Jegyzet az Elektromagneses terek M.Sc. tantargyhoz

2016–05–06

Tartalomjegyzek

1 A legfontosabb eloismeretek osszefoglalasa 31.1 Fobb jelolesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Muveletek, tetelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Koordinatarendszer-fuggetlen muveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Muveletek Descartes-koordinatarendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Az elektromagneses ter alapjellemzoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Az energiamerleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 A terjellemzok viselkedese kozeghataron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Tavvezetekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1 A tavvezetek modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.2 Szinuszos allandosult allapot linearis kozegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Specialis idofuggesu terek analızise 82.1 Idofuggetlen eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Szinuszos allandosult allapot linearis kozegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Altalanos periodikus idobeli valtozas linearis kozegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Abszolut integralhato idofuggveny szerinti valtozas linearis kozegben . . . . . . . . . . . . 92.5 Belepo jellegu idofuggveny szerinti valtozas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 A Maxwell-egyenletek egyertelmu megoldhatosaga linearis kozegek eseteben 10

4 Az elektrodinamika peremertek-feladatai 124.1 A peremertekfeladat (p.e.f.) fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Elektrosztatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Sztatikus magneses ter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Stacionarius aramlasi ter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Stacionarius aramok magneses tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6 Orvenyaramu ter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.6.1 ~A - ϕ modszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.6.2 ~T - ϕm modszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.7 Elektromagneses hullamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.8 Skalaris Poisson-egyenletre vezeto p.e.f.-ok egyertelmu megoldhatosaga . . . . . . . . . . . 19

5 A vegeselem-modszer (FEM) alapjai 205.1 A parcialis differencialegyenlet (PDE) gyenge alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Pelda: elektrosztatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

6 Az integralegyenletek modszere 236.1 Momentum-modszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Pelda: Sıkkondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Az idobeli vegesdifferenia-modszer (FDTD) 257.1 Centralis masodrendu veges differencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.2 Egydimenzios eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.3 A racsmeretek megvalasztasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.4 Az FDTD elonyei es hatranyai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 A Green-fuggvenyek 288.0.1 P.e.f. 0: Vegtelen-vegtelen tavvezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.0.2 P.e.f. 1: Rovidzar-vegtelen tavvezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.0.3 P.e.f. 2: Szakadas-vegtelen tavvezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8.1 A Green-fuggveny haszalata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 A Green-fuggveny meghatarozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.3 Green-fuggveny - Elektrosztatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.3.1 A Green-fuggveny ellenorzese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4 Green-fuggveny - Stacionarius aramok magneses tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.5 Green-fuggveny - Elektromagneses hullamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Tavvezetek-tranziensek szamıtasa 339.1 Abszolut integralhato idofuggveny szerinti valtozas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.2 Belepo jellegu idofuggveny szerinti valtozas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10 Elektromagneses inverz feladatok 37

11 Optimalizalasi modszerek inverz es tervezesi feladatokhoz 37

12 Csotapvonalak 37

13 A Hertz-dipolus elektromagneses tere 37

14 Sıkhullamok 37

2

1 A legfontosabb eloismeretek osszefoglalasa

1.1 Fobb jelolesek

A jegyzetben hasznalt fobb jelolesek:

Jeloles Jelentes~v 3D-s terbeli vektorM Matrix~v ~v Skalaris szorzat

~v1×~v2 Vektorialis szorzat~v1⊗~v2 Diadikus szorzatU Komplex csucsertek|~v| Vektor abszolut erteke

1.2 Muveletek, tetelek

1.2.1 Koordinatarendszer-fuggetlen muveletek

Vektormezo divergenciaja - definıcio (A egy zart felulet, V a hatarolt terfogat):

div ~v = lim∆V→0

∮A~vd~A

∆V(1.1)

Muveleti azonossagok:div (~v1×~v2) = ~v2rot ~v1 − ~v1rot ~v2 (1.2)

div (u~v) = ~v gradu+ udiv ~v (1.3)

∆~v = grad div ~v − rot rot ~v (1.4)

rotu~v = gradu×~v + u rot ~v (1.5)

Gauss-tetel (A egy zart felulet, V a hatarolt terfogat, d~A a terfogatbol kifele mutato feluleti normalis):∮A

~vd~A =

∫V

div ~v dV (1.6)

Stokes-tetel (L egy zart gorbe, A a hatarolt felulet, L koruljarasa es A feluleti normalisa a jobbcsavarszabaly szerint van osszerendelve): ∮

L

~vd~l =

∫A

rot ~v d~A (1.7)

A Fourier-transzformacionak es inverzenek formulaja:

F (ω) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt (1.8)

f(t) =1

2π

∞∫−∞

F (ω)ejωtdω (1.9)

3

A Laplace-transzformacio formulaja:

F (s) =

∞∫−0

f(t)e−stdt (1.10)

Fuggvenyek belso szorzata:

< f1, f2 >=

∫Ω

f1f∗2 dΩ (1.11)

ahol f1 es f2 az Ω tartomanyon ertelmezett ket fuggveny, melyek negyzetesen integralhatok, valamint ∗

a konjugalast jelenti.

1.2.2 Muveletek Descartes-koordinatarendszerben

Skalarmezo gradiense - kiszamıtas:

gradϕ(x, y, z) =∂ϕ

∂x~ex +

∂ϕ

∂y~ey +

∂ϕ

∂z~ez (1.12)

Vektormezo divergenciaja - kiszamıtas:

div ~v =∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

(1.13)

Vektormezo rotacioja - kiszamıtas:

rot ~v =

∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

vx vy vz

∣∣∣∣∣∣ (1.14)

1.3 Az elektromagneses ter alapjellemzoi

Az elektromagneses termennyisegek az idotartomanyban altalanosan 4 valtozos fuggvenyek (3 db terdimenzio,

1 db idodimenzio). Az elektromos tererosseg peldajaval: ~E = ~E(~r, t), Descartes-koordinatarendszerben~E(x, y, z, t), gombi koordinatarendszerben ~E(r, ϑ, ϕ, t).

A Maxwell-egyenletek differencialis alakja:

rot ~H = ~J +∂ ~D

∂t(1.15)

rot ~E = −∂~B

∂t(1.16)

div ~B = 0 (1.17)

div ~D = % (1.18)

Anyagegyenletek linearis, izotrop kozeg eseten:

~B = µ~H = µ0~H + µ0

~M (1.19)

~D = ε~E = ε0~E + ~P (1.20)

4

Energiasuruseg:

w =1

2~E~D +

1

2~H~B (1.21)

Anizotrop linearis kozeg eseten az anyagegyenletekben tenzorokat hasznalunk: ~D = ε~E, es ~B = µ~H.

A differencialis Ohm-torveny:~J = σ(~E + ~Eb) + ~Jb (1.22)

~M a magnesezettseg. ~P a polarizacio, nincs mellette ε0 szorzo. ~Eb a beiktatott elektromos tererosseg,~Jb a beiktatott aramsuruseg, melyek nem kulso elektromos forrasbol szarmaznak.

Az elektromagneses ter erohatasa:~F = Q(~E + ~v×~B) (1.23)

Az anyag viselkedesenek leırasa igen valtozatos lehet, gyakran egeszen bonyolult kapcsolat is elkepzelheto(ilyen pl. a hiszterezis jelensege a magneses anyagoknal). Az anyag viselkedesevel es ennek leırasavalkapcsolatos tovabbi reszletek Dr. Veszely Gyula jegyzeteben talalhatok.

1.4 Az energiamerleg

Az energiat elemezve jutunk el oda, hogy az elektromagneses ter tarolja az energiat (nem pedig pl. a toltesvagy az aram), valamint ıgy jutunk el a Poynting vektorhoz, amely a teren beluli teljesıtmenyaramlastırja le. Az energia idobeli valtozasat tobbfele jelenseg is okozhatja. Ezert fontos, hogy minderremeghatarozzunk egy matematikai modellt. A levezetes vegen egy olyan egyenletet szeretnenk latni, ame-lyik egyik oldalan az energia idobeli valtozasa szerepel, a masik oldalan pedig a forras- es termennyisegekettartalmazo, elkulonıtheto kifejezesek osszege.

Szorozzuk meg az elso Maxwell-egyenletet ~E-vel, a masodikat pedig ~H-val:

~E rot ~H = ~E~J + ~E∂ ~D

∂t(1.24)

~H rot ~E = −~H∂~B

∂t(1.25)

Vonjuk ki az elsot a masodikbol:

~H rot ~E− ~E rot ~H = −~H∂~B

∂t− ~E~J− ~E∂

~D

∂t(1.26)

A jobb oldali osszeg utolso tagjaban helyettesıtsuk ~E-t a differencialis Ohm-torveny alapjan (~E =~Jσ −

~Jb

σ − ~Eb), valamint a bal oldalon hasznaljuk ki a 1.2 vektormuveleti azonossagot:

div (~E×~H) = −~H∂~B

∂t− ~E∂

~D

∂t− J2

σ+~Jb~J

σ+ ~Eb

~J (1.27)

Ezutan integraljuk mindket oldalt a vizsgalt terfogatra, valamint a bal oldalon rogton haszaljuk is fel aGauss-tetelt (1.6):∮

A

(~E×~H)d~A = −∫V

(~H∂~B

∂t+ ~E

∂ ~D

∂t

)dV −

∫V

J2

σdV +

∫V

~Jb~J

σdV +

∫V

~Eb~JdV (1.28)

5

Szorozzunk be -1-gyel, es rendezzunk at, valamint hasznaljuk ki az idobeli derivaltas kifejezesek alakjat(”kulso fuggveny derivaltja a belso szerint, szorozva belso fuggveny derivaltjaval”):

− ∂

∂t

∫V

(1

2~H~B +

1

2~E~D

)dV =

∫V

J2

σdV −

∫V

~Jb~J

σdV −

∫V

~Eb~JdV +

∮A

(~E×~H)d~A (1.29)

Ez az egyenlet az elektromagneses ter energiamerlege. (Bovebben lasd Dr. Veszely Gyula segedanyagat.)

1.5 A terjellemzok viselkedese kozeghataron

1. abra. Kozeghatar jelolesei

A ket kozegbeli terellemzok kozotti osszefuggesek:

~en×(~H2 − ~H1) = ~K (1.30)

~en×(~E2 − ~E1) = 0 (1.31)

~en(~B2 − ~B1) = 0 (1.32)

~en(~D2 − ~D1) = σ (1.33)

Az 1 es 2 indexek rendre a kozeghatar egyik es masik oldalan levo termennyisegeket jelolik. A magnesestererosseg tangencialis komponense a hataron levo ~K feluleti aramsuruseg szerint valtozik. Az elektro-mos tererosseg tangencialis komponense folytonos a hataron. A magneses indukcio normalis kompo-nense folytonos a hataron. A dielektromos eltolasvektor normalis komponense a hataron levo σ feluletitoltessuruseg szerint valtozik.

1.6 Tavvezetekek

1.6.1 A tavvezetek modellje

A konvencio szerint a tavvezetek a z iranyban helyezkedik el. Az egyeb iranyokban sztatikusan (azazvaltozas nelkul) modellezzuk. A tavvezeteket elosztott parameteru halozattal ırjuk le.

