is tituto politÉcico a cioa l difracciÓ rigurosa de …

i

I�STITUTO POLITÉC�ICO �ACIO�AL

ESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

DIFRACCIÓ� RIGUROSA DE CAMPOS

ELECTROMAG�ÉTICOS A TRAVÉS DE

U�A RE�DIJA IDEAL.

TESIS

QUE PARA OBTE�ER EL TÍTULO DE

LICE�CIADO E� FÍSICA Y MATEMÁTICAS

PRESE�TA:

ALMA ILIA�A MARTÍ�EZ DOMÍ�GUEZ

ASESOR DE TESIS

Dr. JAIME AVE�DAÑO LÓPEZ

MÉXICO D.F., 12 DE AGOSTO, 2008.

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AGRADECIMIE�TOS. Dedico este trabajo a mi Mamá y a mi hermana, por su apoyo a lo largo de mi carrera. Agradezco a la escuela, a mis profesores por sus consejos y sus enseñanzas, así como a cada uno de mis compañeros con quienes compartí anécdotas inolvidables. De manera especial al Dr. Jaime Avendaño López por sus enseñanzas, sus palabras de aliento. Su apoyo y orientación han sido cruciales en mi formación. Y a mi amiga: Ariadna Montiel Arenas por compartir mis caídas y mis triunfos a lo largo de esta aventura.

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Í�DICE. RESUME�……………………………………………………………………………. pág.1

I�TRODUCCIÓ�……………………………………………………………………. pág.2

CAPÍTULO 1. BASES TEÓRICAS

1.1.- ¿Qué es la difracción? ……………………………………………….…... pág.4

1.2.- Ecuaciones de Maxwell. ……………………….……………………….…pág.4

1.3.- Condiciones de frontera. ……...………………………………………… pág.6

1.4.- Vector de Poynting. …………………………………………………...… pág.9

1.5.- Campos estacionarios bidimensionales..……..…………………………..pág.11

CAPÍTULO 2. MODELO TEÓRICO

2.1.- Solución rigurosa para el problema de difracción:

Polarización TE y TM………………………………….………………pág.14

CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS

3.1.- Para Ondas Planas Incidentes…………………………………………… pág.35

3.2.- Para Haces Gaussianos Incidentes……………………………………… pág.45

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CO�CLUSIO�ES…………………........................................................................... pág.87

APÉ�DICE A. Haces Gaussianos y Ondas Planas.

A.1. Haces Gaussianos Incidentes …………………………………………… pág.89

A.2. Ondas Planas Incidentes …………...…………………………………… pág.91

APÉ�DICE B. Cálculo explícito de )(~ αφn, para ambas polarizaciones, TE Y TM..pág.93

REFERE�CIAS …………………............................................................................. pág.96

1

RESUME�. Se estudia la difracción de ondas electromagnéticas, que pueden ser ondas planas o haces gaussianos, al incidir a cualquier ángulo sobre una pared metálica de espesor finito y conductividad infinita en la cual se ha perforado la rendija. El problema de difracción se resuelve de manera rigurosa, es decir, se encuentran soluciones a las ecuaciones de Maxwell junto a sus condiciones de frontera sin aproximación física alguna. Los resultados muestran que para un espesor infinitesimal de la placa metálica y para longitudes de onda pequeñas comparadas con el ancho de la rendija, la posición de los ordenes de difracción concuerda con aquellos predichos por teorías aproximadas, sin embargo cuando el espesor de la placa aumenta, esto deja de cumplirse debido a la interferencia que se produce dentro de la rendija. Cuando la longitud de onda es comparable con el ancho de la rendija aun para un espesor infinitesimal de la placa metálica, la posición de los órdenes de difracción es distinta de la predicha por las teorías aproximadas además, los detalles de la difracción dependen de la polarización, es decir, el carácter tensorial del campo electromagnético se hace sentir.

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I�TRODUCCIÓ�. A lo largo de la historia se han desarrollado diversas teorías para explicar el fenómeno de la difracción (la difracción es la propiedad que posee una onda de rodear un obstáculo al ser interrumpida en su propagación por él). Una de las éstas teorías fue desarrollada por Gustav Kirchhoff, basándose directamente en la solución de la ecuación diferencial de onda, la teoría de Kirchhoff es una aproximación válida para longitudes de onda suficientemente pequeñas, es decir cuando las aberturas difractantes son grandes en comparación con la longitud de onda, ésta teoría funciona bastante bien, aunque se ocupa solamente de ondas escalares y es insensible al hecho de que la luz es un campo vectorial transversal. Otra teoría es la de Fraunhofer y Fresnel: la difracción por una abertura fue estudiada mediante la aproximación de que el campo dentro de la rendija es el campo incidente, además en ella es utilizado el principio de Huygens -Fresnel, para calcular el campo difractado; existen otras teorías como la de Young, entre otras. En las teorías de Young, Fresnel, y Kirchhoff, el objeto difractante se supone perfectamente negro, es decir, toda la radiación incidente es absorbida, y nada de ella es reflejada, esto causa ambigüedad, puesto que esta situación es incompatible con la teoría electromagnética [2][3]. Las teorías sobre la difracción de la luz, que se han mencionado, muestran resultados sólo bajo ciertas condiciones, como: espesor de la placa cero y para longitudes de onda pequeñas comparadas con el ancho de la rendija, entre otras condiciones.

En este trabajo se generaliza la solución del problema de la difracción en el caso en que el objeto difractante sea una rendija. Se considera una rendija de longitud infinita a lo largo del eje z, ancho l en la dirección del eje x, perforada sobre una placa coincidente con el plano xz, con lo que se logra un objeto difractante independiente de la coordenada z, si además se considera que la radiación incidente sea también independiente de la coordenada mencionada, entonces se tendrá un problema completamente independiente de dicha coordenada, a esta rendija se le agregan algunas condiciones: que la placa en que esta perforada tenga conductividad infinita, que sea de espesor finito (h).

3

Al considerar que la conductividad es infinita (se trata de un cuerpo perfectamente reflector), se facilita de manera considerada el cálculo, además, esta condición es compatible con la teoría electromagnética (i.e. es compatible con las ecuaciones de Maxwell), y más aún la conductividad de algunos metales (cobre) es muy alta por lo que esta consideración representa una muy buena aproximación, sí la frecuencia no es muy alta [2]. Se hace incidir una onda electromagnética por encima de la rendija, esta onda puede incidir a un ángulo determinado (θin), para solucionar el problema de la difracción del campo electromagnético de manera exacta se resuelven las ecuaciones de Maxwell con las condiciones de frontera para una rejilla con las características mencionadas [ancho (l), espesor (h) y de conductividad infinita] para resolver dichas ecuaciones se utiliza la transformada de Fourier y el principio de superposición. Finalmente, una vez conociendo los campos electromagnéticos, se conoce el vector de Poynting y es posible conocer la cantidad de energía difractada. Se realizan los patrones de difracción en campo lejano (puntos alejados de la rendija) [12], estos patrones de difracción se analizan en dos regiones conocidas como escalar (λ/l=0.15 œ 0.001< λ/l<0.2) y vectorial (λ/l=0.9 œ λ/l > 0.2) [12,13], para concluir así la importancia de los dos tipos de polarización TE y TM del campo electromagnético en la región vectorial. El problema resuelto en el presente es más general, puesto que sí después del desarrollo teórico se hace tender (h) a cero y λ a infinito entonces se podrán reproducir de manera parcial los resultados de las teorías escalares.

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CAPÍTULO 1.

BASES TEÓRICAS

1.1 ¿Qué es la difracción? Se llama difracción, a la desviación de la luz de su propagación rectilínea, que ocurre cuando la luz avanza más allá de una obstrucción, el fenómeno de la difracción fue observado primero por Francesco Grimaldi [8]. Un cuerpo opaco colocado a medio camino entre una pantalla y una fuente puntual, proyecta una sombra complicada hecha de regiones claras y obscuras muy diferentes de las que podría esperarse según los principios de la óptica geométrica, Grimaldi llamó a este efecto “diffractio”. Este efecto es una característica general de los fenómenos ondulatorios que ocurren donde quiera que una parte de un frente de onda esté obstruida de alguna manera. Si al encontrar un obstáculo transparente u opaco se altera la amplitud o fase de una región del frente de onda se producirá difracción.

1.2 Ecuaciones de Maxwell En aquella época, en la que todos creían que electricidad y magnetismo eran fenómenos del todo independientes, un profesor de Copenhague [1] había descubierto que al hacer pasar una corriente eléctrica por un cable, la aguja de una brújula situada cerca se desviaba perpendicularmente a éste de su orientación hacia el norte (1820). Faraday (1791-1867), se había enterado de aquel acontecimiento y se había interesado en él. Faraday, a sus veintinueve años, había hecho un gran descubrimiento. El chisporroteo de la electricidad y los silenciosos campos de fuerza de un imán y también el acelerado movimiento de un cable de cobre girando en torno a un imán resultaban estar ligados. Conforme aumentaba la cantidad de electricidad, el magnetismo disponible disminuía. Las

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invisibles líneas de fuerza eran el conducto mediante el cual se podía convertir el magnetismo en electricidad, y recíprocamente. El área en torno a un acontecimiento electromagnético, sostenía Faraday, estaba llena de un misterioso «campo» cuyas tensiones producían lo que se interpretaba como corrientes eléctricas y además insistía en que a veces casi se podía ver su esencia, como en las curvas que forman las limaduras de hierro esparcidas en torno a un imán. Pero casi nadie lo creía, excepto quizá aquel joven escocés llamado James Clerk Maxwell (1831-1879).

A finales de la década de 1850, Maxwell comprendió que lo que ocurre en el interior de un rayo de luz, es una variación del movimiento de ida y vuelta de campos electromagnéticos. La luz, avanzaba simplemente mediante una sucesión de rápidos saltos entre dichos campos [1]. Fue uno de los momentos estelares de la ciencia del siglo XIX. Las ecuaciones de Maxwell, que resumen esa idea, y otras que incluyen los descubrimientos hechos por Coulomb (1736-1806) y Ampere (1775-1836), se han reconocido como uno de los mayores logros teóricos de todos los tiempos [6]. Las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial están dadas por [16], [10]:

ρ=⋅∇ ),t(rD , (1.2.1)

0), =⋅∇ t(rB , (1.2.2)

0),

), =∂

∂+×∇

t

t(t(

rBrE , (1.2.3)

0),

), =∂

∂−−×∇

t

t(t(

rDJrH , (1.2.4)

donde

))) rErrD ((( ε= , (1.2.5)

))() rHrrB (( µ= , (1.2.6)

En las cuales ε es la permitividad dieléctrica del medio, la cual expresa el comportamiento eléctrico del medio, en cierto sentido, es que tanto se deja atravesar el material por el campo eléctrico en el que se encuentra sumergido y µ la permeabilidad magnética del medio en el que la onda se propaga [16].

La Ec. (1.2.1) es la ley de Gauss para las cargas eléctricas, la cual establece que el flujo de la intensidad del campo eléctrico es proporcional a la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana, es decir, si el resultado neto de ésta es distinto de cero se deberá a la presencia de fuentes o sumideros (carga eléctrica). Ésta se reduce a la ecuación de Coulomb. La Ec. (1.2.2), representa la ley de Gauss para campos magnéticos, de manera general establece que no existen los polos magnéticos aislados en la naturaleza. La Ec. (1.2.3) es la ecuación de Faraday la cual establece que cuando el flujo magnético que pasa por un circuito cerrado varía en el tiempo, entonces se produce una corriente en alrededor de este circuito, dicho de otra manera, un campo magnético variable en el tiempo, está

6

asociado con un campo eléctrico. Finalmente la Ec. (1.2.4) es la Ley circuital de Ampere

con la corrección hecha por Maxwell al introducir la corriente de desplazamiento (t∂

∂≡

EJ ε

). Aun cuando J=0, una variación del campo eléctrico en el tiempo estará acompañado por un campo magnético [6], [16]. En resumen, las ecuaciones de Maxwell rigen la dinámica del campo electromagnético, y al ser la luz un campo electromagnético, el fenómeno de difracción de manera rigurosa no es más que la solución de las ecuaciones de Maxwell que satisfacen condiciones de frontera específicas (precisamente sobre los llamados objetos difractantes).

1.3 Condiciones de frontera Cuando se resuelve un problema en dos a más medios distintos, las soluciones en ambos medios deben cumplir con ciertas condiciones de frontera, es decir, está predeterminado el comportamiento de las soluciones en la interface. Las condiciones de frontera para las ondas electromagnéticas se deducen de las ecuaciones de Maxwell [6]. Considerese una superficie cerrada S en una interface (Fig. 3.1.1)

Fig 1.3.1. Muestra dos medios separados por una interface y la superficie gaussiana S conveniente para obtener las condiciones de frontera, donde σ es la densidad de carga superficial de S [17].

En la interface se muestran dos medios en contacto D(1) y D(2), como ilustra la Fig.(1.3.1), se ha construido una superficie gaussiana (S) en forma de cilindro con tapas(S1 y S2) que encierra una pequeña área, ∆s, de la interface.

Recuérdese ahora, el teorema de la divergencia de Gauss: Sea V el volumen limitado por una superficie cerrada S y A una función vectorial con derivadas continuas

∫∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅= ⋅∇SSV

ddsdv SAnAA , (1.3.1)

con n la normal exterior a S [18]. Ahora, usando Ecs. (1.2.1) y (1.2.2) de manera independiente en la Ec. (1.3.1), se tiene

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dvdsdvVSV

∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅= ⋅∇ ρnDD , (1.3.2)

0=⋅= ⋅∇ ∫∫∫∫∫SV

dsdv nBB . (1.3.3)

En el caso límite cuando en la superficie gaussiana elegida es estrecha (s3→0) (Fig. 1.3.1), el ancho de ella no contribuye en la primera igualdad de las Ecs. (1.3.2) y (1.3.3). Entonces las Ecs. (1.3.2), (1.3.3) se pueden reescribir respectivamente por:

dsdsdsdsdvSSSSV

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅+⋅=⋅= ⋅∇ σ21

222111 nDnDnDD , (1.3.4)

021

222111 =⋅+⋅=⋅= ⋅∇ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫SSSV

dsdsdsdv nBnBnBB , (1.3.5)

donde σ es la densidad superficial de carga en la interface. Pero s1=s2 y n1=-n2, por consiguiente se tiene:

dsdsdsdsdvSSSSV

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅+−⋅=⋅= ⋅∇ σ11

122121 )( nDnDnDD , (1.3.6)

0)(11

122121 =⋅+−⋅=⋅= ⋅∇ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫SSSV

dsdsdsdv nBnBnBB , (1.3.7)

por lo que: σ=−⋅ )( 122 DDn , (1.3.8)

0)( 122 =−⋅ BBn . (1.3.9) Es decir, si no hay carga libre en la interface de los dos medios, la componente normal del campo desplazamiento eléctrico es continua. La componente normal de B es continua a través de la superficie [6], [16]. Recuérdese también, el Teorema rotacional de Stokes: Sea S una superficie abierta de 2 caras, C una curva cerrada simple situada sobre la superficie anterior y A una función vectorial con derivadas continuas.

