jb wave book

7/23/2019 JB Wave Book

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Wave Book

Jacopo Bertoli

30 novembre 2015


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Indice

1 Meccanica dei fluidi 3

2 Acustica Lineare 4

2.1 Grandezze in gioco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Onde Acustiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Velocita e Densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Onde di Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Energia ed Intensita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Segnali e Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Acustica Nonlineare 163.1 Nonlinearita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Equazioni di bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Onde acustiche nei fluidi non dissipativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Onde tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Onde acustiche nei fluidi termoviscosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1 Equazioni di bilancio al secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.2 Equazione donda al secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Propagazione del suono 394.1 Formule utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Intensita e pressione sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Comb Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Elettroacustica 415.1 Legge di Ohm e Impedenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Impedenza e accoppiamenti in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Trasformatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Microfoni e tecniche di ripresa 45

1


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INDICE 2

6.1 Classificazione per oggetto della misurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Classificazione per meccanismo di trasduzione . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Classificazione per meccanismo di percezione . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4 Caratteristiche tecniche di un microfono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


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Capitolo 1

Meccanica dei fluidi

3


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Capitolo 2

Acustica Lineare

4


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Capitolo 3

Acustica Nonlineare

Lobiettivo di questo capitolo e ricavare e studiare lequazione nonlineare delle ondeacustiche. Dopo aver introdotto il concetto di nonlinearita e gli sviluppi necessari perpoterne quantificare gli effetti sulla propagazione delle onde sonore, ricaveremo lequa-zione delle onde.Per meglio evidenziare la intrinseca nonlinearita nella propagazione sonora partiremodalle equazioni di stato termodinamiche e dalle equazioni di bilancio della meccanica deicontinui (massa, momento ed entropia).

Nel caso di fluidi non dissipativi, i termini nonlineari saranno legati solo alla dipendenzadella velocita del suono dalla pressione, e portano alla formazione di armoniche superio-

ri. Introducendo i termini dissipativi nelle equazioni di bilancio si evidenziano ulteriorifenomeni di allargamento dello spettro di frequenze del campo sonoro. Infatti gli effettinonlineari si ampliano e conducono ad una complessa equazione donda che sara pos-sibile approssimare al secondo ordine nel numero di Mach. Tale equazione puo essereulteriormente semplificata a seconda delle caratteristiche specifiche dei sistemi acusticipresi in esame, tali risultati sono raccolti in appendice.

5


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CAPITOLO 3. ACUSTICA NONLINEARE 6

3.1 Nonlinearita

La nonlinearita dell equazione delle onde sonore deriva essenzialmente da due fattori:

la dipendenza della velocita di propagazione dal valore della pressione e la presenza deitermini dissipativi nelle equazioni costitutive del mezzo materiale che attraversano.Ad esempio, considerando la propagazione di un onda sinusoidale alla sorgente, si ha chei picchi viaggiano ad una velocita maggiore delle valli, il che genera una distorsione cheporta alla formazione di armoniche superiori e alla deformazione del segnale.

Dallo sviluppo di Taylor, effettuato in origine da Fox e Wallace nel 1954, per le variazionidi pressione in termini di variazioni di densita nelle trasformazioni adiabatiche reversibi-li a composizione chimica costante, e possibile ottenere un parametro fondamentale chequantifica la nonlinearita di un mezzo acustico, il coefficiente di nonlinearita.1

Data lequazione di stato P = P(, s), definita la densita e s lentropia specifica,avremo attorno alla curva isentropica s = s0:

P P0=

P

0,s0

( 0) + 1

2!

2P

2

0,s0

( 0)2 +... (3.1)

dove le derivate sono calcolate nello stato imperturbato (0, s0).Ponendop = P P0 la pressione sonora e

= 0 la deviazione della densita dallostato imperturbato, si arriva alla forma

p= A 0 + B

2!

02

+C

3!

03

+... (3.2)

con

A= 0

P

0,s0

B= 20

2P

2

0,s0

C=30

3P

3

0,s0

(3.3)

Possiamo quindi definire formalmente la velocita c0 per i segnali di piccola ampiezza e,attraverso questa, il coefficiente B /A:

c20:=

P

0,s0

= A

0(3.4)

B

A =0c20

2P2

0,s0

(3.5)

Definiamo allora il Coefficiente di Nonlinearita:

:= 1 + B

2A (3.6)

1Uno sviluppo alternativo, che porta ad una formulazione analoga, si pu o ottenere analizzando lapressione in termini della velocita delle particelle del mezzo, in accordo con la teoria cinetica dei gas.


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Alternativamente, in termini di velocita del suono, avremo c2 =P

s

,2P2

s

=

c2

s = 2c3

cPs che, sostituendo nella (3.5), allo stato di equilibrio conduce a

B

A = 2c00

c

P

0,s0

(3.7)

Per preservare ladiabaticita delle trasformazioni la pressione dovra variare in manierarapida e libera da vincoli come, appunto, nelle onde sonore.Sviluppando la (3.7) e introducendo la temperatura si ottiene [11]:

B

A = 2c00

c

P

T0

+2Tc0T0

cp

c

T

P0

=:

B

A

T

+

B

A

P

(3.8)

postiT = 1

T P0 il coefficiente di espansione termica, cp il calore specifico a pressio-ne costante e 1 il volume specifico.

