IT-Kompaktkurs: Wirtschaftsmathematik (Folge 8)

Lineare Algebra (1)Lineare Gleichungssysteme

Prof. Dr. Walter KielFachhochschule Ansbach

Umsatzfunktion

U = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + …

Zahlenbeispiel, z. B. U = 1 x1 + 3 x2 + 2 x3

Absatzsteigerungund

Umsatzsteigerung

 U = 1 x1 + 3 x2 + 2 x3

Geraden-Gleichung y

x 0

y = f(x) = a x + b

a b

Geraden-Gleichung

1

Excel-Tabellenblatt

Produktion 2 Produkte mit 2 Maschinen

Produkt P1

(Mh/ME)

P2

(Mh/ME)

Gesamt-kapazität

Maschine 1 2 2 32

Maschine 2 1 3 24

Lineares Gleichungssystem2 Gleichungen, 2 Unbekannte

(1) 2 x1 + 2 x2 = 32

(2) 1 x1 + 3 x2 = 24

Lineares GleichungssystemLösung: Einsetzungsmethode

(1*) x2 = - x1 + 16 (2*) 1x1 + 3 (- x1 + 16) = 24

x1 = 12 x2 = 4

Lineares GleichungssystemLösung: Probe

(1) 2 12 + 2 4 = 32

(2) 1 12 + 3 4 = 24

Lineares GleichungssystemGrafische Lösung

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25

-x1+16-(1./3.)*x1+8

Lineare GleichungssystemeFallkonstellationen Lösbarkeit

• Genau eine Lösung• Unendlich viele Lösungen• Keine Lösung

Allgemeines Lineares Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

: : : :

: : : :

an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

Zeilen-Operationen• Vertauschen zweier Zeilen

• Multiplikation aller Komponenten einer Zeile mit einem Faktor ungleich Null

• Addition (des Vielfachen) einer Zeile zu einer anderen Zeile

Zielsystem Gauß-Algorithmus:Gestaffeltes Zielsystem

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a22*x2 + ... + a2n

*xn = b*2

: :

: :

ann*xn = b*

n

Zielsystem Gauß-Algorithmus:Pivot-System

1 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = b1

0 x1 + 1 x2 + ... + 0 xn = b2

: : : :

: : : :

0 x1 + 0 x2 + ... + 1 xn = bn

Beispiel: Gauß-Algorithmus

x1 x2 r. S.2 2 32 0,5Z1

1 3 24 Z2 - 0,5Z1

1 1 16 Z1 + (-1)Z2

0 1 41 0 12 x1 = 120 1 4 x2 = 4

InnerbetrieblicheKosten- und Leistungsverrechnung

Kreislauf-Modell

K.St. 1 K.St. 2

Endnachfrage

10 ME

20 ME

30 ME

Leistungsaustausch-TabelleAn \

Von

Kostenstelle 1 2

Endnach-frage

Summe

K 1 0 10 30 40

K 2 20 0 0 20

Kostenstellen, deren Outputund deren Primärkosten

Kosten-stelle

Leistungen Primär-kosten

K 1 40 200

K 2 20 400

Bilanzgleichungen

40 p1 = 200 + 20 p2

20 p1 = 400 + 10 p1

LGS zur Bestimmunginterner Verrechnungspreise

(1) 40 p1 - 20 p2 = 200

(2) - 10 p1 + 20 p2 = 400

Beispiel: Gauß-Algorithmus

p1 P2 r. S.40 -20 200-10 20 400 4Z2 + Z1

40 -20 200 3Z1 + Z2

0 60 1800120 0 2400 p1 = 200 60 1800 p2 = 30

Kosten je Verrechnungsstelle

K1 = 200 + 2030 = 800 €

K2 = 400 + 1020 = 600 €

Kosten für das zum Verkauf vorgesehene Produkt

30 p1 = 30 20 = 600 €