SΑnΑlA ddSdSSC

∫∫∫∫∫ ⋅×∇=⋅×∇=⋅ )()( , (1.3.10)

donde S es la superficie encerrada por la curva C (Fig. 1.3.2) [18].

8

Fig. 1.3.2 .Muestra dos medios separados por una interface y una trayectoria cerrada C conveniente para obtener las condiciones de frontera. [17]

Utilizando las Ecs. (1.2.3) y (1.2.4), en Ec. (1.3.10), de manera independiente, se tiene:

dst

dSdSSC

∫∫∫∫∫ ⋅∂

∂−=⋅×∇=⋅ n

BnElE )( , (1.3.11)

dst

dSdSSC

∫∫∫∫∫ ⋅∂

∂+=⋅×∇=⋅ n

DJnHlH )( . (1.3.12)

Si hacemos la curva C tangencial a la interface, es decir h→0 [Fig. (1.3.2)], la integral sobre este segmento es nula y si no hay variación temporal en B y D, se tendrá:

0)( =⋅∂

∂−=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫ ds

tdSd

SSC

nB

nElE , (1.3.13)

JnD

JnHlH =⋅∂

∂+=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫ ds

tdSd

S

s

SC

)( , (1.3.14)

donde SJ es la densidad de corriente superficial. Calculando las integrales a lo largo de la curva C, se tiene:

0)(4

3 21

2

1 22 =−⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ dldld

C

tEtElE , (1.3.15)

s

C

dldld JtHtHlH =−⋅+⋅=⋅ ∫∫∫4

3 21

2

1 22 )( , (1.3.16)

lo cual implica:

012 =∆−∆=⋅∫ lld tt

C

EElE , (1.3.17)

stt

C

lld JHHlH =∆+∆=⋅∫ 12 , (1.3.18)

es decir 012 =− tt EE , (1.3.19)

s

tt JHH =− 12 . (1.3.20)

9

La componente tangencial del campo eléctrico es continua a través de la interface. Mientras que la componente tangencial de la intensidad de campo magnético es continua a través de la interface a menos que haya una corriente superficial, Js [6], [16]. Una cantidad muy importante en el desarrollo de la presente tesis es el vector de Poynting, cantidad encargada de transportar la energía, motivo por el cual la siguiente sección está dedicada a él.

1.4 El vector de Poynting.

Las ecuaciones de Maxwell para medios lineales nos llevan de manera directa a la ecuación de conservación

( ) ( ) ( ) ( )tttt

tu,,,

,rErJrS

r⋅−=⋅∇+

∂

∂ , (1.4.1)

donde ( )HBDE ⋅+⋅=21u es la densidad de energía, y el vector S representa el flujo de

energía y se le llama vector de Poynting, y viene dado por

( ) ( ) ( )ttt ,,, rHrErS ×= , (1.4.2)

sus dimensiones son [energía/(área x tiempo)], es decir, potencia por unidad de área; el término derecho de la Ec.(1.4.1) es el trabajo que el campo electromagnético realiza sobre

las fuentes, ( ( )t,rJ ).

En el caso muy importante de campos en estado estacionario, todas las cantidades del

campo electromagnético varían senoidalmente en el tiempo con una frecuencia común ω. La notación compleja facilita el manejo de estas cantidades armónicas, por lo tanto, se supone que tanto los campos como la fuente tienen la dependencia temporal en la forma

tie ω− , de manera que se puede escribir:

( ) ( )[ ]tiet Re, ω−= rErE , ( ) ( )[ ]tiet ω−= rHrH Re, , (1.4.3)

y así sucesivamente para todos las cantidades electromagnéticas. Los campos ( )rE y ( )rH

son, en general, complejos, tienen un módulo y una fase en cada punto del espacio. Estos campos estacionarios satisfacen las llamadas ecuaciones de Maxwell estacionarias o armónicas:

0r =⋅∇ )(B , (1.4.4)

)) rr (( ρ=⋅∇ D , (1.4.5)

)() rr BE ωi( =×∇ , (1.4.6)

10

)) rr (i( DJH ω−=×∇ , (1.4.7)

las cuales se obtienen simplemente sustituyendo los campos armónicos en las ecuaciones de Maxwell [Ecs.(1.2.1) a (1.2.4)].

De las Ecs (1.4.4)-(1.4.7), y las Ecs (1.2.5) y (1.2.6) en el vacío y en ausencia de cargas y corrientes libres. Las ecuaciones de Maxwell monocromáticas toman la forma:

0)( =⋅∇ rE (1.4.8)

0)()( =ωµ−×∇ rr HE oi (1.4.9)

0)( =⋅∇ rH (1.4.10)

0)() =ωε+×∇ rr EH oi( (1.4.11)

Las frecuencias ópticas son muy grandes (ω es del orden de 11510 −s ), estas intensas oscilaciones impiden que experimentalmente se pueda determinar el valor instantáneo de estas cantidades, en cambio es posible conocer solamente su valor promedio en un determinado intervalo de tiempo, el cual es largo comparado con el período fundamental,

ωπ /20 =T . En particular para el vector de Poynting S, su promedio temporal está dado

por:

dttT

T

T

T ∫−

=2

2

),(1

)( rSrS . (1.4.12)

Sustituyendo en la expresión para el vector de Poynting (Ec. 1.4.2), las expresiones para los campos ( )t,rE y ( )t,rH dados por la Ec. (1.4.3) se obtiene:

( ) ( ) ( )ttt ,,, rHrErS ×=

{ } { }titi ee ωω −− ×= )(Re)(Re rr HE

{ } { }titititieeee

ωωωω )()(2

1)()(

2

1 ** rrrr HHEE +×+= −−

{ }titi ee ωω 2****2 )()()()( )()()()(4

1rrrrrrrr HEHEHEHE ×+×+×+×= −

{ } { })()(Re2

1)()(Re

2

1 *2 rrrr HEHE ×+×= − tie ω , (1.4.13)

efectuando entonces el promedio temporal en la Ec. (1.4.12) se llega a

{ })()(Re2

1),(

1)( *

2

2

rrrSrS HE ×== ∫−

dttT

T

T

T , (1.4.14)

11

A la cantidad ( ) ( )[ ]rHrE *21 × se le conoce como el vector de Poynting complejo y se denota

por ( )rSc [5][8].

1.5 Campos estacionarios bidimensionales Hay situaciones en las cuales los campos no dependen de una de las coordenadas (como veremos en los siguientes capítulos). Supóngase que la coordenada ignorable es la coordenada z . Es decir, el campo electromagnético solamente depende de las coordenadas ( )yx, [3].

Esto implica que 0=∂

∂

z

ψ , donde ψ es cualquiera de las componentes de E(x ,y) o H(x, y).

Por lo que de las Ecs (1.4.8)-(1.411), se obtiene lo siguiente:

xoz Hiy

Eωµ=

∂

∂ , (1.5.1)

yoz Hix

Eωµ−=

∂

∂ , (1.5.2)

zoxy

Hiy

E

x

Eωµ=

∂

∂−

∂

∂ . (1.5.3)

Y:

xoz Eiy

Hωε−=

∂

∂ , (1.5.4)

yo

z Eix

Hωε=

∂

∂ , (1.5.5)

zo

xyEi

y

H

x

Hωε−=

∂

∂−

∂

∂ . (1.5.6)

La característica importante de este conjunto de Ecuaciones (1.5.1) - (1.5.6), es que puede ser separado en dos conjuntos independientes. El primer conjunto de Ecs. (1.5.1), (1.5.2) y (1.5.6) sólo contienen la componente Ez, del campo eléctrico y las componentes Hx y Hy del campo magnético. El segundo conjunto [Ecs. (1.5.3) y (1.5.4) en (1.5.5)] solamente contiene la componente Hz, del campo magnético y las componentes Ex y Ey, del campo eléctrico. Sustituyendo las Ecs. (1.5.1) y (1.5.2) en (1.5.6) se obtiene la ecuación bidimensional de Helmholtz para la componente Ez:

0),(),( 22 =+∇ yxEkyxE zz , (1.5.7)

de manera análoga sustituyendo las Ecs. (1.5.4) y (1.5.5) en (1.5.3) se obtiene la ecuación

0),(),( 22 =+∇ yxHkyxH zz . (1.5.8)

12

De esta manera las ecuaciones de Maxwell se han podido descomponer en dos conjuntos independientes:

.

,

, 0),(),( 22

x

EiH

y

EiH

yxEkyxE

z

o

y

z

o

x

zz

∂

∂=

∂

∂−=

=+∇

ωµ

ωµ (1.5.9)

Y:

.

,

, 0),(),( 22

x

HiE

y

HiE

yxHkyxH

z

o

y

z

o

x

zz

∂

∂−=

∂

∂=

=+∇

ωε

ωε (1.5.10)

Donde para resolver cada uno, solamente se requiere resolver la ecuación de Helmholtz bidimensional para la componente Ez y Hz respectivamente. Al primer conjunto de ecuaciones (1.5.9) se le conoce como el problema transversal eléctrico (TE) y al segundo (1.5.10) como el problema transversal magnético (TM). Por lo tanto, podemos estudiar cada uno de estos casos por separado. Por ejemplo, cuando el campo electromagnético tiene polarización lineal y su campo eléctrico oscila en la dirección z, es decir, el campo eléctrico es paralelo al eje Oz [2, 13], toda la dinámica está determinada por el conjunto (1.5.9), a este caso se le denomina el problema de polarización transversal eléctrica. Otro caso muy importante es la polarización transversal magnética, en este, es el campo magnético el que se encuentra oscilando en la dirección z, es decir, el campo magnético es paralelo al eje Oz, [12, 13] y la dinámica es enteramente gobernada por el conjunto de ecuaciones (1.5.10).

Para estos dos casos muy importantes, el flujo de energía que atraviesa una sección transversal unitaria en unidad de tiempo dado por la Ec. (1.4.14) queda expresado como:

1) Para el problema de polarización transversal eléctrica (TE)

∂

∂

∂

∂

ωε−= 0,,Im2

)(**

0 y

EE

x

EE

i zz

zzrS . (1.5.11)

2) Para el problema de polarización transversal magnética (TM)

∂

∂

∂

∂

ωε−= 0,,Im2

)( **

0 y

HH

x

HH

i zz

zzrS . (1.5.12)

En ambos casos el vector de flujo de energía se encuentra en el plano xy.

13

CAPÍTULO 2.

MODELO TEÓRICO [9, 13, 14]. Como ya se ha mencionado, existen algunas teorías sobre la difracción de la luz, estas muestran resultados solo bajo ciertas condiciones, como: espesor de la placa cero y longitudes de onda pequeñas comparadas con el ancho de la rendija. Las teorías escalares parten del hecho de que los campos vectoriales E y H obedecen la ecuación de onda, entonces las componentes de los campos de manera independiente obedecen la ecuación de onda escalar, la teoría escalar de difracción toma la hipótesis de que es posible generalizar el comportamiento de todas las componentes de ambos campos a través de una ecuación escalar de onda, dejando de lado el carácter vectorial del campo electromagnético.

En el caso de la difracción de la luz por una abertura, E y H son modificados, solo en los bordes de la abertura donde la luz interactúa con el material, los efectos se extienden solo unas pocas longitudes de onda a partir de tales bordes. Luego entonces, si la abertura tiene un área muy grande comparada con la longitud de onda los efectos debidos a las condiciones de frontera sobre los campos serán pequeños [2]. Es decir, las distintas condiciones de frontera que satisfacen los campos E y H producirán un efecto despreciable haciendo de esta manera la aproximación escalar adecuada.

Sin embargo, cuando la longitud de onda es comparable a las dimensiones de la abertura, la aproximación escalar deja de ser válida y es necesario considerar el acoplamiento entre las distintas componentes de los campos eléctrico y magnético que introducen las condiciones de frontera. En esta tesis, este es precisamente el objetivo. Resolvemos las ecuaciones de Maxwell junto con sus condiciones de frontera sobre el objeto difractante, es decir, resolvemos el problema de la difracción del campo electromagnético de manera exacta, considerando la estructura vectorial de la luz, para el caso de una rendija perforada sobre

una placa metálica de conductividad infinita y espesor finito (infinita en la dirección z y tiene un ancho finito características del objeto difractante hacen que el sistema sea independiente de la coordenada z. Si además cilíndrica, independiente de la coordenada z,ecuaciones de Maxwell, que el campo electromagnético es independiente de la coordenada mencionada. Por lo tanto presencia de un problema ddescomponen en los conjuntos independientes TE y TM de la sección

2.1 Solución rigurosa

Condiciones de frontera explícitas para los casos Una vez separado el campo en las dos distintas polarizaciones descritas anteriormente, se deducen a continuación incógnitas se han reducido a conocer las componentes respectivamente, las condiciones de frontera se asociarán a dichas componentes.

Condiciones de frontera para el caso TE

Se analiza el problema por regiones, la decir, para y≥ h/2 se define como región (1), a la región que se encuentra por debajo de la rendija, para valores de y ≤encuentra dentro de la rendija ( La componente paralela del campo magnético discontinua sobre la placa metálica. De la Ec. (1.3.20

()1( xH x

()2( xH x

una placa metálica de conductividad infinita y espesor finito (h), la longitud de la rendija es infinita en la dirección z y tiene un ancho finito (l) en la dirección x (ver Fcaracterísticas del objeto difractante hacen que el sistema sea independiente de la coordenada z. Si además se considera que la simetría de la radiación incidente sea cilíndrica, independiente de la coordenada z, se tiene, considerando a la unicidad de las ecuaciones de Maxwell, que el campo electromagnético es independiente de la coordenada

),()( yxErE = y ),()( yxHrH = , estamos precisamente en presencia de un problema de campos bidimensionales donde las ecuaciones de Maxwell se descomponen en los conjuntos independientes TE y TM de la sección 1.5.

Fig.2.1. Esquema de la estructura difractante.

Solución rigurosa para el problema de difracción: Polarización TE

ondiciones de frontera explícitas para los casos TE y TM [9].

Una vez separado el campo en las dos distintas polarizaciones descritas anteriormente, se a continuación las condiciones de frontera respectivas. Dado que nuestras

han reducido a conocer las componentes Ez y Hz de los conjuntos TE y TM respectivamente, las condiciones de frontera se asociarán a dichas componentes.

Condiciones de frontera para el caso TE sobre la rendija. Se analiza el problema por regiones, la región que se encuentra por encima de la rendija, es

h/2 se define como región (1), a la región que se encuentra por debajo de la ≤ -h/2, se define como región (2), y finalmente a la región que se

o de la rendija (-h/2 ≤ y ≤ h/2) se define como la región (3)

a componente paralela del campo magnético Hx es continua solamente sobre la rendija y placa metálica. De la Ec. (1.3.20).