Questo ulteriore sviluppo mette in evidenza la dipendenza di dalla pressione e dallatemperatura separatamente: i termini

BA

T

eBA

P

indicano rispettivamente il coeffi-ciente a temperatura costante e il coefficiente a pressione costante.

Il coefficiente dellordine successivo dello sviluppo e di scarso utilizzo, ma si potra scriverecome [11]:

C

A =

3

2

B

A

2+ 2c30

20

2c

P2

s0

(3.9)

Gas Perfetti

Per i gas perfetti, i coefficienti di sviluppo sono espliciti e dipendono dal coefficiente= cpcv . Lungo una curva isentropica, abbiamo:

P

P0=

0

=

1 +

0

1 +

0

+

2!( 1)

0

2

+

3! ( 1)( 2)

03

+...

(3.10)

confrontando lo sviluppo in questione con quello di Fox e Wallace (3.2) otteniamo:

c20= P00

, B

A = ( 1),

C

A = ( 1)( 2), ... (3.11)

I termini successivi vengono trascurati nellanalisi di fenomeni ad ampiezza finita.


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Interpretazione di B/A

Dallo sviluppo per la pressione sonora (3.2) e dalla definizione di c2 si ottiene,

c2

c20= 1 +

B

A

0+

C

2A

0

2+... (3.12)

da cui, estraendo la radice e espandendo binomialmente,

c

c0= 1 +

B

2A

0+

1

4

C

A

1

2

B

A

2 0

2+... (3.13)

il che mette in evidenza quanto B/A influenzi la deviazione di c dal segnale di piccolaampiezza di velocita c0.

Per unonda piana progressiva vale la relazione lineare

0 = u

c0 in cui u rappresenta lavelocita di una particella nel fluido. Sostituendo questa nella relazione (3.13) e scartandoi termini di ordine superiore al primo si ha:

c=

dx

dt

u

=c0+

B

2A

u (3.14)

La velocita di propagazione in un gas adiabatico, trascurando le variazioni di tempera-tura, e quindi

c= u+c0 (3.15)

con, ancora, = 1 + B2A .

Inoltre si calcola che la distanza di Shock-Formation (oltre la quale predomina landa-mento non-lineare) per unonda sinusoidale alla sorgente e x = 1k [11], dove e lavelocita della particella nel picco alla sorgente e k e il numero donda corrispondente.Quindi quantifica in maniera definitiva il comportamento nonlineare del fluido.


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Solidi Isotropici

Per completare la discussione mostriamo i risultati relativi comportamento acustico dei

solidi isotropici sottoposti ad onde longitudinali descritto da Goldberg [9]:

=

3

2+

A+ 3B+ C

0c20

(3.16)

in cui c0 e la velocita del suono per segnali di piccola ampiezza, mentre A, B e C sonole costanti T.O.E. Third Order Elastic Costants [14], le cui misurazioni sono stateeffettuate sperimentalmente da Breazeale e Philip [5].Dalla teoria di Goldberg si desume che per un fluido vale:

A= 0, B = A, C=

A B

2 . (3.17)

Ricordando che A = 0c20, si deduce nuovamente la definizione di (3.6).

Risultati

In definitiva abbiamo che:

=

+12 per i Gas Perfetti

1 + B2A per i Liquidi

32+

A+3B+C0c2l

per i Solidi Isotropici

Nella misurazione di B/A nel caso dei gas liquefatti e possibile, sperimentalmente, di-stinguere i coefficienti

BA

T

eBA

P

della (3.8), ottenendo solo valori negativi per ilsecondo termine (a pressione costante), il quale contribuisce quindi ad abbassare il gra-do di non-linearita.

Riportiamo alcuni valori tipici dei parametri individuati nellargomentazione. Tutti i

seguenti valori sono tratti da [4]:


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MATERIALE min max

Acqua distillata 3.5 3.6

Acetone 5.6 /

Acqua marina (3.5 %) 3.625 /

Fegato umano / 4.8

Grasso umano 5.605 5.955

Milza umana / 4.9

Tabella 3.1: Valori di a temperatura e pressione ambiente.

MATERIALE T[K] B/A

Azoto 70 7,7080 8,0390 9,00

Idrogeno 14 5,5916 6,8718 7,6420 7,79

Metano 110 17,95120 10,31130 6,54

135 5,41

Tabella 3.2: Valori di BA nei gas liquefatti a a P=1atm.


