jedan primjer izvedbenog plana nastave logike...x. gimnazija "ivan supek" 13. listopad...

Jedan primjer izvedbenog plana nastave Logike

Kresimir Gracin

X. gimnazija ”Ivan Supek”

13. listopad 2012.

Kresimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 1 / 36

Analiza plana i programa nastave logike i prijedlogkurikuluma

Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna:

Analizu plana i programa nastave Logike –http://kgracin.com/logika/izlaganja/

KGracinKakoorganiziratinastavulogike.pdf

Prijedlog kurikuluma iz Logike – http://kgracin.com/logika/

izlaganja/KurikulumLogikaPrijedlog.pdf

Sazetak analize

Velik je nedostatak plana i programa, kako je postavljen, njegovaneuskladenost sa ciljevima koji su u njemu postavljeni. Ono sto u planu iprogramu ometa ostvarivanje ciljeva jesu:

orijentiran je vise prema ”znanjima o” logickim oblicima i njihovimpodjelama, nego prema njegovanju vjestina

orijentiran je povijesno (udvostrucava se ucenje o istome -tradicionalno i suvremeno)

gradivo nije povezano

Sazetak analize

Velik je nedostatak plana i programa, kako je postavljen, njegovaneuskladenost sa ciljevima koji su u njemu postavljeni. Ono sto u planu iprogramu ometa ostvarivanje ciljeva jesu:

orijentiran je vise prema ”znanjima o” logickim oblicima i njihovimpodjelama, nego prema njegovanju vjestina

orijentiran je povijesno (udvostrucava se ucenje o istome -tradicionalno i suvremeno)

gradivo nije povezano

Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemupostavljeni?

Jedan nacin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.Te ciljeve, u skladu s duhom vremena mozemo imenovati kao ishode –U prijedlogu kurikuluma:

Ishodi1.S Ucenik moze uociti logicka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti recenice koje ga cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; datiprimjer koji zadovoljava recenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljucak ili sud koji ga cini valjanim i to dokazatiizravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst cini nevaljanim ako tekst nije valjan.

2.S Ucenik moze navesti recenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moze uciniti nezadovoljivim ako jezadovoljiv, te izdvojiti recenicu, ili recenice, koja ga cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.

1.O Ucenik moze uociti i izdvojiti recenice koje stoje u sljedecim logickim odnosima: slijed (razlikuje premise odkonkluzije, te uopce recenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njihdokazati (izvesti) formalno i neformalno.

2. O Ucenik moze navesti sudove (recenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede.

3.O Ucenik moze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne recenice nekoj zadanoj recenici, terecenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati.

4.O (nevaljan zakljucak) Ucenik moze uociti i izdvojiti recenice u kojima naizgled postoji odnos logickog slijeda,navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostajucom premisom koja bizakljucak ucinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno.

5.O (pogreska u dokazu) Ucenik moze prepoznati pogresku u pogresnom formalnom ili neformalnom dokazu, navestirazlog pogreske, ispraviti ju ako je moguce, te navesti protuprimjer ako recenica nije izvediva.

6.O Ucenik moze iskazati zakljucak u obliku pogodbene recenice.

Kojim sredstvima do ishoda?

Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi sevoditi sljedecim nacelima:

izabrati sadrzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje semogu primijeniti u najvise ”logickih tema”

izabrati one sadrzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa stoje moguce manje ucenja mogu opisati sto je moguce vise

koje su najrazumljivije, tj. oni sadrzaji i metode iz kojih je i mnogedruge sadrzaje moguce razumjeti i na njih svoditi

najintuitivnije, tj. najblize nasem nacinu razmisljanja

najobuhvatnije – koji mogu opisati sto je moguce vise oblika

O metodama koje zadovoljavaju ove kriterije razmatralo se u izlaganju -Analiza Plana i programa nastave logike

Kojim sredstvima?

Ishodi - sredstva

1.Prev Ucenik moze prevesti zadanu recenicu iskazanu obicnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, tezadanu recenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljucu tumacenja prevesti na obican jezik,to ukljucuje i recenice sa vise kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poopcenja trenutaka (vrijeme) i mjesta(prostor), osoba, zivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podrucje) na koje se tekst odnosi (ili kojekljuc tumacenja odreduje)

1.Sem Ucenik moze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za slozene sudove (i skupove sudova)povezane ovim veznicima, te na taj nacin prepoznati tipicne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) ukojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost,nezadovoljivost)

2.Sem Ucenik moze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje,umije to i dokazati,te moze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije moguce odrediti s obzirom na nekozadano stanje.

3.Sem Ucenik moze odrediti za koja je tumacenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skupsudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razlicitim tumacenjimaelementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumacenja)

4.Sem Ucenik moze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,tepovezati pojam o njima s pojmom o logickom slijedu.

5.Sem Ucenik moze ispitati valjanost, odnosno nevaljanost zakljucka neizravnim dokazom, te sastavljanjem istinitosnihtablica.

