isbn: 978-3-8085-5559-0 (buch) isbn: 978-3-8085-5829-4 (e … · 2016. 8. 9. · 4.2 aufgaben mit...

ISBN: 978-3-8085-5559-0 (Buch)ISBN: 978-3-8085-5829-4 (E-Book)

Der Titel erscheint in der Edition Harri Deutsch des Verlages Europa-Lehrmittel.

Kinematik und KinetikArbeitsbuch mit ausführlichen Aufgabenlösungen, Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten

von Gerhard Knappstein

4. Auflage

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 55583

knappstein-kinematik_titelei.indd 1 25.06.2014 13:36:00

Der Autor Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werk-zeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Be-rechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der Universität Siegen.

4. Auflage 2014Druck 5 4 3 2 1

ISBN 978-3-8085-5559-0

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlä-gen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.

© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.de

Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 RadevormwaldDruck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach


Vorwort Studierende der Ingenieurwissenschaften stellen sehr schnell fest, dass zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Kinematik und Kinetik das selb-ständige Lösen von Aufgaben unverzichtbar ist. Oft glauben Übende, die gelernten Formeln und Lehrsätze verstanden zu haben, doch in Wirklichkeit haben sie keineswegs alle ihre Anwendungs-bedingungen und Konsequenzen erfasst.

Das vorliegende Arbeitsbuch ist als Ergänzung zu den Vorlesungen gedacht und bietet die notwendigen Grundbegriffe und Formeln, zahlreiche ausführlich gelöste Übungsaufgaben sowie Fragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse.

Alle wichtigen Teilgebiete der Kinematik und Kinetik werden behandelt und sind so struktu-riert, dass in jedem Kapitel die drei Komponenten Grundbegriffe und Formeln, Aufgaben mit Lösungen sowie Fragen und Antworten aufeinander folgen. Dadurch besteht eine ausgewogene Verbindung von Theorie und gelösten Übungsaufgaben.

Der Inhalt des Buches beschränkt sich bewusst auf das Notwendige und ist durch viele Bilder leicht verständlich, so dass die Studierenden schnell erkennen, worauf es ankommt und den Über-blick behalten. Überhaupt habe ich mit Zeichnungen nicht gespart, da Studierende dadurch viel schneller und besser über schwierige Sachverhalte "im Bilde" sind, als das je mit Text geschehen könnte.

Zur bestmöglichen Nutzung des Buches empfehle ich, in Verbindung mit den Vorlesungen zunächst das Wesen der wichtigsten Grundbegriffe und Grundformeln zu studieren, und dann zu versuchen, die Aufgaben selbständig zu lösen. Oft ist es auch hilfreich, die Aufgaben, Lösungen, Fragen und Antworten in der Gruppe zu bearbeiten und zu diskutieren.

Da die Erfahrung zeigt, dass viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lö-sung verlieren, wenn man ihn nicht systematisch anlegt, sind ergänzend Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren angegeben.

In der vorliegenden 4. Auflage habe ich zusätzlich zur Formelsammlung der Kinematik und Kinetik noch Formelsammlungen zur Statik und zur Festigkeitslehre aus meinen gleichlautenden Büchern aufgenommen, so dass jetzt alle wichtigen Formeln für das Grundlagenfach Technische Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erscheint erstmals in der Edition Harri Deutsch des Verlags Europa-Lehrmittel. Siegen, 2014 Gerhard Knappstein

Leserkontakt

Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str. 23 42781 Haan-Gruiten [email protected] http://www.europa-lehrmittel.de


Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1

1.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 1 1.1.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung ................................................................... 11.1.2 Kinematische Diagramme ........................................................................................ 21.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewe-

gung) ........................................................................................................................ 21.1.4 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder gleichmäßig verzögerte Bewegung) .............................................. 31.1.5 Ungleichförmig beschleunigte Bewegung ............................................................... 3

1.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 5

Aufgabe 1.1 Freier Fall ................................................................................................... 5Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug ...................................................... 6Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs .................................................... 7Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Fahrzeuge ................................................................ 9Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken .............................. 11Aufgabe 1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt ........................................... 13Aufgabe 1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung .................................................... 16

1.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 19

2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes 21

2.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 21 2.1.1 Ebene Bewegung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem .............................. 212.1.2 Ebene Bewegung in natürlichen Koordinaten; Tangential- und Normalbeschleuni-

gung .......................................................................................................................... 222.1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn; Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleuni-

gung, gleichförmige Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung . 242.1.4 Beschreibung der Bewegung in Polarkoordinaten ................................................... 262.1.5 Räumliche Punktbewegung ...................................................................................... 26


Aufgabe 2.1 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung ........................................ 28Aufgabe 2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden ......................................... 29

VI Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.3 Räumliche Bahnkurve ................................................................................ 30Aufgabe 2.4 Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage ................................................. 32Aufgabe 2.5 Punktbewegung auf ebener Kurve ............................................................. 35Aufgabe 2.6 Ziehen eines Bootes über einen Kanal ....................................................... 36Aufgabe 2.7 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe ............................. 38Aufgabe 2.8 Kreisbewegung eines Punktes ................................................................... 39Aufgabe 2.9 Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges....................................................... 40Aufgabe 2.10 Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn ........................ 42Aufgabe 2.11 Bremsscheibe ............................................................................................. 44Aufgabe 2.12 Schwungscheibe ......................................................................................... 45Aufgabe 2.13 Rotierende Schleifenschwinge ................................................................... 46Aufgabe 2.14 Roboter ....................................................................................................... 47

2.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 48 3 Kinematik des starren Körpers 51

3.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 51 3.1.1 Translation und Rotation sowie Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ........ 513.1.2 Ebene Bewegung des starren Körpers (mit Hinweisen auf die Bewegung im