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MATERIALE T[C] B/A

Acqua Distillata 0 4,220 5,040 5,4

60 5,780 6,1

100 6,130 5,2

P=190atm. 30 6.2P=3800atm. 30 6,2P=7750atm. 30 5,9

Acqua Marina (3,5%) 20 5,25

Metanolo 20 9,6Etanolo 0 10,4

20 10,540 10,6

Mercurio Liquido 30 7,8Potassio Liquido 100 2,9Sodio Liquido 110 2,7

Gas Monoatomico 20 0,67Gas Biatomico 20 0,40

Tabella 3.3: Valori di BA nei fluidi a P=1atm.


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3.2 Equazioni di bilancio

Il primo passo per costruire un modello che descriva i comportamenti acustici di un

fluido e introdurre le equazioni di bilancio, la cui derivazione e messa in luce in [14].Queste leggi esprimono implicitamente lequazione delle onde propria del mezzo, la qua-le, attraverso semplici manipolazioni algebriche ed eventuali approssimazioni, andremosuccessivamente ad esplicitare.In secondo luogo e necessario assumere che:

il fluido sia omogeneo in composizione,

la pressione e la densita imperturbate siano uniformi,

la dipendenza dei coefficienti di viscosita e conducibilita termica dalla perturba-zione acustica possano considerarsi trascurabili.

Equazione di Continuita, Bilancio della Massa

Definiamo innanzitutto la derivata totale, detta anche materiale, nel tempo come se-gue:

D

Dt=

t+ u (3.18)

Tale formula di derivazione esprime la dipendenza di un campo dal tempo in un sistemadi riferimento solidale alla particella in moto. In questo senso e introdotto il secondotermine dellespressione, risultato della derivazione per composizione di un campo ma-teriale riportata in coordinate spaziali.

Siano la densita di massa e u il vettore velocita delle particelle nel fluido, dalladefinizione di massa e densita si ottiene facilmente lequazione di continuita:

D

Dt + u= 0 (3.19)

che rappresenta il bilancio locale della massa.

Bilancio del Momento, Equazione del Moto

Il bilancio dei momenti e degli sforzi si esprime in funzione dei coefficienti di visco-sita attraverso la legge di Cauchy-Poisson2, che introdotta nellequazione del moto3

2Secondo tale legge, il tensore degli sforzi di Cauchy assume la forma T = (p+ u)I+ 2D,doveI e lidentita, D e il tensore di deformazione, ovvero la parte simmetrica del gradiente di velocitae = B+

1

3 e la viscosita scomposta tensorialmente.

3Lequazione del moto, secondo il postulato di Cauchy sul tensore degli sforzi T si scrive ut

=

b + T, dove b e la densita del campo di forze esterne.


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rende:

Du

Dt + P =2u +

B+

1

3

( u) (3.20)

E importante notare che, secondo lequazione di continuita, nel caso di un fluido incom-primibile, si avrebbe =cost e quindi u= 0. Di conseguenza il termineB sparirebbedallequazione, ma per definizione non avremmo onde acustiche tra le soluzioni del pro-blema. La viscosita e una quantita tensoriale che puo essere scomposta in diversi modiin due componenti indipendenti. La decomposizione piu usuale produce i coefficientiviscosita di taglio e di volume.

P: Pressione Termodinamica derivata dallequazione di stato P =P(, T);

: Viscosita di Taglio (Shear Viscosity). Tiene conto della diffusione di momentotra sezioni di fluido adiacenti che hanno velocit a diverse. Semplicemente, e il

rapporto tra la pressione esercitata sulla superficie della sezione e la variazione divelocita nel fluido allinterno;

B : Viscosita di Volume (Bulk Viscosity). Rende una descrizione approssimati-va della deviazione dallo stato di equilibrio tra la pressione locale e la pressionetermodinamica a basse frequenze;

E pero necessario tener conto dei tempi di rilassamento legati allelasticita del mezzo,che in alcuni casi giocano un ruolo fondamentale: solo supponendo che questi risultinopiccoli rispetto ai periodi 1f delle perturbazioni acustiche la (3.20) risulta una validaapprossimazione dellequazione per il momento.


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Bilancio dellEntropia

Unaltra fondamentale equazione che descrive il comportamento di un mezzo acustico,

e il bilancio dellentropia. Legato ai principi della termodinamica, esso rappresenta unacondizione imprescindibile per modellizzare le vibrazioni meccaniche.Siano s lentropia specifica per unita di massa, T la temperatura assoluta e la condu-cibilita termica. Indicando con{i,j,k} le direzioni di una terna cartesiana destrorsa econ i,j il simbolo di Kronecker si ha [14]:

TDs

Dt =2T+B( u)

2 +1

2

uixj

+ ujxi

2

3i,j

ukxk

2(3.21)

In questa espressione si e adottata la convenzione di somma di Einstein sugli indici(i,j,k) nello sviluppo del quadrato dellultimo termine.