6

2. abra. Tavvezetek rajzjele es egysegnyi hosszu darabjanak helyettesıto kapcsolasa

A tavvezetekek feszultseget es aramat a tavıro-egyenletekkel ırjuk le:

−∂u∂z

= R′i+ L′∂i

∂t(1.34)

− ∂i∂z

= G′u+ C ′∂u

∂t(1.35)

ahol R′, L′, C ′, G′ rendre a tavvezetek hosszegysegre eso ellenallasa, hosszegysegre eso induktivitasa,hosszegysegre eso kapacitasa es hosszegysegre eso vezetokepessege. Idealis tavvezetek eseten R′ es G′

nulla. K ′(z) ertelmezese: Pl. ha van egy I0 aramforras a z0 helyen, akkor

K ′(z) = I0δ(z − z0). (1.36)

A tavvezetek-szamıtasok egyik kulcsfontossagu egyenletenek levezetesehez derivaljuk le z szerint az elsoegyenletet, majd helyettesıtsuk be ∂i

∂z -t. Eredmenyul egy homogen parcialis differencialegyenletet (PDE-t) kapunk:

∂2u

∂z2−R′G′u− (R′C ′ + L′G′)

∂u

∂t− L′C ′ ∂

2u

∂t2= 0 (1.37)

A feszultsegre vonatkozo hullamegyenletet megkapjuk, ha az elso egyenlet hosszmenti derivaltjat ( ∂∂z )behelyettesıtjuk a masodikba:

∂2U(z)

∂z2+ k2U(z) = −aK ′(z) (1.38)

ahol

a =1

R′ + jωL′, (1.39)

k2 = −(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′), (1.40)

A differencialegyenletek megoldasahoz termeszetesen a peremfeltetelek is szuksegesek.

1.6.2 Szinuszos allandosult allapot linearis kozegben

A feszultseget es az aramot komplex csucsertekekkel reprezentaljuk: u(z, t) = <U(z)ejωt, i(z, t) =<I(z)ejωt. A tavvezetek-egyenletek szinuszos allandosult allapotban:

−∂U∂z

= R′I + jωL′I (1.41)

−∂I∂z

= G′U + jωC ′U −K ′(z) (1.42)

7

Igy a homogen PDE-nk:

d2U(z)

dz2−R′G′U(z)− (R′C ′ + L′G′)jωU(z)− L′C ′(jω)2U(z) = 0 (1.43)

Az aram es a feszultseg komplex csucserteke kozotti osszefugges:

I(z) = −dU(z)

dz

1

R′ + jωL′(1.44)

A feszultseg es az aram komplex csucserteke a tavvezetek menten:

U(z) = U+e−γz + U−eγz (1.45)

I(z) =U+

Z0e−γz − U−

Z0eγz (1.46)

Ahol

Z0 =

√R′ + jωL′

G′ + jωC ′(1.47)

a tavvezetek hullamimpedanciaja,

γ =√

(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′) = α+ jβ (1.48)

a feszultseg- es aramhullam terjedesi tenyezoje a tavvezeteken, U+ es I+ a pozitıv iranyban haladohullamosszetevok, U− es I− pedig a negatıv iranyban halado hullamosszetevok. Idealis tavvezetek

eseten Z0 =√

L′

C′ , γ = jβ = jω√L′C ′ = j ωc , ahol c a fenysebesseg az adott kozegben.

2 Specialis idofuggesu terek analızise

2.1 Idofuggetlen eset

Ekkor az idobeli derivalas egyenerteku a nullaval valo szorzassal ( ∂∂t ) = 0. A sztatikus Maxwell-egyenletek: A Maxwell-egyenletek differencialis alakja:

rot ~H = ~J (2.1)

rot ~E = 0 (2.2)

div ~B = 0 (2.3)

div ~D = % (2.4)

2.2 Szinuszos allandosult allapot linearis kozegben

Ekkor a termennyisegvektorok egyes komponensei ugyanakkora ω korfrekvenciaval valtoznak, pl. Descartes-koordinatakban ıgy ırhato fel az elektromos ter:

~E(r, t) = Ex(r) cos(ωt+ ϕx)~ex + Ey(r) cos(ωt+ ϕy)~ey + Ez(r) cos(ωt+ ϕz)~ez (2.5)

(az egyes komponensek amplitudoja es fazisszoge elterhet). A termennyisegeket ebben az esetben komplexcsucsertekekkel modellezzuk. Peldaul az elektromos tererosseg:

~E(r, t) = Re(Ex(r)~ex + Ey(r) ~ey + Ez(r)~ez)ejωt (2.6)

8

ennek x komponense:

Ex(r, t) = ReEx(r)ejωt (2.7)

melynek komplex csucserteke:

Ex(r) = Ex(r)ejϕ (2.8)

Vigyazat, az Ex(r) komplex csucsertek az elektromos tererossegnek csak az x komponense, de a teljesr-tol fugg. Az idobeli derivalas egyenerteku jω-val valo szorzassal ( ∂∂t = jω). Igy idoben algebraiegyenletekkel lehet vegezni a szamıtast, ami egyszerubb. Tovabba mar csak 3 db fuggetlen valtozo van.A Maxwell-egyenletek a szinuszos allandosult allapotban, komplex csucsertekekkel:

rot ~H(~r) = ~J(~r) + jω~D(~r) (2.9)

rot ~E(~r) = −jω~B(~r) (2.10)

div ~B(~r) = 0 (2.11)

div ~D(~r) = % (2.12)

Rossz vezetok eseten erdemes bevezetni a komplex permittivitast. Ezt az elso Maxwell egyenletbolkapjuk:

rot ~H = σ~E + jωε~E = jω(ε− j σω

)~E = jωε~E (2.13)

A komplex permittivitas algebrai alakban ε = ε′ − jε′′. Ebbol adodik a vesztesegi tenyezo (ami pl.szigetelok tervezesenel fontos mennyiseg):

tan δ =ε′′

ε′(2.14)

2.3 Altalanos periodikus idobeli valtozas linearis kozegben

Ezek az idofuggvenyek Fourier-sorba fejthetok, azaz felırhatok kulonfele korfrekvenciaju sin es cos fuggvenyeklinearis kombinaciojakent. Az analızist frekvenciakomponensenkent kell elvegezni a szinuszos idobelivaltozasra ismert modszerekkel, majd az eredmenyeket a sorbafejtesnek megfeleloen osszegezni kell.

2.4 Abszolut integralhato idofuggveny szerinti valtozas linearis kozegben

Ezek az idofuggvenyek Fourier-transzformalhatok. Az idobeli derivalas egyenerteku jω-val valo szorzassal( ∂∂t = jω)A Maxwell-egyenletek alakja ez esetben:

rot ~H(~r, jω) = ~J(~r, jω) + jω~D(~r, jω) (2.15)

rot ~E(~r, jω) = −jω~B(~r, jω) (2.16)

div ~B(~r, jω) = 0 (2.17)

div ~D(~r, jω) = %(~r, jω) (2.18)

Igy is 4 darab fuggetlen valtozonk van, de ido szerinti derivalas mar nem szerepel az egyenletekben.Az idotartomanybeli konvolucio muvelete a frekvenciatartomanyban szorzasnak felel meg, ami tovabbegyszerusıtheti a szamıtasokat, pl. az idobeli diszperzioval rendelkezo anyagoknal a frekvenciafuggetlenanyagjellemzo bevezetesevel.

9

2.5 Belepo jellegu idofuggveny szerinti valtozas

Amennyiben a rendszer eredetileg energiamentes volt, a terjellemzoket leıro fuggvenyek ido szerintLaplace-transzformalhatok. Az idobeli derivalas egyenerteku s-sel valo szorzassal ( ∂∂t = s). Igy idoben al-gebrai egyenletekkel lehet vegezni a szamıtast, ami egyszerubb. Az idotartomanybeli konvolucio muveletea komplex frekvenciatartomanyban szorzasnak felel meg, ami tovabb egyszerusıtheti a szamıtasokat. AMaxwell-egyenletek alakja ez esetben:

rot ~H(~r, s) = ~J(~r, s) + s~D(~r, s) (2.19)

rot ~E(~r, s) = −s~B(~r, s) (2.20)

div ~B(~r, s) = 0 (2.21)

div ~D(~r, s) = %(~r, s) (2.22)

A Kirchhoff-halozatok eseteben a komplex frekvenciatartomanybeli fuggvenyek (amelyeknek s a valtozoja)mindig polinomok hanyadosakent alltak elo. Az elektromagneses terek eseteben viszont ez tobbnyire nemteljesul, ıgy ekkor a reszlettortekre bontason alapulo inverz transzformacios modszer sem alkalmazhato.

3 A Maxwell-egyenletek egyertelmu megoldhatosaga linearis kozegekeseteben

A Maxwell-egyenletek linearis kozegben egyertelmuen megoldhatok, ha adottak az alabbiak:

• kezdeti ertekek: ~E(~r, t0) es ~H(~r, t0) (~r ∈ V )

• beiktatott mennyisegek: ~Eb(~r, t) es ~Jb(~r, t) (~r ∈ V, t ≥ t0)

• tangencialis komponensek: vagy ~Et(~r, t) vagy ~Ht(~r, t) (~r ∈ A, t ≥ t0)

ahol A a V terfogatot hatarolo felulet. Az elektromagneses teret leıro fuggvenyeket a Maxwell-egyenleteksegıtsegevel akarjuk meghatarozni. Ehhez ket dolgot kell megvizsgalnunk: letezik-e megoldas (azazteljesul-e az egszisztencia), es egyertelmu-e a megoldas (azaz teljesul-e az unicitas). Az egzisztenciateljesulesevel a tantargyban nem foglalkozunk.Az unicitas teljesuleset indirekt modon bizonyıtjuk (ez gyakori eljaras az olyan teteleknel, amelyekbenegyertelmusegrol van szo). A Maxwell-egyenletek eseteben tehat tetelezzuk fel, hogy a megoldas nemegyertelmu.Vegyunk ket eltero megoldast: az elektromos tererosseg eseten ~E1-et es ~E2-t, a magneses tererossegeseten pedig ~H1-et es ~H2-t. Ezek idobeli kezdeti ertekei, terbeli peremfeltetelei es forrasai megegyeznek(hisz mindeket megoldas ugyanazon feladathoz tartozik). Kepezzuk a megoldasok kulonbseget (azt kellbebizonyıtanunk hogy ez nulla):

~H0 = ~H2 − ~H1 (3.1)

~E0 = ~E2 − ~E1 (3.2)

melyekkel a gerjesztettsegi mennyisegek kulonbsegi fuggvenyei:

~B0 = µ~H0 (3.3)

~D0 = ε~E0 (3.4)

10

valamint a beiktatott mennyisegek kiesese miatt

~J0 = σ~E0 (3.5)

Az idobeli kezdeti ertekek:~E0(~r, t0) = 0 (3.6)

