ix.- superificies ampliadas

8/6/2019 IX.- Superificies Ampliadas

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IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS

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IX.1.- INTRODUCCIN

Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisin

de calor, desde radiadores de automviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos com-

bustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorcin y disipacin de

energa en vehculos espaciales, o los equipos de refrigeracin y calentamiento en la industria qumi-

ca, etc.

Antes de entrar en la resolucin de los problemas trmicos en superficies especficas, es convenien-

te hacer una interpretacin intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen

como aletas, as como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (seccin recta), que se corres-

ponden con figuras geomtricas con posibilidades de fabricacin en serie, tales como las rectangula-

res, triangulares, trapezoidales, parablicas e hiperblicas, con dimensiones en las que la relacin

(longitud/espesor) es del orden de 5/1 50/1, y espesores del orden de 0,5 10 mm.

Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposicin es de tipo longi-

tudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que

el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta.

Cuando las aletas son slidos de revolucin o paraleleppedos se denominan protuberancias y su

disposicin puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la

base sea pequea frente a la superficie de esta ltima. Las protuberancias se tratan con distribucin

de temperatura constante para cada seccin recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la

relacin entre la longitud L de la protuberancia y el dimetro o longitud equivalente en la base, es

elevada, pudindose considerar la transmisin de calor como unidireccional; cuando esta hiptesis no

se cumpla se estudia el fenmeno de la transmisin de calor en tres dimensiones.

Las aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, sien-

do el ms frecuente un tubo en el que el nmero de aletas o protuberancias es variable, con una sepa-

racin del orden de 1 a 6 centmetros para las aletas, y una distribucin de retcula cuadrada o trian-

gular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades trmicas, los elementos se acoplan en

serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor.

IX.-157


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Cuando el fluido que circula por las aletas est confinado y se mueve mediante un sistema de bom-

beo, hay que tener en cuenta la energa necesaria para mantener el coeficiente de conveccin hC a tra-

vs de las aletas, procurando que la energa trmica extrada sea mxima frente a la energa utilizada

en mover el fluido.

a) Aletas longitudinales b) Aletas transversales c) Tubos aplastados con aletas continuas

Fig IX.1.- Diferentes tipos de aletas

Esta situacin conduce a un estudio de mtodos y costes de fabricacin, mantenimiento y rendi-

miento de los elementos de las aletas, cuyos valores ptimos pueden no coincidir con los ptimos tr-

micos, por lo que un anlisis de estos ltimos es importante desde el punto de vista de la fabricacin

de modelos normalizados, as como de la eleccin del modelo ms adecuado para el usuario.

IX.2.- TRANSFERENCIA TRMICA EN ALETAS LONGITUDINALES DE SECCIN TRANS-

VERSAL CONSTANTE

Los perfiles rectangulares sobre superficies planas constituyen el caso ms simple de superficies

ampliadas. Se pueden disponer en una pared plana, o sobre la longitud axial de un tubo en direccin

longitudinal, con hlices de paso elevado o sobre superficies arbitrarias de gran radio de curvatura. El

conjunto constituido con aletas longitudinales rectangulares es de fcil fabricacin por extrusin, fun-

dicin, colada continua, etc.

En casos especiales, las aletas longitudinales se mecanizan sobre el material de aleacin de la ba-

se. Las aletas unidas a la base sin discontinuidades, mediante soldadura o presin, no tienen resisten-

cias trmicas de contacto y son adecuadas para temperaturas elevadas dado que la base no se altera

por dilataciones trmicas diferenciales siempre que no sufran efectos corrosivos o una excesiva defor-

macin. En rgimen estacionario, el calor que se conduce a travs de un sistema de aletas se elimina

al exterior mediante un proceso de conveccin, siendo la energa disipada, en la unidad de tiempo,

proporcional a su rea superficial.

En primer lugar vamos a considerar una aleta de seccin transversal constante, de longitud a

igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig IX.2 hemos representado una de seccin transversal rec-

tangular, de altura L, el mtodo es vlido para cualquier otra geometra, por la forma que toma el n-

mero de Biot. El calor se transmite por conduccin a travs del material de la aleta y luego se elimina

por conveccin al fluido que le rodea. La temperatura del fluido ambiente es TF, y el coeficiente de

transmisin de calor por conveccin es hC, siendo constantes ambos valores.

El balance de flujos trmicos en rgimen estacionario, en la unidad de tiempo, en el volumen ele-

mental situado en la posicinx, es igual a la suma del calor conducido en dicho tiempo fuera del volu-

men en(x + x) ms el calor transferido por conveccin en dicho tiempo, desde la superficie del volu-

men elemental, es decir:

IX.-158


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Qx - ( Qx +

Qxx

x ) - QC = 0 Qxx

x + QC = 0

siendo:Qx= - k S (

Tx

)x Qxx

= - k S (2Tx2

)x

QC

= hC

dA ( Tx

- TF

) = hC

( p x ) (Tx

- TF

)

, en las que p es el permetro y S el rea de la

seccin transversal.

Fig IX.2.- Aleta de seccin transversal constante

La ecuacin diferencial de la distribucin de temperaturas es:

- k S (

2Tx2

)xx + hC p x (Tx - TF ) = 0 (2Tx2

)x -hC p

k S( Tx - TF) = 0

Definimos una funcin () de temperaturas, con = xL

en la forma:

() =

Tx TFTb TF ; Tx

=

TF + ()(Tb TF)

por lo que:

dTdx

= (Tb- TF)d()

dd

dx= = x

L;

d

dx= 1

L=

Tb- TFL

d()

d

d2T

dx2=

Tb - TFL

d2()

d2d

dx=

Tb- TFL2

d2()

d2

Sustituyendo en: (2Tx2

)x -hC p

k S( Tx - TF) = 0, se obtiene:

d2()

d2-

hC p L2

k S() = 0

La distribucin de temperaturas se puede expresar en forma adimensional, en funcin del nmero

de Biot; teniendo en cuenta que el permetro p multiplicado por la longitud L de la aleta, es igual al

rea total de la superficie lateral (A=pL), resulta:

p L2

S= A L

S= L*

que tiene dimensiones de longitud, por lo que se puede considerar como la longitud caracterstica L*

de la aleta; el nmero de Biot se define en la forma:

Bi =hC p L

2

k S=

hC L*

k

La expresin de la ecuacin diferencial de la distribucin de temperaturas en forma adimensional,correspondiente a la aleta, en funcin del nmero de Biot, es:

d2d2

- Bi= 0cuya solucin general es () = C1 e

- Bi + C2 eBi

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Los valores de las constantes de integracin C1 y C2 se determinan una vez se especifiquen las

condiciones de contorno.

Condiciones de contorno.- La temperatura que se suele conocer inicialmente es la correspon-diente a la base de la aleta (x = 0), (Tx=0 = Tb), que es la primera condicin de contorno, por lo que:

x = 0 ; = 0 ; (0 ) =

Tb - TFTb - TF

= 1 ; C1+ C2= 1

comn a los tipos de aletas de seccin transversal constante.