Raum), Momentanpol, Geschwindigkeit und Beschleunigung ............................... 52 3.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 56

Aufgabe 3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber ................................................................... 56Aufgabe 3.2 Dreieckscheibe ........................................................................................... 58Aufgabe 3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe ......................................................... 59Aufgabe 3.4 Kette einer Planierraupe ............................................................................ 61


4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme 67

4.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 67 4.1.1 Dynamisches Grundgesetz (Massenpunkt) .............................................................. 674.1.2 Prinzip von D'ALEMBERT (Massenpunkt) ................................................................. 684.1.3 Impulssatz (Massenpunkt) ....................................................................................... 694.1.4 Arbeit, Energie, Leistung (Massenpunkt) ................................................................ 704.1.5 Energiesatz und Arbeitssatz (Massenpunkt) ............................................................ 724.1.6 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz beim Massenpunktsystem ........................ 73


Aufgabe 4.1 Anschieben eines Autos ............................................................................. 76Aufgabe 4.2 Antriebskraft einer Straßenbahn ................................................................ 76Aufgabe 4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung ........................... 77Aufgabe 4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene ............................................ 79

Inhaltsverzeichnis VII

Aufgabe 4.5 Drei miteinander verbundene Massen ....................................................... 80Aufgabe 4.6 Bremsung eines Krans ............................................................................... 82Aufgabe 4.7 Fall eines Transportguts ............................................................................. 83Aufgabe 4.8 Massenpunkt an kreisförmiger Wand ........................................................ 85Aufgabe 4.9 Massenpunkt auf rauer Unterlage .............................................................. 87Aufgabe 4.10 Sprung aus einem fahrenden Boot ............................................................. 88Aufgabe 4.11 Arbeit eines Gepäckträgers ........................................................................ 89Aufgabe 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens .............................................................. 89Aufgabe 4.13 Reibscheibenkupplung ............................................................................... 90Aufgabe 4.14 Abbremsung auf rauer Unterlage ............................................................... 91Aufgabe 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene .......................................................... 92Aufgabe 4.16 Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes ..................... 93


5 Kinetik starrer Körper 97

5.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 97 5.1.1 Translation ............................................................................................................... 975.1.2 Rotation um eine feste Achse .................................................................................. 975.1.3 Massenträgheitsmomente ......................................................................................... 995.1.4 Auswuchten von Rotoren ......................................................................................... 1065.1.5 Ebene Bewegung des starren Körpers ..................................................................... 107

5.1.5.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz .......................................................................... 1075.1.5.2 Prinzip von D'ALEMBERT .............................................................................. 1085.1.5.3 Energiesatz und Arbeitssatz ......................................................................... 109

5.1.6 Räumliche Bewegung starrer Körper ....................................................................... 1105.1.6.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz .......................................................................... 110


Aufgabe 5.1 Rotierender -förmig gebogener Körper .................................................. 112Aufgabe 5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke ..... 113Aufgabe 5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel ..................................... 114Aufgabe 5.4 Auswuchten eines starren Rotors ............................................................... 115Aufgabe 5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene ...................................................... 119Aufgabe 5.6 Rollende Walze .......................................................................................... 121Aufgabe 5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil ............................................................. 124Aufgabe 5.8 Schweres Seil auf Windentrommel ............................................................ 127Aufgabe 5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle ................................................. 128Aufgabe 5.10 Drehbarer Stab ........................................................................................... 129


VIII Inhaltsverzeichnis 6 Schwingungen 133

6.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 133 6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen ........................................................................... 1376.1.2 Federn und Federnschaltungen ................................................................................ 1406.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen ............................................................................... 141

6.1.3.1 Das logarithmische Dekrement (Dämpfungsdekrement) ............................. 1436.1.4 Erzwungene Schwingungen ..................................................................................... 144

6.1.4.1 Krafterregung oder Erregung über eine Feder (Federkrafterregung) ........... 1446.1.4.2 Unwuchterregung ......................................................................................... 147


Aufgabe 6.1 Taktmesser (Metronom) .............................................................................

149

Aufgabe 6.2 Rollschwinger ............................................................................................ 149Aufgabe 6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder ............................................. 150Aufgabe 6.4 Scheibe mit Feder ...................................................................................... 151Aufgabe 6.5 Dünner Stab mit Feder ............................................................................... 153Aufgabe 6.6 Schwingende Kreisscheibe ........................................................................ 154Aufgabe 6.7 Masse mit Balken und Stäben .................................................................... 156Aufgabe 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System .................................................................. 158Aufgabe 6.9 Ausschwingversuch ................................................................................... 159Aufgabe 6.10 Federkrafterregtes System ......................................................................... 160Aufgabe 6.11 Harmonisch erregtes Federende ................................................................ 161Aufgabe 6.12 Schwinger mit Erregerkraft ....................................................................... 163Aufgabe 6.13 Unwuchterregte Maschine ......................................................................... 165


7 Stoßvorgänge 169

7.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 169

7.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 173Aufgabe 7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage ................................................................. 173Aufgabe 7.2 Stoß auf schiefer Ebene ............................................................................. 174Aufgabe 7.3 Stoß gegen drehbar gelagerten Körper ...................................................... 176Aufgabe 7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab ............................................... 178


8 Relativbewegung 181

8.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 181

Inhaltsverzeichnis IX

8.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 185Aufgabe 8.1 Mit dem Boot über einen Fluss .................................................................. 185Aufgabe 8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe .......................... 186Aufgabe 8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe ............................. 188Aufgabe 8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab .................................. 190Aufgabe 8.5 Fliehkraftpendel ......................................................................................... 191


Leitlinien zum Lösen von Aufgaben aus Kinematik und Kinetik 194 Anhang: Zusammenstellung der Formeln (Formelsammlung) 196

A1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes ...................................................... 196A2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes ................................................... 197A3 Kinematik des starren Körpers .......................................................................................... 203A4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme ............................................... 205A5 Kinetik starrer Körper ....................................................................................................... 211A6 Schwingungen ................................................................................................................... 218A7 Stoßvorgänge ..................................................................................................................... 222A8 Relativbewegung ............................................................................................................... 224

Das griechische Alphabet .............................................................................................................. 227Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten ........................... 227Einheitennamen und Einheitenzeichen ......................................................................................... 228Einige Formeln aus der Mathematik ............................................................................................. 229

Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik ………………………………………….….

