je vektor f. → f f 1 + f 2 h vježba 044 ako sile i 1 2 f f → → zatvaraju kut 0, i ako je 25 ,...
TRANSCRIPT
1
Zadatak 041 (Josip, gimnazija)
Zadani su vektori 3 2 i 2 . Izračunajte 2 .a i j k b i j k a b b→ → → → → → → → → → →
= ⋅ − − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ×
Rješenje 041 Ponovimo!
Vektorski produkt dvaju vektora je vektor i definira se samo za vektore u trodimenzionalnom prostoru.
Ako su zadani vektori i ,a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ njihov vektorski
produkt glasi:
i j ka a a aa azy x yzx
a b a a a i j kzx yb bb b b bzxzy x y
b b bzx y
→ → →
→ → → → →× = = ⋅ − ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( )i a b a b j a b a b k a b a bz z z zy y x x x y y x
→ → →= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =
( ) ( ) ( ) .a b a b i a b a b j a b a b kz z z zy y x x x y y x
→ → →= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
0 .a a→ → →
× =
2 2 2 0 2 2 3 1 2
1 2 1
i j k
a b b a b b b a b a b
→ → →
→ → → → → → → → → → → → ⋅ + × = ⋅ × + × = ⋅ × + = ⋅ × = ⋅ − − =
−
1 2 3 2 3 12
2 1 1 1 1 2i j k
→ → → − − − −= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =
− −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1 1i j k→ → →
= ⋅ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ =
( ) ( ) ( )2 1 4 3 2 6 1 2 5 7 10 2 14 .i j k i j k i j k→ → → → → → → → →
= ⋅ ⋅ + − ⋅ − + + ⋅ + = ⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
Vježba 041
Zadani su vektori 3 2 2 . Izračunajte 3 .a i j k i b i j k a b b→ → → → → → → → → → →
= ⋅ − − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ×
Rezultat: 15 3 21 .i j k→ → →
⋅ + ⋅ + ⋅
Zadatak 042 (Gaby, maturantica)
Pojednostavnite izraz: 2 .a b c a b c a b→ → → → → → → →
⋅ + × − + + × +
Rješenje 042 Ponovimo!
0,a b c a c b c a a→ → → → → → → → → →
+ × = × + × × =
, .a b b a a b a bλ λ→ → → → → → → →
× = − × ⋅ × = ⋅ ×
2 a b c a b c a b→ → → → → → → →
⋅ + × − + + × + =
2
2 2a c a a b c b a b a b b c a c b→ → → → → → → → → → → → → → → →
⋅ × − ⋅ × + × − × + × + × + × + × =
2 2 b aa c a a b ab c b b c a c b→ → → →
− × +→ → → → → → → → → → → →
= ⋅ × − ⋅ × + × + × + × + ×× =
0
2
0
2a c a a b c b b c a c b→ → → → → → → → → → → →
= ⋅ × − ⋅ × + × + × + × + × =
→ →����� �����
2 2a c b c c a c b a c b c a c b c→ → → → → → → → → → → → → → → →
= ⋅ × + × + × + × = ⋅ × + × − × − × =
2 2 .b ca c a c a c a c a cb c→ → → →
+ × − ×→ → → → → → → → → →
= ⋅ × − × = ⋅ × − × = ×
Vježba 042
Pojednostavnite izraz: .a b a b→ → → →
+ × −
Rezultat: 2 .b a→ →
⋅ ×
Zadatak 043 (Ante, maturant) Nađi kut između prostornih dijagonala kocke.
Rješenje 043 Ponovimo!
,
22
0, .x x x x x x x x y x y→ → → → → → → → →
= = = ⊥ ⇒ =� � �
cos , , .x y x y x yϕ ϕ→ → → → → →
= ⋅ ⋅ = ∠
�
Sa slike vidi se:
, , , , , .AB a BC b AE c CG AE c HD AE c DA BC b→ → → → → → → → → → → → → → →
= = = = = = − = − = − = −
, 0 , 0 , 0.a b c a a b a b a c a c b c b c→ → → → → → → → → → → → → → →
= = = ⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ =� � �
Prostorne dijagonale kocke:
f
e
c
b
a
ϕϕϕϕ
F
H
CD
E
A B
G
3
• e AG AB BC CG AB BC AE a b c→ → → → → → → → → → →
= = + + = + + = + +
• .f HB HD DA AB AE BC AB c b a a b c→ → → → → → → → → → → → → →
= = + + = − − + = − − + = + +
Računamo skalarni produkt:
e f a b c a b c→ → → → → → → →
= + + − − =
� �
2 2 2
a a a b a c b a b b b c c a c b c c a b c→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →
= − − + − − + − − = − − =� � � � � � � � �
2 2 2 2 2 2 22 2.