~H0(~r, t0) = 0 (3.7)

mert a ket megoldas kezdeti ertekei megegyeznek.Terbeli peremfeltetelkent vagy ~E, vagy ~H van megkotve, azaz vagy

~E0,t(~r, t) = 0 (3.8)

vagy~H0,t(~r, t) = 0 (3.9)

A Maxwell-egyenleteket az ~E1 es az ~E2 terre kulon-kulon ırjuk fel, majd vonjuk ki az egyenleteketegymasbol es helyettesıtsuk az ~E1 − ~E2 kifejezest ~E0-val (~H-ra hasonloan):

rot ~H0 = σ~E0 + ε∂~E0

∂t(3.10)

rot ~E0 = −µ∂~H0

∂t(3.11)

Szorozzuk meg az elso Maxwell-egyenletet ~E0-val, a masodikat pedig ~H0-val es vonjuk ki a masodikbolaz elsot:

~H0 rot ~E0 − ~E0 rot ~H0 = −µ~H0∂ ~H0

∂t− σ~E0

~E0 − ε~E0∂~E0

∂t(3.12)

A bal oldalon hasznaljuk a (1.2) vektormuveleti azonossagot, es alakıtsuk at idobeli derivaltat tartalmazoszorzatokat:

div (~E0×~H0) = −|~J0|2

σ− ∂

∂t

(1

2µ|~H0|2 +

1

2ε|~E0|2

)(3.13)

Integraljunk terfogatra, rendezzunk at es hasznaljuk a Gauss-tetelt a divergenciat tartalmazo kifejezesre:

∂

∂t

∫V

(1

2µ|~H0|2 +

1

2ε|~E0|2

)dV = −

∫V

|~J0|2

σdV −

∮A

(~E0×~H0)d~A (3.14)

Ez az egyenlet a kulcs. A bal oldalon egy pozitıv erteku integral valtozasa szerepel. A jobb oldal feluletiintegralt tartalmazo kifejezese nulla, mert a peremfeluleten vagy ~E0,t vagy ~H0,t nulla (lasd feljebb). Ajobb oldalon maradt tehat az aramsuruseget tartalmazo kifejezes, mely (az integral elojelevel egyutttekintve) kisebb vagy egyenlo nullaval. A bal oldali integral valtozasa tehat vagy negatıv, vagy nulla.Ez a valtozas negatıv viszont nem lehet, mivel a bal oldalon szereplo kulonbsegi termennyisegek idobelikezdeti erteke nulla (lasd feljebb), es negatıv valtozas eseten az integral negatıvva valna, de nem lehetnegatıv a benne szereplo mennyisegek (pozitıv konstansok es negyzetszamok) miatt. Ezert a jobb oldalnem lehet negatıv. Marad tehat az, hogy a jobb oldal nulla, ıgy a bal oldali integal valtozasa is nulla,azaz nem valtozik. Osszegezzunk: a bal oldali integral idobeli kezdeti erteke nulla, es nem valtozik,tehat vegig nulla is marad a vizsgalt terben es idoben (~r ∈ V, t ≥ t0). Ez csak ugy lehet, ha a bal oldali

integralban szereplo ~E0 es ~H0 is nulla a vizsgalt terben es idoben. Ha ezek a kulonbsegi fuggvenyeknullak, akkor az elejen feltett ket megoldas megegyezik, es ez az amit be akartunk bizonyıtani, tehatteljesul az unicitas.

11

4 Az elektrodinamika peremertek-feladatai

4.1 A peremertekfeladat (p.e.f.) fogalma

Egy peremertekfeladatban a adottak a forrasok, az anyagjellemzok es a peremfeltetelek, es a cel azelektromagneses termennyisegek meghatarozasa. Az elektrodinamika kulonfele teruleteire kulonbozop.e.f.-ot fogalmazunk meg. A mernok feladata, hogy a fizikai valosagot modellezze egy p.e.f.-tal, ami amatematikusok altal kidolgozott modszerekkel mar metodikusan megoldhato. Egy p.e.f. modellezesenekes megoldasanak folyamata:

1. ırjuk fel a Maxwell-egyenleteknek a feladatra vonatkozo redukalt alakjat (pl. elektrosztatika);

2. vezessuk be a teret jellemzo potencialokat (pl. ϕ(~r));

3. ırjuk fel a potencialokra vonatkozo differencial-egyenleteket (pl. ∆ϕ = −%ε );

4. adjuk meg a peremfelteteleket;

5. vegul adjuk meg az egyenletek megoldasat (pl. ϕ(~r) = . . . ).

4.2 Elektrosztatika

Jellemzok: ∂∂t = 0, forrasa % (es ~Eb), es ~E meghatarozasa a cel, peldaul az alabbi abran a V-vel jelolt

terfogatreszben. Ezt a modellt hasznaljuk peldaul szigeteloelrendezesek tervezesenel.

3. abra. Elektrosztatikai elrendezes ket elektrodaval

A vonatkozo egyenletek:rot ~E = 0 (4.1)

div ~D = % (4.2)

~D = ε~E (4.3)

A teret ebben az esetben az elektromos skalarpotenciallal (ϕ) celszeru jellemezni, azaz ~E = −gradϕ

(mert ~E rotaciomentes). Az erre felırhato diff. egyenlet:

−div εgradϕ = % (4.4)

A peremfeltetelek: ΓD : ϕ adott, ΓN : ε∂ϕ∂n adott.

Ennek szabadteri megoldasa es illusztracioja:

ϕ(~r) =1

4πε

∫V

%(~r′)

|~r−~r′|dV ′ (4.5)

12

4. abra. Elektrosztatikai p.e.f. szabadterben

(A szabadter azt jelenti, hogy a ter vegtelen, a toltesek pedig veges tartomanyon belul vannak.)

4.3 Sztatikus magneses ter

Jellemzok: ∂∂t = 0, ~J = 0. A ter forrasa lehet allando magnes, vagy elektromagnes (amelynek aram alatt

levo vezetekei a vizsgalt terreszen kıvul vannak). A cel ~H meghatarozasa. Ezt a modellt hasznaljukpeldaul allando magneses generatorok, motorok meretezesehez magneses tulajdonsagok szempontjabol.

5. abra. Elrendezes pelda a sztatikus magneses ter vizsgalatahoz

A vonatkozo egyenletek:rot ~H = 0 (4.6)

div ~B = 0 (4.7)

~B = µ0~H + µ0

~M (4.8)

A teret ebben az esetben a magneses skalarpotenciallal (ϕm) celszeru jellemezni, azaz ~H = −gradϕm(mert ~H rotaciomentes). Az erre felırhato diff. egyenlet az elso egyenlet alapjan:

−divµ0gradϕm = −divµ0~M (4.9)

A peremfeltetelek: ΓD : ϕm adott, ΓN : µ∂ϕm

∂n adott.

4.4 Stacionarius aramlasi ter

Jellemzok: ∂∂t = 0, a ter forrasa ~Jb, es ~E meghatarozasa a cel. Erre pelda a villamharıtok foldelese korul

kialakulo ter. Ezt a modellt hasznaljuk aramkori retegellenallasok bevagassal torteno beallıtasahoz is.

13

6. abra. Balra: Villamharıto foldelesenek egyszeru modellje. Jobbra: Bevagassal beallıtottretegellenallas modellje.

A vonatkozo egyenletek:div ~J = 0 (4.10)

rot ~E = 0 (4.11)

~J = σ(~E + ~Eb) + ~Jb (4.12)

(Az elso egyenlet az elso Maxwell-egyenletbol divergenciakepzessel adodik.) A teret ebben az esetben is

skalarpotenciallal (ϕ) celszeru jellemezni, azaz ~E = −gradϕ (mert ~E rotaciomentes). Az erre felırhatodiff. egyenlet az elso egyenlet alapjan:

−div σgradϕ = −div σ~Eb − div ~Jb (4.13)

A peremfeltetelek: ΓD : ϕ adott, ΓN : σ ∂ϕ∂n adott.

4.5 Stacionarius aramok magneses tere

Jellemzok: ∂∂t = 0, a ter forrasa ~Jb, es ~H meghatarozasa a cel. Ezt a modellt hasznaljuk peldaul

tavvezetekek hosszegysegre eso induktivitasanak meghatarozasahoz.A vonatkozo egyenletek:

rot ~H = ~J (4.14)

div ~B = 0 (4.15)

~B = µ~H (4.16)

A teret ebben az esetben vektorpotenciallal (~A) celszeru jellemezni, azaz ~B = rot ~A (mert ~B forrasmentes).Vektorpotencial bevezetesekor annak divergenciajt is elo lehet ırni, amit szabadon megtehetunk (eztmertekvalasztasnak is nevezik). A diff. egyenletunkhoz az elso egyenletet vegyuk kiindulaskeppen:

rot( 1

µrot ~A

)= ~J (4.17)

A mertekvalasztas: div ~A = 0 (Coulomb-mertek). A peremfeltetelek: ΓH : Ht adott, ΓB : Bn,i adott.Amennyiben a kozeg permeabilitasa mindenhol ugyanaz, hasznaljunk fel egy vektormuveleti azonossagot(1.4), amivel a diff. egyenlet:

grad div ~A−∆~A = µ~J (4.18)

A mertekvalasztas miatt a bal oldal elso tagja nulla. Az elojelet vigyuk at a masik oldalra. A vektorpo-tencialra felırhato diff. egyenlet tehat:

∆~A = −µ~J (4.19)

14

A differencialegyenlet szabadteri megoldasa:

~A(~r) =µ

4π

∫V

~J(~r′)

|~r−~r′|dV ′ (4.20)

Ebbol az r valtozo szerinti rotaciokepzessel megkaphato a regebben megismert Biot-Savart torveny:

~B(~r) =µ

4π

∫V

~J(~r′)×(~r−~r′)|~r−~r′|3

dV ′ (4.21)

A stacionarius aramok magneses teret egy masik p.e.f. megfogalmazasaval is vizsgalhatjuk. Eszerint ~H-tfelbontjuk ket tag osszegere az alabbiak szerint:

~H = ~Hs + ~Hr (4.22)

rot ~Hs = ~J (4.23)

rot ~Hr = 0 (4.24)

~Hr rotaciomentessege miatt azt felırhatjuk egy skalarpotencial gradiensekent (~Hr = −gradϕr), ıgykapunk egy ujabb diff. egyenletet a harmadik Maxwell-egyenlet alapjan:

−div (µ gradϕr) = −divµ~Hs (4.25)

A peremfeltetelek: ΓD : ϕr adott, ΓN : µ∂ϕr

∂n adott.~Hs szabadon megvalaszthato, az egyetlen megkotes, hogy elegıtse ki az (4.23) egyenletet. Tipikusan a J

altal szabadterben gerjesztett teret szoktak valasztani, amely a Biot-Savart torvennyel ~J-bol felırhato:

~Hs(r) =1

4π

∫V

~J(~r′)×(~r−~r′)|~r−~r′|3

dV ′ (4.26)

4.6 Orvenyaramu ter

Ez esetben van idobeli valtozas. A vizsgalt terreszben van nem vezeto (pl. levego) es vezeto kozeg (pl.

vas) is. A ter forrasa ~Jb, ami csak a nem vezeto kozegben van (pl. a levegoben elhelyezkedo, arammal

atjart vezeto tekercs). A cel mind ~E, mind ~H meghatarozasa. Ez a modell hasznos pl. transzformatorokvasmaglemezelesenek meretezesekor, vagy barmilyen indukcios elven mukodo futoeszkoz tervezesekor.Jeloljuk a nem vezeto es a vezeto terreszt Ωl-lel es Ωv-vel a sorrendnek megfeleloen.