1.Pd Ucenik moze izvesti dokaz prirodnom dedukcijom koristeci pravila: u¬ , i¬ , u⊥, i⊥, u→ , i→ , u∨ , i∨ , u∧ ,i∧ , u∃ , i∃ , u∀ , i∀ , u= , i=, te koristeci teoreme: Modus tollens (MT ), Disjunktivni silogizam (DS), DeMorganove zakone (DeM)

1.Ana Ucenik moze razlikovati logicku od analiticke istine (tj. kondicionala), te u izvodu znade pridodati premise kojeproizlaze iz posebnih svojstava predikata poput simetricnosti, refleksivnosti i tranzitivnosti; Modalnost...

Kojim sredstvima?

Ishodi - sredstva

Kojim sredstvima?

Ishodi - sredstva

Kojim sredstvima?

Ishodi - sredstva

Kojim sredstvima?

Ishodi - sredstva

Kojim sredstvima?

Ishodi - sredstva

Ako su prvi ishodi prihvatljivi, i ako su ove metode najprimjereniji putprema ovim ishodima, onda je vazno razmisliti o redoslijedu poucavanja.I redoslijed nastave logike moze biti nelogican.Pri odluci o redoslijedu dobro je drzati se nacela:

Sve prethodno potrebno je za razumijevanje potonjega, a nistaod potonjega nije potrebno za razumijevanje prethodnoga.

Vazno!

Sredstva ne smiju zamraciti ciljeve!

Komentar

To nije tako lako izvedivo. Jako se lako dogodi da ucenici logiku pocnupoistovjecivati s onim sto se poducava kao metoda. Tako npr., ako se uci:S e P , dakle ne-P e S; ili figure i modusi kategorickog silogizma; iliVennovi dijagrami; ili prirodna dedukcija – ucenici vrlo brzo stvore upravotakvu predodzbu o logici.Boriti se sa time ostaje na svakom nastavniku i njegovom umijecu.

Struktura izvedbenog plana

1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li) i jezik logike prvoga reda(Lp)

2 Semantika logickih veznika i prirodna dedukcija

3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost4 Dokaz o nevaljanosti zakljucka

1 logika sudova – pronalazak protuprimjera2 logika pojmova – pronalazak protumodela

5 Definicija i divizija, odnosi medu pojmovima

3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost

4 Dokaz o nevaljanosti zakljucka1 logika sudova – pronalazak protuprimjera2 logika pojmova – pronalazak protumodela

1 logika sudova – pronalazak protuprimjera

2 logika pojmova – pronalazak protumodela

Zasto zapoceti sa ucenjem Li i Lp ?

Iako stroga formalizacija ima nedostataka (ne prenose se sve obavijesti izteksta, simbole je lako poistovjetiti s logikom, recenice koje je tezeformalizirati mogu obeshrabriti ucenike), jos vece su njezine prednosti:

Mnostvo recenica obicnog jezika svodimo samo na njihovu logickustrukturu. Te recenice iz logicke perspektive postaju jednake

Zanemarujemo vanlogicki sadrzaj recenica koji nas moze (i zbogpoznavanja i zbog nepoznavanja tog sadrzaja) ometati u ocjenama ologickim odnosima

Recenice koje svojom duljinom mogu ometati u ispitivanju logickihodnosa pretvaramo u kratke izraze

Najvaznije je sto nas prevodenja usmjeravaju na razumijevanjelogickih odnosa izmedu sudova i pojmova (ne bavimo se evaluacijomsudova(!) vec razotkrivanjem njihovih logickih odnosa kako suiskazani!)

Zasto bas Li i Lp a ne neka druga vrsta formalizacije ?

Nekoliko je nacina dijagramiranja recenica obicnog jezika:

Vennovi dijagrami, prednosti..., nedostaci...

Eulerovi dijagrami, prednosti..., nedostaci...

tradicionalni simboli za sudove - SaP, SiP, SeP, SoP prednosti...,nedostaci...

Li i Lp, prednosti ..., nedostaci...

Li i Lp ponajvise zadovoljavaju kriterije primjenjivosti, obuhvatnosti,razumljivosti, jednostavnosti,...

Zasto prevodenja na Li i Lp zajedno?

Sve odnose i svojstva koja u nastavi zelimo ispitivati ne mozemo ispitati samo Li. Taj jejezik prilicno grub, no vazan je jer je jednostavniji i jer je Lp zapravo njegova nadgradnja.Na ovaj nacin ucenicima dajemo sredstva za dvije razine analize – grublju i finiju, asvaku ce koristiti prema potrebama.