S1 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip ……………..….…………… S2 Zentrales Kräftesystem …………………………………………………………………..S3 Allgemeines Kräftesystem ……………………………………………………………….S4 Ebenes Fachwerk ………………………………………………………………………...S5 Schnittgrößen am Balken ……………………………………………...………………... S6 Schwerpunkt ……………………………………………………………………………..S7 Haftung und Reibung ……………………………………...……………………………. S8 Biegeschlaffes Seil ………………………………………………………………………

230

230235238241243245249250

X Inhaltsverzeichnis

Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre ……………………………………

F1 Einheiten; Spannungen …………………………………………………………………..F2 Verformungen ……………………………………………………………………………F3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen ……………………...…….. F4 Zug und Druck in Stäben ………………………………………………………………...F5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente ……………...F6 Biegung ……………………………………………………………………...………….. F7 Torsion …………………………………………………………………………………...F8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen ………………...……………. F9 Querkraftschub …………………………………………………………………………..F10 Knickung ………………………………………………………………………………... F11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck ……………...…………... F12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung …………………………………………….F13 Zugfestigkeit Rm, Streckgrenze Rp0 2, und Bruchdehnung A5 einiger Werkstoffe …....F14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke ………………………………………...F15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte ………………………………………………………F16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHR-

sches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) ……………………………………...……

253

253254255255257262265269270270273274275275276 277

Literatur 282

Sachwortverzeichnis 283

Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XI

Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 1 Kinematik der geradlinigen

Bewegung eines Punktes 1

1.1 Freier Fall;

Geschwindigkeit, Fallzeit, kinematische Diagramme

5

1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug;

Geschwindigkeit, Zeit t

v Kraftfahrzeug

t

v Zug

t

v Kraftfahrzeug

t

v Zug

6

1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs;

Geschwindigkeit, kinematische Diagramme t

v

7

1.4 Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge; Zeit, Geschwindigkeit beim Aufprall

9

1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Stre-cken;

Zeit, Steig- und Fallhöhe, Geschwindigkeiten, ki-nematisches Diagramm

11

1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt;

Orts-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-Zeit-Funktion

13

1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung;

Ort, Geschwindigkeit, kinematische Diagramme

16

2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes

21

2.1 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung;

Beschleunigungen, Krümmungsradius

28

2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden;

Geschwindigkeiten, Bahngleichung des Schnitt-punktes

29

2.3 Räumliche Bahnkurve;

Geschwindigkeiten, Bahnkurve

30

XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

2.4 Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage;

Bahnkurve, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg

32

2.5 Punktbewegung auf ebener Kurve;

Bahngeschwindigkeit, Beschleunigung, Bahnkurve

35

2.6 Ziehen eines Bootes über einen Kanal;

Bahnkurve des Bootes

36

2.7 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe;

Geschwindigkeit, Beschleunigung

38

2.8 Kreisbewegung eines Punktes;

Geschwindigkeit-Zeit-Funktion

39

2.9 Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges;

Beschleunigungen

40

2.10 Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn;

Beschleunigungen, Lage der Gesamtbeschleuni-gung, Ort

42

2.11 Bremsscheibe;

Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzö-gerung, Winkelgeschwindigkeit

t

ω

44

2.12 Schwungscheibe;

Winkelbeschleunigung, Umdrehungen t

ω

45

2.13 Rotierende Schleifenschwinge;

Größe und Richtung der Beschleunigung

46

2.14 Roboter;

Zylinderkoordinaten, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigungsvektor

47

Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XIII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

3 Kinematik des starren Körpers 51

3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber;

Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Win-kelbeschleunigung

56

3.2 Dreieckscheibe;

Geschwindigkeit, Momentanpol

58

3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe;

Beschleunigung und Beschleunigungsverlauf

59

3.4 Kette einer Planierraupe;

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

61

4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme

67

Beispiel Massenpunkt auf rauer schiefer Ebene;

Geschwindigkeit

72

4.1 Anschieben eines Autos;

Beschleunigung

76

4.2 Antriebskraft einer Straßenbahn;

Antriebskraft, Anfahrweg

76

4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdar-stellung;

verursachende Kräfte

77

4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene;

Beschleunigung, Seilkraft

79

4.5 Drei miteinander verbundene Massen;

Beschleunigung, Seilkraft

80

4.6 Bremsung eines Krans;

Ausschlagwinkel, Seilkraft

82

XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

4.7 Fall eines Transportguts;

Fallhöhe

83

4.8 Massenpunkt an kreisförmiger Wand;

erforderliche Höhe

85

4.9 Massenpunkt auf rauer Unterlage;

Geschwindigkeit

F

t

F

t

87

4.10 Sprung aus einem fahrenden Boot;

Geschwindigkeiten

88

4.11 Arbeit eines Gepäckträgers;

mechanische Arbeit

89

4.12 Aufprall eines beladenen Wagens;

erforderliche Geschwindigkeit

89

4.13 Reibscheibenkupplung;

Winkelgeschwindigkeit, Energieverlust

90

4.14 Abbremsung auf rauer Unterlage;

erforderlicher Reibungskoeffizient

91

4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene;

