jitka roubalová elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015....
TRANSCRIPT
1
Jitka Roubalovaacute
Elektrotechnika
Vytvořeno v raacutemci Operačniacuteho programu Vzdělaacutevaacuteniacute pro konkurenceschopnost CZ1071130010038 Automatizace vyacuterobniacutech procesů ve strojiacuterenstviacute
a řemeslech
Jitka Roubalovaacute
2
3
Středniacute průmyslovaacute škola strojnickaacute a Středniacute odbornaacute škola prof Švejcara
Plzeň
ELEKTROTECHNIKA
Jitka Roubalovaacute
4
Anotace
Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti
studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem
Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při
řešeniacute praktickyacutech uacutekolů
Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu
magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy
Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou
řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem
kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb
způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo
Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek
Jednotliveacute čaacutesti
- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole
- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu
- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce
- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu
- Trojfaacutezovaacute soustava
5
Obsah
Anotace 3
Uacutevod 9
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10
12 Předpony jednotek 11
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12
21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12
3 Elektrostatickeacute pole 14
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18
35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21
361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22
37 Kondenzaacutetor 22
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28
310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31
3111 Dielektrika vedle sebe 31
3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37
4 Stejnosměrnyacute proud 38
41 Proudovaacute hustota 38
42 Intenzita proudoveacuteho pole 39
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39
431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47
6
46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83
5 Magnetickeacute pole 88
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89
53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92
534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111
58 Elektromagnetickaacute indukce 119
581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134
59 Energie magnetickeacuteho pole 135
7
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140
6 Střiacutedaveacute proudy 143
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152
651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160
661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162
663 Seacuteriovyacute LC obvod 164
664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168
668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183
68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187
7 Trojfaacutezovaacute soustava 190
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207
76 Točiveacute magnetickeacute pole 207
77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215
8
83 Magnetickeacute pole 217
84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221
Použitaacute literatura 222
9
Uacutevod
Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech
obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole
Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru
popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem
bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků
elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute
Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto
tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a
ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z
Maxwellovyacutech rovnic
Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a
jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti
aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute
aplikovaneacute elektrotechniky
10
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky
Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou
fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute
veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme
Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)
jednotka = sekunda
Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem
zaacutepisem
Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute
zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI
Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik
zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se
nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International
dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek
a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veličina
Metr m deacutelka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s čas
Ampeacuter A elektrickyacute proud
Kelvin K teplota
Mol mol laacutetkoveacute množstviacute
Kandela cd sviacutetivost
b) Doplňkoveacute jednotky
doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu
steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu
c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI
vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute
vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami
Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute
vlastniacute naacutezev
11
Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)
protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute
naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev
Coulomb [C]
Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než
jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje
vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a
nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)
Dovoleneacute
Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg
Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m
3
Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)
Nedovoleneacute
Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm
Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W
12 Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou
Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10
-6 F = 0000005 F
Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů
21 Elektronovaacute teorie
Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit
Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů
neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho
elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)
označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura
atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a
z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech
(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19
C
Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů
ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy
stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute
Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se
porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však
vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute
naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo
Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem
přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute
elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
22 Vodiče a izolanty
Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při
slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely
nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem
nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem
naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je
složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou
vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem
působeniacutem elektrickeacuteho pole
Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky
označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem
silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)
23 Zdroje elektrickeacute energie
Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu
energie
Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek
zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely
13
zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem
zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)
Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič
Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka
Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute
vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu
na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem
tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji
Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI
soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC
Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda
14
3 Elektrostatickeacute pole
Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky
nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole
Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem
kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek
Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem
elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute
polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute
naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů
Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se
navzaacutejem přitahujiacute
Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole
Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar
Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela
elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli
Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli
Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele
zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na
volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole
osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4
Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje
Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda
volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na
čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami
15
Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů
Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo
uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit
veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole
QEF ( 1 CNCN )
Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj
je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a
tohoto naacuteboje
Z toho
Q
FE ( CNCN 1 )
Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme
toto pole nehomogenniacute
Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto
polem homogenniacutem
Přiacuteklad 1
Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute
pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C
Řešeniacute
5110150010301050 363 QEF (N)
16
32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou
stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a
velikost
Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem
poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se
čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A
lFA ( mNJ )
Po dosazeniacute F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak
praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U
Q
AU ( CJV )
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje
o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1
)
Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity
pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)
Protože Q
FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a
Q
AU vypočiacutetat
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U
l
UE ( mVmV 1 )
Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute
(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely
17
Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel
Přiacuteklad 2
Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute
vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V
Řešeniacute
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
33 Coulombův zaacutekon
Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou
se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a
zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich
vzdaacutelenosti
Obr 8 - Coulombův zaacutekon
Platiacute tedy
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta maacute hodnotu
4
1konst
18
kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato
hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute
0 r
kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně
rovna 1
Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute
je
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
Přiacuteklad 3
Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost
1 mm
Řešeniacute
)(1032)101(
106021106021
1085484
1
4
1 22
23
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem
většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal
Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje
Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute
ekvipotenciaacutely
Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity
v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy
19
Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q
FE a platiacute Coulombův zaacutekon
2
21
04
1
r
QQF
r
1QQ a CQ 12
Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute
Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však
bude v každeacutem bodu do středu koule
Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem
součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji
Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole
35 Elektrickaacute indukce
Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem
stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest
tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se
elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute
Obr 11 - Elektrickaacute indukce
20
Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do
země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem
Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute
pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle
obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na
destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj
Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
Přiacuteklad 4
Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el
naacutebojem 310-12
C
Řešeniacute
)(105974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D
Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše
neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity
elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash
čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce
Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r
ED r 0
36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů
361 Polarizace dielektrika
Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče
vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem
elektrickyacute proud
U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se
vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se
nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)
Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky
nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu
čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely
9 a) 9 b)
Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)
Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole
polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu
vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute
pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než
původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)
9 a) 9 b)
Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)
22
362 Elektrickaacute pevnost dielektrika
Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a
nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita
elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu
je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu
- proud začne izolantem proteacutekat
Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů
se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů
Materiaacutel r Ep (kVmm)
vzduch 10006 2 až 3
mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30
parafiacuten 19 až 22 20 až 30
kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58
kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10
polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60
sliacuteda 6 až 7 40 až 80
sklo 35 až 4 20 až 50
porcelaacuten 55 až 65 20 až 45
37 Kondenzaacutetor
Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute
elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je
dielektrikum
Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje
opačnyacutech polarit
Obr 15 - Kondenzaacutetor
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute
napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute
naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute
Platiacute tedy
UkonstQ
23
Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F) U
QC a tedy rozměr jednotky farad je (
V
C
U
QF )
Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF
Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je
Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru
Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika
Viacuteme že platiacute
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich
vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r
Přiacuteklad 5
Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm
a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V
Řešeniacute
UCQ
l
SC r 0 kde 322 1041020102 S (m
2)
)(4171)(014171
)(1014171601088541010
1044108854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)
24
381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
1a) 1b)
Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U
Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je
321 QQQQ
Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazeniacute
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute
CUQ
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit
jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
25
1a) 1b)
Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute
jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy
všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
QQQQ 321
Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
321 UUUU
Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute
C
QU
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
321
1111
CCCC
Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute
součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 6
Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do
seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute
26
Řešeniacute
CCCCCCvyacutesl
411111 250
4
1
4
CCvyacutesl F
Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute
kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn
Přiacuteklad 7
Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a
kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=
200 nF
Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Řešeniacute
Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem
C45
5454
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
5454
CC
CCC (nF) = 01F
Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20
Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat
vyacuteslednou kapacitu C
82102150154321 CCCCC F
Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj
66 10267241082 UCQ C
27
Přiacuteklad 8
Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme
libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby
byl splněn danyacute požadavek
Řešeniacute
Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že
spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita
takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že
potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21
Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 9
Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme
kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na
propojenyacutech kondenzaacutetorech
Řešeniacute
Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je
62421 CCC (F)
Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute
hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od
okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi
piacutesmeny
V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U
nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje
určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt
0
V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute
děj na kondenzaacutetoru
Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC
Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)
neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute
t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute
maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute
se zpomaluje
Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud
přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Průběh proudu a napětiacute je na obr 23
29
Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru
Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je
daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute
konstanty
t
c eUu 10
kde
CR
310 Energie elektrostatickeacuteho pole
Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U
C
QU
Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA
Platiacute Q
AU A = U Q tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech
diacutelčiacutech praciacute dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je
C
QWC
2
2
Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC nebo takeacute UQWC
2
1
Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho
kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se
na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou
energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24
30
Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich
vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie
nahromaděnaacute v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww C
C
2
1
2
12
1
2
2
Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole
platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole
Přiacuteklad 10
Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na
kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru
Řešeniacute
Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu
12-12-
3
412-
1
01 10177082108854101
10201108854
l
SC r F
Naacuteboj na kondenzaacutetoru
-12-12
11 10212496101770812 CUQ C
Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek
12-12-
3
412-
2
02 10118053313331088541051
10201108854
l
SC r F
Napětiacute po posunutiacute desek
18101180533
1021249612-
-12
C
QU V
31
Přiacuteklad 11
Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na
napětiacute 230 V
Řešeniacute
1322500101322505290010522301052
1
2
1 66262 UCWC J
311 Složenaacute dielektrika
Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou
3111 Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 25
Obr 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole
l
UEEE 21
Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to
ED r 011 a ED r 022
Naacuteboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude
21 QQQ
Dosadiacuteme za Q1 a Q2
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o
kapacitaacutech 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojeneacute paralelně
Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou
dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute
3112 Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum
Obr 26 - Dielektrika za sebou
Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou
materiaacutelech je stejnaacute
S
QDDD 21
Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druheacute
20
2
r
DE
Celkoveacute napětiacute mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 2
20
222 lD
lEUr
Pak po dosazeniacute
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protože platiacute l
SC r 10 je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protože C
QU1 pak
převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot
kapacit diacutelčiacutech dielektrik
21
111
CCC
Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory
Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech
diacutelčiacutech dielektrik
Lze tedy psaacutet 2
1
21 EE
r
r
a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute
intenzita tohoto dielektrika Ep gt E
Přiacuteklad 12
Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem
tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech
dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute
Materiaacutel r Ep (kVmm)
1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40
2 sliacuteda 7 60
34
Řešeniacute
Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je
92307692141
2400
304207
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
Vmm
161538592307694
72
1
21 EE
r
r
Vm
Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost
vyhovuje
312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem
Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva
středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
24 r
QDE
Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3122 Osamocenaacute koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrickaacute indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazeniacute za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi
maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute
pevnosti izolantu
36
3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
lr
QDE
2
Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Přiacuteklad 13
Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je
kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)
37
Řešeniacute
12-12--12
1
2
0 101038136105log32
166894
50
52log32
131088542
log32
2
r
r
lC r F
C = 1038 pF
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi
V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody
odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho
zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země
Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj
dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj
kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba
oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu
uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost
natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu
izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije
Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute
naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo
vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje
elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter
vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute
nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech
měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů
Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů
Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje
uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a
uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič
Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute
omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje
zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem
Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje
Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech
mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute
elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry
Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute
objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena
k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute
38
4 Stejnosměrnyacute proud
Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne
vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I
Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho
naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad
akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)
Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U
Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu
elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute
ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb
Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute
elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče
41 Proudovaacute hustota
Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se
nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru
Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute
Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem
bude průřez vodiče většiacute
V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute
proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se
na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu
Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
39
42 Intenzita proudoveacuteho pole
Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno
l
UE )( 1 mAmV
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon
Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem
většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je
přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute
Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty
obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme
že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor
Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče
Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu
zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute
Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute
Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem
jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute
měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme
napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru
Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1
)
Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA
-1)
Pak lze psaacutet
R
UI
Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I
Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon
Rezistory
Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute
odpor R
Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru
Přiacuteklad 14
Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A
Řešeniacute
46050
230
I
UR ()
431 Velikost elektrickeacuteho odporu
Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho
je vodič vyroben
Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu
vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute
i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče
Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu
vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute
Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely
Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
kde l je deacutelka vodiče
S je průřez vodiče
je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je
to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2
při teplotě 20oC
41
Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Rezistivita některyacutech materiaacutelů
Materiaacutel mm2m
-1
Měď 00178
Hliniacutek 00285
Střiacutebro 00163
Ocel 013
Konstantan 05
Chromnikl 11
Cekas 11
Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory
Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely
pro vyacuterobu vodičů
Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu
rezistorů
Přiacuteklad 15
Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m
Řešeniacute
S
lR () kde 0785)50( 22 rS mm
2
430785
15000178
S
lR ()
Přiacuteklad 16
Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3
Řešeniacute
S
lR () z toho plyne
SRl
143)1( 22 rS mm2
52901780
1433
SRl (m)
432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě
S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute
elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky
s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste
42
Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při
zahřaacutetiacute vodiče o 1o
C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se
nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -
(1oK)
Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek
odporu R = R2 - R1 miacutet velikost
1RR
Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely
Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu
(K-1
)
Měď 00042
Hliniacutek 0004
Střiacutebro 0004
Ocel 0006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2510-4
Cekas 710-5
Přiacuteklad 17
Měděnyacute vodič o teplotě 20o
C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A
Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C
Řešeniacute
Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1
2120
241
I
UR ()
Přiacuterůstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor při teplotě 60o C
)(40161)40004201(21)1(12 RR
43
Přiacuteklad 18
Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o
C do +40o C
Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě
Řešeniacute
Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co
Odpor při -25o
C R1
Odpor při -25o
C 1112 2731)65004201()1( RRRR
Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu
Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče
je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q
UQA (J V C)
Protože proud je t
QI lze dosadit
tIUUQA (J V A s)
Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty
elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem
a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute
Protože platiacute Ohmův zaacutekon R
UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A
V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute
praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute
v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)
Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo
Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P
IUt
tIU
t
AP
(W V A)
Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1
)
Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Přiacuteklad 19
Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut
Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(6450
230A
R
UI
Vyacutekon )(105864230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s
Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně
použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)
Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute
energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy
ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi
vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ
Platiacute
ZWWW 12
Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost
1
2
W
W a je to vždy čiacuteslo 1
Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 W
W )( JJ
Protože přiacutekon je t
WP 1
1 a vyacutekon je t
WP 2
2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W )( WW
45
Přiacuteklad 20
Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po
dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě
v konvici
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(831120
220A
R
UI
Přiacutekon )(34038312201 WIUP
Vyacutekon )(323100
803403 12 WPP
45 Kirchhoffovy zaacutekony
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem
nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit
pomociacute Ohmova zaacutekona
Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost
odporu zaacutetěže R pak proud I
I
UR
Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je
na obr 34
Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
46
Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly
Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu
Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu
Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy
zaacutekony
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje
Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve
vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i
elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud
Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect
54321 IIIII
Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute
lze psaacutet
01
n
k
kI
Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule
Přiacuteklad 21
Obr 36 - Proudy v uzlu
Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li
proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A
Řešeniacute
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen
uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute
To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule
01
n
k
kU
Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute
+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem
orientace smyčky
- hellip orientace napětiacute je proti směru
orientace smyčky
Tedy U1 + U2 ndash U = 0
Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech
odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce
Přiacuteklad 22
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =
6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38
Obr 38 - Napětiacute ve smyčce
Řešeniacute
Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
040I A
800402011 IRU V 210403022 IRU V
48
46 Spojovaacuteniacute rezistorů
Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 39
Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
021 UUU
Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vyacuteraz I
Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie
aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je
rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie
21 RRRV
Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz
niV RRRRR 21
Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů
jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie
49
462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 41
Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
21 III
Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle
Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute
21
111
RRRV
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme
vyacuteraz
niV RRRRR
1
1
111
21
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
50
Přiacuteklad 23
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =
12 V Obvod je zapojen podle obr 43
Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
0240500
12
Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je
42024010011 IRU V 69024040022 IRU V
Přiacuteklad 24
Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44
Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech
odporů
14577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
8531457
220
Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V
Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR
UI 22
100
220
1
1
AR
UI 550
400
220
2
2 AR
UI 11
200
220
3
3
Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit
321 IIII
AI 853 AIII 8531155022321
což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů
Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně
řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu
odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme
celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů
určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a
napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu
Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 25
Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy
ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45
Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25
52
Řešeniacute
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor
2132
111
RRR
tedy odpor 32
3232
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema
Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor
R123 = R1 + R23
Naacutehradniacute obvod pak je
Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů
Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321
1R
UI
Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na
jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu
Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11
53
Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy
Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem
Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1
Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III
Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute
Přiacuteklad 26
Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49
Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26
Řešeniacute
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit
R345= R3 + R45
Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema
Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute
Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je
daacutena vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod
Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napětiacute U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napětiacute UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypočteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3
333 IRU
Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletně vyřešen
Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve
smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů
56
Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů
Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona
0321 III
Pro uzel B musiacute platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona
021 UUU
Pro smyčku y platiacute
0243 UUU
Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků
472 Transfigurace
V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou
zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit
postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech
přiacutekladech
Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute
57
Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)
a) b)
Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy
Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka
rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute
jako působeniacute trojuacutehelniacuteka
Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56
Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu
Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech
přiacutekladech
Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi
stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute
201012 RRRCelk
Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute
2010
233112
233112 )(RR
RRR
RRR
Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )(RR
RRR
RRR
3010
233112
231231 )(RR
RRR
RRR
Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro
adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro
adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Přiacuteklad 27
Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li
napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30
R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57
Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27
Řešeniacute
Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a
daacutele zjednodušujeme podle obr 58
59
1 2
3 4 5
Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu
Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je
16706
1
36
6
celkR
UI A
60
Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je
0667015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napětiacute rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu
Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do
elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii
Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute
U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho
svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0
481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute
Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute
poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se
vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek
nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem
napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno
= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy
nulovyacute)
Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult
U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se
zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje
Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute
61
Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj
Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je
iRIUU 0
Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika
zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost
Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je
malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem
odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute
vnitřniacute odpor Ri
Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik
Obr 62 - Proud nakraacutetko
62
U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně
zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů
měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute
Přiacuteklad 28
Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru
proudu 02 A je 58 V
Řešeniacute
Proud nakraacutetko bude
i
kR
UI 0
Svorkoveacute napětiacute U je
iRIUU 0
iR 20685
Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri
120
856
iR
Proud nakraacutetko tedy je
61
60 i
kR
UI A
482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute
podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje
Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute
vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech
zdrojů
Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU
Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR
Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU
Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem
napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho
hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by
hrozilo poškozeniacute zdroje
a) b)
Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně
Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů
Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je
jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se
všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat
z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů
Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute
napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly
vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit
02010 UUU a 21 iii RRR
Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute
21 zZz III
Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute
1zz InI nUUUU 002010 n
RR i
i1
Přiacuteklad 29
Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15
V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A
Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A
Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje
64
Řešeniacute
Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud
01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64
Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů
Celkovyacute vnitřniacute odpor bude
32
23
2
3 1
iiacute
RR
Proud nakraacutetko bude
513
5133 01
i
kR
UI A
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi
Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory
využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny
rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty
491 Dělič napětiacute
Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute
65
a) b)
Obr 65 - Dělič napětiacute
Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
21 RR
UI
tedy U
RR
RR
RR
URIU
21
22
21
22
Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2
platit
z
z
RR
RRR
UI
2
21
a po dosazeniacute
URRRRRR
RR
RR
RR
RR
RRR
U
RR
RRIU
zz
z
z
z
z
zz
z
2121
2
2
2
2
21
2
22
Přiacuteklad 30
Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66
Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič
napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o
odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V
Řešeniacute
Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem
R1 + R2 = 1000
tedy R1 = 1000 ndash R2
66
a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
241000
2
21
22
RU
RR
RU
b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute
24500500)1000()1000(
500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
c)
2415001500)1000()1000(
1500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho
napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič
Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory
492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru
k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek
Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem
67
Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute
bbAA RIRI a tedy A
b
b
A
R
R
I
I
Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to
v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku
Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute
tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku
A
b
Am
A
R
R
II
I
A
b
AA
A
R
R
IIn
I
)1(
n
RR A
b
Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash
viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor
Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem
Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory
předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na
předřadneacutem odporu a na voltmetru
pVm UUU p
V
p
V
R
R
U
U
Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy
Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu
)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p
V
V
V
R
R
nU
U
)1(
Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp
Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet
Přiacuteklad 31
Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo
možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA
68
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 2010
200n kraacutet
Odpor bočniacuteku bude 581)120(
30
)1(
n
RR A
b
Přiacuteklad 32
Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak
aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 5120
600n kraacutet
Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp
493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu
V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute
měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute
zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu
Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou
Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA
naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je
omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV
Velikost odporu RX je
iV
VA
V
VA
V
x
xx
R
UI
U
II
U
I
UR
Přiacuteklad 33
69
Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud
ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70
Řešeniacute 95201680
16
003200200
16
5000
16020
16
iV
VA
Vx
R
UI
UR
494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně
širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem
)1(12 RR
kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty
Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute
teploty
Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty
odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2
)1(12 RR 11
2
R
R
11
2
R
R
1
12
R
RR
Měřenaacute teplota je tedy
1
12112
R
RR
Přiacuteklad 34
Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu
je-li
hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o
velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je
20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71
Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty
Řešeniacute
Odpor při 20o C je R1 = 200
Odpor při o C je R2
70
27020
5400
20
1045
1020
1020306 3
3
3
2
A
AA
I
IRUR
Měřenaacute teplota je tedy
510780
7020
104200
20027020
3
1
1212
R
RR o C
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech
Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly
v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly
lineaacuterniacute obvody
V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale
vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute
Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku
Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na
nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a
odpor je tedy vyššiacute
Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a
pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika
nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
a) b)
Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech
obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute
zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku
Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme
pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je
daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute
charakteristikou zdroje
71
Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu
Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen
nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici
a) b) c)
Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu
c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA
charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem
prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto
hodnoty odečteme z grafu
Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu
Přiacuteklad 35
Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je
napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute
podle obr 76 a)
a) b)
72
Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku
Řešeniacute
Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute
že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash
je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho
a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme
Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou
proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek
křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem
z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP
VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body
U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A
Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35
Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je
Ip = 27 mA
Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom
dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho
proudu s VA charakteristikou rezistoru R1
Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož
vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku
hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN
Přiacuteklad 36
Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka
paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi
hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka
U (V) 1 2 3 4 5 6
73
I (A) 01 0165 022 025 028 03
Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32
Řešeniacute
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky
rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute
charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute
charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky
Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1
Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020
60 iR
UIk A
Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36
Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a
proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je
rovno 188 V
74
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji
Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech
zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute
zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na
uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet
tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute
Ohmova zaacutekona
Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech
rezistorů
Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že
jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet
všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než
byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu
Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute
že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou
orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti
směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80
Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3
Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech
Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci
zvolenyacutech smyček x a y
Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)
321 III (1)
75
Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
01221 UUUU RR (2)
Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
0232 UUU RR (3)
Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho
platiacute
111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)
Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod
Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)
0122211 UURIRI (2a)
023322 URIRI (3a)
Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)
0)( 232122 URIIRI (3b)
Upraviacuteme (3b)
02323122 URIRIRI
0)( 231322 URIRRI
32
3122
RR
RIUI
(3c)
a dosadiacuteme do rovnice (2a)
0122
32
31211
UUR
RR
RIURI (2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1
0122
32
312
32
211
UUR
RR
RIR
RR
URI
23321
323211
233121
3121322222
32
231
122
32
2
1
122
32
2
32
23111
)(
)(
RRRRR
RURRUI
RRRRRR
RURURURURU
RR
RRR
UURRR
U
I
UURRR
U
RR
RRIRI
Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2
76
I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3
Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a
(6)
Tiacutem je obvod kompletně vyřešen
Přiacuteklad 37
V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
100
Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37
Řešeniacute
Pro uzel A platiacute
321 III
Pro smyčku x platiacute
01122 RR UUUU
Pro smyčku y platiacute
0232 RR UUU
Dosadiacuteme do rovnic
02001010020 12 II 32010 12 II
010010020 23 II 21010 23 II
Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3
20
103 21
II
a
10
102 23
II
Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A
10
102
20
103 22
2 II
I
20
222 20420103 III
77
2507 I
14050
72 I A
Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3
08020
140103
20
103 21
II A
06010
140102
10
102 2
3
I
I A
Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče
v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
16200080111 RIUR V
14100140222 RIUR V
6100-006333 RIUR V
4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů
Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se
postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute
Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute
veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II
Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a
to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy
orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček
Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj
smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou
smyčkovyacutech proudů
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82
Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů
78
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib
Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona
Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba
Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme
011222 RIUURIRI aba
02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb
32
22
RR
RIUI a
b
01122
32
222
RIUUR
RR
RIURI a
aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute
Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia
01122
32
2
32
222
RIUUR
RR
RI
RR
RURI a
aa
21
32
2212
32
22 UU
RR
RURIR
RR
RIRI a
aa
312132
323121
3121223222
3222312122
1
32
222
21
32
22
RRRRRR
RURURU
RRRRRRRRRR
RURURURURU
RRR
RRR
UURR
RU
Ia
Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32
22
RR
RIUI a
b
a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se
smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
ab III 2
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute
Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
Přiacuteklad 38
79
Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
300 R4 = 200
a) b)
Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 83 b) kde R34 je
1205
600
200300
200300
43
4334
RR
RRR
Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky
a 0)( 1122 RIUURII aba
02001020100)( aba III
b 0)( 2234 RIIURI abb
0100)(20120 abb III
Upraviacuteme a dosadiacuteme
a 02001020100100 aba III 100
10300 a
b
II
b 0100)100
10300(20120
100
10300
a
aa III
Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme
0100103002012360 aaa III
02560 aI
0003571560
2aI A
Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali
Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib
80
0089286100
103000003571-
100
10300
a
b
II A
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je
shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu
smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
0092857)0035710(00892862 ab III A
Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou
10714291200089286343443 RIUU RR V
Proudy rezistory R3 a R4 jsou
0035714300
10714293 I A 0053571
200
10714294 I A
Napětiacute na rezistorech R1 a R2
07142862000003571111 RIUR V
928571000092857222 RIUR V
Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a
napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
020-10)(-0714286-92857
020-107142992857
0089286)(-00035710092857
Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku
Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute
pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by
bylo matematicky obtiacutežneacute
4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute
Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž
je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu
označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute
Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz
jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash
neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a
z nich pak proudy ve větviacutech obvodu
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84
81
Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R
je UA
Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute
321 III
Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a
dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice
32
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
21312321 )()( RRURRUURRUU AAA
21313123221 RRURRURRURRURRU AAA
31322131221 RRURRURRURRURRU AAA
313221
312321
RRRRRR
RRURRUU A
Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
1
11
R
UUI A
2
22
R
UUI A
3
3R
UI A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Přiacuteklad 39
Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30
R4 = 90
82
a) b)
Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 85 b) kde R34 je
12090304334 RRR
Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A
321 III
342
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
120100
20
200
10 AAA UUU
AAA UUU 10)20(12)10(6
AAA UUU 1012240660
107142928
300AU V
Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
-000357200
107142910
200
101
AU
I A
Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru
než byl původniacute předpoklad
928571400100
107142920
100
202
AU
I A
0089286120
1071429
1203 AU
I A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech
83
-071429200-000357111 RIUR V
9285714100928571400222 RIUR V
2678571300089286333 RIUR V
V 8035714900089286434 RIUR
4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice
Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl
připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze
tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86
Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj
jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho
obvodu
a) b)
Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice
84
Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky
je na obr 87 a)
32
3223
RR
RRR
R123 = R1 + R23
123
1
1R
UI
11
1 IRUR
11
RAB UUU
2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na
obr 87 b)
31
3113
RR
RRR
R123 = R2 + R13
123
2
1R
UI
11
1 IRUR
12
RAB UUU
1
1R
UI AB a
3
3
R
UI AB
Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje
Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute
1
11 III
2
22 III
3
33 III
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR
Přiacuteklad 40
Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
110 R4 = 130 R5= 240
1
85
Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34
2401301104334 RRR
Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345
120240240
240240
345
345345
RR
RRR
Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)
a) b) c)
Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)
5454545120100
120100
3452
34522345
RR
RRR
R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545
0039286 25454545
10
12345
1
1 R
UI A
78571430039286200
11
1 IRUR V
2142857785714310
11
RAB UUU V
86
214285700100
2142857
2
2 R
UI AB A
0017857120
2142857
345
345 R
UI AB A
Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)
75120200
120200
3451
34511345
RR
RRR
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175
0114286 175
20
12345
2
2 R
UI A
1142860114286100
22
2 IRUR V
857142942861120
12
RAB UUU V
0042857200
8571429
1
1 R
UI AB A
0071429120
8571429
345
345 R
UI AB A
Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou
-0003570042857-0039286
1
11 III A
00928572142857000114286
2
22 III A
0089286
345
345345 III A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
-071429200-000357111 RIUR V
928571009285700222 RIUR V
107143212000892863453345 RIUU RAB V
10714325 ABR UU V
0044643240
1071432
5
55
R
UI A
1
1
87
0044643240
1071432
34
43 R
UII AB A
4910731100044643333 RIUR V
5803591300044643334 RIUR V
88
5 Magnetickeacute pole
Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute
magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud
Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda
Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute
předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute
magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute
zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje
vždy k severu
Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety
Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute
elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje
Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute
silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole
Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute
magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka
Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute
směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute
čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje
orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech
čaraacutech
Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar
Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -
označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)
a) b)
Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute
Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute
89
Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu
a) b) c)
Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely
c) podkovoviteacuteho magnetu
Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute
působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem
Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme
silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a
jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
521 Magnetickeacute pole vodiče
V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech
kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute
takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute
čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute
V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve
středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93
Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči
90
Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem
Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen
na obr 94
Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo
pravotočiveacuteho šroubu
Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute
vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole
Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu
Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve
směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar
91
53 Veličiny magnetickeacuteho pole
531 Magnetickyacute tok
Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem
Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem
poli Popisuje tedy pole jako celek
Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)
532 Magnetickaacute indukce
Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho
toku na jednotku plochy
SB
Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem
magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě
Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce
Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I
tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1
Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To
se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash
viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute
nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do
zeslabeneacuteho pole
a) b)
Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute
v magnetickeacutem poli
lIkonstF
Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a
označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)
lIBF (N T A m)
92
Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem
Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole
lI
FB
(T NA
-1m
-1)
Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole
Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem
jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity
magnetickeacuteho pole
Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel
pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude
sin lIBF viz obr 98
Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute
Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute
se podiacutelejiacute na jeho vzniku
Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)
Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je
magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo
93
Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute
magnetomotorickeacute napětiacute je tedy
Fm = I
Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho
magnetickeacuteho pole je
Fm = I1 - I2 + I3
Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute
danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute
n
i
im IF1
a) b)
Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)
Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet
všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro
tuto indukčniacute čaacuteru
n
i
mim UF1
Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute
Fm = Um1 + Um2 + Um3
534 Intenzita magnetickeacuteho pole
Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute
indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je
l
UH m (Am
-1 A m)
kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um
Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke
křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery
94
Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole
r
I
l
UH m
2
Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy
tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu
vodiče na rovině indukčniacute čaacutery
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi
intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute
Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem
magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem
bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce
indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole
vybudilo
Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B
Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu
souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah
přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB
Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme
v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a
nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute
HB
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) (H) je jednotka henry ndash jejiacute
rozměr vysvětliacuteme později
Pro ostatniacute materiaacutely platiacute
HB r 0
kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než
vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1
95
Přiacuteklad 41