7. abra. Az orvenyaramu ter tartomanyai a jelolesekkel

15

Az Ωl-re vonatkozo egyenletek:rot ~H = ~Jb vagy div ~J = 0 (4.27)

div ~B = 0 (4.28)

~B = µ~H (4.29)

Az Ωv-re vonatkozo egyenletek:rot ~H = ~J (4.30)

rot ~E = −∂~B

∂t(4.31)

div ~B = 0 (4.32)

~B = µ~H (4.33)

~J = σ~E (4.34)

A peremfeltetelek:

• Nem vezeto kozeg: Γl,H : ~Ht adott, Γl,B : Bn adott,

• Vezeto kozeg: Γv,H : ~Ht adott, Γv,E : ~Et adott,

• A kozegek hataran: Γv−l,H : (~Hl − ~Hv)×~en = 0, Γv−l,B : (Bl,n −Bv,n) = 0.

4.6.1 ~A - ϕ modszer

Ket potencialt ırunk elo: egy vektor- es vektorpotencialt. Ezekre ket diff. egyenletet kell felırnunk akozegekben osszeszedett informaciok segıtsegevel.Informacioink Ωl-ben:

• ~B = rot ~A;

• rot ( 1µ rot ~A) = ~Jb;

• div ~A erteke adott (pl. Coulomb-mertekkel);

• a peremfeltetelek adottak (kiveve a vektorpotencialra vonatkozoan, mert azok osszefuggenek amertekvalasztassal).

Tehat Ωl-ben csak ~A ismeretlen, ami ezekkel az informaciokkal meghatarozhato. Informacioink Ωv-ben:

• ~B = rot ~A;

• rot ~E = − ∂∂t rot ~A;

• a mertekvalasztas adott;

• a peremfeltetelek adottak.

16

Itt be kell vezetnunk egy skalarpotencialt is hogy meg tudjuk hatarozni a szukseges mennyisegeket.Rendezzuk at az Ωv-ben felırt diff. egyenletet:

rot(~E +

∂

∂t~A)

= 0 (4.35)

Ebben a rotacio belsejeben levo kifejezes felırhato egy skalarpotencial gradiensekent:(~E +

∂

∂t~A)

= −gradϕ (4.36)

Ezt rendezzuk ~E-re:~E = − ∂

∂t~A− gradϕ (4.37)

Majd helyettesıtsuk be az elso Maxwell-egyenlet Ωv-re redukalt valtozataba:

rot( 1

µrot ~A

)= −σgradϕ− σ∂

~A

∂t(4.38)

Ezt atrendezve kapjuk a p.e.f. elso diff. egyenletet. A masodikat pedig ~E-t div ~J = 0-ba valo helyettesıtesselkapjuk. A p.e.f. ket diff. egyenlete Ωv-ben tehat:

rot( 1

µrot ~A

)+ σgradϕ+ σ

∂ ~A

∂t= 0 (4.39)

div(σgradϕ+ σ

∂ ~A

∂t

)= 0 (4.40)

Ezeket kell a potencialokra megfogalmazott peremfeltetelek mellett megoldani ~A es ϕ-re, amelyekbol atermennyisegek meghatarozhatok.

4.6.2 ~T - ϕm modszer

Ωl-ben a redukalt skalarpotencialok modszerevel definialhato a peremertekfeladat (lasd feljebb).

Ωv-ben be kell vezetnunk egy skalarpotencialt is. Mivel div ~J = 0, ~J-t felırhatjuk egy vektorpotencialrotaciojakent: mivel ~J = rot ~T. Az elso Maxwell-egyenlet vonatkozo valtozatat felhasznalva ki tudjukfejezni tervektorH-t a potencialokkal:

rot ~H = ~J = rot ~T (4.41)

Ezt atrendezve:rot (~H− ~T) = 0 (4.42)

Ebben a rotacio belsejeben levo kifejezest felırhatjuk egy skalarpotencial gradiensekent:

~H− ~T = −gradϕm (4.43)

Ezt ~H-ra rendezve megkapjuk annak kifejezeset a potencialokkal:

~H = ~T− gradϕm (4.44)

Most vegyuk a masodik Maxwell-egyenletet es helyettesıtsunk be ~E-be ~J-n keresztul:

rot( 1

σrot ~T

)= −∂

~B

∂t(4.45)

17

Ebbe behelyettesıtve a ~H-ra kapott kifejezest es atrendezve kapjuk a p.e.f. elso diff. egyenletet. Amasodikat pedig ~H-t div ~B = 0-ba valo helyettesıtessel kapjuk. A p.e.f. ket diff. egyenlete Ωv-ben tehat:

rot( 1

σrot ~T

)+ µ

∂~T

∂t− µ grad

∂ϕm∂t

= 0 (4.46)

div (µ~T− µ gradϕm) = 0 (4.47)

Ezeket kell a potencialokra megfogalmazott peremfeltetelek mellett megoldani ~T es ϕ-re, amelyekbol atermennyisegek meghatarozhatok.

Bizonyos peremfeltetelek eseten az egyik modszer nagymertekben leegyszerusodhet, tehat erdemes aztvalasztani. Peldaul ha a vizsgalt tartomany hataran a normalis iranyu aram nulla, akkor a ~T - ϕmmodszer a jobb valasztas.

4.7 Elektromagneses hullamok

Ez esetben van idobeli valtozas. A cel mind ~E, mind ~H meghatarozasa. Ilyen hullamjelensegek vizsgalataa hırkozlesben igen fontos, pl. antennak tervezesekor es radiohullamok terjedesenek vizsgalatakor. AMaxwell-egyenletek teljes rendszeret hasznaljuk ilyenkor. Tovabbi informacioink:

• Peremfeltetelek: ΓE : ~Et adott, ΓH : ~Ht adott.

• Kezdeti ertekek: ~H(t = t0) es ~E(t = t0) adott.

• Forrasok: ~Eb(t) es ~Jb(t) adott.

A potencialokat megado diff. egyenleteket az ~A - ϕ modszerrel ırjuk fel az orvenyaramu terben kozoltlevezeteshez hasonloan. A vektorpotencialt most is ~B = rot ~A modon vezetjuk be, es most is a masodikMaxwell-egyenletbol adodik ~E kifejezese a potencialokkal:

~E = −gradϕ− ∂

∂t~A (4.48)

Ezt helyettesıtsuk be az elso Maxwell-egyenletbe:

rot( 1

µrot ~A

)= ~J− εgrad

∂ϕ

∂t− ε∂

2 ~A

∂t2(4.49)

Ezt atrendezve kapjuk a p.e.f. elso diff. egyenletet. A masodikat pedig ~E-t div ~D = %-ba valohelyettesıtessel kapjuk. A p.e.f. ket diff. egyenlete tehat:

rot( 1

µrot ~A

)+ εgrad

∂ϕ

∂t+ ε

∂2 ~A

∂t2= ~J (4.50)

div(ε gradϕ+ ε

∂ ~A

∂t

)= % (4.51)

Ezeket kell a potencialokra megfogalmazott peremfeltetelek mellett megoldani ~A es ϕ-re, amelyekbola termennyisegek meghatarozhatok. A mertekvalasztas modja a kovetkezo. Tekintsuk azt az esetet,amikor µ mindenhol ugyanaz, es szorozzuk be (4.50)-t µ-vel:

rot rot ~A + µε grad∂ϕ

∂t+ µε

∂2 ~A

∂t2= µ~J (4.52)

18

Hasznaljuk fel a (1.4) vektormuveleti azonosagot, ıgy:

grad div ~A−∆~A + µε grad∂ϕ

∂t+ µε

∂2 ~A

∂t2= µ~J (4.53)

Ebben a Lorentz-mertek (div ~A = −µε∂ϕ∂t ) hasznalataval ket tag pont kiejti egymast, es egy egyszerubbegyenlet adodik:

∆~A− µε∂2 ~A

∂t2= −µ~J (4.54)

A Lorentz-merteket (4.51)-be helyettesıtve hasonlo kifejezes adodik a skalarpotencialra:

∆ϕ− µε∂2ϕ

∂t2= −%

ε(4.55)

Az utobbi ket egyenletben nincsen keresztbecsatolas a ~A-n es ϕ-n keresztul, holott tudjuk, hogy ~E es ~Hhat egymasra. Az egymasra hatast a folytonossagi egyenlet koti ossze:

div ~J +∂%

∂t= 0 (4.56)

4.8 Skalaris Poisson-egyenletre vezeto p.e.f.-ok egyertelmu megoldhatosaga

Azert foglalkozunk ismet ezzel a kerdessel, mert most nem a tereloszlasokra, hanem a potencialravonatkoztatva kell egy olyan peremertek feladatot megfogalmaznunk, amely egyertelmuen megoldhato.Az unicitast teljesuleset az elektrosztatikaban kapott diff. egyenlet (4.4) peldajan nezzuk meg (a tobbireszteruleten hasonloan lehet belatni). Indirekt modon bizonyıtunk, azaz tegyuk fel hogy letezik ket nemazonos megoldas: ϕ1 ϕ2. Kulonbseguk legyen ϕ0 = ϕ2 − ϕ1, melyre a peremfeltetelek: ΓDi

: ϕ0 = 0es ΓNj

: ε∂ϕ0

∂~n = 0, hiszen a ket feltett megoldasra ugyanazon peremfeltetelek vonatkoznak, melyekkulonbsege ıgy nulla.Irjuk fel az elektromos ter energiajat (vagyis annak ketszereset a tomorebb felıras erdekeben):∫

V

~E0~D0 dV =

∫V

gradϕ0(εgradϕ0)dV (4.57)

Hasznaljunk fel egy muveleti azonossagot (1.3), ıgy az energia:∫V

~E0~D0 dV =

∫V

div (ϕ0εgradϕ0)dV −∫V

ϕ0div (εgradϕ0)dV (4.58)

A masodik integralban latszik is az elektromos potencial diff. egyenletenek bal oldala (div (εgradϕ0)),ami nullaval egyenlo, tehat a masodik intergral nulla. Marad az elso integral, amit alakıtsunk at a Gauss-tetellel feluleti integralla. Ezt meg bontsuk kette a ket peremfeltetel-tıpus szerint, hogy a Dirichlet- esNeumann-peremeken torteno integralas kulon alljon. Igy tovabbvive a szamıtast:∫

V

~E0~D0 dV = −

∫ΓD

ϕ0(εgradϕ0)d~Γ−∫

ΓN

ϕ0(εgradϕ0)d~Γ (4.59)

Ennek masodik integraljaban a gradienst helyettesıtsuk ϕ0 feluleti normalis iranyu derivaltjaval, hisz afeluleti normalis iranyu d~Γ-val valo skalaris szorzasuk ugyanarra vezet:∫

V

~E0~D0 dV = −

∫ΓD

ϕ0(εgradϕ0)d~Γ−∫

ΓN

ϕ0

(ε∂ϕ0

∂~n

)dΓ (4.60)

19

A Dirichlet-peremeken ϕ0 erteke nulla (lasd feljebb), tehat az elso integral nulla. A Neumann-peremekenpedig ε∂ϕ0

∂n erteke nulla (lasd feljebb), tehat a masodik integral is nulla. Osszekotve a levezetes elejet esveget ezt kapjuk: ∫

V

~E0~D0 dV = 0 (4.61)

A bal oldali integral csak ugy lehet nulla, ha ~E0 nulla, hisz ~D0 linearisan fugg ~E0-tol. Ha viszont ~E0

erteke nulla, akkor az elozetesen feltett ket megoldasunkhoz tartozo ~E1 es ~E2 megegyezik, a hozzajuktartozo skalarpotencialok pedig konstanssal ternek el egymastol: ϕ2 = ϕ1 + ϕconst. A diff. egyenletmegoldasa tehat a vektormezokre konstans elterestol eltekintve egyertelmu.