)2/,()2/, )3(hxHhx x= ],0[ lx ∈∀

)2/,()2/, )3(hxHhx x −=− ],0[ lx ∈∀

14

), la longitud de la rendija es ) en la dirección x (ver Fig. 2.1), éstas

características del objeto difractante hacen que el sistema sea independiente de la se considera que la simetría de la radiación incidente sea

se tiene, considerando a la unicidad de las ecuaciones de Maxwell, que el campo electromagnético es independiente de la coordenada

, estamos precisamente en e campos bidimensionales donde las ecuaciones de Maxwell se

Polarización TE y TM

Una vez separado el campo en las dos distintas polarizaciones descritas anteriormente, se . Dado que nuestras

de los conjuntos TE y TM respectivamente, las condiciones de frontera se asociarán a dichas componentes.

región que se encuentra por encima de la rendija, es h/2 se define como región (1), a la región que se encuentra por debajo de la

h/2, se define como región (2), y finalmente a la región que se h/2) se define como la región (3).

ente sobre la rendija y

, (2.1.1)

, (2.1.2)

15

o lo que es lo mismo:

y

hxE

y

hxE zz

∂

∂=

∂

∂ )2/,()2/,( )3()1(

],0[ lx∈∀ , (2.1.3)

y

hxE

y

hxE zz

∂

−∂=

∂

−∂ )2/,()2/,( )3()2(

],0[ lx∈∀ . (2.1.4)

La componente paralela, a la placa metálica, del campo eléctrico (Ez) es continua ( )∞∞−∈∀ , x , tanto sobre la rendija, como sobre la placa metálica:

)2/,()2/,( )2()3(hxEhxE zz −=− ),( ∞−∞∈∀x , (2.1.5)

)2/,()2/,( )3()1(hxEhxE zz = ),( ∞−∞∈∀x . (2.1.6)

Ahora, sobre la placa (xœ{[-∞,0]U[l,∞]}), recordando que el campo dentro del metal es cero, puesto que la conductividad es infinita, el campo eléctrico en la frontera en y=h/2 y en y=- h/2 debe de ser nulo debido a la continuidad, esto es

0)2/,()2( =−hxE z ]} ,,0]U[ {[- ∞∞∈∀ lx , (2.1.7)

0)2/,()1( =hxE z ]} ,,0]U[ {[- ∞∞∈∀ lx . (2.1.8)

La componente tangencial del campo eléctrico (Ez) sobre las paredes del interior de la rendija cumplen las mismas condiciones anteriores.

En x=0, de la Ec. (1.3.8) para toda yœ[-h/2, h/2]

0),0()3( =yE z h/2], [-h/2∈∀y , (2.1.9)

de la misma manera en x=l

0),()3( =ylE z h/2], [-h/2∈∀y . (2.1.10)

Se tiene, entonces:

),(0),0( )3()3(ylEyE zz == h/2], [-h/2∈∀y . (2.1.11)

Condiciones de frontera para el caso TM sobre la rendija.

La componente tangencial (respecto del plano XZ) del campo magnético, Hz, es continua solamente sobre la rendija, sustituyendo estas condiciones en la Ec.(1.3.20) se obtienen:

)2/,()2/,( )3()1(hxHhxH zz = ],0[ lx∈∀ , (2.1.12)

)2/,()2/,( )3()2(hxHhxH zz −=− ],0[ lx∈∀ . (2.1.13)

16

La componente tangencial (al plano XZ) del campo, Ex, es continua tanto en la rendija como sobre la placa misma, es decir es continua ( )∞∞−∈∀ , x , esto es

)2/,()2/,( )3()1(hxEhxE xx = ( )∞∞−∈∀ , x , (2.1.14)

)2/,()2/,( )2()3(hxEhxE xx −=− ( )∞∞−∈∀ , x . (2.1.15)

Sustituyendo ambas expresiones(Ecs. 2.1.14 y 2.1.15) en la Ec. (1.5.4) se obtiene:

)2/,()2/,( )3()1(hxH

yhxH

yzz

∂

∂=

∂

∂ ( )∞∞−∈∀ , x , (2.1.16)

)2/,()2/,( )2()3(hxH

yhxH

yzz −

∂

∂=−

∂

∂ ( )∞∞−∈∀ , x . (2.1.17)

Sobre la placa (xœ{[-∞,0] U [l,∞]}), debido a la continuidad y recordando que el campo dentro del metal es cero, dado que la conductividad se ha considerado infinita, de la Ec. (1.3.19) se tiene:

0)2/,()1( =hxE x ]} ,,0]U[ {[- ∞∞∈∀ lx , (2.1.20)

0)2/,()2( =−hxE x ]} ,,0]U[ {[- ∞∞∈∀ lx . (2.1.21)

Sobre las paredes interiores de la rendija, la componente tangencial del campo eléctrico es Ey, la cual se anula. Por lo tanto en x=0, de la Ec. (1.3.8) para toda yœ[-h/2, h/2]

0),0()3( =yE y ]2/,2/[ hhy −∈∀ , (2.1.22)

la Ec. (1.5.5) implica

x

yHiyE z

o

y∂

∂−==

),0(10),0(

)3()3(

ωε ]2/,2/[ hhy −∈∀ , (2.1.23)

en el otro extremo de la rendija, x=l

0),()3( =ylE y ]2/,2/[ hhy −∈∀ , (2.1.24)

la Ec. (1.5.5) implica

x

ylHiylE z

o

y∂

∂−==

),(10),(

)3()3(

ωε ]2/,2/[ hhy −∈∀ . (2.1.25)

resumiendo:

x

ylH

x

yH zz

∂

∂==

∂

∂ ),(0

),0( )3()3(

]2/,2/[ hhy −∈∀ . (2.1.26)

El problema se ha reducido entonces a resolver la ecuación de Helmholtz para la componente z del campo eléctrico (caso TE) o la componente z del campo magnético (caso TM), pues ambos conjuntos pueden generarse a partir de conocer esta componente. Por lo tanto podemos escribir la ecuación de manera general como:

0),(),( 22 =+∇ yxUkyxU , (2.1.27)

17

donde zEU = en el caso TE y zHU = en el caso TM.

Fuera de la rendija (regiones 1 y 2), debido a la simetría, podemos trabajar la coordenada x en el espacio de Fourier, por lo que el campo U(x, y) se puede expresar:

ααπ

α deyUyxU xi

∫∞

∞−

= ),(~2

1),( . (2.1.28)

Sustituyendo ( 2.1.28) en la ecuación de Helmholtz (2.1.27)

0),(~2

),(~),(~

2

1 2

2

22 =+

∂

∂+− ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ααπ

αα

αααπ

ααα deyUk

dey

yUdeyU xixixi , (2.1.29)

debido a la linealidad de la integral y de las derivadas, se puede escribir

∫∞

∞−

=

+

∂

∂+− 0),(~

),(~),(~ 2

2

22 αα

ααα α deyUk

y

yUyU xi . (2.1.30)

Ahora, debido a la ortogonalidad de las ondas planas, se obtiene una ecuación dependiente sólo de y.

0),(~)(),(~ 22

2

=+ yUyUdy

dααβα , (2.1.31)

donde 22)( ααβ −+= k , (2.1.32)

puede ser un número positivo o imaginario puro, dependiendo si k≤α o k>α

respectivamente.

La solución de la ecuación (2.1.31) es

yiyi eBeAyU )()( )()(),(~ αβαβ ααα += − , (2.1.33)

una superposición de una onda plana viajando hacia abajo (dirección negativa de las y’s) y una hacia arriba (dirección positiva de las y’s).

Sustituyendo en la ecuación (2.1.28) obtenemos para la parte superior (región 1):

ααπ

ααπ

αβααβα deBdeAyxU yxiyxi ])([])([)1( )(2

1)(

2

1),( +

∞

∞−

−∞

∞−∫∫ += , (2.1.34)

donde podemos interpretar el primer término como un haz electromagnético incidente con amplitud espectral ( )αA , y el segundo como el haz dispersado hacia atrás (hacia arriba) con

amplitud espectral ( )αB [15].

18

De la misma manera en la región 2, la solución es

ααπ

+ααπ

= αβ+α∞

∞−

αβ−α∞

∞−∫∫ deDdeCyxU yxiyxi ])([])([)2( )(

2

1)(

2

1),( , (2.1.35)

el segundo término representa un haz incidiendo sobre la rendija desde abajo. Si suponemos que nuestra condición de incidencia es solamente por arriba, esto implica que

( ) αα ∀= 0D , por lo tanto

ααπ

αβα deCyxU yxi ])([)2( )(2

1),( −

∞

∞−

∫= , (2.1.36)

representa solamente el haz difractado, con amplitud espectral ( )αC .

Una expresión que tenga la forma de las Ec (2.1.34) y (2.1.35) es conocida como desarrollo espectral de ondas planas angulares [7]; cada una de estas ondas planas satisface la ecuación de Helmholtz, y se le llama modos normales, en este caso modos del continuo. De tal manera que podemos decir que estas expresiones corresponden a representaciones modales. Este desarrollo no debe confundirse con la representación de Fourier [2], [11]. Ya que un desarrollo espectral de ondas planas angulares representa un campo de ondas en términos de contribuciones de 2 tipos de modos: ondas planas homogéneas (modos armónicos) y ondas inhomogéneas cuya amplitud decae exponencialmente (conocidas como ondas o modos evanescentes) [11].

El interior de la rendija que está acotado en la dirección “x”, resolvemos la ecuación de Helmholtz mediante separación de variables:

)()(),( yYxXyxU = . (2.1.37)

Sustituyendo (2.1.37) en (2.1.27), y dividiendo en (2.1.37):

0)(

)(

1)(

)(

1 22

2

2

2

=++ kdy

yYd

yYdx

xXd

xX . (2.1.38)

De donde se sigue

22

2 )(

)(

1ν−=

dx

xXd

xX ⇒ 0)(

)( 22

2

=+ xXdx

xXdν , (2.1.39)

22

2 )(

)(

1µ−=

dy

yYd

yY ⇒ 0)(

)( 22

2

=+ yYdy

yYdµ , (2.1.40)

tal que

0222 =−− µνk . (2.1.41)

La solución de (2.1.39) es entonces

19

xsenCxCxX νν 21cos)( += , (2.1.42)

y de (2.1.40)

ysendydyY µµ 21cos)( += . (2.1.43)

Las condiciones de frontera rescritas en términos de ( )yxU , , para el caso TE son:

)2/,()2/,( )3()1( hxUhxU ±=± ),( ∞−∞∈∀x , (2.1.44)

)2/,()2/,( )3()1( hxUy

hxUy

±∂

∂=±

∂

∂ ],0[ lx∈∀ , (2.1.45)

),(0),0( )3()3( ylUyU == ]2/,2/[ hhy −∈∀ . (2.1.46)

Aplicando la condición (2.1.46), es decir:

0)0( ==xX ⇒ 01 =C ⇒ xsenCxX ν2)( = , (2.1.47)

Y 0)( == lxX ⇒ 02 =lsenC ν ⇒ l

nn

πν = , L,3,2,1=n (2.1.48)

Así (2.1.37) para el caso TE, dentro de la rendija es:

( )ysendydxl

nsenCyxU nn µµ

π212 cos),( += . (2.1.49)

Renombrando constantes, la solución general al interior de la rendija es entonces:

( )∑∞

=

+=1

cos),(n

nnnn xl

nsenysenbyayxU

πµµ . (2.1.50)

Ahora las condiciones de frontera para la polarización TM son:

)2/,()2/,( )3()1( hxUy

hxUy

±∂

∂=±

∂

∂ ),( ∞−∞∈∀x , (2.1.51)

)2/,()2/,( )3()1( hxUhxU ±=± ],0[ lx ∈∀ , (2.1.52)

0),(),0( )3()3( =∂

∂=

∂

∂ylU

xyU

x ]2/,2/[ hhy −∈∀ . (2.1.53)

Aplicando la condición (2.1.53), a (2.1.37) es decir:

0)(

)(),0(

0

==∂

∂

=xdx

xdXyY

x

yU ⇒ 0)cos)((

021 =+−=x

xCxsenCyY νν ⇒ 02 =C

⇒ ))((),( 1 xsenCyYyxU ν−= , (2.1.54)

20

ahora 0)(

)(),(

==∂

∂

=lxdx

xdXyY

x

ylU ⇒ 0

01 =−=x

xsenC ν ⇒ l

nn

πν = ,

L,3,2,1,0=n (2.1.55)

Así de (2.1.52) para el caso TM, la solución dentro de la rendija es

( )ysendydxl

nCyxU µµ

π211 coscos),( += , (2.1.56)

renombrando constantes y haciendo una superposición sobre todas las n’s

( )∑∞

=

+=0

coscos),(n

nnnn xl

nysenbyayxU

πµµ . (2.1.57)

De manera general, la solución dentro de la rendija queda expresada como una superposición ahora de modos discretos, que también pueden ser armónicos o evanescentes dependiendo de si nµ es real positivo o imaginario puro [9].

)(]cos[),()3( xysenbyayxU nnn

n

nn

o

φµµ +=∑∞

, (2.1.58)

con φn en el interior de la rendija de la siguiente manera

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

∉

=∈

∉

=∈

=

(2.1.59b) TM caso ,0 si 0

,3,2,1,0 ,0 si cos

(2.1.59a) TE caso ,0 si 0

,3,2,1 ,0 si

)(

lx

nlxxl

n

lx

nlxxl

nsen

xn

L

L

π

π

φ

Se continúa analizando la polarización TE, utilizando ahora las condiciones expresadas en las Ecs. (2.1.44), y más tarde la Ec.(2.1.45).

Como lo indica la Ec. (2.1.44), el campo eléctrico es continuo en todo el espacio, en seguida se obtiene la transformada de Fourier de la Ec.(2.1.44).

)2/,(),(~2

1),(~

2

1)2/,( )3(

2

)3(

2

)1()1( hxUdeyUdeyUhxUh

y

xi

hy

xi =ααπ

=ααπ

=

=

∞

∞−

α

=

∞

∞−

α

∫∫ ,

(2.1.60)

lo que implica

2/

)3(

2

)1( ),(~),(~hy

hy

yUyU==

= αα , (2.1.61)

21

de Ecs. (2.1.34) y (2.1.60)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yiyi eBeAyU αβαβ ααα += −,~ 1 , (2.1.62)

( )( )

π

µ+µ=α ∑∞

=1

3 )cos(,~

n

nnnn xl

nsenysenbyayU � [ ]22 ,

hhy −∈ , (2.1.63)

Y de la Ec. (2.1.36) se sigue:

( )( ) ( ) ( )yieCyU αβαα −=,~ 2

, (2.1.64)

por lo tanto, la Ec.(2.1.61) es usando(2.1.62) y(2.1.63)

+=+ ∑

∞

=

−

xl

nsen

hsenb

haeBeA

n

nn

hi

hi π

µµαααβαβ

�1

2)(

2)(

22cos)()( , (2.1.65)

donde � denota la transformada de Fourier de la función dentro de las llaves.