Primjer 1 – dubine analize

1 Ako su sve jabuke na nasemu stolu iz vrta bake Jage, onda neke jabuke iz vrtabake Jage lijepo mirisu. Sve jabuke na nasemu stolu su iz vrta bake Jage. Dakle,neke jabuke iz vrta bake Jage lijepo mirisu.Za ispitati je li zakljucak valjan nije potrebno ulaziti u finiju analizu. Da bismoispitali slijed mozemo ga formalizirati i ovako: S →M,S Dakle, M . – modusponens

2 Sve jabuke iz vrta bake Jage mirisu. Sve jabuke na nasemu stolu su iz vrta bakeJage. Dakle, sve jabuke na nasemu stolu mirisu.Za ispitati valjanost ovog zakljucka vise nam nije dovoljan jezik logike sudova, jerprevodeci ga na njega njegova valjanost nece biti vidljiva: V, S Dakle, M(za ’Svejabuke na nasemu stolu mirisu.’). Ovaj zakljucak u sustavu logike sudova nijevaljan, no njegova valjanost vidljiva je kada ga izrazimo jezikom logike pojmova:∀x((J(x) ∧ Iz(x, j))→M(x)), ∀x((Jx ∧Na(x, s))→ Iz(x, j)). Dakle,∀x((Jx ∧Na(x, s))→M(x))

Zasto uopce poceti od recenice?

Za raspravu.

Zasto semantika logickih veznika nakon jezika?

Nakon sto su ucenici naucili jezik, trebaju nauciti jos nesto za logiku vaznije –semantiku logickih veznika. Vaznije, jer simboli za recenice, logicke veznike ipojmove mogu biti svakojaki (kao sto su to u povijesti logike bili), no ono cime seu logici bavimo jesu logicka svojstva i odnosi koji ne ovise o tipovima simbolanego o njihovom znacenju (o onome sto oni oznacavaju).Tumacenje recenica (njihovu istinitost ili neistinitost) daju razlicite znanosti, nouvjete istinitosti i neistinitosti logickih veznika iscitava (a ponekad i propisuje)logika: za konjunkciju mozemo reci da iscitava, za disjunkciju i jedno i drugo, zakondicional i jedno i drugo – u nekim primjerima odgovara nasim intuicijama usvakodnevnom govoru, dok u drugima ne)Neke su stvari u logici kao teoriji naprosto proizvod odluke (jer je obican jezikprilicno dvosmislen i nije ga jednostavno prenijeti u sustav koji zahtijeva preciznotumacenje). (npr. hrvatski govorni ’ili’ ponekad je logicki ∨ (lat. vel), ponekad Y(lat. aut), a ponekad ∧ (lat. sive)).Na kraju, svejedno je kako cemo neki veznik nazvati, no vazno je imati predocima uvjete istinitosti i neistinitosti iskazanih slozenih sudova.

Zasto semantika i prirodna dedukcija zajedno?

Obicno se, u udzbenicima iz logike, semantika logickih veznika (istinitosnetablice) i neka sintakticka metoda (aksiomatska ili prirodna dedukcija, ili”stabla”) izlazu odvojeno. Za to postoji i (znanstveno, strucno)opravdanje – sintaksa i semantika odvojene su stvari i ne treba ih mijesati.No, sintakticki i semanticki pojmovi su zamjenjivi – npr. valjanost(semanticki pojam) i izvedivost (sintakticki pojam)U ocjenama o logickim svojstvima i odnosima teksta oslanjamo se i nasintakticke i na semanticke pojmove (ono sto ocijenimo da vrijedi za jednevrijedi i za druge).Osim toga, sintakticke metode (npr. prirodna dedukcija) oslanjaju se nasemantiku (kada bi semantika logickih veznika bila drugacija, drugacija bibila pravila ukljucivanja i iskljucivanja logickih veznika)Kako je u sredistu ovoga prijedloga tekst, prakticno je i vrijedno ukazivatina mnogostrukost nacina utvrdivanja njegovih svojstava.

Semantika Prirodna dedukcija

P Q P ∧Q

2 P . . .

3 Q . . .

4 P ∧ Q 2, 3/ u∧

2 P ∧ Q . . .

3 P 2/ i∧

4 Q 2/ i∧

P Q P ∨Q

2 P . . .

3 P ∨ Q 2/ u∨

2 P ∨ Q . . .

3 P pretp.

5 R . . .

6 Q pretp.

8 R . . .

9 R 2, 3–5, 6–8/ i∨

P Q P → Q

2 P pretp.

3 ... . . .

4 Q . . .

5 P → Q 2–4/ u→

2 P → Q . . .

3 P . . .

4 Q 2, 3/ i→

P ¬P ¬¬PI N I

2 P pretp.

3 Q . . .

4 ¬Q . . .

5 ⊥ 3, 4/ u⊥

6 ¬P 2–5/ u¬

2 ¬¬P . . .

3 P 2/ i¬

Uocite:

da ucenici razumijevajuci semantiku logickih veznaka odmah vjezbajui zakljucivati

da ucenici shvacaju na temelju cega i pod kojim uvjetima sudovemozemo sastavljati i rastavljati

povezuju pojam o istini i neistini sa pojmom o izvedivosti

P Q P → Q

2 P pretp.

3 ... . . .