5 A vegeselem-modszer (FEM) alapjai

A vegeselem-modszert (Finite Element Method, FEM) gyakran alkalmazzak a mernoki gyakorlatbannem csak elektrodinamikai, hanem pl. mechanikai feladatok megoldasa soran is. A FEM egy numerikusmodszer, amely egy peremertekfeladatra szolgaltat kozelıto megoldast.

5.1 A parcialis differencialegyenlet (PDE) gyenge alakja

Induljunk ki az alabbi operatoregyenletbol:Lu = f (5.1)

ahol L egy linearis operator, u egy skalarmezo, f pedig a mezo forrasa.Rendezzuk ezt at:

Lu− f = 0 (5.2)

Az egyenlet bal oldalan egy fuggveny szerepel (ami ket tag kulonbsege), es ez nullaval egyenlo. Hasznaljuka vektoralgebrai analogiat, miszerint egy vektor akkor egyezik a nullvektorral, ha a bazis minden elemevelvett skalaris szorzata nulla (minden tengelyre eso vetulete nulla):

~v = 0 ⇔ ~vi~ei = 0 (i = 1, 2, . . . , N) (5.3)

Ahol ~ei-k a ter bazisanak elemei. Most vektorok tere helyett egy fuggvenyek altal alkotott vegtelendimenzios Euklideszi ter van, amelyben a skalaris szorzatot (1.11) szerint ertelmezzuk. Vegyunk egywi-vel jelolt bazist (i = 1, 2, . . . ) a W fuggvenyterben. A wi bazisnak vegtelen eleme van (ezlehetseges, ilyen pedaul a Fourier-sor esete, ahol vegtelen szamu sin es cos osszegere bontjuk fel a vizsgaltperiodikus fuggvenyt), es minden eleme kielegıti a homogen Dirichlet peremfeltetelt. Egy fuggveny tehatakkor nulla, ha a fuggvenyter bazisanak minden elemevel nullat ad a skalaris szorzata. Ez a PDE-velfelırva:

< Lu− f, wi >= 0 (i = 1, 2, . . . ) (5.4)

ami a PDE gyenge alakja. Irjuk most fel u-t a bazisfuggvenyek linearis kombinaciojakent (hasonloanahhoz amikor egy vektort ırunk fel a bazisvektorokkal):

u = u0 +∑j

cjvj (5.5)

ahol vj a fuggvenyter egy masik bazisa, u0 pedig egy tetszoleges fuggveny, ami ΓD-n kielegıti az eloırtfelteteleket (Dirichlet peremfeltetelek). A vj-rol pedig eloırjuk azt, hogy a ΓD-n nulla.

20

< L(u0 +∑j

cjvj)− f, wi >= 0 (i = 1, 2, . . . ) (5.6)

A forrast es az u0-t tartalmazo tagot vigyuk at a masik oldalra. Mivel az L operator linearis, es aszumma is linearis muvelet, a kifejezest felbonthatjuk. Igy az egyenletunk:∑

j

cj < Lvj , wi > = < f, wi > − < Lu0, wi > (i = 1, 2, . . . ) (5.7)

Vegtelen dimenzios fuggvenyterekben keressuk a megoldast, de vegtelen tagu egyenletrendszert nemtudunk felırni, ezert a bazisfuggvenyek szamatN -re korlatozzuk. Az esetek legnagyobb reszeben ugyanazta bazist hasznaljuk az ismeretlen u fuggveny sorfejtesere, es a projektcio ellenorzesere. Ezek utan lathato,hogy a (5.7) egyenlet egy N egyenletbol allo linearis egyenletrendszer. Ennek megoldasakent kaphajtukmeg a cj egyutthatokat (j = 1, 2, . . . , N), amelyek es az ismert u0 fuggveny segıtsegevel felırhato az ufuggveny (a (5.5) formula segıtsegevel), amely a kituzott peremertekfeladat megoldasa.

5.2 Pelda: elektrosztatika

Adott egy Ω tartomany, amiben az elektrosztatika Poisson-egyenlete ervenyes (4.4). Tehat az elozofejezet alapjan a most vizsgalt peldaban L(.) = −div (εgrad (.)) es f = %. A peremfeltetelek adottak:ΓD : ϕ = ϕ0 es ΓN : ε∂ϕ∂n = σ0.

8. abra. A vizsgalt tartomany a jelolesekkel

Irjuk fel a PDE gyenge alakjat (5.4) a wi bazissal:∫Ω

−div (ε gradϕ)wi dΩ =

∫Ω

%wi dΩ ∀i (5.8)

Hasznaljunk egy vektormuveleti azonossagot (1.3) az egyenlet bal oldalan (az azonossagban u = wi,~v = ε gradϕ): ∫

Ω

(ε gradϕ)gradwi dΩ−∫Ω

div ((ε gradϕ)wi)dΩ =

∫Ω

%wi dΩ (5.9)

A bal oldalon levo kulonbseg masodik tagjat alakıtsuk at a kovetkezok szerint. A bal oldal masodiktagjat alakıtsuk at a Gauss-tetel segıtsegevel:∫

Ω

div ((ε gradϕ)wi)dΩ =

∫Γ

(ε gradϕ)wi d~Γ (5.10)

21

Ezt alakıtsuk tovabb, kiemelve a feluleti normalvektort:∫Γ

(ε gradϕ)wi d~Γ =

∫Γ

εwi gradϕ~n dΓ (5.11)

Ebben a gradiens es a normalvektor szorzata megegyezik a skalarpotencial normalis iranymenti de-rivaltjaval. Bontsuk kette az integralt a Dirichlet- es a Neumann-peremek szerint:∫

Γ

εwi gradϕ~n dΓ =

∫ΓD

wi ε∂ϕ

∂ndΓ +

∫ΓN

wi ε∂ϕ

∂ndΓ (5.12)

Ebben az elso integral nulla, mivel a bazisfuggvenyeket ugy valasztottuk meg, hogy azok erteke aDirichlet-peremfeltetel nulla, azaz wi

∣∣ΓD

= 0. A masodik integral pedig a Neumann-peremfeltetel miatta kovetkezo alakban ırhato: ∫

ΓN

wi ε∂ϕ

∂ndΓ =

∫ΓN

wi σ0 dΓ (5.13)

Ezek utan a (5.7) egyenlet az alabbi modon ırhato fel:∫Ω

(ε gradϕ)gradwi dΩ =

∫Ω

%wi dΩ +

∫ΓN

wi σ0 dΓ (5.14)

Keressuk az ismeretlen ϕ fuggvenyt a wi bazis segıtsegevel a kovetkezo alakban:

ϕ = w0 +∑j

cjwj (5.15)

ahol w0 egy tetszoleges fuggveny ami kielegıti a Dirichlet-peremfeltetelt (w0 = ϕ0-val ΓD-n). Helyetesıtsukezt be (5.14)-be:∑

j

cj

∫Ω

(ε gradwj)gradwi dΩ =

∫Ω

%wi dΩ−∫

ΓN

wi σ0 dΓ−∫Ω

(ε gradw0)gradwi dΩ (5.16)

Most pedig alkalmazzunk egy kozelıtest. Korlatozzuk a W fuggvenyter dimenziojat, azaz vegyunk csupanN darab bazisfuggvenyt: wiN1 , (i = 1, 2, . . . , N). Ez a kozelıtes befolyasolja a modszer pontossagat, dea szukseges szamıtasi kapacitast is. Ha kevesebb bazisfuggvennyel szamolunk, pontatlanabb eredmenytkapunk, viszont gyorsabban vegez a program. A kozelıtessel az egyenletunk:

N∑j=1

cj

∫Ω

(ε gradwj)gradwi dΩ =

∫Ω

%wi dΩ−∫

ΓN

wi σ0 dΓ−∫Ω

(ε gradw0)gradwi dΩ (i = 1, 2, . . . , N)

(5.17)A wi bazisfuggvenyeket mi valasztjuk meg, w0-t a Dirichlet-peremfeltetelnek megfeleloen mi valasztjukmeg, % es σ0 adott a feladatban, ıgy csak a cj konstansok ismeretlenek. Minden (i, j) parhoz tartozikegy integral a bal oldali szumman belul, es minden i-hez tartozik egy integralokat tartalmazo kifejezes ajobb oldalon. Ezeket az integralokat jeloljuk Aij-vel es bi-vel, ıgy az egyenlet:

N∑j=1

cjAij = bi (i = 1, 2, . . . , N) (5.18)

22

Ezen keresztul pedig egy linearis algebrai egyenletrendszerre jutunk:

A c = b (5.19)

ahol c = (c1, c2, ..., cN )T az ismeretlen, amit mar konnyen meghatarozhatunk.

Aij = cj

∫Ω

(ε gradwj)gradwi dΩ (i = 1, 2, . . . , N) (j = 1, 2, . . . , N) (5.20)

bi =

∫Ω

%wi dΩ−∫

ΓN

wi σ0 dΓ−∫Ω

(ε gradw0)gradwi dΩ (i = 1, 2, . . . , N) (5.21)

A FEM-ben a bazisfuggvenyek kis teruletre koncentalodnak. Emiatt a kapott egyenletrendszerhez egyolyan A martix tartozik, amelyben ritkan vannak az elemek, es ritka matrixokkal valo szamıtasokraleteznek kifejezetten gyors szamıtogepes algoritmusok. Emellett az integralok kiertekelese is konnyu,gyakran analitikusan is megteheto.