El calor que entra a la aleta por conduccin por la base (x = 0), es:

Q = - k S (

Tx

)x=0 = -k SL

(Tb- TF) (()

)=0 =k SL

(Tb- TF ) Bi ( C1- C2)

La segunda condicin de contorno toma diversas formas, segn sea:a) Aleta muy larga.- La temperatura de su extremo libre es igual a la del medio exterior del

fluido que la rodea:

Tx= TF ; =

xL

= 1 ; ( 1) =TF- TFTb - TF

= 0 = C1 e- Bi

+ C2 eBi

y como L es muy grande y Bi es proporcional en este caso a L2 resulta que Bi es tambin muy grande,

siendo la distribucin de temperaturas correspondiente:

0 + C2 eBi

= 0

C2 = 0

C1 = 1

() =T- TF

Tb - TF= e- Bi ; T= TF+ ( Tb- TF) e

- Bi

El calor intercambiado por conveccin con el exterior se calcula teniendo en cuenta que es igual al

que entra por la base de la aleta (x = 0) por conduccin:

Q = - k S (

Tx

)x=0=k SL

( Tb- TF ) Bi (C1- C2) =C1 = 1

C2 = 0= k S

L(Tb- TF ) Bi

b) Aleta con su extremo libre trmicamente aislado.-Este tipo de aletas no disipa calor

por el extremo libre (x = L) (= 1), por lo que:

dTdx x=L

= 0 ; dTdx x=L

=Tb- TF

Ld()

d =1= 0

d()

d =1= 0

Las constantes C1 y C2 se obtienen en la forma:

dd

)=1= 0 - Bi C1 e- Bi + Bi C2 e

Bi = 0 C1= C2e Bi

e Bi

C1 = C2e Bi

e Bi

C1 + C2= 1

C2e Bi

e Bi

+ C2 = 1

C2=e Bi

e Bi + e Bi= e

Bi

2 Ch Bi

C1= e

Bi

2 Ch Bi

por lo que la distribucin de temperaturas es:

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() =

T- TF

Tb - TF= e

Bie- Bi + e- Bie Bi

e Bi + e- Bi+ e

Bi ( 1 - ) + e- Bi ( 1 - )

e Bi + e- Bi=

Ch{ Bi ( 1 - )}

Ch Bi

La temperatura TL en el extremo libre de la aleta, = 1, es:

TL- TFTb- TF

= 1Ch Bi

; TL = TF + Tb - TFCh Bi

El calor disipado por la aleta por conveccin en la unidad de tiempo, se determina como en el caso

anterior, considerando que es el mismo que entra por conduccin por la base de la aleta (x = 0), es de-

cir:

Q = - k S (

Tx

)x=0 =k SL

( Tb- TF ) Bi (C1- C2) =

= k STb - TF

LBi e

Bi - e - Bi

2 Ch Bi

= k STb - TF

LBi

Sh Bi

Ch Bi

= k STb- TF

LBi Th Bi

c) Aleta con conveccin desde su extremo libre.-La condicin de contorno en el extremo

libre es:

- k dTdx

)x=L = hC(T - TF)x=L = hC(1)(Tb - TF)

- k dTdx

)x=L = - kTb - TF

L d

d)=1

d

d)=1= -

hCL

k( 1) = -

hCL

k( C1e

- Bi+ C2e

Bi)

que igualada a: dd

)=1= - Bi C1 e- Bi + Bi C2 e

Bi , permite obtener la segunda relacin entre las

constantes C1 y C2:

- hCL

k(C1 e

- Bi+ C2 e

Bi ) = - Bi C1 e- Bi

+ Bi C2 eBi

C1 e- Bi ( - Bi +

hCL

k) + C2 e

Bi ( Bi +hCL

k) = 0 C1=

e Bi ( Bi +hCL

k)

e- Bi ( Bi -hCL

k)

C2

y como C1 + C2= 1 resulta:

C1 =( Bi +

hCL

k) e Bi

Bi ( e Bi + e- Bi) +hCL

k( e Bi - e- Bi )

= 12

( Bi +

hCL

k) e Bi

Bi Ch Bi +hCL

kSh Bi

C2 =( Bi -

hCL

k) e- Bi

Bi ( e Bi + e- Bi ) +hCL

k(e Bi - e - Bi )

= 12

( Bi -

hCL

k) e - Bi

Bi Ch Bi +hCL

kSh Bi

La distribucin de temperaturas es: () = T() - TF

Tb - TF= C1 e

- Bi + C2 eBi

=

= 12

e Bi ( Bi +

hCL

k) e - Bi + e Bi ( Bi -

hCL

k) e Bi

Bi Ch Bi +hCL

kSh Bi

=Bi Ch {(1 - ) Bi } +

hCL

kSh{(1 - ) Bi }

Bi Ch Bi +hCL

kSh Bi

=

= Bi =hCp L

2

k S;

hC L

k= S Bi

p L=

Ch {(1 - ) Bi } + S Bip L

Sh{( 1 - ) Bi }

Ch Bi + S Bi

p LSh Bi

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El calor disipado en la unidad de tiempo es: Q = k SL

(Tb - TF ) Bi (C1 - C2) =

= k S2 L

(Tb - TF ) Bie Bi ( Bi +

hC L

k) - e Bi ( Bi -

hC L

k)

Bi Ch Bi +

hC L

k Sh Bi

=

= k SL

(Tb - TF ) Bi Bi Sh Bi +

hC L

kCh Bi

Bi Ch Bi +hC L

kSh Bi

= k SL

(Tb - TF ) Bi

Th Bi +hC L

k Bi

1 +hC L

k BiTh Bi

=

= k S ( Tb - TF ) Bi

L

Th Bi +S Bi

p L

1 +S Bi

p LTh Bi

=Bi =

hC p L2

k S

hC 2 a L2

k a e=

2 hC L2

k e= m2 L2

Bi = m L ; m =2 hCk e

=

= k S (Tb - TF) mTh(m L) +

hC

k m

1 +hC

k mTh(mL )

d) Aleta entre dos paredes a temperaturas distintas Tb y TL.- La condicin de contorno

en el extremo TL es:

x = L ; T = TL ; =

xL

= 1

(1) =TL - TF

Tb - TF= C1 e

- Bi + C2 eBi

= C1= 1 - C2 = (1 - C2) e- Bi + C2 e

Bi=

= e- Bi + C2( e Bi - e- Bi ) = e- Bi + 2 C2 Sh Bi

C2=

(1 ) - e- Bi

2 Sh Bi; C1= 1 -

( 1) - e- Bi

2 Sh Bi=

e Bi - ( 1)

2 Sh Bi

en las que Tb, TL y TF son conocidas por lo que (1) tambin lo es.

Distribucin de temperaturas: () =e Bi - ( 1)

2 Sh Bie- Bi +

(1 ) - e- Bi

2 Sh Bie Bi =

= e

Bi (1 - )

- ( 1) e

- Bi

+ (1 ) e

Bi

- e

Bi ( 1 - )

2 Sh Bi=

Sh { Bi (1 - )} + ( 1) Sh ( Bi )

Sh Bi

El calor Q para cualquier valor de es:

Q = - k S dT

dx= - k S

L(Tb- TF)

d()

d= - k S

L( Tb- TF ) Bi

- Ch{ Bi ( 1 - )} +(1 ) Ch ( Bi )

Sh Bi

El calor disipado por la aleta es igual al calor entrante por la pared a Tb, menos el calor saliente

por la pared a TL, es decir:

Q = Q=0 - Q=1= - k SL

( Tb - TF ) Bi(1 ) - Ch Bi - (1 ) Ch Bi + 1Sh Bi

=

= - k SL

(Tb - TF ) Bi( 1 - Ch Bi ) { ( 1) + 1}

Sh Bi

IX.-162


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IX.3.- CAMPO DE APLICACIN DE LAS ALETAS RECTAS DE PERFIL UNIFORME

La condicindQ

dL= 0 aplicada a la ecuacin: Q = k S ( Tb - TF) m

Th( m L ) +hC

k m

1 +hC

k mTh(m L)

es:

dQ

dL= k S (Tb - TF) m

mCh2 (m L)

{1 +hC

k mTh (m L)} - {Th (m L) +

hCk m

}hC

k m mCh2 ( m L )

{1 +hC

k mTh ( m L)}2

= 0

1 +hC

k mTh (m L) = {Th (m L) +

hCk m

}hC

k m; 1 = (

hCk m

)2 = m =2 hCk e

=hC e

2 k

que se cumple para cualquier valor de L, e indica las condiciones tcnicas a tener en cuenta para colo-

car aletas sobre una superficie y el efecto que estas producen.