4 Q . . .

5 P → Q 2–4/ u→

2 P → Q . . .

3 P . . .

4 Q 2, 3/ i→

P ¬P ¬¬PI N I

2 P pretp.

3 Q . . .

4 ¬Q . . .

5 ⊥ 3, 4/ u⊥

6 ¬P 2–5/ u¬

2 ¬¬P . . .

3 P 2/ i¬

Uocite:

da ucenici razumijevajuci semantiku logickih veznaka odmah vjezbajui zakljucivati

da ucenici shvacaju na temelju cega i pod kojim uvjetima sudovemozemo sastavljati i rastavljati

povezuju pojam o istini i neistini sa pojmom o izvedivosti

Svodenje na druge logicke veznike - razumijevanje teorema

Ucenicima je u uocavanju logickih svojstava i odnosa od velike pomoci razumijevanjenekih teorema.Osim sto njime uocavaju odnose sintakse i semantike, shvacaju i meduodnose logickihveznika.Evo jos nekoliko razloga:

Shvacaju da se isto stanje stvari moze i drugacije izrazitiPrimjer 2:Mirka i Slavka su iskrene ≡ Nije slucaj da barem jedna od njih nije iskrena ≡ Nijeslucaj da ako je jedna od njih iskrena, onda da druga nije

Shvacaju da su mnogi razliciti zakljucci semanticki isti – disjunktivni silogizammozemo pretvoriti u modus ponens, ponens u tollens i obrnuto, ovisno o tomekojim veznikom oblikujemo jednu premisuPrimjer 3:

Ako je Pedro pumi,onda nije puli.Pedro je pumi.Dakle, Pedro nije puli.modus ponens

Ako je Pedro puli,onda nije pumi.Pedro je pumi.Dakle, Pedro nije puli.modus tollens

Pedro nije pumi ili nijepuli.Pedro je pumi.Dakle, Pedro nije puli.disjunktivni silogizam

puli i pumi

(a) puli (b) pumi (Pedro)

Slika: psi

Svodenja i razumijevanje negacije slozenih sudova

tumacenja Im Is Im → Is Im ∧ Is Im ∨ Is1. (Im ∧ Is) I I I I I

2. (Im ∧ ¬Is) I N N N I

3. (¬Im ∧ Is) N I I N I

4. (¬Im ∧ ¬Is) N N I N N

[Kljuc tumacenja: Ixza ’x je iskren’; m zaMirku; s za Slavku;u domeni (podrucjuprimjene) neka sunam Mirka i Slavka](tumacenja mozemoshvatiti kao razlicitesvjetove u kojimarazlicite tvrdnje vrijedeo Mirki i Slavki)

Razumjevanje negacije i istovrijednosti (samo neki primjeri koji se mogu iscitati):

Sud Mirka je iskrena ili je iskrena Slavka neistinit je jedino u ”svijetu”(tumacenju) u kojemu vrijedi da Ni Mirka ni Slavka nisu iskrene – to je ondatumacenje negacija gornjega suda, a njemu istovrijedan sud je negacijanjegove negacije: Nije slucaj da ni Mirka ni Slavka nisu iskrene. (ovapretvorba je poznata i kao De Morganov zakon)

na ovoj domeni sud Svi su iskreni poopcenje je suda Mirka i Slavka suiskrene, a njegova je negacija Mirka nije iskrena ili to nije Slavka, odnosno,Netko nije iskren.

Disjunkcijom tvrdimo da je barem jedan disjunkt istinit, sto znaci da akojedan nije, drugi je (Im ∨ Is ≡ ¬Im → Is)

Razumijevanje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora

Vazno je da znaju , na ogranicenim domenama pretvarati nizove sudova ukvantificirane izraze i obrnutoSvijet 1 i Svijet 2:

Svatko je oraholjubac I Zagi i Bijelic su oraholjupci

Netko nije oraholjubac Zagi nije oraholjubac ili to nijeBijelic

Neke vjeverice su oraho-ljupci

Zagi je vjeverica i oraholjubac ilije Bijelic vjeverica i oraholjubac

Sve su vjeverice glo-davci.

Zagi je glodavac ako je vjeverica,i Bijelic je glodavac ako je vjeve-rica.

Postoje dabrovi a pos-toje i vjeverice.

Zagi je dabar ili je Bijelic dabar,te je Zagi vjeverica ili je to Bi-jelic.

Nitko nije dabar ili nitkonije vjeverica

Ni Zagi ni Bijelic nisu dabrovi, ilini jedan ni drugi nisu vjeverice.

