izrada matematiÈkog modela za analizu dravnog … · 2008. 10. 23. · tako izvedena...

Anton Glaviniæ1

UDK 330.4336.14

IZRADA MATEMATIÈKOG MODELA ZAANALIZU DR�AVNOG PRORAÈUNA

SA�ETAK

Osnovne su funkcije dr�ave (fiskalne politike) stabilnost,usmjeravanje i poticanje gospodarskog razvitka. Za ostvarivanjestabilnoga i dinamiènoga gospodarskog razvitka u slo�enim uvjetimašireg okru�enja valja se koristiti, u prvom redu, poticajnim mjerama,instrumentima ekonomske i posebno fiskalne politike. Stoga seprimjenom brojnih instrumenata fiskalne politike (porezima, carinomi drugim) utvrðuju izvori prihoda dr�avnog proraèuna, kojima sefinanciraju rashodi za zadovoljavanje javnih potreba. Na taj naèinutjecaj dr�avnih rashoda sve je znatniji u sferi reguliranjaekonomskih tijekova i usmjeravanja gospodarskog razvitka.

Mjerenje utjecaja dr�ave (fiskalne politike) na gospodarstvo(stabilnost i razvitak) omoguæeno je razvitkom ekonomsko-matematièkih modela.

U ovom je radu prikazan jedan takav ekonomsko- matematièkimodel. Model je izveden na osnovi konstrukcije geometrijskog likaèetverokuta (trapeza). Ako se primijene trigonometrijske funkcije napostavljeni èetverokut (trapez), dolazi se do trigonometrijskejednad�be linearne u sinx i cosx. Tako izvedena jednad�ba zvat æe seu ovom radu jednad�bom razvitka. Rješenja te jednad�be jesu

354

1 Dr., sc., Anton Glaviniæ

razlièite zajednièke toèke pravca i trigonometrijske kru�nice. Tako sedobiva grafièko rješenje linearne trigonometrijske jednad�be.

Primjena te jednad�be u analizi meðuovisnosti izmeðumakroekonomskih velièina (prihoda, dijela rashoda dr�avnogproraèuna, bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) i ulaganja) predstavljadjelotvorno sredstvo za statièko i dinamièko odreðivanje iusklaðivanje njihovih odnosa i veza.

Osim toga, tim se matematièkim modelom (jednad�bom) razvitkamo�e simulirati kontinuitet linearnosti izmeðu tih makroekonomskihvelièina.

Ova analiza odnosa i veza izmeðu prihoda i dijela rashoda dr�avnogproraèuna, bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) i ulaganja omoguæavautvrðivanje stvarnog stanja, odreðivanje dinamike kretanja i odabirnjihovih optimalnih odnosa. Utvrðeni kvantitativni meðuodnosimakroekonomskih velièina mogu pridonijeti stabilnom i br�emgospodarskom razvitku Republike Hrvatske.

UVOD

U tehnološki razvijenim društvima zadovoljavanje javnih potrebajedna je od temeljnih funkcija dr�ave (fiskalne politike). Ostvarivanjetih funkcija ovisi o brojnim okolnostima i uvjetima, a prije svega orazini društveno-ekonomskih i društveno-politièkih odnosa. Te sefunkcije temelje prete�ito na brojnim propisima. Njima seprvenstveno utvrðuju izvori prihoda, ali i kriteriji raspodjele(financiranje rashoda).

Trošenje prihoda dr�avnog proraèuna u zadovoljavanju javnihpotreba ima, neovisno o svrsi koja se �eli postiæi, izravan i neizravanutjecaj na gospodarske tijekove (pravce i strukturu razvitka).Mjerenje utjecaja dr�ave (fiskalne politike) na gospodarstvoomoguæeno je razvitkom ekonomsko-matematièkih modela.Razvitak raèunalne tehnologije omoguæava uporabu slo�enogmatematièkog aparata u znanosti, pa tako i u ekonomiji. Na taj senaèin u potpunosti mogu analizirati i kvantitativno utvrðivati odnosi iveze izmeðu povezanih makroekonomskih velièina (lanca reakcija).Pritom je va�no analizirati efikasnost fiskalne politike dr�ave, efekteutjecaja ekonomsko-matematièkih modela i proraèunske politike nagospodarski razvitak.

355ANTON GLAVINIÆ : Izrada matematièkog modela za analizu dr�avnog proraèuna

EKONOMIJA / ECONOMICS, 11 (3) str. 354 - 379 (2005) www.rifin.com

Takoðer, primjenom matematièkih modela u analizi mogu seutvrðivati (što je problem suvremenog gospodarstva) optimalnarješenja, prijeko potrebna za optimalni gospodarski razvitak. Osimtoga, uporabom takvog modela mo�e se kvantificirati statièka idinamièka analiza odnosa i veza izmeðu makroekonomskih velièina.