Esta ecuacin indica que si la resistencia trmica por unidad de superficie frontal de la aleta es

menor que la resistencia trmica correspondiente a la conveccin, hay que colocar aletas, mientras

que en el caso contrario, las aletas producen un efecto refrigerante.

Al sustituir este valor en la segunda derivada se obtiene un punto de inflexin, que se corresponde

con una evacuacin de calor del tubo sin aletas.

a) CuandohC e

2k> 1, resulta que poner aletas produce un efecto aislante o refrigerante, por cuanto

el calor que se elimina es inferior al del tubo sin aletas, que se interpreta como que las aletas absorben

calor del medio ambiente y lo transmiten al fluido (Vaporizador de una mquina frigorfica)

b) CuandohC e

2k = 1, las aletas no producen ningn efecto, y es equivalente al tubo sin aletas

c) CuandohC e

2k< 1, la adicin de aletas produce un incremento del flujo de calor al fluido ambien-

te, (sistema de calefaccin)En los procesos de calefaccin, por razones de tipo econmico, es mejor que la superficie primaria

carezca de aletas, a menos que se cumpla quehC e

2k


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Q = k STb - TF

LBi Th Bi = k S (Tb- TF ) m Th ( m L ) = m =

2 hCk e

=

= k S(Tb- TF)2 hCk e

Th(2 hCk e

L)=S = a e ; a = 1

S = e ; = L e=(Tb - TF) 2 hC k e Th(

2 hCk e3

)

Para una aleta cuya masa est fijada, es constante, por lo que esta ecuacin indica la variacin

del flujo trmico en funcin del espesore de la aleta.

Derivando Q respecto de e, e igualando a cero, resulta:

dQ

de= (Tb - TF) {

2 hC k

2 2 hC e kTh(

2 hCk e3

) -2 hC e k

Ch2(2 hCk e3

)

22 hCk e3

6 hCk e4

} = 0

Th(

2 hCk e3

) = 3 (2 hCk e3

)Sech2(2 hCk e3

) ; Th Bi = 3 Bi Sech2 Bi

Resolviendo se obtiene: Biptimo= 2 ,0141945, por lo que el espesor y longitud ptimas son:

m2 =2 hCk e

m2 = BiL2

= Bi e2

2

2 hCk e

= Bi e2

2; ept =

2 hC2

k Bipt3 = 0,997

hC 2

k3

Lpt=

ept=

0,9972 hC

k3

= 1,007 khC

3

En general se suelen conocer las constantes fsicas y las condiciones de funcionamiento de la aleta,como son, hC , k, Q, (Tb - TF), por lo que se puede obtener otra formulacin para las dimensiones pti-

mas en funcin de stos parmetros y de Bipt en la forma:

Q = (Tb- TF ) 2 hC e k Th Bipt

ept =(Q

Tb- TF)2 1

2 hC k Th2 Bipt

= 0,6321hC k

(Q

Tb- TF)2

Igualando los valores deept se obtienen las ecuaciones que se utilizan para disear la aleta recta

de espesor constante, demnimo material:

ept =0,6321hC k

(Q

Tb - TF)2= 0,997

2 hCk

3

pt=0,5048

hC2 k

(Q

Tb - TF)3

Lpt =0,7979

hC

Q

Tb - TF

Las aletas no deben emplearse nunca en aquellos casos en que el coeficiente de pelcula hC sea

grande. Para aletas normales en las que e < 1,5 mm, construidas con materiales corrientes, como el

acero o el aluminio, no se recomienda el empleo de superficies ampliadas si el fluido ambiente es un

lquido sometido a conveccin forzada, o un vapor que condensa, ya que es fcil encontrar coeficientes

hC > 5000 W/m2C, que proporcionan valores dehC e2k del orden de la unidad, por lo que el empleo de

la aleta sera antieconmico.

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Con aletas de dimensiones normales se hace un intercambio trmico muy efectivo, entre la super-

ficie y el gas que la rodea. En los gases convectores es frecuente obtener coeficientes de pelcula del or-

den de 50 a 120 W/m2C, que permiten valores dehC e2k lo bastante bajos como para que las aletas

ejerzan su efecto y de ah el que algunas de sus aplicaciones ms interesantes lo sean por ejemplo en:

- Motores enfriados por aire

- Precalentadores de aire y economizadores de calderas

- Serpentines de calentamiento y enfriamiento de los acondicionadores de aire

- Radiadores de automviles

- Intercambiadores de calefaccin agua-aire, etc.

Para aletas con conveccin en el extremo se puede hacer uso del concepto de longitud corregida LC

despreciando los efectos de conveccin en dicho extremo, mediante la expresin: LC = L +e2

, y se tra-

tan como aletas con su extremo libre aislado trmicamente.

IX.5.- CASOS ESPECIALES

Una de las caractersticas fundamentales del anlisis de protuberancias de seccin constante, con-

siste en que dado el pequeo espesor de las mismas se puede considerar la conduccin como unidirec-

cional y, por lo tanto, que la variacin de la temperatura a travs de su seccin transversal permanece

prcticamente constante.

Esta suposicin se puede aplicar a una serie de situaciones como:

- Determinadas superficies conductoras, hilos o placas, recubiertas con un aislante, de forma que

transversalmente a ellas, entre el hilo o placa y el medio que les rodea, apenas vara la temperatura,

pero que a lo largo de los mismos existe una diferencia de temperatura significativa; esta situacin no

se corresponde fsicamente con la de la protuberancia, pero el proceso trmico que acontece s, ya que

en la protuberancia existe un gradiente de temperaturas a lo largo de ella, pero no transversalmente,

por lo que esta casustica se puede aplicar de alguna forma a dicha situacin.

- La instalacin de un termopar utilizado para medir la temperatura de una corriente de gases ca-

lientes, hace que la esfera del termopar se encuentre a una temperatura inferior a la de los gases cuya

temperatura va a medir, existiendo un flujo trmico conductivo a lo largo de los hilos del termopar

que le unen con la pared ms fra, que est equilibrado por la conveccin desde los gases, por lo que la

variacin de la temperatura transversal de los hilos del termopar es prcticamente uniforme, exis-

tiendo una diferencia de temperaturas entre el termopar (caliente) y el equipo de registro (fro) simi-

lar a la de la protuberancia, lo que permite determinar el error esperado en la lectura del termopar.

- Existen intercambiadores de calor de placas perforadas que se pueden asimilar a aletas, ya que la

variacin de la temperatura a travs de ellas es pequea comparada con la variacin de temperaturas

en la regin que separa la corriente caliente de la corriente fra.

- Los conductores de cobre en un circuito impreso se pueden considerar como aletas, al igual que la

porcin del circuito que los separa.

En estos ejemplos se observa que la situacin no guarda parecido alguno con el caso geomtrico de

la protuberancia y, sin embargo, la suposicin de que la variacin de la temperatura es mnima en la

seccin transversal del hilo o de la placa permite obtener una ecuacin diferencial similar a la dedu-cida para la protuberancia.