Equazione di Stato

Lequazione di stato e lequazione termodinamica che lega pressione, temperatura edensita (alla maniera della nota legge dei gas perfetti P V = nRT). Tuttavia, perconvenienza, e bene averla scritta nelle variabili (P,,s) anziche (P,,T). Esplicitandola pressione abbiamo quindi:

P =P(, s) (3.22)

Per un gas perfetto = cpcv e PT sono costanti, quindi:

P

P0=

0

e

ss0cv

(3.23)

considerando P0, 0 e s0 i valori di riferimento imperturbati.Tuttavia lapprossimazione a gas perfetto si rivela troppo restrittiva e si rende necessario,espandere la (3.23) in serie di Taylor attorno al punto (0, s0).


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3.3 Onde acustiche nei fluidi non dissipativi

Trascurando ogni forma di dissipazione poniamo: ,,B=0. Avremo quindi che le-

quazione di bilancio dellentropia (3.21) diventa

TDs

Dt = 0 (3.24)

Cio significa che il fluido sara inizialmente uniforme cons=s0 ovunque, e s sara costan-te. Quindi lequazione di stato (3.22) e riducibile alla sola dipendenza dalla variabiledensita:

P =P() (3.25)

Lequazione di bilancio del momento (3.20) sara invece:

Du

Dt + P = 0 (3.26)

che e sostanzialmente lequazione di Eulero4 nel caso comprimibile.Lequazione di continuita (3.19) resta ovviamente invariata.

3.3.1 Onde piane

Le soluzioni esatte per il sistema

DDt + u= 0

DuDt + P = 0

s= s0

P =P()

sono le onde piane nei fluidi non dissipativi uniformi [14, 11].Partendo dallequazione di stato definiamo le quantita:

c2 :=

P

s

, dP =c2d (3.27)

:=

o

c

d=

P

P0

dP

c (3.28)

Nonostante il limite inferiore di integrazione sia di fatto arbitrario, lo identifichiamoproprio con lo stato uniformemente imperturbato (0, P0). Inoltre c sara nuovamente lavelocita del suono.

4Lequazione di Eulero, si ottiene dallequazione del moto ut

= b+ T nella quale si pone ilcampo delle forze esterne b nullo ovunque. T e il tensore degli sforzi di Cauchy: nel caso dei fluidi nonviscosi si considerano nulli gli sforzi di taglio e quindi la viscosita, di conseguenza il termine T siriduce al solo gradiente di pressione cambiato di segno. Formalmente, la pressione e definita propriocome la quantita che soddisfa tale condizione.


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Propagazione unidimensionale di un onda piana

Assumendo che londa si propaghi lungo lasse X, le equazioni (3.19) e (3.26), in forma

unidimensionale, si riducono a:

t +u

x+c

u

x= 0 (3.29)

u

t +u

u

x+ c

x = 0 (3.30)

questo, poiche da (3.27) e (3.28) si ha

t =

c

t,

x=

c

x,

P

x =c

x. (3.31)

Definiamo ora i due Invarianti di Riemann:

J+=1

2(+u), J=

1

2( u) (3.32)

Sommando e sottraendo (3.29) e (3.30), otteniamo:

J+t

+ (u+c)J+x

= 0, J

t + (u c)

Jx

= 0 (3.33)

che descrivono landamento propagatorio oscillante lungo lasse X di J+ e J, rispetti-vamente alle velocita

dxdt

J+

= (u+c) e

dxdt

J

(u c).

Siccome le quantita u, P e c dipendono in genere sia da J+ che da J, queste nonsoddisfano le equazioni (3.33). Fanno pero eccezione le onde semplici, generate daparticolari condizioni di frontiera che limitano in una direzione la propagazione dellaperturbazione, altres dette onde progressive.Supponendo che la regione di fluido x < x0 sia imperturbata t > t0, si ottiene cheJ+= u = e J= 0 x > x0, t > t0 [11]. In questo caso, dalla (3.28):

=

0

c

d= u (3.34)

Esistera allora una relazione biunivoca tra la perturbazione della velocita del fluido e laperturbazione di pressione e densita. Chiameremo le soluzioni dipendenti da entrambi

gli invarianti onde composte.Per le onde semplici le (3.33) si ridurranno ulteriormente alla forma:

q

t + (c+u)

q

x= 0

dx

dt

q

=c+u (3.35)

dove q e una delle quantita u, P P0, 0 o una qualsiasi combinazione lineare diqueste.


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Le (3.35), come le (3.33) sono valide per le assunzioni fatte in partenza e le condizioniposte. Storicamente vennero ricavate per gas perfetti isotermici nei qualice una costanteindipendente da u e da 0.

Cerchiamo le soluzioni delle equazioni (3.35):Poniamoq=ueg una funzione arbitraria. Una soluzione generale implicita valida e une-stensione della legge di Poisson per le trasformazioni isotermiche nei gas perfetti:

u= g (x (u+c)t) (3.36)

che e soluzione temporale per problemi agli stati iniziali del tipo u = g(x)t=0.