Prikazani matematièki model izraðen je na temelju konstrukcijegeometrijskog lika èetverokuta (trapeza). Ako se primijenetrigonometrijske funkcije na postavljeni èetverokut (trapez), dobivase trigonometrijska jednad�ba linearna u sinx i cosx.

Tako izvedena jednad�ba u ovom se radu naziva jednad�bomrazvitka. Njezino su rješenje razlièite zajednièke toèke pravca itrigonometrijske kru�nice. Pritom se dobiva grafièko rješenjelinearne trigonometrijske jednad�be.

Prikazani matematièki model (jednad�ba razvitka) predstavljarelativno jednostavniji postupak u analizi meðuodnosamakroekonomskih velièina.

Drugo va�no odreðenje tog matematièkog modela jest moguænostsimulacije neprekidne linearnosti izmeðu makroekonomskih velièinau gospodarstvu.

Analiza meðuovisnosti makroekonomskih velièina (prihoda, dijelarashoda dr�avnog proraèuna, bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) iulaganja) Republike Hrvatske prikazuje se jednad�bom razvitka.Takvim se izraèunavanjima omoguæava pronala�enje optimalnihrješenja, koja bi donosila stabilnost i br�i gospodarski razvitak.

OPÆA FORMULACIJA TRIGONOMETRIJSKEJEDNAD�BE LINEARNE U sinx I cosx

Pod trigonometrijskom jednad�bom2 razumijeva se jednakost u kojojse javlja argument pod znakom trigonometrijske funkcije3

nepoznatog kuta (luka, broja). Ako se primijeni odgovarajuæipostupak, mo�e se riješiti trigonometrijska jednad�ba, linearna u sinxi cosx. Stoga je za rješavanje takve jednad�be potrebno konstruirati



2 Car, M., (1973), Matematika za ekonomiste, Narodne novine, Zagreb, str. 167.3 Martiæ, Lj., (1972), Matematièke metode za ekonomske analize, I. svezak, Narodne

novine, Zagreb, str. 29.

pravokutni trokut4 ABC, kojemu je pravi kut uz vrh5 C a katete AC iBC.

Ako se povuèe vrhom C bilo koji pravac p, tako trokut ABC ostanesamo s jedne strane povuèenog pravca p.

Zatim je potrebno odrediti šiljasti kut x koji kateta AC zatvara spravcem p i da je udaljenost SS’ polovišta S hipotenuze AB od toga jepravca jednaka k ·|AC|. Ovdje je k poznat pozitivan broj.

Ako se ortogonalno projiciraju toèke A, B i S na pravac p (sl. 1),dobiva se trapez B’A’AB sa srednjicom6 SS’. Ako se primijeni for-mula za izraèun srednjice7 trapeza, onda se dolazi do relacije:

ili što je jednako

2) | AA` | +| BB`| = 2k |AC|.

Ako se, prema (sl. 1) definiraju trigonometrijske funkcije,8 tada je



4 Bader, H., Fröhlich, S., (1980), Matematika za ekonomiste, Rad, Beograd, str. 245.5 Pavkoviæ, B., Veljan, D. , (1995), Elementarna matematika 2, Školska knjiga,

Zagreb, str. 10.6 Mintakoviæ, S., Èuriæ, F. , (1972), Osnove matematike, Školska knjiga, Zagreb, str.

296.7 Ibidem, str. 296.8 Kurepa, S., (1972), Matematièka analiza prvi dio (diferenciranje i integriranje),

Tehnièka knjiga, Zagreb, str. 183.

Ako se formule prikazane pod rednim brojem 4. i 6. uvrste u formulu2, dobiva se trigonometrijska jednad�ba, linearna u sinx i cosx. Takvajednad�ba ima oblik

7) | BC | cos x + | AC | sin x = 2k | AC |.

Ako se zamijene |BC|, |AC| i 2k· |AC| po redu s a, b i c, jednad�ba(7) glasi

U toj su jednad�bi a, b i c realni pozitivni brojevi i neovisni o x.

Slika 1.Izvod linearne trigonometrijske jednad�be pomoæu trapeza

Izvor:

Autorova prilagoðena izvedba sl. 27, Bader, H., Fröhlich, S. (1972), Matematika

za ekonomiste, Rad, Beograd, str. 244.

Tako izvedena trigonometrijska linearna jednad�ba 8. zvat æe sejednad�bom razvitka. Osnovne su metode za rješavanjetrigonometrijskih jednad�baa) analitièka ib) grafièka.