2a b c a a a a a a a= − − = − − = − = −−
Duljine vektora prostornih dijagonala:
• e e e a b c a b c→ → → → → → → → →
= = + + + + =
� �
2 2 2
a a a b a c b a b b b c c a c b c c a b c→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →
= + + + + + + + + = + + =� � � � � � � � �
2 2 2 2 2 2 23 3.a b c a a a a a= + + = + + = ⋅ = ⋅
• f f f a b c a b c→ → → → → → → → →
= = − − − − =
� �
2 2 2
a a a b a c b a b b b c c a c b c c a b c→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →
= − − − + + − + + = + + =� � � � � � � � �
2 2 2 2 2 2 23 3.a b c a a a a a= + + = + + = ⋅ = ⋅
Kut između prostornih dijagonala kocke iznosi:
2 2
cos cos cos cos23 3 3
e f a ae f e f
a a ae f
ϕ ϕ ϕ ϕ
→ →→ → → →
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒→ → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
��
1 1 0 ' ''1cos cos cos 109 28 16 .3 33
2
2
a
aϕ ϕ ϕ ϕ
−⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅
Vježba 043 Nađi kut između dijagonala kvadrata.
Rezultat: 90º.
Zadatak 044 (Nina, studentica)
Ako sile i1 2
F F→ →
zatvaraju kut 0, i ako je 15 , 20 ,1 2
F N F N→ →
= = onda je duljina njihove
rezultante jednaka?
Rješenje 044 Ponovimo!
Ako vektori ia b→ →
, čije su duljine ia b→ →
, zatvaraju međusobno kut od 0 radijana ili 0° onda
4
duljina njihove rezultante c→
glasi
.c a b→ → →
= +
Budući da sile i1 2
F F→ →
zatvaraju kut 0, onda je duljina njihove rezultante F→
jednaka
15 , 201 2
15 20 35 .
1 2
F N F N
F N N N
F F F
→ → = = →
⇒ = + =→ → →= +
Gledaj slike!
Vektori i1 2
F F→ →
zatvaraju kut od 0 radijana. Hvatište vektora je točka H.
F2F1
H
Na kraj vektora 1
F→
''nadoveže se'' hvatište (početak) vektora .2
F→
F2F1
H
Rezultanta vektora i1 2
F F→ →
je vektor .F→
F
F1 + F2
H
Vježba 044
Ako sile i1 2
F F→ →
zatvaraju kut 0, i ako je 25 , 30 ,1 2
F N F N→ →
= = onda je duljina njihove
rezultante jednaka?
Rezultat: 55 N.
Zadatak 045 (Lucija, gimnazija)
Zadana su dva vektora i 5 2 . Koliki je kut među njima?a i j k b i j k→ → → → → → → →
= + + = − ⋅ + ⋅
Rješenje 045 Ponovimo!
Ako su i dva vektora, tada vrijedi:a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
2 2 2 2 2, , .
2a b a b a b a b a a a a b b b bz z z zx x y y x y x y
→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = + +�
cos cos2 2 2
.2 2 2
a b a b a ba b x x y y z z
a a a b b ba b x y z x y z
α α
→ →⋅ + ⋅ + ⋅
= ⇒ =→ →+ + ⋅ + +⋅
�
5
Izračunamo najprije skalarni produkt vektora i ,a b→ →
te njihove duljine i .a b→ →
( )5 2 1 1 1 5 1 2 1 5 2 2.
a i j k
b i j k a b a b a b
a b a b a b a bz zx x y y
→ → → → = + +
→ → → → → → → → → →= − ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⇒ = − + ⇒ = −
→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅
� � �
�
2 2 21 1 1 1 1 1 3.
2 2 2
a i j k
a a aa a a azx y
→ → → → = + + → → →
⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ =→ = + +
( )5 2
22 21 5 2 1 25 4 30.
2 2 2
b i j k
b b bb b b bzx y
→ → → → = − ⋅ + ⋅ → → →
⇒ = + − + ⇒ = + + ⇒ =→ = + +
Kut među vektorima iznosi:
2 , 3 , 30
2 2cos cos
3 30 90cos
a b a b
a b
a b
α αα
→ → → →= − = =
− −→ →⇒ = ⇒ = ⇒
⋅= → →⋅
�
�
2 01cos 102.1703233643 .
90α α
−−⇒ = ⇒ =
Preračunavamo u stupnjeve, minute i sekunde (ako nemamo računalo koje se može nabaviti u svakoj
boljoj trgovini ☺):
0 0.1703233643 0.170323364
0102 1 2 30 .α α= ⇒ = +
' '0.1703233643 60 10.219401858
1α = ⋅ =
' '.219401858 0.219401858 .
1 1'
10 10α α= ⇒ = +
'' ''0.219401858 60 13.16411148 .
2α = ⋅ =
'' ''.16411148 0.16411148 .
2 2''
13 13α α= ⇒ = +
Dakle, kut među vektorima ima vrijednost:
0 ' ''102 10 13 .α =
Vježba 045
Zadana su dva vektora 2 3 i . Koliki je kut među njima?a i j k b i j k→ → → → → → → →
= + ⋅ + ⋅ = − −
Rezultat: 0 ' ''
128 6 47 .α =
Zadatak 046 (Lucija, gimnazija)
Zadana su tri vektora: 3 2 , 5 2 , 3 2 .a i j k b i j k c i j k→ → → → → → → → → → → →
= ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +
Nađi .a b c→ → →
× �
6
Rješenje 046 Ponovimo!