Valjanost, slijed, dokazivost

Iako mozemo govoriti o valjanom i nevaljanom sudu, ove pojmove najcescevezemo uz zakljucak.Jedna je sposobnost prosuditi je li zakljucak valjan ili nevaljan, no drugacija jemoci objasniti, korak po korak, zasto je neki valjan i zasto je neki drugi nevaljan.Objasniti se moze formalno i neformalno – vazno je da se u oba nacina uceniciusavrsavaju.Cilj je, prije svega, njegovati umijece neformalnog dokazivanja jer se ono dogadau obicnom jeziku i znak je razumijevanja o cemu se radi, te je (u neartikuliranijemobliku) pretpostavka za umijece gradnje formalnih dokaza.Vazno sredstvo kao gornjem je ovladavanje formalnim dokazom, zbog:

kratkoce izraza

nedvosmislenosti

nema preskakanja u koracima (postupost)

graficke preglednosti

moguce je izraziti sintagme neizrazive u obicnom jeziku

Dokaz – formalan i neformalan. Na primjeru

Primjer 4Sve su igre na srecu uzbudljive. Neki skolski zadaci nisu uzbudljivi.Pitamo se slijedi li iz ovih recenica: Neki skolski zadaci nisu igre na srecu.

[Klju�c tuma�cenja: Sx za 'x je igra na sre�cu'; Ux za 'x je uzbudljiv'; Zx za 'x je �skolski zadatak', p za

Primjer 4; domena: svi predmeti]

Neformalno:P1 Sve su igre na srecu uzbudljive.P2 Neki skolski zadaci nisu uzbudljivi.Pretpostavimo da je Primjer 4 skolski zadatak koji nijeuzbudljiv.Iz toga slijedi da je Primjer 4 skolski zadatak, a takoder i danije uzbudljiv.Nadalje, prema P1 znamo da je Primjer 4 uzbudljiv ako jeigra na srecu, no prema pretpstavci on nije uzbudljiv, pa stoganije ni igra na srecu.Dakle, Primjer 4 je skolski zadatak i nije igra na srecu.Sve ovo vrijedi pod pretpostavkom da je Primjer 4 skolskizadatak koji nije uzbudljiv, no on ne mora nuzno biti takav.Ali prema P2 znamo da barem jedan takav postoji. Stoga,ako se ”rijesimo” Primjera 4 mozemo to tvrditi i bez ovepretpostavke o njemu. A njega se mozemo rijesiti: iz zadnjetvrdnje slijedi: Neki skolski zadaci nisu igre na srecuIz gornjih premisa, dakle, bez dodatnih pretpostavki, slijedi daneki skolski zadaci nisu igre na srecu.

Formalno:1 ∀x(Sx → Ux) pretp.

2 ∃x(Zx ∧ ¬Ux) pretp.

3 p Zp ∧ ¬Up pretp.

4 Zp 3/ i∧

5 ¬Up 3/ i∧

6 Sp → Up 1/ i∀

7 ¬Sp 5, 6/ MT

8 Zp ∧ ¬Sp 4, 7/ u∧

9 ∃x(Zx ∧ ¬Sz) 8/ u∃

10 ∃x(Zx ∧ ¬Sz) 2, 3–9/ i∃

Isto kao i prethodno samo semanticki

Napravimo model (svijet) u kojemu ce premise biti zadovoljene (istinite, ili– koji ce biti primjer za premise)!Ako ce nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i recenica zakoju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta recenica slijedi izzadanih premisa.No ako u nasem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi.Neka se nas svijet sastoji od dvije stvari – Primjera 4 i sinocnje partije pokera

. x je skolskizadatak

x je uzbud-ljiv

x je igra nasrecu

Primjer 4

+ – –

s. partija pokera

– + +

S ovom metodom valja biti

jako oprezan, jer neki zakljucci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za

sve zakljucke kategorickog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta.

x je uzbud-ljiv

x je igra nasrecu

Primjer 4+ –

s. partija pokera

– + +

x je uzbud-ljiv

x je igra nasrecu

Primjer 4+ – –

s. partija pokera

– + +

x je uzbud-ljiv

x je igra nasrecu

Primjer 4+ – –

s. partija pokera

x je uzbud-ljiv

x je igra nasrecu

Primjer 4+ – –

s. partija pokera– + +

PRESKOCI OVAJ! Pogreska u neformalnom dokazu - naprimjeru

Primjer 5Pred vama je jedan pogresan neformalni dokaz. Zaokruzite mjesto na kojemu je u dokazu napravljena prva pogreska i kratkoobjasnite zasto je to pogreska.Pretpostavimo: (1) Stogod je Hamlet prepoznao u oblaku, prepoznao je i Polonije, te (2) Hamlet u oblaku nije prepoznao vuka,no prepoznao je lasicu, a dokazimo da iz njih slijedi da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu, ali ne i vuka.Dokaz:Kako je Polonije u oblaku prepoznao sve sto i Hamlet, slijedi da je u oblaku prepoznao lasicu ako ju je Hamlet prepoznao. Nadaljeslijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao vuka ako ga je Hamlet prepoznao. Kako je Hamlet u oblaku prepoznao lasicu, ali ne ivuka, slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu i da u njemu nije prepoznao vuka.Objasnjenje:......