GRAFIÈKA METODA RJEŠAVANJA LINEARNETRIGONOMETRIJSKE JEDNAD�BE

Naæi rješenje trigonometrijske jednad�be acosx + bsinx = c, znaèiodrediti sve kutove (lukove, brojeve) koji taj identitet zadovoljavaju.Takve se jednad�be rješavaju grafièki9 na sljedeæi naèin.

Krajnja toèka T luka10 x na jediniènoj (trigonometrijskoj) kru�nici11

odreðuje se ovako:



9 Martiæ, Lj., (1972), Matematièke metode za ekonomske analize, I. svezak, 3.izdanje, Narodne novine, Zagreb, str. 29.

10 Car, Mladen, (1973), Matematika za ekonomiste, Narodne novine, Zagreb, str. 169.11 Ibidem, str. 169.

Krajnje toèke tra�enih lukova x0 i x1 jesu sjecišta T1 i T2 pravca p strigonometrijskom kru�nicom K (15). Vidi sliku 2.

Slika 2.Grafièki prikaz rješenja linearne trigonometrijske jednad�be

Izvor:

Samostalni izvod.

Prema slici 2. vidi se da trigonometrijska linearna jednad�baacosx + bsinx = c ima rješenje, kada su zadovoljeni uvjeti:



Ako se u jednad�bu trigonometrijske kru�nice13 K

i dobiva se kvadratna14 jednad�ba

Jednad�ba ima realno rješenje kada je diskriminanta15 D



13 Car, Mladen, (1973), Matematika za ekonomiste, Narodne novine, Zagreb, str. 169.14 Ivanoviæ, B., (1976), Matematika za ekonomiste, 6. izdanje, Nauèna knjiga,

Beograd, str. 93.15 Ibidem, str. 93.

PRIHODI I RASHODI DR�AVNOG PRORAÈUNAREPUBLIKE HRVATSKE ZA RAZDOBLJE OD 1995. DO1999. GODINE

STRUKTURA PRIHODA DR�AVNOG PRORAÈUNA REPUBLIKE

HRVATSKE OD 1995. DO 1999. GODINE

U nastavku se daje pregled strukture i dinamike kretanja prihodadr�avnog proraèuna u razdoblju od pet godina.

Tablica 1.Struktura prihoda dr�avnog proraèuna Republike Hrvatske od1995. do 1999. godine

u mlrd. kuna

1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Ukupni prihodi i potpore 27,981 31,367 33,846 43,809 46,357

Tekuæi prihodi 27,287 30,244 33,385 42,019 40,046

Porezni prihodi 26,505 28,530 31,338 40,327 38,318

Neporezni prihodi 0,782 1,714 2,047 1,692 1,728

Prihodi od kapitala 0,594 1,123 0,461 1,790 6,311

Dotacije 0,10 0 0 0 0

Struktura u %

1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Ukupni prihodi i potpore 100 100 100 100 100

Tekuæi prihodi 97,52 96,42 98,64 95,91 40,046

Porezni prihodi 94,72 90,96 92,58 92,05 38,318

Neporezni prihodi 2,79 5,46 6,05 3,86 1,728

Prihodi od kapitala 2,12 3,58 1,36 4,09 6,311

Dotacije 0,36 0 0 0 0

Izvor:

Preraèunate vrijednosti, Mjeseèni statistièki prikaz, Ministarstvo financija

Zagreb, prosinac 2001.



U tablici 1. prikazana je struktura i dinamika ostvarenja prihodadr�avnog proraèuna od 1995. do 1999. godine. Izneseni podaci okretanju prihoda dr�avnog proraèuna u navedenom razdobljupokazuju konstantna i intenzivna poveæanja, a naroèito u 1998.godini. Prihodi dr�avnog proraèuna u navedenom su razdobljuporasli za 65,67%, a prihodi od kapitala porasli su za èak 962,46 %.

Iz prikazanih podataka išèitavamo da su glavni izvori prihodadr�avnog proraèuna izravni porezi, a uoèljiva je i tendencijapoveæanja neporeznih prihoda. Nadalje, u strukturi prihoda dr�avnogproraèuna znatan udio èine porezni prihodi (94,72% u 1995. i 86,39%u 1999. godini) i poveæava se udio neporeznih prihoda (2,79% u1995. i 3,73% u 1999. godini).

Mo�e se posebno uoèiti znatan porast prihoda od kapitala, anaroèito u 1999. godini. Ti prihodi zadr�avaju tendenciju porasta injihov udio u ukupnim prihodima iznosi 2,12% u 1995. i 13,61% u1999. godini. Takva ekonomska politika imala je nepovoljan utjecajna daljnji gospodarski razvitak.