Geschwindigkeit

92

4.16 Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Mas-senpunktes;

Geschwindigkeit

93

5 Kinetik starrer Körper

97

Beispiel Walze auf geneigter Bahn;

Geschwindigkeit

109

Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XV Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

5.1 Rotierender -förmig gebogener Körper;

Massenträgheitsmomente, Lagerkräfte

112

5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke;

Massenträgheitsmomente

113

5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel;

Massenträgheitsmoment

114

5.4 Auswuchten eines starren Rotors;

notwendige Ausgleichsmassen

115

5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene;

Beschleunigung, Stangenkraft

119

5.6 Rollende Walze;

Massenträgheitsmoment, Beschleunigung

121

5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil;

Beschleunigung, Seilkräfte

124

5.8 Schweres Seil auf Windentrommel;

Drehzahl

127

5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle;

Geschwindigkeit

128

5.10 Drehbarer Stab; Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Lagerreaktionen

129

XVI Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

6 Schwingungen 133

6.1 Taktmesser (Metronom);

Schwingungsdauer

149

6.2 Rollschwinger;

Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer

149

6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder;


150

6.4 Scheibe mit Feder;

Schwingungsdauer

151

6.5 Dünner Stab mit Feder;

Massenträgheitsmoment, Eigenkreisfrequenz

153

6.6 Schwingende Kreisscheibe;

Eigenkreisfrequenz

154

6.7 Masse mit Balken und Stäben;

Eigenkreisfrequenz

156

6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System;


158

6.9 Ausschwingversuch;

logarithmisches Dekrement, Dämpfungsgrad, Eigenkreisfrequenz, Federkonstante, Dämpfungskonstante

159

6.10 Federkrafterregtes System;

Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Amplitude

160

Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XVII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

6.11 Harmonisch erregtes Federende;

Schwingungsdifferenzialgleichung, Phasenverschiebung, Vergrößerungsfunktion

161

6.12 Schwinger mit Erregerkraft;

Erregerkreisfrequenz, Federkonstante

163

6.13 Unwuchterregte Maschine;

Amplitude, Federkonstante

165

7 Stoßvorgänge 169

7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage;

Rückprallgeschwindigkeit, Weg

173

7.2 Stoß auf schiefer Ebene;

Zeit zwischen erstem Zusammenprall und näch-stem Zusammenstoß

174

7.3 Stoß gegen drehbar gelagerten Körper;

Geschwindigkeiten, Kraftstoß, stoßfreies Lager

176

7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab;

Winkelgeschwindigkeit

178

8 Relativbewegung 181 8.1 Mit dem Boot über einen Fluss;

Vorhaltewinkel, Absolutgeschwindigkeit, Fahrzeit

185

8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe;

Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung

186

XVIII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe;

Geschwindigkeit, Beschleunigung

188

8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab;

Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung

190

8.5 Fliehkraftpendel;

Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendel-länge

191

0 Einleitung Die Kinematik beschreibt Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfte einzugehen, das heißt, die Lage von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben. In der Kinetik wird der Zusammenhang zwischen den Kräften und den durch sie bewirkten Bewe-gungsänderungen von Massen untersucht. Sind die Kräfte bekannt, so kann daraus im Allgemeinen der Bewegungsablauf bestimmt werden und umgekehrt.

1 Kinematik der geradlinigen Bewe-gung eines Punktes

Die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-Zeit-Funktion, besser Orts-Zeit-Funktion ( )txx = , das heißt, wir wissen zu jeder Zeit t den Abstand x des Punktes P von einem festen Punkt 0 (Bild 01.1).

1.1 Grundbegriffe und Formeln

1.1.1 Ort (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung

x(t)P

xΔ

(x t )+Δt

0

t t+Δ t

Bild 01.1: Bewegung eines Punktes auf geradliniger Bahn

( )txx =

( ) ( )t

txttxtxv

Δ−Δ+

=ΔΔ

=m

( ) ( )t

tvttvtva

Δ−Δ+

=ΔΔ

=m

vxt

dxdt

xt

= = =→

lim &Δ

ΔΔ0

avt

dvdt

v xt

= = = =→

lim & &&Δ

ΔΔ0

x Ortskoordinate (Wegkoordinate)

t Zeit, Zeitpunkt

vm mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall Δt

am mittlere Beschleunigung im Zeitintervall Δt

v momentane Geschwindigkeit zur Zeit t

a momentane Beschleunigung zur Zeit t

&x Geschwindigkeit (1. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit)

&&x Beschleunigung (2. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit)

&v Beschleunigung (1. Ableitung der Ge-schwindigkeit nach der Zeit)

2 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes

1.1.2 Kinematische Diagramme

Über die Bewegung eines Punktes gewinnen wir einen anschaulichen Überblick, wenn wir die Ortskoordinate x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über der Zeit auftragen. Die Ortskoordinate x wird öfters auch als Wegkoordi-nate bezeichnet, was dann zu Missverständnissen führen kann, weil die Koordinate x nicht den Weg, sondern den Ort des Punktes angibt. Wenn zum Beispiel ein Punkt auf einer Strecke hin und her bewegt wird, so kann der zurückgelegte Weg beliebig groß werden, während sich sein Ort nur zwischen zwei Grenzen x1 und x2 ändert. Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion ( ) ( )txtv &= (der Punkt über der Größe bedeutet die Ableitung nach der Zeit) entsteht durch Ableitung (Differentiation) der Funktion ( )tx . Dies gilt auch analog für die Funktionen ( )tv und ( )ta . Durch Integration können wir umge-

kehrt aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion ( )ta die Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung ( )tv und weiter die Orts (Weg)-Zeit-Beziehung ( )tx bestimmen. Das bedeutet zum Beipiel, daß die Änderung des Ortes (Ortsdifferenz) durch die Fläche unter der v,t-Linie dar-gestellt wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Dia-gramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer geradlinigen Bahn dargestellt. Die geradlinige Bahn ist neben der Ortskoordinate x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Ort x als unabhängige Vari-able gewählt, um zum Beispiel die Geschwindigkeits-Orts-Funktion ( )xv darzustellen. All diese graphischen Darstellungen bezeichnen wir als kinematische Diagramme.