6 Az integralegyenletek modszere

A modszert egy elektrosztatikai peremertekfeladat peldajan nezzuk meg. Az elrendezesben talalhatokelektrodak, amelyek feluleti toltessurusege (σ) ismeretlen. Az elektrodak vegtelen terreszben es vakuumbanhelyezkednek el. Az elektromos potencialra az alabbi integral ırhato fel (lasd (4.5), a toltes esetunkbenfeluleti suruseggel van megadva):

ϕ(~r) =

∫A

1

4πε0|~r−~r′|σ(~r′)dA′ (6.1)

ahol A az elektrodak felulete. Ennel osszetettebb elrendezes eseten is kifejezhetok az elektromagnesesterjellemzok Green-fuggvenyek segıtsegevel egy integral formajaban (a Green-fuggvenyeket lasd reszletesena rola szolo fejezetben kesobb), ahol az integral belsejeben szerepel a ter ismeretlen forrasa. Az ıgykifejezett elektromagneses jellemzokkel a peremfeltetelekre vonatkozoan megfogalmazhatok integralokattartalmazo egyenletek, amelyekben az ismeretlen forrasok talalhatok az integralok belsejeben. Az ilyenegyenleteket hıvjuk integralegyenleteknek. Altalanossagban az integralegyenlet egy olyan egyenlet, amely-ben az ismeretlen az integralon belul szerepel. Esetunkben a Green-fuggvenyek segıtsegevel a potenciala kovetkezo modon fejezheto ki:

ϕ(~r) =1

ε0

∫A

g(~r,~r′)σ(~r′)dA′ (6.2)

Ez utobbi az elektrosztatika integralegyenlete, ahol g(~r,~r′) = 14π|~r−~r′| a kesobbiekben targyalando Green-

fuggveny. E kifejezessel ugy kapunk integralegyenletet, hogy az elektrodak feluleten eloırjuk a potencialt,mivel ez a potencialertek a feladatban adott. Tehat az elektrodak feluleten:

Φ(~r) =1

ε0

∫A

g(~r,~r′)σ(~r′)dA′ = ϕ0 (~r ∈ A) (6.3)

ahol Φ(~r) az elektrodak feluletenek potencialja, amely a feladatban adott. Ez mar egy integralegyenlet,amely megoldasa soran celunk σ meghatarozasa. Ez egyebkent egy Fredholm-tıpusu, elsofaju integralegyenlet.

23

6.1 Momentum-modszer

A feluleti toltessuruseg numerikusan kozelıtheto N darab bazisfuggveny linearis kombinaciojaval:

σ(~r) =

N∑j=1

cj vj(~r) (6.4)

ahol a vj(~r)-k az egymastol linearisan fuggetlen bazisfuggvenyek. Ily modon a cj konstans szorzokat kellmeghataroznunk, mely egy fokkal egyszerubb. Az integralegyenletbe a felulet megadott pontjain valobehelyettesıtessel egy linearis algebrai egyenletrendszerre jutunk. Ezzel olyan feluleti toltessurusegetkeresunk, amely kielegıti azt, hogy a felulet kivalasztott ri pontjain (i = 1, 2, . . . , N) a potencialertekmegegyezik a feladatban eloırttal.

Φ(~ri) =

N∑j=1

cj

1

ε0

∫A

g(~ri,~r′) vj(~r

′)

dA′ (i = 1, 2, . . . , N) (6.5)

Az integralon beluli fuggvenyek ismertek, ıgy maguk az integralok kiertekelhetok. Igy a fenti egyenlet akovetkezo format olti:

Φ1

Φ2

...ΦN

= S

c1c2...cN

(6.6)

ahol:

Sij =1

ε0

∫A

g(~ri,~r′)vj(~r

′)dA′ (i = 1, 2, . . . , N) (j = 1, 2, . . . , N) (6.7)

Φi = Φ(~ri) (i = 1, 2, . . . , N) (6.8)

Az egyenletrendszer ezzel megoldhato c = (c1, c2, . . . , cN )T -re, amely alapjan (6.3)-bol megkapjuk az is-meretlen toltessuruseget. A kapott toltessuruseggel barmilyen elektromos terjellemzot ki tudunk fejeznia tovabbiakban.

A fenti egyenletrendszert a pontkollokacio modszerevel kaptuk meg. Az integralegyenletek megoldasaramas, az altalunk hasznaltnal numerikusan jobban viselkedo megoldasok is leteznek, melyek tulmutatnake jegyzet keretein.

6.2 Pelda: Sıkkondenzator

Tekintsunk egy sıkkondenzatort az alabbi jelolesekkel:

9. abra. Sıkkondenzator a jelolesekkel

24

(Megjegyzes: Abbol, hogy az egyik elektrodan Q toltes van, meg nem kovetkezik hogy a masikon −Q. Aket elektrodan levo toltest mi most explicite kikotottuk.) A bazisfuggvenyeket az alabbi modon erdemesmegvalasztani:

vi(~r) =

1 ha ~r ∈ Ai0 ha ~r /∈ Ai

(6.9)

10. abra. Sıkkondenzator lemezeinek felosztasa

A sıkkondenzator also lapjara felırhato egyenletek:

Φ =

2MN∑i=1

1

ε0

∫Ai

g(~rj ,~r′)vi(~r

′)dA′

ci (j = 1, . . . ,MN) (6.10)

A sıkkondenzator felso lapjara felırhato egyenletek:

Φ + U =

2MN∑i=1

1

ε0

∫Ai

g(~rj ,~r′)vi(~r

′)dA′

ci (j = MN + 1, . . . , 2MN) (6.11)

Ezek mellett hasznaljuk meg fel, hogy a kondenzatorlapok toltese Q adott:

−Q =

MN∑i=1

ci ∆Ai (6.12)

Q =

2MN∑i=MN+1

ci ∆Ai (6.13)

ahol a feluletegysegek nagysaga: ∆Ai = abMN . Ezzel osszesen 2MN + 1 darab egyenletunk van a

megoldashoz, azaz a ci egyutthatok es umeghatarozasahoz. A ci egyutthatokkal megkapjuk az elektrodaktoltesenek erteket, valamint a feszultseget felhasznalva megkapjuk a kondenzator kapacitasat is.

7 Az idobeli vegesdifferenia-modszer (FDTD)

Az FDTD (Finite-Difference Time-Domain) modszer idobeli valtozas mellett nyujt segıtseged, es linearisanyagok eseten elonyos. A lenyege, hogy a termennyisegek diszkret differenciainak segıtsegevel adottpontokbol kiindulva az egesz tartomanyban ki tudjuk szamolni numerikusan a terertekeket.

25

7.1 Centralis masodrendu veges differencia

Az FDTD modszer reszben erre a matematikai fogalomra epul, ezert definialjuk elobb. Adott egy f(x)fuggveny:

11. abra. Egy egyvaltozos fuggveny

Aminek az (x0 + δ2 ) es (x0 − δ

2 ) pontbeli ertekei kifejthetok az alabbi modon sorfejtessel:

f

(x0 +

δ

2

)= f (x0) +

δ

2f ′ (x0) +

(δ

2

)21

2!f ′′ (x0) +

(δ

2

)31

3!f ′′′ (x0) + ... (7.1)

f

(x0 −

δ

2

)= f (x0)− δ

2f ′ (x0) +

(δ

2

)21

2!f ′′ (x0)−

(δ

2

)31

3!f ′′′ (x0) + ... (7.2)

Vonjuk ki a felso egyenletbol az alsot:

f

(x0 +

δ

2

)− f

(x0 −

δ

2

)= δf ′ (x0) +

(1

24

)δ3f ′′′ (x0) + ... (7.3)

Ebbol pedig mar kifejezheto a fuggveny elso derivaltja x0-ban:

f ′ (x0) =df (x0)

dx=f(x0 + δ

2

)− f

(x0 − δ

2

)δ

−(

1

24

)δ2f ′′′ (x0)− ... (7.4)

7.2 Egydimenzios eset∂∂x = 0, ∂

∂y = 0 ⇒ Ey = Ez = 0, Hx = Hz = 0

Fejtsuk ki a magneses tererosseg rotaciojat:

rot ~H =

∣∣∣∣∣∣~ex ~ex ~ez0 0 ∂

∂z0 Hy 0

∣∣∣∣∣∣ = −∂Hy

∂z~ex (7.5)

Fejtsuk ki a vonatkozo Maxwell-egyenlet masik oldalat:

∂ ~D

∂t= ε

∂~E

∂t= ε

∂Ex∂t

~ex (7.6)

Igy

−∂Hy

∂z= ε

∂Ex∂t

(7.7)

26

Hasonlokeppen

−∂Ex∂z

= µ∂Hy

∂t(7.8)

Tehat kaptunk viszonylag egyszeru osszefuggeseket a tererossegek z iranyu es az idobeli valtozasara.Diszkretizaljuk a teret es az idot, azaz jeloljunk ki racspontokat az alabbi abranak megfeleloen. A telipontokban az elektromos, az ures korrel jelolt pontokban a magneses tererosseg ertekeit vizsgaljuk.

12. abra. Az FDTD-ben alkalmazott racs

A szomszedos pontok kozt felırhatunk osszefuggeseket a diszkretizalt tartomanyban:

−Ex[m+ 1, q]− Ex[m, q]

∆z= µ[m+

1

2]Hy[m+ 1

2 , q + 12 ]−Hy[m− 1

2 , q −12 ]

∆t(7.9)

−Hy[m+ 1

2 , q + 12 ]−Hy[m− 1

2 , q + 12 ]

∆z= ε[m]

Ex[m, q + 1]− Ex[m, q]

∆t(7.10)

Ha ezeket az egyenleteket atrendezzuk, akkor azt latjuk, hogy harom kornyezo pontbol ki tudjuk szamolnia terertekeket a kovetkezo pontban:

Hy[m+1

2, q +

1

2] = Hy[m+

1

2, q − 1

2]− ∆t

µ[m+ 12 ]∆z

(Ex[m+ 1, q]− Ex[m, q]) (7.11)

Ex[m, q + 1] = Ex[m, q]− ∆t

ε[m]∆z

(Hy[m+

1

2, q +

1

2]−Hy[m− 1

2, q +

1

2]

)(7.12)

Aztan a tererossegek ezen uj pontokbeli ertekenek ismereteben ugyanezekkel a formulakkal kiszamolhatjuka kovetkezo pontbeli ertekeket, es ıgy tovabb. Az FDTD tehat harom pontbol ugrik egy kovetkezopontba. Ez utobbiert ugynevezett ”leap frog” modszerek kozott is emlegetik.

7.3 A racsmeretek megvalasztasa

Minel surubb a racs, annal pontosabb a modszer, de annal szamıtasigenyesebb is. Emellett ∆t es ∆zaranya is korlatok koze van szorıtva a fenysebesseg miatt:

c√εrµr

∆t

∆z≤ 2 (7.13)

ahol c a feny sebessege vakuumban.

27

7.4 Az FDTD elonyei es hatranyai

• Az FDTD soran csak a fuggvenyek ertekeit kell tarolni es nyomon kovetni, differencialegyenletrendszereketnem kell.

• Pontos megoldashoz suru racs szukseges, aminek viszont nagy a tarhely- es a szamıtasi kapacitasigenye.

• Erzekeny a numerikus hibara.

8 A Green-fuggvenyek

A Green-fuggveny egy elrendezesre vonatkozoan ırja le a termennyisegek viselkedeset. Segıtsegevelbarmilyen gerjesztesre meghatarozhatok az elrendezesben kialakulo termennyisegek. A halozatelmeletbenehhez hasonlo egy halozat impulzusvalasza, amellyel barmilyen gerjesztes eseten ki lehet szamıtani ahalozat valaszat.Minden peremertekfeladathoz definialhatunk egy Green-fuggvenyt, amelynek tulajdonsagai:

• ketto darab fuggetlen valtozoja van;

• kielegıti a diff. egyenletet.