STRUKTURA RASHODA DR�AVNOG PRORAÈUNAREPUBLIKE HRVATSKE OD 1995. DO 1999. GODINE

Zbog raznovrsnosti podataka o rashodima dr�avnog proraèunaRepublike Hrvatske i velikog broja stavaka, u ovom dijelu radaprikazat æe se podaci samo za odreðene stavke.

U tablici 2. prikazane su struktura i dinamika kretanja rashodadr�avnog proraèuna od 1995. do 1999. godine. U strukturi ukupnihrashoda dr�avnog proraèuna vodeæe mjesto imaju rashodi za plaæe idoprinose poslodavca (35,23% u 1995. i 30,06% u 1999. godini).Sljedeæa stavka po velièini jesu rashodi za ostale kupovine dobara iusluga (37,03% u 1995. i 15,13% u 1999. godini), te rashodi zatuzemne i inozemne kamate (4,85% u 1995. i 4,29% u 1999. godini).

Utjecaj dr�ave (fiskalne politike) na privredu i standard stanovništvaprovodi se najèešæe preko subvencija i tekuæih transfera. Tako dr�avanajveæim dijelom provodi i socijalnu politiku. Ti rashodi takoðer,èine znaèajnu grupu izdataka iz dr�avnog proraèuna (11,74% u 1995.godini i 29,23% u 1999. godini).



Tablica 2.Struktura rashoda dr�avnog proraèuna Republike Hrvatske od1995. do 1999. godine

u mlrd. Kuna

1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Ukupni rashodi i posudbe, umanjene za otplate 28,696 31,502 35,006 42,552 48,879

Ukupni rashodi 28,476 30,973 34,396 41,473 47,380

Tekuæi rashodi 25,495 25,930 29,579 34,883 38,476

Plaæe i doprinosi poslodavca 10,110 10,331 11,040 13,030 14,695

Ostale kupovine dobara i usluga 10,625 9,292 9,223 9,618 7,396

Plaæanje kamata 1,392 1,392 1,737 1,951 2,099

Subvencije i ostali tekuæi transferi 3,369 5,089 7,579 10,283 14,286

Kapitalni rashodi 2,980 5,043 4,815 6,590 8,904

Nabava fiksnih kapitalnih sredstava 1,634 2,216 1,978 2,791 4,093

Kupovina zaliha 0 0 0 0 0

Kupovina zemljišta i nematerijalne imovine 0 0,194 0,239 0,291 0,278

Kapitalni transferi 1,346 2,632 2,599 3,508 4,532

Posudbe umanjene za posudbe 0,221 0,529 0,611 1,079 1,499

Tekuæi manjak (-), višak (+) 1,792 4,314 3,805 7,136 1,570

Ukupni manjak (-), višak (+) -0,715 -0,134 -1,160 -1,256 -2,522

Ukupno financiranje 0,715 0,134 1,160 1,256 2,522

Ukupno strano financiranje 0,686 0,804 2,986 -0,009 4,615

Ukupno domaæe financiranje 0,030 -0,700 -1,826 -1,248 -2,093

Izvor:

Mjeseèni statistièki prikaz, Ministarstvo financija, Zagreb, prosinac 2001

Ekonomske funkcije rashoda dr�avnog proraèuna ostvaruju seveæinom putem kapitalnih rashoda i ostale kupovine dobara i usluga.Kapitalni rashodi u promatranom razdoblju poveæani su za 198,75%(njihov je udio 10,38% u 1995. i 18,22% u 1999. godini) u ukupnimrashodima. Za gospodarstvo posebno je va�na struktura kapitalnih



rashoda. Tako G. Dru�iæ u èasopisu Ekonomija br. 3. (Zagreb, veljaèa1998., str. 285) iznosi:

«Posebno je zanimljivo da unutar nabavki kapitalnih dobara udio zanabavku stambenih i poslovnih zgrada, te unutrašnjeg namještaja jest3,59% u 1997. godini i 3,34% ukupnih rashoda u 1998. (udio uBDP-u je 1,23% i 1,03%), a na izgradnju kapitalnih objekata (ceste)4,33% u 1997. godini i 4,46% ukupnih rashoda (udio u BDP-u 1,37%i 1,39%).»

BRUTO DOMAÆI PROIZVOD (BDP), PRIHODI DIJELARASHODA I ULAGANJA REPUBLIKE HRVATSKE OD 1995.DO 1999. GODINERashodi dr�avnog proraèuna, a osobito kapitalni rashodi i ostalekupovine dobara i usluga izravno utjeèu na poveæanje proizvodnje,zaposlenosti i na dohodak. U nastavku je dan prikaz ostvarenihmakroekonomskih velièina.