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IX.6.- ALETAS DE SECCIN VARIABLE

Para aquellos tipos de aleta en los que su perfil no sea constante, podemos considerar un elemen-

to diferencial de anchura dx, tal como se muestra en la Fig IX.3, sobre el que se definen los siguientes

calores:

El calor entrante por conduccin, en x, es: Q1= k STx

x

El calor saliente por conduccin, en (x + dx), es: Q2= Q1+Q1x

dx +2Q1x2

dx2

2!+ ... = Q1+

Q1x

dx

El calor disipado por conveccin en el elemento diferencial es: QC = hC dA ( Tx - TF)

El balance de flujos trmicos es: Q1= Q2+ QC = Q1+Q1x

dx + QC Q1x

dx + QC = 0

Fig IX.3.- Aleta de seccin variable

Llamando = Tx -TFa la diferencia entre las temperaturas de la aleta y del fluido en que est in-

mersa, se tiene:

x

(- k S ddx

) dx + hC dA = 0 ; - kdSdx

ddx

dx - k S d2

dx2dx + hC dA = 0

en la que S es la seccin transversal variable y dA la superficie lateral del elemento elegido de la aleta

expuesta a la conveccin.

Dividindola por (k S dx) se obtiene: d2

dx2+ 1

S dSdx

ddx

-hCk

(1S

dAdx

) = 0

que es de aplicacin general a cualquier tipo de configuracin de superficie ampliada en la que la con-duccin de calor sea monodimensional.

Para el caso particular de aleta recta de seccin transversal constante, se tiene:

S = Cte dS = 0A = p x dA = p dx

d2

dx2-

p hCk S

= 0

a) Aleta anular de espesor constante.-Este tipo de aletas, Fig IX.4, se utiliza principalmente

en cambiadores de calor lquido-gas, y en cilindros de motores refrigerados por aire; para su estudio

se supondr que el espesor de la aleta (e


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en la que:S = 2 r e ; dS

dr= 2 e

A = 2 ( r2 - rb2) ; dA

dr= 4 r

Sustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial se obtiene:

d2dr2

+ 1r

ddr

- m2= 0 , siendo: m =2 hCk e

que es la ecuacin diferencial de Bessel de orden cero; su solucin es: = B I0 ( m r) + C K0 ( m r)

Fig IX.4.- Aleta anular de espesor constante

siendo I0 la funcin de Bessel modificada de primera especie y orden cero y K0 la funcin de Bessel

modificada de segunda especie y orden cero, cuyos valores vienen indicados en la Tabla IX.1; B y C

son las constantes de integracin.

De las condiciones de contorno se obtiene lo siguiente:

a) Para:

r = rbT = Tb

b= Tb - TF= B I0 ( m rb) + C K0 ( m rb)

b) Para r=re la conveccin es nula, ya que se desprecia el calor evacuado por el extremo de la aleta;

por lo tanto:

(dT

dr)r=re = 0 ; (

ddr

)r=re = 0

(ddr

)r=re =ddr { I0 ( m r)} = m I1( m r )ddr

{ K0 ( m r)} = - m K1 (m r )= B m I1 ( m re) - m C K1( m re ) = 0

Las constantes B y C se obtienen del sistema de ecuaciones:

b= B I0 ( m rb) + C K0 ( m rb)0 = B I1 ( m re) - C K1( m re)

B =

b K1 ( m re)

K1( m re) I0 ( m rb) + K0 (m rb) I1( m re)

C =b I1( m re)

K1 ( m re) I0 ( m rb) + K0 ( m rb) I1( m re)

Distribucin de temperaturas en la aleta: b =K

1

( m re

) I0

( m r ) + I1

( m re

) K0

(m r )

K1( m re) I0 ( m rb) + K0 ( m rb) I1( m re)

El calor disipado por la aleta es el que atraviesa la base de la misma por conduccin:

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Q = - k Sb

ddr

r=rb = Sb= 2 e rb = - 2 e rb k m bK1(m re)I1(m rb) - I1(m re)K1(m rb)

K1(m re) I0(m rb)+ I1(m re)K0(m rb)

Estas ecuaciones para la distribucin de temperaturas y del flujo de calor se pueden escribir de

modo ms general en forma adimensional; al considerar el problema de tipo monodimensional, las ex-

presiones adimensionales de la temperatura y del flujo trmico, se pueden obtener en funcin de par-

metros adimensionales, que se definen en la forma:

es un parmetro adimensional del coeficiente de pelcula

es un parmetro adimensional del tamao de la aleta

es un parmetro adimensional de la coordenada (posicin)

que se pueden aplicar a otras configuraciones de aletas.

Para la aleta anular de perfil de seccin constante se definen:

an = m re=2 hC re

2

k e

an=rre

; an=rbre

Sustituyendo estos valores en la ecuacin de la distribucin de temperaturas, resulta:

b

=T - TFTb - TF

=K1 (an) I0 (anan) + I1 (an) K0 (anan)

K1(an) I0 (anan) + I1 (an) K0 (anan)

que permite determinar la temperatura en cualquier punto conocida la temperatura en la base, reali-

zndose los clculos con ayuda de la Tabla de funciones de Bessel modificadas de 1 y 2 especie.

Tabla IX.1.- Valores de las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda especie, rdenes cero y uno

x x0 1 0 5 27,2399 24,3356 0,002350 0,002575

0,1 1,0025 0,0501 1,5451 6,273 5,2 32,5336 29,2543 0,001888 0,0020620,2 1,0100 0,1005 1,11580 3,0405 5,4 39,0088 35,1821 0,001518 0,0016530,4 1,0404 0,2040 0,70953 1,3906 5,6 46,7376 42,3283 0,001221 0,0013260,6 1,0920 0,3137 0,49498 0,82941 5,8 56,0381 50,9462 0,000983 0,0010640,8 1,1665 0,4329 0,35991 0,54862 6 67,2344 61,3419 0,000792 0,00085561 1,2661 0,5652 0,26803 0,38318 6,2 80,7179 73,8859 0,0006382 0,0006879

1,2 1,3937 0,7147 0,20270 0,27667 6,4 96,9616 89,0261 0,0005146 0,00055341,4 1,5534 0,8861 0,15512 0,20425 6,6 116,537 107,305 0,0004151 0,0004455

1,6 1,7500 1,0848 0,11966 0,15319 6,8 140,136 129,378 0,0003350 0,00035881,8 1,9896 1,3172 0,092903 0,11626 7 168,593 156,039 0,0002704 0,00028912 2,2796 1,5906 0,072507 0,089041 7,2 202,921 188,250 0,0002184 0,0003231

2,2 2,6291 1,9141 0,056830 0,068689 7,4 244,341 227,175 0,0001764 0,00018802,4 3,0493 2,2981 0,044702 0,053301 7,6 294,332 274,222 0,0001426 0,00015172,6 3,5533 2,7554 0,035268 0,041561 7,8 354,685 331,099 0,0001153 0,00014242,8 4,1573 3,3011 0,027896 0,032539 8 427,564 399,873 0,00009325 0,000098913 4,8808 3,9534 0,022116 0,025564 8,2 515,593 483,048 0,00007543 0,00007991

3,2 5,7472 4,7343 0,017568 0,020144 8,4 621,944 583,657 0,00006104 0,000064583,4 6,7848 5,6701 0,013979 0,015915 8,6 750,461 705,377 0,00004941 0,000052203,6 8,0277 6,7028 0,011141 0,012602 8,8 905,797 852,663 0,00004000 0,000042213,8 9,5169 8,1404 0,008891 0,009999 9 1093,59 1030,91 0,00003239 0,00003415