Per problemi agli stati di confine geometrico, quando ad esempio e data una sorgenteu= f(t)x=x0 e ci si chiede come sara il campo acustico nei punti x > x0, e conveniente

rimanipolare la (3.35) come segue:

q

x+

1

c+u

q

t = 0

dt

dx

q

= 1

c+u (3.37)

il ruolo di x e t e semplicemente scambiato, e la soluzione implicita con q= u e

u= f

t

x

(u+c)

(3.38)

Onde Progressive nei Gas Perfetti

Inserendos = s0 nella (3.23) e considerando la (3.27), si ha:

P

P0=

0

=

c

c0

21

; c2 =P

(3.39)

dove, al solito, c0 e la velocita del suono valutata nello stato di equilibrio. In forma

differenziale si avra inoltre che du =c

d= c d (ln ) quindi:

du= 2cd(ln c)

1 dc=

1

2( 1)du (3.40)

che puo essere integrata per ottenere, senza alcuna approssimazione:

a)c = c0+1

2( 1)u, b)c+u= c0+u, c)=

1

2(+ 1) (3.41)

per ritrovare nuovamente , il coefficiente di nonlinearita, e ottenere inoltre:

u= = 2c c0 1


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Onde Progressive nei Fluidi Arbitrari

Per un fluido arbitrario potremo scrivere la (3.41-b) come sviluppo di Taylor:

c+u= c0+ (0)u+1

2(0)u2 +... (3.42)

dove indica la derivata d(c+u)du per le onde semplici in propagazione positiva (=u).

, nei gas perfetti, risulta essere una costante. Anche nel caso di fluidi arbitrari si usaidentificare il valore 0 = (0) con il parametro. Inoltre [14] mette in luce limportanzadel parametro () nella termodinamica dei gas e, ponendo v=1 il Volume Specifico, siha:

= c4

2v3

2v

P2

s

= 1 +

2c2

2P

2

(3.43)

Dalla (3.5), la seconda uguaglianza conduce direttamente a

0= 1 + B

2A= (3.44)

La prima uguaglianza nella (3.43) mette invece in evidenza che se lisentropica v(P) pers=s0 e una linea retta (derivata seconda nulla), la propagazione delle onde acustichee lineare per tutte le ampiezze: essendo nullo, non ci sono forme donda cumulativeche causano distorsione del segnale (sempre in assenza di dissipazione). Questultimorisultato e noto come Legge di Earnshow.E interessante notare che il risultato per un gas perfetto, conduce a =, ma si trattadi un caso molto particolare, infatti non e una costante.In ultimo Thompson nel 1984 discute il fatto che si possano avere valori negativi di

attorno ai punti critici nel moto del fluido [11].

Stima dellErrore

Nel caso in cui la nonlinearita quadratica sia sufficiente a descrivere il problema diampiezza finita, e possibile sostituire lapprossimazione al primo ordine nel termine nonlineare. In particolare q=u nella (3.37) e c +u c0+u.Espandendo binomialmente (c0+ u)

1 al primo ordine in u si ottengono lequazione, ela sua soluzione:

u

x +

1

c0

u

t =

c20 u

u

t u= f

t

x

c0 +x

u

c02

(3.45)

Riscriviamo la soluzione nella forma u= f(t), e notiamo chet= t xc0 + xuc20

e proprio

lapprossimazione del termine esatto di (3.38). Lespansione in serie della soluzione esatta(3.38), e lespansione binomiale del suo argomento per un gas perfetto porta a:

u= f(t) 2x

c30f2(t)f(t) +... ; f =

df

dt (3.46)


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Per onde piane in aria =1, 2. Supponendo di avere una sorgente che emette un suonopuro f(t) = u0sin(t), lerrore relativo

|uu|u0

e minore dello 0,5% per valori u0c0 = 102

ossia (154dBSPL rif. 20P a)5.

In questo ordine di approssimazione e quindi piu che giustificabile la sostituzione di con .

5La scala utilizzata per esprimere il valore di pressione sonora (Sound Pressure Level) e costruitaattraverso il logaritmo del rapporto della pressione sonora esercitata dalla vibrazione e la pressioneminima percepibile dallorecchio umano: p0 = 20Pa. In particolare la pressione sonora in DeciBell sicalcola seguendo la formula: dBSPL= 20ln10

pp0

. Nel caso specifico si ha che unonda sonora che soddisfiu0c0

= 102 genera una pressione sonora di 154dbSPL. Per avere un termine di paragone si noti che unjet in decollo a 10m di distanza genera una pressione sonora di 140dbSPL.


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3.3.2 Onde tridimensionali

Per completare lanalisi delle perturbazioni acustiche nei fluidi non dissipativi, ricaviamo

le equazioni che descrivono onde tridimensionali che mantengano il moto irrotazionale.Questultima restrizione implica che P = P() e consente inoltre di introdurre un po-tenziale scalare per il campo di velocita. Entrambe le richieste sono soddisfatte da unfluido non dissipativo il cui stato imperturbato sia completamente uniforme, in quanto,dallequazione (3.21), DsDt = 0 quando , , B=0.Un modello cos restrittivo trova applicazioni riconoscendo che ogni fluido ha viscositafinita e, nonostante il fatto che la vorticita generata dalle pareti solide immerse nel flus-so si diffonde in tutto il fluido, la scala di lunghezza della diffusione e molto corta perfrequenze acustiche.Ponendo nulla la vorticita e trascurando gli stress viscosi, e possibile provare che nel-la maggior parte dei problemi e possibile escludere drasticamente le regioni di fluido

vicine alle pareti solide.