Ako su i dva vektora, tada vrijedi:a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
.a b a b a b a bz zx x y y
→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅�
Formula za vektorski produkt vektora = i =a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
pomoću njihovih komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom
sustavu) glasi:
( ) ( ) ( ).a b i a b a b j a b a b k a b a bz z z zy y x x x y y x
→ → → → →× = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
Najprije izračunamo vektorski produkt u zagradi:
5 2
3 2
b i j k
c i j k
→ → → → = − ⋅ + ⋅
⇒→ → → →= ⋅ + ⋅ +
( ) ( ) ( )b c i b c b c j b c b c k b c b cz z z zy y x x x y y x
→ → → → →⇒ × = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )5 1 2 2 2 3 1 1 1 2 5 3 5 4 6 1 2 15i j k i j k→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ + =
9 5 17 .i j k→ → →
= − ⋅ + ⋅ + ⋅
Sada računamo .a b c→ → →
× �
3 2
9 5 17 3 2 9 5 17
a i j k
b c i j k a b c i j k i j k
a b c
→ → → → = ⋅ + ⋅ +
→ → → → → → → → → → → → → → × = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ × = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
→ → → ×
� �
�
( )3 9 2 5 1 17 27 10 17 0.a b c a b c a b c→ → → → → → → → →
⇒ × = ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⇒ × = − + + ⇒ × = � � �
Vježba 046
Zadana su tri vektora: 3 2 , 5 2 , 3 2 .a i j k b i j k c i j k→ → → → → → → → → → → →
= ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +
Nađi .b c a→ → →
×
�
Rezultat: 0.
Zadatak 047 (Kata, srednja škola)
Nađi kut među vektorima: 3 4 i 3 4 .AB i j CD i j→ → → → → →
= − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
Rješenje 047 Ponovimo!
Ako su i dva vektora, tada za kut među njima vrijedi:a a i a j b b i b jx y x y α→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
cos2 2 2 2
.a b a bx x y y
a a b bx y x y
α⋅ + ⋅
=
+ ⋅ +
7
Kut među zadanim vektorima iznosi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 4 , 3 43 3 4 4
coscos 2 2 22
3 4 3 42 2 2 2
AB i j CD i j
a b a bx x y y
a a b bx y x y
αα
→ → → → → → = − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
− ⋅ + − ⋅ −⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒= − + − ⋅ + −
+ ⋅ +
9 16 7 7 7cos cos cos cos
5 5 259 16 9 16 25 25α α α α
− +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅+ ⋅ + ⋅
71 0 ' ''cos 73 44 23 .25
α α −
⇒ = ⇒ =
Vježba 047
Nađi kut među vektorima: 3 4 i 3 4 .AB i j CD i j→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅
Rezultat: 0 ' ''73 44 23 .α =
Zadatak 048 (Rockvampirica, matematička gimnazija)
Dokaži da su dijagonale romba međusobno okomite.
Rješenje 048 Ponovimo!
Četverokut s okomitim dijagonalama koji ima barem jednu os simetrije zove se deltoid. Romb je
deltoid kojemu sjecište dijagonala raspolavlja dijagonale.
• Stranice romba su sukladne.
• Nasuprotni kutovi romba su sukladni.
• Kutovi uza svaku stranicu romba su suplementni (zbroj im je 180°).
• Romb ima dvije osi simetrije.
Skalarni produkt vektora ia b→ →
je skalar (broj) koji označavamo sa a b→ →� i definiramo ovako:
co ,sa b a b ϕ→ → → →
= ⋅ ⋅�
gdje je φ kut između vektora ia b→ →
i uzimamo da je 0 ≤ φ ≤ π. Vrijedi:
2
cos0 1 .a a a a a a a a a a a a a a a→ → → → → → → → → → → → → → →
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =� � � �
Dva su vektora međusobno okomita ako je njihov skalarni produkt jednak nuli.
0.a b a b→ → → →
⊥ ⇒ =�
DB = a - b
AC = a + b
b
a
C
A B
D
8
Sa slike vidi se da je:
, .AC a b DB a b→ → → → → →
= + = −
Budući da su kod romba sve stranice sukladne, slijedi:
2 2
.a b a b→ → → →
= ⇒ =
Dijagonale romba su okomite ako je njihov skalarni produkt jednak nuli, tj. ako vrijedi:
0.AC DB→ →
=�
Provjeravamo:
AC DB a b a b a a a b b a b b→ → → → → → → → → → → → → →
= + − = − + − =
� � � � � �
2 2
a a b b aa b b a b b a ba→ → → → →→ → → → → → → →
= − = −→
+ − =− =� � � �� �
0.a b→ →
== =
Vježba 048 Dokaži da su dijagonale kvadrata međusobno okomite.
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 049 (Maja, gimnazija)
U koordinatnom sustavu zadane su točke A(5, 1) i B(6, 3).
a) Prikaži vektor AB→
kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora ii j→ →
te odredi
duljine vektora i .OA AB→ →
b) Odredi točku C tako da je .OC AB→ →
=
c) Odredi mjeru kuta .AOC∠ (Zaokruži rezultat na najbliži cijeli stupanj.)
Rješenje 049 Ponovimo!
Ako su dane točke A(x1, y1) i B(x2, y2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:
( ) ( )2 1 1.
2AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Ako su ,a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ dva vektora, oni su jednaki ako i samo ako su im
odgovarajuće koordinate jednake, tj. i .a b a bx x y y= =
Ako su ,a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ dva vektora, tada vrijedi:
,2 2 2 2
cos2 2 2 2
, , ,a b a bx x y y
a b a b a b a a a b b bx x y y x y x ya a b bx y x y
ϕ→ → → → ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ = + = + =
+ ⋅ +
�
gdje je φ kut koji međusobno zatvaraju vektori i .a b→ →
Budući da je duljina vektora AB→
jednaka duljini dužine ,AB vrijedi:
( ) ( )2
1,
2
2 2 1AB x x y y→
= − + −
9
gdje su A(x1, y1), B(x2, y2).
a) Prikazi vektora iOA AB→ →
kao linearne kombinacije jediničnih okomitih vektora ii j→ →
glase:
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 0, 01 1
, 5, 1 5 0 1 0 5 .2 2
2 1 2 1
O x y O
A x y A OA i j OA i j
OA x x i y y j
=
→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ +
→ → → = − ⋅ + − ⋅
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 5, 11 1
, 6, 3 6 5 3 1 2 .2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB i j AB i j
AB x x i y y j
=
→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = + ⋅
→ → → = − ⋅ + − ⋅
Računamo duljine vektora i .OA AB→ →
• 2 2
5 5 1 25 1 26.OA i j OA OA OA→ → → → → →
= ⋅ + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
• 2 2
2 1 2 1 4 5.AB i j AB AB AB→ → → → → →
= + ⋅ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
b) Računamo koordinate točke C(x, y) tako da vrijedi:
.OC AB→ →
=
Prikazi vektora iOC AB→ →
kao linearne kombinacije jediničnih okomitih vektora ii j→ →
glase:
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 0, 01 1
, , 0 0 .2 2
2 1 2 1
O x y O
C x y C x y OC x i y j OC x i y j
OC x x i y y j
=
→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
→ → → = − ⋅ + − ⋅
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 5, 11 1
, 6, 3 6 5 3 1 2 .2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB i j AB i j
AB x x i y y j
=
→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = + ⋅
→ → → = − ⋅ + − ⋅
Budući da mora biti
,OC AB→ →
=
slijedi:
( ) ( )1
2 2 , 1, 2 .2
OC x i y j
xAB i j x i y j i j C x y C
y
OC AB
→ → → = ⋅ + ⋅
→ → → → → → → = = + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⇒ =
= → →=
c) Određujemo mjeru kuta .AOC∠ Uočimo vektore i .OA OC→ →
10
5.
2
OA i j
OC i j
→ → → = ⋅ +
→ → →= + ⋅
Budući da je φ kut između tih vektora, pomoću formule za skalarni produkt dobije se:
5 25 1 1 2
cos cos cos2 2 2 2
5 1 1 25 2
i j i jOA OC
OA OC i j i j
ϕ ϕ ϕ
→ → → → → → ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒→ → → → → →+ ⋅ +⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
��
5 2 7 7 7cos cos cos cos
25 1 1 4 26 5 26 5 130ϕ ϕ ϕ ϕ
+⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+ ⋅ + ⋅ ⋅
71 0cos 52 .
130ϕ ϕ
−⇒ = ⇒ =
j
i
ϕϕϕϕ
y
x
C
A
O
Vježba 049 U koordinatnom sustavu zadane su točke A(6, 2) i B(7, 4).
Prikaži vektor AB→
kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora i .i j→ →
Rezultat: 2 .AB i j→ → →
= + ⋅
Zadatak 050 (Sanja, gimnazija)
Odredi parametar λ tako da vektori ( ) ( )1 2 1 i 3 2a p q b p qλ λ→ → → → → →
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ budu
okomiti, ako je 0
1, 2, , 120 .p q p q→ → → →
= = ∠ =
Rješenje 050 Ponovimo!
,
22
cos ,, , ,x x x x x x x y x y x yϕ ϕ→ → → → → → → → → → → →
= = = ⋅ ⋅ = ∠
� � �
gdje je φ kut koji međusobno zatvaraju vektori i .x y→ →
.x y y x→ → → →
=� �
Računamo.
2 22 22 2
1 1 , 2 4 , cos ,p p q q p q p q p q→ → → → → → → → → →
= = = = = = = ⋅ ⋅ ∠ =
�
101 2 cos120 1 2 1.
2
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −
11
Budući da su vektori ia b→ →
međusobno okomiti, njihov je skalarni produkt jednak nuli pa slijedi:
( ) ( )0 1 2 1 3 2 0a b p q p qλ λ→ → → → → →
= ⇒ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒
� �
( ) ( ) ( ) ( )2 2
3 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0p p q q p qλ λ λ λ→ → → → → →
⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒� �
( ) ( ) ( ) ( )2 2
3 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0p p q p q qλ λ λ λ→ → → → → →
⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 4 0λ λ λ λ⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 3 2 1 8 2 1 0 5 1 11 2 1 0λ λ λ λ λ λ⇒ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ − + ⋅ ⋅ + = ⇒
165 5 22 11 0 17 16 0 17 16 17 16 .
17/:17λ λ λ λ λ λ⇒ − ⋅ + + ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −
Vježba 050
Odredi parametar λ tako da vektori ( ) ( )1 2 1 i 3 2a p q b p qλ λ→ → → → → →
= − − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ budu
okomiti, ako je 0
1, 2, , 240 .p q p q→ → → →
= = ∠ =
Rezultat: 16
.17
λ = −
Zadatak 051 (Sanja, gimnazija)
Izračunati kut , ,a bϕ→ →
= ∠
ako je 2, 3 i 2 2 .a b a b a b→ → → → → →
= = + ⋅ = ⋅ −
Rješenje 051 Ponovimo!