También el campo es continuo en 2hy −= [Ec. (2.1.44)]

)2/,(),(~2

1),(~

2

1)2/,( )3(

2

)3(

2

)2()2( hxUdeyUdeyUhxUh

y

xi

hy

xi −===−−=

∞

∞−−=

∞

∞−

∫∫ ααπ

ααπ

αα .

(2.1.66)

lo cual implica:

2/

)3(

2

)2( ),(~),(~hy

hy

yUyU−=−=

= αα . (2.1.67)

es decir, usando Ecs. (2.1.63 y 2.1.64) se escribe

−=∑

∞

=

−

xl

nsen

hsenb

haeC

n

nn

hi π

µµααβ

�1

2)(

22cos)( . (2.1.68)

Se ha logrado escribir las amplitudes espectrales en terminos de los coeficientes modales, con lo que es posible conocer todo el campo del caso TE, si se conocen los mencionados an y bn(coeficientes modales).

Analizando ahora el campo con polarización TM.

En este caso, la derivada normal del campo es continua en 2hy ±= ( )∞∞−∈∀ ,x [Ec.

(2.1.51)]

)2/,()2/,(~2

1)2/,(~

2

1)2/,( )3()3()1()1( hxU

ydehU

ydehU

yhxU

y

xixi

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂∫∫∞

∞−

∞

∞−

ααπ

ααπ

αα

(2.1.69)

22

de donde:

)2/,(~)2/,(~ )3()1( hUy

hUy

αα∂

∂=

∂

∂ , (2.1.70)

esto es:

( )

( ) ∑∞−

+−=+−

0

2)(

2 cos2

cos2

)()()( xl

nhb

hsenaeBieAi nnnnn

hi

hi π

µµµααβααβαβαβ

�

(2.1.71)

ahora, la continuidad en 2hy −=

∫∫∞

∞−

∞

∞−

−∂

∂=−

∂

∂=−

∂

∂αα

παα

π

αα dehUy

dehUy

hxUy

xixi )2/,(~2

1)2/,(~

2

1)2/,( )3()2()2(

)2/,()3( hxUy

−∂

∂= . (2.1.72)

de donde:

)2/,(~

)2/,(~ )3()2( hU

yhU

y−

∂

∂=−

∂

∂αα , (2.1.73)

es decir:

( )

∑∞

=

+=−

0

2 cos2

cos2

)()(n

nnnnn

hi

xl

nhb

hsenaeCi

πµµµααβ

αβ

� . (2.1.74)

Hasta aquí se ha reducido el problema a encontrar los campos con solo determinar los coeficientes modales an y bn, pues B (α) y C (α), están en términos de éstos y de A (α).

Estos resultados pueden resumirse de la siguiente manera:

Caso TE:

2)(

2)(

)()(~)22

cos()(h

i

n

nn

nnnn

hi

eAh

senbh

aeBo

αβαβ

ααφµµα−∞

=

−+= ∑ , (2.1.75)

∑∞

=

−=onn

nnnnn

hi h

senbh

aeC )(~)22

cos()( 2)(

αφµµααβ

, (2.1.76)

para (2.1.75), (2.1.76)

= xl

nsenn

παφ �)(~ , el cálculo explícito se encuentra el apéndice

B.

23

Caso TM

2)(

2)(

)()()(~)2

cos2

()()(h

i

n

nn

nnnnn

hi

eAih

bh

senaeBio

αβαβ

ααβαφµµµααβ−∞

=

++−= ∑ , (2.1.77)

∑∞

=

+=−onn

nnnnnn

hi h

bh

senaeCi )(~)2

cos2

()()( 2)(

αφµµµααβαβ

, (2.1.78)

para estas ecuaciones [(2.1.77) y (2.1.78)]

= xl

nn

παφ cos)(~

� .

Aún falta aplicar una condición de frontera a cada conjunto (TE y TM). Para el caso TE, la derivada normal en 2

hy ±= es continua solamente sobre la rendija [Ec. (2.1.45)]

)2/,()2/,( )3()1( hxUy

hxUy ∂

∂=

∂

∂ siempre que [ ]lx ,0∈ , (2.1.79)

)2/,()2/,( )3()2( hxUy

hxUy

−∂

∂=−

∂

∂ siempre que [ ]lx ,0∈ , (2.1.80)

se definen ahora, dos funciones f(x) y g(x), con las siguientes condiciones:

)2/,()2/,()( )3()1( hxUy

hxUy

xf∂

∂−

∂

∂≡ , (2.1.81)

)2/,()2/,()( )3()2( hxUy

hxUy

xg −∂

∂−−

∂

∂≡ , (2.1.82)

de esta manera

( )[ ][ ]

∉≠

∈=

lxsi

lxsixf

,00

,00

( )

[ ][ ]

∉≠

∈=

lxsi

lxsixg

,00

,00

. (2.1.83)

Por lo tanto

0)()(0

* =∫ dxxfx

l

mφ , (2.1.84)

además

0)()()()( *0

* == ∫∫∞

∞−

dxxfxdxxfxl

mm φφ , (2.1.85)

debido a que fuera de la rendija φ*m(x)=0, esto implica que

24

0)()(* =∫∞

∞−

dxxfxmφ ; (2.1.86)

Utilizando el teorema de Parseval-Pancherel se tiene

0)(~)(~)()( ** == ∫∫∞

∞−

∞

∞−

αααφφ dfdxxfx mm . (2.1.87)

Calculando )(~ αf

{ } )2/,(~)2/,(~)2/,()2/,()()(~ )3()1()3()1( hUy

hUy

hxUy

hxUy

xff ααα∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=≡ ��

(2.1.88)

A partir de Ecs. (2.1.61) y (2.1.62) y (2.1.63) se calculan las derivadas normales

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yiyi eBieAiyxUy

αβαβ ααβααβ )(,~ 1 +−=∂

∂ − (2.1.89)

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−=∂

∂

1

3 ~cos,

~

n

nnnnnn ysenaybyUy

αφµµµα (2.1.90)

( )( ) ( ) ( ) ( )yieCiyxUy

αβααβ −−=∂

∂,~ 2 (2.1.91)

usando Ecs.(2.1.89), (2.1.90) y (2.1.75) rescribimos la Ec. (2.1.88)

−

++−= ∑

∞

=

−

)(~)22

cos()(2)(~

1

2)(

αφµµβαβααβ

n

n

nnnn

hi h

senbh

aieAif

( )

−∑

∞

=1

~

22cos

n

nnnnn

hsena

hb αφµµµ � . (2.1.92)

Remplazando (2.1.92) en (2.1.87) se llega a la siguiente expresión:

ααφβαφµµααβαφαβ

dh

senbh

aideAi n

l

m

n

nnnn

hi

m )(~)(~)22

cos()()(~200

*

1

2)(

*

∫∑∫∞

=

−∞

∞−

++−=

ααφαφµµµ dh

senah

b nm

n

nnn ∫∑∞

∞−

∞

=

−− )(~)(~

22cos *

1

, (2.1.93)

25

con

= xl

nsenn

παφ �)(~ .

La cual reescribimos como:

)(~),(~)22

cos()(),(~21

2)(

αφβαφµµαβαφαβ

nm

n

nnnn

hi

m

hsenb

haieAi ∑

∞

=

−

+=

)(~),(~22

cos1

αφαφµµµ nm

n

nnn

hsena

hb∑

∞

=

−− . (2.1.94)

Ahora para la función ( )xg [Ec. (2.1.83)] se observa que:

0)()(0

* =∫ dxxgx

l

mφ , (2.1.95)

de manera análoga a Ec. (2.1.85) se tiene:

0)()()()( *0

* == ∫∫∞

∞−

dxxgxdxxgxl

mm φφ , (2.1.96)

puesto que fuera de la rendija φ*m=0. Por lo tanto:

0)()(* =∫∞

∞−

dxxgxmφ . (2.1.97)

Utilizando el teorema de Parseval-Pancherel se obtiene

0)(~)(~)()( ** == ∫∫∞

∞−

∞

∞−

αααφφ dgdxxgx mm , (2.1.98)

esta igualdad es válida debido a las condiciones (2.1.96), (2.1.97).

Calculando )(~ αg :

{ } )2/,(~)2/,(~)2/,()2/,()()(~ )3()2()3()2( hUy

hUy

hxUy

hxUy

xgg −∂

∂−−

∂

∂=

−∂

∂−−

∂

∂== ααα ��

(2.1.99)

usando Ecs.(2.1.90), (2.1.91) y (2.1.76)

( )∑∑∞

=

∞

=

+−−−=

11

~22

cos)(~)22

cos()(~n

nnn

n

nnnnn

hsena

hb

hsenb

haig αφµµµαφµµβα � . (2.1.100)

26

Por lo que reemplazando (2.1.100) en (2.1.98) se llega a:

ααφβαφµµ dh

senbh

ai nm

n

nnnn )(~)(~)22

cos(0 *

1∫∑∞

∞−

∞

=

−−=

ααφαφµµµ dh

senah

b nm

n

nnn )(~)(~22

cos *

1∫∑∞

∞−

∞

=

+− . (2.1.101)

La cual se rescribe como

)(~),(~)22

cos(01

αφβαφµµ nm

n

nnnn

hsenb

hai∑

∞

=

−=

)(~),(~22

cos1

αφαφµµµ nm

n

nnn

hsena

hb∑

∞

=

++ . (2.1.102)

Finalmente sumando las ecuaciones (2.1.94), (2.1.102)

)(~),(~)

2cos(2)(),(~2

1

2)(

αφβαφµαβαφαβ

nm

n

nn

hi

m

haieAi ∑

∞

=

−

=

)(~),(~2

21

αφαφµµ nm

n

nn

hsena∑

∞

=

+ , (2.1.103)

Lo que se puede reescribir de la siguiente manera:

)(~),(~)2

cos()(),(~

1

2)(


nm

n

nn

hi

m

haieAi ∑

∞

=

−

=

)(~),(~21

αφαφµµ nm

n

nn

hsena∑

∞

=

+ . (2.1.104)

O bien:

=−

2)(

)(),(~h

i

m eAiαβ

αβαφ

n

n

nmnnmn ah

senh

i∑∞

=

+

1

)(~),(~2

)(~),(~)2

cos( αφαφµµαφβαφµ ∑∞

=

=1n

nmnaA (2.1.105)

Con )(~),(~2

)(~),(~)2

(cos αφαφµµαφβαφµ nmnnnmnmn

hsen

hiA

+=

27

Y restando las ecuaciones (2.1.94), (2.1.102) se tiene:

)(~),(~)2

(2)(),(~21

2)(


nm

n

nn

hi

m

hsenbieAi ∑

∞

=

−

−=−

)(~),(~2

cos21

αφαφµµ nm

n

nnn

hb∑

∞

=

+ . (2.1.106)

O bien:

=−

2)(

)(),(~h

i

m eAiαβ

αβαφ

∑∑∞

=

∞

=

=

−

11

)(~),(~2

cos)(~),(~)2

(n

nmn

n

nnmnnnmn bBbhh

isen αφαφµµαφβαφµ . (2.1.107)

Con )(~),(~2

cos)(~),(~)2

( αφαφµµαφβαφµ nmnnnmnmn

hhseniB

−=

Las Ecs. (2.1.105) y (2.1.107) constituyen un sistema matricial de orden infinito para los coeficientes an y bn:

=

M

M

M

M

M

LL

M

nnmn saA ,

=

M

M

M

M

M

LL

M

nnmn sbB. (2.1.108)

Para el caso de polarización TM, sólo el campo magnético es continuo en la abertura

)2/,()2/,( )3()1( hxUhxU = , con [ ]lx ,0∈ , (2.1.109)

)2/,()2/,( )3()2( hxUhxU −=− con [ ]lx ,0∈ , (2.1.110)

mientras que sobre la placa metálica el campo magnético tiene una discontinuidad proporcional a la densidad de corriente superficial. De manera análoga al caso anterior, se definen las nuevas funciones f(x) y g(x)

)2/,()2/,()( )3()1( hxUhxUxf −≡ , (2.1.111)

)2/,()2/,()( )3()2( hxUhxUxg −−−≡ . (2.1.112)

28

Igual que en el caso anterior, estas funciones satisfacen:

( )[ ][ ]

∉≠

∈=

lxsi

lxsixf

,00

,00

( )

[ ][ ]

∉≠

∈=

lxsi

lxsixg

,00

,00

. (2.1.113)

Por consiguiente:

0)()(0

* =∫ dxxfx

l

mφ . (2.1.114)

0)()(0

* =∫ dxxgx

l

mφ (2.1.115)

pues f(x) y g(x) son ambas nulas en este intervalo de integración.

Además,

0)()()()( *0

* == ∫∫∞

∞−

dxxfxdxxfxl

mm φφ (2.1.116)

0)()()()( *0

* == ∫∫∞

∞−

dxxgxdxxgxl

mm φφ (2.1.117)

ya que, fuera de la rendija ( ) 0* =xmφ . Por lo tanto:

0)()(* =∫∞

∞−

dxxfxmφ , (2.1.118)

0)()(* =∫∞

∞−

dxxgxmφ . (2.1.119)

El teorema de Parseval-Pancherel nos dice que

0)(~)(~)()( ** == ∫∫∞

∞−

∞

∞−

αααφφ dfdxxfx mm . (2.1.120)

0)(~)(~)()( ** == ∫∫∞

∞−

∞

∞−

αααφφ dgdxxgx mm . (2.1.121)

Calculando estas nuevas )(~ αf y )(~ αg :

{ } { } ),(~

),(~

),(),()()(~

2)3(

2)1(

2)3(

2)1( hhhh UUxUxUxff ααα −=−== �� , (2.1.122)

29

{ } { } ),(~

),(~

),(),()()(~ 2)3(

2)2(

2)3(

2)2( hhhh UUxUxUxgg −−−=−−−== ααα �� , (2.1.123)

Sustituyendo Ecs.(2.1.61), (2.1.62) y (2.1.77) en Ec.(2.1.122)

)(~

22cos)

2cos

2(

1)(2)(

~

0

2)(

αφµβµµµβµµβ

αααβ

nnnnnnn

n

hi h

senih

bh

ih

senai

eAf

−+−−+= ∑

∞

=

−

, (2.1.124)

donde, ahora

= xl

nn

παφ cos)(~

� .