Consideriamo un flusso non dissipativo, irrotazionale (u= 0) e omentropico (entropiacostante nel tempo e uniforme nello spazio) che si estenda allinfinito, con u = eDsDt = 0, dove e il potenziale cinetico. Le equazioni (3.19) e (3.20) in termini di sipossono riscrivere come [11]:

t + +2= 0 (3.47)

t +

1

2||2

+

P

= 0 (3.48)

dove ||2 = () (). Introduciamo la funzione

q=

PP0

dP

=

0

c2

d (3.49)

dove gli integrali sono valutati lungo s=s0. Ora P = qe si puo integrare rispettoalle coordinate spaziali per ottenere:

t +

1

2||2 +q= 0 (3.50)

la costante di integrazione e presa uguale a zero per le condizioni di contorno allinfinito,

dove il campo sonoro tende a zero. Ora, tramite la definizione di q, il sistema formatoda (3.49) e (3.50) puo essere risolto nelle variabili e .

Per un gas perfetto, unequazione donda in si ricava integrando lequazione di stato

(3.39) attraverso (3.49) ottenendoq= c2c2

0

1 che, sostituita in (3.50), rende

c2 =c20 ( 1)

t +

1

2||2

. (3.51)


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La relazione differenziale dc2

d = (1)c2

dalla (3.39) permette di riscrivere la (3.47)come

c2

t + c2 + ( 1)c22= 0 (3.52)

Sostituendo ora (3.51) in (3.52) si ottiene lequazione donda in :

c202

2

t =

2

t +

1

2||2

+ ( 1)

t +

1

2||2

2 (3.53)

Lequazione (3.53) e esatta per gas perfetti non dissipativi, ma non ha soluzioni analiti-che esplicite, a parte le onde piane dei flussi considerati nella sezione (3.3.1); tuttavia sitratta di un ottimo punto di partenza per unanalisi perturbativa dei fenomeni acusticinon lineari.


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3.4 Onde acustiche nei fluidi termoviscosi

Nella sezione precedente abbiamo descritto il comportamento nonlineare dei campi so-

nori, trascurando i fenomeni dissipativi. Come abbiamo visto, la nonlinearita e daimputarsi essenzialmente alla presenza di un termine

2P2 = 0 in (3.3) che nella (3.8) si

traduce nei termini cP = 0 e cT = 0.

Ora vediamo come ampliare il modello, riconsiderando le equazioni di bilancio, ai fluidi incui i termini legati alla viscosita e alla conduzione di calore influenzano la propagazionedelle perturbazioni sonore. Ricavata lequazione delle onde, difficilmente manipolabileanaliticamente, e comunque possibile costruire delle approssimazioni che abbiano solu-zioni analitiche e numeriche piu semplici.

Per descrivere la propagazione del suono in un fluido dissipativo, abbandoniamo la ricerca

di soluzioni esatte per applicare delle approssimazioni ad hoc basandoci sulle equazionidi bilancio originali, da (3.19) a (3.22). Il nostro scopo e quello di scrivere un set diequazioni che descriva un campo acustico di ampiezza finita tridimensionale ad un certoordine nel Numero di Mach =u0c0 . u0 rappresenta la velocita acustica tipica delleparticelle nel campo sonoro, ci riferiremo al suo ordine di grandezza piu che al suo valo-re specifico. Sperimentalmente cresce allaumentare della pressione acustica, insiemeagli effetti di distorsione. La validita della scelta di utilizzare come parametro per gliordini infinitesimi, si evince dai suoi valori tipici ad alte pressioni acustiche: ad esempio=102 per [154dB rif. 20Pa] in aria o [264dB rif. 1Pa] in acqua [11]. Comunque,anche questo metodo produce risultati piuttosto articolati, se si considerano tutti gliordini in .

E pero possibile sfruttare lesistenza di un secondo parametro = 0c0 in cui rappre-senta una frequenza angolare tipica. Essendo in situazioni di interesse pratico0c0 ,si ha che 1. Fisicamente rappresenta limportanza dello stress viscoso in un ondapiana progressiva. In condizioni standard otteniamo 106 per onde di 1kH z in ariae 1M Hz in acqua. Il corrispondente parametro, associato alla conduzione di calore, e

0c20cP= Pr dove P r =

cp e il Numero di Prandtl ed e lineare in e , mentre e

il parametro di conducibilita termica.6

6Il numero di Prandtl e il gruppo adimensionale della viscosita cinematica ed esprime limportanzadella diffusivita cinematica rispetto alla diffusivita termica.


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Espandendo le equazioni di bilancio al primo ordine in e considerando solo i terminial secondo ordine in sara possibile derivare unequazione donda al secondo ordine. Latrattazione seguente e ricavata da [25].