Odgovor: ” slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu i da u njemu nije prepoznao vuka.”Prema pretpostavci (1) znademo da je ono sto je u oblaku prepoznao Hamlet dostatan uvjet da je isto u njemu prepoznao iPolonije, no Polonije je u njemu mogao prepoznati i stvari koje Hamlet nije.Pogresan korak izrazen formalno:1 ∀x(Phx → Ppx) pretp.

2 Phl ∧ ¬Phv pretp.

3 Phl → Ppl 1/ i∀

4 Phv → Ppv 1/ i∀

5 Phl 2/ i∧

6 ¬Phv 2/ i∧

7 Ppl 3, 5/ i→

8 ¬Ppv 4, 6/ . . .

9 Ppl ∧ ¬Ppv 7, 8/ u∧Kresimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 24 / 36

Nevaljanost (prividno zakljucak)

Logicke se sposobnosti ne iscrpljuju u prepoznavanju recenica koje slijede i njihovom izvodenju.Logicke sposobnosti ukljucuju i sposobnost prepoznavanja i dokazivanja da neka recenica ne slijedi

Pitanje: Kako pokazati da neki zakljucak nije valjan?

Od tradicionalnih sredstava imamo na raspolaganju:

Moduse i figure kategorickog silogizma – svaki zakljucak koji se sastoji iskljucivo od kategorickih sudova (kategorickisilogizam) koji se ne moze podvesti pod neku od figura nije valjan.Problem ovog nacina: ne govori nista o tome zasto konkluzija ne slijedi iz premisa, govori samo da se zakljucak ne mozesvesti na formu vec unaprijed utvrdenih valjanih oblika

Opca pravila kategorickog silogizma (samo neka navodimo) –(1) Nedopusteno prosirenje (tj. neraspodjeljenost) manjeg/srednjeg/veceg pojma – najcesce se napamet uce sudovi ukojima je koji pojam raspodijeljen/neraspodijeljen, a zasto je to zapravo tako nije lako razumijeti (zasto su u npr. esudu raspodijeljeni i S i P ) (2) Iz dvije negativne premise ne slijedi nista. Problem: ponekad slijedi (Neki M nisu P.Nijedan S nije M. Dakle, neki ne-S nisu P.)

tipicni oblici valjanih zakljucaka: ponens, tollens, HS, DS. Problem: sto s valjanim zakljuccima koji nisu tipicni oblici

Tipicni oblici nevaljanih zakljucaka: afirmacija konzekvensa, negacija antecedensa... Problem: sto s nevaljanimzakljuccima za koje ne postoje tipicni oblici

Vennovi i Eulerovi dijagrami – problem nastaje kada imamo vise pojmova koji sudjeluju u zakljucivanju (vec sa cetiripojma postaju tesko pregledni), osim toga ucenici crtajuci krugove trebaju i objasniti zasto zakljucak nije valjan.

Primjetite da nam nijedna od ovih metoda ne govori zasto neki zakljucak nije valjan! Ne dokazuje njegovu nevaljanost!(Vennovi

i Eulerovi dijagrami sami po sebi nista ne govore, no pomocu tumacenja slika mogli bismo dobiti dokaz)

Dokaz o nevaljanosti zakljucka – Li ?

Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, trebamo odgovoriti na jedno drugo:Sto je valjan zakljucak?Odgovor na ovo pitanje razlikuje se prema tome govorimo li o valjanosti natemelju samo odnosa sudova ili valjanosti i na temelju odnosa pojmova.Ako govorimo o valjanosti zakljucka na temelju samo odnosa sudova, ondaje valjan zakljucak onaju kojemu ne postoji tumacenje (redak u istinosnoj tablici) u kojemu jeskup premisa istinit, a konkluzija neistinita.

Zakljucak koji nije valjan, dakle, jest onaj u kojemu postoji takvotumacenje.Ako, pronademo takvo tumacenje, pronasli smo protuprimjer, odnosnoprimjer u kojemu je skup premisa istinit a konkluzija ne (semantickipojam), a to znaci da ona ne slijedi nuzno iz premisa (sintakticki pojam)

Kojim sve metodama mozemo ispitati postoji li takvo tumacenje?

Kojim sve metodama mozemo pronaci protuprimjer?

Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednostiPrimjer 6:Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuzno istinit i P?P → Q Q

? I I I

Uocavamo da na temelju ovih sudova ne mozemo zakljuciti nista oistinitosti suda P , pa mozemo i navesti protuprimjer te tako pokazatida ne slijedi:”U tumacenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise suzadovoljene (istinite), no konkluzija nije”Jednako mozemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisaslijedi ¬P – protuprimjer: P,Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)

Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti

stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer

Vennovi dijagrami (kako je Matic pokazao)

neformalno...Kresimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 27 / 36

IUocavamo da na temelju ovih sudova ne mozemo zakljuciti nista oistinitosti suda P , pa mozemo i navesti protuprimjer te tako pokazatida ne slijedi:”U tumacenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise suzadovoljene (istinite), no konkluzija nije”Jednako mozemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisaslijedi ¬P – protuprimjer: P,Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)

