iv. lineare algebra 10. lineare gleichungssysteme

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  • Folie 1
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  • IV. Lineare Algebra
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  • 10. Lineare Gleichungssysteme
  • Folie 5
  • Und jeder Punkt dieser Ebene erfllt die Gleichung.
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  • Falls d = 0 gilt, so enthlt die Ebene den Ursprung.
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  • Folie 11
  • Die Schnittmenge kann leer sein.
  • Folie 12
  • Die Schnittmenge kann eine Gerade oder eine Ebene sein.
  • Folie 13
  • Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lsung, wenn die drei Normalenvektoren linear unabhngig voneinander sind.
  • Folie 14
  • Ein n-dimensionaler Vektorraum V wird durch eine Basis aus n linear unabhngigen Vektoren { V 1, V 2,..., V n } aufgespannt, d.h. jeder Vektor V V kann durch eine Linearkombination der Basisvektoren ausge- drckt werden:
  • Folie 15
  • Besitzt eine Basis n Elemente, so besitzt auch jede andere Basis n Elemente. In einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es also hchstens n linear unabhngige Vektoren, d.h. die Darstellung von V ist eindeutig. Beweis. Sei V = a 1 V 1 + a 2 V 2 +... + a n V n mit a i und V = a' 1 V 1 + a' 2 V 2 +... + a' n V n mit a' i eine weitere Darstellung fr V, so folgt: 0 = (a 1 - a' 1 )V 1 + (a 2 - a' 2 )V 2 +... + (a n - a' n )V n i: a i = a' i.
  • Folie 16
  • Eine Gleichung a 1 V 1 + a 2 V 2 +... + a n V n = d mit a i, d in der nicht alle Koeffizienten (Koordinaten) a i verschwinden, vermindert die Zahl der frei whlbaren Koeffizienten um einen von n auf n - 1. Sptestens nachdem n - 1 Koeffizienten gewhlt wurden, ist der n-te durch die Gleichung festgelegt. Der so eingeschrnkte Vektorraum H besitzt nur noch n - 1 Dimensionen. Man bezeichnet H als Hyperebene im Vektorraum V.
  • Folie 17
  • Definition. U ist Unterraum des Vektorraums V ber, falls U abgeschlossen bezglich Addition und Skalarmultiplikation ist. V, V' U,, : V + V' U. Insbesondere gehrt also der Nullvektor 0 zum Unterraum. Enthlt eine Hyperebene den Nullvektor, so ist sie ein Unterraum. Als Beispiel fr eine Hyperebene betrachten wir das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum mit den Koordinaten (x | y | z | t) wo t die Zeit-Koordinate bezeichnet. Die Gleichung t = 0 ergibt einen Schnappschuss des Raums zur Zeit 0.
  • Folie 18
  • 10.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...........................(S) a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m Definition. Eine Lsung L des Gleichungssystems S ist ein Vektor C = so dass die Gleichungen a 11 c 1 + a 12 c 2 +... + a 1n c n = b 1 a 21 c 1 + a 22 c 2 +... + a 2n c n = b 2........................... a m1 c 1 + a m2 c 2 +... + a mn c n = b m durch das n-Tupel seiner Elemente c k erfllt sind.
  • Folie 19
  • Die Menge aller Lsungen der k-ten Gleichung S k nennen wir L(S k ). Die Menge aller Lsungen des Gleichungssystems S nennen wir L(S). Dann ist L(S) = L(S 1 ) L(S 2 )... L(S m )
  • Folie 20
  • 10.2 Elementaroperationen (E1) Vertauschen von zwei Zeilen, S i und S j. Beweis. Kommutativitt der Durchschnittsbildung. (E2) Multiplikation der i-ten Zeile S i mit einer Konstante k, k 0. Beweis. Die i-te Zeile a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n = b i (S i ) wird damit zu ka i1 x 1 + ka i2 x 2 +... + ka in x n = kb i (k S i ) Sei nun C eine Lsung von (S i ), so ist C auch Lsung von (k S i ) und umgekehrt.
  • Folie 21
  • (E3) Addition der mit k multiplizierten j-ten Zeile k S j zur i-ten Zeile S i. Beweis. Jede Lsung C L(S) erfllt die Gleichungen a i1 c 1 + a i2 c 2 +... + a in c n = b i (S i ) ka j1 c 1 + ka j2 c 2 +... + ka jn c n = kb j, (k S j ) also erfllt sie auch die Gleichung (a i1 + ka j1 )c 1 + (a i2 + ka j2 )c 2 +... + (a in + ka jn )c n = b i + kb j (S i +k S j )
  • Folie 22
  • 10.3 Gausches Eliminationsverfahren Die drei Elementaroperationen (E1) Vertauschen von S i und S j (E2) Multiplizieren von S i mit k 0 (E3) Ersetzen von S i durch S i + k S j mit i j knnen beliebig oft hintereinander ausgefhrt werden, ohne die Lsungsmenge des Gleichungssystems zu ndern. Damit lsst sich jedes Gleichungssystem in eine einfache Form bringen und, wenn es lsbar ist, lsen.
  • Folie 23
  • 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3)
  • Folie 24
  • 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1)
  • Folie 25
  • 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3)
  • Folie 26
  • 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (2) 5 (1) 19x 2 -15x 3 = -7 (2)
  • Folie 27
  • 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (2) 5 (1) 19x 2 -15x 3 = -7 (2) (3) 6 (1) 20x 2 -15x 3 = -5 (3)
  • Folie 28
  • 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (2) 5 (1) 19x 2 -15x 3 = -7 (2) (3) 6 (1) 20x 2 -15x 3 = -5 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3)
  • Folie 29
  • 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3)
  • Folie 30
  • 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 - 0x 3 = 2 (2 IV )
  • Folie 31
  • 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 = 2 (2 IV ) (3) - 19 (2 IV ) -15x 3 = -45 (3 IV )
  • Folie 32
  • 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 = 2 (2 IV ) (3) - 19 (2 IV ) -15x 3 = -45 (3 IV ) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 V ) 1x 2 = 2 (2 V ) -(3 V )/15 1x 3 = 3 (3 V )
  • Folie 33
  • 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 = 2 (2 IV ) (3) - 19 (2 IV ) -15x 3 = -45 (3 IV ) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 V ) 1x 2 = 2 (2 V ) -(3 V )/15 1x 3 = 3 (3 V ) (1 V )+3(2 V )-2(3 V )1x 1 = 1(1 VI ) 1x 2 = 2 (2 VI ) 1x 3 = 3 (3 VI )
  • Folie 34
  • Obere Dreiecksform: 1 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 0 x 1 + 1 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 +... + a 3n x n = b 3............................. 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +... + 1 x n = b m Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung: m = n. Reduzierte Normalform: 1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +... + 0 x n = c 1 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 +... + 0 x n = c 2 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 +... + 0 x n = c 3.......................... 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +... + 1 x n = c n x 1 = c 1 x 2 = c 2 x 3 = c 3... x n = c n
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  • Folie 36
  • Folie 37
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  • Folie 43
  • Sie knnen nun jedes lsbare lineare Gleichungssystem lsen: Elementaroperationen anwenden, Normalform herbeifhren, x n aus der letzten Zeile ablesen, in vorletzte einsetzen, System rekursiv lsen. fertig! oder: Elementaroperationen anwenden, reduzierte Normalform herbeifhren, Werte der x i ablesen, fertig! Aber weshalb bei allen Umformungen die Platzhalter x i mitschleppen? Ein lineares Gleichungssystem wird ebenso eindeutig durch die Systemmatrix der Koeffizienten und Konstanten beschrieben
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  • Folie 45

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