A Green-fuggvenyeket a tavvezetekek peldajan fogjuk megismerni. A tranziensszamıtasok a ?? PDE-reepulnek. A celunk, hogy meghatarozzuk a tavvezetek menten a feszultseg es az aram fuggvenyet. AGreen-fuggvenyt a tavvezetek eseten g(z|z′)-kent ırjuk, a ra vonatkozo diff. egyenlet pedig:

d2g(z|z′)dz2

+ k2g(z|z′) = −δ(z − z′) (8.1)

ahol δ(.) a Dirac-delta.

8.0.1 P.e.f. 0: Vegtelen-vegtelen tavvezetek

Tekintsunk egy tavvezeteket, amely mindket iranyban vegtelen hosszu.

13. abra. Mindket iranyban vegtelen hosszu tavvezetek

A feszultseg peremfeltetelei:dU(z)

dz= jkU(z) (z → −∞) (8.2)

dU(z)

dz= −jkU(z) (z →∞) (8.3)

A Green-fuggveny peremfeltetelei:

dg(z|z′)dz

= jkg(z|z′) (z → −∞) (8.4)

dg(z|z′)dz

= −jkg(z|z′) (z →∞) (8.5)

28

8.0.2 P.e.f. 1: Rovidzar-vegtelen tavvezetek

Vegyunk egy tavvezeteket, amely a z = 0 pontban rovidre van zarva, a pozitıv z iranyban pedig vegtelenhosszu.

14. abra. Rovidzar-vegtelen tavvezetek

A feszultseg peremfeltetelei:U(z) = 0 (z = 0) (8.6)

dU(z)

dz= −jkU(z) (z →∞) (8.7)

A Green-fuggveny peremfeltetelei:g(z|z′) = 0 (z = 0) (8.8)

dg(z|z′)dz

= −jkg(z|z′) (z →∞) (8.9)

8.0.3 P.e.f. 2: Szakadas-vegtelen tavvezetek

Vegyunk egy tavvezeteket, amely a z = 0 pontban szakadassal van lezarva, a pozitıv z iranyban pedigvegtelen hosszu. A szakadas helyen az aram nulla, ami azon a ponton a feszultseg z szerinti derivaltjathatarozza meg (lasd a tavvezetek-egyenleteket).

15. abra. Szakadas-vegtelen tavvezetek

A peremfeltetelek:

I(z) = − 1

R′ + jωL′∂U(z)

∂z= 0 ⇒ ∂U(z)

∂z= 0 (z = 0) (8.10)

dU(z)

dz= −jkU(z) (z →∞) (8.11)

A Green-fuggveny peremfeltetelei:dg(z|z′)dz

= 0 (z = 0) (8.12)

dg(z|z′)dz

= −jkg(z|z′) (z →∞) (8.13)

29

8.1 A Green-fuggveny haszalata

A Green-fuggveny segıtsegevel meg tudjuk hatarozni a tavvezetek feszultseget barmilyen gerjeszteseseten. Erre keressuk a matematikai formulat. Szorozzuk be (1.38)-t g(z|z′)-vel es (8.1)-t U(z)-vel,es vegyuk a ket egyenlet kulonbseget:

g(z|z′)d2U

dz2− U(z)

d2g(z|z′)dz2

= −a g(z|z′)K(z) + U(z)δ(z − z′) (8.14)

Integraljuk ezt az egyenletet a vizsgalt tartomanyra:

z2∫z1

g(z|z′)d2U

dz2dz −

z2∫z1

U(z)d2g(z|z′)dz2

dz = −az2∫z1

g(z|z′)K(z)dz +

z2∫z1

U(z)δ(z − z′)dz (8.15)

Ennek a bal oldalan mindket integral erteke nulla, mivel vagy homogen Dirichlet vagy homogen Neumann

peremfeltetel ki van kotve (azaz vagy U(z) es g(z|z′) nulla, vagy dUdz es dg(z|z′)

dz nulla). A jobb oldalmasodik integraljat pedig egyszeruen elvegezhetjuk. Marad tehat:

0 = −az2∫z1

g(z|z′)K(z)dz + U(z′) (8.16)

Csereljuk meg az egyenletben z-t es z′-t. Szerencsere a Green-fuggvenyre teljesul, hogy g(a|b) = g(b|a),ıgy ugyanazt a fuggvenyt hasznalhatjuk. Ezutan kis atrendezessel kapjuk a formulat, amit keresunk:

U(z) = a

z2∫z1

g(z|z′)K(z′)dz (8.17)

Ezzel barmilyen K(z′) gerjesztesre meg tudjuk hatarozni a feszultseget, ha ismerjuk az elrendezes Green-fuggvenyet. Idezzuk fel a halozatelmeletben megismert formulat, mely barmilyen gerjesztesre megadtaegy linearis, idoinvarians rendszer idobeli valaszat a rendszer impulzusvalaszanak ismereteben:

y(t) =

∞∫−∞

h(t− τ)u(τ)dτ (8.18)

es maris latszik a hasonlosag. (Megjegyzes: Az idobeli invarianciaval analog modon letezik a terbeliinvariancia fogalma is.)

8.2 A Green-fuggveny meghatarozasa

A Green-fuggveny meghatarozasanak modjat a fentebb megadott peremertekfeladatok kozul az elson(p.e.f. 0) foguk megismerni. Keressuk a Green-fuggvenyt a kovetkezo alakban, mely a peremfelteteleketkielegıti, ıgy mar csak a differencialegyenlet kielegıteset kell biztosıtanunk.

g(z|z′) =

Ae−jkz (z > z′)

Bejkz (z < z′)(8.19)

Mivel ket ismeretlen parametert kell meghataroznunk, ket egyenletre van szukseg. Az egyik a Green-fuggveny z′-beli kotelezo folytonossagbol adodik:

Ae−jkz′

= Bejkz′

(8.20)

30

A masik pedig a Green-fuggvenyre vonatkozo diff. egyenlet (8.1), amit integraljuk egy z′ koruli, ε sugaruszakaszra ugy hogy ε→ 0 (ε ”kicsi”):

z′+ε∫z′−ε

d2g(z|z′)dz2

dz +

z′+ε∫z′−ε

k2g(z|z′)dz = −z′+ε∫z′−ε

δ(z − z′)dz (8.21)

Mivel ε → 0, a bal oldalon szereplo masodik integral erteke nulla (nullahoz tart a szakasz amin in-tegralunk). Elvegezve az integralokat:

dg(z′ + ε|z′)dz

− dg(z′ − ε|z′)dz

= −1 (8.22)

Ebbe helyettesıtsuk be a parameteres fuggvenyt (8.19):

−jkAe−jkz′− jkBejkz

′= −1 (8.23)

Ebbol pedig a z′-beli folytonossagot felhasznalva (8.20) meghatarozhato az A es B parameter. A keresettGreen-fuggveny tehat:

g(z|z′) =

1

2jke−jk(z−z′) (z > z′)

12jke

jk(z−z′) (z < z′)(8.24)

Hasonlo modon hatarozhatok meg a Green-fuggvenyek a rovidzar-vegtelen tavvezetek es a szakadas-vegtelen tavvezetek p.e.f.-ok eseteben is.

8.3 Green-fuggveny - Elektrosztatika

Vizsgaljuk a szabadteri esetet. Az elektrosztatika Poisson egyenlete:

∆ϕ = −%ε

(8.25)

Az ehhez tartozo Green-fuggveny diff. egyenlete:

∆g(~r|~r′) = −δ(~r|~r′) (8.26)

A szabadter miatt limr→∞

ϕ = 0 es limr→∞

g(~r|~r′) = 0.

A Green-fuggveny diff. egyenletenek megoldasa:

g(~r|~r′) =1

4π|~r−~r′|(8.27)

Vessuk ossze a potencial feljebb megadott szabadteri megoldasaval:

ϕ(~r) =1

ε

∫V

1

4π|~r−~r′|%(~r′)dV ′ (8.28)

Latszik, hogy a Green-fuggveny melett az integralban ott a forras, es az integral elott egy konstansszorzo.

31

8.3.1 A Green-fuggveny ellenorzese

Mint minden egyenlet megoldasat, ezt is ellenorizni kell. Elsonek nezzuk meg, hogy a peremfelteteleketkielegıti-e: igen, mert nullahoz tart, ha r →∞. A masodik ellenorzopont, hogy kielegıti-e a ra vonatkozodiff. egyenletet az ~r 6= ~r′ terreszben (az egyszeruseg kedveert ~r′-t vegyuk az origoba).

div grad g(~r|0) = div grad1

4πr= div

(− 1

4πr2~er

)(8.29)

Ezt a divergencia operator gombi koordinatarendszerbeli alakjaval tovabbvive:

=1

r2

∂

∂r

(r2(− 1

4πr2

))=

1

r2

∂

∂r

(− 1

4π

)= 0 (8.30)

ami helyes, hisz δ(~r) erteke nulla az origon kıvul.A harmadik ellenorzopontunk, hogy kielegıti-e a ra vonatkozo diff. egyenletet az ~r = ~r′ terreszben. Irjukfel a vonatkozo diff. egyenletet:

div grad1

4πr= −δ(r) (8.31)

Integraljuk ezt a vizsgalt terreszre: ∫V

div grad1

4πrdV = −

∫V

δ(r)dV (8.32)

Ennek bal oldala atırhato a Gauss-tetellel feluleti integralla. A jobb oldalon levo integralt pedig vegezzukel. Igy az egyenlet tovabb alakıtva: ∮

A

grad1

4πrdA = −1 (8.33)

∮A

(− 1

4πr2

)dA = −1 (8.34)

limr→0

[(− 1

4πr2

)4πr2

]= −1 (8.35)

tehat teljesul a diff. egyenlet.A negyedik ellenorzopontunk, hogy g(~r|0)⇒ g(~r|~r′) teljesul-e. Esetunkben ez teljesul a terbeli invarianciamiatt.

8.4 Green-fuggveny - Stacionarius aramok magneses tere

Vizsgaljuk a szabadteri esetet. A vonatkozo diff. egyenlet a vektorpotencialra:

∆~A = −µ~J (8.36)

A szabadter miatt limr→∞

~A = 0 es limr→∞

g(~r|~r′) = 0.

Ez esetben a vektorpotencialhoz tartozo Green-fuggveny:

g(~r|~r′) =1

4π|~r−~r′|(8.37)

32

Vessuk ossze ezt a vektorpotencial feljebb megadott szabadteri megoldasaval:

~A(~r) = µ

∫V

1

4π|~r−~r′|~J(~r′)dV ′ (8.38)

Latszik, hogy a Green-fuggveny melett az integralban ott a forras, es az integral elott egy konstansszorzo.

