jian-yi shi , xi-gou zhang - east china normal...

Left cell graphs in the affine Weyl groups E6

Jian-yi Shi ∗, Xi-gou Zhang †

1

2 JIAN-YI SHI ∗, XI-GOU ZHANG †

1. Appendix

0

2

43 5 61

14 15 16

12 34 35 36

23 45

24 25 26

05 0604

01

03

02

46 56

13

Fig. A Fig. C1

403023

2

50 25

12 10 60 26

1514 36 46

16

35

4 2 0

5 6 1 3

53

4 4

2

04

015 014035 03

12 23

456

235 125 14 3

036 016046

4

2625

3

1

4

236

46

5

126

146

36

15

35 4

2

05

0

Fig. B Fig. C2

35 25

23 12

034

12 23

4

04 26 016

5

15

24 01503504525

3 0

2

56

4636 26 06

15 35 45 25 05

03 23

24 04 02

23 03

012 014 124

035 4 12 01235

35 34

1436

546236036046

156 1350525

1

3

2

26

03 23 4

014 12 5015035042

016036

026256

2354 3 6

45 25 246 236

15 35346 146 136

3413 14

12

01

23

03

25

35 15

2624

04 05 06

45 46 356

02

14 040301

013014

34

123 14

16

34

125 145015

146

36146126236

056

46

046 036

4515

16 36

56

46 26 06

04 02324

05

35 4 4

016 126

235 125

13 14

025

0460546

16 36 14

126

125

Fig. D

LEFT CELL GRAPHS IN THE AFFINE WEYL GROUPS eE6 3

4

035 015

036 0146

235 125 14 3

236 126

042

5 46

Fig. E

4446

5

56

20

4010 60

12 23 24 26

14 34

30 50

25

4645

3535

145

36

146

15

146346136

235 350 40 2

4

236 360 460 50

125145 150

126 160146

35 124 140

26 25

4

135 156356

236 246 25

150 160

235

50460360350

40 260

250

3560 1560

3

1236

1360

1235

1350

60

26

34

24

40 50

25

45 46

3635

1614 15

23124

140 30

23340

140 121460

1450

360

350

126 236

235125

2360 1260

1460 126

150 125 14

3460 236

350 235 4

230

120

1

140 30

212 23

34

5

150350402

125 126

146

346 35

2356 1256

15

45 462334 30

144

236 1246

125235

360 1460

4

40 24 45 46

3635342330

10 12 14

13

15 16

26 25

460 450

25 50

460246 2350 125040

24 12

25 340 140

450

460 360 160

350 150

236 126

235 125 14

146 15

36 35 4 2

26

4

256

560

123130

6

0

3

23

36

5

46

5 46

14

3

Fig. F


250 260 460 360 350 40 2

14015016050

246

25

35

126

236 235

5

6

146

3

125

15

3560

1560 12563

14

2356

1460

23500

2

15

5

35 36

146

46 236 360 460 560 256

26160126

235 350 450

25150125

34014

3

140

23

12

24

40

2360

1250 1260

13

141516

36 35

4546

50 25

460 246

4

235236

125126

3460350

12 10

302334

24 40

2625

450 460

230

1401216 15 14

36 35 34

56 46 45

242526

5060 40

146 36 14 10

2334

24 40 20

5025

26 60

30

123 130 135136

45

46

34614

4

30

12

23

12

44 4

1360

1460 1460G2 1

G2 4 G2 5

150

120

45

46

356156

1360

1350 1236

1235

1460G2 6

14

23 34 35 3630

36035023 340

236 546

1460

2354

1450

12612523

30 140

124

1560G2 2

145150 125 35

350

1460 1246

2 40 235

35346236360

15146

4

1260G2 3

140 124 145 146

126150

160235

350

360

125

2 40 236 46 5

4

50460

26 25 4 3 1

Fig. G1

where by a node with an underneath label “ G2 i ” , we mean that the node is in Fig. G2

with the underneath label i. For example, 1460

G2 1

is the node 1460

1

in Fig. G2.