1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Ge-schwindigkeit (gleichförmige Bewegung)

Gleichförmige geradlinige Bewegung heißt eine Bewe-gung, bei der die Beschleu-nigung a = 0 und die Ge-schwindigkeit v = konstant ist. Der zurückgelegte Weg nach der Zeit t ist x x v t= +0 . x0 ist der Weg, der zu Be-ginn der Zeitmessung bereits zurückgelegt war.

x

t

xva

t

t

x v=

vx a= =

Bild 01.2: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für

eine ungleichförmige Bewe-gung in einer geradlinigen Bahn

x

t

t

tvx a= =

=x v

x0 x0x0x- =v t

x0x= +v t

v0v t

v=v0=

0

Die Steigung der x,t -Geraden istv=Δ Δx/ t= konst.

Die Ortsdifferenz währendder Zeit t ist gleich der"Fläche" v t imv,t -Diagramm.

konst.

Bild 01.3: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für eine geradlinige Punktbewegung mit konstanter Geschwindigkeit

Grundbegriffe und Formeln 3

1.1.4 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleu-nigung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder gleichmäßig verzögerte Bewegung)

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung heißt eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a =konstant ist. Die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist v v a t= +0 . v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. Nach Integration mit der Anfangsbedin-gung t = 0, x x= 0 folgt:

⇒= ∫ dtvx x x v t a t= + +0 0 212

.

Aus diesen beiden Gleichungen wird durch Elimination von t: ( ) 2002 vxxav +−= . Wenn wir die Ortskoordinate x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über der Zeit auf-tragen, erhalten wir die Diagramme nach (Bild 01.4). Die Ortskoordinate x ist eine quadratische Funktion der Zeit t, während die Ge-schwindigkeit v x= & linear in t ist (Bild 01.4). Die Ge-schwindigkeit setzt sich aus der Anfangsgeschwindigkeit v0 und der durch die Be-schleunigung verursachten Geschwindigkeitszunahme a t (Rechteck im a t, -Dia-gramm) zusammen. Die Flä-che unter der v t, -Linie im v t, -Diagramm besteht aus

dem Dreieck 12

at t und dem

Rechteck v t0 und sie ent-spricht der Ortsdifferenz während der Zeit t (Bild 01.4). Ausgehend vom x t, -Diagramm erhalten wir das v t, -Diagramm als erste und das a t, -Diagramm als zweite Ableitung.

1.1.5 Ungleichförmig beschleunigte Bewegung Ist die Bewegung weder gleichförmig noch gleichmäßig beschleunigt, das heißt, wenn die Be-schleunigung eine Funktion der Zeit, also nicht mehr konstant oder Null ist, so liegt eine ungleich-förmig beschleunigte Bewegung vor. Als kinematische Grundaufgaben werden die gegen-seitigen Überführungen der kinematischen Größen Zeit t, Ort (Weg) x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a bei einer geradlinigen Bewegung bezeichnet (siehe nebenstehende Tabelle). Ist eine dieser Funktionen ge-geben, so können die gesuchten Funktionen (siehe Ta-belle) teils durch Differentiation, teils durch Integration berechnet werden.

x

t

t

tvx a= =

=x v

x0 x0

v0

a ta=

v,t

Ortsdifferenz währendder Zeit t

ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie

.

tv0

v0v= +a t12 a t t

x0x= +v t0 +12 a t

2

x0x- v t0 +12 a t

2=

v0 a,t

Geschwindigkeitsänderungwährend der Zeit


t.

a tv0v- =

konst.

Bild 01.4: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm einer geradlinigen Punktbe-

wegung mit konstanter Beschleunigung

Fall gegebene Funktion gesuchte Funktionen

1 a t( ) x t v t( ), ( ) 2 v t( ) x t a t( ), ( ) 3 x t( ) v t a t( ), ( ) 4 v x( ) a x t x( ), ( ) 5 a x( ) v x t x( ), ( ) 6 a v( ) x v t v( ), ( )


In der nachstehenden Tabelle sind für die Fälle 1 bis 6 die gegebenen und die daraus berechneten kinematischen Funktionen (Lösungswege bzw. Ansätze) zusammengestellt. Alle in der Tabelle vorkommenden Integrale sind bestimmte Integrale, wobei t v x x, , $und als so-genannte Integrationsvariable eingeführt werden. Kinematische Grundaufgaben bei geradliniger Bewegung. Beginn der Bewegung zur Zeit t t x x v v= = =0 0 0: und Fall Gegebene

Funktion Berechnete Funktionen

1 a t( ) ( ) ( ) tdtavtvt

tt∫=

+=0

0 ; ( ) ( ) tdtvxtxt

tt∫=

+=0

0 ;