8.5 Green-fuggveny - Elektromagneses hullamok

Vizsgaljuk az elektromagneses hullamokat szabadterben, szinuszos allandosult allapotban. A potencialokrafentebb felırt hullamegyenletek szinuszos allandosult allapotban (4.54,4.55) alapjan:

∆~A + ω2µε~A = −µ~J (8.39)

∆ϕ+ ω2µεϕ = −%ε

(8.40)

A vonatkozo diff. egyenlet a Green-fuggvenyre:

∆g(~r|~r′) + k2g(~r|~r′) = −δ(~r−~r′) (8.41)

Az ehhez tartozo peremfeltetel (sugarzasi feltetel):

limr→∞

r(dg(~r|~r′)

dr+ jk g(~r|~r′)

)= 0 (8.42)

A Green-fuggveny pedig:

g(~r|~r′) =e−jk|~r−~r

′|

4π|~r−~r′|(8.43)

9 Tavvezetek-tranziensek szamıtasa

9.1 Abszolut integralhato idofuggveny szerinti valtozas

Veges gerjesztes es gerjesztesvalasz-stabilis rendszer eseten alkalmazhatjuk a Fourier-transzformaciot.Ezzel a homogen PDE-nk az alabbi alakot olti:

d2U(z, jω)

dz2− [R′G′ + (R′C ′ + L′G′)jω + L′C ′(jω)2]U(z, jω) = 0 (9.1)

ahol jω a fuggveny egy argumentuma, nem pedig egy konkret korfrekvencia beszorozva a kepzetesegyseggel. Ez az egyenlet adott korfrekvencian persze a szinuszos allandosult allapot egyenletere vezet.Tekintsunk egy peldat:

16. abra. A tavvezetekszamıtasi peldank aramkori rajza

33

A z = 0 pontra az alabbi egyenletet ırhatjuk fel:

−U0(jω) + I(z = 0, jω)Z1(jω) + U(z = 0, jω) = 0 (9.2)

ami kibontva:

−U0(jω) +

(U+(jω)

Z0(jω)− U−(jω)

Z0(jω)

)Z1(jω) + (U+(jω) + U−(jω)) = 0 (9.3)

A z = l pontra pedig:I(z = l, jω)Z2(jω) = U(z = l, jω) (9.4)

ami kibontva: (U+(jω)e−γl

Z0(jω)− U−(jω)eγl

Z0(jω)

)Z2(jω) = U+(jω)e−γl + U−(jω)eγl (9.5)

A reflexios tenyezot felhasznalva ki tudjuk fejetzni a pozitıv es a negatıv iranyban halado hullamosszetevokkomplex csucserteket:

U+(jω) = U0(jω)Z0(jω)

Z1(jω) + Z0(jω)

(1

1− r1(jω)r2(jω)e−2γl

)(9.6)

U−(jω) = U+(jω)r2(jω) (9.7)

ahol r1(jω) = Z1(jω)−Z0(jω)Z1(jω)+Z0(jω) , amit tekinthetunk ugy is, mint a tavvezeteken a generator fele beeso

hullamra vonatkozo reflexios tenyezo (megjegyezzuk, hogy ez nem keverendo ossze a szinuszos allapotban

ertelmezett reflexios tenyezovel, fogalmilag a ket dolog lenyegesen kulonbozo). r2(jω) = Z2(jω)−Z0(jω)Z2(jω)+Z0(jω) -t

pedig tekinthetjuk ugy, mint a tavvezetek atellenes oldalan ervenyes reflexios tenyezot.Ezek segitsegevel megadhatjuk a tavvezetek feszultsegenek es aramanak kifejezeset:

U(z, jω) = U0(jω)Z0(jω)

Z1(jω) + Z0(jω)

(e−γz + r2(jω)eγ(z−2l)

1− r1(jω)r2(jω)e−2γl

)(9.8)

I(z, jω) = U0(jω)1

Z1(jω) + Z0(jω)

(e−γz − r2(jω)eγ(z−2l)

1− r1(jω)r2(jω)e−2γl

)(9.9)

amelyeket inverz Fourier-transzformalva megkapjuk az idofuggvenyeket.

9.2 Belepo jellegu idofuggveny szerinti valtozas

Ez esetben u(z, 0) = 0 (t < 0), i(z, 0) = 0 (t < 0) azaz a bekapcsolas pillanata elott a tavvezetekfeszultsege es arama nulla. Szamoljunk a feszultseg es az aram Laplace-transzformaltjaval, ıgy a tavvezetek-egyenletek idealis tavvezetek eseten:

−dU(z, s)

dz= sL′I(z, s) (9.10)

−dI(z, s)

dz= sC ′U(z, s) (9.11)

melyek kombinalasaval a korabbiakhoz hasonloan megkapjuk a feszultseg Laplace-transzformaltjara vonatkozoPDE-t:

d2U(z, s)

dz2− s2L′C ′U(z, s) = 0 (9.12)

34

Az aram es a feszultseg Laplace-transzformaltja kozotti osszefugges:

I(z, s) = − 1

sL′dU(z, s)

dz(9.13)

Az aram es a feszultseg Laplace-transzformaltjai a pozitıv es a negatıv iranyba halado hullamosszetevokkelkifejezve:

U(z, s) = U+(s)e−szv + U−(s)es

zv (9.14)

I(z, s) =U+(s)

Z0(s)e−s

zv − U−(s)

Z0(s)es

zv (9.15)

ahol v = 1√L′C′

a feszultseg- es aramhullam terjedesi sebessege, Z0 =√

L′

C′ pedig a tavvezetek hullamimpedanciaja.

Tekintsunk egy peldat (vegyuk eszre a formai hasonlosagot a Fourier-transzformaltakkal valo szamolassal):

17. abra. A tavvezetekszamıtasi peldank aramkori rajza

A z = 0 pontra az alabbi egyenletet ırhatjuk fel:

−U0(s) + Z1(s)I(z = 0, s) + U(z = 0, s) = 0 (9.16)

ami kibontva:

−U0(s) + Z1(s)U+(s)− U−(s)

Z0(s)+ (U+(s) + U−(s)) = 0 (9.17)

A z = l pontra felırhato egyenlet pedig:

U(z = l, s) = Z2(s)I(z = l, s) (9.18)

ami kibontva:

U+(s)e−slv + U−(s)es

lv = Z2(s)

U+(s)e−slv − U−(s)es

lv

Z0(s)(9.19)

Hasznaljuk a kovetkezo jelolest (r1(s)-re hasonloan):

r2(s) =Z2(s)− Z0(s)

Z2(s) + Z0(s)=

U−eslv

U+e−slv

(9.20)

Ezzel a ket egyenletunk a kovetkezokeppen ırhato at:

−U0(s) + Z1(s)U+(s)

Z0(s)(1 + r2(s)e2s l

v ) + U+(s)(1 + r2(s)e−2s lv ) = 0 (9.21)

U+(s)(1 + r2(s)) = Z2(s)U+(s)

Z0(s)(1 + r2(s)) (9.22)

35

Ezek segıtsegevel megkapjuk a pozitıv es a negatıv iranyba halado hullamosszetevok kifejezeset:

U+(s) = U0(s)Z0(s)

Z1(s) + Z0(s)

1

1− r1(s)r2(s)e−2s lv

(9.23)

U−(s) = U0(s)Z0(s)

Z1(s) + Z0(s)

r2(s)e−2s lv

1− r1(s)r2(s)e−2s lv

(9.24)

Vegul ezekbol osszeall a feszultseg es az aram Laplace-transzformaltjanak kifejezese:

U(z, s) = U0(s)Z0(s)

Z1(s) + Z0(s)

(e−s

zv + r2(s)e−2s l

v eszv

1− r1(s)r2(s)e−2s lv

)(9.25)

I(z, s) = U0(s)1

Z1(s) + Z0(s)

(e−s

zv − r2(s)e−2s l

v eszv

1− r1(s)r2(s)e−2s lv

)(9.26)

Vegyuk eszre, hogy mindketto kifejezesben szerepel egy 1

1−r1(s)r2(s)e−2s lv

tag, amely egy mertani sor

osszegkeplete, q = r1(s)r2(s)e−2s lv kvocienssel. Ez lenyegeben a bekapcsolas utan oda-vissza verodo

hullamok osszegzodeset jelenti. Ezt az osszegkepletet ki is bonthatjuk a feszultseg kifejezeseben (azarameban hasonloan):

U(z, s) = U0(s)Z0(s)

Z1(s) + Z0(s)(e−s

zv + r2(s)e−s(2

lv−

zv )

+r1(s)r2(s)e−s(2lv + z

v ) + r1(s)r22(s)e−s(4

lv−

zv ) + . . . )

(9.27)

Az oda-vissza verodo komponensek komplex frekvenciatartomanybeli (s) es idotartomanybeli (t) formajakozotti osszefuggesekhez csoportosıtsuk a sort alkoto tagokat az alabbiak szerint:

U(z, s) =

∞∑i=1

UAi (s)e−s(2(i−1) lv + z

v ) +

∞∑i=1

UBi (s)e−s(2i lv−

zv ) (9.28)

Ennek idotartomanybeli megfeleloje:

u(z, t) =

∞∑i=1

uAi

(t− 2(i− 1)

l

v− z

v

)+

∞∑i=1

uBi

(t− 2i

l

v+z

v

)(9.29)

Melyben uAi (t) es uBi (t) kifejezese:uAi (t) = L−1UAi (s) (9.30)

uBi (t) = L−1UBi (s) (9.31)

A helyzet egy fokkal bonyolultabb, ha a t = 0 pillanatban nem energiamentes a tavvezetek. Ez esetbena tavvezetek-egyenletek (a Laplace-transzformacio megfelelo szabalyat alkalmazva) az alabbiak:

−dUdz

= sL′I − L′i(z, t = −0) (9.32)

−dIdz

= sC ′U − C ′u(z, t = −0) (9.33)

(9.32)-bol es (9.33)-bol az I kikuszoboesevel egy inhomogen PDE-t kapunk. Ennek homogen megoldasamegegyezik az elozoekben mar hasznalttal. Egy inhomogen partikularis megoldast megtalalhatunk

36

peldaul a probafuggvenyek modszerevel. A probafuggveny a PDE jobb oldalan levo fuggveny aktualisalakjatol fugg (tehat u(z, t = −0) es i(z, t = −0) fuggvenyek ismereteben hatarozhato meg). A Laplace-transzformaltak kifejezeseben tehat lesz egy inhomogen tag:

U(z, s) = U+(s)e−szv + U−(s)es

zv + Uih(z, s) (9.34)

A megoldas ismereteben az elozoekben vazolthoz hasonloan lehet meghatarozni az idofuggvenyeket.

10 Elektromagneses inverz feladatok

Lasd Dr. Bilicz Sandor segedanyagat.

11 Optimalizalasi modszerek inverz es tervezesi feladatokhoz

Lasd Dr. Bilicz Sandor segedanyagat.

12 Csotapvonalak

Lasd Dr. Veszely Gyula segedanyagat.

13 A Hertz-dipolus elektromagneses tere

Lasd Dr. Veszely Gyula segedanyagat.

14 Sıkhullamok

Lasd Dr. Pavo Jozsef segedanyagat.

37