In un fluido viscoso conduttore di calore, le variabili

p=P P0, = o, T

=T To, s=s so, u

rappresentano piccole perturbazioni attorno ad uno stato di equilibrio uniforme.Partendo dalle versioni linearizzate delle equazioni di bilancio, e possibile ottenere unarelazione di dispersione per tre tipi di disturbo, per piccoli segnali, che risultano indi-pendenti tra loro: il modo acustico, il modo entropico e il modo vorticoso7.In generale ogni variabile contiene contributi di ognuno dei tre modi, per esempio:

u= uac+ uvor+ uent (3.54)

Limposizione delle condizioni al contorno, produce un accoppiamento tra i modi. Peresempio, in presenza di una parete solida fissa, si ha uac+ uvor+ uent= 0 ma una pic-cola perturbazione in uno dei modi e diffusa dalla parete in modo che il campo cineticoriflesso sia perturbato in tutti e tre i modi.

Il Parametro ci consente di pesare la diffusione causata da ognuno di questi tre modilinearizzati di perturbazione, in modo da poter quantificare leffetto della perturbazionedi una componente sulle altre due. Nel limite di debole termoviscosita 1 i modinon-acustici sono governati da leggi di diffusione con una scala di lunghezza dellordinedi

1

2 volte la lunghezza donda acustica.Nello specifico e possibile dimostrare che vicino ad una parete rigida, a cui le onde sonoresono incidenti, le grandezze del termine destro di (3.54) sono legate dalle relazioni:

|uvor/uac| exlvor, |uent/uac|

1

P r1/2

1/2e

xlent (3.55)

dove x e la distanza dalla parete. Secondo il modello di Prandtl gli strati limite lvor elent sono invece definiti dalle relazioni:

klvor = (2)1/2, klent= (2

P r)1/2, k=

c0(3.56)

in cui k e il numero donda. Per piccoli valori di lo spessore degli strati limite e una

frazione molto piccola della lunghezza donda: i modi entropico e vorticoso sono effettiva-mente assenti per il decadimento esponenziale descritto nella (3.56) e le variabili p, , T

si potranno effettivamente identificare con il loro valore acustico: pac, ac, T

ac.

Per procedere, scegliamo di trattare e come fattori dello stesso ordine di grandezza,e nella semplificazione delle equazioni di bilancio al secondo ordine, dovremo tralasciare

7I modi di perturbazione qui introdotti, si rifanno allidea di poter separare tre diversi effettiperturbativi alla stabilita del fluido: pressione, temperatura e rotazionalita del campo cinetico.


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i termini O(2) e O(2) assieme ai termini O(3). Il modello risultante, nei termini diordine , , 2, descrivera i segnali sonori di piccola ampiezza tenendo conto sia dellanonlinearita degli effetti dinamici che dei fenomeni dispersivi dovuti alla termoviscosita.

Per tener conto degli di e di introdurremo un parametro generico che caratteriz-zi la piccolezza di entrambi e ricaveremo unequazione valida agli O(2) per il campoacustico.

3.4.1 Equazioni di bilancio al secondo ordine

Sostituendo = 0+ nellequazione di continuita (3.19) e raggruppando a sinistra itermini O() e a destra quelli O(2) otteniamo:

t

+0 u= u u . (3.57)

Che non risulta approssimata, data lassenza di termini di ordine superiore al secon-do.

Nel bilancio del momento (3.20) introduciamo lidentita vettoriale

( u) =2u + u (3.58)

e, in DuDt, (u )u= 12u

2 u u.Sostituiamo P =P0+p, eliminiamo i termini O(

3) e di nuovo raggruppiamo a sinistra

i termini O() e a destra quelli O(2

) per ottenere:

0u

t + p=

b+

4

3

2u

1

20u

2 u

t

+

b+

1

3

u

+0u u

(3.59)

Gli ultimi due termini del lato destro dellequazione sono legati al rotore del campo divelocita, quindi alle perturbazioni di carattere vorticoso. Applicando la teoria lineareper approssimare questi termini e la scomposizione (3.54) otteniamo u uvor.

La prima delle equazioni (3.55) mostra che il terzo e il quarto termine della (3.59)decadono esponenzialmente allallontanarsi dalle pareti di contorno e diventano piccolirispetto ai termini (primo e secondo) che sono invece dominati dal Modo Acustico.Tenendo conto delle equazioni (3.55) e (3.47) e ponendo E = ex/lvor si ricavano ipesi:

| uvor|

|2uac|

E

|uac uvor|

|2uac|

E

1/2 (3.60)


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Nel limiteE/ 1,8 potremo eliminare i termini quarto e quinto, per ottenere la (3.59)nella forma semplificata:

0ut

+ p=

b+43

2u 12

0u2 ut

(3.61)

Per arrivare a questa formulazione dellequazione del momento abbiamo trascurato quin-di tutti i termini di vorticita, essenziali invece nella trattazione di altri fenomeni comelo streaming acustico[23].