Mientras que sustituyendo Ecs.(2.1.62), (2.1.63) y (2.1.75) en Ec.(2.1.123)

( )αφµµαφµµµβ

α �

~22

cos)(~)2

cos2

(1

)(~00∑∑

∞

=

∞

=

−−+−=

n

nnn

n

nnnnnn

hsenb

ha

hb

hsena

ig . (2.1.125)

Por lo que reemplazando Ec.(2.1.124) en Ec.(2.1.120) y Ec.(2.1.125) en Ec.(2.1.121)

ααφβ

αφµµµααφααβ

dh

bh

senaideA nm

n

nnnnnm

hi

)(~1)(~

2cos

2)(~)(20 *

0

*2)(

∫∑∫∞

∞−

∞

=

∞

∞−

−

+−−=

ααφαφµµ dh

senbh

a nm

n

nnn )(~)(~22

cos *

0∫∑∞

∞−

∞

=

+− . (2.1.126)

ααφβ

αφµµµ dh

bh

senai nm

n

nnnnn )(~1)(~)

2cos

2(0 *

0∫∑∞

∞−

∞

=

+=

ααφαφµµ dh

senbh

a nm

n

nn )(~)(~22

cos *

0∫∑∞

∞−

∞

=

−− . (2.1.127)

Las cuales se pueden reescribir como:

)(~1),(~)

2cos

2()(),(~2

0

2)(

αφβ

αφµµµααφαβ

nm

n

nnnnn

hi

m

hb

hsenaieA ∑

∞

=

−

+−=

)(~),(~22

cos0

αφαφµµ nm

n

nn

hsenb

ha∑

∞

=

++ . (2.1.128)

)(~1),(~)

2cos

2(0

0

αφβ

αφµµµ nm

n

nnnnn

hb

hsenai∑

∞

=

+=

30

)(~),(~22

cos0

αφαφµµ nm

n

nn

hsenb

ha∑

∞

=

−− . (2.1.129)

Finalmente, sumando (2.1.128) y (2.1.129):

)(~1),(~)

2cos(2)(),(~2

0

2)(

αφβ

αφµµααφαβ

nm

n

nnn

hi

m

hbieA ∑

∞

=

−

=

)(~),(~2

20

αφαφµ nm

n

nn

hsenb∑

∞

=

+ , (2.1.130)

Y restando (2.1.128) y (2.1.129):

)(~1),(~)

2(2)(),(~2

0

2)(

αφβ

αφµµααφαβ

nm

n

nnn

hi

m

hsenaieA ∑

∞

=

−

=−

)(~),(~2

cos20

αφαφµ nm

n

nn

ha∑

∞

=

− . (2.1.131)

Reacomodando simplemente los términos

)(~1),(~)

2cos()(),(~

0

2)(

αφβ

αφµµααφαβ

nm

n

nnn

hi

m

hbieA ∑

∞

=

−

=

∑∑∞

=

∞

=

=

+

00

)(~),(~2 n

nmnnm

n

nn bBh

senb αφαφµ . (2.1.132)

)(~1),(~)

2()(),(~

0

2)(

αφβ

αφµµααφαβ

nm

n

nnn

hi

m

hsenaieA ∑

∞

=

−

=−

∑∑∞

=

∞

=

=

−

00

)(~),(~2

cosn

nmnnm

n

nn aAh

a αφαφµ . (2.1.133)

Con )(~),(~2

cos)(~1),(~)

2( αφαφµαφ

βαφµµ nmnnmnnmn

hhseniA

−=

Y )(~),(~2

)(~1),(~)

2(cos αφαφµαφ

βαφµµ nmnnmnnmn

hsen

hiB

+= respectivamente.

31

Las Ecs. (2.1.132) y (2.1.133) constituyen un sistema matricial de orden infinito para los coeficientes an y bn para el caso de polarización TM, es decir

=

M

M

M

M

M

LL

M

nnmn saA ,

=

M

M

M

M

M

LL

M

nnmn sbB. (2.1.134)

Para conocer el campo electromagnético en su totalidad, es necesario, resolver las Ecs. (2.1.108) y (2.1.134), cabe mencionar que en principio éstas son infinitas, por lo que para resolverlas se hace una aproximación numérica.

El patrón de difracción, es la manera en la cual la energía se distribuye a una distancia muy grande después de pasar a través de la rendija. El vector de Poynting (campo vectorial que transporta la energía), para los casos considerados en esta tesis, se demostró en la sección 1.5 [Ecs.(1.5.11) y (1.5.12)] que es paralelo al plano XY

Por lo tanto, la energía promedio que atraviesa una sección transversal por unidad de tiempo está dada por:

( )∫∫ ⋅=A

darSd

E , (2.1.135)

para nuestro sistema de referencia ja ˆdxdzd −= y puesto los campos son invariantes en la coordenada z, integramos de 0 a 1, para el caso TE la Ec.(2.1.135) toma la forma

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∂

∂−=

=∂

∂−=

dxy

yxEyxE

dxdzy

yxEyxEy

zz

zz

,,Im

2

1

,,Im

2

1

*

0

*1

00

ωε

ωεd

E

, (2.1.136)

Ésta es la energía difractada a una distancia de la rendija dada por la coordenada y . Una expresión análoga se obtiene para el caso de polarización TM.

Usando la expresión usada en el formalismo propuesto en esta sección para el campo difractado, U(2), Ec.(2.1.36) se tiene

´)'()()(2

1 ]´)([*][**

*

αααβαπ

αβαβα deCdieCy

EE yxiyxiz

z ∫∫∞

∞−

−−−∞

∞−

−=∂

∂ (2.1.137)

Sustituyendo Ec.(2.1.135) en Ec.(2.1.134), salvo la constante que precede la integral

32

( ) ∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−−∞

∞−

−−= dxddeCieCy yxiyxi ´]´)(´['*][* )())(()(2

1Im

*

ααααβαπ

αβαβαd

E

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−∞

∞−

−−= dxddCCeei yixi ´'*´)]()([]´[* )()())((2

1Im

*

αααααβπ

αβαβαα

´]´['*´)]()([*

2

1)()())((Im

*

ααπ

αααβ αααβαβ dddxeCCei xiyi

−−= ∫∫ ∫

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

[ ] ´´'*´)]()([* )()()())((Im*

ααααδαααβ αβαβ ddCCei yi −−−= ∫ ∫∞

∞−

−∞

∞−

dE

ααααβ αβαβ dCCei yi )()())((Im *)]()([* * −∞

∞−

∫ −−=

αααβ αβ dCei y 2)](Im[2* )())((Im ∫∞

∞−

−−=

( )[ ]

( )[ ]

++

+

−−=

∫∫

∫∞

−

−

∞−

αααβαααβ

αααβ

αβ

αβ

deCdC

deC

i

y

k

k

k

y

k

Im22*2

Im22*

)()()()(

)()(

Im (2.1.138)

Cuando “y” tiende a menos infinito, la primera y la última integral se anulan. Por lo que el patrón de difracción en el infinito es:

( ) αααβ dC

k

k

2)()(∫

−

=∞−d

E , (2.1.139)

efectuando el cambio de variable θα cosk= , esta ecuación toma la forma

( ) θθθθβπ

dsenkkCk )()cos()cos(2

0

−=∞− ∫dE (2.1.140)

( ) θθθθβπ

dksenkCk2

0

)cos()cos(∫=∞−d

E , (2.1.141)

33

donde ( ) ( ) θθααβ ksenkkk =−=−= )cos()( 22222 .

Finalmente:

( ) θθθπ

dkCsenk∫=∞−0

222 )cos(d

E . (2.1.142)

Para el caso de polarización TM se obtiene la misma expresión.

Hasta esta parte la solución ha sido rigurosa pues no tiene ninguna aproximación física.

Como podemos observar de la Ec. (2.1.142), para realizar los patrones de difracción, ha sido necesario conocer los coeficientes an y bn, lo que se logra multiplicando por la matriz inversa de A y B, para cada caso TE y TM. Así es posible conocer S y Ed. En principio dichas matrices son infinitas, sin embargo para obtener los resultados estas matrices se truncan de manera apropiada (Mediante el criterio de convergencia que checa la estabilidad numérica de los resultados conforme el número de modos (tamaño de las matrices) es incrementado, así como también el balance de energía [9],[14]). Para realizar los patrones de difracción presentados en este trabajo, el tamaño de las matrices se trunco a un valor de 15x15, donde se han considerado todos los modos oscilatorios y algunos modos evanescentes, el número de iteraciones en la integral de cada elemento de matriz es de 1000.

34

CAPÍTULO 3

RESULTADOS �UMÉRICOS.

A continuación, se presentan patrones de difracción en campo lejano para diversas situaciones (i.e., diversos valores de los parámetros optogeométricos: ancho de la rendija, espesor de la placa, longitud de onda, polarización del campo incidente, perfil del mismo, etc.; estos parámetros están normalizados al ancho de la rendija (l)). Es importante mencionar que el ángulo de incidencia es medido a partir del eje “y”, y varía en el intervalo [-π/2,π/2] creciendo en dirección contraria a las manecillas del reloj, mientras que el ángulo difractado es medido respecto al eje x y crece en sentido de las manecillas del reloj desde 0o hasta 180º, como lo muestra la Fig. (3.1).

Fig 3.1. Muestra la manera en la que se miden los ángulos de incidencia y de difracción.

35

3.1 Para Ondas Planas Incidentes. Los resultados que se presentan a continuación corresponden al caso en que el campo incidente es una onda plana. Se mostrarán resultados tanto en la región escalar (λ/l <0.2) como en la región vectorial (λ/l ¥0.2) [12], en esta última región, se verá que los efectos de la polarización son significativos.

Régimen escalar. La Fig. (3.2) muestra el patrón de difracción cuando los parámetros optogeométricos tienen los valores λ/l = 0.15, el espesor es nulo (h =0) y el ángulo de incidencia también nulo (θin=0), tanto en el caso de que el campo incidente tiene polarización TE como TM. Ambos patrones se encuentran superpuestos. No se observa diferencia alguna entre ambos patrones implicando que en este caso, la polarización no es importante. Cuando cambiamos el ángulo de incidencia manteniendo todos los demás parámetros iguales (obsérvese la Fig. 3.3), obtenemos la misma conclusión, solamente cuando el ángulo de incidencia es grande, θin=60º (Fig. 3.3), comienza a observarse una diferencia, sin embargo ésta es mínima. Además se cumple que θin+θd,max=90º, donde θd,max es el ángulo que corresponde al máximo del patrón de difracción. Se puede ver también que al aumentar el ángulo de incidencia, la intensidad difractada disminuye y que los máximos de difracción cambian de posición (Fig. 3.3).

Fig. 3.2. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 15.0/ =lλ con polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor 0=h , ángulo de incidencia 00=inθ .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

TMλ = 0.15h = 0

θin = 0

o

Ondas Planas

36

Fig. 3.3. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 15.0/ =lλ con

polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor 0=h , y ángulos de incidencia θin= 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Al cambiar el espesor de la rendija (h) manteniendo los demás parámetros fijos (mostrados en las figuras), se observan diferencias en los espectros (Fig. 3.4- Fig.3.9), sin embargo, tales diferencias se hacen importantes cuando el ángulo de incidencia se incrementa:

Fig. 3.4. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 15.0/ =lλ con polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor 3.0=h , ángulo de incidencia 00=inθ .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TM

θin=10

o

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TE θin=20

o

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TE

Ondas Planas

θin=30

o

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TE θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TE θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TE

θin=60

o

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TE

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TM E

ne

rgía

Difra

ctd

ada

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

ctd

ada

θd

TM

λ=0.15, h=0, l=1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

En

erg

ía D

ifra

cta

da

TMλ=0.15

h=0.3

θin=0

o

Ondas Planas

θd

TE

37


polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulos de incidencia θin= 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Fig. 3.6. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 15.0/ =lλ con polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0.6, ángulo de incidencia 00=inθ .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

2

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

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2

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

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7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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2

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

2

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7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

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7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

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7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

7

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ía D

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cta

da

θd

TM

θin=10

oθin=20

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da

θd

TE θin=30

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da

θd

TE

Ondas Planasλ=0.15, h=0.3 , l=1

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θd

TE θin=50

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En

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θd

TE θin=60

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da

θd

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θd

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θd

TM

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1

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6

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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7

θd

TM

λ=0.15

h=0.6

θin=0

o

Ondas Planas

En

erg

ía D

ifra

cta

da

TE

38



Fig. 3.8. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 15.0/ =lλ con polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0.9, ángulo de incidencia 00=inθ .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

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3

4

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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2

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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2

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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7

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7

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0

1

2

3

4

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6

7

TM

λ=0.15

h=0.9

θin=0

o

Ondas Planas

En

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cta

da

θd

TE

39



En los patrones de difracción presentados (Fig. 3.4 – Fig. 3.9) el patrón de difracción cambia de manera apreciable al variar el ángulo de incidencia, esto es debido a las interacciones de la radiación incidente con la rendija de ancho finito. El máximo principal, es decir, el primer pico de difracción, se encuentra en un θd, max de manera que θd, max

+ θin=90º lo que se cumple solo para algunos ángulos dependiendo el espesor (h=0, "θin; h=0.3, θin<60º, h=0.6, θin<30º, h=0.9, θin≤30º).

Se puede observar, que para un mismo espesor, la energía difractada es mayor cuando se tiene polarización TE siempre que el ángulo de incidencia sea grande (θin=30º, h=0.9;

θin=40º, h=0.3; θin=30º, h=0.6), mientras que para ángulos menores, la energía difractada es mayor para la polarización TM. Esta observación se hace de manera cualitativa. Estos cálculos muestran que aún cuando la longitud de onda es pequeña comparada con la abertura (el ancho de la rendija l) cuando existe un espesor finito para la placa, los efectos de la polarización se hacen presentes. Se observará, que al cambiar de régimen el carácter de la polarización es un factor aun más trascendente.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

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0

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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1

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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2

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TM

40

Régimen vectorial.

Se presentan los patrones de difracción en el régimen vectorial (λ/l>0.2), cuando el haz incidente es tipo ondas planas. Se utiliza un valor (λ/l=0.9) para la construcción de dichos patrones. Observe

Fig. 3.10. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 9.0/ =lλ con polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0, ángulo de incidencia 00=inθ .