Tablica 3.Bruto domaæi proizvod (BDP), prihodi, rashodi (kapitalnirashodi i za ostale kupovine dobara i usluga) dr�avnogproraèuna Republike Hrvatske od 1995. do 1999. godine

u mlrd. kuna

NazivOstvarenja

1995.

Ostvarenja

1999.

Indiv.

koef.

Bruto domaæi proizvod (BDP) 98,382 141,579 1,439074

Prihodi dr�avnog proraèuna 27,981 46,357 1,656731

Kapitalni rashodi i ostale kupovine

dobara i usluga13,605 16,300 1,198089

– kapitalni rashodi 2,980 8,904 2,987919

– ostale kupovine dobara i usluga 10,625 7,396 0,696094

Ulaganja gospodarskih subjekata 13,580 34,728 2,557290

Izvor:

Preraèunate vrijednosti, Mjeseèni statistièki prikaz, Ministarstvo financija, Zagreb, svibanj

2000, travanj 2003, DSZ, SLJH/1997, str. 171, DSZ, SLJH/2002, str. 195. i 205.



U tablici 3. prikazano je kretanje samo nekih makroekonomskihvelièina. Na temelju tih velièina izraèunati su individualnikoeficijenti. Ti se koeficijenti dobivaju stavljanjem u odnos velièinatekuæeg razdoblja s velièinama poèetnog razdoblja. Tako izraèunatiindividualni koeficijenti slu�e za usporeðivanje i prikaz rezultata uanalizi.Napomena:

U ovom radu ulaganja obuhvaæaju ulaganja gospodarskih subjekata i dr�ave.

KVANTITATIVNA ANALIZA MEÐUODNOSA PRIHODA,DIJELA RASHODA BRUTO DOMAÆEG PROIZVODA(BDP-a) I ULAGANJA REPUBLIKE HRVATSKE OD 1995.DO 1999. GODINE

U ovom poglavlju analizirat æe se, koliko dopušta, matematièki okvir:meðuodnosi prihoda, rashoda (kapitalni rashodi i ostale kupovinedobara i usluga) dr�avnog proraèuna bruto domaæeg proizvoda(BDP-a) i ulaganja. Za provedbu takve analize va�na je primjenamatematièkog modela opisanog u prethodnom dijelu ovog rada.Primjena tog matematièkog modela zahtijeva utvrðivanjeindividualnih koeficijenata. Na osnovi tih koeficijenata, prikazanih utablici 3, konstruirat æe se trapez.

Slika 3. Izvod linearne trigonometrijske jednad�be pomoæu trapeza

Izvor: Samostalni izvod.

Napomena: Prikazani trapez (sl. 3) uveæan je u odnosu na utvrðene velièine radi bolje

preglednosti u prikazivanju.



U prikazanom trapezu na slici 3. duljina stranice AC predstavljaindividualni koeficijent prihoda dr�avnog proraèuna, a duljinastranice BC individualni koeficijent bruto domaæeg proizvoda(BDP-a). Duljina stranice AA’ predstavlja individualni koeficijentkapitalnih rashoda i ostale kupovine dobara i usluga dr�avnogproraèuna.

Ti rashodi dr�avnog proraèuna imaju izravan utjecaj na gospodarskuaktivnost (proizvodnju i zaposlenost) i na poveæanje bruto domaæegproizvoda (BDP-a).

U prikazanom trapezu duljina stranice BB’ predstavlja individualnikoeficijent ulaganja gospodarskih subjekata. Ovaj se koeficijentutvrðuje na temelju konstrukcije trapeza.

Ako se u trigonometrijsku jednad�bu (16) za a i b, uvrste velièine iztablice 3. i c, koji se izraèunava prema formuli 2, dobiva se:

28) 1,439074cosx + 1,656731sinx = 2,192022 .

S obzirom na to da je

cosx = X I sinx = Y,

tada je pravac p, prema osobnim izvornim postavkama;

29) p 1,439074 X + 1,656731Y = 2,192022 .

Za grafièko rješenje trigonometrijske jednad�be (28) potrebno jenacrtati trigonometrijsku kru�nicu K. Ako se pravcem (29) presijeèetrigonometrijska kru�nica K, dobivaju se toèke sjecišta.



Slika 4.

Grafièki prikaz rješenja linearne trigonometrijske jednad�be

Legenda:

polumjer kru�nice 1

x = bruto domaæi proizvod (BDP)

y = prihodi dr�avnog proraèuna

p = jednad�ba pravca

Izvor:

Samostalni izvod.