Analizziamo ora le approssimazioni per lequazione dellentropia (3.21). La presenza deicoefficienti, , B nel lato destro suggerisce che la perturbazione entropica s

, sottopro-dotto del campo acustico, sia in effetti O(2). Questo si rivela esatto solo ben lontanodalle pareti solide, in quanto la teoria lineare dice che |Tent| |Tac| [25] e quindi s

e difatto O().

Seguendo passaggi simili ai precedenti e possibile mostrare che per E/ 1 (dove oraE = ex/l e l lvor lent caratterizza lo spessore degli strati limite) il lato destrodellequazione (3.21) e dominato dal termine 2Tac relativo al modo acustico lineare.Quindi avremo:

0T0s

t =2T (3.62)

che e lequazione corretta per il bilancio dellentropia fino ai termini al secondo ordinein per i campi sonori, lontano dalle pareti di contorno.

Espandendo lequazione di stato (3.22) in serie di Taylor attorno al punto di equilibrio(o, s0) e trascurando i termini O(

3) si ha:

p= c20 +

c200

B

2A2 +

P

s

,0

s (3.63)

in cui ritroviamo il parametro di non-linearita B/A. Le equazioni ricavate in questasezione rappresentano le correzioni al secondo odine delle equazioni del moto e di statoe permettono lo sviluppo di una completa correzione al secondo ordine in allequazionelineare delle onde per un fluido non-reattivo e debolmente termoviscoso ( 1). Il lorodominio di validita (E/ 1) esclude per forza di cose le regioni delimitate dagli stratilimite termoviscosi, in vicinanza delle superfici solide.

Abbiamo cos ottenuto le equazioni di bilancio al secondo ordine in :

8Per esempio xlvor

20 e 106.


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Massa

Momento

Entropia

Eq. Stato

t +0 u= u u .

0 u

t + p=

b+ 43

2u 120u2 u

t

0T0s

t =2T

p= c20 + c20

0B2A

2 +Ps

,0

s

3.4.2 Equazione donda al secondo ordine

Senza soffermarci sui dettagli tecnici di derivazione delle equazioni, diamo unidea gene-rale del procedimento per ottenere la forma completa dellequazione donda al secondo

ordine.Le equazioni di bilancio al secondo ordine dovranno essere rimanipolate e adattate perpoter essere ricombinate in una singola equazione per le onde. Scartando tutti i terminiO(3), per le equazioni (3.57) e (3.61) otterremo, rispettivamente [11]:

t +0 u=

1

0c40

p2

t +

1

c20

t (3.64)

0u

t + p=

1

0c20

B+

4

3

p

t (3.65)

nelle quali e la Densita Lagrangianaal secondo ordine9

:=1

20u

2 p2

20c20(3.66)

9E interessante notare che al primo ordine p = 0c0u e quindi = 0 per le onde piane progressive,quindi lequazione del momento e lineare e non da contributi al secondo ordine.


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Proseguendo in questo modo10 si arriva alla formulazione combinata delle equazioni dibilancio, ossia [11]:Equazione delle Onde al Secondo Ordine in

2p+

c40

3p

t3 =

0c40

2p2

t2

2 +

1

c20

2

t2

(3.67)

dove 2 = 2 1c20

2

t2 e loperatore DAlambertiano, = 1 + B/2A e il coefficiente di

nonlinearita e e la Diffusivita del Suono:

:= 1

0

4

3+B

+

0

1

cv

1

cp

=

4

3+

B

+ 1

P r

(3.68)

posta= /0 la Viscosita Cinematica.

Il termine di conduzione termica ( 1)/P r e generalmente piu significativo per i gasche per i liquidi: in aria tale diffusione rappresenta circa lo 0, 5% del valore totale di .

La (3.67) e unequazione delle onde O(2) per la pressione sonora in un fluido debolmentetermoviscoso, sufficientemente lontano dalle pareti di contorno che possono essere pre-senti. Essa tiene conto sia degli effetti non lineari che degli effetti dissipativi modificandola propagazione di unonda sonora tridimensionale.11

Supponendo che vi siano soluzioni piane per lequazione (3.67), della forma:

= 0ei(tx) (3.69)

si ricava che ilcoefficiente di attenuazioneper i piccoli segnali sara() =I m. 12

Mentre, sempre dalla (3.67):

= k

1 i

c20

12

(3.70)

e il numero donda caratteristico e k = /c0 e il numero donda.

10Combinando le equazioni (3.62) e (3.63), si sfruttano le relazioni termodinamiche dei gas (ai va-ri ordini) per sostituire T a s e poi eliminarla tramite uno sviluppo attorno al punto di equilibrio.Sostituendo al solito le espressioniO() in nei termini O(2) si scartano i termini O(3).

11Unalternativa, in regime non dissipativo, alla (3.67) venne ricavata separatamente da Eckart (1948)e Westervelt (1957).

12Per meglio comprendere il significato di possiamo effettuare unespansione binomiale di (3.70) etrovare 2/2c30 per k.


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Capitolo 4

Propagazione del suono

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