Al comparar los espectros producidos cuando el ancho de la rendija (h) es nulo al igual que el ángulo de incidencia, y la única diferencia es el cociente (λ/l), es decir el régimen, notamos cambios severos en la distribución de los espectros (ver Fig. 3.2 y Fig. 3.10). El espectro de difracción es diferente para cada polarización dentro de éste régimen, esto es debido a que en estas condiciones el campo se comporta de forma vectorial. Estas diferencias en los espectros del régimen vectorial se pueden observar con mayor claridad en los correspondientes ángulos de incidencia grandes (θin≥40º) que en el caso de espesor de la rendija nulo (h=0). Sin embargo no deja de ser notoria esta característica aun para θin=0

o (Ver Fig. 3.10, Fig. 3.11). En las Figs. (3.12) – (3.17) se observa el comportamiento de los espectros del régimen vectorial cuando se varía el espesor de la rendija (h) y el ángulo de incidencia de la radiación.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

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1.2E

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TEλ=0.9

h=0

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Ondas Planas

41


polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin= 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Fig. 3.12. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana de longitud de onda 9.0/ =lλ con polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia 00=inθ .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

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0.0

0.2

0.4

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1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Energ

ía D

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θd

TM

Ondas Planas

λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=0

o

Energ

ía D

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cta

da

θd

TE

42

Cuando aumentamos el espesor de la placa, las diferencias entre ambas polarizaciones se hacen más importantes incluso para incidencia normal (θin=0

o) lo que se observa en las Figs. 3.12, 3.14, 3.16. Las Figs. 3.13, 3.15 y 3.17 muestran cómo evolucionan los patrones de difracción en campo lejano cuando el ángulo de incidencia varía y también el espesor, observamos que las diferencias entre los patrones de difracción para cada polarización son más acentuadas al hacer comparable el espesor de la rendija (h) con el ancho de la rendija (l). Por lo que podemos afirmar que la polarización es un factor determinante en este régimen, debido a las distintas condiciones de frontera que obedecen ambas polarizaciones. Estos resultados son imposibles de obtener mediante teorías aproximadas. Por ejemplo podemos observar en las Figs. 3.15 y 3.17 [correspondiente a los espesores h/l= 0.6 y 0.9 respectivamente] que cuando el ángulo de incidencia es alrededor de 30º los máximos de difracción se encuentran en posiciones contrarias para las dos polarizaciones. Esto no sucede así para espesores h=0 ó h=0.3.


polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0.3, ángulos de incidencia θin= 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

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1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

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TE θin=10

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TM


43




0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

Ene

rgía

Difra

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da

θd

TE

TM

Ondas Planas

λ=0.9

h=0.6

l=1

θin=0

o

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM θin=10

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE θin=20

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE θin=30

o

θin=40

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TE θin=50

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TE θin=60

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TE

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TM

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TM

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TM


44



polarización TE y TM, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin= 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

Ondas Planas

λ=0.9

h=0.9

l=1

θin=0

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM θin=10

oθin=20

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE θin=30

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE


θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

θin=60

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

45

3.2 Para Haces Gaussianos Incidentes.

Régimen escalar. Los espectros de difracción que resultan al atravesar la rendija, para cada polarización, si la radiación incidente tiene un perfil gaussiano se muestran en las Figs. 3.18 – 3.23. Estos espectros se han calculado para un haz gaussiano de ancho (σ=4) [Figs. 3.18, 3.19], (σ=2) [Figs. 3.20 y 3.21], (σ=1.2) [Figs. 3.22 y 3.23], e incidencia centrada (es decir el máximo de la radiación incidente está localizado en x =l/2, usaremos el parámetro b para indicar está propiedad, b=0.5 en estas figuras) que incide a distintos ángulos [θin= 0

o, 10º, 20º, 30º,

40º, 50º y 60º], el centro de la cintura del haz coincide con el centro de la rendija , la longitud de onda de haz es λ/l=0.15, los demás parámetros optogeométricos se muestran en cada gráfica.

Fig. 3.18. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda 15.0/ =lλ

con polarización TE, ancho del haz σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin=0o, 10º, 20º,

30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

TE

λ=0.15

h=0

l=1

b=0.5

σ =4

46


con polarización TM, ancho del haz σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin=0o, 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Se presentan los patrones de difracción al variar σ y b=0.5.


con polarización TE, ancho del haz incidente σ =2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin=0o,

10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

λ=0.15

h=0

l=1

b=0.5

σ = 4

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

λ=0.15

h=0

l=1

b=0.5

σ =2

TE

47


con polarización TM, ancho del haz incidente σ =2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin=0o,

10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.


con polarización TE, ancho del haz incidente σ =2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin=0o,

10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

λ=0.15

h=0

l=1

b=0.5

σ =2

TM

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

TE

λ=0.15

h=0

l=1

b=0.5

σ =1.2

48


con polarización TM, ancho del haz incidente σ =2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulos de incidencia θin=0

o, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Observamos que estos espectros tienen la misma distribución angular independientemente del ancho del haz y de la polarización, para los mismos parámetros optogéometricos, esto se concluye de las gráficas anteriores (Fig. 3.18- Fig. 3.23), también se puede ver que la intensidad en dichos espectros aumenta al disminuir el valor de σ. Al comparar los espectros de haz gaussiano de σ arbitrario, en polarización TE y TM, con los de onda plana encontramos que el espectro es muy parecido, cambia solo en intensidad, es decir en la cantidad de la energía difractada, pero el espectro conserva la distribución angular, para distintos espesores de la rendija (h), para casos de longitud de onda pequeña (λ/ l= 0.15) [Fig. 3.24, Fig. 3.25]. Se presenta un ejemplo particular de la observación anterior:

Fig. 3.24. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana y un haz gaussiano, de longitud de onda 15.0/ =lλ con polarización TE , ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=40º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

1

2

3

4

5

6

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

TM

λ=0.15

h=0

l=1

b=0.5

σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TEλ=0.15

h=0.6

l=1

θin=40

o

Onda Plana

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

λ=0.15

h=0.6

l=1

σ =4

b=0.5

θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

Haz Gaussiano

49

Fig. 3.25. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a una onda plana y un haz gaussiano, de longitud de onda 15.0/ =lλ con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=40º.

Se observa que para polarización TE y TM, cuando el haz incidente está posicionado en b=l/2, el ángulo de difracción en que está centrado el máximo principal, es decir el primer pico de difracción y el ángulo de incidencia son aproximadamente complementarios. Esto se cumple para todos los ángulos si el espesor es cero, y para ángulos de incidencia menores o iguales a 50º cuando el espesor es h =0.3l; al aumentar el espesor la cantidad de ángulos para los que esta propiedad se cumple disminuyen, así con h=0.6l, se cumple para ángulos menores de 40º; h=0.9l se cumple para ángulos menores de 20º. [Fig. 3.26- Fig. 3.29] Para el espesor (h=0), los espectros son iguales sin importar la posición de incidencia del haz b=0 o b=l, lo que sucede para ambas polarizaciones (Fig. 3.26 y Fig. 3.27).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

λ=0.15

h=0.6

l=1

θin=40

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

TMOnda Plana

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TMHaz Gaussiano

λ=0.15

h=0.6

l=1

σ =4

b=0.5

θin=40

o

50

Fig. 3.26 .Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano con longitud de onda 15.0/ =lλ ,

polarización TE, ancho del haz incidente σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin= 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin

=10o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin

=20o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin

=30o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin

=40o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin

=50o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin

=60o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin

=10o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin

=20o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin

=30o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin

=40o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin

=50o

TEλ=0.15, h=0 , σ =4, l=1

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin

=60o

51

Fig. 3.27. Patrón de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano con longitud de onda 15.0/ =lλ ,

polarización TM, ancho del haz incidente σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin= 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Esto sucede solamente cuando el ancho del haz incidente (σ) es grande comparado con l (Fig. 3.26 y Fig. 3.27), de lo contrario (Fig. 3.28 y Fig. 3.29), hay diferencias en los espectros de cada polarización. Las diferencias son más notorias cuando el ancho del haz gaussiano (σ =1.2l) es comparable con l. Los espectros de las distintas polarizaciones difieren cuando el ancho del haz (σ) es menor o igual a l, pero no de manera significativa. Por lo cual podemos decir que la polarización no es significativa en este régimen escalar. Además al variar la posición del haz incidente de σ = 4, es decir colocar el máximo en b=0 o b=l, la amplitud del primer orden de difracción es mayor si el máximo del haz esta en b=0, respecto al espectro de difracción obtenido al hacer incidir el haz en b= l. Esto no es para todos los ángulos se cumple dependiendo el espesor (h=0.3 si 10º <θd<60º, h=0.6 si 10º <θd<30º, h=0.9 si 10º <θd<20º) para ambas polarizaciones, lo que se puede observar en las Figs. 3.30- 3.35.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0 , θin=10

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0 , θin=20

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=30

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0 , θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=60

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=10

o

En

erg

ía D

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cta

da

θd

b=l , θin=20

o

En

erg

ía D

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cta

da

θd

b=0, θin=30

o

En

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ía D

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cta

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θd

b=l , θin=40

o

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0, θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=60

o

TMλ=0.15, h=0 , σ =4, l=1

52

De las observaciones anteriores se puede concluir que en la región escalar, la polarización no es un factor importante, esto es independiente de la radiación incidente, ondas planas o haces gaussianos de ancho σ grande comparada con l.


polarización TE, ancho del haz incidente σ =1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin= 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=10

o

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0, θin=20

o

Ene

rgía

Difra

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da

θd

b=0, θin=30

o

Ene

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cta

da

θd

b=0, θin=40

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin=50

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin=60

o

En

erg

ía D

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cta

da

θd

b=0, θin=10

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=20

o

Ene

rgía

Difra

cta

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θd

b=l, θin=30

o

Ene

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Difra

cta

da

θd

b=l, θin=40

o

Ene

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Difra

cta

da

θd

b=l, θin=50

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin=60

o

TEλ=0.15, h=0 , σ =1.2, l=1

53


polarización TM, ancho del haz incidente σ =1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin= 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin=10

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin=20

o

En

erg

ía D

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da

θd

b=0, θin=30

o

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0, θin=40

o

En

erg

ía D

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cta

da

θd

b=0, θin=50

o

En

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ía D

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da

θd

b=0, θin=60

o

Ene

rgía

Difra

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θd

b=0, θin=10

o

Ene

rgía

Difra

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θd

b=l, θin=20

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En

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ía D

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θd

b=l, θin=30

oE

ne

rgía

Difra

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θd

b=l, θin=40

o

En

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ía D

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cta

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θd

b=l, θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=60

o

TMλ=0.15, h=0 , σ =1.2, l=1

54


polarización TE, ancho del haz incidente σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin= 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Ene

rgía

Difra

cta

da

b=l, θin=10

o

θd

TEλ=0.15, h=0.3 σ =4, l=1

En

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da

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o

θd

En

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o

θd

En

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o

θd

Ene

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o

θd

Ene

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b=0, θin=60

o

θd

b=0, θin=10

o

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En

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da b=l, θ

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En

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da b=l, θ

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En

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da b=l, θ

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Ene

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cta

da b=l, θ

in=50o

θd

Ene

rgía

Difra

cta

da b=l, θ

in=60

o

θd

55


polarización TM, ancho del haz incidente σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin= 10º,

20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Ene

rgía

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cta

da

θd

b=l, θin=10

o

Ene

rgía

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da

θd

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o

En

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θd

b=0, θin=60

o

Ene

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θd

b=0, θin=10

o

Ene

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θd

b=l, θin=20

o

En

erg

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cta

da

θd

b=l, θin=30

o

En

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da

θd

b=l, θin=40

o

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cta

da

θd

b=l, θin=50

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=60

o

TMλ=0.15, h=0.3 σ =4, l=1

56



20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

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1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

En

erg

ía D

ifra

cta

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θd

b=l, θin=10

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En

erg

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θd

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Ene

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En

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En

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b=0, θin=10

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En

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θd

b=l, θin=20

o

Ene

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θd

b=l, θin=30o

Ene

rgía

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θd

b=l, θin=40o

En

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ía D

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cta

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θd

b=l, θin=50

o

En

erg

ía D

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cta

da

θd

b=l, θin=60o

TEλ=0.15, h=0.6 σ =4, l=1

57



20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=10

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0 , θin=20

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=30

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=40

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=50o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0 , θin=60

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0 , θin=10

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=20

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=30

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=40

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=50

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l , θin=60

o

TMλ=0.15, h=0.6 σ =4, l=1

58



20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin=10

o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin=20o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=30

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=60o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0, θin=10o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=l, θin=20

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=30o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=50o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=60o

TEλ=0.15, h=0.9 σ =4, l=1

59



20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Debido a la simetría del sistema se observa un caso “especial”. Cuando el haz incide en la posición b=0 con θin=0

o, el patrón de difracción es un “reflejo” del espectro obtenido al modificar sólo uno de los parámetros optogéometricos b=0 por b=1.

Fig. 3.36. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda 15.0/ =lλ

con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=0º. Se observa una simetría en ambos espectros.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=10

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=30

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=30

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=60

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0, θin=10

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=20

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=30

o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=40

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=50

o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=l, θin=60

o

TMλ=0.15, h=0.9 σ =4, l=1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

h=0.9

λ=0.15

b=0

σ=4

l=1

Haz Gaussiano

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TE

h=0.9

λ=0.15

b=l

σ=4

l=1

Haz Gaussiano

60

Fig. 3.37 Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda 15.0/ =lλ

con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin=0º.Se observa una simetría.

Para el ángulo de incidencia de 0º, los espectros se reflejan de manera exacta respecto al primer pico de difracción, esto se observa para cualquier espesor (h) y para ambas polarizaciones (Fig. 3.36, Fig.3.37).

Régimen vectorial. Se observa ahora lo que sucede en la región vectorial λ=0.9l. Lo primero a observar es que los espectros son totalmente diferentes cuando se cambia de régimen para ambas polarizaciones, aun cuando se tiene un espesor nulo (h=0) Figs. 3.38 y 3.39.


con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=0º,

10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TMh=0.6

λ=0.15

b=l

σ = 4

l=1

Haz Gaussiano

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

h=0.6

λ=0.15

b=0

σ = 4

l=1

En

erg

ía d

ifra

cta

da

θd

TM

Haz Gaussiano

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

λ=0.9

h=0

l=1

σ = 4

b=0.5

61


con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=0º,

10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

Los picos de difracción presentados en los espectros obtenidos para ambas polarizaciones (Fig. 3.38 y Fig. 3.39) ya no se localizan en un θd, complementario a θin; los espectros presentan máximo dos picos de difracción mientras que en el régimen escalar (Fig. 3.25 – Fig.3.28) se observaban más. Además se puede notar que en la polarización TM (Fig. 3.40- Fig. 3.42), la intensidad de los espectros disminuye, si el ángulo de incidencia crece. Esto sucede en cualquier espesor (h).Esto también sucede con la polarización TE con ciertas diferencias, esto debe simplemente a que el haz está más inclinado y por lo tanto, menos energía se transmite.


con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=0º, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TM

λ=0.9

h=0

l=1

σ = 4

b=0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

TM

λ=0.9

h=0.3

l=1

σ = 4

b=0.5

62





En el caso de la polarización TE, el comportamiento es más complicado, ya que tiene más variantes, es decir la intensidad no decrece al aumentar el ángulo de incidencia, el comportamiento depende del espesor de la rendija. Para h=0.3 (Fig. 3.43), las intensidades decrecen al aumentar el ángulo de incidencia, pero h=0.6 (Fig. 3.44), h=0.9 (Fig. 3.45) y h=0 (Fig. 3.46) la intensidad comienza a crecer al aumentar el ángulo de incidencia siendo máximo en 20º y después decrece al aumentar más allá de 20º el ángulo incidente.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

TM

λ=0.9

h=0.6

l=1

σ = 4

b=0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

λ=0.9

h=0.9

l=1

σ = 4

b=0.5

TM

63


con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=0º, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.