( )222
co, , , ,s, ,x x x x x x x x x y x y x yϕ ϕ→ → → → → → → → → → → →
= = = = ⋅ ⋅ = ∠
� � �
gdje je φ kut koji međusobno zatvaraju vektori i .x y→ →
( ) ( )2 22 2 2 2
cos 2, 2, , .x y
x x x x y x x y y x y x x y y
x y
ϕ
→ →→ → →
= = + = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +→ →⋅
��
Skalarni produkt vektora a b→ →� nalazimo iz uvjeta zadatka:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2/a b a b a b a b a b a b→ → → → → → → → → → → →
+ ⋅ = ⋅ − ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒
2 22 2 2 2
2 2 2 2a b a b a b a b
→ → → → → → → → ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒
2 2 2 2
4 4 4 4a a b b a a b b→ → → → → → → →
⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒� �
2 2 2 2
4 4 4 4a a b b a a b b→ → → → → → → →
⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒� �
12
2 2 2 22 4 4 3 4 2 4 3 4 4 4 9 4 4 4 9a b a b a b a b
→ → → → → → → →⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒� � � �
4 4 36 16 4 9 4 4 16 9 4 36a b a b a b a b→ → → → → → → →
⇒ + ⋅ + = − ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = + − − ⇒� � � �
158 15 8 1 /: .
885a b a b a b
→ → → → → →⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −� � �
Sada računamo kut φ.
15 15 15 5
8 8 8 8cos cos cos cos cos6 22
1
3 6
1
a b
a b
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
→ → − − − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒→ → ⋅
⋅
�
5 51 0cos cos 108 12'36''.
16 16ϕ ϕ ϕ
−⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
Vježba 051
Izračunati kut , ,a bϕ→ →
= ∠
ako je 2, 3 i 2 2 .a b b a b a→ → → → → →
= = ⋅ + = − ⋅
Rezultat: 0108 12'36''.ϕ =
Zadatak 052 (Matija, Josipa, TUPŠ)
Vektor AB→
jednak je:
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
y
x
B
A
. 3 4 . 4 3A AB i j B AB i j→ → → → → →
= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅
. 3 4 . 4 3C AB i j D AB i j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅
Rješenje 052 Ponovimo!
Ako su dane točke A(x1, y1) i B(x2, y2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:
( ) ( )2 1 1.
2AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Sa slike očitaju se koordinate točke A (koja je početna točka vektora) i točke B (koja je završna točka
vektora).
13
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
- 1
- 1
3
2
y
x
B
A
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, 2, 3 , , 1, 11 1 2 2
1 2 1 3
2 1 2 1
A x y A B x y B
AB i j
AB x x i y y j
= = − − → → →⇒ = − − ⋅ + − − ⋅ ⇒→ → →
= − ⋅ + − ⋅
3 4 .AB i j→ → →
⇒ = − ⋅ − ⋅
Odgovor je pod A.
Vježba 052
Vektor BA→
jednak je:
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
y
x
B
A
. 3 4 . 4 3A BA i j B BA i j→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
. 3 4 . 4 3C BA i j D BA i j→ → → → → →
= − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅
Rezultat: A.
Zadatak 053 (Pavle, gimnazija)
Odredite realan broj k tako da vektori ( )6 4 i 2 2 5a i j b i k j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ budu
okomiti.
Rješenje 053 Ponovimo!
14
Ako su vektori zadani u koordinatnom sustavu, tada se skalarni produkt definira na ovaj način:
.a a i a jx y
a b a b a bx x y y
b b i b jx y
→ → →= ⋅ + ⋅ → →
⇒ = ⋅ + ⋅→ → →
= ⋅ + ⋅
�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b a bx x y y
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =
Računamo parametar k.
( ) ( )
6 4
2 2 5 0 6 4 2 2 5 0
a i j
b i k j a b i j i k j
a b
→ → →= ⋅ − ⋅
→ → → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒
→ →⊥
� �
( ) ( )6 2 4 2 5 0 12 8 20 0 8 12 20 8 8k k k k⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ = − + ⇒ − ⋅ = ⇒
( )/ :8 .88 1k k−⇒ − ⋅ = ⇒ = −
Vježba 053
Odredite realan broj k tako da vektori ( )3 2 i 2 2 5a i j b i k j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ budu
okomiti.
Rezultat: k = – 1.
Zadatak 054 (Vedra Tea ☺☺☺☺, gimnazija)
Zadani su vektori ( ) ( ) ( )1, 2, 1 , 1, 1, 2 i 1, , . Ako je i ,a b c y z c a c b→ → → → → → →
= − = − = ⊥ ⊥
izračunajte y i z.
Rješenje 054 Ponovimo!
Ako su vektori zadani u koordinatnom sustavu, tada se skalarni produkt definira na ovaj način:
.a a i a j a kx y z
a b a b a b a bx x y y z z
b b i b j b kx y z
→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ → →
⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅→ → → →
= ⋅ + ⋅ + ⋅
�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b a b a bx x y y z z
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Računamo y i z.