4 11,3019 9,7595 0,007105 0,007947 9,2 1320,66 1246,68 0,00002624 0,000027634,2 13,4425 11,706 0,005684 0,006327 9,4 1595,28 1507,88 0,00002126 0,000022364,4 16,0104 14,046 0,004551 0,005044 9,6 1927,48 1824,14 0,00001722 0,000018104,6 19,0926 16,8626 0,003648 0,004027 9,8 2329,39 2207,13 0,00001396 0,000014654,8 22,7937 20,2528 0,002927 0,003218 10 2815,72 2670,99 0,00001131 0,00001187

I0 ( x) I0 ( x)I1 ( x) I1 ( x)2

K0 ( x )2

K0 ( x )2

K1( x )2

K1( x )

IX.-168


13/27

Mtodo grfico.-Para clculos rpidos que proporcionan una precisin suficiente, la distribucin

de temperaturas se puede obtener con ayuda de una grfica que llamaremos G1(), Fig IX.5, de for-

ma que:

Para: r = re

= e

an= 1

e

b =

K1(an) I0 (an) + I1(an) K0 (an)

K1(an) I0 (anan) + I1(an) K0 (anan)

y como:

e

=eb

b

=

K1(an) I0 (an) + I1(an) K0 (an)


K1 (an) I0 (anan) + I1(an) K0 (anan)


=K1(an) I0 (an) + I1 (an) K0 (an)

K1 (an) I0 (anan) + I1 (an) K0 (anan)

resulta que estas dos ecuaciones son idnticas, en las que se sustituyenan por anb por

Si se define una funcin G1(an) =

K1(an) I0 (an) + I1 (an) K0 (an)

K1(an) I0 (anan) + I1 (an) K0 (anan) , las dos ecuacio-nes anteriores son:

eb

= G1 (anan) ye

= G1(anan) , para (< < 1)

es decir:

G1() se transforma en:

G1 (anan) para hallar la temperatura en el radio extremo reG1 (anan) para hallar la temperatura en cualquier radio r

Conocido e el valor de se puede calcular para cualquier radio comprendido entre rb y re, a par-

tir de:

e

= G1(anan), para (< < 1)

El flujo calorfico se puede calcular tambin mediante otra grfica que se denomina G2(an an), la

cual se obtiene a partir de:

Fig IX.5.- La funcin G1 para la distribucin de la temperatura en aleta anular de espesor uniforme

IX.-169


14/27

Fig IX.6.- La funcin G2 para el flujo calorfico en aleta anular de espesor uniforme

Q = - 2 k e ( m rb) b

K1 (m re) I1 ( m rb) - I1 (m re) K1( m rb)

K1( m re) I0 ( m rb) + I1( m re) K0 ( m rb)=

Se multiplica y divide por

(1 - an2 ) an

=

= 2 k e (anan) b

1 - an2

1 - an2

K1(an an) I1 (an) - I1(an an) K1(an)

K1 (an) I0 (an an) + I1 (an) K0 (an an)

Q

k e (1 - an2 ) an

2 b=

2 anan(1 - an

2 )K1(anan) I1(an) - I1(an an) K1(an)

K1(an) I0 (an an) + I1 (an) K0 (an an)= G2 (anan)

Q = k e ( 1 - an2 ) an2 b G2 (an an)

en la que la funcin G2(an an) se ha definido en la forma:

G2 (anan) =

2 anan( 1 - an

2 )K1 (an an) I1(an) - I1(an an) K1(an)

K1(an) I0 (an an) + I1(an) K0 (anan)

y viene representada en la Fig IX.6.

b) Aleta longitudinal de perfil trapecial.-Para proceder al estudio de la aleta longitudinal de

perfil triangular y trapecial resulta conveniente situar el origen de coordenadas en el punto de inter-

seccin de las caras de la aleta, para el caso triangular, o de su prolongacin, para el trapecial, Fig

IX.7, por cuanto se simplifica el clculo de las constantes de integracin.

Partiendo del hecho de que la aleta sea lo suficientemente delgada como para suponer un espesor

(e


15/27

La ecuacin diferencial a resolver es: d2

dx2+ 1

S dSdx

ddx

-hCk

(1S

dAdx

) = 0

Para la aleta longitudinal de anchura unidad, en la que se pueden despreciar las prdidas latera-

les, el rea de las secciones lateral A, y transversal S, vara conx en la forma:

S = b x

L; dS

dx= b

L

A = 2 cd = 2 ad2+ ac

2=

ad = x - xe

acb/2

= adL

=x - xe

L

= 2 ( x - xe)2 + (b

2x - xe

L)2 =

= 2 ( x - xe ) 1 +

b2

4 L2= 2 ( x - xe) f = 2 ad

siendo f = 1 + b2

4 L2una constante que depende de las caractersticas de la aleta.

Si: L >> b f = 1, se satisface la condicin monodimensional:A = 2 (x - x

e

)

dAdx

= 2

Sustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial general se obtiene:

d2dx2

+ (Lb x

bL

) ddx

-hCk

(Lb x

2 f ) = 0

d2dx2

+ 1x

ddx

- n2

x= 0 , con: n =

2 f hC L

k b= m L

siendo la solucin de esta ecuacin diferencial: = B I0 ( 2 n x ) + C K 0 ( 2 n x )

c) Aleta longitudinal de perfil triangular.-Para calcular las constantes de integracin de la

aleta triangular B y C, partiremos de las condiciones en los extremos; de acuerdo con la Fig IX.7, se

tiene:

a) Para: x=xe=0, C= 0, por cuanto la funcin de Bessel modificada K0 tiende a infinito cuando el

argumento tiende a cero; por lo tanto:

= B I0 ( 2 n x )

b) Para: x = L, T = Tb que se supone constante, luego, =b, y por lo tanto, el valor de B es:

b= B I0 ( 2 n L ) B =b

I0 ( 2 n L )

La distribucin de temperaturas es: =b

I0 ( 2 n L )I0 ( 2 n x )

b

=I0 ( 2 n x )

I0 ( 2 n L )

El calor disipado al exterior por la aleta longitudinal de anchura unidad ser igual al que penetra

por conduccin por su base, por lo que:

Q = - k (S ddx

)x=L= - k b b

2 n

2 LI1( 2 n L )

I0( 2 n L )= -

k b b n

LI1( 2 n L )

I0( 2 n L )

IX.-171


16/27

Mtodo grfico.-Las ecuaciones de y de Q se pueden expresar en forma adimensional, hacien-

do:

t= 2 n L =

8 f hC L2

k b; t=

xL

La distribucin de temperaturas es: b

=I0 (t t)

I0 (t)= G3 (tt)

El flujo de calor es: Q = - b k bt

2 LI1(t)

I0 (t)= - b k b

t2 L

G4 (t)

en las que se han definido las nuevas funciones, G3(tt) y G4(t), Fig IX.8 y 9, en la forma:

G3(tt) =

I0 (tt)

I0 (t); G4(t) =

I1(t)

I0 (t)

Para clculos rpidos se utilizan las grficas de G3(tt) y G4(t), Fig IX.8 y 9

Fig IX.8.- La funcin G3 para la distribucin de la temperatura en la aleta recta de perfil triangular

Fig IX.9.- La funcin G4 para el flujo calorfico en la aleta recta de perfil triangular

IX.-172


17/27

IX.7.- PERFIL OPTIMO DE LA ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR

El perfil ptimo de la aleta triangular longitudinal de seccin = b L2

se obtiene haciendodQ

db= 0

con Q en la forma:

Q = -k b bn

LI1( 2 n L )

I0 ( 2 n L )= n =

2 hC L

k b= - b 2 hCk b

I1 ( 2 L2 hCk b

)

I0 ( 2 L2 hCk b

)

= - b 2 hCk b

I1 ( 4 2 hCk b3

)

I0 ( 4 2 hCk b3

)

Derivndola respecto de b se obtiene la condicin de mximo:

43

I1 ( 4

2 hCk b3

)

I0 ( 4 2 hCk b3

)

= 2 hCk b3

{1 - (I1 ( 4

2 hCk b3

)

I0 ( 4 2 hCk b3

)

)2} 4 2 hCk b3

= 2,6168

de la que se deducen:Base: bpt= 1,6718

2hCk

3

Longitud: Lpt= 1,196khC

3 = 2 bpt

, condiciones ptimas funcin de la sec-

cin del perfil.