Cuando se aumenta el espesor (h) de la placa, en el caso de polarización TE los máximos principales se recorren en sentido contrario (Fig. 3.43 – Fig. 3.45), es decir el pico de difracción principal cambia de estar entre 0o<θd<90º a 80º<θd<180º, esto no sucede tan claramente para la polarización TM, a menos que el ángulo de incidencia sea bastante grande o que el espesor lo sea (Figs. 3.40 - 3.42).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35 θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

Energ

ía D

ifra

cta

da

θd

TE

λ=0.9

h=0.3

l=1

σ = 4

b=0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

λ=0.9

h=0.6

l=1

σ = 4

b=0.5

TE

64

Estos distintos comportamientos muestran la importancia de las condiciones de frontera y por consiguiente el carácter tensorial de la luz.



Cuando se comparan los patrones de difracción con polarización TM y distinto parámetro de impacto del haz, b (Fig. 3.46- Fig. 3.49), se observa que la forma del espectro es la misma, pero cambian ligeramente la intensidad y la posición de los picos de difracción, dentro de un mismo espesor (h).

Fig. 3.46. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente un haz gaussiano de longitud de onda 9.0/ =lλ

con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=30º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

θin

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

λ=0.9

h=0.9

l=1

σ = 4

b=0.5

TE

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Energ

ía d

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0

l=1

σ = 4

θin=30

o

65


con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=30º.

Fig. 3.48. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda

9.0/ =lλ con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=0º, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0.3

l=1

σ = 4

θin=30

o

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0.6

l=1

σ = 4

θin=30

o

66


con polarización TM, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=30º.

Esto no deja de cumplirse en la polarización TE, al menos en este caso, en el que se han realizado los espectros con un ancho del haz σ =4 (Fig. 3.50-Fig. 3.53), es decir, si el ancho del haz es grande comparado con el ancho de la rendija.


con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=30º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

λ=0.9

h=0.9

l=1

σ = 4

θin=30

o

b=0

b=0.5

b=1

Ene

rgía

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TM

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Energ

ía D

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da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TE

λ=0.9

h=0

l=1

σ = 4

θin=30

o

67


con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=30º.

Fig. 3.52.. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda 9.0/ =lλ

con polarización TE, ancho del haz incidente σ= 4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin=30º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

λ=0.9

h=0.3

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σ = 4

θin=30

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b=0

b=0.5

b=1

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da

θd

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

λ=0.9

h=0.6

l=1

σ = 4

θin=30

o

b=0

b=0.5

b=1

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

TE

68


con polarización TE, ancho del haz incidente σ =4l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=30º.

En las graficas (Fig. 3.50- Fig. 3.53) se observa nuevamente que al aumentar el espesor de la placa (h) los picos de los espectros de difracción cambian de posición, si h=0 ó h=0.3 estos se encuentran en valores de θd ≤90º y para h=0.6 y h=0.9 estos se encuentran en θd

≥90º. Mientras que esto no se observa para la polarización TM (Fig. 3.46- Fig. 3.49). Se variará ahora el ancho del haz gaussiano incidente, y se realizaran algunas observaciones para los espectros de difracción producidos para las distintas polarizaciones.

Fig. 3.54. Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda 9.0/ =lλ con polarización TE, con variación en el ancho del haz incidente, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=30º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

b=0

b=0.5

b=1

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λ=0.9

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

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0.6

0.8

1.0

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ía D

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cta

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θd

σ=1.2

σ= 2

σ= 4

TE

λ=0.9

h=0.9

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θin=30

o

b=0.5

69


con polarización TE, con variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin=50º.


con polarización TE, con variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=40º.

Ahora, se observa otra vez que al incrementar h, cambian de posición los picos principales del espectro de difracción (Fig. 3.54 – Fig. 3.57). Los picos principales del espectro aparecen, para espesores grandes (h=0.9, h=0.6), entre los valores de 90º<θd<180º, mientras que para espesores de la placa pequeños (h=0, h=0.3), dichos picos se localizan 0o<θd<90º. Esto se debe a la interacción del campo con la rendija.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

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ía D

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σ = 1.2

σ = 2

σ = 4

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b=0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ene

rgía

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da

θd

σ = 1.2

σ = 2

σ = 4

TE

λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=40

o

b=0.5

70


con polarización TE, variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=50º.


con polarización TM, variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=30º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

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En

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σ = 1.2

σ = 2

σ = 4

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o

b=0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

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0.6

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σ = 1.2

σ = 2

σ = 4

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λ=0.9

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o

b=0.5

71


con polarización TM, con variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin=0º.


con polarización TM, con variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=20º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

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1.0

1.2

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σ = 2

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o

b=0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

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θd

σ = 1.2

σ = 2

σ = 4

TM

λ=0.9

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θin=20

o

b=0.5

72


con polarización TM, con variación en el ancho del haz incidente σ, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=50º.

En los patrones mostrados (Fig. 3.54- Fig. 3.61) se observa que para un espesor (h) fijo, cuando el haz incide en b=0.5, es decir centrado en la rendija, y para un ángulo de incidencia fijo, se verifica que los espectros tiene prácticamente la misma distribución al variar el ancho del haz incidente (σ), pero su intensidad no es la misma. En general se observa que si b se mantiene constante, así como la polarización, el ancho de la rendija (l), el ángulo de incidencia, los espectros conservan su distribución, variando unívocamente su intensidad cuando el haz cambia su anchura (σ).

Esto se cumple para ambas polarizaciones de manera independiente, es decir, los espectros son diferentes al cambiar la polarización aún cuando el resto de los parámetros sean iguales, debido a las condiciones de frontera que cada caso obedece. Como caso “especial” notamos que en la polarización TE y TM, si el ángulo incidente es 0o el espectro producido en la posición b=1, es un reflejo del espectro producido si b=0, esto sucede para cualquier espesor (h) y ancho del haz (σ). Lo que se puede apreciar en las graficas (Fig. 3.62 - Fig. 3.69), lo cual es de esperarse debido a que estas posiciones del haz incidente son los extremos de la rendija.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

σ = 1.2

σ = 2

σ = 4

En

erg

ía D

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cta

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θd

TM

λ=0.9

h=0

l=1

θin=50

o

b=0.5

73


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=2, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin= 0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=2, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

erg

ía D

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cta

da

θd

b=1

λ=0.9

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l=1

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o

σ =2

TE

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ía D

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cta

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θd

b=0

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

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ía D

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cta

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θd

b=1TM

λ=0.9

h=0

l=1

θin=0

o

σ =2

En

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ía D

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θd

b=0

74


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=1.2, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=1.2, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

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ía D

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θd

b=1λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=0

o

σ =1.2

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0

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0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

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ía D

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b=1TM

λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=0

o

σ =1.2

En

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ía D

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da

θd

b=0

75


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=2, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin=0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=2, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin=0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

λ=0.9

h=0.6

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θin=0

o

σ =2

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ía D

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b=1TE

En

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cta

da

θd

b=0

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

En

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ía D

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da

θd

b=1TM

λ=0.9

h=0.6

l=1

θin=0

o

σ =2

En

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cta

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θd

b=0

76


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=1.2, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin= 0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.

Fig. 3.69 Patrones de difracción en campo lejano correspondiente a un haz gaussiano de longitud de onda 9.0/ =lλ

con polarización TM, ancho del haz incidente σ=1.2, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin= 0º. Se observa una simetría en ambos espectros al mover la posición incidente del haz de b=0 a b=l.

Observando las Figs. 3.36, 3.37 realizadas en el régimen escalar y para una onda plana como radiación incidente y las Figs. 3.62- 3.69 en el régimen vectorial y con un haz gaussiano como radiación incidente, se puede decir que la simetría que presentan los espectros cuando el haz incide en b=0 y b=l con θin=0

o, es un comportamiento general que no depende de la radiación incidente (haz gaussiano de cualquier ancho (σ), onda plana),

0 40 80 120 160

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 40 80 120 160

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35λ=0.9

h=0.9

l=1

θin=0

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σ =1.2E

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b=1TE

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b=0

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 40 80 120 160

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

erg

ía D

ifra

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da

θd

b=1TM

λ=0.9

h=0.9

l=1

θin=0

o

σ =1.2

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0

77

también es válido en cualquier régimen y para ambas polarizaciones. Por la simetría del sistema es de esperarse que los espectros presenten este comportamiento, al comparar los producidos por θin en b=0, y –θin en b=1. Ahora se observará como cambian los espectros cuando el ancho del haz varía, y si la posición de incidencia (b) también lo hace, Figs. 3.70 – 3.77:


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=20º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=

20º. Se varía la posición del haz incidente (b).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0E

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ía D

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b=0

b=0.5

b=1

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σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

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b=0

b=0.5

b=1

TE

λ=0.9

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l=1

θin=20

o

σ =2

78


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=30º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=30º. Se varía la posición del haz incidente (b).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0

b=0.5

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λ=0.9

h=0.3

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o

σ = 1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

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ía D

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da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TE

λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=30

o

σ =2

79


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin

= 40º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=.6 y ángulo de incidencia θin=40º. Se varía la posición del haz incidente (b).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

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0.5

0.6

0.7

Ene

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da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TE

λ=0.9

h=0.6

l=1

θin= 40

o

σ = 1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ene

rgía

Difra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TE

λ=0.9

h=0.6

l=1

θin=40

o

σ =2

80


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=50º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TE, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin=50º. Se varía la posición del haz incidente (b).

Con ángulos distintos de cero, para la polarización TE se observa una distribución totalmente distinta en el espectro si el haz incide en b=0, que si incide en b=1 y distinta a su vez, aunque de manera menos notoria al incidir en b=0.5, esto se observa para cualquier espesor de la placa, pero no en todo ángulo ni con cualquier ancho del haz, cuando σ es cercana al valor de l, entonces esta característica se acentúa. Para ángulos (θin) grandes mayores de 40º, con espesores distintos de cero, esto deja de cumplirse, es decir, los espectros comienzan a parecerse en su distribución (ver Fig. 3.70 – Fig. 3.77).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

En

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b=0

b=0.5

b=1

TE

λ =0.9

h=0.9

l=1

θin=50

o

σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

En

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ía D

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cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TE

λ=0.9

h=0.9

l=1

θin=50

o

σ =2

81

La intensidad máxima para los espectros en cualquier ángulo, espesor de la placa y ancho del haz, es cuando b=0.5, lo que es de esperarse, esto sucede para cualquier espesor de la placa, cualquier campo incidente y en ambos regímenes. Mientras que para la polarización TM se tiene Figs. 3.78 – 3.85:


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=10º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0 y ángulo de incidencia θin=10º. Se varía la posición del haz incidente (b).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0

l=1

θin=10

o

σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0

l=1

θin=10

o

σ =2

82


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=40º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.3 y ángulo de incidencia θin=40º. Se varía la posición del haz incidente (b).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0.5

b=0

b=1

TM

λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=40

o

σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0.3

l=1

θin=40

o

σ =2

83


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin =30º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin

=30º. Se varía la posición del haz incidente (b).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0.6

l=1

θin=30

o

σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0.6

l=1

θin=30

o

σ =2

84


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=1.2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin =60º. Se varía la posición del haz incidente (b).


con polarización TM, ancho del haz incidente σ=2l, ancho de la rendija l , espesor h=0.9 y ángulo de incidencia θin

=60º. Se varía la posición del haz incidente (b).

Con ángulos distintos de cero, para la polarización TM se observa una distribución totalmente distinta en el espectro si el haz incide en b=0, que si incide en b=1 y distinta a su vez, al incidir en b=0.5, esto se observa para cualquier espesor de la placa, aunque cabe mencionar que para espesor cero no es muy notorio, en esta polarización se cumple para cualquier ángulo de incidencia pero no así para cualquier ancho de haz gaussiano incidente, este efecto se acentúa cuando σ < 2l (Fig. 3.78- Fig. 3.85).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=0.5

b=1

TM

λ=0.9

h=0.9

l=1

θin=60

o

σ =1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

En

erg

ía D

ifra

cta

da

θd

b=0

b=1

b=0.5

TM

λ=0.9

h=0.9

l=1

θin=60

o

σ =2

85

Fig. 3.86. Comparación de los patrones de difracción en campo lejano correspondiente a haces gaussianos con diferente valor de σ, con longitud de onda 9.0/ =lλ , polarización TM, con el obtenido de una onda plana de longitud de onda 9.0/ =lλ con polarización TM, mientras el ancho de la rendija es l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin =30º.

Fig. 3.87. Comparación de los patrones de difracción en campo lejano correspondiente a haces gaussianos con diferente valor de σ, con longitud de onda 9.0/ =lλ , polarización TE, con el obtenido de una onda plana de longitud de onda 9.0/ =lλ con polarización TE, mientras el ancho de la rendija es l , espesor h=0.6 y ángulo de incidencia θin =30º.

En los patrones de difracción presentados (Fig. 3.2- Fig. 3.85) se ha gráficado la energía difractada normalizada a la energía total incidente, sin embargo cuando se comparan los resultados obtenidos con haces gaussianos y los de la onda plana, es necesario graficar la energía difractada normalizada a la energía incidente solo sobre la rendija, para poder comparar los patrones de manera razonable, por lo que los espectros de las graficas (Fig.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

En

erg

ía D

ifra

cta

da

TM

λ = 0.9

l = 1.0

h = 0.6

θin = 30

o

θd

(σ = 1.2)

(σ = 2.0)

(σ = 4.0)

(Onda Plana)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

En

erg

ía D

ifra

cta

da

λ = 0.9

l = 1.0

h = 0.6

θin = 30

o

θd

(σ = 1.2)

(σ = 2.0)

(σ = 4.0)

(Onda Plana)

TE

86

3.86 y Fig.3.87), han sido obtenidos considerando la energía normalizada a la energía incidente sobre la rendija. Los espectros de difracción mostrados (Fig. 3.86 y Fig. 3.87) tienen la misma distribución angular de manera cualitativa en ambas polarizaciones de manera independiente, es decir, que el tipo de radiación incidente no afecta de manera trascendente los espectros de difracción, a menos que la radiación incidente sea muy colimada. Se ha hecho un análisis de la influencia que tiene cada parámetro [el tipo de polarización (TE ó TM), el tipo de radiación incidente (haces con un perfil gaussiano, u ondas planas), la longitud de onda (λ=0.15 ó λ=0.9), el espesor de la rendija (h) y ángulo de incidencia de la radiación (θin). Y en el caso analizar con un haz incidente tipo gaussiano se han hecho comparaciones con la posición de incidencia (b), el ancho del haz (σ)] en el espectro de difracción y se han obtenido resultados interesantes, algunos muy particulares y otros más generales, todos ellos no son posibles de obtener con una teoría aproximada ni siquiera los obtenidos en el régimen escalar. Y finalmente se han hecho comparaciones entre los espectros de ondas planas y haces de perfil gaussiano con distinto ancho (σ), por lo que lo siguiente a realizar es obtener conclusiones del presente trabajo.