( )
( )
( )
1, ,
1,0
2, 1
1, 1, 20
c a c a
c b c
y z
a
bb
c→
→=
→= −
→
→ → →⊥ =
⇒ ⇒ ⇒→
==
→ →
−
→⊥
�
�
( )
( )
1 1 2 1 0 1 2 0 2 1
1 2 0
metoda suprotnih
koe2 11 1 1 ficijen2 a0 ta
y z y z y z
y z y zy z
⋅ + ⋅ − + ⋅ = − ⋅ + = − ⋅ + = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− + + ⋅ = + ⋅ =⋅ − + ⋅ + ⋅ =
15
2 1 2 1 1 15 1 5 1 .
2 1 2 4 2
2/ : 5
2 4 2 5/ 2
yy z y z zz z z
y z y yz z
− ⋅ + = − − ⋅ + = − + = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅⋅ =
− ⋅
⋅
Računamo y.
metoda
supstituci
2 11 2 2
2 1 1 1je
15 5 5
5
y z
y y yz
+ ⋅ =
⇒ ⇒ + ⋅ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒=
1 2 5 2 3.
1 5 5 5y y y
−⇒ = − ⇒ = ⇒ =
Vježba 054
Zadani su vektori ( ) ( ) ( )1, , , 1, 1, 2 i 1, 2, 1 . Ako je i ,a y z b c a b a c→ → → → → → →
= = − = − ⊥ ⊥
izračunajte y i z.
Rezultat: 3 1
, .5 5
y z= =
Zadatak 055 (Mario, gimnazija)
Zadane su točke M(2, 3), N(– 1, 4) i P(7, – 3). Vektor MN MP→ →
+ prikaži kao linearnu
kombinaciju jediničnih okomitih vektora i .i j→ →
Rješenje 055 Ponovimo!
Ako su dane točke A(x1, y1) i B(x2, y2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:
( ) ( )2 1 1.
2AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Najprije odredimo vektore.
• Vektor MN→
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 2, 31 1
, 1, 4 1 2 4 3 3 .2 2
2 1 2 1
M x y M
N x y N MN i j MN i j
MN x x i y y j
=
→ → → → → →= − ⇒ = − − ⋅ + − ⋅ ⇒ = − ⋅ +
→ → → = − ⋅ + − ⋅
• Vektor MP→
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 2, 31 1
, 7, 3 7 2 3 3 5 6 .2 2
2 1 2 1
M x y M
P x y P MP i j MP i j
MP x x i y y j
=
→ → → → → →= − ⇒ = − ⋅ + − − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅
→ → → = − ⋅ + − ⋅
Sada je:
3 5 6 2 5 .MN MP i j i j i j→ → → → → → → →
+ = − ⋅ + + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
Vježba 055
Zadane su točke M(2, 3), N(– 1, 4) i P(7, – 3). Vektor MN MP→ →
− prikaži kao linearnu
kombinaciju jediničnih okomitih vektora i .i j→ →
16
Rezultat: 8 7 .MN MP i j→ → → →
− = − ⋅ + ⋅
Zadatak 056 (Josip, gimnazija)
Dane su točke A(– 1, – 3), B(2, – 1), C(0, 4), D(1, y). Vektori iAB CD→ →
su okomiti ako je
1 3 5 7. . . .
2 2 2 2A y B y C y D y= = = =
Rješenje 056 Ponovimo!
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( )Neka su A , i B , dvije točke ravnine. Tada vrijedi: .1 11 2 22 12
AB x x i yx x y jy y→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Ako su vektori zadani u koordinatnom sustavu, tada se skalarni produkt definira na ovaj način:
.a a i a jx y
a b a b a bx x y y
b b i b jx y
→ → →= ⋅ + ⋅ → →
⇒ = ⋅ + ⋅→ → →
= ⋅ + ⋅
�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b a bx x y y
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =
Budući da su zadane točke A(– 1, – 3), B(2, – 1), C(0, 4), D(1, y) vektori iAB CD→ →
glase:
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
, 1, 31 1
, 2, 1 2 1 1 32 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB i j
AB x x i y y j
= − −
→ → →= − ⇒ = − − ⋅ + − − − ⋅ ⇒
→ → → = − ⋅ + − ⋅
( ) ( )2 1 1 3 3 2 .AB i j AB i j→ → → → → →
⇒ = + ⋅ + − + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
, 0, 41 1
, 1, 1 0 4 4 .2 2
2 1 2 1
C x y C
D x y D y CD i y j CD i y j
CD x x i y y j
=
→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = + − ⋅
→ → → = − ⋅ + − ⋅
Vektori iAB CD→ →
su okomiti pa je njihov skalarni produkt jednak nuli.
( )
uvjet okomitos, 3 2
,
t
04
iAB a i a j AB i jx y
CD b i b j CD i y jx ya b a bx x y y
→ → → → → → = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
⇒ ⇒ → → → → → → = ⋅ + ⋅ = +⋅ =
− ⋅⋅
+
( )5
3 1 2 4 0 3 2 8 0 2 /3 8 2 5 2 .: 252
y y y y y y⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⋅ = − + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Odgovor je pod C.
17
Vježba 056
Dane su točke A(– 1, – 3), B(2, – 1), C(0, 4), D(2, y). Vektori iAB CD→ →
su okomiti ako je
. 1 . 2 . 3 . 4A y B y C y D y= = = =
Rezultat: A.