Teniendo en cuenta la carga trmica:

Q = - b 2 hCk bpt

I1( 2,6168 )

I0 ( 2,6168)= - 0,7754 b 2 hCk bpt bpt =

0,8273k hC

(Q

Tb - TF)2

pt =0,3483

k hC2

(Q

Tb - TF)3 ; Lpt=

0,8420hC

(Q

Tb - TF)

Igualando los valores de bpto deLpt, se obtiene la relacin entre el perfil ptimo (de mnimo

material) y la carga trmica Q:

pt =0,3486

k hC2

(Q

Tb- TF)3

IX.8.- RENDIMIENTO DE LA ALETA

Se define el rendimiento de una aleta , como la relacin entre la cantidad de calor transferida

realmente por la aleta Qa y el calor transferido a travs de una aleta ideal Qi:

=

QrealQideal

La aleta ideal transfiere la mxima cantidad de calor respecto a una aleta cualquiera del mismo

tamao e igual temperatura en la base. La aleta ideal tiene una conductividad trmica infinita y, por

consiguiente, toda ella es isotrmica, por lo que estar a la temperatura de la base Tb.

La transferencia de calor, por unidad de tiempo, desde una aleta ideal es:

Qi = hC Aa ( Tb- TF)

siendo (Aa=p L) la superficie lateral de la aleta expuesta al fluido a temperatura TF.

IX.-173


18/27

Por lo tanto, la transferencia de calor por unidad de tiempo, procedente de la aleta real, en funcin

del rendimiento, es:

Qreal = Q = hC Aa (Tb- TF)

Si se tiene en cuenta la seccin At, perteneciente al tubo, el calor Q total disipado por la aleta y el

tubo es:

Q = Qt + Qa = hC ( At + Aa) ( Tb - TF)

Casos particulares:

a) Aleta longitudinal de seccin uniforme, de superficie constante y extremo libre aislado:

=

Bi k SL

( Tb- TF) Th Bi

hC p L ( Tb - TF) =Th Bi

Bi ; Bi =

hC p L2

k S ; p = 2(a + e) 2 a

que viene representada en la Fig IX.10.

Fig IX.10.- Eficiencia de las aletas de seccin uniforme y de seccin triangular

b) Aleta longitudinal de perfil triangular:

=

k b b n

LI1 ( 2 n L )

I0 ( 2 n L )

2 hC L b= n

2 hC L

k bL

I1 ( 2 n L )

I0 ( 2 n L )= n =

2 f hCL

k b= m L =

= 1n L

I1( 2 n L )I0( 2 n L )

= t = 2 n L

G4() =I1 ()

I0 ()

= G4 ( 2 n L )n L

= 2 G4 (t)t

IX.-174


19/27

Fig IX.11.- Eficiencia de aletas de perfil rectangular, triangular y parablico

FICACIA DE AL TAS SOBRE SUERFICIES PLAN SmL Perfil Perfil Perfil Perfil parablico

rectangular triangular cncavo convexo0 1 1 1 1

0,1 0,996 0,995 0,99 0,9750,2 0,986 0,98 0,962 0,9680,3 0,971 0,957 0,923 0,9650,4 0,949 0,927 0,877 0,9350,5 0,924 0,892 0,929 0,9030,6 0,895 0,854 0,78 0,8770,7 0,853 0,814 0,735 0,840,8 0,83 0,774 0,692 0,8020,9 0,795 0,735 0,653 0,7691 0,761 0,697 0,618 0,731

1,1 0,727 0,661 0,585 0,6951,2 0,694 0,629 0,555 0,6661,3 0,662 0,596 0,528 0,631,4 0,632 0,567 0,503 0,61,5 0,603 0,54 0,48 0,5721,6 0,576 0,514 0,459 0,5451,7 0,55 0,491 0,44 0,52

1,8 0,526 0,47 0,422 0,4971,9 0,503 0,45 0,405 0,4762 0,482 0,431 0,39 0,456

2,1 0,462 0,414 0,376 0,4372,2 0,443 0,398 0,352 0,4242,3 0,426 0,384 0,35 0,4042,4 0,409 0,37 0,338 0,3892,5 0,394 0,357 0,327 0,3752,6 0,38 0,345 0,317 0,3612,7 0,367 0,334 0,308 0,3492,8 0,354 0,323 0,299 0,3382,9 0,342 0,313 0,29 0,3273 0,331 0,304 0,282 0,317

3,1 0,321 0,295 0,274 0,3073,2 0,311 0,286 0,257 0,2983,3 0,302 0,279 0,26 0,2893,4 0,293 0,271 0,254 0,2813,5 0,285 0,264 0,247 0,274

IX.-175


20/27

Fig IX.12.- Eficiencia de aletas anulares de perfil rectangular

EFICACIA DE ALET S ANULARES D PERFIL RECTA GULAR

0,1 0,992 0,994 0,995 0,9950,2 0,971 0,979 0,983 0,9850,3 0,938 0,954 0,962 0,9670,4 0,896 0,922 0,936 0,9440,5 0,847 0,884 0,904 0,915

0,6 0,794 0,842 0,868 0,8830,7 0,74 0,798 0,829 0,8490,8 0,684 0,754 0,79 0,9130,9 0,537 0,709 0,75 0,7761 0,589 0,565 0,711 0,74

1,1 0,544 0,625 0,673 0,7111,2 0,503 0,587 0,536 0,5691,3 0,466 0,551 0,602 0,5351,4 0,432 0,517 0,569 0,6051,5 0,402 0,486 0,539 0,5751,6 0,374 0,458 0,51 0,5471,7 0,349 0,431 0,484 0,522

1,8 0,326 0,407 0,46 0,4981,9 0,306 0,385 0,437 0,4752 0,287 0,365 0,415 0,454

2,1 0,27 0,346 0,397 0,4342,2 0,255 0,329 0,379 0,4162,3 0,241 0,314 0,362 0,3992,4 0,228 0,299 0,347 0,3832,5 0,217 0,286 0,333 0,3562,6 0,206 0,273 0,319 0,3542,7 0,196 0,262 0,307 0,342,8 0,187 0,251 0,295 0,3292,9 0,179 0,241 0,285 0,3183 0,172 0,232 0,275 0,306

3,1 0,154 0,224 0,255 0,2963,2 0,159 0,215 0,256 0,2883,3 0,152 0,208 0,248 0,2793,4 0,145 0,201 0,24 0,2713,5 0,141 0,195 0,233 0,263

/ = 0,2 = 0,4 = 0,6 = 0,8

IX.-176


21/27

c) Aleta anular de espesor constante:

= (1 - an

2 ) k e ban2 G2 (anan)

hC b A=

A = 2 ( re2- rb

2)

an=rbre

; rb = rean

an2 =

2 hC re2

k e; 2 hC re

2 = k e an2

=

= (1 - an

2 ) k e ban2 G2 (anan)

hC b 2 re2( 1 - an

2 )= G2 (anan)

Cuando las aletas son muy largas, L >> b, la eficiencia de la aleta se puede poner en funcin del

parmetro: L2 hCk b

= L m

Las Fig IX.11 y 12, muestran la variacin de la eficiencia de la aleta en funcin de dicho parmetro

para algunas secciones transversales tpicas; as, en la Fig IX.11 se representa la eficiencia de aletaslongitudinales en las que el espesor de la aleta vara con la distancia x medida desde la base de la ale-

ta; en la Fig IX.12 se representa la eficiencia de aletas anulares en forma de disco de espesore = Cte.