Iz slike 4. išèitava se da pravac p sijeèe trigonometrijsku kru�nicu utoèkama T1 i T2. Rješenja su kutovi



lukovi za poznate velièine kutova

i ureðeni parovi koji pripadaju toèkama T1 (0,690683, 0,723158) i T2

(0,619402, 0,785074). Vrijednosti u toèkama T1 i T2 mogu seizraèunati i analitièkim postupkom. Ako se u jednad�butrigonometrijske kru�nice K

uvrsti

slijedi

i rješavanjem

dolazi se do kvadratne jednad�be

a rješenja su



apscise sjecišta trigonometrijske kru�nice K i pravca p.Tako je X1

i X2

Ako se u formulu (35) uvrste izraèunate vrijednosti za X1 i X2,dobivaju se ordinate sjecišta.Tako je Y1



Tim analitièkim postupkom utvrðena su istovjetna rješenja kao igrafièkim prikazom na slici 4. Tako utvrðene velièine mogu seizraziti u postocima (%).

Stoga je od 1995. do 1999. godine utvrðeno poveæanje bruto domaæegproizvoda (BDP-a) u iznosu od 24,754 milijarde kuna ili 69,07%, dokostvareno poveæanje iznosi 43,91%. Istovremeno se poveæavaju iprihodi dr�avnog proraèuna u iznosu od 1,837 milijardi kuna ili72,32%.

Stvarno poveæanje prihoda dr�avnog proraèuna u analiziranomrazdoblju iznosi 65,67%. Ove promjene makroekonomskih velièinautjeèe na poveæanje ulaganja. Tako se utvrðuje poveæanje ulaganja ugospodarstvo u iznosu od 119,2%.

Prema podacima za razdoblje od 1995. do 1999. godine ulaganja supoveæana za 175,53%. Utvrðeni rezultati pokazuju slabe uèinkeulaganja u gospodarstvo, zato je potrebno graditi uèinkovitijuekonomsku politiku, a naroèito proraèunsku, u smjeru dinamiènijegagospodarskog razvitka.

Napomena:

Uspostavljanjem linearnih proporcija izmeðu makroekonomskih velièina moguæ je razvitak

gospodarstva bez kriza i bez veæih poremeæaja. Do usporavanja gospodarske aktivnosti dolazi

ako poremeæaji proporcija traju du�e. Takvi se odnosi prikazuju izmeðu bruto domaæeg

proizvoda (BDP-a) i prihoda dr�avnog proraèuna. Tako rješenje X2 pokazuje poveæanje bruto

domaæeg proizvoda (BDP-a) u visini od 61,94%, dok se istovremeno prihodi dr�avnog

proraèuna znatno uveæavaju za 78,51%. Takvi odnosi izmeðu navedenih makroekonomskih

velièina nepovoljno utjeèu na gospodarski razvitak.

SIMULACIJA MAKROEKONOMSKIH VELIÈINAREPUBLIKE HRVATSKE OD 1995. DO 2001. GODINE

U prethodnom dijelu ovog rada opisani matematièki model(jednad�ba razvitka) predstavlja pogodno sredstvo za simulacijugospodarskih odnosa za du�e razdoblje. Ovdje æe se prikazatisimulacija prihoda, rashoda (kapitalnih rashoda i ostale kupovinedobara i usluga) dr�avnog proraèuna, bruto domaæeg proizvoda(BDP-a) i ulaganja od 1995. do 2001. godine. U nastavku je danprikaz ostvarenih i planiranih makroekonomskih velièina.



Tablica 4.

Bruto domaæi proizvod (BDP), prihodi, rashodi (kapitalnirashodi i ostale kupovine dobara i usluga) dr�avnog proraèunaRepublike Hrvatske od 1995. do 2001. godine.

u mlrd. kuna

NazivOstvareno

1995.

Planirano

1999.

Indiv.

koef.

Bruto domaæi proizvod (BDP) 98,382 169,800 1,725925

Prihodi dr�avnog proraèuna 27,981 49,680 1,775490

Kapitalni rashodi i ostale kupovine

dobara i usluga13,605 12,615 0,927233

– kapitalni rashodi 2,980 4,936 1,656376

– ostale kupovine dobara i usluga 10,625 7,679 0,722729

Ulaganja gospodarskih subjekata 13,580 *35,590 2,620766

Izvor:

Preraèunate vrijednosti, Mjeseèni statistièki prikaz, Ministarstvo financija, Zagreb, svibanj

2001, DSZ, S4H/1997, str. 171.

*Procjena Ministarstvo financija Republike Hrvatske

Na temelju individualnih koeficijenata, izraèunatih u tablici 4.konstruirat æe se trapez (slika 5.)