87

CO�CLUSIO�ES:

Se presentó una teoría modal rigurosa para la difracción que permitió resolver las ecuaciones de Maxwell de manera exacta para haces de ancho finito. En la presente tesis, esta teoría fue aplicada a haces con perfil gaussiano y también a ondas planas. Sin embargo, es aplicable a una amplia variedad de haces electromagnéticos de ancho finito como: Hermite-Gauss, Laguerre-Gauss, entre otros. Esto “simplemente” cambiando la amplitud espectral A(a). La teoría presentada es aplicable a un amplio rango de longitudes de onda, aunque en el presente trabajo se seleccionó un valor en la región vectorial (λ=0.9l) y otro en la región escalar (λ=0.15l), l es el ancho de la rendija. De nuestros resultados se puede concluir que en la región escalar la polarización no es un factor importante, sin embargo esto cambia de manera severa en la región vectorial, los espectros de difracción revelan que la polarización es determinante, es decir, cuando la longitud de onda es comparable con el ancho de la rendija el carácter vectorial del campo electromagnético se manifiesta. Este comportamiento es independiente del tipo de radiación que está siendo difractada (ondas planas o haces gaussianos). En el régimen vectorial cada parámetro es muy importante, pues la variación de uno sólo, representa variaciones en los espectros de difracción, mientras que en el régimen escalar, los cambios producidos por la variación de un parámetro no son significativos, por otro lado, aún cuando la longitud de onda es pequeña comparada con l (es decir, que se esté en el régimen escalar), el hecho de que la rendija tenga espesor finito también nos permite observar los efectos de la polarización (observar el carácter tensorial de la luz). Estos resultados no pueden obtenerse con las teorías aproximadas. Otras características que esta teoría nos ha permitido estudiar son los efectos sobre la difracción debidos a la colimación y a la alineación del haz respecto al objeto difractante. Una vez más, la región vectorial es la más sensible a estas características del haz incidente.

88

Cuando el ancho del haz es grande respecto al ancho de la rendija (haz poco colimado) los cambios en los espectros de difracción debido a una mala alineación del haz son prácticamente imperceptibles, sin embargo cuando el ancho del haz es del orden del ancho de la rendija (haz bastante colimado), los espectros de difracción cambian apreciablemente, además el cambio específico depende también crucialmente de la polarización del haz así como del espesor de la placa. Es decir la colimación juega un papel importante dependiendo el tipo de polarización y de las características de la rendija. En la región escalar los efectos de la colimación y la alineación son mucho menos importantes. Los distintos comportamientos de la radiación difractada con polarización TM y TE son resultado de las distintas condiciones de frontera que satisface cada una. Esto hace que la interacción de la radiación en las paredes dentro de la rendija sea distinta y por lo tanto la manera en que fluye la energía electromagnética a través de la rendija. El carácter tensorial de la luz es determinante para entender la difracción de manera completa. El problema de difracción que se ha presentado en esta tesis es limitado, debido a la consideración de conductividad infinita de la placa en la cual se encuentra perforada la rendija, aunque puede ser utilizado con seguridad para el caso TE y TM, en el infrarrojo y en la región de microondas con placas de Aluminio y Plata, mientras que en la región visible solamente los resultados con polarización TE son cercanos a los obtenidos experimentalmente [12], [10].

Es importante mencionar que con esta teoría es posible elaborar patrones de difracción en campo cercano, aunque en este trabajo únicamente se presentaron patrones de difracción de campo lejano, también posible examinar en detalle la dinámica del flujo de energía (calculando explícitamente el vector de Poynting en todo el espacio).

89

APÉ�DICE A.

Haces Gaussianos y Ondas Planas [4]. En la aplicación de la teoría realizada, se utilizan haces de tipo gaussianos y planos, es por ello que mencionamos su forma matemática.

A.1 Haces Gaussianos Incidentes. Un haz tipo gaussiano, de manera bidimensional, a incidencia normal en y=h/2, tiene la forma:

])(2

[2

2

)2/,( L

bx

i ehyxE

−−

== , (A1)

donde la posición del haz incidente con respecto al eje y es determinado por el parámetro b. Se denota por L el valor del radio, para el cual la intensidad del haz se ha reducido 1/e2 en con respecto al máximo. Se desea determinar la amplitud incidente del haz gaussiano A(α), se expande el campo incidente en un espectro angular de ondas planas.

ααπ

βα deAyxE

k

k

yxi

i ∫−

−= )()(2

1),( , (A2)

donde k2=α2+β2, β¥0 y αœ[-k, k]. Además, para y>>1.

0)(2

1)(

2

1 )()( == ∫∫∞

−−

∞−

− ααπ

ααπ

βαβα deAdeAk

yxi

k

yxi . (A3)

90

Si se hace incidir el haz lejos de la rendija, digamos en y=d. Usando (A2) y (A3) se tendrá:

ααπ

βα deAdyxE dxi

i ∫∞

∞−

−== )()(2

1),( . (A4)

Igualando (A1) y (A4).

ααπ

βα deAe dxiL

bx

∫∞

∞−

−

−−

= )(]

)(2[

)(2

12

2

. (A5)

Se tiene también que:

ααπ

α deyUyxU xi

∫∞

∞−

= ),(~2

1),( . (A6)

Por lo que de (A4), se concluye: di

i eAyE βαα −= )(),(~ , (A7)

pero además de (A1):

{ } dxeeeyxEyE xiL

bx

L

bx

ii ∫∞

∞−

−

−−

−−

=

== α

πα

])(2

[])(2

[2

2

2

2

2

1),(),(~

�� . (A8)

De (A7) y (A8):

dxeeeA xiL

bx

di

∫∞

∞−

−

−−

− = αβ

πα

])(2

[2

2

2

1)( , (A9)

sea b)(xL

−=2

ξ , entonces se puede escribir (A9) de la siguiente manera:

ξπ

αξαξ

β deeL

eAb

Li

di

∫∞

∞−

+−−− =

)2

(2

1 2

22)( . (A10)

Equivalentemente:

ξπ

αξαξ

αβ deeL

eeA

Li

bidi

∫∞

∞−

−−− =

)2

(2

1 2

22)( . (A11)

La integral de la expresión (A11) es posible realizarla con:

22

1 22

2γ

γφφ

πφ−

∞

∞−

−

=∫ edee i , (A12)

por lo que de (A11) y (A12) resulta:

8)(

22

2)(

αβαα

L

dbi eeL

A−

−−= . (A13)

Amplitud incidente a incidencia normal, está determinada por (A13), sin embargo, para incidencia a un ángulo qi alrededor del eje z, se coloca un sistema primado que pertenece a la rotación antes mencionada.

´´)(2

1´)´,(´ ´)´´´( αα

πβα deAyxE yxi

i ∫∞

∞−

−= , (A14)

se coloca (A13) en el sistema primado y se sustituye en (A14).

91

´22

1´)´,(´ ´)´´´(8

´´)´´´(

22

απ

βαα

βαdeee

LyxE

yxi

L

dbi

i ∫∞

∞−

−−

−−= , (A15)

se cuenta con las siguientes expresiones, obtenidas de la rotación: yxyx βαβα −=− ´´´´ , (A16)

ii senθβθαα −= cos´ . (A17)

Se pasará (A15) del sistema primado al no primado con ayuda de (A16) y (A17):

αθβ

αθ

πβα

θβθαβα dseneee

LyxE ii

yxi

senL

dbi

i

ii

)(cos22

1),( )(8

)cos()(

22

+= ∫∞

∞−

−−

−−− . (A18)

Por otro lado, se tiene que el campo incidente en todo el espacio, se expresa:

ααπ

βα deAyxE yxi

i ∫∞

∞−

−= )()(2

1),( , (A19)

comparando (A18) con (A19) se obtiene finalmente A(α) amplitud incidente del campo a incidencia oblicua.

8

)cos()(

22

)(cos2

)(ii senL

dbi

ii eesenL

A

θβθαβαθ

β

αθα

−−

−−+= . (A20)

A.2 Ondas Planas Incidentes. La distribución del campo de un haz de ondas planas se puede expresar por:

)(),( yxi

iooeyxE

βα −= , (A21)

con αo=ksenqo , qo ángulo medido respecto a la normal. Sin embargo la expresión del campo incidente expresado en ondas planas angulares en todo el espacio es:

ααπ

βα deAyxE yxi

i ∫∞

∞−

−= )()(2

1),( . (A22)

De (A22) y de acuerdo con (A6):

yi

i eAyxEβα −= )(),(~ . (A23)

Y de (A21):

{ } { } dxeeeyxEyE xiyxiyxi

iioooo ∫

∞

∞−

−−− === αβαβα

πα )()(

2

1),(),(~

�� . (A24)

Igualando (A23) con (A24)

dxeeeA xiyxiyi oo∫∞

∞−

−−− = αβαβ

πα )(

2

1)( , (A25)

92

de (A25) se sigue:

dxeeA yxiyxi oo∫∞

∞−

−−−= )()(

2

1)( βαβα

πα . (A26)

Lo que puede reescribirse como:

)(22

1)( )()()(

o

yyiyyixxi ooo edxeeA ααδππ

α ββββαα −== −−∞

∞−

−−−−

∫ . (A27)

Finalmente, utilizando propiedades de la función delta queda:

)(2)( oA ααδπα −= . (A28)

93

APÉ�DICE B. Cálculo explícito de )(~ αφn

, para ambas polarizaciones, TE Y TM [9]. Para el caso de polarización TE, se tiene:

= xl

nsenn

παφ �)(~ . (B1)

++== ∫∫∫∫

∞−−

∞−

−∞

∞−

− dxexdxexdxexdxexl

xi

n

l

xi

n

l

xi

n

xi

nn

αααα φφφπ

φπ

αφ )()()(2

1)(

2

1)(~

0

. (B2)

La primera y la última integral de (B2) son cero, pues φn es cero fuera de la rendija. Así:

dxeeei

dxxel

nsen

l

xil

nix

l

ni

l

xi

n ∫∫−

−−

−==

00 22

1

2

1)(~ α

ππα

π

π

παφ . (B3)

Resolvemos

dxedxedxeee

l xl

nil x

l

nil

xil

nix

l

ni

∫∫∫

+−

−

−−

−=

−

000

απ

απ

αππ

[ ] [ ]111

1−

+−

−−

−

= −−− liinliin ee

l

ni

ee

l

ni

απαπ

απ

απ

[ ] [ ]liinli

liinli

ee

l

ni

eee

l

ni

e απα

απα

απ

απ

−

+−

−−

−

= −−−

94

[ ] [ ]lili

lili

en

l

ni

een

l

ni

e αα

αα

π

απ

π

απ

−

+−

−−

−

=−−

coscos

[ ]

+−

−

−

−= −

απ

απ

π αα

l

ni

l

ni

ene lili 11cos

[ ]

+

−

−−

−−

−−= −

απ

απ

απ

απ

αα

l

n

l

n

il

ini

l

in

ee linli )1(

[ ]

−

−

−−= −

22

2

)1(

απ

π

αα

l

n

l

in

ee linli . (B4)

Sustituyendo (B4) en (B3):

[ ]

−

−

−−= −

22

2

)1(22

1)(~

απ

π

παφ αα

l

n

l

in

eei

linli

n

, (B5)

equivalente a:

[ ]2

2

)1(1

2)(~

απ

παφ

α

−

−−=

−

l

n

e

l

n lin

n

. (B6)

Para el caso de polarización TM, se tiene:

= xl

nn

παφ cos)(~

� . (B7)

++== ∫∫∫∫

∞−−

∞−

−∞

∞−

− dxexdxexdxexdxexl

xi

n

l

xi

n

l

xi

n

xi

nn

αααα φφφπ

φπ

αφ )()()(2

1)(

2

1)(~

0

. (B8)

La primera y la última integral son cero de (B8), pues φn es cero fuera de la rendija. Por lo que:

95

dxeeedxxel

nl

xil

nix

l

ni

l

xi

n ∫∫−

−−

+==

00 22

1cos

2

1)(~ α

ππα

π

π

παφ . (B9)

Resolvemos

dxedxedxeee

l xl

nil x

l

nil

xil

nix

l

ni

∫∫∫

+−

−

−−

+=

+

000

απ

απ

αππ

[ ] [ ]111

1−

+−

+−

−

= −−− liinliin ee

l

ni

ee

l

ni

απαπ

απ

απ

[ ] [ ]liinli

liinli

ee

l

ni

eee

l

ni

e απα

απα

απ

απ

−

+−

+−

−

= −−−

[ ] [ ]lili

lili

en

l

ni

een

l

ni

e αα

αα

π

απ

π

απ

−

+−

+−

−

=−−

coscos

[ ]

+−

+

−

−= −

απ

απ

π αα

l

ni

l

ni

ene lili 11cos

[ ]

+

−

−+

−−

−−= −

απ

απ

απ

απ

αα

l

n

l

n

il

ini

l

in

ee linli )1(

[ ]

−

−

−−= −

22

2

)1(

απ

α

αα

l

n

l

i

ee linli . (B10)

Sustituyendo (B10) en (B9):

[ ]

−

−

−−= −

22

2

)1(22

1)(~

απ

α

παφ αα

l

n

l

i

ee linli

n

, (B11)

o bien:

[ ]2

2

)1(1

2)(~

αππ

ααφ

α

−

−−=

−

l

n

ei lin

n

. (B12)

96

REFERE�CIAS: [1] Bodanis David; E=mc2. La biografía de la ecuación más famosa del mundo; 4ta edición; Planeta; Barcelona 2003.

[2] Born M., Wolft E.; Principles of Óptics, (Electromagnetic Theory of propagation interference and diffraction of ligth) Oxford, Pergamon; 4th edition; 1970.

[3] Born M., Wolft E.; Principles of Óptics, Cambrige Universaty Press; 6th edition.

[4] De la Cruz Arreola Sergio; Difracción de haces por redes de Ronchi finitas; Tesis de Maestría IPN-ESFM (2007).

[5] Díaz Torres Luis Armando; Estudio de la propagación del vector de Poynting en el problema de la difracción por una rendija, Tesis IPN-ESFM.

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[9] J. Avendaño, L. de la peña; Reordering if the ridge patterns of a stochastic electromagnetic field by diffraction due to an ideal slit; REV E 72 066605(2005).

97

[10] Loredo Robledo, Miguel Angel; Dislocaciones de fase en el campo cercano de una nano-rendija; Tesis de licenciatura, Universidad Autónoma del Estado de México (2006).

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