236

1460

13

141516

36 35

4546

50 25

460 246

4

235236

125126

3460350

12 10

302334

24 40

2625

450 460

350 240

1460

360

1461560 26 46

50 25 45 35 346

20 40 24

2354

1246

15012535342330

1210 14 36 146

145

236

12 40 60

252423340

1460

360 350

1450

235

46

36353423124125126

30 14 15140 16

26

50

4

45

35050

150

235236246

126 125

230

40 20

3023

120

140124

24

345356 346

25

160

360460

136

156 146 145

135

236 360 460 560 256

26160126

235 350 450

25150125

140

356

46

45

145

340

124

340 230

120

130

56

146

36 35

123

46

1236

1360

1235

1350

3

14

34

14

240

134

456

260

560

256 460

250

450

246 245

360 350

235236

160

126 125

150

34

4

6

51

1314

5

150

156

56

140

250 260

40 2350

1250 1260243

2360 3560

1560

2356

1256

46

245

146

35

346

15

340 140

1223

135 136 123130

Fig. G2


4

36

2 0

35

15

146

126125 236

235

160

3604150

350

14

3

46

5

140

340

4602612

23450

25130

24

254045

35

34 24

4023

560

123

16

46 14

230

120

50

260

30

2501060

256

1226

36 15

56

140150

23

14

350

16

15

34

35

45

36

46

240

13

50

25 460

246

360160

235124

30

125

4 126236

346

1461356

35145

4 2 0

35

15 36

1463 5

126

14160

46

2364125

150235 360

460140350

340 450

26560

12130

123

14 15

23

24

16

25

256

46

4535

36

34

23

30 124

140

4

40 246

235

50

460

25

236

350126

125

14502350 3460

236014601250

126013560

236346

146

360

35

145 125 150

13256

235 350 40

24

14601246

Fig. H Fig. J

44

1231340

234

356 156

246 460

346

236

245

246

2560460360160

126

146

450

235

350

13

125

150

4560256

135136

250

16 15

3536

14

34

30

23

140

124

56 46 45

26

60

25

50

24 23

12

340

140

125

235

126

236

1560

3560

1256

2356

1460

3460

150

350

235

1251246

46

4

1450

350 360

1460

46

2460

1250

2350

1260

2360

26 460

25 4502440

23

340

12

140

123

130

230 340 350 360

236

46

56146145

35

124 125

3645

235

1601501230 140

30 23

124140

34

141235

1350

1236

1463462361246

350

150

40212562356

15603560

46

25 50 1260

1460

360

1250

2350

2360

1360

40

3460

236

3450

24

14601450

126

125

235

126

45

2346

146 145 125

20

24

403010

12

14

36

23

34

35 235 35

45

25

50

26

60

15

46

16364650

25

460

246

131434

12

10

23

30

24

40

25

26

450

460

236

235

126

125

1360

1350

1236

1235

1460

1450

360

350

235

236 1246

14

4

3460

350150

1460

14

1240

2360

2350

1260

1250

12140

23340 24 40

25

450

26

460

256

560

34

1545 35

5 3

1350 1360

12361235

1346

3414

23

36 146

35 145

146

35

15

3462356

3560

1256

1560

1456

45 46

25

124 246

350

145 346

146

1356

345126

160

125 236

235

150 360

40

20

24

135 356

30

140

50

460

250

260

230

40

120

1245

45341415 35

Fig. I


235

350 150

12462346

3460

125

1460

460450 3560 2356

25 26 1560 1256

12360

12350 140 340

1236 1235

13460 1350

1450

3450

1460

3460

126

236 235

125

146

145

36

14 34

35

23

124

3014601450

350 360

12461245

236235

13501360

1236 1235

14

34

14560

35601256

2356

146

15

45

46

24625

46050

12356

13560

146 346

236

35

235

1246

350 360

145

125

150 1460

4

402

126

3460

23560 12560

140

124 23

2351460

125

126

360

236

464

1450 350

2360

24

402350

1260 1250

346

35

12

140

23

40

24

340

14

4

3

125

150

350

1460

5

4645

45025

235236

246 460

23602350

124601250

Fig. K1

3460 236

1460123560 1246

350 235 4

1450 125

260

250 240 230

120

160

360460560 150 140 130

350450 340

126

236246256 125 124 123

245 235 234

146

346 145 134456

356 345 135

136156

Fig. K2 Fig. K3


2345 23503450

2346 3460 2360

2356 3560

1246

1256

1245 1450

1460

1560

1260

1250

1235 1350

1360

134

456

240

1236

2460

4560

360236

1340

123

124

234 340

235 350

125 1450

126 1460

45

4656

230

1240

346 236 360

146 1246 1460

345

145

235

125

350

150

24 40 20

1456

1346 135

356

1350

1360 1236

1235

146 346

14

140 340

12 23

350

34

235

12451450

360

1460

236

12461256023560

1560 3560

1256 2356

1356012356

34 14

246

245 450

460

350

236 3460

126 1460

235

125 15014

34

13

256

250

23602350

124601250

24 40

15 35

25

246460

502356

1256 14560

3450 3460

14601450

235

125

236

126

2350

2440

2360

1260

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Fig. N


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256

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450

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24

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14

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345

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2

4

4

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8

9

10

11

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5

Fig. P(1)