I I IUocavamo da na temelju ovih sudova ne mozemo zakljuciti nista oistinitosti suda P , pa mozemo i navesti protuprimjer te tako pokazatida ne slijedi:”U tumacenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise suzadovoljene (istinite), no konkluzija nije”Jednako mozemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisaslijedi ¬P – protuprimjer: P,Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)

? I I IUocavamo da na temelju ovih sudova ne mozemo zakljuciti nista oistinitosti suda P , pa mozemo i navesti protuprimjer te tako pokazatida ne slijedi:”U tumacenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise suzadovoljene (istinite), no konkluzija nije”Jednako mozemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisaslijedi ¬P – protuprimjer: P,Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)

Primjer stabla – navesti protuprimjer

Primjer 7

Ivo je pas ili je vukIvo je vuk ili je Wolfsspitz

(Slijedi li?)Ivo je pas ili je Wolfsspitz

Metoda stabla jest jedan automatskipostupak. No i nju treba razumjeti,sto znaci ”stablo se zatvorilo” ili ”sta-blo je ostalo otvoreno”? U ovom pri-mjeru smo pronasli protuprimjer zajedan moguci nevaljani zakljucak, tj.pokazali smo da postoji interpretacijau kojoj su premise istinite a konklu-zija ne, a taj (protu)primjer je slucaju kojemu je Ivo vuk a nije pas nitije Vucji spic (Keeshond).Gotovo isto radimo kada neizravnonastojimo dokazati isti zakljucak pri-kazujuci ga kao konjunkciju premisakoja implicira konkluziju pretpostav-ljajuci da je ta implikacija neistinita!

Primjer 7

Nije slucaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz

Primjer 7

Ivo nije pasIvo nije Wolfsspitz

Primjer 7

Ivo je pas

Ivo je vuk

Primjer 7

Ivo je pas

Ivo je vuk

Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz

Primjer 7

Ivo je pas

Ivo je vuk

Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz

Primjer 7

Ivo je pas

Ivo je vuk

Ivo je Wolfsspitz

Primjer 7

Ivo je pas

Ivo je vuk

Ivo je Wolfsspitz

Dokaz o nevaljanosti zakljucka – Lp ?

Pojam zakljucka u kojemu konkluzija slijedi iz odnosa pojmova malo je zahtjevniji:

Valjan zakljucak je onaj u kojemu je konkluzija zadovoljena kadgod su i premisezadovoljene u SVAKOM modelu, ili: Valjan je zakljucak onaj u kojemu ne postoji modelu kojemu su premise zadovoljene a konkluzija nije.Nevaljan je, dakle, onaj za koji postoji model u kojemu su premise zadovoljene akonkluzija nije.

Kako bismo pokazali da neki takav zakljucak nije valjan, trebamo izgraditi protumodel.Jedna (automatska) metoda izgradnje takvog modela je metoda stabla – no uz satnicukoju imamo ne vjerujem da se moze stici.Vjerujem da je dovoljna jedna od sljedecih provjera (sljedecih nacina):(1)Ucenici su vec upoznati s formalnim dokazom i mogu vidjeti je li neki sud izvediv izdrugih – ukoliko vide da nije, nastoje izgraditi model ili ”svijet” u kojemu ce premise bitiistinite, a konkluzija ne.

(2) Ucenici mogu i odmah pokusati pronaci protuprimjer – u mislima provjeriti je li

moguce da je konkluzija neistinita a skup premisa istinit – ako su ga pronasli, mogu ga

navesti, ako nisu mogu pokusati dokazati slijed.

Jedan primjer gradnje protumodela

Primjer 8Kako cemo pokazati da iz premisa (1)’Sve vjeverice su glodavci’ i (2) ’Neki oraholjupcisu glodavci’ ne slijedi konkluzija ’Neki oraholjubci su vjeverice’.

Izgradimo protumodel (svijet) u kojemu ce premise biti istinite, a konkluzija ne!Izgradimo odmah dva svijeta:

Opisimo nase svijetove: u njimapostoje dva predmeta – Zagi i Bijelic(skup predemta koji su u nasemsvijetu nazivamo domenom).

Uocite da su u jednom od ova dva modela (svijeta) zadovoljene i premise i konkluzija,dok su u drugom zadovoljene premise ali ne i konkluzija (zato ga nazivamoprotumodelom za (prividni) zakljucak, prema analogiji sa protuprimjerom)

Protumodel za gornji zadatak je Svijet 1: Zagi je jedina vjeverica i glodavac je (dakle,

sve vjeverice su glodavci); Bijelc je i glodavac i oraholjubac (dakle, neki glodavci su

oraholjupci); no konkluzija u njemu nije istinita, jer u njemu nijedan oraholjubac nije

vjeverica.