( ) ( ) ( )( ) tdtttattvxtxt

tt∫=

−+−+=0

000

2 v t( ) ( )( )tdtdvta = ; ( ) ( ) tdtvxtx

t

tt∫=

+=0

0

3 x t( ) ( )( )2

2

tdtxdta = ; ( ) ( )

tdtxdtv =

4 v x( ) ( ) ( )( )xdxvdxvxa = ; ( ) ( )∫=

+=x

xx xvxdtxt

0

0

5 a x( ) ( ) ( )∫=

+=x

xx

xdxavxv0

220 ; ( ) ( )∫=+=

x

xx xvxdtxt

0

0 ;

( )( )

∫∫

=

=

+

+=x

xxx

xx

xdxav

xdtxt0

0ˆ

20

0

ˆˆ2

6 a v( ) ( ) ( )∫=+=

v

vv vavdvxvx

0

0 ; ( ) ( )∫=+=

v

vv vavdtvt

0

0

Aufgaben mit Lösungen 5

1.2 Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 1.1 Freier Fall

Ein Körper wird im freien Fall (Fallbeschleunigung g) ohne Berück-sichtigung des Luftwiderstandes aus der Höhe h auf die Erde fallen gelassen (Bild 1.1). Wie groß sind Aufprallgeschwindigkeit und Fallzeit, wenn der Körper zur Zeit tA = 0 mit vA = 0 und xA = 0 losgelassen wird?

h g= =100 9 81m ms2

, , .

Die kinematischen Diagramme für die Funktionen ( )tx , ( )tv und ( )ta sind zu zeichnen. Lösung: ( ) == gta konstant (gleichmäßig beschleunigte Bewegung), das heißt:

dvdt

g= ; dv g dt= ; ⇒= ∫∫=

tv

v

tdgvdA 00

v g t= (1)

dxdt

v g t= = ; dx g t dt= ; ⇒= ∫∫=

tx

x

tdtgxdA 00

x g t=2

2 (2)

Aus (2) folgt: t xg

=2 (3)

(3) in (1) eingesetzt: v g xg

g x= =2 2 .

Mit x h= erhalten wir die Aufprallgeschwindigkeit v g hE = 2 ,

und aus (3) folgt die Fallzeit t hgE

=2 .

Zahlenwerte: vE = ⋅ ⋅ =2 9 81 100 44 3, ,ms

m ms2

(Aufprallgeschwindigkeit)

tE =⋅

=2 100

9 814 52mm

s

s2,

, (Fallzeit).

Im Bild 1.1.1 sind die kinematischen Diagramme dargestellt, wobei links oben im Bild die positiven Koordinatenrichtungen von x, v und a eingetragen sind.

x

A

h

g

E

Fall-Bahn

Bild 1.1: Freier Fall ohne

Luftwiderstand


Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug

An einem anfahrendem Zug fährt ein Kraftfahrzeug auf der parallel zu den Schienen verlaufenden Landstraße mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von 55 km/h in Fahrtrichtung des Zuges vor-bei. Nach welcher Zeit und Entfernung holt der Zug das Kraftfahrzeug ein, wenn er seine Höchstge-schwindigkeit von 85 km/h bei gleichmäßiger Beschleunigung nach 3 min 32 s erreicht und diese dann beibehält?

Lösung: Zur Lösung wird das v t, -Diagramm jeweils für das Kraftfahrzeug und den Zug gezeichnet (Bild 1.2.1). Es ist: vK = 55 km / h; vZ = 85 km / h; tH = 212 s; x x xK Z E= = . Das Kraftfahrzeug ist vom Zug nach einer Strecke x x xK Z E= = und der Zeit tE eingeholt. Da die Fläche unter der v t, -Linie (Bild 1.2.1) ein Maß für die Ortsdifferenz ist, gilt:

Kraftfahrzeug: x v tK K E=

Zug: ( )HEZHZZ ttvtvx −+=2

.

02040

0 1

6080

100

2 3 4 5tE = 4,52 s

ts

xm

01020

0 1

304050

2 3 4 5tE = 4,52 s

ts

vm/s

vE = 44,3 m/s

vE

2vE

tE

05

10

0 1

15

2 3 4 5tE = 4,52 s

ts

a=g= 9,81 m/s2

vE g tE=

a m/s2

xva x =

g2 t

2( )th

v =g t)(t

g

v,t

Ortsdifferenz währendder Zeit


.tE

a,t



.tE

Bild 1.1.1: Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Diagramm für freien Fall unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes

tH= 212 s

t

v

vK = 55 km/h vK tExK=

tE

Kraftfahrzeug

t

vvZ = 85 km/h

tE

Zug

xZ

Bild 1.2.1: v,t-Diagramme für Kfz und ZugtH= 212 s

t

v

vK = 55 km/h vK tExK=

tE

Kraftfahrzeug

t

vvZ = 85 km/h

tE

Zug

xZ

Bild 1.2.1: v,t-Diagramme für Kfz und Zug


Weiter gilt mit tH = 212 s: x x xK Z E= = x xK Z=

( )HEZHZEK ttvtvtv −+=2

⇒ = + −v t v t v t v tK E Z H Z E Z H2

( )ZKHZ

E vvtvt−

−=2

( )ZKHZK

EKKE vvtvvtvxx−

−===2

.

Zahlenwerte:

( )

min5s300

hkm85552

s212h

km85==

−−=Et ; xE = =55 5

160

4 58kmh

h kmminmin

, .

Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs

Ein Fahrzeug bewegt sich auf einer geraden Strecke. Es startet aus dem Stillstand mit konstanter Beschleunigung a1 5= m / s

2 , erreicht die Fahrgeschwindigkeit v , die es beibehält, bis es auf dem letzten Teil der Gesamtfahrstrecke mit konstanter Bremsverzögerung a3 3= m / s

2 bis zum erneuten Stillstand abgebremst wird. Die Gesamtfahrstrecke beträgt 400 m, die gesamte Fahrzeit 25 s.