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14

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460

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10

23

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36

46

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11

15

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17

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19

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Fig. P(2)


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14

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216

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30

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Fig. P(3)


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2360

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3560

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4

346

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24

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560

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234

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56

145

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36

345

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2146

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2360 2160

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10

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40

40

41

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44

47

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Fig. P(4)


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234 235 236

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4

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450

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34

14

13

340

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42

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46

32

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Fig. P(5)


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1460

1560

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14

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2360

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56

54

54

55

Fig. P(6)


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1360

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14

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1460

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45

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145

46

146

356

35

36

156

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Fig. P(7)


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240

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450

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235

345

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246 256 456

236

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360

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260

5

3

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12

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2

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39

38

14

Fig. P(8)


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1350

1340

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2

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236

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2160

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26

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45

24

24

46

Fig. P(9)


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3

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5

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234

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Fig. Q(1)


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Fig. Q(2)


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Fig. Q(3)


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Fig. Q(4)


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Fig. Q(5)


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3460

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23 214 24

215 2353414

3536

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356 216 215

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235

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213

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95

Fig. Q(6)


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46

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101

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100

Fig. Q(7)


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2356

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46

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36 16

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1030

24

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450 460

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45 46 56

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214 215 216213

1340

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135 136

34

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23 214

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27

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96

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96

97

89

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72

88

Fig. Q(8)


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2140 2150 1450 350 340 140 1350 1360 1460

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35 152145 235

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45

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2350

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40

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256

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26 25 24

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250 260

30 10

23 21

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1346

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2146

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4 235 236 46 5

1450 1460

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262524

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23 30

34 35

14 36 146

145

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2356

91

92

70

71

70

71

55

41

4056

54

38

Fig. Q(9)


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3460 236 246 460

25 503450 235

24 40 2350 2360

45

15

1360 1460 21623 30

2135

2136

14146

34

23

35

36

145

146

156

356

1560 3560

2156 2356 46

146 145

36 35 34

14

135 136

21 10

23 30

24 40 20

502545

46 26 60

15

346 35

236 235 4

2146 215

360 350

1460 216

40 2

4560 256 246 236 216

34 14 13

346 146

245 235 215

2560 460 360 160

450 350 150250

2460

2360 2350 40

21502160

3460

1460

340 140 130 213

23 21

24 25

26

450

460

3560

1560

2356

2156140 30

214 23

215 216

4 235 236 46 5

1450 1460

350 360

14 15 16

34 35 36

45 46 56

24 25 26

40 50 60

230 210

62

63

35

23

23

37

37

22

7

4

8

21

5

Fig. Q(10)


@@

SS

AA

@@

SS

AA

4560 256 246 236 216

2560 460 360 160

245 235 215

450 350 150

34 14 13

340 140

250

2460

2146 1460 2160 2150 140 30

214 23

215

2346 3460 2360 2350

215 150

40

235 350

145

45

46

2356

450

460

3560

25

26

24

2460 250 450 350 150

2560 460 360 160

245 235 215

246 236 216

34 14 13

346 146

256

4560

1460

3560 2356

46

45

1560 2156 146 36

145 35

34215

1450

34603450

235

215

214

216

236

24

40

2350

246 25

460

2360

50

17 84101

35 15

136

23 21

130

89

94

87

7372

88

56

41

55

100

54

38 4034

Fig. Q(11)


@@

SS

AA

1456 356 346 236 360

1356 146 216 160

345 235 350

145 215 150

24 40 20

214 140

135

1346

3460 1460 1360 1350 140 21

340 23

24350

2346 2146 2136 2135

350 150

14

235 215

450

45

46

2356

145

146

35

36

34

2156

210

3023

50

21

7

22

98

8

5 4

Fig. Q(12)


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

456

356 346 236 360

246 460 260

256 560

456

245 450 250

240

345 235 350

234 340 230

156 146 216 160

145 215 150

136214 140 210

135 134 213 130

240

230 340 350 360

245 246 256

450 460 560

250 260

240

456

234 235 236

345 346 356

210 140 150 160

214 215 216

130145 146 156

213 134 135 136

134

213 214 215 216

345 346 356

145 146 156

135 136

134

456

234 235 236

245 246 256

130 140 150 160

340 350 360

210450 460 560

230 240 250 260

10

9

45

46

78

79

Fig. Q(13)

∗† Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai, 200062, China

E-mail address: [email protected]; [email protected]

jian-yi shi , xi-gou zhang - east china normal...

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