Jedan primjer gradnje protumodela

Primjer 8Kako cemo pokazati da iz premisa (1)’Sve vjeverice su glodavci’ i (2) ’Neki oraholjupcisu glodavci’ ne slijedi konkluzija ’Neki oraholjubci su vjeverice’.

Izgradimo protumodel (svijet) u kojemu ce premise biti istinite, a konkluzija ne!Izgradimo odmah dva svijeta:

Opisimo nase svijetove: u njimapostoje dva predmeta – Zagi i Bijelic(skup predemta koji su u nasemsvijetu nazivamo domenom).

Uocite da su u jednom od ova dva modela (svijeta) zadovoljene i premise i konkluzija,dok su u drugom zadovoljene premise ali ne i konkluzija (zato ga nazivamoprotumodelom za (prividni) zakljucak, prema analogiji sa protuprimjerom)

Protumodel za gornji zadatak je Svijet 1: Zagi je jedina vjeverica i glodavac je (dakle,

sve vjeverice su glodavci); Bijelc je i glodavac i oraholjubac (dakle, neki glodavci su

oraholjupci); no konkluzija u njemu nije istinita, jer u njemu nijedan oraholjubac nije

vjeverica.

protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera

Primjer 9Svi koji su izdrzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabriljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrzali ovo predavanje.

Neka se nas svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine. x je hrabar x je izdrzao ovo

predavanjex je strpljiv x je pristojan

+ + + –

Katarina

+ + – +

Mozemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pazadovoljiti premise:

. x je hrabar x je izdrzao ovopredavanje

x je strpljiv x je pristojan

+ + + –

Katarina

– – – +-

Katarina

+ + + –

Katarina

– – – +-

Katarina

+ + + –

Katarina

– – – +-

+ + –

Katarina

+ – +

+ + + –

Katarina

– – – +-

Lovre+ + + –

Katarina+ + – +

+ + + –

Katarina

– – – +-

Lovre+ + + –

Katarina+ + – +

Lovre+ +

Katarina– –

– +-

Lovre+ + + –

Katarina+ + – +

Lovre+ + +

Katarina– –

– +-

Lovre+ + + –

Katarina+ + – +

Lovre+ + + –

Katarina– – – +

Definicija, divizija...

Ako odnose medu pojmovimo onda je ovo mjesto za to.Kao i prije, odnositi se prema njima kao prema posebnim recenicama kojesudjeluju u zakljucku...

Li i Lp Semantika i PD Zadovoljivost/nezadovoljivost; va-ljanost/ nevaljanost

Protuprimjer i protu-model

Def., div. i odnosimedu pojmovima

(1) jezik Li(2) jezik Lp(3,4) Vjezbe

(5) ¬, ∧ i ∀, ∨ i ∃(6) →(7) Y i ↔(8) Svodenja veznikajednih na druge(9,10,11) Vjezbe: PDi semantika (tablice imodeli)

(12) Objasnjenjepojmova(13,14) Vjezbe

(15) Sto je protu-primjer i metoda/enjegova pronalazenja(16) Vjezbe(17) Sto je protumo-del(18,19) Vjezbe

(20) Definicija,nadredeni, podredenii ekvipolentni poj-movi(21) Divizija,ukrsteni, koordiniranii kontradiktorno–koordinirani pojmovi(22) Vjezbe pro-nalazenja def. i div.u tekstu, te njihovihelemenata(23,24) Vjezbe do-kaza u kojima su def.i div. u ulogamapremise

Preostalih 11 sati moguce je rasporediti kroz godinu ovako:

3 sata provjere znanja (+ 2 sata ispravaka/popravaka ocjena) i jos 2 sata analize pismenih radova(ako nemate pismenih radova toliko je potrebno i za usmeni odgovor)

1 sat – zakljucivanje ocjena

preostala 3 sata mogu se rasporediti na poucavanje o induktivnom zakljucku, objasnjenju i dodatnim vjezbama

Sto bih u nastavi izbjegao i zasto

Teorije o pojmu (opcenito: filozofske probleme u pozadini logike),zato sto...

Vrste pojmova, zato sto...

Teorije o sudu i podjele sudova, zato sto...

Dijelom logicki kvadrat, zato sto...

Figure i modusi kategorickog silogizma, zato sto...

Pomocne metode indukcije, zato sto...

Suvremena zamisao formalne aksiomatike, zato sto...

Pogreske u argumentaciji, zato sto...

Vazna napomena na kraju

Ovaj prijedlog nije zamisljen kao propis prema kojemu bi nastavnici trebaliili morali poucavati.Vjerujem da je autonomija nastavnika jedna od vrijednosti koje se ne smijuzatirati i da kvaliteta obrazovnog sustava o njoj ovisi.

Ovaj prijedlog zamisljen je kao pomoc i poticaj na promisljanje o nastavilogike.

Nadam se da ce vam neke zamisli biti korisne!

jedan primjer izvedbenog plana nastave logike...x. gimnazija "ivan supek" 13. listopad...

Documents