Gesucht ist die gleichförmige Geschwindigkeit v , und es sind für die drei Bewegungsabschnitte die kinematischen Diagramme der Funktionen ( )tx , ( )tv und ( )ta zu zeichnen. Lösung: Der gesamte Bewegungsablauf läßt sich in drei Ab-schnitte unterteilen. Im ersten Abschnitt steigt die v t, -Linie bei konstanter Beschleunigung linear an, verläuft dann im 2. Abschnitt bei der Beschleunigung von Null waagerecht und fällt im 3. Abschnitt schließlich bei gleichförmiger Verzögerung linear auf Null ab (Bild 1.3.1). Außerdem sind bekannt: T3 25= s ; xges = 400m ; a1 5= m / s

2 a3 3= m / s

2 . Gesamtfahrstrecke x x x xges = + +1 2 3 .

Die Fahrstrecken (Ortsdifferenzen) x x x1 2 3, und in den einzelnen Bewegungsabschnitten entspre-chen den Flächen unter der v t, -Linie (Bild 1.3.1 und 1.3.2b):

x x x x v t v t v tges = + + = + +1 2 3 1 2 32 2 . (1)

Gesamte Fahrzeit: T t t t va

t va3 1 2 3 1

23

= + + = + + ⇒ = − −t T va

va2 3 1 3

.

In (1) eingesetzt, folgt:

3

2

3

2

1

2

31

2

3313

1 2222 av

av

avTv

av

avv

av

avTv

avvxges +−−+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

t1t

v

x1

v

0t2 t3T3

x2 x3

Bild 1.3.1: v,t-Diagramm


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=−−=

31

1323

3

2

1

2

3 222 aaaa

vTva

va

vTvxges

v a aa a

v T xges2 1 3

1 332

0+ − + =

v a aa a

T v a aa a

xges2 1 3

1 33

1 3

1 3

2 2 0−+

++

=

( ) gesxaaaa

aaTaa

aaTaav

31

312

31

331

31

3312/1

2+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

±+

=

sm400

35352

352535

352535 2

2/1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅⋅

±+⋅⋅

=v ⇒ =v1 73 28,ms

; v2 20 47= ,ms

.

Welche Geschwindigkeit gilt, können wir ermitteln, indem wir die Fahrzeiten im ersten und dritten Abschnitt berechnen.

t va

t va1

1

13

1

31 1= =; ;

mit v = 73 28, ms

ergibt sich: t t1 31 173 28

573 28

324 43= = = =, , ,s 14,66 s und s s.

Da die Addition dieser beiden Fahrzeiten t t1 31 1 39 09+ = , s schon größer ist als die gesamte Fahrzeit

von 25 s, erkennen wir, dass die Geschwindigkeit v2 20 47= ,ms

gelten muß.

Also beträgt die gesuchte gleichförmige Geschwindigkeit v = 20 47, ms

.

Um nun die kinematischen Diagramme (Bild 1.3.2) zeichnen zu können, berechnen wir zunächst die Fahrzeiten und die Fahrstrecken in den drei Bewegungsabschnitten.

Fahrzeit im ersten Bewegungsabschnitt: t va1 1

20 475

4 094= = =, ,m / sm / s

s2

Fahrzeit im dritten Bewegungsabschnitt: t va3 3

20 473

6 823= = =, ,m / sm / s

s2

Fahrzeit im zweiten Bewegungsabschnitt: t T t t2 3 1 3 25 4 094 6 823= − − = − − =s s s 14,083s, ,

Fahrstrecken (siehe auch Gleichung (1)):

Fahrstrecke im ersten Bewegungsabschnitt: x v t1 1220 47 4 094

241 9= = ⋅ =, , ,m m

Fahrstrecke im zweiten Bewegungsabschnitt: x v t2 2 20 47 14 083 288 28= = ⋅ =, , ,m m

Bremsweg im dritten Bewegungsabschnitt: x v t3 3220 47 6 823

269 83= = ⋅ =, , ,m m .

Die Diagramme (Bild 1.3.2) zeigen im ersten Bewegungsabschnitt eine konstante Beschleunigung, die nach t1 4 094= , s Null wird. Im zweiten Bewegungsabschnitt folgt die gleichförmige Bewegung und im dritten Bewegungsabschnitt ist die Beschleunigung negativ. Die x,t-Kurve setzt sich aus der Parabel der gleichförmig beschleunigten Bewegung und der Gera-den der gleichförmigen Bewegung und der Parabel der gleichförmig verzögerten Bewegung zu-sammen.


Weil die Beschleunigung in den Zeitpunkten t1 und T2 unstetig (Sprung) und die Geschwindigkeit nicht differenzierbar (Knick) ist, stellt sich die Bewegung hier als eine Idealisierung dar. Die Orts-Zeit-Funktion ist im Gegensatz dazu differenzierbar, weil die Parabelteile knickfrei mit dem Gera-denteil verbunden sind. Bei realen Bewegungen sind zu allen Zeitpunkten die Geschwindigkeit dif-ferenzierbar und die Beschleunigung stetig.

Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge Zwei Kraftfahrzeuge A und B fahren mit einer Ge-schwindigkeit v = 75 km / h im Abstand von 20 m (Bild 1.4) hintereinander her. Das vorausfahrende Kraftfahr-zeug A bremst plötzlich mit einer Verzögerung von aA = 3 5, m / s

2. 1. Wie viel Sekunden nach dem Bremsbeginn des

Kraftfahrzeugs A fährt das ungebremste Kraftfahr-zeug B auf A auf?