U prikazanom trapezu na slici 5. duljina stranice AC predstavljaindividualni koeficijent prihoda dr�avnog proraèuna, a duljinastranice BC individualni koeficijent bruto domaæeg proizvoda(BDP-a). Duljina stranice AA’ predstavlja individualni koeficijentkapitalnih rashoda i ostale kupovine dobara i usluga dr�avnogproraèuna. Zatim, u prikazanom trapezu duljina stranice BB’predstavlja individualni koeficijent u ulaganja gospodarskihsubjekata.



Na temelju individualnih koeficijenata, izraèunatih u tablici 4.konstruirat æe se trapez:

Slika 5.

Izvod linearne trigonometrijske jednad�be pomoæu trapeza


Napomena: Prikazani trapez (sl. 5) uveæan je u odnosu na prikazane velièine radi bolje

preglednosti u prikazivanju.

U prikazanom trapezu na slici 5. duljina stranice AC predstavljaindividualni koeficijent prihoda dr�avnog proraèuna, a duljinastranice BC individualni koeficijent bruto domaæeg proizvoda(BDP-a). Duljina stranice AA’ predstavlja individualni koeficijentkapitalnih rashoda i ostale kupovine dobara i usluga dr�avnogproraèuna. Zatim, u prikazanom trapezu duljina stranice BB’predstavlja individualni koeficijent u ulaganja gospodarskihsubjekata.

Ako se u trigonometrijsku jednad�bu (16) za a i b uvrste velièine iztablice 4. i c koji se izraèunava prema formuli 2., dobiva se



Da bi se riješila trigonometrijska jednad�ba (45), potrebno je nacrtatitrigonometrijsku kru�nicu K. Ako se presijeèe trigonometrijskakru�nica K pravcem (46), dobivaju se toèke sjecišta.

Slika 6.Grafièki prikaz rješenja linearne trigonometrijske jednad�be

Legenda:

polumjer kru�nice 1

x = bruto domaæi proizvod (BDP)

y = prihodi dr�avnog proraèuna

p = jednad�ba pravca


Toèke sjecišta na trigonometrijskoj kru�nici (sl. 6) jesuRješenja su kutovi:



lukovi za poznate velièine kutova

ureðeni parovi koji pripadaju toèkama:T•

1 (0,852798, 0,522241) iT•

2 (

0,497893, 0,867238).Vrijednosti u toèkama T•

1 I T•

2 mogu seizraèunati i analitièkim postupkom. Ako se u trigonometrijskukru�nicu K(15)

uvrsti

slijedi

i rješavanjem

dolazi se do kvadratne jednad�be



a rješenja su

apscise sjecišta trigonometrijske kru�nice K i pravca p

Ako se u formulu (52) uvrste izraèunate vrijednosti za X1 i X2,dobivaju se ordinate sjecišta.Tako je Y1

i Y2



Tako utvrðena rješenja jednaka su rezultatima dobivenimgrafièkim prikazom (slika 6). Tako utvrðene velièine mogu seizraziti i u postocima (%). Stoga prvo rješenje (X1) pokazujepoveæanje bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) u razmatranomrazdoblju za 85,28% i prihoda dr�avnog proraèuna (Y1) za52,22%.

Drugo rješenje (X2) pokazuje poveæanje bruto domaæegproizvoda (BDP-a) za 49,79% i prihoda dr�avnog proraèuna(Y2) za 86,72%. Tako se mogu odabrati povoljna rješenjameðuodnosa makroekonomskih velièina. Osim toga, utvrðenoje i poveæanje ulaganja u gospodarstvo za 139,91%, a planiranoje u visini od 154,80%.

ZAKLJUÈAK

U ovom je radu prikazan ekonomsko-matematièki model za analizustanja i dinamike kretanja makroekonomskih velièina gospodarstvaRepublike Hrvatske. Tim matematièkim modelom analiziraju seodnosi i veze izmeðu prihoda, rashoda (kapitalnih rashoda i ostalekupovine dobara i usluga) dr�avnog proraèuna, bruto domaæegproizvoda (BDP-a) i ulaganja radi utvrðivanja odgovarajuæihlinearnih meðuodnosa. Ova postignuta ravnote�a meðuodnosamakroekonomskih velièina pridonosi ostvarivanju djelotvornogagospodarstva Republike Hrvatske. U razdoblju od 1995. do 1999.utvrðeno je znatno poveæanje bruto domaæeg proizvoda (BDP-a ) uiznosu od 24,754 milijarde kuna ili 69,07%, dok prikazanopoveæanje ostvarenja u tom razdoblju iznosi 43,91%. Stoga je takvopoveæanje bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) u analiziranomrazdoblju istovremeno utjecalo i na poveæanje prihoda dr�avnogproraèuna u iznosu od 1,837 milijardi kuna ili 72,32%. Umeðuvremenu, prihodi dr�avnog proraèuna u analiziranom razdobljuporasli su u visini od 65,67%. Utvrðene linearne promjenemakroekonomskih velièina utjecale su izravno i na poveæanje



ulaganja u gospodarstvo i ona iznose 119,20%, a stvarna ulaganjapoveæana su za 175,53%. Tako utvrðene razlike izmeðu ostvarenih iutvrðenih makroekonomskih velièina pokazuju poremeæaje ugospodarskom sustavu.

