIGUAISGUAIS::Solução:

ix 2iS

S1 S2

9.9 10.2

9.4 10.69.4 10.6

9.3 10.7

9.6 10.4

10.2 10.5

10.6 10.0

10.3 10.2

10.0 10.7

10.3 10.4

10.1 10.3 CONCLUSÃO: ?????





VVARIÂNCIASARIÂNCIAS DDESCONHECIDASESCONHECIDAS EE DIFERENTES:DIFERENTES:

ix 2iS

Nessa situação tem-se que as variâncias dos dois tratamentos emestudo são desconhecidas e diferentes e a estimativa da variânciaamostral de cada grupo será utilizada como estimador das mesmas.

Uma amostra de tamanho n1 do tratamento 1 com variância estimada denotada por ;Uma amostra de tamanho n2 do tratamento 2 com variância estimada denotada por ;






ix 2iS

Dessa forma, pelos mesmos motivos expostos quando doestudo para a situação de uma única média com variância desconhecidatem-se que:

v = necessária correção nos graus de liberdade da distribuição t






ix 2iS

e assim o intervalo de confiança (100(1 - αααα)%) e assim o intervalo de confiança (100(1 - αααα)%) para a diferença de médias, µ1 - µ2 é dado por:






ix 2iS

Exemplo 1:Exemplo:


Amostras Lote 1 Lote 2

1 1.7 5.9

2 5.9 6.9

cálcio apresentaram os seguintes teor

de cinzas (%) indicadas na tabela a

seguir. Construir um intervalo de

confiança de 95% para à diferença de

médias destes dois lotes.

3 1.5 3.6

4 4.1 4.3

5 5.9 8.0

6 1.7 2.0

7 3.7 4.8

8 3.1 6.8

9 1.7 9.1

10 3.2 1.5

Média Amostral 3.25 5.29

Variância Amostral 2.805 6.263






ix 2iS

Solução:



RRESUMOESUMO::

ix 2iS

Parâmetro Situação Intervalo de Confiança

Média



Médias Conhecidas e

Diferença de Médias

Médias Conhecidas e Variâncias Iguais

Médias Conhecidas e Variâncias Diferentes

Médias Desconhecidas e Variâncias Iguais

Médias Desconhecidas e Variâncias Diferentes



OOBSERVAÇÃOBSERVAÇÃO::

ix 2iS

Intervalos de confiança podem ser obtidos para outras parâmetros como porexemplo:

• Uma certa proporção “p” ;

• Uma diferença de proporções “p – p ”;• Uma diferença de proporções “p1 – p2”;

• Uma Variância : σ2

• Razão de Duas Variâncias: σ12/ σ2

2

Estes intervalos não serão apresentados neste curso mas podem ser

vistos em Mongtomery e Runger (2009)

ipaee capitulo 3_slides_2

Education

definies e propriedades

definies e prpriedades

experimentos2 semestre

uma populao

em uma amostra aleatria

uma estatstica qualquer

uma vez que

amostras2 e o valor