Zadatak 057 (Josip, gimnazija)
Kut između vektora ia b→ →
iznosi 120º. Ako je 4 i 5,a b→ →
= = onda je
. 12 . 4 7 . 10 . 21A a b B a b C a b D a b→ → → → → → → →
+ = + = ⋅ + = + =
Rješenje 057 Ponovimo!
10c s120
2.o = −
Skalarni produkt vektora i : , gdje je α kut između vektorcos a i .a b a ba b a bα→ → → →
= ⋅→ → →
⋅→
�
2 2
cos0 1 .a a a a a a a a a→ → → → → → → → →
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⇒ =� �
2 2
2 .a b a b a a a b b a b b a a b b→ → → → → → → → → → → → → → → →
+ + = + + + = + ⋅ +
� � � � � �
a b a b a b a b a a a b b a b b→ → → → → → → → → → → → → → → →
+ = + + ⇒ + = + + + ⇒
� � � � �
2 2 2 2
2 2 cosa b a a b b a b a a b bα→ → → → → → → → → → → →
⇒ + = + ⋅ + ⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒�
12 0 24 2 4 5 cos120 5 16 2 4 5 25
2a b a b→ → → →
⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⇒
116 4 5 25 16 20 25 22 1.
2a b a b a b→ → → → → →
⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⇒ + = − + ⇒ + =
Odgovor je pod D.
Vježba 057
Kut između vektora ia b→ →
iznosi 60º. Ako je 4 i 5,a b→ →
= = onda je
. 12 . 3 7 . 25 . 61A a b B a b C a b D a b→ → → → → → → →
+ = + = ⋅ + = + =
Rezultat: D.
Zadatak 058 (Gabi, ekonomska škola)
Zadani su vektori 2 3 , 2 .a i j b i j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = − + ⋅ Odredi 2 .a b→ →
+ ⋅
Rješenje 058 Ponovimo!
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
18
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
2 2Duljina vektora = definira se .a a i a j a a ax y x y
→ → → →⋅ + ⋅ = +
2 2 3 2 2 2 3 2 3 42 24a b i j i j i j i j ji i j→ → → → → → → → → → → →
+ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ =→ →
− ⋅
⋅
2 23 4 1 1 10 0 1 .j j j i j
→ → → → →= − ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = + = =
Vježba 058
Zadani su vektori 4 6 , 2 4 .a i j b i j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ Odredi 2 .a b→ →
+ ⋅
Rezultat: 2.
Zadatak 059 (Darko, gimnazija)
Odredite površinu trokuta ABC ako je točka O ishodište koordinatnoga sustava, vektor
2 ,OA i j→ → →
= − ⋅ + vektor 5 3 ,AB i j→ → →
= ⋅ − ⋅ vektor AC→
je usporedan s vektorom i→
, a skalarni
umnožak 0.AB BC→ →
⋅ = Napomena: Po potrebi skicu nacrtajte u koordinatnom sustavu.
Rješenje 059
Ponovimo!
Ako je zadana točka A(x, y) pripadni radijus vektor glasi: .r x i y j→ → →
= ⋅ + ⋅
Ako su dane točke A(x1, y1) i B(x2, y2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:
( ) ( )2 1 1.
2AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Ako je ,a i b j c i d j→ → → →
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ onda je a = c i b = d.
Dva su vektora jednaka ako i samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake. Dva su vektora međusobno okomita ako je njihov skalarni produkt jednak nuli, tj. ako vrijedi
0.
a a i a jx y
b b i b j a b a bx y x x y y
a b
→ → → = ⋅ + ⋅
→ → → = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ =
→ →⊥
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Ploština pravokutnog trokuta čije su katete a i b dana je formulom
2.
a bP
⋅=
Budući da je duljina vektora AB→
jednaka duljini dužine ,AB vrijedi:
( ) ( )2
1,
2
2 2 1AB x x y y→
= − + −
19
.a b a b⋅ = ⋅
Površina trokuta ABC zadanog vrhovima A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) računa se po formuli:
( ) ( ) ( )1
1 2 3 2 3 1 3 1 22.P x y y x y y x y y
ABC= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,
vrijedi │x│= x.
Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,
x < 0, je │x│= – x.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Koordinate točke A odredimo iz radijusa vektora OA→
.
( ) ( )2 2 1
, 2, 1 .OA i j OA i j
A x y A
OA x i y j OA x i y j
→ → → → → → = − ⋅ + = − ⋅ + ⋅
⇒ ⇒ = − → → → → → → = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
Koordinate točke B nađemo pomoću vektora .AB→
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
, 2, 11 1
2 1,
2 1,
22 2
1
A x y AAB x i y j
B x y B x yAB x x i y y j→ → →
= − ⋅
= − → → → ⇒ ⇒ = − − ⋅ + − ⋅ ⇒
=
+ − ⋅
( ) ( )2 1 .AB x i y j→ → →
⇒ = + ⋅ + − ⋅
Dalje slijedi:
( ) ( )( ) ( )
2 1 2 5 5 2 3, 3, 2 .