2. Wie groß ist dann im Moment des Aufpralls von B auf A die Geschwindigkeit des Kraftfahr-zeugs A?

0

200

300

400

100

0 5 10 15 20 25t1

ts

xm

ts

vm/s

ts

a m/s2

xva

v,t

Ortsdifferenz währendder Zeit


.

a,t



.

T2 t2t1= +t2t1+T3= t3+

1x

1x 2x+

1x 2x+ 3x+

2x

v

0 5 10 15 20 250

10

1520

5

25

2x = t2v

t1 T2 T3

a t= 1 1

5 10 15

-4

0

24

-2

6

20 25t1

T2 T3

t3=

a1a= a1

a=0

a)

b)

c)

d)

vΔ

vΔ

vΔ3a -3 m/s2= a= 3a

3a

Bild 1.3.2: Kinematische Diagramme mit Koordinatensystemen a) Koordinatensysteme b) x,t-Diagramm c) v,t-Diagramm d) a,t-Diagramm

AB

20 m

v v

Bild 1.4: Zwei Fahrzeuge auf gerader

Strecke


Lösung: zu 1.

Den Ursprung der gemeinsamen Ortskoordinate x für die Bewegung beider Kraftfahrzeuge legen wir dorthin, wo sich zum Zeitpunkt des Beginns der Abbremsung von Kraftfahrzeug A (t0 0= ) die vordere Stoßstange des Kraftfahrzeugs B befindet (Bild 1.4.1). Nach Beginn des Bremsvorgangs von Kraftfahrzeug A fährt B nach Ablauf der Zeit tU auf Kraftfahrzeug A auf. Den Lösungsansatz für diese Aufgabe finden wir, wenn wir für die Bewegung der beiden Kraftfahrzeuge jeweils getrennt die kinematischen Diagramme zeichnen (Bild 1.4.2).

Der Lösungsansatz lautet nun: Nach der Zeit tU fährt Fahrzeug B an dem Ort x xB= auf Fahrzeug A auf, das heißt, in den Ort-Zeit-Diagrammen für die beiden Fahrzeuge (Bild 1.4.2) muß der ( )tx -Punkt für den Aufprall der beiden Fahrzeuge gleich sein. Daraus folgt die Bedingung: x xA B= . (1)

Da die Flächen unter der v t, -Linie ein Maß für die Ortsdifferenz sind, können wir schreiben (Bild 1.4.2): x v tB U= ⋅

x x v t a t t x x v t a tA U A U U A U A U− = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ −0 02

2 2 .

ABv v

x

= 20 mx0

Bild 1.4.1: Lage der Ortskoordinate x

(Beginn der Abbremsung des Kraftfahrzeugs A)

0tU t

x

Kraftfahrzeug B

t0

xA

xB tUv=

0 t

v= 75 km/hv

tUt0

-3,5 m/s2=

0 t

a

tU

t0

0 t

a

tUt0Ba = 0

0tU t

x

Kraftfahrzeug A

t0

xB

0 t

v= 75 km/hv

tUt0

tU

20 mx0=

xB tUv=

xA x0-

vU xA x0-

tU=vΔ aA

aAaA

Bild 1.4.2: Kinematische Diagramme für die Kraftfahrzeuge A und B


In Gleichung (1) einsetzen: x v t a t v tU A U U02

2+ ⋅ − = ⋅ .

Daraus folgt: t xaU A

= =⋅

=2 2 20

3 53 3810 m

m / ss2,

, .

zu 2.

Aus dem v t, -Diagramm des Fahrzeugs A (Bild 1.4.2) können wir die Geschwindigkeit vU des Kraftfahrzeugs A im Moment des Aufpralls von B auf A ablesen:

v v a tU A U= − ⋅ = − ⋅ =75 3 5 3 3811

10003600

132 4km

hms

s kmm

sh

kmh2

, , , .

Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken Ein Körper 1 wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit vA senkrecht nach oben und gleichzeitig aus der Höhe h ein zweiter Körper 2 mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit vA auf einer parallelen Strecke senkrecht nach unten geschleudert (Bild 1.5). 1. Für die Begegnung der beiden Körper auf gleicher Höhe

sind zu bestimmen: a) die Zeit, b) die Steig- bzw. Fallhöhe, c) die Geschwindigkeiten bei der Begegnung beider Körper, 2. Das x,t-Diagramm für die Bewegung der beiden Körper ist

zu zeichnen. Der Luftwiderstand sei vernachlässigbar. Zahlenwerte: vA = 30 m / s; h = 60 m; g = 9 81, m / s

2 .

Lösung: zu 1.a)

Bild 1.5.1 zeigt das v,t-Diagramm des Körpers 2. Die Zeit, nach der sich die zwei Körper begegnen, bezeichnen wir mit tB . Die zurückge-legte Fallhöhe h2B während der Zeit tB bis zur Begegnung ist gleich der "Fläche" im v,t-Diagramm (Bild 1.5.1):

h v t g tA B B221

2B= + . (1)

Bild 1.5.2 zeigt das v,t-Diagramm des Körpers 1. Die zurückgelegte Steighöhe h1B während der Zeit tB bis zur Begegnung ist gleich der "Fläche" im v,t-Diagramm (Bild 1.5.2):

h v t g tA B B121

2B= − . (2)

h

g

Körper 1

Körper 2

h2

1hvA

vA

Bild 1.5: Zwei Körper auf paralle-

len senkrechten Strecken

tB t

vA+g tv2 vA=

v2

h2B


des Körpers 2

tB t

vA-g tv1 vA=

v1

h1B


des Körpers 1

isbn: 978-3-8085-5559-0 (buch) isbn: 978-3-8085-5829-4 (e … · 2016. 8. 9. · 4.2 aufgaben mit...

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