Al aumentar el nmero de aletas en una superficie se aumenta el rea de transferencia trmica,

pero tambin aumenta la resistencia trmica de la superficie en donde se fijan las aletas, por lo que se

pueden presentar situaciones en las que al aumentar el nmero de aletas no se incremente la transfe-

rencia de calor.

IX.9.- PERFILES DE ALETAS PARABLICOS

Perfil parablico cncavo

Ecuacin del perfil: z = b2

(xL

)2

Superficie del perfil: = b L3

Calor evacuado al exterior: Q =4 hC b L

1 + 1 + 4 m2L2

Distribucin de temperaturas: b

=T - TFTb- TF

= (xL

)a ; a =-1 + 1 + 4 m2L2

2; m =

2 hCk b

= 2

1 + 1 + 4 m2

L2

Condicin para el perfil ptimo: m L =

2 hCk b

L = 2 bpt = 2,082hC

k3 ; Lpt =

3 bpt

= 1,4423 khC

3

..............................................................................................................................................................................

Perfil parablico convexo

Ecuacin del perfil: z = b2

xL

Superficie del perfil: = 2 b L3

Calor evacuado al exterior: Q =I( 2/3 ) (

4 m L3

) 2 hC b

m L I(-1/3 ) (4 m L

3 )

Distribucin de temperaturas: b

=T - TFTb - TF

= xL

4 I(1/3 )(

4 m L x34

3)

I(-1/3) (4 m L

3)

; m =2 hCk b

IX.-177


22/27

Eficacia: =I( 2/3 )(

4 m L3

)

m L I(-1/3) (4 m L

3)

Condiciones para el perfil ptimo: 4 m L

3

= 4

3

2 hC

k

3

2

b2/3

= 1,705

bpt : 1 ,4013

hC 2

k3 ; Lpt =

3 2 bpt

= 1,07 khC

3

..............................................................................................................................................................................

IX.10.- PROTUBERANCIAS

Protuberancia parablica cncava

Perfil: z = d2

(xL

)2

Superficie lateral: A =

2z dx = 2 d

2(x

L)2 dx =

0

L

d L

3

Seccin transversal: S = z2=d2

4(xL

)4

Volumen: V = z2dx = 0

L

(d2)2(xL)

4 dx = d2L

20

Ecuacin diferencial: d2

dx2+ 1

x d

dx=

hCk

4 L2

x2d= n2 =

4 hCL2

k d= (n

x)2

Distribucin de temperaturas: = b (xL

)a , con: a =- 3 + 9 + 8 m2L2

2; m =

2 hCk d

= n

L 2

Calor evacuado: hC 0

L

dA = hC0L

2 d2 (xL

)2+ab dx = hC bd

L2+a L

3+a

3 + a=

2 hCd L

3 + 9 + 8 ( mL)2

Eficiencia: = 2

1 + 1 + 8 m2L29

Calor evacuado: Q = A hCb= A hC (Tb - TF)

Condicin para el perfil ptimo:

dQ

dL= 0 2 m L = 2 ; m L = 2 ; Lpt =

2m

= k dhC

..............................................................................................................................................................................

Protuberancia parablica convexa

Perfil: z = d2

xL

Superficie lateral: A = 2z dx = 2 d2xL

dx =0

L

2d L3 Seccin transversal: S = z2=

d2

4xL

Volumen: V = z2dx = 0

L

(d2)2xL

dx =d2L

8


dx2+ 1

x d

dx=

4 hCk d

Lx

= n2 =4 hC L

k d= n

2

x

Distribucin de temperaturas: = bI0{

43

2 m L x34

}

I0 (

4

3 2 m L)

Calor evacuado: Q = hC 0

L

dA = hC0L

2 d2 xL

bI0{

43

2 m L x34

}

I0 (43

2 m L)dx =

3 d hCb

2 2 m LI1{

43

2 m L }

I0 (43

2 m L)

IX.-178


23/27

Eficiencia: = 3

2 2

I1(43

2 m L)

m L I0 (43

2 m L)

Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) A hC

Condicin para el perfil ptimo:

dQ

dL= 0

4 2 m L3

= 1,05 ; m L = 0,5568 Lpt =0,5568

m= 0,393 k d

hC..............................................................................................................................................................................

Protuberancia paraleleppedo de seccin cuadrada

Volumen: V = b2L ; p = 2 a ; S = a e

Superficie de evacuacin de calor: A = 4 b L + b2 4 b L

Eficiencia: =Th( 2 m L )

2 m L

=Th Bi

Bi

; m =2 hC

k b

; Bi =hCp L

2

k S


Condicin para el perfil ptimo: b L3/2 = 1,4192 Bipt = 2,01419 ; Lpt = 0,75 (

k VhC

)2/5 = 0 ,75 (k b L

hC)2/5

..............................................................................................................................................................................

Protuberancia cilndrica

Superficie de evacuacin de calor: A = d L +d2

4 d L

Volumen: V =d2

4L ; p = d ; S =

d2

4

Eficiencia: =Th( 2 m L )

2 m L = Th BiBi ; m =2 h

Ck b ; Bi =h

C

p L2

k S


Condicin para el perfil ptimo: m L = 0,925 ; Lpt = 0,42 (

k VhC

)2/5 = 0 ,328 k dhC

..............................................................................................................................................................................

Protuberancia pirmide cuadrangular

Superficie de evacuacin de calor: A = 2 b x2

L

Volumen: V = b2L3

; Sb2

= (xL

)2 S = b2 (xL

)2


dx2+ 2

x d

dx= 4 L hC

k b x= m2= 2 hC

k b= 2 m2L

Distribucin de temperaturas: = b

Lx

I1( 2 m L x )

I1 ( 2 m L)

Calor evacuado: Q = hC

0

L

dA = hC 0L

4 b xL bLx

I1( 2 m L x )

I1(2 m L)dx =

4 hCb bm

I2 (2 m L)

I1( 2 m L)

Eficiencia: =2I2 ( 2 m L)

m L I1 ( 2 m L )


Condicin para el perfil ptimo: m L = 0,45 ; Lpt = 0,48 (k VhC

)2/5 = 0,318 k bhC

..............................................................................................................................................................................