1 3 3 1 25 3
AB x i y j x x xB x y B
y y yAB i j
→ → → = + ⋅ + − ⋅ + = = − =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − → → → − = − = − + = − = ⋅ − ⋅
Budući da je vektor AC→
usporedan s vektorom i→
(s koordinatnom osi x), koordinate točke C su
( ) ( )
( ) ( )
, 2, 1
, , 1
A x y A
C x y C x
= −
=
pa vektor BC→
glasi:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
, 3, 21 1
3 1 2, , 1
2 22 1 2 1
B x y BBC x i j
C x y C xBC x x i y y j→ → →
= − ⋅
= − → → → ⇒ ⇒ = − ⋅ + − − ⋅ ⇒
=
+ − ⋅
( ) ( ) ( )3 1 2 3 3 .BC x i j BC x i j→ → → → → →
⇒ = − ⋅ + + ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅
Koordinate točke C izračunamo iz skalarnog produkta.
( )( )
5 35 3 3 3 0 5 15 9 0
3
0
3
AB i jx x
BC x i
C
j
AB B→
→ → → = ⋅ − ⋅
⇒ ⇒ ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒ → → → = − ⋅ +
→=
⋅
�
20
5 15 9 5 24 5 24 4.8./: 5x x x x⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Koordinate točke C su:
( ) ( ), 4.8, 1 .C x y C=
Računamo površinu trokuta ABC.
1.inačica
Zbog skalarnog produkta
0AB BC→ →
=�
trokut ABC je pravokutan pa njegova površina glasi:
.2
AB BCP
⋅=
Odredimo duljine │AB│ i │BC│.
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, 2, 11 1
, 3, 2
2
2 2 12
2
12
AAB x x y y
x y A
B x y B
= − ⇒ ⇒
= − − + −
→=
( )( ) ( )2 2
3 2 2 1AB→
⇒ = − − + − − ⇒
( ) ( ) ( )2 2 22
3 2 3 5 3 25 9 34AB AB AB AB→ → → →
⇒ = + + − ⇒ = + − ⇒ = + ⇒ =
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, 3, 21 1
, 4.8, 12 2
2 2
2 1 2 1
B xBC x
y B
C x yx
Cy y
= − ⇒ ⇒
=
→= − + −
( ) ( )( )22
4.8 3 1 2BC→
⇒ = − + − − ⇒
( )22 2 2
1.8 1 2 1.8 3 3.24 9 12.24.BC BC BC BC→ → → →
⇒ = + + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
Površina trokuta ABC iznosi:
34 12.24 34 12.24 416.1610.2.
2 2 2 2
AB BCP P P P P
⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
2.inačica
Budući da su zadani vrhovi trokuta ABC njegova površina iznosi:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
, 2, 11 1
, 3, 22 2
, 4.8, 1
1
1 2 3 2 3 1 2
3
3 1
3
2P x y y x y y x y y
AB
A x y A
B x y B
C x y C
C
= −
= − ⇒ ⇒
= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1
2 2 1 3 1 1 4.8 1 2 2 3 3 0 4.8 1 22 2
P PABC ABC
⇒ = ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ − − ⇒ = ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⇒
1 1 16 0 4.8 3 6 14.4 20.4
2 2 2P P P
ABC ABC ABC⇒ = ⋅ + + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒
1 120.4 20. 2.4
210.
2P P P
ABC ABC ABC⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
21
3
2,5
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
OOOO
yyyy
xxxx
CCCC
BBBB
AAAA
Vježba 059
Odredite opseg trokuta ABC ako je točka O ishodište koordinatnoga sustava, vektor
2 ,OA i j→ → →
= − ⋅ + vektor 5 3 ,AB i j→ → →
= ⋅ − ⋅ vektor AC→
je usporedan s vektorom i→
, a skalarni
umnožak 0.AB BC→ →
⋅ = Napomena: Po potrebi skicu nacrtajte u koordinatnom sustavu.
Rezultat: 16.13.
Zadatak 060 (Iva, gimnazija)
Zadani su vektori 2 4 i 5 .a i j b i k j→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ Odredite sve realne brojeve k za koje
je kut između vektora ia b→ →
šiljast.
Rješenje 060
Ponovimo!
Ako su i dva vektora, tada njihov skalarni produkt glasi:a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
.a b a b a bx x y y
→ →= ⋅ + ⋅�
Kut je skup točaka ravnine određen dvama polupravcima sa zajedničkim početkom. Kutovi koji su
manji od pravog kuta zovu se šiljasti ili oštri kutovi. Kut među vektorima je šiljast ako i samo ako je skalarni produkt veći od nule.
bbbb
aaaa
aaaa °°°° b b b b > 0> 0> 0> 0
αααα < 90 < 90 < 90 < 90°°°°
22
Budući da kut između vektora ia b→ →
mora biti šiljast, skalarni produkt bit će veći od nule pa slijedi:
2 42 5 4 0 10 4
5
00
0
a i jk k
b i
a b
a b a bx x y yk j
→ →>
⋅
→ → → = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ > ⇒ + ⋅ > ⇒→ → → = ⋅ + >⋅ + ⋅
�
4 10 /: 44 10 2.5.k k k⇒ ⋅ > − ⇒ ⋅ > − ⇒ > −
Vježba 060
Zadani su vektori 5 4 i 2 .a i j b i k j→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ Odredite sve realne brojeve k za koje
je kut između vektora ia b→ →
šiljast.
Rezultat: 2.5.k > −