U ovom se radu pokazuje simuliranje programiranih prihoda, rashoda(kapitalnih rashoda i ostale kupovine dobara i usluga) dr�avnogproraèuna, bruto domaæeg proizvoda(BDP-a) i ulaganja od 1995. do2001. godine. Utvrðivanje kvantitativnih rezultata promjenaimperativ je gospodarske ravnote�e. Stoga, prvo rješenje (X1)pokazuje poveæanje bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) u visini od85,28%, a drugo (X2) za 49,79%. To poveæanje bruto domaæegproizvoda (BDP-a) istovremeno zbog meðuovisnosti utjeèe i napoveæanje prihoda dr�avnog proraèuna. Tako prvo rješenje (Y1)pokazuje poveæanje prihoda dr�avnog proraèuna za 52,22%, a drugo(Y2) za 86,72%. Stoga se u ovim okvirima mogu odabirati povoljnijarješenja meðuodnosa makroekonomskih velièina gospodarskogsektora.

Promjene makroekonomskih velièina izravno utjeèu i na poveæanjeulaganja i utvrðena su u visini od 139,91%, dok programirano iznosi154,81%. Zato je va�no postiæi ravnote�u (gospodarskog sektora)proraèunske politike i bruto domaæeg proizvoda (BDP-a) da bi setrajno postigla odgovarajuæa uèinkovitost dr�avnog proraèuna.

SUMMARY

The basic functions of the state (fiscal policy) are stability, directingand encouraging economic development. In order to achieve a stableand dynamic economic development in complex conditions of thewider environment, incentives, economic and especially fiscal policyinstruments should be used primarily. Thus, by applying numerousfiscal policy instruments (taxes, customs duties etc.), the sources ofincome of the government budget are established, which is used to fi-nance the expenditure to satisfy public needs. This way, the influenceof the government expenditure is increasing in the sphere of economyflows regulation and economic development direction of economyflows.

Measuring the influence of the state (fiscal policy) on the economy(stability and development) is enabled by the development of eco-nomic-mathematic models.



This paper shows such an economic-mathematic model. The modelhas been developed on the basis of the geometric quadrilateral figure(trapezoid). If trigonometric functions are applied to the set quadrilat-eral figure (trapezoid), a trigonometric equation linear in sinx andcosx is obtained. Such equation will in this paper be called the devel-opment equation. The solutions of this equation are different linejoint points and trigonometric circles. Thus a graphic solution of a lin-ear trigonometric equation is obtained.

The application of this equation in the analysis of the interdependenceof macroeconomic values (income, part of government expenditure,GDP and investment) represents an efficient means for static and dy-namic defining and coordination of their relations and connections.

Besides, this mathematic model (equation) of development can beused to stimulate the continuity of linearity between these macroeco-nomic values.

This analysis of the relations and connections between income andpart ofthe government expenditure, GDP and investment enables the identi-fying of the real state of things, the defining of development dynam-ics and the selection of their optimal relations. The determined quan-titative interrelations of macroeconomic values can contribute to afaster stable economic development of the Republic of Croatia.

LITERATURA

Bader, H., Frölich S. (1980), Matematika za ekonomiste, Rad, Beograd.

Car, M. (1973), Matematika za ekonomiste, Narodne novine, Zagreb.

Ivanoviæ, B. (1976), Matematika za ekonomiste, Nauèna knjiga, Beograd.

Kurepa, S. (1970), Matematièka analiza, 1. dio, Diferenciranje iintegriranje, Tehnièka knjiga, Zagreb.

Martiæ, Lj. ( 1972), Matematièke metode za ekonomske analize, I. sv., 3.izdanje, Narodne novine, Zagreb.

Mintakoviæ, S., Æuriæ, F. (1972), Osnove matematike, Školska knjiga,Zagreb.

Palman, D. (1995), Geometrijske konstrukcije, Element, Zagreb.

Pavkoviæ, B., Veljan, D. (1995), Elementarna matematika 2, Školska knjiga,Zagreb.



izrada matematiÈkog modela za analizu dravnog … · 2008. 10. 23. · tako izvedena...

Documents