IX.-179


24/27

FICACIA DE PROTUBERANCIAS SOBRE SUPERFCIESParalelepipdica, Parablica Cnica Parablica

mL cilndrica cncava convexa0,1 0,996 0,995 0,997 0,9960,2 0,986 0,991 0,985 0,997

0,3 0,971 0,98 0,971 0,9680,4 0,949 0,966 0,95 0,9310,5 0,924 0,949 0,925 0,9080,6 0,995 0,93 0,898 0,9570,7 0,863 0,909 0,868 0,8220,8 0,83 0,887 0,837 0,7930,9 0,795 0,955 0,805 0,7561 0,761 0,842 0,775 0,718

1,1 0,727 0,819 0,745 0,6841,2 0,694 0,796 0,716 0,651,3 0,662 0,774 0,698 0,6191,4 0,632 0,753 0,661 0,5891,5 0,603 0,732 0,635 9,552

1,6 0,576 0,711 0,612 0,5371,7 0,55 0,692 0,59 0,5141,8 0,526 0,573 0,569 0,4921,9 0,503 0,655 0,548 0,4712 0,492 0,639 0,529 0,452

2,1 0,462 0,621 0,512 0,4352,2 0,443 0,605 0,495 0,4182,3 0,426 0,59 0,479 0,4032,4 0,409 0,575 0,464 0,3892,5 0,394 0,561 0,45 0,3752,6 0,38 0,548 0,437 0,3632,7 0,367 0,535 0,424 0,3512,8 0,354 0,523 0,412 0,34

2,9 0,342 0,511 0,401 0,333 0,331 0,5 0,39 0,32

3,1 0,321 0,499 0,38 0,3113,2 0,311 0,479 0,371 0,3033,3 0,302 0,459 0,361 0,2943,4 0,293 0,459 0,353 0,2863,5 0,285 0,449 0,344 0,279

Protuberancia cnica

Superficie de evacuacin de calor: A = 2 r x = r = d x2 L

=d x2

L

Volumen: V = d2L12

; S = d24

(xL

)2


dx2+ 2

xd

dx=

8 L hCk d x

= m2=2 hCk d

= 4 m2L

x

Distribucin de temperaturas: = bLx

I1( 2 2 m L x )

I1 ( 2 2 m L )

Calor evacuado: Q = hC 0

L

dA = hC 0

L

2 d xL b Lx

I1( 2 2 m L x )

I1 ( 2 2 m L )dx =

hCd b

m 2I2 ( 2 2 m L)

I1( 2 2 m L )

Eficiencia: =

2 I2

( 2 2 m L )

2 m L I1 ( 2 2 m L )


IX.-180


25/27

Condicin para el perfil ptimo: m L = 0,3535 ; Lpt = 0,43 (

k VhC

)2/5 = 0,25 k dhC

..............................................................................................................................................................................

Desarrollo del mtodo para protuberancia cnica

Ecuacin diferencial d2

dx2+ 1

S dSdx

ddx

-hrk

(1S

dAdx

) = 0, siendo: = T - Texterior

S es la superficie en la base a la distancia x:

SR2 =

x2

L2 S = r2

=R2

L2 x2

dSdx

= 2 R2x

L2

r = radio superficie S = R xL

A es la superficie lateral de altura x: A = 2 r2

x2 + (r2

)2 =p R x

Lx2 + (

R x2 L

)2

y en el supuesto de conduccin trmica en la direccin x:

A r x = R x

Lx =

R x2

L dA = 2 R x

L

Sustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial se obtiene: d2

dx2+ 2

x d

dx- (

2 L hr

k R) 1

x= 0

Haciendo: N =

2 L hrk R

= 2 m2 L m2 =hr

k R, resulta:

d2dx2

+ 2x

ddx

-Nx

= 0 x2 d

2

dx2+ 2 x d

dx- N x = 0

x2 d2

dx2+ 2 x d

dx- 2 m2L x = 0

Solucin general: = 1x

{ C1 I1( 2 N x ) + C2 K1( 2 N x )} = T - Text

Condiciones de contorno:Para: x = L ; = base T = Tbase

Para: x = 0 ; ddx

= 0

C2 = 0

C1= Tbase L

I1(2 N L )

Distribucin de temperaturas: T = Tbase Lx

I1( 2 N x )

I1( 2 N L )

Calor evacuado: Q = hrd0

L

xL Lx

I1 ( 2 N x )

I1 ( 2 N L )Tbase dx = hrd

LN

I2 ( 2 N L )

I1( 2 N L )Tbase =

= sustituyendo N{ } =hrd

2

I2( 2 2 L )

m I1( 2 2 m L )Tbase

El valor de hr es el coeficiente de radiacin; estos valores son:

Si TpF y Text = Tvaco no difieren demasiado entre s, se puede poner: q = A 1(TpF4 - Text

4 ) =

IX.-181


26/27

= A 1 (TpF2 + Text

2 ) (TpF+ Text) (TpF- Text ) = Tm =TpF+ Text

2=

= A 14 Tm

3 (TpF- Text) = A1 hr (TpF- Text)

siendo:

1 la emisividad de la superficie

hr = 4 1Tm3

El problema est en hallar TpF= Tmedia pared

Caso general: La conductividad trmica unitaria de la radiacin hr se define mediante la expresin:

hr =1

Rr A=

s Fpared-vaco (TpF4 - Tvaco

4 )

TpF- Tvaco= s Fpared-vaco (TpF

2 + Tvaco2 ) (TpF+ Tvaco)

En este caso, el factor de Forma F valdra la unidad

Nota: el calor eliminado al exterior puede ser en cualquier forma; en este caso es radiacin, pudindoseutilizar la formulacin general de aletas y protuberancias cambiando hc por hr.

IX.11.- COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIN DE CALOR PARA ALETAS REFRIGE-

RADAS POR AIRE

En la ecuacin bsica Q = U A Tcomn a cualquier tipo de intercambiador de calor, el valor de Q

normalmente se conoce, mientras que la superficie de intercambio trmico A es desconocida.

El coeficiente global de transmisin de calor U es funcin de:

- La resistencia trmica de la capa lmite del fluido que circula por el interior de los tubos- La conductividad trmica del material del tubo y aletas

- La resistencia trmica de la capa lmite en la parte del tubo ms las aletas en contacto con el aire.

La primera de estas resistencias se determina mediante las ecuaciones clsicas conocidas, depen-

diendo de la naturaleza del flujo, mientras que la contribucin de la suciedad depende del tipo de flui-

do que se est experimentando.

El coeficiente de pelcula a travs de las aletas se puede determinar mediante la frmula de Joung

de la forma:

Nu = 0 ,134 Re0,681Pr0,33 (FH )0,20 ( F T )0,1134 , en la que:

(FH) =Espaciado entre aletas

Longitud de la aleta

( F T ) =Espaciado entre aletas

Espesor de la aleta

El coeficiente de transmisin de calor hC as obtenido se modifica mediante un elemento corrector,

en el que estn comprendidos el rendimiento de la aleta , la superficie exterior del tubo , la de la

aleta Aa, y la total A.

El valor medio: hC =

hC( Aa+ At)

A

El rea total disponible, puede ser del orden de 20 a 30 veces la del tubo.

Si llamamos T1 y T2 las temperaturas de entrada y salida del fluido que circula por el interior de

la tubera, y TF1 y TF2 las temperaturas inicial y final del aire, de las que slo se conoce TF1, la tempe-

ratura TF2 se calcula en la forma general:

IX.-182


27/27

Tabla IX.2.- Coeficientes de transferencia de calor tpicos para el aire de refrigeracin

LQUIDOS VAPORESTemp. media 55-90 Vapor (x=1) 810Temp. media 74-125 Vapor (x=0,9) 600Temp. media 170-230 Vapor (x=0,6) 415

Hidrocarburos ligeros 425Temp. media 140-200 Hidrocarburos medios 270Temp. media 285-345 Amonaco 600Temp. media 315-370 PresinPresinTemp. media 340-400 GASES 0,7 atm 7 atm 35 atm

Gasleo 255-315 Vapor 70 155 325Queroseno 315-340 Hidrocarburos 100 270 410

Nafta 330-400 Aire 50 155 270Hidrocarburos ligeros 400-450 Amonaco 70 185 300

Agua 685-800 Hidrgeno 145 385 555

U (W/m2C) U (W/m

2C)

TF2 = TF1 +

QGaire cp ( aire )

= TF1 +Q

GF cpF )

o por la propuesta por Brown, que asume para el clculo de TF2 un valor del coeficiente U basado en

la experiencia, en la forma:

TF2 = TF1 + 0,0009 U(

T1+ T22

- TF1)

viniendo U expresada en W/m2C.

ix.- superificies ampliadas

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