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud
8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče
5127323954104
1012
8
2
3
3
r
IH (Am)
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
115749051011
40
10112
8
2
2
3
r
IH (Am)
Přiacuteklad 42
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr
101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A
Obr 101 - Svazek vodičů
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku
2815720321 IIIFm A
6366198200
102
1022
8
2
2
2
r
FH m (Am)
Přiacuteklad 43
Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr
102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A
Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli
96
Řešeniacute
Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je
81201560 lIBF N
Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat
do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo
Přiacuteklad 44
Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad
Řešeniacute
0180)15020(60 SB Wb
Přiacuteklad 45
Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T
I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch
Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů
Řešeniacute
HB r 0 0= 410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
r
FH m
2 a
n
i
im IF1
Z toho plyne
r
m
BrHrF
0
22
150102
21015
104
00202 43
7
rFm A
321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A
97
54 Hopkinsonův zaacutekon
Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem
indukčniacutem tokem
Viacuteme že S
B
z toho SB
Protože platiacute HB a l
UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem
mm U
l
SS
l
USHSB
Vyacuteraz mUl
S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je
henry (H)
mm Ul
SG (H)
Platiacute tedy
mm UG
Rozměr jednotky henry
m
mU
G
)()()(2
A
mT
A
WbH
Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm
m
mG
R1
tedy S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku
Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek
Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti
magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku
Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy
deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu
S
lRm
1 kde r 0
Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je
hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny
pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho
magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu
98
Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin
Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute
Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute
Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute
pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny
Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky
poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r
551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů
Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole
Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů
po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin
elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky
se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute
U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute
uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře
materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy
sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4
m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem
magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a
tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu
vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho
pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel
vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost
že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je
zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě
magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika
Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika
99
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace
Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce
strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho
přiacuterůstku magnetickeacute indukce
Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato
čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity
magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při
navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi
body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute
charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute
Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů
Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho
pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť
Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje
tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute
intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou
magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a
značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat
v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity
magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute
hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute
intenzita (koercitivita)
Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom
nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při
snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem
magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba
opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev
popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka
Obr 105 - Hysterezniacute smyčka
100
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety
Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar
hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho
materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na
vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu
Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute
Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute
intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u
takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely
použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj
magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu
wolframu a molybdenu
Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou
koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute
tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech
střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet
Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem
a) b)
Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute
101
Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu
stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel
zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute
odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute
snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne
k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute
s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)
a) b)
Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka
Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am
102
Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu
Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg
103
Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik
104
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute
Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud
kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery l
IH přiacutepadně
l
FH m kde
n
i
im IF1
tedy součet všech proudů ktereacute se
podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole
Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův
zaacutekon
Biot-Savartův zaacutekon
Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon
Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l
je
sin4 2
r
lIH
kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A
Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky
kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov
561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče
Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute
tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu
průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude
stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem
pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)
Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x
IH
2
kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče
Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy
hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r
IH r
2
Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b
IHb
2
105
a) b)
Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)
Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera
Proudovaacute hustota J ve vodiči je
2r
I
S
IJ
Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia
2
22
2 r
aIa
r
ISJI aa
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy
2
2
2
222 r
aI
a
r
aI
a
IH
Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od
středu vodiče je přiacutemkovyacute
Přiacuteklad 46
Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti
15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A
Řešeniacute
Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je
509316000
1052
160
2 3max
r
IH Am
Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je
1273104
40
10160
10)155(2
160
2
33
35
x
IH Am
106
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
a) b)
Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar
nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve
středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit
sin4 2
r
lIH
Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute
24 r
lIH
Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce
zaacutevitu
r
Ir
r
Il
r
I
r
lIH
rr
22
444 2
2
02
2
02
Tedy r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute
2
Dl a
212
DDD
kde D je středniacute průměr ciacutevky 2
12 DDD
Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
107
Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se
podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu
ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr
Přiacuteklad 47
Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A
aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am
Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr a
2
12 DDD
1052
110100
2
12
DD
D mm a 5522
105
2
Dr mm
Počet zaacutevitů v ciacutevce je
5522
10001055222 3
I
HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů
564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute
podmiacutenka lD
Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka
108
Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119
Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem
Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje
severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom
konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)
Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute
magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu
lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je
l
IN
l
UH m
Přiacuteklad 48
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky
kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute
permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
250010505001010
505002
l
INH Am
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde
025132708010800000250080104 -7-7
0 HB r T
a
109
662232 10176714610)2
15()10
2
15( rS m
2
46 10444132201017671460251327 SB Wb
565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o
kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech
kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute
Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole
Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude
intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r
kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute
než d
Magnetickeacute napětiacute Um je
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je
r
IN
l
UH m
2
Přiacuteklad 49
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400
zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro
vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole je
10185923200
10
320
2
10102
80400
22
2
D
INH Am
110
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme
z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1
Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu
662232 107853982105)102
10( rS m
2
46 101115265107853982421 SB Wb
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok
Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly
tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem
dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje
a) b)
Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami
111
Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem
menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto
větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute
větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze
daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je
mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku
kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok
Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že
součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech
toků z uzlu vystupujiacuteciacutech
01
n
k
k
Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute
magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute
n
k
mkm UF1
Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon
m
m
R
U
kde
S
lRm
1 (H
-1) r 0
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem
Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu
Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem
průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se
uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej
v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat
Přiacuteklad 50
Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku
z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4
Wb D = 80 mm
d = 20 mm
Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro
112
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je
SB
kde 662232 101431010)10
2
20( rS m
2
127314
400
10143
1046
4
SB T
Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro
materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute je
31415938025110801250 3 DHlHFm A
Budiacuteciacute proud bude
1570796200
3141593
N
FI m A
Přiacuteklad 51
Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute
permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu
Řešeniacute
Z Hopkinsonova zaacutekona m
m
R
U je
m
m
UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm
44
4107854
4
102314
104
2314
mm
FR H
-1
Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu
S
lRm
1
kde 00010161250
271
H
B (Hm
-1)
633
6
3
100787143
1080
1016
101
10143
1080
0001016
11
S
lRm H
-1
Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem
zaokrouhlovaacuteniacute
Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu
HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7
Hm-1
113
58081008085071250 4
10101270
1250 10 4
271 33
7-
0
H
Br
Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou
Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute
v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2
Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou
Magnetickaacute indukce je S
B
je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute
Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r
BH
0
Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita
feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než
intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu
00
BBH
r
gtgt rFe
Fe
BH
0
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
0
BHUm
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
lB
lHUr
FemFe 0
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
mFemm UUF
Po dosazeniacute
0
BUUF mFemm l
B
r
0
114
Přiacuteklad 52
Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se
vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve
vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet
hodnotu maximaacutelně 08 A
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
100954934
1012
104
21
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
1435395105110095493 36 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
A2997929)5180(21
)10511080(1200)(1200 33
DlHU FemFe
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
173518829979291435395 mFemm UUF A
Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka
2169216898508
1735188
I
FN m zaacutevitů
Přiacuteklad 53
Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500
zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je
vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg
115
Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
1201803009020060500221121 ININFFF mmm A
Intenzita magnetickeacuteho pole
375032
120
l
FH m Am
Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra
B = 12 T
Celkovyacute magnetickyacute tok je
34 10081103321)030030(21 SB Wb
Přiacuteklad 54
Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby
magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro
elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu
Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54
116
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
3182)9070(2 l mm
Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
10127324104
104
61
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
336 10254647910210127324 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
1113103183500 3 lHU FemFe A
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
36595525461113 mFemm UUF A
Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a
provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů
Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak
73195
36595
I
FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a
budiacuteciacute proud bude 4574375800
36595
N
FI m
b A
Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je
znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např
pro dvě čaacutesti obvodu
21 mm
m
RR
U
ndash Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a
proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena
magnetizačniacute křivkou
Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce
)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak
možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm
117
Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a
pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm
Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2
tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm
Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf
Obr 127 - Funkce )( mFf
Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute
naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute
napětiacute z grafu funkce )( mFf
Přiacuteklad 55
Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech
materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle
obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů
Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
118
Řešeniacute
Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu
75051500 INFm A
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je
18090452 plechyl mm
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je
14090252 litinal mm
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm1
Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute
pro oba materiaacutely
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0555556109
1054
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
200 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
3723363610140240010180200 33
1
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm2
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0777778109
1074
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
400 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
8147427210140530010180400 33
2
Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4
Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4
Wb sestrojiacuteme
v Excelu graf funkce )( mFf
119
Fm (A) 372 814
Wb 00005 00007
Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb
58 Elektromagnetickaacute indukce
581 Indukčniacute zaacutekon
Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute
pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy
Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat
elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud
Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem
Indukčniacute zaacutekon
Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje
elektrickeacute napětiacute u
dt
du
kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku
dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d
120
Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon
Pozn
Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu
veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit
Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i
Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud
Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem
ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)
Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem
ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie
Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute
opačnou polaritu u = -e
Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash
viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute
dt
dNu
(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)
Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce
121
Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok
zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li
tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute
Přiacuteklad 56
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky
homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T
a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute
napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)
Řešeniacute
Magnetickyacute tok je
SB
Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0
Po 05 s bude tok
44 106110208 SB Wb
Změna magnetickeacuteho toku bude
44
01 106101061 d Wb
Změna času bude
050dt s
Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to
4801048001032150050
1061150 44
4
dt
dNu V
V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute
je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute
indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute
Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133
Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56
122
582 Pohyboveacute napětiacute
Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute
Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na
jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič
vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto
smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho
toku se neměniacute
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz
obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute
Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute
Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt
du
Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy
zmenšiacute o hodnotu
ltvBlsBSB
Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude
vlBt
ltvB
dt
du
)(
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok
smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity
vlBt
ltvB
dt
du
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče
elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute
Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem
Lenzův zaacutekon
Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem
polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou
123
Obr 135 - Lenzův zaacutekon
Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute
pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr
proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo
Přiacuteklad 57
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o
magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do
magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor
rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0
o a c) 60
o
Řešeniacute
a) Při uacutehlu 90 o
bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to
180503021 vlBu V
b) Při uacutehlu 0
o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru
indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je
nulovaacute
u = 0
c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka
rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami
rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti
rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem
čaraacutem
250505060cos50 0 kolmaacutev ms
Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky
124
Indukovaneacute napětiacute pak bude
0902503021 kolmaacutevlBu V
583 Vlastniacute indukčnost
Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute
magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude
indukovat napětiacute
dt
dNu
Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky
Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m
m
R
U kde INUm a tedy po dosazeniacute
mR
IN
můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu
za čas dt
mR
diNd
V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute
dt
R
diN
u m
Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute
dt
di
R
N
dt
R
diN
Ndt
dNu
m
m
2
Vyacuteraz mR
N 2
byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet
125
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
mR
NL
2
Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je
di
dtuL
1
)(
)()()(
AsV
A
sVH
Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita
materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky
Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute
nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu
Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute
hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se
v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se
nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
Přiacuteklad 58
Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů
vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm
Řešeniacute
Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka
Indukčnost ciacutevky je
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm
a S = r2 = 52
=7853982 mm2
3
672
0
2
1020
10547810450
l
SNL r
126
66
372 1039320
105478101041025
H
Přiacuteklad 59
Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli
se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm
Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400
Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm
23
3
7
0 )1010(
1051
104
11
S
Rm
66437
102534
10100101051
4
10
H
-1
Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru
23
33
7
0 )1010(
10511080
400104
11
S
lR
r
Fem
6437
4
337
101564004
105781010
10
10511080
4004
10
H
-1
Indukčnost ciacutevky je
0549561532
51
10)561532(
1500 2
6
222
mFemm RR
N
R
NL
H
584 Vzaacutejemnaacute indukčnost
Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2
(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute
tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140
127
Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost
Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i
jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje
elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude
indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet
dt
dikonstu 1
2
Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou
vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona
Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem
napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1
111 INFm
Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost
magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou
12
1112
mR
IN
Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude
dt
diM
dt
di
R
NN
dt
di
R
NN
dt
dNu
mm
11
12
121
12
12
1222
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je
12
12
mR
NNM
Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř
všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem
sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1
128
Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami
Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je
mR
NL
2
11
mR
NL
2
22
Vzaacutejemnaacute indukčnost M je
mR
NNM 12
Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme
21
2
1
2
2
2
2
1
2
22122 )( LLRR
NN
R
NN
R
NNM
mmmm
a tedy
22 LLM
Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute
ciacutevce bude
dt
di
R
N
dt
diLu
m
2
111
a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude
dt
di
R
NN
dt
diMu
m
212
Poměr napětiacute 2
1
u
uje
2
1
21
2
1
2
1
N
N
dt
di
R
NN
dt
di
R
N
u
u
m
m
Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
129
Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale
dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě
o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek
Pak
22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Přiacuteklad 60
Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů
primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr
142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je
800
Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Magnetickyacute odpor RmFe
64273
23
3
7
0
100353678984
10101010320
)1030(
10320
800104
11
S
lR
r
Fem
H-1
Indukčnost prvniacute ciacutevky
28274330353678
1
100353678
10006
22
11
mFeR
NL H
Indukčnost druheacute ciacutevky
636000353678
1051
100353678
150 22
6
22
22
mFeR
NL H
Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek
0381704636002839022 LLM H
130
Přiacuteklad 61
Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho
přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s
Řešeniacute
Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce
770002
01-06282743311
dt
diLu V
Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce
549002
01-0638202
dt
diMu V
Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute
ciacutevce bylo u2ideaacutel
1060288020
50
0353678
150
002
01-06
100353678
15010006
1
12
122
dt
di
R
NNu
m
ideaacutel V
Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667
Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667
Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute
2
1
2
1
N
N
u
u hellip transformačniacute poměr
585 Spojovaacuteniacute ciacutevek
Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je
Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně
Ciacutevky spojeneacute seacuteriově
Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143
to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat
stejneacute napětiacute
Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
131
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu kde dt
diLu 11 a
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )( 2121 LLdt
di
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL
Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute
vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k
kLL1
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute
indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet
Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M
je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash
viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet
132
Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti
soběldquo
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Ciacutevky spojeneacute paralelně
Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr
146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech
indukovat stejneacute napětiacute
Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi
kde dt
diLu 1
11 a dt
diLu 2
22
a tedy dt
diLu 1
1 a dt
diLu 2
2
z toho 1
1
L
u
dt
di a
2
2
L
u
dt
di
133
Po dosazeniacute 21 dididi
21 L
u
L
udi
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu z toho
L
u
dt
di
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21
111
LLL
Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute
vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute
jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k kLL 1
11
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz
obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute
MLMLL
21
111
Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash
viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet
MLMLL
21
111
Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
134
Přiacuteklad 62
Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost
seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute
indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH
Řešeniacute
Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je
MLLL 221
Z toho
202
)40100(180
2
)( 21
LLL
M mH
585 Přechodovyacute jev na indukčnosti
Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce
dt
diLuiL
Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji
stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute
odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor
bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku
poškodil)
V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na
indukčnosti
Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon
V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud
jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0
pak vyacuteraz dt
diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem
Pro t0 platiacute
t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0
135
V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu
největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute
to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = konst di = 0 0dt
di
0dt
diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0
R
U
R
ui R 0
V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud
v obvodu je omezen jen odporem rezistoru
Průběh proudu a napětiacute je na obr 150
Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i
napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na
ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty
t
L eUu
0
kde
R
L
Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti
59 Energie magnetickeacuteho pole
Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově
působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud
Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute
průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute
udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem
mm UW 2
1 (J Wb A)
Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie
nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu
136
HBlS
U
V
U
V
Ww mmm
m
2
1
22
Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke
konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je
lSHBVHBVwW mm 2
1
2
1
Přiacuteklad 63
Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky
Řešeniacute
Energie magnetickeacuteho pole je
mm UW 2
1
kde INUm a mR
IN
Po dosazeniacute
mm
mmR
ININ
R
INUW
22
2
1
2
1
2
1
Protože LR
N
m
2
dostaneme vyacuteraz 2
2
1ILWm
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy
Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech
materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole
Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech
vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve
vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti
přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti
plneacuteho průřezu
137
Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech
Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute
energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou
energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů
Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute
jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety
způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce
Pv f 2 B2
Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute
z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm
transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute
budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute
množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute
vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru
V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu
Hysterezniacute ztraacutety
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky
138
Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute
ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci
Ph f B2
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově
proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi
proudy
PFe = Ph + Pv
V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole
silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce
vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli
lIBF
Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute
vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka
magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute
sin lIBF viz obr 153
Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho
magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho
Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole
působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem
proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela
139
Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Velikost siacutely F
lIBF 21
kde 101 HB r 0=410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
kde r
IH
21
1
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
7-212
17-
21 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
(N A A m m)
Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič
Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute
vodič
7-211
27-
12 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute
a vodiče se tedy odpuzujiacute
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je
zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute
140
Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute
Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi
rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7
N na 1 m deacutelky
vodičů
Přiacuteklad 64
Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm
rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho
proudu v nich je 40 A
Řešeniacute
Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je
3-7-
2
7-21 101920010105
304040210
I2
r
lIF N
5121 Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta
ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157
Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute
feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou
Obr 157 - Elektromagnet
141
Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na
pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru
Přitažlivaacute siacutela magnetu
Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce
B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti
magnetickeacute indukce B
Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu
V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou
posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie
magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie
magnetickeacuteho pole
dlSB
dlSB
BdlSHBWm 0
2
0 2
1
2
1
2
1
a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F
dlFA
Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2
02
1
Platiacute že S
B
a mR
IN
kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet
hodnota RmFe zanedbaacutevaacute
Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
142
Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem
přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze
magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute
Přiacuteklad 65
Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm
plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je
66
47
3
47
3
0
1053051656
10100
103102
10
109104
10322
S
lR v
m H-1
Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
9)5305165(42
1010104109
109)105305165(
2300
1042
12
41274
426
22
7
F
65852814303
500
28143032
100010
9281430342
49 3
F N
143
6 Střiacutedaveacute proudy
Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud
se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute
střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T
Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute
čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny
označeniacute přiacuteslušneacute veličiny
Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute
proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je
praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy
harmonickeacute Babyčka
Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu
Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute
jednotkou je hertz značka Hz
Doba jedneacute periody je
fT
1 (s Hz)
Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute
průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz
až MHz
Přiacuteklad 66
Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě
Řešeniacute
02050
11
fT s
144
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii
Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu
Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy
Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel
tft
f
tT
21
22
Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za
jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se
f 2 (rads-1
)
Platiacute tedy
)sin(max tIi
Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel
nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute
Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu
145
Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh
sinusoidy
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje
Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu
Přiacuteklad 67
Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou
hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz
a proud je faacutezově zpožděn o 30o
Řešeniacute
Doba periody je
02050
11
fT s
Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2
Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute
zpožděniacute 30o
30o je 6 radiaacutenů 0001667
12
1020
2
61
Tt s
Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je
)6
00152sin(25)tsin( 0015)( max
fIi
-216207)6
0015314sin(25)6
0015502sin(25 0015)(
i mA
146
62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne
průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163
Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět
Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace
Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory
znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich
působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute
Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe
v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je
vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval
U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy
bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)
bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů
bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)
bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)
631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v
stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute
harmonickyacute proud (napětiacute)
Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině
proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je
tIRUtIW 2
147
2IRUIt
WP
Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval
dt je
dtiRdW 2
dttIRdtiRdW )(sin22
max
2
Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu
bdquoRplocha pod křivkou i2
ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164
rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i
2 po
dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho
proudu daneacuteho průběhu Platiacute
2
2
max2 II
2
maxII což je 7070max II
Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i
silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu
632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost
stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud
Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za
jednotku času
t
QI tIQ
Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165
148
Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod
přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody
a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute
pro stejnosměrnyacute proud QT
Imed 2
a
pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q
Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho
počtu dospět k vyacuterazu
max
2IImed
což je max6370 IImed
Přiacuteklad 68
Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce
Řešeniacute
Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě
230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy
V 32523022max UU
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem
čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho
velikost je
vlBU
kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje
l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole
v je rychlost pohybu vodiče
149
Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se
vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B
magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166
Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute
Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je
velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute
Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute
Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr
168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v
každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli
Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem
pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich
150
obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za
minutu)
Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto
okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a
velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0
a) b) c)
Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli
Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu
v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v
a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to
vlBui
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem
směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato
napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je
max22 UrlBvlBui
Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute
s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu
kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute
indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute
v zaacutevitu v obecneacute poloze je
sinsin22 max UvlBvlBu xi
151
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute
Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden
zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-
kraacutet většiacute
)sin(max tUNui
Přiacuteklad 69
Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm
b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce
B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s
Řešeniacute
Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh
)sin(2 tvlBui
Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je
560
300
60
nf Hz
Uacutehlovaacute rychlost je
431522 f s-1
Rychlost otaacutečeniacute v
rv kde 2
2
1022
104
2
a
r m
6280102431 2 rv ms
Tedy
tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22
Doba jedneacute periody T je
205
11
fT s
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)
152
a) b)
Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69
V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil
praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)
65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže
Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je odpor R
Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež
charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L
Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C
651 Odporovaacute zaacutetěž
Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě
odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a
proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute
vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie
Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
153
Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je
)sin()sin()sin(
max
maxmax tItR
U
R
tUi
Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve
faacutezi
Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R
UI max
max
Pro efektivniacute hodnoty platiacute R
UI
Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži
Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je
2iRiup
Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je
2IRIUP
Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon
jednotkou je watt (W)
652 Induktivniacute zaacutetěž
O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu
připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)
Pak platiacute
dt
diLui
a) b)
Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute
maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu
Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud
neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute
154
Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute
maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj
v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di
lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute
čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax
Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem
indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o
Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah
)sin(max tUu
pak průběh proudu je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak
indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna
proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute
rychlost viz obr 173
Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt
Platiacute
LXILIU maxmaxmax
kde XL je tzv indukčniacute reaktance
LX L ()
Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem
proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze
ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento
odpor minimaacutelniacute)
Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu
LX
UI max
max a LX
UI
Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo
uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL
155
Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute
do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je
okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute
V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět
zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute
směr
V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie
ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho
efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud
kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute
vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud
653 Kapacitniacute zaacutetěž
O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen
kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)
Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět
156
vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita
elektrickeacuteho pole
a) b)
Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute
pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na
deskaacutech kondenzaacutetoru o dq
dtidq
Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du
C
dti
C
dqdu
Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i
dt
duCi
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute
maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud
napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je
du = 0 a tedy i proud je nulovyacute
Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud
maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t
= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a
proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t
= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax
Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute
proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)
Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute
jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt
Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute
uacutehlovaacute rychlost
157
CUI maxmax
Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde
CX C
1
Pak lze psaacutet
CX
UI max
max a pro efektivniacute hodnoty CX
UI
Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177
CfCX C
2
11
Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute
k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud
neproteacutekaacute
Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu
napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem
kondenzaacutetoru
158
V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se
dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute
do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor
nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje
v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije
nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech
V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze
k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do
zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute
se Q a jeho efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a
nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor
Přiacuteklad 70
Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F
pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz
Řešeniacute
V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf
X C
2
1
Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70
159
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity
indukuje se v niacute napětiacute u1
dt
diLu 1
11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU
V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje
napětiacute u2
dt
diMu 1
2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12
kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou
Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů
Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2
zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2
dt
diLu 2
22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU
V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce
indukovalo napětiacute u1
dt
diMu 2
1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21
Transformačniacute poměr
Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR
NL
2
11 a
mR
NL
2
22
Z toho vyplyacutevaacute že 12
12
mR
NNM
Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1
mR
NILIU
2
11111
a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2
12
12112
mR
NNIMIU
160
Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je
2
1
12
121
2
11
2
1
N
N
R
NNI
R
NI
U
U
m
m
Poměr 2
1
2
1
N
N
U
U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu
zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu
elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit
přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute
přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se
napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute
400230 V
66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech
obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě
indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R
Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů
střiacutedaveacuteho proudu
Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho
proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute
respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu
661 Seacuteriovyacute RC obvod
Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože
je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a
tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu
161
Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je
IRUR
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC
Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z
22 RXZ C ()
Pak
ZIU
Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je
22 RX
U
Z
UI
C
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
181 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 71
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost
faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
C
kde velikost kapacitniacute reaktance je
1592
1000
10501022
1
2
1163
CfC
XC
Proud
0470256
12
200159
12
2222
RX
UI
C
A = 47 mA
162
Napětiacute na rezistoru UR
3990470200 IRUR V
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC
4770470159 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
078247912
399cos
U
U R = 0672159 rad = 385o
Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71
662 Seacuteriovyacute RL obvod
Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je
tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL
163
Impedance obvodu je
22 RXZ L ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22 RX
U
Z
UI
L
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
183 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 72
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho
posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
L
kde velikost induktivniacute reaktance je
1257405022 LfLX L
Proud
154807125
230
2222
RX
UI
L
A
Napětiacute na rezistoru UR
12454180 IRUR V
Napětiacute na ciacutevce UL
1945417125 IXU LL V
Faacutezovyacute uacutehel je
0537029230
124cos
U
U R = 1003885 rad = 57 5o
164
Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72
663 Seacuteriovyacute LC obvod
Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I
Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute
)( CLCLCL XXIIXIXUUU
Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter
Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter
165
664 Seacuteriovyacute RLC obvod
Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy
proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL
Impedance obvodu je
22)( RXXZ CL ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
186 je cos
U
IR
U
U R cos
166
Přiacuteklad 73
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute
diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V
frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
kde velikost induktivniacute reaktance je
4512805022 LfLX L
avelikost kapacitniacute reaktance je
7957747250
1040502
1
2
116
CfC
XC
Proud
109746209
230
120)6794251(
230
)( 2222
RXX
UI
CL
A
Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou
713109741120 IRUR V
2759097414251 IXU LL V
87309741679 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
0572579230
7131cos
U
UR = 0961148 rad = 55 1o
Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73
167
665 Paralelniacute RC obvod
Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RC III
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
188 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
CC
RC
Z
UI
22
11
1
RX
Z
C
22
111
RXZ C
168
666 Paralelniacute RL obvod
Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RL III
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
189 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
LL
RL
Z
UI
22
11
1
RX
Z
L
22
111
RXZ L
169
668 Paralelniacute LC obvod
Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute
CL
CLX
U
X
UIII
Impedance LC obvodu je
CLXXX
U
X
U
U
I
UZ
CLCL
1
1
11
1
Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy
CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0
Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se
opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a
ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li
CL
1
což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence
170
CL
1 Cf
Lf
0
0
22
1
CLf
2
10
669 Paralelniacute RLC obvod
Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCXC
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22)( RCL IIII
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
191 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
171
2222
22 111)(
RXXU
R
U
X
U
X
UIIII
CLCL
RCL
Z
UI
22
111
1
RXX
Z
CL
22
1111
RXXZ CL
Přiacuteklad 74
Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož
odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete
faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =
230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute
Řešeniacute
Velikost proudu rezistorem je
0766667300
230
R
UIR A
Velikost proudu ciacutevkou je
091514180502
230
2
Lf
U
X
UI
L
L A
Velikost proudu kondenzaacutetorem je
072256610321010502230
2
16
Cf
U
X
UI
C
C
Celkovyacute proud je
07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem
096987279050
7670cos
I
IR = 141o
Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR
I = IR =0767 A
A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0
562697782
1000
1010802
1
2
1
60
CLf Hz
172
Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74
Přiacuteklad 75
Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10
kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)
Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce
Řešeniacute
Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem
odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti
rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)
Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
314101005022 3 LfLX L
Proud ciacutevkou
0732113
3141592
230
98696
230
10314
230
2222
RX
UI
L
A
Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je
7321073211310 IRU R V
173
Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je
229880732113314 IXU LL V
Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je
003183230
7321cos
U
UR
1538961 rad 8817594 o
Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute
Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti
na čase
)502sin(2302)sin(max ttUu
přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms
=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)
)5391502sin(7322)sin(max ttIi
přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA
=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)
Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75
Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute
36573203217 IUP R W
Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute
3168073222988 IUQ L VAr
Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute
41680732230 IUS VA
174
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody
Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute
posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory
v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy
s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 76
Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute
indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F
Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz
Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76
Řešeniacute
Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech
Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR
je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute
součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o
předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
62810100100022 3 LfLX L
Proud IRL je
0020325
118084
24
1394384
24
1000628
24
2222
RX
UI
L
RL A
Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je
3252000203251000 IRU R V
12763790020325628 IXU LL V
175
Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je
084687524
32520cos RL
U
U R = 3212661o
Proud kondenzaacutetorem IC je
C
CX
UI
kde 1591549102
10
101010002
1
2
112
6
6
CfCX C
0015081591549
24CI A
Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi
s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka
IRLj
a) b)
Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)
Činnaacute složka IRLč
001721384687500020325cos RLRLRLč II A
Jalovaacute indukčniacute složka IRLj
0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A
Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC
tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy
2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A
09999630172130
0172130cos
I
I RLč = 05o
Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve
větvi RL
176
Přiacuteklad 77
Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o
indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby
byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem
Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77
Řešeniacute
Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka
proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC
Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL
- viz obr 198 a)
a) b) c)
Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77
Proud ve větvi s ciacutevkou
0315547
5188
24
100304002
24
2222
RX
UI
L
RL A
Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou
155473031554710 RLR IRU V
237916603155470304002 RLLL IXU V
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou
o82445d1438937ra
013147824
155473cos
RL
RRL
U
U
177
Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru
na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)
004148701314780315547cos RLRLč II A
031280709913190315547sin RLRLj II A
Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je
tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně
kompenzovaacuten pak platiacute
CRLj II a tedy IC = 0312807 A
Proud kondenzaacutetorem je
0312807C
CX
UI A
a tedy kapacitniacute reaktance je
7672451 0312807
24
C
CI
UX
Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet
CfXC
2
1
CXfC
2
1
666
1051859221072451764002
101
72451764002
1
C F
Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o
kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL
což je 0041487 A
Přiacuteklad 78
Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr
199 Řešte obecně
Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78
Řešeniacute
Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu
178
Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se
zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90
o předbiacutehaacute Vyneseme
tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR
je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U
CL
L
ABL
c
ABC
R
ABR
III
X
UI
X
UI
IRU
UUU
222
Po dosazeniacute
2
2
2222222
AB
c
AB
L
AB
ABCLABABR
UX
U
X
UR
UIIRUIRUUU
2
2
22
2
2 111
cL
ABAB
c
AB
L
AB
XXRUU
X
U
X
URU
2
2
22
2
22 11cL
LcAB
cL
LcAB
XX
XXRU
XX
XXRUU
2
2
1cL
Lc
AB
XX
XXR
UU
Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute
na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU
66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute
zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do
magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute
kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje
Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute
IUP
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon
iup
179
Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute
posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute
nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a
z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a
jejiacute jednotkou je voltampeacuter
IUS (VA V A)
Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute
přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži
Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute
nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je
s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem
pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a
induktivniacute zaacutetěži je cos = 0
Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o
90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute
energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je
voltampeacuter reaktančniacute
sin IUIUQ j (Var V A)
Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem
cos IUP sin IUQ IUS 2
2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS
22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP
Platiacute tedy že
222 SQP
což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200
Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu
180
Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A
měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute
napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a
hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku
Přiacuteklad 79
Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete
zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos
Řešeniacute
1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou
prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se
v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen
jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)
Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI
Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud
předřazenyacutem odporem
a) b)
Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti
2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)
Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute
induktivniacute reaktanciacute XL
Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute
hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL
(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute
indukčnost ciacutevky L
181
I
UZ
22 RZX L f
XL L
2
Z
R
IZ
IR
U
UR
cos
IUS cos IUP sin IUQ
67 Rezonance
Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti
indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute
tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute
Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin
rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme
rezonančniacute frekvence a značiacute se f0
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz
obr 202
Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram
Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro
rezonanci XL = XC
Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je
22)( RXXZ CL
Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji
jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0
Z0 = R
Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to
R
UI 0
182
Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost
ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC
LfCf
0
0
22
1
2
022
1f
CL
CLf
2
10
Rezonančniacute křivka
Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)
2222 )2
12()( R
CfLfRXXZ CL
Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)
Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel
je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0
Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute
R
CfLf
arctg
2
12
Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je
22)2
12( R
CfLf
U
Z
UI
Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute
kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute
odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu
Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R
Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL
183
a napětiacute na kondenzaacutetoru IC
IXU CC
1
Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy
0000 ILUU CL kde R
UI 0
Po dosazeniacute je
UR
L
R
ULILUU CL
0
00000
Vyacuteraz R
L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti
Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti
Pak UQXU CL 00
To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka
napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při
naacutehodneacutem dotyku
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod
Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz
obr 205
Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram
184
K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna
velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute
složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R
reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0
Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat
kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter
Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude
převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter
Proud ciacutevkou je
22222 RLf
U
RX
UI
L
RL
Jalovaacute složka proudu IRL je
RLRLRLj II sin kde 222
2sin
RLf
Lf
Z
X
ZI
XI
U
U
RL
L
RLRL
LRLLRL
Po dosazeniacute
222222 2
2
2
2
2 RLf
ULf
RLf
Lf
RLf
UIRLj
Činnaacute složka proudu IRLč je
222222222
cosRLfI
RI
RLf
U
U
U
RLf
UII
RL
RLRRLRLRLč
222222 222 RLf
RU
RLfI
RI
RLf
UI
RL
RLRLč
Proud kondenzaacutetorem je
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
2
2
1
Pro rezonanci
CRLj II
UCf
RLf
ULf
022
0
0 22
2
C
RLf
L
22
02
0)2( 222
0 LRCCLf
2
0
1
2
1
L
R
CLf
185
Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
22
2
2)(
RLf
RCf
RLf
LfU
RLf
RUCf
RLf
ULfIIII RLčCRLj
Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy
22
0
02 RLf
RUII RLč
Impedance při rezonanci je
R
RLf
I
UZ
22
0
0
0
2
Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu
je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0
Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna
odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou
Rezonančniacute křivky
Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu
matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute
2
22
2
222
22
2
RLf
RCf
RLf
LfUI
a
I
UZ
Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu
Činitel jakosti obvodu
Činitel jakosti obvodu je Q
R
LQ
0
186
Platiacute
000 IQII RLC
Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud
odebiacuteranyacute ze zdroje
Přiacuteklad 80
Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny
a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci
proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro
paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem
Řešeniacute
Ad a) Rezonančniacute frekvence
Hz
CLf
33
64630
102055602
10100
10210302
1
1021032
1
2
1
Rezonančniacute impedance
Z0 = R =10
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
A4210
240
R
UI
Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci
V 929516421031005522
f2
33
000000
ILILUU LC
Činitel jakosti
387324
95920 U
UQ C
Ad b) Rezonančniacute frekvence
Hz 1985111111111666666672
1
3
10
23
10
2
1
103
10
102103
1
2
11
2
1
249
2
363
2
0
L
R
CLf
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
187
A 016
1500
1024
10398512
1024
1010319852
1024
2
22
22322
0
0
RLf
RUII RLč
Rezonančniacute impedance
150160
24
0
0I
UZ
Proud kondenzaacutetorem při rezonanci
A 059866524102198522
2
16
0
0
0
0
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
Činitel jakosti
3741657160
598700 I
IQ C
Pozn
Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute
se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod
CLf
2
10
Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně
přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)
68 Kompenzace uacutečiniacuteku
Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla
nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute
složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li
faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je
daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy
v elektrickyacutech strojiacutech
188
a) b)
Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci
Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute
energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute
jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute
činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů
Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což
vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy
většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a
tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet
dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena
roste
Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud
kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho
původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute
složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute
zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho
vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku
Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav
paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095
Přiacuteklad 81
Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07
Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na
hodnotu 095
Řešeniacute
Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
Činnyacute vyacutekon je
189
cos IUIUPČ
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
186335470230
300
cos
U
PI A
Činnaacute složka proudu je
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
133070113043481863354 2222 čj III A
Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
coskomp = 095
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
1372998950230
300
cos
komp
kompU
PI
A
Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A
Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute
Cjjkomp III
Proud kondenzaacutetorem tedy bude
090198304287181330701 jkompjc III A
Pro proud kondenzaacutetorem platiacute
Cf
U
X
UI
c
C
2
1
Kapacita kondenzaacutetoru je tedy
6-5- 10124831012483230502
0901983
2
Uf
IC C F = 12483 F
190
7 Trojfaacutezovaacute soustava
Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute
jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina
průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod
elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak
napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena
využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute
trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute
velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci
elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute
magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
sinsin22 max UvlBvlBu xi
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
191
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute
Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově
pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute
harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem
posunem jednotlivyacutech napětiacute
Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou
pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o
se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se
označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211
Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
192
Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuW
Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech
hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule
0 WVU uuu
Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute
Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute
f
o
f UUx2
1)60cos( ff UUy
2
12
Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU
Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0
UU + UV + UW = 0
72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu
Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute
stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou
Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze
statoroveacuteho vinutiacute
Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem
otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)
Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute
obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou
draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je
posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi
193
průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute
U1 V1 W1 konce U2 V2 W2
Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti
Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu
statoru
Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute
Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem
obvodem a statorovyacutem vinutiacutem
Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod
rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na
vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky
stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n
(otmin)
Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru
Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru
Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute
jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute
vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje
elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem
v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto
uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na
elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu
přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů
přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute
Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech
elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou
195
označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla
3000 otmin
Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech
jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute
s předchoziacutem provedeniacutem
Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute
Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem
Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů
Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je
v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech
vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a
označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy
Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi
nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se
označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)
a) b)
Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy
a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem
Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute
faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf
196
fWVU UUUU
Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US
SWUVWUV UUUU
Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho
napětiacute
2
330cos
2 f
o
fS UU
U
fS UU 3
Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi
libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti
Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke
spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a
ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P
Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je
IRU
kde R je odpor vedeniacute
I je přenaacutešenyacute proud
Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je
2IRIIRIUP
Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině
přenaacutešeneacuteho proudu
197
Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou
energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem
vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety
Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se
napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně
niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se
energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory
Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek
Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty
dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou
proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje
v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky
Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru
Z uvedeneacuteho je patrneacute že
2
1
2
1
N
N
U
U (= transformačniacute poměr) a tedy
1
212
N
NUU
Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute
napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se
transformuje na nižšiacute napětiacute
Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že
vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu
P1 = P2 = P
Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak
1
212
N
NUU gt U1
Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute
2
2U
PI a
1
1U
PI
pak I2 lt I1
proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute
198
Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je
2
11
1
21
11
2
112
N
NI
N
NU
UI
U
UII
rarr
2
1
1
2
N
N
I
I
Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie
se sniacutežiacute
Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV
Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV
Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute
vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro
daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie
Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute
zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V
G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor
Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy
74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti
Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři
faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute
sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič
jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute
vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE
Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič
Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před
dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je
takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale
vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem
krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet
zdraviacute ohrožujiacuteciacute
199
Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C
Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S
Ochrana nulovaacuteniacutem
Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute
čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute
Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem
jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute
faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute
pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu
200
Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např
faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se
na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm
aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem
bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li
se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute
proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)
a) b)
Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem
Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při
poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute
je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud
IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho
působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se
danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine
74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti
Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi
Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy
Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy
připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu
a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
201
f
f
fZ
UI
Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel
danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče
Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy
Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven
nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute
žaacutednyacute proud
IN = 0
Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může
vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute
vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem
různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute
trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky
světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit
přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud
možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech
202
obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN
kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou
U
UU
Z
UI
V
VV
Z
UI
W
WW
Z
UI
Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute
fWVU UUUU
a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o
Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže
v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W
Pozor
Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde
přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a
spotřebičem
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka
Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230
Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka
203
Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou
stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o
UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3
Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou
UV
SUV
Z
UI
VW
SVW
Z
UI
WU
SWU
Z
UI
a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže
Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona
IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
S
f
S
SS
Z
U
Z
UI
3
Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech
napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče
Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech
Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute
Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute
o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232
2
330cos
2 WU
o
WU
fII
I
WUf II 3
204
Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je
různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz
obr 233
Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute
Přiacuteklad 82
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute
činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na
obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute
ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy
205
Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82
Řešeniacute
Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235
Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234
Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je
400 SWVUWVU UUUU V
Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost
Z
UIIII S
WVUWVU
kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L
76173
400
Z
UI S 230207 A
206
Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost
398730323020733 IIIII fWUV A
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech
Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
cos fff IUP (W V A)
Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
fff IUS (VA V A)
Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
sin fff IUQ (VAr V A)
Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute
Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon
cos33 fff IUPP (W V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon
fff IUSS 33 (VA V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
Přiacuteklad 83
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu
R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a
celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do
trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute
Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude
287580
230
R
UI
f
f A
Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy
661252875230 fff IUP W
207
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
1983752875230333 fff IUPP W
Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute
US Proud každyacutem z rezistorů bude
580
40033
3
f
ffSS I
R
U
R
U
R
UI A
Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy
00025400333 fffSSS PIUIUP W
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
6000200033 SPP W
Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy
751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek
Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na
svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co
nejjednoduššiacute
Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je
znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute
chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do
trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy
a) b) c)
Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do
trojuacutehelniacuteka
76 Točiveacute magnetickeacute pole
Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o
připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř
statoru točiveacute magnetickeacute pole
208
Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti
Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238
V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1
ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W
a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)
V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole
jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)
ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček
a) b) c)
209
d) e) f)
Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole
V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do
W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole
jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako
v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o
Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele
stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute
rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute
Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute
magnetickeacute pole
Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku
daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi
Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech
V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW
2
3)
3
4sin()
3
4sin( maxmaxmax IItIiw
Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy
2
3max w
kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute
Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239
Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole
210
maxmax
0
2
3
2
3
2
32)30cos(2 W
Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy
max2
3
Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute
o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a
velikosti max2
3
Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou
statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem
magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho
pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)
fns 60
Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru
Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory
Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho
magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241
V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)
V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)
v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy
pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček
211
a) b)
Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole
Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr
242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi
přiacutevodniacutemi faacutezemi
Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru
212
77 Kompenzace uacutečiniacuteku
Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny
v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy
Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute
elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat
neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a
vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech
bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute
proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem
Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute
charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem
připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute
Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou
hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je
penalizovaacuten
Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků
kondenzaacutetorů k siacuteti
Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu
Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky
spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou
nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem
přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na
využitiacute spotřebiče
Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru
Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech
rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke
zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při
individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute
jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody
213
Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena
v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti
spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace
Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku
kompenzačniacuteho vyacutekonu
Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry
měřiacute pouze činnou odebranou energii
214
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami
81 Elektrostatickeacute pole
Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)
elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19
C
Q = ke k je celeacute čiacuteslo
I elektrickyacute proud ampeacuter (A)
t
QI
E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )
Q
FE
U elektrickeacute napětiacute volt (V)
Q
AU ( CJV )
l
UE
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem
prostřediacute
permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m
-1)
0 r
0 permitivita vakua 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
r poměrnaacute permitivita r gt = 1
24 r
QE
intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule
s naacutebojem Q
D elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
ED r 0
C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)
U
QC
l
SC r 0
215
Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC 21
Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC
1
1
111
21
Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru
t
c eUu 10
kde
CR
Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
Pak kapacita osamoceneacute koule je
104 rC r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
82 Stejnosměrnyacute proud
J Proudovaacute hustota
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
R elektrickyacute odpor ohm ()
R
UI hellip Ohmův zaacutekon
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
rezistivita materiaacutelu
G vodivost siemens (S)
RG
1
216
Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR
teplotniacute součinitel odporu (1oK)
A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu
tIUUQA (J V A s)
P vyacutekon
2IRIIRIUP (W V A)
uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 P
P )( JJ
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel
01
n
k
kI
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku
01
n
k
kU
Spojovaacuteniacute rezistorů
Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21
Paralelniacute niVyacutesl RRRRR
1
1
111
21
Transfigurace
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute
iRIUU 0
Proud nakraacutetko
i
kR
UI 0
217
83 Magnetickeacute pole
magnetickyacute tok weber (Wb)
B magnetickaacute indukce tesla (T)
SB
lI
FB
lIBF sin lIBF (N T A m)
Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)
n
i
im IF1
Um magnetickeacute napětiacute (A)
n
i
mim UF1
H intenzita magnetickeacuteho pole
l
UH m (Am
-1 A m)
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r
I
l
UH m
2
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
HB r 0
0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) henry (H)
r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r
přibližně 1)
Hopkinsonův zaacutekon
mm U
l
SS
l
USHSB
Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)
mm Ul
SG
Rm magnetickyacute odpor (reluktance)
m
mG
R1
S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
218
Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
r
INH
2 kde
2
Dr
2
12 DDD
Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
l
IN
l
UH m
Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
r
IN
l
UH m
2
Indukčniacute zaacutekon
dt
du
pro ciacutevku o N zaacutevitech
dt
dNu
Pohyboveacute napětiacute
vlBu
L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)
dt
diMu 1
2
12
12
mR
NNM
22 LLM
22 LLM
kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Transformačniacute poměr
2
1
2
1
N
N
u
u
Spojovaacuteniacute ciacutevek
seacuterioveacute 21 LLL
seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
219
paralelniacute 21
111
LLL
paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
Přechodovyacute jev na indukčnosti
t
L eUu
0
kde
R
L
Energie magnetickeacuteho pole
mm UW 2
1 lSHBWm
2
1
Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
sin lIBF
Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu
SR
INF
m
2
22
02
1
84 Střiacutedaveacute proudy
f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)
60
nf
T doba jedneacute periody (s)
fT
1
uacutehlovaacute rychlost
f 2 (rads-1
)
Průběh harmonickeacuteho proudu
)sin(max tIi )sin(max tIi
Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
2
maxII
Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
max
2IImed
220
Odporovaacute zaacutetěž
)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR
Ui
Induktivniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
LX
UI max
max
XL induktivniacute reaktance ()
LX L
Kapacitniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
CX
UI max
max
XC kapacitniacute reaktance ()
CX C
1
Seacuteriovyacute RLC obvod
Z impedance obvodu ()
22)( RXXZ CL U
IR
U
U R cos
Paralelniacute RLC obvod
22)( RCL IIII I
IRcos
Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)
S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)
Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)
222 SQP
cosφ uacutečiniacutek
IU
P
cos
Rezonance
f0 rezonančniacute frekvence
CLf
2
10
221
Q činitel jakosti obvodu je R
LQ
0
84 Trojfaacutezovaacute soustava
Uf faacutezoveacute napětiacute
Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuw
US sdruženeacute napětiacute
fS UU 3
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
cos33 fff IUPP (W V A)
fff IUSS 33 (VA V A)
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
222
Použitaacute literatura
BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-
7333-043-1
Internetoveacute straacutenky (www)
BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt
httpwwwbrush-semczgt
Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-
cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt
Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt
2
3
Středniacute průmyslovaacute škola strojnickaacute a Středniacute odbornaacute škola prof Švejcara
Plzeň
ELEKTROTECHNIKA
Jitka Roubalovaacute
4
Anotace
Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti
studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem
Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při
řešeniacute praktickyacutech uacutekolů
Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu
magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy
Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou
řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem
kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb
způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo
Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek
Jednotliveacute čaacutesti
- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole
- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu
- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce
- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu
- Trojfaacutezovaacute soustava
5
Obsah
Anotace 3
Uacutevod 9
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10
12 Předpony jednotek 11
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12
21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12
3 Elektrostatickeacute pole 14
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18
35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21
361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22
37 Kondenzaacutetor 22
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28
310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31
3111 Dielektrika vedle sebe 31
3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37
4 Stejnosměrnyacute proud 38
41 Proudovaacute hustota 38
42 Intenzita proudoveacuteho pole 39
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39
431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47
6
46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83
5 Magnetickeacute pole 88
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89
53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92
534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111
58 Elektromagnetickaacute indukce 119
581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134
59 Energie magnetickeacuteho pole 135
7
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140
6 Střiacutedaveacute proudy 143
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152
651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160
661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162
663 Seacuteriovyacute LC obvod 164
664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168
668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183
68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187
7 Trojfaacutezovaacute soustava 190
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207
76 Točiveacute magnetickeacute pole 207
77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215
8
83 Magnetickeacute pole 217
84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221
Použitaacute literatura 222
9
Uacutevod
Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech
obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole
Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru
popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem
bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků
elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute
Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto
tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a
ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z
Maxwellovyacutech rovnic
Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a
jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti
aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute
aplikovaneacute elektrotechniky
10
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky
Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou
fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute
veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme
Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)
jednotka = sekunda
Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem
zaacutepisem
Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute
zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI
Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik
zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se
nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International
dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek
a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veličina
Metr m deacutelka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s čas
Ampeacuter A elektrickyacute proud
Kelvin K teplota
Mol mol laacutetkoveacute množstviacute
Kandela cd sviacutetivost
b) Doplňkoveacute jednotky
doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu
steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu
c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI
vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute
vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami
Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute
vlastniacute naacutezev
11
Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)
protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute
naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev
Coulomb [C]
Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než
jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje
vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a
nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)
Dovoleneacute
Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg
Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m
3
Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)
Nedovoleneacute
Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm
Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W
12 Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou
Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10
-6 F = 0000005 F
Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů
21 Elektronovaacute teorie
Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit
Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů
neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho
elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)
označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura
atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a
z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech
(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19
C
Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů
ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy
stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute
Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se
porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však
vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute
naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo
Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem
přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute
elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
22 Vodiče a izolanty
Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při
slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely
nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem
nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem
naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je
složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou
vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem
působeniacutem elektrickeacuteho pole
Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky
označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem
silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)
23 Zdroje elektrickeacute energie
Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu
energie
Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek
zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely
13
zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem
zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)
Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič
Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka
Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute
vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu
na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem
tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji
Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI
soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC
Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda
14
3 Elektrostatickeacute pole
Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky
nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole
Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem
kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek
Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem
elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute
polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute
naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů
Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se
navzaacutejem přitahujiacute
Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole
Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar
Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela
elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli
Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli
Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele
zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na
volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole
osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4
Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje
Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda
volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na
čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami
15
Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů
Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo
uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit
veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole
QEF ( 1 CNCN )
Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj
je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a
tohoto naacuteboje
Z toho
Q
FE ( CNCN 1 )
Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme
toto pole nehomogenniacute
Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto
polem homogenniacutem
Přiacuteklad 1
Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute
pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C
Řešeniacute
5110150010301050 363 QEF (N)
16
32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou
stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a
velikost
Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem
poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se
čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A
lFA ( mNJ )
Po dosazeniacute F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak
praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U
Q
AU ( CJV )
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje
o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1
)
Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity
pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)
Protože Q
FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a
Q
AU vypočiacutetat
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U
l
UE ( mVmV 1 )
Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute
(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely
17
Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel
Přiacuteklad 2
Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute
vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V
Řešeniacute
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
33 Coulombův zaacutekon
Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou
se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a
zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich
vzdaacutelenosti
Obr 8 - Coulombův zaacutekon
Platiacute tedy
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta maacute hodnotu
4
1konst
18
kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato
hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute
0 r
kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně
rovna 1
Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute
je
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
Přiacuteklad 3
Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost
1 mm
Řešeniacute
)(1032)101(
106021106021
1085484
1
4
1 22
23
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem
většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal
Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje
Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute
ekvipotenciaacutely
Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity
v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy
19
Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q
FE a platiacute Coulombův zaacutekon
2
21
04
1
r
QQF
r
1QQ a CQ 12
Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute
Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však
bude v každeacutem bodu do středu koule
Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem
součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji
Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole
35 Elektrickaacute indukce
Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem
stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest
tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se
elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute
Obr 11 - Elektrickaacute indukce
20
Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do
země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem
Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute
pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle
obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na
destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj
Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
Přiacuteklad 4
Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el
naacutebojem 310-12
C
Řešeniacute
)(105974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D
Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše
neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity
elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash
čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce
Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r
ED r 0
36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů
361 Polarizace dielektrika
Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče
vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem
elektrickyacute proud
U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se
vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se
nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)
Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky
nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu
čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely
9 a) 9 b)
Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)
Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole
polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu
vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute
pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než
původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)
9 a) 9 b)
Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)
22
362 Elektrickaacute pevnost dielektrika
Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a
nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita
elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu
je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu
- proud začne izolantem proteacutekat
Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů
se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů
Materiaacutel r Ep (kVmm)
vzduch 10006 2 až 3
mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30
parafiacuten 19 až 22 20 až 30
kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58
kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10
polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60
sliacuteda 6 až 7 40 až 80
sklo 35 až 4 20 až 50
porcelaacuten 55 až 65 20 až 45
37 Kondenzaacutetor
Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute
elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je
dielektrikum
Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje
opačnyacutech polarit
Obr 15 - Kondenzaacutetor
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute
napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute
naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute
Platiacute tedy
UkonstQ
23
Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F) U
QC a tedy rozměr jednotky farad je (
V
C
U
QF )
Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF
Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je
Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru
Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika
Viacuteme že platiacute
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich
vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r
Přiacuteklad 5
Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm
a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V
Řešeniacute
UCQ
l
SC r 0 kde 322 1041020102 S (m
2)
)(4171)(014171
)(1014171601088541010
1044108854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)
24
381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
1a) 1b)
Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U
Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je
321 QQQQ
Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazeniacute
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute
CUQ
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit
jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
25
1a) 1b)
Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute
jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy
všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
QQQQ 321
Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
321 UUUU
Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute
C
QU
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
321
1111
CCCC
Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute
součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 6
Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do
seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute
26
Řešeniacute
CCCCCCvyacutesl
411111 250
4
1
4
CCvyacutesl F
Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute
kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn
Přiacuteklad 7
Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a
kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=
200 nF
Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Řešeniacute
Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem
C45
5454
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
5454
CC
CCC (nF) = 01F
Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20
Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat
vyacuteslednou kapacitu C
82102150154321 CCCCC F
Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj
66 10267241082 UCQ C
27
Přiacuteklad 8
Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme
libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby
byl splněn danyacute požadavek
Řešeniacute
Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že
spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita
takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že
potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21
Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 9
Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme
kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na
propojenyacutech kondenzaacutetorech
Řešeniacute
Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je
62421 CCC (F)
Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute
hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od
okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi
piacutesmeny
V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U
nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje
určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt
0
V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute
děj na kondenzaacutetoru
Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC
Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)
neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute
t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute
maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute
se zpomaluje
Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud
přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Průběh proudu a napětiacute je na obr 23
29
Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru
Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je
daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute
konstanty
t
c eUu 10
kde
CR
310 Energie elektrostatickeacuteho pole
Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U
C
QU
Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA
Platiacute Q
AU A = U Q tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech
diacutelčiacutech praciacute dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je
C
QWC
2
2
Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC nebo takeacute UQWC
2
1
Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho
kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se
na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou
energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24
30
Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich
vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie
nahromaděnaacute v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww C
C
2
1
2
12
1
2
2
Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole
platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole
Přiacuteklad 10
Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na
kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru
Řešeniacute
Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu
12-12-
3
412-
1
01 10177082108854101
10201108854
l
SC r F
Naacuteboj na kondenzaacutetoru
-12-12
11 10212496101770812 CUQ C
Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek
12-12-
3
412-
2
02 10118053313331088541051
10201108854
l
SC r F
Napětiacute po posunutiacute desek
18101180533
1021249612-
-12
C
QU V
31
Přiacuteklad 11
Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na
napětiacute 230 V
Řešeniacute
1322500101322505290010522301052
1
2
1 66262 UCWC J
311 Složenaacute dielektrika
Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou
3111 Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 25
Obr 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole
l
UEEE 21
Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to
ED r 011 a ED r 022
Naacuteboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude
21 QQQ
Dosadiacuteme za Q1 a Q2
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o
kapacitaacutech 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojeneacute paralelně
Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou
dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute
3112 Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum
Obr 26 - Dielektrika za sebou
Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou
materiaacutelech je stejnaacute
S
QDDD 21
Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druheacute
20
2
r
DE
Celkoveacute napětiacute mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 2
20
222 lD
lEUr
Pak po dosazeniacute
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protože platiacute l
SC r 10 je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protože C
QU1 pak
převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot
kapacit diacutelčiacutech dielektrik
21
111
CCC
Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory
Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech
diacutelčiacutech dielektrik
Lze tedy psaacutet 2
1
21 EE
r
r
a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute
intenzita tohoto dielektrika Ep gt E
Přiacuteklad 12
Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem
tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech
dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute
Materiaacutel r Ep (kVmm)
1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40
2 sliacuteda 7 60
34
Řešeniacute
Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je
92307692141
2400
304207
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
Vmm
161538592307694
72
1
21 EE
r
r
Vm
Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost
vyhovuje
312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem
Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva
středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
24 r
QDE
Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3122 Osamocenaacute koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrickaacute indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazeniacute za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi
maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute
pevnosti izolantu
36
3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
lr
QDE
2
Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Přiacuteklad 13
Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je
kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)
37
Řešeniacute
12-12--12
1
2
0 101038136105log32
166894
50
52log32
131088542
log32
2
r
r
lC r F
C = 1038 pF
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi
V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody
odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho
zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země
Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj
dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj
kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba
oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu
uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost
natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu
izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije
Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute
naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo
vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje
elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter
vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute
nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech
měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů
Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů
Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje
uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a
uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič
Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute
omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje
zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem
Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje
Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech
mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute
elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry
Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute
objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena
k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute
38
4 Stejnosměrnyacute proud
Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne
vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I
Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho
naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad
akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)
Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U
Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu
elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute
ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb
Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute
elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče
41 Proudovaacute hustota
Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se
nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru
Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute
Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem
bude průřez vodiče většiacute
V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute
proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se
na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu
Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
39
42 Intenzita proudoveacuteho pole
Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno
l
UE )( 1 mAmV
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon
Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem
většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je
přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute
Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty
obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme
že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor
Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče
Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu
zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute
Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute
Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem
jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute
měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme
napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru
Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1
)
Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA
-1)
Pak lze psaacutet
R
UI
Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I
Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon
Rezistory
Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute
odpor R
Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru
Přiacuteklad 14
Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A
Řešeniacute
46050
230
I
UR ()
431 Velikost elektrickeacuteho odporu
Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho
je vodič vyroben
Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu
vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute
i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče
Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu
vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute
Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely
Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
kde l je deacutelka vodiče
S je průřez vodiče
je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je
to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2
při teplotě 20oC
41
Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Rezistivita některyacutech materiaacutelů
Materiaacutel mm2m
-1
Měď 00178
Hliniacutek 00285
Střiacutebro 00163
Ocel 013
Konstantan 05
Chromnikl 11
Cekas 11
Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory
Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely
pro vyacuterobu vodičů
Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu
rezistorů
Přiacuteklad 15
Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m
Řešeniacute
S
lR () kde 0785)50( 22 rS mm
2
430785
15000178
S
lR ()
Přiacuteklad 16
Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3
Řešeniacute
S
lR () z toho plyne
SRl
143)1( 22 rS mm2
52901780
1433
SRl (m)
432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě
S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute
elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky
s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste
42
Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při
zahřaacutetiacute vodiče o 1o
C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se
nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -
(1oK)
Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek
odporu R = R2 - R1 miacutet velikost
1RR
Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely
Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu
(K-1
)
Měď 00042
Hliniacutek 0004
Střiacutebro 0004
Ocel 0006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2510-4
Cekas 710-5
Přiacuteklad 17
Měděnyacute vodič o teplotě 20o
C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A
Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C
Řešeniacute
Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1
2120
241
I
UR ()
Přiacuterůstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor při teplotě 60o C
)(40161)40004201(21)1(12 RR
43
Přiacuteklad 18
Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o
C do +40o C
Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě
Řešeniacute
Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co
Odpor při -25o
C R1
Odpor při -25o
C 1112 2731)65004201()1( RRRR
Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu
Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče
je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q
UQA (J V C)
Protože proud je t
QI lze dosadit
tIUUQA (J V A s)
Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty
elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem
a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute
Protože platiacute Ohmův zaacutekon R
UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A
V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute
praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute
v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)
Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo
Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P
IUt
tIU
t
AP
(W V A)
Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1
)
Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Přiacuteklad 19
Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut
Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(6450
230A
R
UI
Vyacutekon )(105864230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s
Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně
použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)
Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute
energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy
ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi
vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ
Platiacute
ZWWW 12
Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost
1
2
W
W a je to vždy čiacuteslo 1
Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 W
W )( JJ
Protože přiacutekon je t
WP 1
1 a vyacutekon je t
WP 2
2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W )( WW
45
Přiacuteklad 20
Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po
dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě
v konvici
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(831120
220A
R
UI
Přiacutekon )(34038312201 WIUP
Vyacutekon )(323100
803403 12 WPP
45 Kirchhoffovy zaacutekony
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem
nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit
pomociacute Ohmova zaacutekona
Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost
odporu zaacutetěže R pak proud I
I
UR
Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je
na obr 34
Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
46
Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly
Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu
Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu
Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy
zaacutekony
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje
Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve
vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i
elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud
Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect
54321 IIIII
Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute
lze psaacutet
01
n
k
kI
Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule
Přiacuteklad 21
Obr 36 - Proudy v uzlu
Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li
proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A
Řešeniacute
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen
uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute
To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule
01
n
k
kU
Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute
+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem
orientace smyčky
- hellip orientace napětiacute je proti směru
orientace smyčky
Tedy U1 + U2 ndash U = 0
Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech
odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce
Přiacuteklad 22
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =
6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38
Obr 38 - Napětiacute ve smyčce
Řešeniacute
Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
040I A
800402011 IRU V 210403022 IRU V
48
46 Spojovaacuteniacute rezistorů
Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 39
Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
021 UUU
Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vyacuteraz I
Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie
aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je
rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie
21 RRRV
Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz
niV RRRRR 21
Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů
jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie
49
462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 41
Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
21 III
Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle
Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute
21
111
RRRV
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme
vyacuteraz
niV RRRRR
1
1
111
21
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
50
Přiacuteklad 23
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =
12 V Obvod je zapojen podle obr 43
Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
0240500
12
Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je
42024010011 IRU V 69024040022 IRU V
Přiacuteklad 24
Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44
Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech
odporů
14577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
8531457
220
Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V
Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR
UI 22
100
220
1
1
AR
UI 550
400
220
2
2 AR
UI 11
200
220
3
3
Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit
321 IIII
AI 853 AIII 8531155022321
což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů
Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně
řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu
odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme
celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů
určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a
napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu
Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 25
Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy
ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45
Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25
52
Řešeniacute
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor
2132
111
RRR
tedy odpor 32
3232
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema
Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor
R123 = R1 + R23
Naacutehradniacute obvod pak je
Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů
Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321
1R
UI
Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na
jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu
Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11
53
Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy
Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem
Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1
Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III
Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute
Přiacuteklad 26
Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49
Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26
Řešeniacute
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit
R345= R3 + R45
Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema
Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute
Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je
daacutena vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod
Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napětiacute U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napětiacute UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypočteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3
333 IRU
Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletně vyřešen
Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve
smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů
56
Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů
Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona
0321 III
Pro uzel B musiacute platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona
021 UUU
Pro smyčku y platiacute
0243 UUU
Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků
472 Transfigurace
V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou
zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit
postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech
přiacutekladech
Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute
57
Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)
a) b)
Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy
Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka
rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute
jako působeniacute trojuacutehelniacuteka
Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56
Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu
Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech
přiacutekladech
Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi
stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute
201012 RRRCelk
Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute
2010
233112
233112 )(RR
RRR
RRR
Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )(RR
RRR
RRR
3010
233112
231231 )(RR
RRR
RRR
Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro
adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro
adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Přiacuteklad 27
Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li
napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30
R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57
Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27
Řešeniacute
Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a
daacutele zjednodušujeme podle obr 58
59
1 2
3 4 5
Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu
Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je
16706
1
36
6
celkR
UI A
60
Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je
0667015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napětiacute rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu
Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do
elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii
Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute
U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho
svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0
481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute
Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute
poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se
vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek
nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem
napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno
= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy
nulovyacute)
Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult
U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se
zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje
Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute
61
Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj
Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je
iRIUU 0
Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika
zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost
Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je
malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem
odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute
vnitřniacute odpor Ri
Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik
Obr 62 - Proud nakraacutetko
62
U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně
zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů
měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute
Přiacuteklad 28
Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru
proudu 02 A je 58 V
Řešeniacute
Proud nakraacutetko bude
i
kR
UI 0
Svorkoveacute napětiacute U je
iRIUU 0
iR 20685
Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri
120
856
iR
Proud nakraacutetko tedy je
61
60 i
kR
UI A
482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute
podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje
Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute
vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech
zdrojů
Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU
Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR
Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU
Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem
napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho
hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by
hrozilo poškozeniacute zdroje
a) b)
Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně
Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů
Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je
jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se
všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat
z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů
Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute
napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly
vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit
02010 UUU a 21 iii RRR
Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute
21 zZz III
Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute
1zz InI nUUUU 002010 n
RR i
i1
Přiacuteklad 29
Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15
V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A
Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A
Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje
64
Řešeniacute
Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud
01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64
Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů
Celkovyacute vnitřniacute odpor bude
32
23
2
3 1
iiacute
RR
Proud nakraacutetko bude
513
5133 01
i
kR
UI A
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi
Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory
využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny
rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty
491 Dělič napětiacute
Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute
65
a) b)
Obr 65 - Dělič napětiacute
Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
21 RR
UI
tedy U
RR
RR
RR
URIU
21
22
21
22
Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2
platit
z
z
RR
RRR
UI
2
21
a po dosazeniacute
URRRRRR
RR
RR
RR
RR
RRR
U
RR
RRIU
zz
z
z
z
z
zz
z
2121
2
2
2
2
21
2
22
Přiacuteklad 30
Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66
Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič
napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o
odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V
Řešeniacute
Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem
R1 + R2 = 1000
tedy R1 = 1000 ndash R2
66
a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
241000
2
21
22
RU
RR
RU
b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute
24500500)1000()1000(
500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
c)
2415001500)1000()1000(
1500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho
napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič
Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory
492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru
k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek
Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem
67
Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute
bbAA RIRI a tedy A
b
b
A
R
R
I
I
Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to
v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku
Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute
tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku
A
b
Am
A
R
R
II
I
A
b
AA
A
R
R
IIn
I
)1(
n
RR A
b
Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash
viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor
Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem
Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory
předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na
předřadneacutem odporu a na voltmetru
pVm UUU p
V
p
V
R
R
U
U
Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy
Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu
)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p
V
V
V
R
R
nU
U
)1(
Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp
Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet
Přiacuteklad 31
Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo
možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA
68
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 2010
200n kraacutet
Odpor bočniacuteku bude 581)120(
30
)1(
n
RR A
b
Přiacuteklad 32
Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak
aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 5120
600n kraacutet
Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp
493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu
V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute
měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute
zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu
Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou
Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA
naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je
omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV
Velikost odporu RX je
iV
VA
V
VA
V
x
xx
R
UI
U
II
U
I
UR
Přiacuteklad 33
69
Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud
ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70
Řešeniacute 95201680
16
003200200
16
5000
16020
16
iV
VA
Vx
R
UI
UR
494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně
širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem
)1(12 RR
kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty
Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute
teploty
Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty
odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2
)1(12 RR 11
2
R
R
11
2
R
R
1
12
R
RR
Měřenaacute teplota je tedy
1
12112
R
RR
Přiacuteklad 34
Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu
je-li
hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o
velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je
20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71
Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty
Řešeniacute
Odpor při 20o C je R1 = 200
Odpor při o C je R2
70
27020
5400
20
1045
1020
1020306 3
3
3
2
A
AA
I
IRUR
Měřenaacute teplota je tedy
510780
7020
104200
20027020
3
1
1212
R
RR o C
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech
Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly
v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly
lineaacuterniacute obvody
V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale
vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute
Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku
Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na
nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a
odpor je tedy vyššiacute
Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a
pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika
nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
a) b)
Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech
obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute
zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku
Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme
pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je
daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute
charakteristikou zdroje
71
Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu
Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen
nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici
a) b) c)
Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu
c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA
charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem
prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto
hodnoty odečteme z grafu
Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu
Přiacuteklad 35
Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je
napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute
podle obr 76 a)
a) b)
72
Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku
Řešeniacute
Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute
že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash
je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho
a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme
Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou
proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek
křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem
z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP
VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body
U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A
Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35
Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je
Ip = 27 mA
Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom
dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho
proudu s VA charakteristikou rezistoru R1
Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož
vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku
hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN
Přiacuteklad 36
Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka
paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi
hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka
U (V) 1 2 3 4 5 6
73
I (A) 01 0165 022 025 028 03
Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32
Řešeniacute
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky
rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute
charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute
charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky
Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1
Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020
60 iR
UIk A
Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36
Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a
proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je
rovno 188 V
74
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji
Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech
zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute
zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na
uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet
tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute
Ohmova zaacutekona
Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech
rezistorů
Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že
jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet
všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než
byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu
Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute
že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou
orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti
směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80
Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3
Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech
Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci
zvolenyacutech smyček x a y
Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)
321 III (1)
75
Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
01221 UUUU RR (2)
Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
0232 UUU RR (3)
Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho
platiacute
111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)
Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod
Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)
0122211 UURIRI (2a)
023322 URIRI (3a)
Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)
0)( 232122 URIIRI (3b)
Upraviacuteme (3b)
02323122 URIRIRI
0)( 231322 URIRRI
32
3122
RR
RIUI
(3c)
a dosadiacuteme do rovnice (2a)
0122
32
31211
UUR
RR
RIURI (2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1
0122
32
312
32
211
UUR
RR
RIR
RR
URI
23321
323211
233121
3121322222
32
231
122
32
2
1
122
32
2
32
23111
)(
)(
RRRRR
RURRUI
RRRRRR
RURURURURU
RR
RRR
UURRR
U
I
UURRR
U
RR
RRIRI
Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2
76
I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3
Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a
(6)
Tiacutem je obvod kompletně vyřešen
Přiacuteklad 37
V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
100
Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37
Řešeniacute
Pro uzel A platiacute
321 III
Pro smyčku x platiacute
01122 RR UUUU
Pro smyčku y platiacute
0232 RR UUU
Dosadiacuteme do rovnic
02001010020 12 II 32010 12 II
010010020 23 II 21010 23 II
Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3
20
103 21
II
a
10
102 23
II
Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A
10
102
20
103 22
2 II
I
20
222 20420103 III
77
2507 I
14050
72 I A
Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3
08020
140103
20
103 21
II A
06010
140102
10
102 2
3
I
I A
Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče
v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
16200080111 RIUR V
14100140222 RIUR V
6100-006333 RIUR V
4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů
Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se
postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute
Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute
veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II
Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a
to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy
orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček
Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj
smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou
smyčkovyacutech proudů
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82
Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů
78
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib
Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona
Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba
Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme
011222 RIUURIRI aba
02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb
32
22
RR
RIUI a
b
01122
32
222
RIUUR
RR
RIURI a
aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute
Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia
01122
32
2
32
222
RIUUR
RR
RI
RR
RURI a
aa
21
32
2212
32
22 UU
RR
RURIR
RR
RIRI a
aa
312132
323121
3121223222
3222312122
1
32
222
21
32
22
RRRRRR
RURURU
RRRRRRRRRR
RURURURURU
RRR
RRR
UURR
RU
Ia
Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32
22
RR
RIUI a
b
a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se
smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
ab III 2
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute
Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
Přiacuteklad 38
79
Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
300 R4 = 200
a) b)
Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 83 b) kde R34 je
1205
600
200300
200300
43
4334
RR
RRR
Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky
a 0)( 1122 RIUURII aba
02001020100)( aba III
b 0)( 2234 RIIURI abb
0100)(20120 abb III
Upraviacuteme a dosadiacuteme
a 02001020100100 aba III 100
10300 a
b
II
b 0100)100
10300(20120
100
10300
a
aa III
Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme
0100103002012360 aaa III
02560 aI
0003571560
2aI A
Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali
Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib
80
0089286100
103000003571-
100
10300
a
b
II A
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je
shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu
smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
0092857)0035710(00892862 ab III A
Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou
10714291200089286343443 RIUU RR V
Proudy rezistory R3 a R4 jsou
0035714300
10714293 I A 0053571
200
10714294 I A
Napětiacute na rezistorech R1 a R2
07142862000003571111 RIUR V
928571000092857222 RIUR V
Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a
napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
020-10)(-0714286-92857
020-107142992857
0089286)(-00035710092857
Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku
Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute
pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by
bylo matematicky obtiacutežneacute
4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute
Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž
je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu
označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute
Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz
jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash
neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a
z nich pak proudy ve větviacutech obvodu
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84
81
Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R
je UA
Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute
321 III
Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a
dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice
32
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
21312321 )()( RRURRUURRUU AAA
21313123221 RRURRURRURRURRU AAA
31322131221 RRURRURRURRURRU AAA
313221
312321
RRRRRR
RRURRUU A
Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
1
11
R
UUI A
2
22
R
UUI A
3
3R
UI A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Přiacuteklad 39
Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30
R4 = 90
82
a) b)
Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 85 b) kde R34 je
12090304334 RRR
Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A
321 III
342
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
120100
20
200
10 AAA UUU
AAA UUU 10)20(12)10(6
AAA UUU 1012240660
107142928
300AU V
Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
-000357200
107142910
200
101
AU
I A
Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru
než byl původniacute předpoklad
928571400100
107142920
100
202
AU
I A
0089286120
1071429
1203 AU
I A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech
83
-071429200-000357111 RIUR V
9285714100928571400222 RIUR V
2678571300089286333 RIUR V
V 8035714900089286434 RIUR
4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice
Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl
připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze
tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86
Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj
jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho
obvodu
a) b)
Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice
84
Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky
je na obr 87 a)
32
3223
RR
RRR
R123 = R1 + R23
123
1
1R
UI
11
1 IRUR
11
RAB UUU
2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na
obr 87 b)
31
3113
RR
RRR
R123 = R2 + R13
123
2
1R
UI
11
1 IRUR
12
RAB UUU
1
1R
UI AB a
3
3
R
UI AB
Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje
Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute
1
11 III
2
22 III
3
33 III
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR
Přiacuteklad 40
Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
110 R4 = 130 R5= 240
1
85
Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34
2401301104334 RRR
Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345
120240240
240240
345
345345
RR
RRR
Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)
a) b) c)
Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)
5454545120100
120100
3452
34522345
RR
RRR
R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545
0039286 25454545
10
12345
1
1 R
UI A
78571430039286200
11
1 IRUR V
2142857785714310
11
RAB UUU V
86
214285700100
2142857
2
2 R
UI AB A
0017857120
2142857
345
345 R
UI AB A
Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)
75120200
120200
3451
34511345
RR
RRR
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175
0114286 175
20
12345
2
2 R
UI A
1142860114286100
22
2 IRUR V
857142942861120
12
RAB UUU V
0042857200
8571429
1
1 R
UI AB A
0071429120
8571429
345
345 R
UI AB A
Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou
-0003570042857-0039286
1
11 III A
00928572142857000114286
2
22 III A
0089286
345
345345 III A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
-071429200-000357111 RIUR V
928571009285700222 RIUR V
107143212000892863453345 RIUU RAB V
10714325 ABR UU V
0044643240
1071432
5
55
R
UI A
1
1
87
0044643240
1071432
34
43 R
UII AB A
4910731100044643333 RIUR V
5803591300044643334 RIUR V
88
5 Magnetickeacute pole
Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute
magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud
Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda
Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute
předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute
magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute
zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje
vždy k severu
Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety
Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute
elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje
Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute
silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole
Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute
magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka
Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute
směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute
čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje
orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech
čaraacutech
Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar
Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -
označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)
a) b)
Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute
Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute
89
Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu
a) b) c)
Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely
c) podkovoviteacuteho magnetu
Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute
působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem
Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme
silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a
jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
521 Magnetickeacute pole vodiče
V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech
kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute
takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute
čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute
V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve
středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93
Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči
90
Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem
Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen
na obr 94
Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo
pravotočiveacuteho šroubu
Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute
vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole
Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu
Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve
směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar
91
53 Veličiny magnetickeacuteho pole
531 Magnetickyacute tok
Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem
Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem
poli Popisuje tedy pole jako celek
Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)
532 Magnetickaacute indukce
Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho
toku na jednotku plochy
SB
Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem
magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě
Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce
Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I
tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1
Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To
se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash
viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute
nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do
zeslabeneacuteho pole
a) b)
Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute
v magnetickeacutem poli
lIkonstF
Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a
označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)
lIBF (N T A m)
92
Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem
Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole
lI
FB
(T NA
-1m
-1)
Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole
Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem
jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity
magnetickeacuteho pole
Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel
pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude
sin lIBF viz obr 98
Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute
Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute
se podiacutelejiacute na jeho vzniku
Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)
Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je
magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo
93
Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute
magnetomotorickeacute napětiacute je tedy
Fm = I
Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho
magnetickeacuteho pole je
Fm = I1 - I2 + I3
Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute
danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute
n
i
im IF1
a) b)
Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)
Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet
všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro
tuto indukčniacute čaacuteru
n
i
mim UF1
Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute
Fm = Um1 + Um2 + Um3
534 Intenzita magnetickeacuteho pole
Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute
indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je
l
UH m (Am
-1 A m)
kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um
Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke
křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery
94
Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole
r
I
l
UH m
2
Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy
tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu
vodiče na rovině indukčniacute čaacutery
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi
intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute
Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem
magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem
bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce
indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole
vybudilo
Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B
Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu
souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah
přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB
Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme
v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a
nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute
HB
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) (H) je jednotka henry ndash jejiacute
rozměr vysvětliacuteme později
Pro ostatniacute materiaacutely platiacute
HB r 0
kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než
vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1
95
Přiacuteklad 41
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud
8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče
5127323954104
1012
8
2
3
3
r
IH (Am)
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
115749051011
40
10112
8
2
2
3
r
IH (Am)
Přiacuteklad 42
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr
101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A
Obr 101 - Svazek vodičů
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku
2815720321 IIIFm A
6366198200
102
1022
8
2
2
2
r
FH m (Am)
Přiacuteklad 43
Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr
102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A
Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli
96
Řešeniacute
Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je
81201560 lIBF N
Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat
do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo
Přiacuteklad 44
Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad
Řešeniacute
0180)15020(60 SB Wb
Přiacuteklad 45
Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T
I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch
Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů
Řešeniacute
HB r 0 0= 410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
r
FH m
2 a
n
i
im IF1
Z toho plyne
r
m
BrHrF
0
22
150102
21015
104
00202 43
7
rFm A
321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A
97
54 Hopkinsonův zaacutekon
Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem
indukčniacutem tokem
Viacuteme že S
B
z toho SB
Protože platiacute HB a l
UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem
mm U
l
SS
l
USHSB
Vyacuteraz mUl
S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je
henry (H)
mm Ul
SG (H)
Platiacute tedy
mm UG
Rozměr jednotky henry
m
mU
G
)()()(2
A
mT
A
WbH
Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm
m
mG
R1
tedy S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku
Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek
Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti
magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku
Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy
deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu
S
lRm
1 kde r 0
Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je
hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny
pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho
magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu
98
Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin
Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute
Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute
Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute
pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny
Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky
poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r
551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů
Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole
Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů
po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin
elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky
se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute
U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute
uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře
materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy
sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4
m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem
magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a
tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu
vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho
pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel
vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost
že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je
zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě
magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika
Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika
99
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace
Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce
strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho
přiacuterůstku magnetickeacute indukce
Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato
čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity
magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při
navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi
body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute
charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute
Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů
Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho
pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť
Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje
tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute
intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou
magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a
značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat
v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity
magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute
hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute
intenzita (koercitivita)
Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom
nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při
snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem
magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba
opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev
popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka
Obr 105 - Hysterezniacute smyčka
100
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety
Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar
hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho
materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na
vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu
Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute
Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute
intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u
takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely
použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj
magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu
wolframu a molybdenu
Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou
koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute
tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech
střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet
Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem
a) b)
Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute
101
Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu
stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel
zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute
odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute
snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne
k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute
s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)
a) b)
Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka
Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am
102
Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu
Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg
103
Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik
104
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute
Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud
kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery l
IH přiacutepadně
l
FH m kde
n
i
im IF1
tedy součet všech proudů ktereacute se
podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole
Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův
zaacutekon
Biot-Savartův zaacutekon
Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon
Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l
je
sin4 2
r
lIH
kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A
Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky
kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov
561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče
Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute
tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu
průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude
stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem
pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)
Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x
IH
2
kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče
Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy
hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r
IH r
2
Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b
IHb
2
105
a) b)
Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)
Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera
Proudovaacute hustota J ve vodiči je
2r
I
S
IJ
Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia
2
22
2 r
aIa
r
ISJI aa
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy
2
2
2
222 r
aI
a
r
aI
a
IH
Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od
středu vodiče je přiacutemkovyacute
Přiacuteklad 46
Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti
15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A
Řešeniacute
Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je
509316000
1052
160
2 3max
r
IH Am
Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je
1273104
40
10160
10)155(2
160
2
33
35
x
IH Am
106
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
a) b)
Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar
nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve
středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit
sin4 2
r
lIH
Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute
24 r
lIH
Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce
zaacutevitu
r
Ir
r
Il
r
I
r
lIH
rr
22
444 2
2
02
2
02
Tedy r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute
2
Dl a
212
DDD
kde D je středniacute průměr ciacutevky 2
12 DDD
Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
107
Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se
podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu
ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr
Přiacuteklad 47
Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A
aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am
Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr a
2
12 DDD
1052
110100
2
12
DD
D mm a 5522
105
2
Dr mm
Počet zaacutevitů v ciacutevce je
5522
10001055222 3
I
HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů
564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute
podmiacutenka lD
Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka
108
Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119
Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem
Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje
severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom
konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)
Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute
magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu
lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je
l
IN
l
UH m
Přiacuteklad 48
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky
kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute
permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
250010505001010
505002
l
INH Am
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde
025132708010800000250080104 -7-7
0 HB r T
a
109
662232 10176714610)2
15()10
2
15( rS m
2
46 10444132201017671460251327 SB Wb
565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o
kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech
kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute
Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole
Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude
intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r
kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute
než d
Magnetickeacute napětiacute Um je
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je
r
IN
l
UH m
2
Přiacuteklad 49
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400
zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro
vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole je
10185923200
10
320
2
10102
80400
22
2
D
INH Am
110
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme
z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1
Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu
662232 107853982105)102
10( rS m
2
46 101115265107853982421 SB Wb
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok
Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly
tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem
dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje
a) b)
Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami
111
Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem
menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto
větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute
větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze
daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je
mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku
kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok
Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že
součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech
toků z uzlu vystupujiacuteciacutech
01
n
k
k
Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute
magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute
n
k
mkm UF1
Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon
m
m
R
U
kde
S
lRm
1 (H
-1) r 0
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem
Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu
Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem
průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se
uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej
v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat
Přiacuteklad 50
Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku
z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4
Wb D = 80 mm
d = 20 mm
Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro
112
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je
SB
kde 662232 101431010)10
2
20( rS m
2
127314
400
10143
1046
4
SB T
Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro
materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute je
31415938025110801250 3 DHlHFm A
Budiacuteciacute proud bude
1570796200
3141593
N
FI m A
Přiacuteklad 51
Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute
permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu
Řešeniacute
Z Hopkinsonova zaacutekona m
m
R
U je
m
m
UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm
44
4107854
4
102314
104
2314
mm
FR H
-1
Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu
S
lRm
1
kde 00010161250
271
H
B (Hm
-1)
633
6
3
100787143
1080
1016
101
10143
1080
0001016
11
S
lRm H
-1
Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem
zaokrouhlovaacuteniacute
Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu
HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7
Hm-1
113
58081008085071250 4
10101270
1250 10 4
271 33
7-
0
H
Br
Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou
Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute
v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2
Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou
Magnetickaacute indukce je S
B
je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute
Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r
BH
0
Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita
feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než
intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu
00
BBH
r
gtgt rFe
Fe
BH
0
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
0
BHUm
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
lB
lHUr
FemFe 0
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
mFemm UUF
Po dosazeniacute
0
BUUF mFemm l
B
r
0
114
Přiacuteklad 52
Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se
vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve
vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet
hodnotu maximaacutelně 08 A
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
100954934
1012
104
21
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
1435395105110095493 36 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
A2997929)5180(21
)10511080(1200)(1200 33
DlHU FemFe
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
173518829979291435395 mFemm UUF A
Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka
2169216898508
1735188
I
FN m zaacutevitů
Přiacuteklad 53
Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500
zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je
vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg
115
Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
1201803009020060500221121 ININFFF mmm A
Intenzita magnetickeacuteho pole
375032
120
l
FH m Am
Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra
B = 12 T
Celkovyacute magnetickyacute tok je
34 10081103321)030030(21 SB Wb
Přiacuteklad 54
Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby
magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro
elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu
Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54
116
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
3182)9070(2 l mm
Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
10127324104
104
61
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
336 10254647910210127324 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
1113103183500 3 lHU FemFe A
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
36595525461113 mFemm UUF A
Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a
provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů
Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak
73195
36595
I
FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a
budiacuteciacute proud bude 4574375800
36595
N
FI m
b A
Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je
znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např
pro dvě čaacutesti obvodu
21 mm
m
RR
U
ndash Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a
proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena
magnetizačniacute křivkou
Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce
)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak
možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm
117
Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a
pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm
Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2
tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm
Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf
Obr 127 - Funkce )( mFf
Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute
naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute
napětiacute z grafu funkce )( mFf
Přiacuteklad 55
Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech
materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle
obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů
Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
118
Řešeniacute
Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu
75051500 INFm A
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je
18090452 plechyl mm
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je
14090252 litinal mm
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm1
Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute
pro oba materiaacutely
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0555556109
1054
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
200 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
3723363610140240010180200 33
1
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm2
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0777778109
1074
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
400 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
8147427210140530010180400 33
2
Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4
Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4
Wb sestrojiacuteme
v Excelu graf funkce )( mFf
119
Fm (A) 372 814
Wb 00005 00007
Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb
58 Elektromagnetickaacute indukce
581 Indukčniacute zaacutekon
Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute
pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy
Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat
elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud
Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem
Indukčniacute zaacutekon
Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje
elektrickeacute napětiacute u
dt
du
kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku
dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d
120
Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon
Pozn
Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu
veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit
Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i
Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud
Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem
ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)
Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem
ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie
Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute
opačnou polaritu u = -e
Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash
viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute
dt
dNu
(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)
Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce
121
Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok
zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li
tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute
Přiacuteklad 56
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky
homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T
a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute
napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)
Řešeniacute
Magnetickyacute tok je
SB
Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0
Po 05 s bude tok
44 106110208 SB Wb
Změna magnetickeacuteho toku bude
44
01 106101061 d Wb
Změna času bude
050dt s
Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to
4801048001032150050
1061150 44
4
dt
dNu V
V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute
je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute
indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute
Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133
Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56
122
582 Pohyboveacute napětiacute
Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute
Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na
jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič
vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto
smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho
toku se neměniacute
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz
obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute
Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute
Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt
du
Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy
zmenšiacute o hodnotu
ltvBlsBSB
Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude
vlBt
ltvB
dt
du
)(
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok
smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity
vlBt
ltvB
dt
du
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče
elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute
Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem
Lenzův zaacutekon
Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem
polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou
123
Obr 135 - Lenzův zaacutekon
Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute
pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr
proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo
Přiacuteklad 57
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o
magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do
magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor
rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0
o a c) 60
o
Řešeniacute
a) Při uacutehlu 90 o
bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to
180503021 vlBu V
b) Při uacutehlu 0
o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru
indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je
nulovaacute
u = 0
c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka
rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami
rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti
rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem
čaraacutem
250505060cos50 0 kolmaacutev ms
Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky
124
Indukovaneacute napětiacute pak bude
0902503021 kolmaacutevlBu V
583 Vlastniacute indukčnost
Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute
magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude
indukovat napětiacute
dt
dNu
Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky
Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m
m
R
U kde INUm a tedy po dosazeniacute
mR
IN
můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu
za čas dt
mR
diNd
V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute
dt
R
diN
u m
Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute
dt
di
R
N
dt
R
diN
Ndt
dNu
m
m
2
Vyacuteraz mR
N 2
byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet
125
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
mR
NL
2
Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je
di
dtuL
1
)(
)()()(
AsV
A
sVH
Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita
materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky
Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute
nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu
Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute
hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se
v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se
nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
Přiacuteklad 58
Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů
vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm
Řešeniacute
Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka
Indukčnost ciacutevky je
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm
a S = r2 = 52
=7853982 mm2
3
672
0
2
1020
10547810450
l
SNL r
126
66
372 1039320
105478101041025
H
Přiacuteklad 59
Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli
se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm
Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400
Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm
23
3
7
0 )1010(
1051
104
11
S
Rm
66437
102534
10100101051
4
10
H
-1
Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru
23
33
7
0 )1010(
10511080
400104
11
S
lR
r
Fem
6437
4
337
101564004
105781010
10
10511080
4004
10
H
-1
Indukčnost ciacutevky je
0549561532
51
10)561532(
1500 2
6
222
mFemm RR
N
R
NL
H
584 Vzaacutejemnaacute indukčnost
Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2
(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute
tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140
127
Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost
Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i
jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje
elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude
indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet
dt
dikonstu 1
2
Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou
vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona
Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem
napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1
111 INFm
Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost
magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou
12
1112
mR
IN
Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude
dt
diM
dt
di
R
NN
dt
di
R
NN
dt
dNu
mm
11
12
121
12
12
1222
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je
12
12
mR
NNM
Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř
všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem
sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1
128
Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami
Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je
mR
NL
2
11
mR
NL
2
22
Vzaacutejemnaacute indukčnost M je
mR
NNM 12
Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme
21
2
1
2
2
2
2
1
2
22122 )( LLRR
NN
R
NN
R
NNM
mmmm
a tedy
22 LLM
Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute
ciacutevce bude
dt
di
R
N
dt
diLu
m
2
111
a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude
dt
di
R
NN
dt
diMu
m
212
Poměr napětiacute 2
1
u
uje
2
1
21
2
1
2
1
N
N
dt
di
R
NN
dt
di
R
N
u
u
m
m
Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
129
Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale
dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě
o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek
Pak
22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Přiacuteklad 60
Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů
primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr
142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je
800
Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Magnetickyacute odpor RmFe
64273
23
3
7
0
100353678984
10101010320
)1030(
10320
800104
11
S
lR
r
Fem
H-1
Indukčnost prvniacute ciacutevky
28274330353678
1
100353678
10006
22
11
mFeR
NL H
Indukčnost druheacute ciacutevky
636000353678
1051
100353678
150 22
6
22
22
mFeR
NL H
Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek
0381704636002839022 LLM H
130
Přiacuteklad 61
Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho
přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s
Řešeniacute
Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce
770002
01-06282743311
dt
diLu V
Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce
549002
01-0638202
dt
diMu V
Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute
ciacutevce bylo u2ideaacutel
1060288020
50
0353678
150
002
01-06
100353678
15010006
1
12
122
dt
di
R
NNu
m
ideaacutel V
Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667
Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667
Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute
2
1
2
1
N
N
u
u hellip transformačniacute poměr
585 Spojovaacuteniacute ciacutevek
Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je
Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně
Ciacutevky spojeneacute seacuteriově
Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143
to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat
stejneacute napětiacute
Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
131
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu kde dt
diLu 11 a
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )( 2121 LLdt
di
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL
Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute
vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k
kLL1
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute
indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet
Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M
je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash
viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet
132
Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti
soběldquo
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Ciacutevky spojeneacute paralelně
Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr
146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech
indukovat stejneacute napětiacute
Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi
kde dt
diLu 1
11 a dt
diLu 2
22
a tedy dt
diLu 1
1 a dt
diLu 2
2
z toho 1
1
L
u
dt
di a
2
2
L
u
dt
di
133
Po dosazeniacute 21 dididi
21 L
u
L
udi
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu z toho
L
u
dt
di
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21
111
LLL
Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute
vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute
jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k kLL 1
11
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz
obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute
MLMLL
21
111
Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash
viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet
MLMLL
21
111
Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
134
Přiacuteklad 62
Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost
seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute
indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH
Řešeniacute
Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je
MLLL 221
Z toho
202
)40100(180
2
)( 21
LLL
M mH
585 Přechodovyacute jev na indukčnosti
Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce
dt
diLuiL
Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji
stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute
odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor
bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku
poškodil)
V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na
indukčnosti
Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon
V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud
jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0
pak vyacuteraz dt
diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem
Pro t0 platiacute
t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0
135
V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu
největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute
to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = konst di = 0 0dt
di
0dt
diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0
R
U
R
ui R 0
V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud
v obvodu je omezen jen odporem rezistoru
Průběh proudu a napětiacute je na obr 150
Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i
napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na
ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty
t
L eUu
0
kde
R
L
Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti
59 Energie magnetickeacuteho pole
Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově
působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud
Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute
průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute
udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem
mm UW 2
1 (J Wb A)
Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie
nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu
136
HBlS
U
V
U
V
Ww mmm
m
2
1
22
Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke
konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je
lSHBVHBVwW mm 2
1
2
1
Přiacuteklad 63
Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky
Řešeniacute
Energie magnetickeacuteho pole je
mm UW 2
1
kde INUm a mR
IN
Po dosazeniacute
mm
mmR
ININ
R
INUW
22
2
1
2
1
2
1
Protože LR
N
m
2
dostaneme vyacuteraz 2
2
1ILWm
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy
Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech
materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole
Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech
vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve
vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti
přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti
plneacuteho průřezu
137
Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech
Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute
energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou
energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů
Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute
jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety
způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce
Pv f 2 B2
Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute
z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm
transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute
budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute
množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute
vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru
V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu
Hysterezniacute ztraacutety
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky
138
Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute
ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci
Ph f B2
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově
proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi
proudy
PFe = Ph + Pv
V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole
silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce
vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli
lIBF
Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute
vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka
magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute
sin lIBF viz obr 153
Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho
magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho
Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole
působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem
proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela
139
Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Velikost siacutely F
lIBF 21
kde 101 HB r 0=410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
kde r
IH
21
1
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
7-212
17-
21 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
(N A A m m)
Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič
Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute
vodič
7-211
27-
12 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute
a vodiče se tedy odpuzujiacute
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je
zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute
140
Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute
Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi
rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7
N na 1 m deacutelky
vodičů
Přiacuteklad 64
Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm
rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho
proudu v nich je 40 A
Řešeniacute
Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je
3-7-
2
7-21 101920010105
304040210
I2
r
lIF N
5121 Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta
ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157
Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute
feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou
Obr 157 - Elektromagnet
141
Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na
pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru
Přitažlivaacute siacutela magnetu
Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce
B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti
magnetickeacute indukce B
Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu
V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou
posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie
magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie
magnetickeacuteho pole
dlSB
dlSB
BdlSHBWm 0
2
0 2
1
2
1
2
1
a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F
dlFA
Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2
02
1
Platiacute že S
B
a mR
IN
kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet
hodnota RmFe zanedbaacutevaacute
Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
142
Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem
přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze
magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute
Přiacuteklad 65
Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm
plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je
66
47
3
47
3
0
1053051656
10100
103102
10
109104
10322
S
lR v
m H-1
Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
9)5305165(42
1010104109
109)105305165(
2300
1042
12
41274
426
22
7
F
65852814303
500
28143032
100010
9281430342
49 3
F N
143
6 Střiacutedaveacute proudy
Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud
se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute
střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T
Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute
čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny
označeniacute přiacuteslušneacute veličiny
Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute
proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je
praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy
harmonickeacute Babyčka
Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu
Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute
jednotkou je hertz značka Hz
Doba jedneacute periody je
fT
1 (s Hz)
Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute
průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz
až MHz
Přiacuteklad 66
Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě
Řešeniacute
02050
11
fT s
144
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii
Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu
Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy
Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel
tft
f
tT
21
22
Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za
jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se
f 2 (rads-1
)
Platiacute tedy
)sin(max tIi
Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel
nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute
Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu
145
Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh
sinusoidy
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje
Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu
Přiacuteklad 67
Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou
hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz
a proud je faacutezově zpožděn o 30o
Řešeniacute
Doba periody je
02050
11
fT s
Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2
Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute
zpožděniacute 30o
30o je 6 radiaacutenů 0001667
12
1020
2
61
Tt s
Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je
)6
00152sin(25)tsin( 0015)( max
fIi
-216207)6
0015314sin(25)6
0015502sin(25 0015)(
i mA
146
62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne
průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163
Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět
Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace
Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory
znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich
působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute
Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe
v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je
vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval
U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy
bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)
bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů
bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)
bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)
631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v
stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute
harmonickyacute proud (napětiacute)
Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině
proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je
tIRUtIW 2
147
2IRUIt
WP
Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval
dt je
dtiRdW 2
dttIRdtiRdW )(sin22
max
2
Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu
bdquoRplocha pod křivkou i2
ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164
rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i
2 po
dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho
proudu daneacuteho průběhu Platiacute
2
2
max2 II
2
maxII což je 7070max II
Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i
silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu
632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost
stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud
Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za
jednotku času
t
QI tIQ
Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165
148
Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod
přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody
a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute
pro stejnosměrnyacute proud QT
Imed 2
a
pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q
Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho
počtu dospět k vyacuterazu
max
2IImed
což je max6370 IImed
Přiacuteklad 68
Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce
Řešeniacute
Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě
230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy
V 32523022max UU
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem
čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho
velikost je
vlBU
kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje
l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole
v je rychlost pohybu vodiče
149
Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se
vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B
magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166
Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute
Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je
velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute
Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute
Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr
168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v
každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli
Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem
pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich
150
obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za
minutu)
Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto
okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a
velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0
a) b) c)
Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli
Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu
v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v
a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to
vlBui
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem
směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato
napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je
max22 UrlBvlBui
Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute
s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu
kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute
indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute
v zaacutevitu v obecneacute poloze je
sinsin22 max UvlBvlBu xi
151
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute
Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden
zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-
kraacutet většiacute
)sin(max tUNui
Přiacuteklad 69
Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm
b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce
B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s
Řešeniacute
Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh
)sin(2 tvlBui
Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je
560
300
60
nf Hz
Uacutehlovaacute rychlost je
431522 f s-1
Rychlost otaacutečeniacute v
rv kde 2
2
1022
104
2
a
r m
6280102431 2 rv ms
Tedy
tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22
Doba jedneacute periody T je
205
11
fT s
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)
152
a) b)
Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69
V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil
praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)
65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže
Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je odpor R
Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež
charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L
Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C
651 Odporovaacute zaacutetěž
Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě
odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a
proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute
vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie
Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
153
Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je
)sin()sin()sin(
max
maxmax tItR
U
R
tUi
Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve
faacutezi
Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R
UI max
max
Pro efektivniacute hodnoty platiacute R
UI
Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži
Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je
2iRiup
Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je
2IRIUP
Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon
jednotkou je watt (W)
652 Induktivniacute zaacutetěž
O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu
připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)
Pak platiacute
dt
diLui
a) b)
Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute
maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu
Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud
neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute
154
Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute
maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj
v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di
lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute
čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax
Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem
indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o
Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah
)sin(max tUu
pak průběh proudu je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak
indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna
proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute
rychlost viz obr 173
Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt
Platiacute
LXILIU maxmaxmax
kde XL je tzv indukčniacute reaktance
LX L ()
Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem
proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze
ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento
odpor minimaacutelniacute)
Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu
LX
UI max
max a LX
UI
Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo
uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL
155
Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute
do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je
okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute
V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět
zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute
směr
V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie
ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho
efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud
kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute
vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud
653 Kapacitniacute zaacutetěž
O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen
kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)
Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět
156
vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita
elektrickeacuteho pole
a) b)
Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute
pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na
deskaacutech kondenzaacutetoru o dq
dtidq
Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du
C
dti
C
dqdu
Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i
dt
duCi
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute
maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud
napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je
du = 0 a tedy i proud je nulovyacute
Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud
maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t
= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a
proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t
= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax
Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute
proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)
Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute
jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt
Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute
uacutehlovaacute rychlost
157
CUI maxmax
Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde
CX C
1
Pak lze psaacutet
CX
UI max
max a pro efektivniacute hodnoty CX
UI
Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177
CfCX C
2
11
Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute
k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud
neproteacutekaacute
Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu
napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem
kondenzaacutetoru
158
V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se
dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute
do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor
nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje
v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije
nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech
V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze
k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do
zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute
se Q a jeho efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a
nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor
Přiacuteklad 70
Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F
pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz
Řešeniacute
V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf
X C
2
1
Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70
159
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity
indukuje se v niacute napětiacute u1
dt
diLu 1
11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU
V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje
napětiacute u2
dt
diMu 1
2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12
kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou
Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů
Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2
zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2
dt
diLu 2
22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU
V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce
indukovalo napětiacute u1
dt
diMu 2
1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21
Transformačniacute poměr
Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR
NL
2
11 a
mR
NL
2
22
Z toho vyplyacutevaacute že 12
12
mR
NNM
Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1
mR
NILIU
2
11111
a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2
12
12112
mR
NNIMIU
160
Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je
2
1
12
121
2
11
2
1
N
N
R
NNI
R
NI
U
U
m
m
Poměr 2
1
2
1
N
N
U
U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu
zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu
elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit
přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute
přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se
napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute
400230 V
66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech
obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě
indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R
Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů
střiacutedaveacuteho proudu
Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho
proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute
respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu
661 Seacuteriovyacute RC obvod
Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože
je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a
tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu
161
Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je
IRUR
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC
Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z
22 RXZ C ()
Pak
ZIU
Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je
22 RX
U
Z
UI
C
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
181 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 71
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost
faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
C
kde velikost kapacitniacute reaktance je
1592
1000
10501022
1
2
1163
CfC
XC
Proud
0470256
12
200159
12
2222
RX
UI
C
A = 47 mA
162
Napětiacute na rezistoru UR
3990470200 IRUR V
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC
4770470159 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
078247912
399cos
U
U R = 0672159 rad = 385o
Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71
662 Seacuteriovyacute RL obvod
Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je
tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL
163
Impedance obvodu je
22 RXZ L ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22 RX
U
Z
UI
L
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
183 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 72
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho
posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
L
kde velikost induktivniacute reaktance je
1257405022 LfLX L
Proud
154807125
230
2222
RX
UI
L
A
Napětiacute na rezistoru UR
12454180 IRUR V
Napětiacute na ciacutevce UL
1945417125 IXU LL V
Faacutezovyacute uacutehel je
0537029230
124cos
U
U R = 1003885 rad = 57 5o
164
Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72
663 Seacuteriovyacute LC obvod
Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I
Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute
)( CLCLCL XXIIXIXUUU
Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter
Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter
165
664 Seacuteriovyacute RLC obvod
Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy
proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL
Impedance obvodu je
22)( RXXZ CL ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
186 je cos
U
IR
U
U R cos
166
Přiacuteklad 73
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute
diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V
frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
kde velikost induktivniacute reaktance je
4512805022 LfLX L
avelikost kapacitniacute reaktance je
7957747250
1040502
1
2
116
CfC
XC
Proud
109746209
230
120)6794251(
230
)( 2222
RXX
UI
CL
A
Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou
713109741120 IRUR V
2759097414251 IXU LL V
87309741679 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
0572579230
7131cos
U
UR = 0961148 rad = 55 1o
Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73
167
665 Paralelniacute RC obvod
Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RC III
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
188 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
CC
RC
Z
UI
22
11
1
RX
Z
C
22
111
RXZ C
168
666 Paralelniacute RL obvod
Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RL III
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
189 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
LL
RL
Z
UI
22
11
1
RX
Z
L
22
111
RXZ L
169
668 Paralelniacute LC obvod
Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute
CL
CLX
U
X
UIII
Impedance LC obvodu je
CLXXX
U
X
U
U
I
UZ
CLCL
1
1
11
1
Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy
CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0
Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se
opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a
ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li
CL
1
což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence
170
CL
1 Cf
Lf
0
0
22
1
CLf
2
10
669 Paralelniacute RLC obvod
Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCXC
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22)( RCL IIII
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
191 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
171
2222
22 111)(
RXXU
R
U
X
U
X
UIIII
CLCL
RCL
Z
UI
22
111
1
RXX
Z
CL
22
1111
RXXZ CL
Přiacuteklad 74
Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož
odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete
faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =
230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute
Řešeniacute
Velikost proudu rezistorem je
0766667300
230
R
UIR A
Velikost proudu ciacutevkou je
091514180502
230
2
Lf
U
X
UI
L
L A
Velikost proudu kondenzaacutetorem je
072256610321010502230
2
16
Cf
U
X
UI
C
C
Celkovyacute proud je
07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem
096987279050
7670cos
I
IR = 141o
Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR
I = IR =0767 A
A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0
562697782
1000
1010802
1
2
1
60
CLf Hz
172
Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74
Přiacuteklad 75
Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10
kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)
Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce
Řešeniacute
Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem
odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti
rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)
Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
314101005022 3 LfLX L
Proud ciacutevkou
0732113
3141592
230
98696
230
10314
230
2222
RX
UI
L
A
Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je
7321073211310 IRU R V
173
Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je
229880732113314 IXU LL V
Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je
003183230
7321cos
U
UR
1538961 rad 8817594 o
Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute
Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti
na čase
)502sin(2302)sin(max ttUu
přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms
=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)
)5391502sin(7322)sin(max ttIi
přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA
=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)
Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75
Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute
36573203217 IUP R W
Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute
3168073222988 IUQ L VAr
Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute
41680732230 IUS VA
174
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody
Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute
posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory
v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy
s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 76
Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute
indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F
Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz
Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76
Řešeniacute
Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech
Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR
je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute
součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o
předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
62810100100022 3 LfLX L
Proud IRL je
0020325
118084
24
1394384
24
1000628
24
2222
RX
UI
L
RL A
Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je
3252000203251000 IRU R V
12763790020325628 IXU LL V
175
Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je
084687524
32520cos RL
U
U R = 3212661o
Proud kondenzaacutetorem IC je
C
CX
UI
kde 1591549102
10
101010002
1
2
112
6
6
CfCX C
0015081591549
24CI A
Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi
s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka
IRLj
a) b)
Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)
Činnaacute složka IRLč
001721384687500020325cos RLRLRLč II A
Jalovaacute indukčniacute složka IRLj
0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A
Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC
tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy
2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A
09999630172130
0172130cos
I
I RLč = 05o
Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve
větvi RL
176
Přiacuteklad 77
Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o
indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby
byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem
Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77
Řešeniacute
Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka
proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC
Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL
- viz obr 198 a)
a) b) c)
Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77
Proud ve větvi s ciacutevkou
0315547
5188
24
100304002
24
2222
RX
UI
L
RL A
Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou
155473031554710 RLR IRU V
237916603155470304002 RLLL IXU V
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou
o82445d1438937ra
013147824
155473cos
RL
RRL
U
U
177
Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru
na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)
004148701314780315547cos RLRLč II A
031280709913190315547sin RLRLj II A
Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je
tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně
kompenzovaacuten pak platiacute
CRLj II a tedy IC = 0312807 A
Proud kondenzaacutetorem je
0312807C
CX
UI A
a tedy kapacitniacute reaktance je
7672451 0312807
24
C
CI
UX
Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet
CfXC
2
1
CXfC
2
1
666
1051859221072451764002
101
72451764002
1
C F
Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o
kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL
což je 0041487 A
Přiacuteklad 78
Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr
199 Řešte obecně
Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78
Řešeniacute
Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu
178
Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se
zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90
o předbiacutehaacute Vyneseme
tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR
je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U
CL
L
ABL
c
ABC
R
ABR
III
X
UI
X
UI
IRU
UUU
222
Po dosazeniacute
2
2
2222222
AB
c
AB
L
AB
ABCLABABR
UX
U
X
UR
UIIRUIRUUU
2
2
22
2
2 111
cL
ABAB
c
AB
L
AB
XXRUU
X
U
X
URU
2
2
22
2
22 11cL
LcAB
cL
LcAB
XX
XXRU
XX
XXRUU
2
2
1cL
Lc
AB
XX
XXR
UU
Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute
na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU
66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute
zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do
magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute
kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje
Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute
IUP
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon
iup
179
Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute
posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute
nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a
z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a
jejiacute jednotkou je voltampeacuter
IUS (VA V A)
Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute
přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži
Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute
nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je
s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem
pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a
induktivniacute zaacutetěži je cos = 0
Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o
90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute
energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je
voltampeacuter reaktančniacute
sin IUIUQ j (Var V A)
Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem
cos IUP sin IUQ IUS 2
2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS
22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP
Platiacute tedy že
222 SQP
což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200
Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu
180
Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A
měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute
napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a
hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku
Přiacuteklad 79
Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete
zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos
Řešeniacute
1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou
prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se
v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen
jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)
Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI
Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud
předřazenyacutem odporem
a) b)
Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti
2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)
Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute
induktivniacute reaktanciacute XL
Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute
hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL
(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute
indukčnost ciacutevky L
181
I
UZ
22 RZX L f
XL L
2
Z
R
IZ
IR
U
UR
cos
IUS cos IUP sin IUQ
67 Rezonance
Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti
indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute
tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute
Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin
rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme
rezonančniacute frekvence a značiacute se f0
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz
obr 202
Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram
Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro
rezonanci XL = XC
Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je
22)( RXXZ CL
Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji
jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0
Z0 = R
Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to
R
UI 0
182
Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost
ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC
LfCf
0
0
22
1
2
022
1f
CL
CLf
2
10
Rezonančniacute křivka
Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)
2222 )2
12()( R
CfLfRXXZ CL
Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)
Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel
je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0
Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute
R
CfLf
arctg
2
12
Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je
22)2
12( R
CfLf
U
Z
UI
Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute
kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute
odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu
Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R
Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL
183
a napětiacute na kondenzaacutetoru IC
IXU CC
1
Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy
0000 ILUU CL kde R
UI 0
Po dosazeniacute je
UR
L
R
ULILUU CL
0
00000
Vyacuteraz R
L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti
Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti
Pak UQXU CL 00
To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka
napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při
naacutehodneacutem dotyku
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod
Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz
obr 205
Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram
184
K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna
velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute
složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R
reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0
Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat
kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter
Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude
převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter
Proud ciacutevkou je
22222 RLf
U
RX
UI
L
RL
Jalovaacute složka proudu IRL je
RLRLRLj II sin kde 222
2sin
RLf
Lf
Z
X
ZI
XI
U
U
RL
L
RLRL
LRLLRL
Po dosazeniacute
222222 2
2
2
2
2 RLf
ULf
RLf
Lf
RLf
UIRLj
Činnaacute složka proudu IRLč je
222222222
cosRLfI
RI
RLf
U
U
U
RLf
UII
RL
RLRRLRLRLč
222222 222 RLf
RU
RLfI
RI
RLf
UI
RL
RLRLč
Proud kondenzaacutetorem je
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
2
2
1
Pro rezonanci
CRLj II
UCf
RLf
ULf
022
0
0 22
2
C
RLf
L
22
02
0)2( 222
0 LRCCLf
2
0
1
2
1
L
R
CLf
185
Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
22
2
2)(
RLf
RCf
RLf
LfU
RLf
RUCf
RLf
ULfIIII RLčCRLj
Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy
22
0
02 RLf
RUII RLč
Impedance při rezonanci je
R
RLf
I
UZ
22
0
0
0
2
Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu
je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0
Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna
odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou
Rezonančniacute křivky
Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu
matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute
2
22
2
222
22
2
RLf
RCf
RLf
LfUI
a
I
UZ
Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu
Činitel jakosti obvodu
Činitel jakosti obvodu je Q
R
LQ
0
186
Platiacute
000 IQII RLC
Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud
odebiacuteranyacute ze zdroje
Přiacuteklad 80
Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny
a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci
proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro
paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem
Řešeniacute
Ad a) Rezonančniacute frekvence
Hz
CLf
33
64630
102055602
10100
10210302
1
1021032
1
2
1
Rezonančniacute impedance
Z0 = R =10
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
A4210
240
R
UI
Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci
V 929516421031005522
f2
33
000000
ILILUU LC
Činitel jakosti
387324
95920 U
UQ C
Ad b) Rezonančniacute frekvence
Hz 1985111111111666666672
1
3
10
23
10
2
1
103
10
102103
1
2
11
2
1
249
2
363
2
0
L
R
CLf
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
187
A 016
1500
1024
10398512
1024
1010319852
1024
2
22
22322
0
0
RLf
RUII RLč
Rezonančniacute impedance
150160
24
0
0I
UZ
Proud kondenzaacutetorem při rezonanci
A 059866524102198522
2
16
0
0
0
0
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
Činitel jakosti
3741657160
598700 I
IQ C
Pozn
Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute
se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod
CLf
2
10
Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně
přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)
68 Kompenzace uacutečiniacuteku
Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla
nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute
složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li
faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je
daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy
v elektrickyacutech strojiacutech
188
a) b)
Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci
Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute
energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute
jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute
činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů
Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což
vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy
většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a
tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet
dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena
roste
Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud
kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho
původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute
složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute
zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho
vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku
Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav
paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095
Přiacuteklad 81
Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07
Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na
hodnotu 095
Řešeniacute
Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
Činnyacute vyacutekon je
189
cos IUIUPČ
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
186335470230
300
cos
U
PI A
Činnaacute složka proudu je
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
133070113043481863354 2222 čj III A
Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
coskomp = 095
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
1372998950230
300
cos
komp
kompU
PI
A
Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A
Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute
Cjjkomp III
Proud kondenzaacutetorem tedy bude
090198304287181330701 jkompjc III A
Pro proud kondenzaacutetorem platiacute
Cf
U
X
UI
c
C
2
1
Kapacita kondenzaacutetoru je tedy
6-5- 10124831012483230502
0901983
2
Uf
IC C F = 12483 F
190
7 Trojfaacutezovaacute soustava
Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute
jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina
průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod
elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak
napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena
využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute
trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute
velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci
elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute
magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
sinsin22 max UvlBvlBu xi
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
191
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute
Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově
pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute
harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem
posunem jednotlivyacutech napětiacute
Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou
pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o
se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se
označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211
Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
192
Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuW
Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech
hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule
0 WVU uuu
Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute
Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute
f
o
f UUx2
1)60cos( ff UUy
2
12
Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU
Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0
UU + UV + UW = 0
72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu
Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute
stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou
Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze
statoroveacuteho vinutiacute
Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem
otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)
Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute
obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou
draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je
posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi
193
průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute
U1 V1 W1 konce U2 V2 W2
Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti
Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu
statoru
Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute
Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem
obvodem a statorovyacutem vinutiacutem
Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod
rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na
vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky
stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n
(otmin)
Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru
Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru
Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute
jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute
vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje
elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem
v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto
uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na
elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu
přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů
přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute
Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech
elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou
195
označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla
3000 otmin
Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech
jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute
s předchoziacutem provedeniacutem
Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute
Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem
Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů
Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je
v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech
vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a
označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy
Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi
nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se
označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)
a) b)
Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy
a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem
Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute
faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf
196
fWVU UUUU
Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US
SWUVWUV UUUU
Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho
napětiacute
2
330cos
2 f
o
fS UU
U
fS UU 3
Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi
libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti
Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke
spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a
ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P
Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je
IRU
kde R je odpor vedeniacute
I je přenaacutešenyacute proud
Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je
2IRIIRIUP
Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině
přenaacutešeneacuteho proudu
197
Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou
energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem
vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety
Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se
napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně
niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se
energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory
Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek
Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty
dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou
proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje
v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky
Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru
Z uvedeneacuteho je patrneacute že
2
1
2
1
N
N
U
U (= transformačniacute poměr) a tedy
1
212
N
NUU
Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute
napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se
transformuje na nižšiacute napětiacute
Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že
vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu
P1 = P2 = P
Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak
1
212
N
NUU gt U1
Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute
2
2U
PI a
1
1U
PI
pak I2 lt I1
proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute
198
Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je
2
11
1
21
11
2
112
N
NI
N
NU
UI
U
UII
rarr
2
1
1
2
N
N
I
I
Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie
se sniacutežiacute
Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV
Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV
Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute
vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro
daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie
Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute
zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V
G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor
Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy
74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti
Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři
faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute
sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič
jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute
vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE
Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič
Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před
dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je
takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale
vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem
krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet
zdraviacute ohrožujiacuteciacute
199
Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C
Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S
Ochrana nulovaacuteniacutem
Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute
čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute
Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem
jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute
faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute
pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu
200
Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např
faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se
na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm
aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem
bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li
se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute
proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)
a) b)
Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem
Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při
poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute
je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud
IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho
působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se
danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine
74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti
Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi
Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy
Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy
připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu
a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
201
f
f
fZ
UI
Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel
danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče
Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy
Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven
nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute
žaacutednyacute proud
IN = 0
Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může
vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute
vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem
různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute
trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky
světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit
přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud
možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech
202
obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN
kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou
U
UU
Z
UI
V
VV
Z
UI
W
WW
Z
UI
Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute
fWVU UUUU
a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o
Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže
v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W
Pozor
Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde
přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a
spotřebičem
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka
Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230
Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka
203
Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou
stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o
UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3
Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou
UV
SUV
Z
UI
VW
SVW
Z
UI
WU
SWU
Z
UI
a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže
Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona
IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
S
f
S
SS
Z
U
Z
UI
3
Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech
napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče
Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech
Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute
Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute
o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232
2
330cos
2 WU
o
WU
fII
I
WUf II 3
204
Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je
různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz
obr 233
Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute
Přiacuteklad 82
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute
činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na
obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute
ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy
205
Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82
Řešeniacute
Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235
Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234
Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je
400 SWVUWVU UUUU V
Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost
Z
UIIII S
WVUWVU
kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L
76173
400
Z
UI S 230207 A
206
Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost
398730323020733 IIIII fWUV A
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech
Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
cos fff IUP (W V A)
Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
fff IUS (VA V A)
Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
sin fff IUQ (VAr V A)
Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute
Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon
cos33 fff IUPP (W V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon
fff IUSS 33 (VA V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
Přiacuteklad 83
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu
R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a
celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do
trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute
Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude
287580
230
R
UI
f
f A
Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy
661252875230 fff IUP W
207
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
1983752875230333 fff IUPP W
Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute
US Proud každyacutem z rezistorů bude
580
40033
3
f
ffSS I
R
U
R
U
R
UI A
Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy
00025400333 fffSSS PIUIUP W
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
6000200033 SPP W
Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy
751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek
Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na
svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co
nejjednoduššiacute
Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je
znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute
chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do
trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy
a) b) c)
Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do
trojuacutehelniacuteka
76 Točiveacute magnetickeacute pole
Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o
připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř
statoru točiveacute magnetickeacute pole
208
Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti
Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238
V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1
ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W
a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)
V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole
jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)
ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček
a) b) c)
209
d) e) f)
Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole
V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do
W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole
jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako
v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o
Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele
stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute
rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute
Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute
magnetickeacute pole
Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku
daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi
Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech
V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW
2
3)
3
4sin()
3
4sin( maxmaxmax IItIiw
Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy
2
3max w
kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute
Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239
Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole
210
maxmax
0
2
3
2
3
2
32)30cos(2 W
Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy
max2
3
Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute
o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a
velikosti max2
3
Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou
statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem
magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho
pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)
fns 60
Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru
Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory
Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho
magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241
V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)
V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)
v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy
pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček
211
a) b)
Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole
Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr
242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi
přiacutevodniacutemi faacutezemi
Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru
212
77 Kompenzace uacutečiniacuteku
Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny
v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy
Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute
elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat
neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a
vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech
bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute
proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem
Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute
charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem
připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute
Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou
hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je
penalizovaacuten
Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků
kondenzaacutetorů k siacuteti
Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu
Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky
spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou
nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem
přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na
využitiacute spotřebiče
Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru
Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech
rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke
zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při
individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute
jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody
213
Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena
v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti
spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace
Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku
kompenzačniacuteho vyacutekonu
Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry
měřiacute pouze činnou odebranou energii
214
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami
81 Elektrostatickeacute pole
Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)
elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19
C
Q = ke k je celeacute čiacuteslo
I elektrickyacute proud ampeacuter (A)
t
QI
E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )
Q
FE
U elektrickeacute napětiacute volt (V)
Q
AU ( CJV )
l
UE
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem
prostřediacute
permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m
-1)
0 r
0 permitivita vakua 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
r poměrnaacute permitivita r gt = 1
24 r
QE
intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule
s naacutebojem Q
D elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
ED r 0
C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)
U
QC
l
SC r 0
215
Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC 21
Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC
1
1
111
21
Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru
t
c eUu 10
kde
CR
Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
Pak kapacita osamoceneacute koule je
104 rC r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
82 Stejnosměrnyacute proud
J Proudovaacute hustota
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
R elektrickyacute odpor ohm ()
R
UI hellip Ohmův zaacutekon
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
rezistivita materiaacutelu
G vodivost siemens (S)
RG
1
216
Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR
teplotniacute součinitel odporu (1oK)
A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu
tIUUQA (J V A s)
P vyacutekon
2IRIIRIUP (W V A)
uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 P
P )( JJ
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel
01
n
k
kI
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku
01
n
k
kU
Spojovaacuteniacute rezistorů
Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21
Paralelniacute niVyacutesl RRRRR
1
1
111
21
Transfigurace
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute
iRIUU 0
Proud nakraacutetko
i
kR
UI 0
217
83 Magnetickeacute pole
magnetickyacute tok weber (Wb)
B magnetickaacute indukce tesla (T)
SB
lI
FB
lIBF sin lIBF (N T A m)
Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)
n
i
im IF1
Um magnetickeacute napětiacute (A)
n
i
mim UF1
H intenzita magnetickeacuteho pole
l
UH m (Am
-1 A m)
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r
I
l
UH m
2
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
HB r 0
0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) henry (H)
r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r
přibližně 1)
Hopkinsonův zaacutekon
mm U
l
SS
l
USHSB
Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)
mm Ul
SG
Rm magnetickyacute odpor (reluktance)
m
mG
R1
S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
218
Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
r
INH
2 kde
2
Dr
2
12 DDD
Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
l
IN
l
UH m
Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
r
IN
l
UH m
2
Indukčniacute zaacutekon
dt
du
pro ciacutevku o N zaacutevitech
dt
dNu
Pohyboveacute napětiacute
vlBu
L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)
dt
diMu 1
2
12
12
mR
NNM
22 LLM
22 LLM
kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Transformačniacute poměr
2
1
2
1
N
N
u
u
Spojovaacuteniacute ciacutevek
seacuterioveacute 21 LLL
seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
219
paralelniacute 21
111
LLL
paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
Přechodovyacute jev na indukčnosti
t
L eUu
0
kde
R
L
Energie magnetickeacuteho pole
mm UW 2
1 lSHBWm
2
1
Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
sin lIBF
Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu
SR
INF
m
2
22
02
1
84 Střiacutedaveacute proudy
f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)
60
nf
T doba jedneacute periody (s)
fT
1
uacutehlovaacute rychlost
f 2 (rads-1
)
Průběh harmonickeacuteho proudu
)sin(max tIi )sin(max tIi
Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
2
maxII
Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
max
2IImed
220
Odporovaacute zaacutetěž
)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR
Ui
Induktivniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
LX
UI max
max
XL induktivniacute reaktance ()
LX L
Kapacitniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
CX
UI max
max
XC kapacitniacute reaktance ()
CX C
1
Seacuteriovyacute RLC obvod
Z impedance obvodu ()
22)( RXXZ CL U
IR
U
U R cos
Paralelniacute RLC obvod
22)( RCL IIII I
IRcos
Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)
S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)
Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)
222 SQP
cosφ uacutečiniacutek
IU
P
cos
Rezonance
f0 rezonančniacute frekvence
CLf
2
10
221
Q činitel jakosti obvodu je R
LQ
0
84 Trojfaacutezovaacute soustava
Uf faacutezoveacute napětiacute
Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuw
US sdruženeacute napětiacute
fS UU 3
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
cos33 fff IUPP (W V A)
fff IUSS 33 (VA V A)
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
222
Použitaacute literatura
BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-
7333-043-1
Internetoveacute straacutenky (www)
BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt
httpwwwbrush-semczgt
Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-
cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt
Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt
3
Středniacute průmyslovaacute škola strojnickaacute a Středniacute odbornaacute škola prof Švejcara
Plzeň
ELEKTROTECHNIKA
Jitka Roubalovaacute
4
Anotace
Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti
studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem
Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při
řešeniacute praktickyacutech uacutekolů
Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu
magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy
Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou
řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem
kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb
způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo
Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek
Jednotliveacute čaacutesti
- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole
- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu
- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce
- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu
- Trojfaacutezovaacute soustava
5
Obsah
Anotace 3
Uacutevod 9
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10
12 Předpony jednotek 11
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12
21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12
3 Elektrostatickeacute pole 14
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18
35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21
361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22
37 Kondenzaacutetor 22
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28
310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31
3111 Dielektrika vedle sebe 31
3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37
4 Stejnosměrnyacute proud 38
41 Proudovaacute hustota 38
42 Intenzita proudoveacuteho pole 39
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39
431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47
6
46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83
5 Magnetickeacute pole 88
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89
53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92
534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111
58 Elektromagnetickaacute indukce 119
581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134
59 Energie magnetickeacuteho pole 135
7
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140
6 Střiacutedaveacute proudy 143
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152
651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160
661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162
663 Seacuteriovyacute LC obvod 164
664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168
668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183
68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187
7 Trojfaacutezovaacute soustava 190
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207
76 Točiveacute magnetickeacute pole 207
77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215
8
83 Magnetickeacute pole 217
84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221
Použitaacute literatura 222
9
Uacutevod
Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech
obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole
Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru
popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem
bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků
elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute
Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto
tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a
ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z
Maxwellovyacutech rovnic
Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a
jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti
aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute
aplikovaneacute elektrotechniky
10
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky
Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou
fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute
veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme
Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)
jednotka = sekunda
Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem
zaacutepisem
Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute
zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI
Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik
zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se
nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International
dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek
a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veličina
Metr m deacutelka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s čas
Ampeacuter A elektrickyacute proud
Kelvin K teplota
Mol mol laacutetkoveacute množstviacute
Kandela cd sviacutetivost
b) Doplňkoveacute jednotky
doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu
steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu
c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI
vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute
vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami
Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute
vlastniacute naacutezev
11
Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)
protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute
naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev
Coulomb [C]
Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než
jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje
vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a
nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)
Dovoleneacute
Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg
Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m
3
Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)
Nedovoleneacute
Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm
Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W
12 Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou
Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10
-6 F = 0000005 F
Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů
21 Elektronovaacute teorie
Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit
Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů
neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho
elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)
označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura
atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a
z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech
(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19
C
Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů
ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy
stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute
Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se
porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však
vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute
naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo
Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem
přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute
elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
22 Vodiče a izolanty
Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při
slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely
nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem
nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem
naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je
složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou
vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem
působeniacutem elektrickeacuteho pole
Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky
označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem
silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)
23 Zdroje elektrickeacute energie
Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu
energie
Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek
zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely
13
zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem
zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)
Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič
Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka
Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute
vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu
na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem
tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji
Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI
soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC
Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda
14
3 Elektrostatickeacute pole
Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky
nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole
Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem
kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek
Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem
elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute
polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute
naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů
Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se
navzaacutejem přitahujiacute
Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole
Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar
Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela
elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli
Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli
Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele
zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na
volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole
osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4
Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje
Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda
volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na
čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami
15
Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů
Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo
uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit
veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole
QEF ( 1 CNCN )
Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj
je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a
tohoto naacuteboje
Z toho
Q
FE ( CNCN 1 )
Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme
toto pole nehomogenniacute
Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto
polem homogenniacutem
Přiacuteklad 1
Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute
pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C
Řešeniacute
5110150010301050 363 QEF (N)
16
32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou
stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a
velikost
Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem
poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se
čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A
lFA ( mNJ )
Po dosazeniacute F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak
praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U
Q
AU ( CJV )
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje
o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1
)
Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity
pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)
Protože Q
FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a
Q
AU vypočiacutetat
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U
l
UE ( mVmV 1 )
Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute
(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely
17
Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel
Přiacuteklad 2
Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute
vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V
Řešeniacute
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
33 Coulombův zaacutekon
Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou
se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a
zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich
vzdaacutelenosti
Obr 8 - Coulombův zaacutekon
Platiacute tedy
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta maacute hodnotu
4
1konst
18
kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato
hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute
0 r
kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně
rovna 1
Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute
je
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
Přiacuteklad 3
Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost
1 mm
Řešeniacute
)(1032)101(
106021106021
1085484
1
4
1 22
23
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem
většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal
Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje
Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute
ekvipotenciaacutely
Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity
v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy
19
Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q
FE a platiacute Coulombův zaacutekon
2
21
04
1
r
QQF
r
1QQ a CQ 12
Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute
Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však
bude v každeacutem bodu do středu koule
Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem
součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji
Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole
35 Elektrickaacute indukce
Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem
stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest
tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se
elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute
Obr 11 - Elektrickaacute indukce
20
Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do
země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem
Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute
pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle
obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na
destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj
Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
Přiacuteklad 4
Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el
naacutebojem 310-12
C
Řešeniacute
)(105974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D
Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše
neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity
elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash
čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce
Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r
ED r 0
36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů
361 Polarizace dielektrika
Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče
vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem
elektrickyacute proud
U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se
vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se
nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)
Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky
nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu
čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely
9 a) 9 b)
Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)
Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole
polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu
vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute
pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než
původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)
9 a) 9 b)
Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)
22
362 Elektrickaacute pevnost dielektrika
Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a
nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita
elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu
je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu
- proud začne izolantem proteacutekat
Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů
se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů
Materiaacutel r Ep (kVmm)
vzduch 10006 2 až 3
mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30
parafiacuten 19 až 22 20 až 30
kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58
kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10
polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60
sliacuteda 6 až 7 40 až 80
sklo 35 až 4 20 až 50
porcelaacuten 55 až 65 20 až 45
37 Kondenzaacutetor
Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute
elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je
dielektrikum
Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje
opačnyacutech polarit
Obr 15 - Kondenzaacutetor
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute
napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute
naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute
Platiacute tedy
UkonstQ
23
Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F) U
QC a tedy rozměr jednotky farad je (
V
C
U
QF )
Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF
Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je
Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru
Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika
Viacuteme že platiacute
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich
vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r
Přiacuteklad 5
Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm
a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V
Řešeniacute
UCQ
l
SC r 0 kde 322 1041020102 S (m
2)
)(4171)(014171
)(1014171601088541010
1044108854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)
24
381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
1a) 1b)
Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U
Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je
321 QQQQ
Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazeniacute
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute
CUQ
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit
jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
25
1a) 1b)
Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute
jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy
všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
QQQQ 321
Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
321 UUUU
Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute
C
QU
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
321
1111
CCCC
Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute
součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 6
Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do
seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute
26
Řešeniacute
CCCCCCvyacutesl
411111 250
4
1
4
CCvyacutesl F
Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute
kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn
Přiacuteklad 7
Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a
kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=
200 nF
Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Řešeniacute
Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem
C45
5454
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
5454
CC
CCC (nF) = 01F
Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20
Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat
vyacuteslednou kapacitu C
82102150154321 CCCCC F
Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj
66 10267241082 UCQ C
27
Přiacuteklad 8
Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme
libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby
byl splněn danyacute požadavek
Řešeniacute
Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že
spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita
takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že
potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21
Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 9
Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme
kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na
propojenyacutech kondenzaacutetorech
Řešeniacute
Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je
62421 CCC (F)
Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute
hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od
okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi
piacutesmeny
V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U
nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje
určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt
0
V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute
děj na kondenzaacutetoru
Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC
Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)
neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute
t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute
maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute
se zpomaluje
Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud
přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Průběh proudu a napětiacute je na obr 23
29
Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru
Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je
daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute
konstanty
t
c eUu 10
kde
CR
310 Energie elektrostatickeacuteho pole
Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U
C
QU
Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA
Platiacute Q
AU A = U Q tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech
diacutelčiacutech praciacute dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je
C
QWC
2
2
Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC nebo takeacute UQWC
2
1
Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho
kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se
na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou
energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24
30
Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich
vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie
nahromaděnaacute v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww C
C
2
1
2
12
1
2
2
Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole
platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole
Přiacuteklad 10
Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na
kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru
Řešeniacute
Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu
12-12-
3
412-
1
01 10177082108854101
10201108854
l
SC r F
Naacuteboj na kondenzaacutetoru
-12-12
11 10212496101770812 CUQ C
Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek
12-12-
3
412-
2
02 10118053313331088541051
10201108854
l
SC r F
Napětiacute po posunutiacute desek
18101180533
1021249612-
-12
C
QU V
31
Přiacuteklad 11
Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na
napětiacute 230 V
Řešeniacute
1322500101322505290010522301052
1
2
1 66262 UCWC J
311 Složenaacute dielektrika
Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou
3111 Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 25
Obr 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole
l
UEEE 21
Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to
ED r 011 a ED r 022
Naacuteboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude
21 QQQ
Dosadiacuteme za Q1 a Q2
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o
kapacitaacutech 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojeneacute paralelně
Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou
dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute
3112 Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum
Obr 26 - Dielektrika za sebou
Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou
materiaacutelech je stejnaacute
S
QDDD 21
Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druheacute
20
2
r
DE
Celkoveacute napětiacute mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 2
20
222 lD
lEUr
Pak po dosazeniacute
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protože platiacute l
SC r 10 je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protože C
QU1 pak
převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot
kapacit diacutelčiacutech dielektrik
21
111
CCC
Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory
Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech
diacutelčiacutech dielektrik
Lze tedy psaacutet 2
1
21 EE
r
r
a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute
intenzita tohoto dielektrika Ep gt E
Přiacuteklad 12
Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem
tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech
dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute
Materiaacutel r Ep (kVmm)
1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40
2 sliacuteda 7 60
34
Řešeniacute
Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je
92307692141
2400
304207
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
Vmm
161538592307694
72
1
21 EE
r
r
Vm
Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost
vyhovuje
312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem
Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva
středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
24 r
QDE
Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3122 Osamocenaacute koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrickaacute indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazeniacute za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi
maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute
pevnosti izolantu
36
3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
lr
QDE
2
Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Přiacuteklad 13
Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je
kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)
37
Řešeniacute
12-12--12
1
2
0 101038136105log32
166894
50
52log32
131088542
log32
2
r
r
lC r F
C = 1038 pF
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi
V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody
odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho
zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země
Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj
dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj
kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba
oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu
uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost
natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu
izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije
Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute
naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo
vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje
elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter
vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute
nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech
měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů
Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů
Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje
uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a
uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič
Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute
omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje
zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem
Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje
Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech
mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute
elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry
Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute
objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena
k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute
38
4 Stejnosměrnyacute proud
Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne
vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I
Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho
naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad
akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)
Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U
Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu
elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute
ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb
Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute
elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče
41 Proudovaacute hustota
Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se
nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru
Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute
Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem
bude průřez vodiče většiacute
V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute
proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se
na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu
Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
39
42 Intenzita proudoveacuteho pole
Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno
l
UE )( 1 mAmV
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon
Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem
většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je
přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute
Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty
obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme
že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor
Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče
Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu
zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute
Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute
Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem
jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute
měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme
napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru
Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1
)
Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA
-1)
Pak lze psaacutet
R
UI
Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I
Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon
Rezistory
Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute
odpor R
Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru
Přiacuteklad 14
Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A
Řešeniacute
46050
230
I
UR ()
431 Velikost elektrickeacuteho odporu
Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho
je vodič vyroben
Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu
vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute
i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče
Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu
vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute
Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely
Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
kde l je deacutelka vodiče
S je průřez vodiče
je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je
to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2
při teplotě 20oC
41
Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Rezistivita některyacutech materiaacutelů
Materiaacutel mm2m
-1
Měď 00178
Hliniacutek 00285
Střiacutebro 00163
Ocel 013
Konstantan 05
Chromnikl 11
Cekas 11
Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory
Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely
pro vyacuterobu vodičů
Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu
rezistorů
Přiacuteklad 15
Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m
Řešeniacute
S
lR () kde 0785)50( 22 rS mm
2
430785
15000178
S
lR ()
Přiacuteklad 16
Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3
Řešeniacute
S
lR () z toho plyne
SRl
143)1( 22 rS mm2
52901780
1433
SRl (m)
432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě
S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute
elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky
s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste
42
Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při
zahřaacutetiacute vodiče o 1o
C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se
nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -
(1oK)
Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek
odporu R = R2 - R1 miacutet velikost
1RR
Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely
Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu
(K-1
)
Měď 00042
Hliniacutek 0004
Střiacutebro 0004
Ocel 0006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2510-4
Cekas 710-5
Přiacuteklad 17
Měděnyacute vodič o teplotě 20o
C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A
Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C
Řešeniacute
Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1
2120
241
I
UR ()
Přiacuterůstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor při teplotě 60o C
)(40161)40004201(21)1(12 RR
43
Přiacuteklad 18
Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o
C do +40o C
Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě
Řešeniacute
Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co
Odpor při -25o
C R1
Odpor při -25o
C 1112 2731)65004201()1( RRRR
Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu
Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče
je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q
UQA (J V C)
Protože proud je t
QI lze dosadit
tIUUQA (J V A s)
Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty
elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem
a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute
Protože platiacute Ohmův zaacutekon R
UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A
V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute
praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute
v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)
Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo
Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P
IUt
tIU
t
AP
(W V A)
Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1
)
Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Přiacuteklad 19
Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut
Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(6450
230A
R
UI
Vyacutekon )(105864230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s
Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně
použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)
Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute
energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy
ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi
vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ
Platiacute
ZWWW 12
Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost
1
2
W
W a je to vždy čiacuteslo 1
Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 W
W )( JJ
Protože přiacutekon je t
WP 1
1 a vyacutekon je t
WP 2
2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W )( WW
45
Přiacuteklad 20
Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po
dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě
v konvici
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(831120
220A
R
UI
Přiacutekon )(34038312201 WIUP
Vyacutekon )(323100
803403 12 WPP
45 Kirchhoffovy zaacutekony
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem
nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit
pomociacute Ohmova zaacutekona
Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost
odporu zaacutetěže R pak proud I
I
UR
Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je
na obr 34
Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
46
Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly
Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu
Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu
Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy
zaacutekony
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje
Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve
vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i
elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud
Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect
54321 IIIII
Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute
lze psaacutet
01
n
k
kI
Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule
Přiacuteklad 21
Obr 36 - Proudy v uzlu
Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li
proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A
Řešeniacute
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen
uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute
To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule
01
n
k
kU
Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute
+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem
orientace smyčky
- hellip orientace napětiacute je proti směru
orientace smyčky
Tedy U1 + U2 ndash U = 0
Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech
odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce
Přiacuteklad 22
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =
6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38
Obr 38 - Napětiacute ve smyčce
Řešeniacute
Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
040I A
800402011 IRU V 210403022 IRU V
48
46 Spojovaacuteniacute rezistorů
Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 39
Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
021 UUU
Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vyacuteraz I
Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie
aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je
rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie
21 RRRV
Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz
niV RRRRR 21
Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů
jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie
49
462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 41
Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
21 III
Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle
Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute
21
111
RRRV
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme
vyacuteraz
niV RRRRR
1
1
111
21
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
50
Přiacuteklad 23
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =
12 V Obvod je zapojen podle obr 43
Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
0240500
12
Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je
42024010011 IRU V 69024040022 IRU V
Přiacuteklad 24
Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44
Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech
odporů
14577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
8531457
220
Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V
Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR
UI 22
100
220
1
1
AR
UI 550
400
220
2
2 AR
UI 11
200
220
3
3
Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit
321 IIII
AI 853 AIII 8531155022321
což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů
Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně
řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu
odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme
celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů
určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a
napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu
Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 25
Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy
ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45
Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25
52
Řešeniacute
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor
2132
111
RRR
tedy odpor 32
3232
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema
Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor
R123 = R1 + R23
Naacutehradniacute obvod pak je
Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů
Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321
1R
UI
Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na
jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu
Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11
53
Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy
Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem
Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1
Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III
Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute
Přiacuteklad 26
Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49
Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26
Řešeniacute
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit
R345= R3 + R45
Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema
Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute
Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je
daacutena vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod
Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napětiacute U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napětiacute UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypočteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3
333 IRU
Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletně vyřešen
Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve
smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů
56
Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů
Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona
0321 III
Pro uzel B musiacute platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona
021 UUU
Pro smyčku y platiacute
0243 UUU
Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků
472 Transfigurace
V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou
zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit
postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech
přiacutekladech
Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute
57
Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)
a) b)
Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy
Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka
rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute
jako působeniacute trojuacutehelniacuteka
Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56
Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu
Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech
přiacutekladech
Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi
stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute
201012 RRRCelk
Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute
2010
233112
233112 )(RR
RRR
RRR
Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )(RR
RRR
RRR
3010
233112
231231 )(RR
RRR
RRR
Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro
adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro
adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Přiacuteklad 27
Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li
napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30
R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57
Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27
Řešeniacute
Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a
daacutele zjednodušujeme podle obr 58
59
1 2
3 4 5
Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu
Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je
16706
1
36
6
celkR
UI A
60
Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je
0667015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napětiacute rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu
Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do
elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii
Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute
U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho
svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0
481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute
Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute
poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se
vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek
nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem
napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno
= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy
nulovyacute)
Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult
U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se
zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje
Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute
61
Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj
Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je
iRIUU 0
Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika
zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost
Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je
malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem
odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute
vnitřniacute odpor Ri
Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik
Obr 62 - Proud nakraacutetko
62
U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně
zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů
měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute
Přiacuteklad 28
Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru
proudu 02 A je 58 V
Řešeniacute
Proud nakraacutetko bude
i
kR
UI 0
Svorkoveacute napětiacute U je
iRIUU 0
iR 20685
Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri
120
856
iR
Proud nakraacutetko tedy je
61
60 i
kR
UI A
482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute
podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje
Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute
vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech
zdrojů
Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU
Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR
Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU
Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem
napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho
hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by
hrozilo poškozeniacute zdroje
a) b)
Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně
Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů
Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je
jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se
všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat
z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů
Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute
napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly
vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit
02010 UUU a 21 iii RRR
Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute
21 zZz III
Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute
1zz InI nUUUU 002010 n
RR i
i1
Přiacuteklad 29
Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15
V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A
Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A
Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje
64
Řešeniacute
Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud
01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64
Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů
Celkovyacute vnitřniacute odpor bude
32
23
2
3 1
iiacute
RR
Proud nakraacutetko bude
513
5133 01
i
kR
UI A
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi
Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory
využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny
rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty
491 Dělič napětiacute
Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute
65
a) b)
Obr 65 - Dělič napětiacute
Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
21 RR
UI
tedy U
RR
RR
RR
URIU
21
22
21
22
Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2
platit
z
z
RR
RRR
UI
2
21
a po dosazeniacute
URRRRRR
RR
RR
RR
RR
RRR
U
RR
RRIU
zz
z
z
z
z
zz
z
2121
2
2
2
2
21
2
22
Přiacuteklad 30
Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66
Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič
napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o
odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V
Řešeniacute
Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem
R1 + R2 = 1000
tedy R1 = 1000 ndash R2
66
a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
241000
2
21
22
RU
RR
RU
b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute
24500500)1000()1000(
500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
c)
2415001500)1000()1000(
1500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho
napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič
Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory
492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru
k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek
Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem
67
Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute
bbAA RIRI a tedy A
b
b
A
R
R
I
I
Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to
v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku
Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute
tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku
A
b
Am
A
R
R
II
I
A
b
AA
A
R
R
IIn
I
)1(
n
RR A
b
Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash
viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor
Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem
Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory
předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na
předřadneacutem odporu a na voltmetru
pVm UUU p
V
p
V
R
R
U
U
Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy
Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu
)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p
V
V
V
R
R
nU
U
)1(
Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp
Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet
Přiacuteklad 31
Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo
možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA
68
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 2010
200n kraacutet
Odpor bočniacuteku bude 581)120(
30
)1(
n
RR A
b
Přiacuteklad 32
Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak
aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 5120
600n kraacutet
Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp
493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu
V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute
měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute
zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu
Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou
Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA
naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je
omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV
Velikost odporu RX je
iV
VA
V
VA
V
x
xx
R
UI
U
II
U
I
UR
Přiacuteklad 33
69
Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud
ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70
Řešeniacute 95201680
16
003200200
16
5000
16020
16
iV
VA
Vx
R
UI
UR
494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně
širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem
)1(12 RR
kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty
Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute
teploty
Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty
odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2
)1(12 RR 11
2
R
R
11
2
R
R
1
12
R
RR
Měřenaacute teplota je tedy
1
12112
R
RR
Přiacuteklad 34
Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu
je-li
hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o
velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je
20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71
Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty
Řešeniacute
Odpor při 20o C je R1 = 200
Odpor při o C je R2
70
27020
5400
20
1045
1020
1020306 3
3
3
2
A
AA
I
IRUR
Měřenaacute teplota je tedy
510780
7020
104200
20027020
3
1
1212
R
RR o C
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech
Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly
v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly
lineaacuterniacute obvody
V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale
vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute
Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku
Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na
nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a
odpor je tedy vyššiacute
Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a
pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika
nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
a) b)
Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech
obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute
zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku
Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme
pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je
daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute
charakteristikou zdroje
71
Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu
Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen
nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici
a) b) c)
Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu
c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA
charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem
prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto
hodnoty odečteme z grafu
Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu
Přiacuteklad 35
Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je
napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute
podle obr 76 a)
a) b)
72
Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku
Řešeniacute
Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute
že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash
je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho
a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme
Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou
proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek
křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem
z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP
VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body
U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A
Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35
Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je
Ip = 27 mA
Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom
dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho
proudu s VA charakteristikou rezistoru R1
Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož
vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku
hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN
Přiacuteklad 36
Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka
paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi
hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka
U (V) 1 2 3 4 5 6
73
I (A) 01 0165 022 025 028 03
Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32
Řešeniacute
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky
rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute
charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute
charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky
Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1
Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020
60 iR
UIk A
Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36
Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a
proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je
rovno 188 V
74
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji
Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech
zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute
zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na
uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet
tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute
Ohmova zaacutekona
Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech
rezistorů
Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že
jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet
všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než
byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu
Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute
že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou
orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti
směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80
Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3
Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech
Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci
zvolenyacutech smyček x a y
Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)
321 III (1)
75
Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
01221 UUUU RR (2)
Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
0232 UUU RR (3)
Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho
platiacute
111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)
Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod
Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)
0122211 UURIRI (2a)
023322 URIRI (3a)
Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)
0)( 232122 URIIRI (3b)
Upraviacuteme (3b)
02323122 URIRIRI
0)( 231322 URIRRI
32
3122
RR
RIUI
(3c)
a dosadiacuteme do rovnice (2a)
0122
32
31211
UUR
RR
RIURI (2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1
0122
32
312
32
211
UUR
RR
RIR
RR
URI
23321
323211
233121
3121322222
32
231
122
32
2
1
122
32
2
32
23111
)(
)(
RRRRR
RURRUI
RRRRRR
RURURURURU
RR
RRR
UURRR
U
I
UURRR
U
RR
RRIRI
Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2
76
I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3
Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a
(6)
Tiacutem je obvod kompletně vyřešen
Přiacuteklad 37
V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
100
Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37
Řešeniacute
Pro uzel A platiacute
321 III
Pro smyčku x platiacute
01122 RR UUUU
Pro smyčku y platiacute
0232 RR UUU
Dosadiacuteme do rovnic
02001010020 12 II 32010 12 II
010010020 23 II 21010 23 II
Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3
20
103 21
II
a
10
102 23
II
Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A
10
102
20
103 22
2 II
I
20
222 20420103 III
77
2507 I
14050
72 I A
Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3
08020
140103
20
103 21
II A
06010
140102
10
102 2
3
I
I A
Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče
v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
16200080111 RIUR V
14100140222 RIUR V
6100-006333 RIUR V
4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů
Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se
postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute
Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute
veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II
Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a
to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy
orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček
Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj
smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou
smyčkovyacutech proudů
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82
Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů
78
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib
Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona
Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba
Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme
011222 RIUURIRI aba
02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb
32
22
RR
RIUI a
b
01122
32
222
RIUUR
RR
RIURI a
aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute
Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia
01122
32
2
32
222
RIUUR
RR
RI
RR
RURI a
aa
21
32
2212
32
22 UU
RR
RURIR
RR
RIRI a
aa
312132
323121
3121223222
3222312122
1
32
222
21
32
22
RRRRRR
RURURU
RRRRRRRRRR
RURURURURU
RRR
RRR
UURR
RU
Ia
Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32
22
RR
RIUI a
b
a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se
smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
ab III 2
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute
Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
Přiacuteklad 38
79
Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
300 R4 = 200
a) b)
Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 83 b) kde R34 je
1205
600
200300
200300
43
4334
RR
RRR
Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky
a 0)( 1122 RIUURII aba
02001020100)( aba III
b 0)( 2234 RIIURI abb
0100)(20120 abb III
Upraviacuteme a dosadiacuteme
a 02001020100100 aba III 100
10300 a
b
II
b 0100)100
10300(20120
100
10300
a
aa III
Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme
0100103002012360 aaa III
02560 aI
0003571560
2aI A
Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali
Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib
80
0089286100
103000003571-
100
10300
a
b
II A
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je
shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu
smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
0092857)0035710(00892862 ab III A
Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou
10714291200089286343443 RIUU RR V
Proudy rezistory R3 a R4 jsou
0035714300
10714293 I A 0053571
200
10714294 I A
Napětiacute na rezistorech R1 a R2
07142862000003571111 RIUR V
928571000092857222 RIUR V
Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a
napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
020-10)(-0714286-92857
020-107142992857
0089286)(-00035710092857
Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku
Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute
pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by
bylo matematicky obtiacutežneacute
4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute
Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž
je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu
označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute
Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz
jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash
neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a
z nich pak proudy ve větviacutech obvodu
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84
81
Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R
je UA
Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute
321 III
Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a
dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice
32
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
21312321 )()( RRURRUURRUU AAA
21313123221 RRURRURRURRURRU AAA
31322131221 RRURRURRURRURRU AAA
313221
312321
RRRRRR
RRURRUU A
Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
1
11
R
UUI A
2
22
R
UUI A
3
3R
UI A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Přiacuteklad 39
Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30
R4 = 90
82
a) b)
Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 85 b) kde R34 je
12090304334 RRR
Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A
321 III
342
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
120100
20
200
10 AAA UUU
AAA UUU 10)20(12)10(6
AAA UUU 1012240660
107142928
300AU V
Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
-000357200
107142910
200
101
AU
I A
Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru
než byl původniacute předpoklad
928571400100
107142920
100
202
AU
I A
0089286120
1071429
1203 AU
I A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech
83
-071429200-000357111 RIUR V
9285714100928571400222 RIUR V
2678571300089286333 RIUR V
V 8035714900089286434 RIUR
4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice
Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl
připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze
tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86
Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj
jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho
obvodu
a) b)
Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice
84
Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky
je na obr 87 a)
32
3223
RR
RRR
R123 = R1 + R23
123
1
1R
UI
11
1 IRUR
11
RAB UUU
2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na
obr 87 b)
31
3113
RR
RRR
R123 = R2 + R13
123
2
1R
UI
11
1 IRUR
12
RAB UUU
1
1R
UI AB a
3
3
R
UI AB
Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje
Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute
1
11 III
2
22 III
3
33 III
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR
Přiacuteklad 40
Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
110 R4 = 130 R5= 240
1
85
Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34
2401301104334 RRR
Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345
120240240
240240
345
345345
RR
RRR
Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)
a) b) c)
Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)
5454545120100
120100
3452
34522345
RR
RRR
R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545
0039286 25454545
10
12345
1
1 R
UI A
78571430039286200
11
1 IRUR V
2142857785714310
11
RAB UUU V
86
214285700100
2142857
2
2 R
UI AB A
0017857120
2142857
345
345 R
UI AB A
Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)
75120200
120200
3451
34511345
RR
RRR
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175
0114286 175
20
12345
2
2 R
UI A
1142860114286100
22
2 IRUR V
857142942861120
12
RAB UUU V
0042857200
8571429
1
1 R
UI AB A
0071429120
8571429
345
345 R
UI AB A
Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou
-0003570042857-0039286
1
11 III A
00928572142857000114286
2
22 III A
0089286
345
345345 III A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
-071429200-000357111 RIUR V
928571009285700222 RIUR V
107143212000892863453345 RIUU RAB V
10714325 ABR UU V
0044643240
1071432
5
55
R
UI A
1
1
87
0044643240
1071432
34
43 R
UII AB A
4910731100044643333 RIUR V
5803591300044643334 RIUR V
88
5 Magnetickeacute pole
Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute
magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud
Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda
Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute
předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute
magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute
zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje
vždy k severu
Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety
Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute
elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje
Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute
silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole
Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute
magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka
Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute
směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute
čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje
orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech
čaraacutech
Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar
Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -
označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)
a) b)
Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute
Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute
89
Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu
a) b) c)
Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely
c) podkovoviteacuteho magnetu
Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute
působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem
Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme
silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a
jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
521 Magnetickeacute pole vodiče
V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech
kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute
takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute
čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute
V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve
středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93
Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči
90
Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem
Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen
na obr 94
Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo
pravotočiveacuteho šroubu
Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute
vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole
Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu
Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve
směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar
91
53 Veličiny magnetickeacuteho pole
531 Magnetickyacute tok
Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem
Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem
poli Popisuje tedy pole jako celek
Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)
532 Magnetickaacute indukce
Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho
toku na jednotku plochy
SB
Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem
magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě
Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce
Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I
tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1
Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To
se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash
viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute
nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do
zeslabeneacuteho pole
a) b)
Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute
v magnetickeacutem poli
lIkonstF
Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a
označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)
lIBF (N T A m)
92
Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem
Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole
lI
FB
(T NA
-1m
-1)
Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole
Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem
jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity
magnetickeacuteho pole
Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel
pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude
sin lIBF viz obr 98
Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute
Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute
se podiacutelejiacute na jeho vzniku
Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)
Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je
magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo
93
Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute
magnetomotorickeacute napětiacute je tedy
Fm = I
Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho
magnetickeacuteho pole je
Fm = I1 - I2 + I3
Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute
danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute
n
i
im IF1
a) b)
Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)
Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet
všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro
tuto indukčniacute čaacuteru
n
i
mim UF1
Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute
Fm = Um1 + Um2 + Um3
534 Intenzita magnetickeacuteho pole
Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute
indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je
l
UH m (Am
-1 A m)
kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um
Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke
křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery
94
Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole
r
I
l
UH m
2
Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy
tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu
vodiče na rovině indukčniacute čaacutery
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi
intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute
Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem
magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem
bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce
indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole
vybudilo
Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B
Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu
souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah
přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB
Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme
v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a
nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute
HB
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) (H) je jednotka henry ndash jejiacute
rozměr vysvětliacuteme později
Pro ostatniacute materiaacutely platiacute
HB r 0
kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než
vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1
95
Přiacuteklad 41
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud
8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče
5127323954104
1012
8
2
3
3
r
IH (Am)
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
115749051011
40
10112
8
2
2
3
r
IH (Am)
Přiacuteklad 42
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr
101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A
Obr 101 - Svazek vodičů
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku
2815720321 IIIFm A
6366198200
102
1022
8
2
2
2
r
FH m (Am)
Přiacuteklad 43
Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr
102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A
Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli
96
Řešeniacute
Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je
81201560 lIBF N
Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat
do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo
Přiacuteklad 44
Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad
Řešeniacute
0180)15020(60 SB Wb
Přiacuteklad 45
Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T
I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch
Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů
Řešeniacute
HB r 0 0= 410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
r
FH m
2 a
n
i
im IF1
Z toho plyne
r
m
BrHrF
0
22
150102
21015
104
00202 43
7
rFm A
321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A
97
54 Hopkinsonův zaacutekon
Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem
indukčniacutem tokem
Viacuteme že S
B
z toho SB
Protože platiacute HB a l
UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem
mm U
l
SS
l
USHSB
Vyacuteraz mUl
S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je
henry (H)
mm Ul
SG (H)
Platiacute tedy
mm UG
Rozměr jednotky henry
m
mU
G
)()()(2
A
mT
A
WbH
Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm
m
mG
R1
tedy S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku
Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek
Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti
magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku
Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy
deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu
S
lRm
1 kde r 0
Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je
hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny
pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho
magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu
98
Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin
Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute
Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute
Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute
pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny
Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky
poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r
551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů
Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole
Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů
po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin
elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky
se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute
U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute
uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře
materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy
sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4
m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem
magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a
tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu
vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho
pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel
vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost
že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je
zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě
magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika
Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika
99
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace
Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce
strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho
přiacuterůstku magnetickeacute indukce
Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato
čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity
magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při
navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi
body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute
charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute
Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů
Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho
pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť
Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje
tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute
intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou
magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a
značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat
v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity
magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute
hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute
intenzita (koercitivita)
Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom
nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při
snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem
magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba
opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev
popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka
Obr 105 - Hysterezniacute smyčka
100
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety
Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar
hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho
materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na
vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu
Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute
Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute
intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u
takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely
použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj
magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu
wolframu a molybdenu
Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou
koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute
tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech
střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet
Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem
a) b)
Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute
101
Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu
stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel
zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute
odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute
snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne
k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute
s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)
a) b)
Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka
Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am
102
Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu
Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg
103
Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik
104
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute
Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud
kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery l
IH přiacutepadně
l
FH m kde
n
i
im IF1
tedy součet všech proudů ktereacute se
podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole
Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův
zaacutekon
Biot-Savartův zaacutekon
Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon
Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l
je
sin4 2
r
lIH
kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A
Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky
kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov
561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče
Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute
tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu
průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude
stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem
pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)
Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x
IH
2
kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče
Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy
hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r
IH r
2
Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b
IHb
2
105
a) b)
Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)
Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera
Proudovaacute hustota J ve vodiči je
2r
I
S
IJ
Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia
2
22
2 r
aIa
r
ISJI aa
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy
2
2
2
222 r
aI
a
r
aI
a
IH
Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od
středu vodiče je přiacutemkovyacute
Přiacuteklad 46
Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti
15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A
Řešeniacute
Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je
509316000
1052
160
2 3max
r
IH Am
Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je
1273104
40
10160
10)155(2
160
2
33
35
x
IH Am
106
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
a) b)
Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar
nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve
středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit
sin4 2
r
lIH
Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute
24 r
lIH
Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce
zaacutevitu
r
Ir
r
Il
r
I
r
lIH
rr
22
444 2
2
02
2
02
Tedy r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute
2
Dl a
212
DDD
kde D je středniacute průměr ciacutevky 2
12 DDD
Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
107
Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se
podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu
ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr
Přiacuteklad 47
Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A
aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am
Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr a
2
12 DDD
1052
110100
2
12
DD
D mm a 5522
105
2
Dr mm
Počet zaacutevitů v ciacutevce je
5522
10001055222 3
I
HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů
564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute
podmiacutenka lD
Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka
108
Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119
Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem
Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje
severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom
konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)
Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute
magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu
lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je
l
IN
l
UH m
Přiacuteklad 48
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky
kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute
permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
250010505001010
505002
l
INH Am
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde
025132708010800000250080104 -7-7
0 HB r T
a
109
662232 10176714610)2
15()10
2
15( rS m
2
46 10444132201017671460251327 SB Wb
565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o
kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech
kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute
Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole
Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude
intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r
kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute
než d
Magnetickeacute napětiacute Um je
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je
r
IN
l
UH m
2
Přiacuteklad 49
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400
zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro
vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole je
10185923200
10
320
2
10102
80400
22
2
D
INH Am
110
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme
z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1
Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu
662232 107853982105)102
10( rS m
2
46 101115265107853982421 SB Wb
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok
Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly
tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem
dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje
a) b)
Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami
111
Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem
menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto
větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute
větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze
daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je
mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku
kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok
Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že
součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech
toků z uzlu vystupujiacuteciacutech
01
n
k
k
Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute
magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute
n
k
mkm UF1
Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon
m
m
R
U
kde
S
lRm
1 (H
-1) r 0
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem
Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu
Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem
průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se
uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej
v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat
Přiacuteklad 50
Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku
z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4
Wb D = 80 mm
d = 20 mm
Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro
112
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je
SB
kde 662232 101431010)10
2
20( rS m
2
127314
400
10143
1046
4
SB T
Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro
materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute je
31415938025110801250 3 DHlHFm A
Budiacuteciacute proud bude
1570796200
3141593
N
FI m A
Přiacuteklad 51
Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute
permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu
Řešeniacute
Z Hopkinsonova zaacutekona m
m
R
U je
m
m
UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm
44
4107854
4
102314
104
2314
mm
FR H
-1
Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu
S
lRm
1
kde 00010161250
271
H
B (Hm
-1)
633
6
3
100787143
1080
1016
101
10143
1080
0001016
11
S
lRm H
-1
Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem
zaokrouhlovaacuteniacute
Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu
HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7
Hm-1
113
58081008085071250 4
10101270
1250 10 4
271 33
7-
0
H
Br
Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou
Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute
v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2
Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou
Magnetickaacute indukce je S
B
je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute
Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r
BH
0
Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita
feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než
intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu
00
BBH
r
gtgt rFe
Fe
BH
0
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
0
BHUm
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
lB
lHUr
FemFe 0
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
mFemm UUF
Po dosazeniacute
0
BUUF mFemm l
B
r
0
114
Přiacuteklad 52
Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se
vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve
vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet
hodnotu maximaacutelně 08 A
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
100954934
1012
104
21
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
1435395105110095493 36 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
A2997929)5180(21
)10511080(1200)(1200 33
DlHU FemFe
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
173518829979291435395 mFemm UUF A
Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka
2169216898508
1735188
I
FN m zaacutevitů
Přiacuteklad 53
Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500
zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je
vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg
115
Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
1201803009020060500221121 ININFFF mmm A
Intenzita magnetickeacuteho pole
375032
120
l
FH m Am
Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra
B = 12 T
Celkovyacute magnetickyacute tok je
34 10081103321)030030(21 SB Wb
Přiacuteklad 54
Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby
magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro
elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu
Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54
116
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
3182)9070(2 l mm
Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
10127324104
104
61
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
336 10254647910210127324 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
1113103183500 3 lHU FemFe A
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
36595525461113 mFemm UUF A
Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a
provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů
Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak
73195
36595
I
FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a
budiacuteciacute proud bude 4574375800
36595
N
FI m
b A
Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je
znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např
pro dvě čaacutesti obvodu
21 mm
m
RR
U
ndash Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a
proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena
magnetizačniacute křivkou
Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce
)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak
možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm
117
Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a
pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm
Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2
tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm
Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf
Obr 127 - Funkce )( mFf
Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute
naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute
napětiacute z grafu funkce )( mFf
Přiacuteklad 55
Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech
materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle
obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů
Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
118
Řešeniacute
Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu
75051500 INFm A
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je
18090452 plechyl mm
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je
14090252 litinal mm
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm1
Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute
pro oba materiaacutely
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0555556109
1054
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
200 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
3723363610140240010180200 33
1
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm2
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0777778109
1074
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
400 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
8147427210140530010180400 33
2
Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4
Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4
Wb sestrojiacuteme
v Excelu graf funkce )( mFf
119
Fm (A) 372 814
Wb 00005 00007
Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb
58 Elektromagnetickaacute indukce
581 Indukčniacute zaacutekon
Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute
pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy
Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat
elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud
Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem
Indukčniacute zaacutekon
Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje
elektrickeacute napětiacute u
dt
du
kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku
dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d
120
Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon
Pozn
Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu
veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit
Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i
Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud
Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem
ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)
Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem
ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie
Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute
opačnou polaritu u = -e
Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash
viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute
dt
dNu
(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)
Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce
121
Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok
zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li
tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute
Přiacuteklad 56
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky
homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T
a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute
napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)
Řešeniacute
Magnetickyacute tok je
SB
Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0
Po 05 s bude tok
44 106110208 SB Wb
Změna magnetickeacuteho toku bude
44
01 106101061 d Wb
Změna času bude
050dt s
Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to
4801048001032150050
1061150 44
4
dt
dNu V
V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute
je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute
indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute
Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133
Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56
122
582 Pohyboveacute napětiacute
Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute
Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na
jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič
vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto
smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho
toku se neměniacute
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz
obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute
Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute
Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt
du
Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy
zmenšiacute o hodnotu
ltvBlsBSB
Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude
vlBt
ltvB
dt
du
)(
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok
smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity
vlBt
ltvB
dt
du
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče
elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute
Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem
Lenzův zaacutekon
Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem
polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou
123
Obr 135 - Lenzův zaacutekon
Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute
pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr
proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo
Přiacuteklad 57
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o
magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do
magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor
rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0
o a c) 60
o
Řešeniacute
a) Při uacutehlu 90 o
bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to
180503021 vlBu V
b) Při uacutehlu 0
o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru
indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je
nulovaacute
u = 0
c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka
rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami
rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti
rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem
čaraacutem
250505060cos50 0 kolmaacutev ms
Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky
124
Indukovaneacute napětiacute pak bude
0902503021 kolmaacutevlBu V
583 Vlastniacute indukčnost
Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute
magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude
indukovat napětiacute
dt
dNu
Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky
Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m
m
R
U kde INUm a tedy po dosazeniacute
mR
IN
můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu
za čas dt
mR
diNd
V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute
dt
R
diN
u m
Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute
dt
di
R
N
dt
R
diN
Ndt
dNu
m
m
2
Vyacuteraz mR
N 2
byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet
125
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
mR
NL
2
Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je
di
dtuL
1
)(
)()()(
AsV
A
sVH
Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita
materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky
Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute
nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu
Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute
hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se
v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se
nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
Přiacuteklad 58
Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů
vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm
Řešeniacute
Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka
Indukčnost ciacutevky je
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm
a S = r2 = 52
=7853982 mm2
3
672
0
2
1020
10547810450
l
SNL r
126
66
372 1039320
105478101041025
H
Přiacuteklad 59
Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli
se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm
Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400
Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm
23
3
7
0 )1010(
1051
104
11
S
Rm
66437
102534
10100101051
4
10
H
-1
Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru
23
33
7
0 )1010(
10511080
400104
11
S
lR
r
Fem
6437
4
337
101564004
105781010
10
10511080
4004
10
H
-1
Indukčnost ciacutevky je
0549561532
51
10)561532(
1500 2
6
222
mFemm RR
N
R
NL
H
584 Vzaacutejemnaacute indukčnost
Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2
(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute
tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140
127
Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost
Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i
jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje
elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude
indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet
dt
dikonstu 1
2
Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou
vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona
Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem
napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1
111 INFm
Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost
magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou
12
1112
mR
IN
Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude
dt
diM
dt
di
R
NN
dt
di
R
NN
dt
dNu
mm
11
12
121
12
12
1222
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je
12
12
mR
NNM
Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř
všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem
sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1
128
Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami
Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je
mR
NL
2
11
mR
NL
2
22
Vzaacutejemnaacute indukčnost M je
mR
NNM 12
Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme
21
2
1
2
2
2
2
1
2
22122 )( LLRR
NN
R
NN
R
NNM
mmmm
a tedy
22 LLM
Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute
ciacutevce bude
dt
di
R
N
dt
diLu
m
2
111
a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude
dt
di
R
NN
dt
diMu
m
212
Poměr napětiacute 2
1
u
uje
2
1
21
2
1
2
1
N
N
dt
di
R
NN
dt
di
R
N
u
u
m
m
Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
129
Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale
dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě
o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek
Pak
22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Přiacuteklad 60
Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů
primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr
142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je
800
Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Magnetickyacute odpor RmFe
64273
23
3
7
0
100353678984
10101010320
)1030(
10320
800104
11
S
lR
r
Fem
H-1
Indukčnost prvniacute ciacutevky
28274330353678
1
100353678
10006
22
11
mFeR
NL H
Indukčnost druheacute ciacutevky
636000353678
1051
100353678
150 22
6
22
22
mFeR
NL H
Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek
0381704636002839022 LLM H
130
Přiacuteklad 61
Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho
přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s
Řešeniacute
Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce
770002
01-06282743311
dt
diLu V
Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce
549002
01-0638202
dt
diMu V
Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute
ciacutevce bylo u2ideaacutel
1060288020
50
0353678
150
002
01-06
100353678
15010006
1
12
122
dt
di
R
NNu
m
ideaacutel V
Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667
Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667
Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute
2
1
2
1
N
N
u
u hellip transformačniacute poměr
585 Spojovaacuteniacute ciacutevek
Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je
Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně
Ciacutevky spojeneacute seacuteriově
Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143
to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat
stejneacute napětiacute
Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
131
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu kde dt
diLu 11 a
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )( 2121 LLdt
di
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL
Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute
vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k
kLL1
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute
indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet
Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M
je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash
viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet
132
Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti
soběldquo
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Ciacutevky spojeneacute paralelně
Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr
146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech
indukovat stejneacute napětiacute
Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi
kde dt
diLu 1
11 a dt
diLu 2
22
a tedy dt
diLu 1
1 a dt
diLu 2
2
z toho 1
1
L
u
dt
di a
2
2
L
u
dt
di
133
Po dosazeniacute 21 dididi
21 L
u
L
udi
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu z toho
L
u
dt
di
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21
111
LLL
Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute
vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute
jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k kLL 1
11
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz
obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute
MLMLL
21
111
Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash
viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet
MLMLL
21
111
Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
134
Přiacuteklad 62
Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost
seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute
indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH
Řešeniacute
Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je
MLLL 221
Z toho
202
)40100(180
2
)( 21
LLL
M mH
585 Přechodovyacute jev na indukčnosti
Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce
dt
diLuiL
Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji
stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute
odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor
bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku
poškodil)
V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na
indukčnosti
Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon
V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud
jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0
pak vyacuteraz dt
diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem
Pro t0 platiacute
t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0
135
V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu
největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute
to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = konst di = 0 0dt
di
0dt
diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0
R
U
R
ui R 0
V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud
v obvodu je omezen jen odporem rezistoru
Průběh proudu a napětiacute je na obr 150
Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i
napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na
ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty
t
L eUu
0
kde
R
L
Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti
59 Energie magnetickeacuteho pole
Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově
působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud
Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute
průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute
udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem
mm UW 2
1 (J Wb A)
Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie
nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu
136
HBlS
U
V
U
V
Ww mmm
m
2
1
22
Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke
konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je
lSHBVHBVwW mm 2
1
2
1
Přiacuteklad 63
Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky
Řešeniacute
Energie magnetickeacuteho pole je
mm UW 2
1
kde INUm a mR
IN
Po dosazeniacute
mm
mmR
ININ
R
INUW
22
2
1
2
1
2
1
Protože LR
N
m
2
dostaneme vyacuteraz 2
2
1ILWm
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy
Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech
materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole
Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech
vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve
vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti
přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti
plneacuteho průřezu
137
Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech
Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute
energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou
energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů
Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute
jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety
způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce
Pv f 2 B2
Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute
z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm
transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute
budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute
množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute
vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru
V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu
Hysterezniacute ztraacutety
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky
138
Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute
ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci
Ph f B2
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově
proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi
proudy
PFe = Ph + Pv
V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole
silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce
vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli
lIBF
Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute
vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka
magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute
sin lIBF viz obr 153
Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho
magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho
Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole
působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem
proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela
139
Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Velikost siacutely F
lIBF 21
kde 101 HB r 0=410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
kde r
IH
21
1
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
7-212
17-
21 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
(N A A m m)
Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič
Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute
vodič
7-211
27-
12 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute
a vodiče se tedy odpuzujiacute
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je
zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute
140
Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute
Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi
rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7
N na 1 m deacutelky
vodičů
Přiacuteklad 64
Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm
rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho
proudu v nich je 40 A
Řešeniacute
Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je
3-7-
2
7-21 101920010105
304040210
I2
r
lIF N
5121 Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta
ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157
Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute
feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou
Obr 157 - Elektromagnet
141
Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na
pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru
Přitažlivaacute siacutela magnetu
Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce
B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti
magnetickeacute indukce B
Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu
V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou
posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie
magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie
magnetickeacuteho pole
dlSB
dlSB
BdlSHBWm 0
2
0 2
1
2
1
2
1
a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F
dlFA
Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2
02
1
Platiacute že S
B
a mR
IN
kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet
hodnota RmFe zanedbaacutevaacute
Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
142
Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem
přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze
magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute
Přiacuteklad 65
Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm
plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je
66
47
3
47
3
0
1053051656
10100
103102
10
109104
10322
S
lR v
m H-1
Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
9)5305165(42
1010104109
109)105305165(
2300
1042
12
41274
426
22
7
F
65852814303
500
28143032
100010
9281430342
49 3
F N
143
6 Střiacutedaveacute proudy
Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud
se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute
střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T
Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute
čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny
označeniacute přiacuteslušneacute veličiny
Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute
proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je
praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy
harmonickeacute Babyčka
Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu
Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute
jednotkou je hertz značka Hz
Doba jedneacute periody je
fT
1 (s Hz)
Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute
průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz
až MHz
Přiacuteklad 66
Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě
Řešeniacute
02050
11
fT s
144
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii
Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu
Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy
Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel
tft
f
tT
21
22
Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za
jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se
f 2 (rads-1
)
Platiacute tedy
)sin(max tIi
Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel
nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute
Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu
145
Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh
sinusoidy
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje
Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu
Přiacuteklad 67
Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou
hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz
a proud je faacutezově zpožděn o 30o
Řešeniacute
Doba periody je
02050
11
fT s
Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2
Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute
zpožděniacute 30o
30o je 6 radiaacutenů 0001667
12
1020
2
61
Tt s
Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je
)6
00152sin(25)tsin( 0015)( max
fIi
-216207)6
0015314sin(25)6
0015502sin(25 0015)(
i mA
146
62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne
průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163
Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět
Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace
Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory
znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich
působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute
Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe
v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je
vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval
U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy
bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)
bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů
bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)
bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)
631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v
stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute
harmonickyacute proud (napětiacute)
Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině
proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je
tIRUtIW 2
147
2IRUIt
WP
Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval
dt je
dtiRdW 2
dttIRdtiRdW )(sin22
max
2
Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu
bdquoRplocha pod křivkou i2
ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164
rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i
2 po
dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho
proudu daneacuteho průběhu Platiacute
2
2
max2 II
2
maxII což je 7070max II
Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i
silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu
632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost
stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud
Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za
jednotku času
t
QI tIQ
Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165
148
Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod
přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody
a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute
pro stejnosměrnyacute proud QT
Imed 2
a
pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q
Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho
počtu dospět k vyacuterazu
max
2IImed
což je max6370 IImed
Přiacuteklad 68
Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce
Řešeniacute
Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě
230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy
V 32523022max UU
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem
čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho
velikost je
vlBU
kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje
l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole
v je rychlost pohybu vodiče
149
Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se
vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B
magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166
Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute
Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je
velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute
Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute
Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr
168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v
každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli
Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem
pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich
150
obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za
minutu)
Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto
okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a
velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0
a) b) c)
Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli
Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu
v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v
a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to
vlBui
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem
směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato
napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je
max22 UrlBvlBui
Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute
s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu
kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute
indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute
v zaacutevitu v obecneacute poloze je
sinsin22 max UvlBvlBu xi
151
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute
Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden
zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-
kraacutet většiacute
)sin(max tUNui
Přiacuteklad 69
Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm
b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce
B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s
Řešeniacute
Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh
)sin(2 tvlBui
Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je
560
300
60
nf Hz
Uacutehlovaacute rychlost je
431522 f s-1
Rychlost otaacutečeniacute v
rv kde 2
2
1022
104
2
a
r m
6280102431 2 rv ms
Tedy
tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22
Doba jedneacute periody T je
205
11
fT s
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)
152
a) b)
Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69
V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil
praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)
65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže
Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je odpor R
Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež
charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L
Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C
651 Odporovaacute zaacutetěž
Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě
odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a
proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute
vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie
Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
153
Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je
)sin()sin()sin(
max
maxmax tItR
U
R
tUi
Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve
faacutezi
Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R
UI max
max
Pro efektivniacute hodnoty platiacute R
UI
Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži
Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je
2iRiup
Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je
2IRIUP
Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon
jednotkou je watt (W)
652 Induktivniacute zaacutetěž
O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu
připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)
Pak platiacute
dt
diLui
a) b)
Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute
maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu
Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud
neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute
154
Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute
maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj
v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di
lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute
čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax
Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem
indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o
Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah
)sin(max tUu
pak průběh proudu je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak
indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna
proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute
rychlost viz obr 173
Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt
Platiacute
LXILIU maxmaxmax
kde XL je tzv indukčniacute reaktance
LX L ()
Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem
proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze
ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento
odpor minimaacutelniacute)
Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu
LX
UI max
max a LX
UI
Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo
uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL
155
Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute
do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je
okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute
V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět
zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute
směr
V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie
ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho
efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud
kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute
vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud
653 Kapacitniacute zaacutetěž
O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen
kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)
Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět
156
vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita
elektrickeacuteho pole
a) b)
Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute
pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na
deskaacutech kondenzaacutetoru o dq
dtidq
Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du
C
dti
C
dqdu
Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i
dt
duCi
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute
maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud
napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je
du = 0 a tedy i proud je nulovyacute
Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud
maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t
= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a
proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t
= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax
Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute
proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)
Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute
jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt
Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute
uacutehlovaacute rychlost
157
CUI maxmax
Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde
CX C
1
Pak lze psaacutet
CX
UI max
max a pro efektivniacute hodnoty CX
UI
Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177
CfCX C
2
11
Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute
k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud
neproteacutekaacute
Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu
napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem
kondenzaacutetoru
158
V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se
dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute
do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor
nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje
v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije
nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech
V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze
k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do
zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute
se Q a jeho efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a
nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor
Přiacuteklad 70
Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F
pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz
Řešeniacute
V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf
X C
2
1
Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70
159
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity
indukuje se v niacute napětiacute u1
dt
diLu 1
11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU
V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje
napětiacute u2
dt
diMu 1
2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12
kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou
Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů
Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2
zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2
dt
diLu 2
22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU
V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce
indukovalo napětiacute u1
dt
diMu 2
1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21
Transformačniacute poměr
Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR
NL
2
11 a
mR
NL
2
22
Z toho vyplyacutevaacute že 12
12
mR
NNM
Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1
mR
NILIU
2
11111
a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2
12
12112
mR
NNIMIU
160
Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je
2
1
12
121
2
11
2
1
N
N
R
NNI
R
NI
U
U
m
m
Poměr 2
1
2
1
N
N
U
U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu
zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu
elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit
přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute
přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se
napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute
400230 V
66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech
obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě
indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R
Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů
střiacutedaveacuteho proudu
Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho
proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute
respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu
661 Seacuteriovyacute RC obvod
Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože
je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a
tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu
161
Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je
IRUR
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC
Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z
22 RXZ C ()
Pak
ZIU
Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je
22 RX
U
Z
UI
C
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
181 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 71
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost
faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
C
kde velikost kapacitniacute reaktance je
1592
1000
10501022
1
2
1163
CfC
XC
Proud
0470256
12
200159
12
2222
RX
UI
C
A = 47 mA
162
Napětiacute na rezistoru UR
3990470200 IRUR V
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC
4770470159 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
078247912
399cos
U
U R = 0672159 rad = 385o
Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71
662 Seacuteriovyacute RL obvod
Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je
tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL
163
Impedance obvodu je
22 RXZ L ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22 RX
U
Z
UI
L
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
183 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 72
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho
posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
L
kde velikost induktivniacute reaktance je
1257405022 LfLX L
Proud
154807125
230
2222
RX
UI
L
A
Napětiacute na rezistoru UR
12454180 IRUR V
Napětiacute na ciacutevce UL
1945417125 IXU LL V
Faacutezovyacute uacutehel je
0537029230
124cos
U
U R = 1003885 rad = 57 5o
164
Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72
663 Seacuteriovyacute LC obvod
Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I
Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute
)( CLCLCL XXIIXIXUUU
Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter
Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter
165
664 Seacuteriovyacute RLC obvod
Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy
proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL
Impedance obvodu je
22)( RXXZ CL ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
186 je cos
U
IR
U
U R cos
166
Přiacuteklad 73
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute
diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V
frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
kde velikost induktivniacute reaktance je
4512805022 LfLX L
avelikost kapacitniacute reaktance je
7957747250
1040502
1
2
116
CfC
XC
Proud
109746209
230
120)6794251(
230
)( 2222
RXX
UI
CL
A
Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou
713109741120 IRUR V
2759097414251 IXU LL V
87309741679 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
0572579230
7131cos
U
UR = 0961148 rad = 55 1o
Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73
167
665 Paralelniacute RC obvod
Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RC III
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
188 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
CC
RC
Z
UI
22
11
1
RX
Z
C
22
111
RXZ C
168
666 Paralelniacute RL obvod
Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RL III
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
189 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
LL
RL
Z
UI
22
11
1
RX
Z
L
22
111
RXZ L
169
668 Paralelniacute LC obvod
Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute
CL
CLX
U
X
UIII
Impedance LC obvodu je
CLXXX
U
X
U
U
I
UZ
CLCL
1
1
11
1
Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy
CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0
Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se
opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a
ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li
CL
1
což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence
170
CL
1 Cf
Lf
0
0
22
1
CLf
2
10
669 Paralelniacute RLC obvod
Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCXC
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22)( RCL IIII
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
191 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
171
2222
22 111)(
RXXU
R
U
X
U
X
UIIII
CLCL
RCL
Z
UI
22
111
1
RXX
Z
CL
22
1111
RXXZ CL
Přiacuteklad 74
Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož
odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete
faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =
230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute
Řešeniacute
Velikost proudu rezistorem je
0766667300
230
R
UIR A
Velikost proudu ciacutevkou je
091514180502
230
2
Lf
U
X
UI
L
L A
Velikost proudu kondenzaacutetorem je
072256610321010502230
2
16
Cf
U
X
UI
C
C
Celkovyacute proud je
07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem
096987279050
7670cos
I
IR = 141o
Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR
I = IR =0767 A
A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0
562697782
1000
1010802
1
2
1
60
CLf Hz
172
Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74
Přiacuteklad 75
Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10
kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)
Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce
Řešeniacute
Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem
odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti
rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)
Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
314101005022 3 LfLX L
Proud ciacutevkou
0732113
3141592
230
98696
230
10314
230
2222
RX
UI
L
A
Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je
7321073211310 IRU R V
173
Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je
229880732113314 IXU LL V
Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je
003183230
7321cos
U
UR
1538961 rad 8817594 o
Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute
Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti
na čase
)502sin(2302)sin(max ttUu
přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms
=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)
)5391502sin(7322)sin(max ttIi
přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA
=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)
Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75
Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute
36573203217 IUP R W
Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute
3168073222988 IUQ L VAr
Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute
41680732230 IUS VA
174
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody
Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute
posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory
v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy
s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 76
Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute
indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F
Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz
Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76
Řešeniacute
Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech
Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR
je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute
součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o
předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
62810100100022 3 LfLX L
Proud IRL je
0020325
118084
24
1394384
24
1000628
24
2222
RX
UI
L
RL A
Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je
3252000203251000 IRU R V
12763790020325628 IXU LL V
175
Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je
084687524
32520cos RL
U
U R = 3212661o
Proud kondenzaacutetorem IC je
C
CX
UI
kde 1591549102
10
101010002
1
2
112
6
6
CfCX C
0015081591549
24CI A
Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi
s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka
IRLj
a) b)
Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)
Činnaacute složka IRLč
001721384687500020325cos RLRLRLč II A
Jalovaacute indukčniacute složka IRLj
0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A
Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC
tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy
2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A
09999630172130
0172130cos
I
I RLč = 05o
Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve
větvi RL
176
Přiacuteklad 77
Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o
indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby
byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem
Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77
Řešeniacute
Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka
proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC
Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL
- viz obr 198 a)
a) b) c)
Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77
Proud ve větvi s ciacutevkou
0315547
5188
24
100304002
24
2222
RX
UI
L
RL A
Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou
155473031554710 RLR IRU V
237916603155470304002 RLLL IXU V
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou
o82445d1438937ra
013147824
155473cos
RL
RRL
U
U
177
Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru
na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)
004148701314780315547cos RLRLč II A
031280709913190315547sin RLRLj II A
Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je
tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně
kompenzovaacuten pak platiacute
CRLj II a tedy IC = 0312807 A
Proud kondenzaacutetorem je
0312807C
CX
UI A
a tedy kapacitniacute reaktance je
7672451 0312807
24
C
CI
UX
Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet
CfXC
2
1
CXfC
2
1
666
1051859221072451764002
101
72451764002
1
C F
Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o
kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL
což je 0041487 A
Přiacuteklad 78
Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr
199 Řešte obecně
Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78
Řešeniacute
Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu
178
Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se
zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90
o předbiacutehaacute Vyneseme
tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR
je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U
CL
L
ABL
c
ABC
R
ABR
III
X
UI
X
UI
IRU
UUU
222
Po dosazeniacute
2
2
2222222
AB
c
AB
L
AB
ABCLABABR
UX
U
X
UR
UIIRUIRUUU
2
2
22
2
2 111
cL
ABAB
c
AB
L
AB
XXRUU
X
U
X
URU
2
2
22
2
22 11cL
LcAB
cL
LcAB
XX
XXRU
XX
XXRUU
2
2
1cL
Lc
AB
XX
XXR
UU
Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute
na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU
66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute
zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do
magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute
kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje
Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute
IUP
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon
iup
179
Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute
posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute
nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a
z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a
jejiacute jednotkou je voltampeacuter
IUS (VA V A)
Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute
přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži
Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute
nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je
s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem
pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a
induktivniacute zaacutetěži je cos = 0
Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o
90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute
energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je
voltampeacuter reaktančniacute
sin IUIUQ j (Var V A)
Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem
cos IUP sin IUQ IUS 2
2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS
22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP
Platiacute tedy že
222 SQP
což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200
Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu
180
Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A
měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute
napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a
hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku
Přiacuteklad 79
Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete
zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos
Řešeniacute
1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou
prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se
v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen
jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)
Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI
Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud
předřazenyacutem odporem
a) b)
Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti
2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)
Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute
induktivniacute reaktanciacute XL
Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute
hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL
(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute
indukčnost ciacutevky L
181
I
UZ
22 RZX L f
XL L
2
Z
R
IZ
IR
U
UR
cos
IUS cos IUP sin IUQ
67 Rezonance
Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti
indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute
tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute
Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin
rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme
rezonančniacute frekvence a značiacute se f0
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz
obr 202
Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram
Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro
rezonanci XL = XC
Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je
22)( RXXZ CL
Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji
jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0
Z0 = R
Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to
R
UI 0
182
Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost
ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC
LfCf
0
0
22
1
2
022
1f
CL
CLf
2
10
Rezonančniacute křivka
Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)
2222 )2
12()( R
CfLfRXXZ CL
Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)
Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel
je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0
Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute
R
CfLf
arctg
2
12
Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je
22)2
12( R
CfLf
U
Z
UI
Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute
kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute
odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu
Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R
Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL
183
a napětiacute na kondenzaacutetoru IC
IXU CC
1
Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy
0000 ILUU CL kde R
UI 0
Po dosazeniacute je
UR
L
R
ULILUU CL
0
00000
Vyacuteraz R
L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti
Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti
Pak UQXU CL 00
To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka
napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při
naacutehodneacutem dotyku
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod
Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz
obr 205
Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram
184
K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna
velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute
složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R
reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0
Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat
kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter
Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude
převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter
Proud ciacutevkou je
22222 RLf
U
RX
UI
L
RL
Jalovaacute složka proudu IRL je
RLRLRLj II sin kde 222
2sin
RLf
Lf
Z
X
ZI
XI
U
U
RL
L
RLRL
LRLLRL
Po dosazeniacute
222222 2
2
2
2
2 RLf
ULf
RLf
Lf
RLf
UIRLj
Činnaacute složka proudu IRLč je
222222222
cosRLfI
RI
RLf
U
U
U
RLf
UII
RL
RLRRLRLRLč
222222 222 RLf
RU
RLfI
RI
RLf
UI
RL
RLRLč
Proud kondenzaacutetorem je
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
2
2
1
Pro rezonanci
CRLj II
UCf
RLf
ULf
022
0
0 22
2
C
RLf
L
22
02
0)2( 222
0 LRCCLf
2
0
1
2
1
L
R
CLf
185
Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
22
2
2)(
RLf
RCf
RLf
LfU
RLf
RUCf
RLf
ULfIIII RLčCRLj
Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy
22
0
02 RLf
RUII RLč
Impedance při rezonanci je
R
RLf
I
UZ
22
0
0
0
2
Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu
je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0
Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna
odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou
Rezonančniacute křivky
Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu
matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute
2
22
2
222
22
2
RLf
RCf
RLf
LfUI
a
I
UZ
Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu
Činitel jakosti obvodu
Činitel jakosti obvodu je Q
R
LQ
0
186
Platiacute
000 IQII RLC
Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud
odebiacuteranyacute ze zdroje
Přiacuteklad 80
Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny
a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci
proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro
paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem
Řešeniacute
Ad a) Rezonančniacute frekvence
Hz
CLf
33
64630
102055602
10100
10210302
1
1021032
1
2
1
Rezonančniacute impedance
Z0 = R =10
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
A4210
240
R
UI
Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci
V 929516421031005522
f2
33
000000
ILILUU LC
Činitel jakosti
387324
95920 U
UQ C
Ad b) Rezonančniacute frekvence
Hz 1985111111111666666672
1
3
10
23
10
2
1
103
10
102103
1
2
11
2
1
249
2
363
2
0
L
R
CLf
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
187
A 016
1500
1024
10398512
1024
1010319852
1024
2
22
22322
0
0
RLf
RUII RLč
Rezonančniacute impedance
150160
24
0
0I
UZ
Proud kondenzaacutetorem při rezonanci
A 059866524102198522
2
16
0
0
0
0
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
Činitel jakosti
3741657160
598700 I
IQ C
Pozn
Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute
se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod
CLf
2
10
Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně
přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)
68 Kompenzace uacutečiniacuteku
Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla
nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute
složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li
faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je
daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy
v elektrickyacutech strojiacutech
188
a) b)
Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci
Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute
energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute
jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute
činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů
Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což
vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy
většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a
tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet
dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena
roste
Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud
kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho
původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute
složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute
zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho
vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku
Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav
paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095
Přiacuteklad 81
Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07
Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na
hodnotu 095
Řešeniacute
Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
Činnyacute vyacutekon je
189
cos IUIUPČ
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
186335470230
300
cos
U
PI A
Činnaacute složka proudu je
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
133070113043481863354 2222 čj III A
Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
coskomp = 095
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
1372998950230
300
cos
komp
kompU
PI
A
Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A
Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute
Cjjkomp III
Proud kondenzaacutetorem tedy bude
090198304287181330701 jkompjc III A
Pro proud kondenzaacutetorem platiacute
Cf
U
X
UI
c
C
2
1
Kapacita kondenzaacutetoru je tedy
6-5- 10124831012483230502
0901983
2
Uf
IC C F = 12483 F
190
7 Trojfaacutezovaacute soustava
Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute
jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina
průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod
elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak
napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena
využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute
trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute
velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci
elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute
magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
sinsin22 max UvlBvlBu xi
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
191
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute
Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově
pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute
harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem
posunem jednotlivyacutech napětiacute
Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou
pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o
se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se
označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211
Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
192
Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuW
Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech
hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule
0 WVU uuu
Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute
Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute
f
o
f UUx2
1)60cos( ff UUy
2
12
Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU
Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0
UU + UV + UW = 0
72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu
Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute
stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou
Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze
statoroveacuteho vinutiacute
Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem
otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)
Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute
obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou
draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je
posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi
193
průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute
U1 V1 W1 konce U2 V2 W2
Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti
Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu
statoru
Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute
Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem
obvodem a statorovyacutem vinutiacutem
Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod
rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na
vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky
stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n
(otmin)
Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru
Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru
Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute
jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute
vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje
elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem
v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto
uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na
elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu
přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů
přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute
Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech
elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou
195
označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla
3000 otmin
Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech
jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute
s předchoziacutem provedeniacutem
Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute
Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem
Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů
Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je
v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech
vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a
označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy
Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi
nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se
označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)
a) b)
Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy
a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem
Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute
faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf
196
fWVU UUUU
Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US
SWUVWUV UUUU
Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho
napětiacute
2
330cos
2 f
o
fS UU
U
fS UU 3
Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi
libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti
Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke
spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a
ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P
Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je
IRU
kde R je odpor vedeniacute
I je přenaacutešenyacute proud
Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je
2IRIIRIUP
Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině
přenaacutešeneacuteho proudu
197
Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou
energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem
vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety
Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se
napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně
niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se
energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory
Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek
Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty
dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou
proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje
v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky
Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru
Z uvedeneacuteho je patrneacute že
2
1
2
1
N
N
U
U (= transformačniacute poměr) a tedy
1
212
N
NUU
Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute
napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se
transformuje na nižšiacute napětiacute
Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že
vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu
P1 = P2 = P
Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak
1
212
N
NUU gt U1
Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute
2
2U
PI a
1
1U
PI
pak I2 lt I1
proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute
198
Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je
2
11
1
21
11
2
112
N
NI
N
NU
UI
U
UII
rarr
2
1
1
2
N
N
I
I
Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie
se sniacutežiacute
Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV
Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV
Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute
vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro
daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie
Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute
zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V
G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor
Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy
74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti
Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři
faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute
sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič
jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute
vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE
Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič
Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před
dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je
takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale
vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem
krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet
zdraviacute ohrožujiacuteciacute
199
Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C
Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S
Ochrana nulovaacuteniacutem
Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute
čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute
Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem
jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute
faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute
pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu
200
Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např
faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se
na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm
aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem
bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li
se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute
proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)
a) b)
Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem
Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při
poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute
je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud
IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho
působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se
danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine
74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti
Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi
Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy
Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy
připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu
a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
201
f
f
fZ
UI
Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel
danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče
Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy
Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven
nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute
žaacutednyacute proud
IN = 0
Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může
vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute
vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem
různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute
trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky
světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit
přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud
možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech
202
obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN
kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou
U
UU
Z
UI
V
VV
Z
UI
W
WW
Z
UI
Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute
fWVU UUUU
a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o
Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže
v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W
Pozor
Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde
přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a
spotřebičem
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka
Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230
Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka
203
Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou
stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o
UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3
Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou
UV
SUV
Z
UI
VW
SVW
Z
UI
WU
SWU
Z
UI
a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže
Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona
IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
S
f
S
SS
Z
U
Z
UI
3
Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech
napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče
Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech
Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute
Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute
o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232
2
330cos
2 WU
o
WU
fII
I
WUf II 3
204
Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je
různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz
obr 233
Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute
Přiacuteklad 82
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute
činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na
obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute
ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy
205
Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82
Řešeniacute
Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235
Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234
Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je
400 SWVUWVU UUUU V
Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost
Z
UIIII S
WVUWVU
kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L
76173
400
Z
UI S 230207 A
206
Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost
398730323020733 IIIII fWUV A
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech
Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
cos fff IUP (W V A)
Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
fff IUS (VA V A)
Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
sin fff IUQ (VAr V A)
Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute
Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon
cos33 fff IUPP (W V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon
fff IUSS 33 (VA V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
Přiacuteklad 83
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu
R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a
celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do
trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute
Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude
287580
230
R
UI
f
f A
Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy
661252875230 fff IUP W
207
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
1983752875230333 fff IUPP W
Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute
US Proud každyacutem z rezistorů bude
580
40033
3
f
ffSS I
R
U
R
U
R
UI A
Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy
00025400333 fffSSS PIUIUP W
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
6000200033 SPP W
Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy
751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek
Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na
svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co
nejjednoduššiacute
Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je
znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute
chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do
trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy
a) b) c)
Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do
trojuacutehelniacuteka
76 Točiveacute magnetickeacute pole
Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o
připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř
statoru točiveacute magnetickeacute pole
208
Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti
Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238
V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1
ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W
a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)
V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole
jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)
ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček
a) b) c)
209
d) e) f)
Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole
V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do
W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole
jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako
v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o
Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele
stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute
rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute
Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute
magnetickeacute pole
Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku
daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi
Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech
V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW
2
3)
3
4sin()
3
4sin( maxmaxmax IItIiw
Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy
2
3max w
kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute
Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239
Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole
210
maxmax
0
2
3
2
3
2
32)30cos(2 W
Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy
max2
3
Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute
o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a
velikosti max2
3
Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou
statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem
magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho
pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)
fns 60
Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru
Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory
Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho
magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241
V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)
V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)
v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy
pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček
211
a) b)
Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole
Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr
242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi
přiacutevodniacutemi faacutezemi
Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru
212
77 Kompenzace uacutečiniacuteku
Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny
v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy
Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute
elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat
neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a
vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech
bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute
proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem
Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute
charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem
připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute
Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou
hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je
penalizovaacuten
Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků
kondenzaacutetorů k siacuteti
Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu
Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky
spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou
nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem
přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na
využitiacute spotřebiče
Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru
Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech
rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke
zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při
individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute
jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody
213
Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena
v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti
spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace
Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku
kompenzačniacuteho vyacutekonu
Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry
měřiacute pouze činnou odebranou energii
214
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami
81 Elektrostatickeacute pole
Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)
elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19
C
Q = ke k je celeacute čiacuteslo
I elektrickyacute proud ampeacuter (A)
t
QI
E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )
Q
FE
U elektrickeacute napětiacute volt (V)
Q
AU ( CJV )
l
UE
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem
prostřediacute
permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m
-1)
0 r
0 permitivita vakua 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
r poměrnaacute permitivita r gt = 1
24 r
QE
intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule
s naacutebojem Q
D elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
ED r 0
C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)
U
QC
l
SC r 0
215
Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC 21
Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC
1
1
111
21
Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru
t
c eUu 10
kde
CR
Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
Pak kapacita osamoceneacute koule je
104 rC r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
82 Stejnosměrnyacute proud
J Proudovaacute hustota
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
R elektrickyacute odpor ohm ()
R
UI hellip Ohmův zaacutekon
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
rezistivita materiaacutelu
G vodivost siemens (S)
RG
1
216
Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR
teplotniacute součinitel odporu (1oK)
A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu
tIUUQA (J V A s)
P vyacutekon
2IRIIRIUP (W V A)
uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 P
P )( JJ
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel
01
n
k
kI
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku
01
n
k
kU
Spojovaacuteniacute rezistorů
Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21
Paralelniacute niVyacutesl RRRRR
1
1
111
21
Transfigurace
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute
iRIUU 0
Proud nakraacutetko
i
kR
UI 0
217
83 Magnetickeacute pole
magnetickyacute tok weber (Wb)
B magnetickaacute indukce tesla (T)
SB
lI
FB
lIBF sin lIBF (N T A m)
Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)
n
i
im IF1
Um magnetickeacute napětiacute (A)
n
i
mim UF1
H intenzita magnetickeacuteho pole
l
UH m (Am
-1 A m)
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r
I
l
UH m
2
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
HB r 0
0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) henry (H)
r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r
přibližně 1)
Hopkinsonův zaacutekon
mm U
l
SS
l
USHSB
Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)
mm Ul
SG
Rm magnetickyacute odpor (reluktance)
m
mG
R1
S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
218
Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
r
INH
2 kde
2
Dr
2
12 DDD
Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
l
IN
l
UH m
Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
r
IN
l
UH m
2
Indukčniacute zaacutekon
dt
du
pro ciacutevku o N zaacutevitech
dt
dNu
Pohyboveacute napětiacute
vlBu
L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)
dt
diMu 1
2
12
12
mR
NNM
22 LLM
22 LLM
kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Transformačniacute poměr
2
1
2
1
N
N
u
u
Spojovaacuteniacute ciacutevek
seacuterioveacute 21 LLL
seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
219
paralelniacute 21
111
LLL
paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
Přechodovyacute jev na indukčnosti
t
L eUu
0
kde
R
L
Energie magnetickeacuteho pole
mm UW 2
1 lSHBWm
2
1
Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
sin lIBF
Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu
SR
INF
m
2
22
02
1
84 Střiacutedaveacute proudy
f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)
60
nf
T doba jedneacute periody (s)
fT
1
uacutehlovaacute rychlost
f 2 (rads-1
)
Průběh harmonickeacuteho proudu
)sin(max tIi )sin(max tIi
Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
2
maxII
Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
max
2IImed
220
Odporovaacute zaacutetěž
)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR
Ui
Induktivniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
LX
UI max
max
XL induktivniacute reaktance ()
LX L
Kapacitniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
CX
UI max
max
XC kapacitniacute reaktance ()
CX C
1
Seacuteriovyacute RLC obvod
Z impedance obvodu ()
22)( RXXZ CL U
IR
U
U R cos
Paralelniacute RLC obvod
22)( RCL IIII I
IRcos
Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)
S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)
Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)
222 SQP
cosφ uacutečiniacutek
IU
P
cos
Rezonance
f0 rezonančniacute frekvence
CLf
2
10
221
Q činitel jakosti obvodu je R
LQ
0
84 Trojfaacutezovaacute soustava
Uf faacutezoveacute napětiacute
Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuw
US sdruženeacute napětiacute
fS UU 3
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
cos33 fff IUPP (W V A)
fff IUSS 33 (VA V A)
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
222
Použitaacute literatura
BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-
7333-043-1
Internetoveacute straacutenky (www)
BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt
httpwwwbrush-semczgt
Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-
cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt
Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt
4
Anotace
Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti
studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem
Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při
řešeniacute praktickyacutech uacutekolů
Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu
magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy
Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou
řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem
kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb
způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo
Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek
Jednotliveacute čaacutesti
- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole
- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu
- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce
- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu
- Trojfaacutezovaacute soustava
5
Obsah
Anotace 3
Uacutevod 9
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10
12 Předpony jednotek 11
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12
21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12
3 Elektrostatickeacute pole 14
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18
35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21
361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22
37 Kondenzaacutetor 22
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28
310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31
3111 Dielektrika vedle sebe 31
3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37
4 Stejnosměrnyacute proud 38
41 Proudovaacute hustota 38
42 Intenzita proudoveacuteho pole 39
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39
431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47
6
46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83
5 Magnetickeacute pole 88
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89
53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92
534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111
58 Elektromagnetickaacute indukce 119
581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134
59 Energie magnetickeacuteho pole 135
7
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140
6 Střiacutedaveacute proudy 143
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152
651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160
661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162
663 Seacuteriovyacute LC obvod 164
664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168
668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183
68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187
7 Trojfaacutezovaacute soustava 190
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207
76 Točiveacute magnetickeacute pole 207
77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215
8
83 Magnetickeacute pole 217
84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221
Použitaacute literatura 222
9
Uacutevod
Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech
obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole
Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru
popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem
bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků
elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute
Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto
tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a
ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z
Maxwellovyacutech rovnic
Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a
jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti
aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute
aplikovaneacute elektrotechniky
10
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky
Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou
fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute
veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme
Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)
jednotka = sekunda
Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem
zaacutepisem
Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute
zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI
Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik
zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se
nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International
dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek
a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veličina
Metr m deacutelka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s čas
Ampeacuter A elektrickyacute proud
Kelvin K teplota
Mol mol laacutetkoveacute množstviacute
Kandela cd sviacutetivost
b) Doplňkoveacute jednotky
doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu
steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu
c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI
vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute
vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami
Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute
vlastniacute naacutezev
11
Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)
protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute
naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev
Coulomb [C]
Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než
jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje
vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a
nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)
Dovoleneacute
Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg
Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m
3
Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)
Nedovoleneacute
Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm
Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W
12 Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou
Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10
-6 F = 0000005 F
Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů
21 Elektronovaacute teorie
Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit
Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů
neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho
elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)
označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura
atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a
z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech
(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19
C
Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů
ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy
stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute
Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se
porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však
vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute
naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo
Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem
přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute
elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
22 Vodiče a izolanty
Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při
slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely
nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem
nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem
naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je
složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou
vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem
působeniacutem elektrickeacuteho pole
Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky
označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem
silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)
23 Zdroje elektrickeacute energie
Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu
energie
Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek
zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely
13
zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem
zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)
Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič
Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka
Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute
vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu
na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem
tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji
Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI
soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC
Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda
14
3 Elektrostatickeacute pole
Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky
nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole
Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem
kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek
Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem
elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute
polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute
naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů
Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se
navzaacutejem přitahujiacute
Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole
Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar
Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela
elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli
Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli
Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele
zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na
volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole
osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4
Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje
Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda
volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na
čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami
15
Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů
Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo
uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit
veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole
QEF ( 1 CNCN )
Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj
je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a
tohoto naacuteboje
Z toho
Q
FE ( CNCN 1 )
Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme
toto pole nehomogenniacute
Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto
polem homogenniacutem
Přiacuteklad 1
Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute
pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C
Řešeniacute
5110150010301050 363 QEF (N)
16
32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou
stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a
velikost
Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem
poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se
čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A
lFA ( mNJ )
Po dosazeniacute F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak
praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U
Q
AU ( CJV )
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje
o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1
)
Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity
pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)
Protože Q
FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a
Q
AU vypočiacutetat
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U
l
UE ( mVmV 1 )
Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute
(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely
17
Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel
Přiacuteklad 2
Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute
vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V
Řešeniacute
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
33 Coulombův zaacutekon
Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou
se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a
zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich
vzdaacutelenosti
Obr 8 - Coulombův zaacutekon
Platiacute tedy
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta maacute hodnotu
4
1konst
18
kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato
hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute
0 r
kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně
rovna 1
Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute
je
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
Přiacuteklad 3
Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost
1 mm
Řešeniacute
)(1032)101(
106021106021
1085484
1
4
1 22
23
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem
většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal
Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje
Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute
ekvipotenciaacutely
Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity
v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy
19
Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q
FE a platiacute Coulombův zaacutekon
2
21
04
1
r
QQF
r
1QQ a CQ 12
Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute
Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však
bude v každeacutem bodu do středu koule
Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem
součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji
Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole
35 Elektrickaacute indukce
Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem
stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest
tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se
elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute
Obr 11 - Elektrickaacute indukce
20
Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do
země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem
Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute
pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle
obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na
destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj
Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
Přiacuteklad 4
Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el
naacutebojem 310-12
C
Řešeniacute
)(105974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D
Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše
neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity
elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash
čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce
Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r
ED r 0
36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů
361 Polarizace dielektrika
Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče
vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem
elektrickyacute proud
U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se
vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se
nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)
Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky
nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu
čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely
9 a) 9 b)
Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)
Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole
polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu
vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute
pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než
původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)
9 a) 9 b)
Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)
22
362 Elektrickaacute pevnost dielektrika
Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a
nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita
elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu
je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu
- proud začne izolantem proteacutekat
Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů
se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů
Materiaacutel r Ep (kVmm)
vzduch 10006 2 až 3
mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30
parafiacuten 19 až 22 20 až 30
kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58
kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10
polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60
sliacuteda 6 až 7 40 až 80
sklo 35 až 4 20 až 50
porcelaacuten 55 až 65 20 až 45
37 Kondenzaacutetor
Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute
elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je
dielektrikum
Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje
opačnyacutech polarit
Obr 15 - Kondenzaacutetor
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute
napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute
naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute
Platiacute tedy
UkonstQ
23
Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F) U
QC a tedy rozměr jednotky farad je (
V
C
U
QF )
Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF
Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je
Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru
Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika
Viacuteme že platiacute
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich
vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r
Přiacuteklad 5
Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm
a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V
Řešeniacute
UCQ
l
SC r 0 kde 322 1041020102 S (m
2)
)(4171)(014171
)(1014171601088541010
1044108854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)
24
381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
1a) 1b)
Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U
Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je
321 QQQQ
Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazeniacute
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute
CUQ
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit
jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
25
1a) 1b)
Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute
jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy
všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
QQQQ 321
Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
321 UUUU
Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute
C
QU
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
321
1111
CCCC
Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute
součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 6
Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do
seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute
26
Řešeniacute
CCCCCCvyacutesl
411111 250
4
1
4
CCvyacutesl F
Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute
kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn
Přiacuteklad 7
Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a
kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=
200 nF
Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Řešeniacute
Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem
C45
5454
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
5454
CC
CCC (nF) = 01F
Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20
Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat
vyacuteslednou kapacitu C
82102150154321 CCCCC F
Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj
66 10267241082 UCQ C
27
Přiacuteklad 8
Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme
libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby
byl splněn danyacute požadavek
Řešeniacute
Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že
spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita
takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že
potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21
Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 9
Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme
kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na
propojenyacutech kondenzaacutetorech
Řešeniacute
Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je
62421 CCC (F)
Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute
hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od
okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi
piacutesmeny
V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U
nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje
určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt
0
V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute
děj na kondenzaacutetoru
Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC
Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)
neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute
t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute
maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute
se zpomaluje
Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud
přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Průběh proudu a napětiacute je na obr 23
29
Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru
Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je
daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute
konstanty
t
c eUu 10
kde
CR
310 Energie elektrostatickeacuteho pole
Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U
C
QU
Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA
Platiacute Q
AU A = U Q tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech
diacutelčiacutech praciacute dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je
C
QWC
2
2
Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC nebo takeacute UQWC
2
1
Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho
kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se
na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou
energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24
30
Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich
vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie
nahromaděnaacute v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww C
C
2
1
2
12
1
2
2
Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole
platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole
Přiacuteklad 10
Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na
kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru
Řešeniacute
Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu
12-12-
3
412-
1
01 10177082108854101
10201108854
l
SC r F
Naacuteboj na kondenzaacutetoru
-12-12
11 10212496101770812 CUQ C
Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek
12-12-
3
412-
2
02 10118053313331088541051
10201108854
l
SC r F
Napětiacute po posunutiacute desek
18101180533
1021249612-
-12
C
QU V
31
Přiacuteklad 11
Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na
napětiacute 230 V
Řešeniacute
1322500101322505290010522301052
1
2
1 66262 UCWC J
311 Složenaacute dielektrika
Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou
3111 Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 25
Obr 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole
l
UEEE 21
Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to
ED r 011 a ED r 022
Naacuteboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude
21 QQQ
Dosadiacuteme za Q1 a Q2
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o
kapacitaacutech 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojeneacute paralelně
Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou
dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute
3112 Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum
Obr 26 - Dielektrika za sebou
Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou
materiaacutelech je stejnaacute
S
QDDD 21
Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druheacute
20
2
r
DE
Celkoveacute napětiacute mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 2
20
222 lD
lEUr
Pak po dosazeniacute
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protože platiacute l
SC r 10 je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protože C
QU1 pak
převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot
kapacit diacutelčiacutech dielektrik
21
111
CCC
Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory
Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech
diacutelčiacutech dielektrik
Lze tedy psaacutet 2
1
21 EE
r
r
a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute
intenzita tohoto dielektrika Ep gt E
Přiacuteklad 12
Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem
tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech
dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute
Materiaacutel r Ep (kVmm)
1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40
2 sliacuteda 7 60
34
Řešeniacute
Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je
92307692141
2400
304207
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
Vmm
161538592307694
72
1
21 EE
r
r
Vm
Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost
vyhovuje
312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem
Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva
středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
24 r
QDE
Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3122 Osamocenaacute koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrickaacute indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazeniacute za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi
maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute
pevnosti izolantu
36
3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
lr
QDE
2
Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Přiacuteklad 13
Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je
kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)
37
Řešeniacute
12-12--12
1
2
0 101038136105log32
166894
50
52log32
131088542
log32
2
r
r
lC r F
C = 1038 pF
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi
V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody
odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho
zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země
Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj
dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj
kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba
oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu
uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost
natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu
izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije
Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute
naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo
vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje
elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter
vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute
nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech
měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů
Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů
Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje
uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a
uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič
Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute
omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje
zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem
Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje
Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech
mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute
elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry
Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute
objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena
k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute
38
4 Stejnosměrnyacute proud
Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne
vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I
Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho
naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad
akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)
Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U
Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu
elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute
ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb
Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute
elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče
41 Proudovaacute hustota
Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se
nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru
Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute
Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem
bude průřez vodiče většiacute
V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute
proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se
na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu
Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
39
42 Intenzita proudoveacuteho pole
Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno
l
UE )( 1 mAmV
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon
Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem
většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je
přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute
Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty
obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme
že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor
Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče
Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu
zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute
Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute
Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem
jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute
měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme
napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru
Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1
)
Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA
-1)
Pak lze psaacutet
R
UI
Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I
Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon
Rezistory
Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute
odpor R
Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru
Přiacuteklad 14
Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A
Řešeniacute
46050
230
I
UR ()
431 Velikost elektrickeacuteho odporu
Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho
je vodič vyroben
Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu
vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute
i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče
Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu
vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute
Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely
Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
kde l je deacutelka vodiče
S je průřez vodiče
je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je
to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2
při teplotě 20oC
41
Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Rezistivita některyacutech materiaacutelů
Materiaacutel mm2m
-1
Měď 00178
Hliniacutek 00285
Střiacutebro 00163
Ocel 013
Konstantan 05
Chromnikl 11
Cekas 11
Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory
Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely
pro vyacuterobu vodičů
Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu
rezistorů
Přiacuteklad 15
Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m
Řešeniacute
S
lR () kde 0785)50( 22 rS mm
2
430785
15000178
S
lR ()
Přiacuteklad 16
Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3
Řešeniacute
S
lR () z toho plyne
SRl
143)1( 22 rS mm2
52901780
1433
SRl (m)
432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě
S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute
elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky
s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste
42
Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při
zahřaacutetiacute vodiče o 1o
C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se
nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -
(1oK)
Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek
odporu R = R2 - R1 miacutet velikost
1RR
Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely
Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu
(K-1
)
Měď 00042
Hliniacutek 0004
Střiacutebro 0004
Ocel 0006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2510-4
Cekas 710-5
Přiacuteklad 17
Měděnyacute vodič o teplotě 20o
C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A
Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C
Řešeniacute
Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1
2120
241
I
UR ()
Přiacuterůstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor při teplotě 60o C
)(40161)40004201(21)1(12 RR
43
Přiacuteklad 18
Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o
C do +40o C
Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě
Řešeniacute
Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co
Odpor při -25o
C R1
Odpor při -25o
C 1112 2731)65004201()1( RRRR
Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu
Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče
je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q
UQA (J V C)
Protože proud je t
QI lze dosadit
tIUUQA (J V A s)
Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty
elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem
a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute
Protože platiacute Ohmův zaacutekon R
UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A
V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute
praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute
v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)
Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo
Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P
IUt
tIU
t
AP
(W V A)
Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1
)
Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Přiacuteklad 19
Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut
Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(6450
230A
R
UI
Vyacutekon )(105864230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s
Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně
použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)
Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute
energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy
ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi
vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ
Platiacute
ZWWW 12
Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost
1
2
W
W a je to vždy čiacuteslo 1
Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 W
W )( JJ
Protože přiacutekon je t
WP 1
1 a vyacutekon je t
WP 2
2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W )( WW
45
Přiacuteklad 20
Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po
dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě
v konvici
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(831120
220A
R
UI
Přiacutekon )(34038312201 WIUP
Vyacutekon )(323100
803403 12 WPP
45 Kirchhoffovy zaacutekony
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem
nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit
pomociacute Ohmova zaacutekona
Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost
odporu zaacutetěže R pak proud I
I
UR
Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je
na obr 34
Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
46
Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly
Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu
Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu
Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy
zaacutekony
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje
Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve
vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i
elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud
Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect
54321 IIIII
Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute
lze psaacutet
01
n
k
kI
Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule
Přiacuteklad 21
Obr 36 - Proudy v uzlu
Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li
proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A
Řešeniacute
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen
uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute
To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule
01
n
k
kU
Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute
+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem
orientace smyčky
- hellip orientace napětiacute je proti směru
orientace smyčky
Tedy U1 + U2 ndash U = 0
Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech
odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce
Přiacuteklad 22
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =
6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38
Obr 38 - Napětiacute ve smyčce
Řešeniacute
Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
040I A
800402011 IRU V 210403022 IRU V
48
46 Spojovaacuteniacute rezistorů
Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 39
Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
021 UUU
Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vyacuteraz I
Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie
aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je
rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie
21 RRRV
Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz
niV RRRRR 21
Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů
jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie
49
462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 41
Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
21 III
Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle
Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute
21
111
RRRV
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme
vyacuteraz
niV RRRRR
1
1
111
21
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
50
Přiacuteklad 23
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =
12 V Obvod je zapojen podle obr 43
Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
0240500
12
Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je
42024010011 IRU V 69024040022 IRU V
Přiacuteklad 24
Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44
Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech
odporů
14577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
8531457
220
Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V
Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR
UI 22
100
220
1
1
AR
UI 550
400
220
2
2 AR
UI 11
200
220
3
3
Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit
321 IIII
AI 853 AIII 8531155022321
což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů
Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně
řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu
odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme
celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů
určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a
napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu
Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 25
Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy
ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45
Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25
52
Řešeniacute
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor
2132
111
RRR
tedy odpor 32
3232
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema
Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor
R123 = R1 + R23
Naacutehradniacute obvod pak je
Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů
Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321
1R
UI
Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na
jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu
Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11
53
Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy
Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem
Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1
Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III
Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute
Přiacuteklad 26
Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49
Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26
Řešeniacute
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit
R345= R3 + R45
Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema
Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute
Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je
daacutena vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod
Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napětiacute U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napětiacute UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypočteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3
333 IRU
Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletně vyřešen
Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve
smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů
56
Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů
Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona
0321 III
Pro uzel B musiacute platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona
021 UUU
Pro smyčku y platiacute
0243 UUU
Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků
472 Transfigurace
V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou
zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit
postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech
přiacutekladech
Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute
57
Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)
a) b)
Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy
Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka
rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute
jako působeniacute trojuacutehelniacuteka
Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56
Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu
Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech
přiacutekladech
Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi
stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute
201012 RRRCelk
Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute
2010
233112
233112 )(RR
RRR
RRR
Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )(RR
RRR
RRR
3010
233112
231231 )(RR
RRR
RRR
Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro
adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro
adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Přiacuteklad 27
Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li
napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30
R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57
Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27
Řešeniacute
Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a
daacutele zjednodušujeme podle obr 58
59
1 2
3 4 5
Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu
Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je
16706
1
36
6
celkR
UI A
60
Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je
0667015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napětiacute rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu
Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do
elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii
Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute
U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho
svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0
481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute
Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute
poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se
vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek
nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem
napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno
= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy
nulovyacute)
Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult
U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se
zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje
Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute
61
Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj
Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je
iRIUU 0
Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika
zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost
Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je
malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem
odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute
vnitřniacute odpor Ri
Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik
Obr 62 - Proud nakraacutetko
62
U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně
zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů
měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute
Přiacuteklad 28
Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru
proudu 02 A je 58 V
Řešeniacute
Proud nakraacutetko bude
i
kR
UI 0
Svorkoveacute napětiacute U je
iRIUU 0
iR 20685
Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri
120
856
iR
Proud nakraacutetko tedy je
61
60 i
kR
UI A
482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute
podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje
Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute
vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech
zdrojů
Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU
Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR
Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU
Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem
napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho
hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by
hrozilo poškozeniacute zdroje
a) b)
Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně
Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů
Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je
jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se
všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat
z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů
Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute
napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly
vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit
02010 UUU a 21 iii RRR
Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute
21 zZz III
Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute
1zz InI nUUUU 002010 n
RR i
i1
Přiacuteklad 29
Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15
V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A
Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A
Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje
64
Řešeniacute
Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud
01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64
Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů
Celkovyacute vnitřniacute odpor bude
32
23
2
3 1
iiacute
RR
Proud nakraacutetko bude
513
5133 01
i
kR
UI A
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi
Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory
využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny
rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty
491 Dělič napětiacute
Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute
65
a) b)
Obr 65 - Dělič napětiacute
Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
21 RR
UI
tedy U
RR
RR
RR
URIU
21
22
21
22
Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2
platit
z
z
RR
RRR
UI
2
21
a po dosazeniacute
URRRRRR
RR
RR
RR
RR
RRR
U
RR
RRIU
zz
z
z
z
z
zz
z
2121
2
2
2
2
21
2
22
Přiacuteklad 30
Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66
Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič
napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o
odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V
Řešeniacute
Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem
R1 + R2 = 1000
tedy R1 = 1000 ndash R2
66
a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
241000
2
21
22
RU
RR
RU
b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute
24500500)1000()1000(
500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
c)
2415001500)1000()1000(
1500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho
napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič
Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory
492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru
k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek
Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem
67
Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute
bbAA RIRI a tedy A
b
b
A
R
R
I
I
Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to
v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku
Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute
tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku
A
b
Am
A
R
R
II
I
A
b
AA
A
R
R
IIn
I
)1(
n
RR A
b
Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash
viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor
Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem
Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory
předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na
předřadneacutem odporu a na voltmetru
pVm UUU p
V
p
V
R
R
U
U
Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy
Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu
)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p
V
V
V
R
R
nU
U
)1(
Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp
Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet
Přiacuteklad 31
Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo
možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA
68
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 2010
200n kraacutet
Odpor bočniacuteku bude 581)120(
30
)1(
n
RR A
b
Přiacuteklad 32
Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak
aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 5120
600n kraacutet
Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp
493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu
V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute
měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute
zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu
Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou
Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA
naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je
omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV
Velikost odporu RX je
iV
VA
V
VA
V
x
xx
R
UI
U
II
U
I
UR
Přiacuteklad 33
69
Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud
ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70
Řešeniacute 95201680
16
003200200
16
5000
16020
16
iV
VA
Vx
R
UI
UR
494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně
širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem
)1(12 RR
kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty
Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute
teploty
Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty
odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2
)1(12 RR 11
2
R
R
11
2
R
R
1
12
R
RR
Měřenaacute teplota je tedy
1
12112
R
RR
Přiacuteklad 34
Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu
je-li
hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o
velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je
20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71
Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty
Řešeniacute
Odpor při 20o C je R1 = 200
Odpor při o C je R2
70
27020
5400
20
1045
1020
1020306 3
3
3
2
A
AA
I
IRUR
Měřenaacute teplota je tedy
510780
7020
104200
20027020
3
1
1212
R
RR o C
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech
Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly
v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly
lineaacuterniacute obvody
V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale
vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute
Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku
Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na
nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a
odpor je tedy vyššiacute
Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a
pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika
nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
a) b)
Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech
obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute
zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku
Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme
pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je
daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute
charakteristikou zdroje
71
Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu
Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen
nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici
a) b) c)
Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu
c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA
charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem
prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto
hodnoty odečteme z grafu
Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu
Přiacuteklad 35
Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je
napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute
podle obr 76 a)
a) b)
72
Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku
Řešeniacute
Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute
že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash
je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho
a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme
Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou
proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek
křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem
z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP
VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body
U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A
Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35
Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je
Ip = 27 mA
Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom
dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho
proudu s VA charakteristikou rezistoru R1
Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož
vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku
hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN
Přiacuteklad 36
Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka
paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi
hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka
U (V) 1 2 3 4 5 6
73
I (A) 01 0165 022 025 028 03
Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32
Řešeniacute
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky
rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute
charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute
charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky
Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1
Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020
60 iR
UIk A
Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36
Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a
proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je
rovno 188 V
74
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji
Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech
zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute
zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na
uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet
tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute
Ohmova zaacutekona
Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech
rezistorů
Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že
jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet
všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než
byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu
Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute
že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou
orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti
směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80
Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3
Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech
Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci
zvolenyacutech smyček x a y
Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)
321 III (1)
75
Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
01221 UUUU RR (2)
Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
0232 UUU RR (3)
Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho
platiacute
111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)
Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod
Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)
0122211 UURIRI (2a)
023322 URIRI (3a)
Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)
0)( 232122 URIIRI (3b)
Upraviacuteme (3b)
02323122 URIRIRI
0)( 231322 URIRRI
32
3122
RR
RIUI
(3c)
a dosadiacuteme do rovnice (2a)
0122
32
31211
UUR
RR
RIURI (2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1
0122
32
312
32
211
UUR
RR
RIR
RR
URI
23321
323211
233121
3121322222
32
231
122
32
2
1
122
32
2
32
23111
)(
)(
RRRRR
RURRUI
RRRRRR
RURURURURU
RR
RRR
UURRR
U
I
UURRR
U
RR
RRIRI
Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2
76
I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3
Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a
(6)
Tiacutem je obvod kompletně vyřešen
Přiacuteklad 37
V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
100
Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37
Řešeniacute
Pro uzel A platiacute
321 III
Pro smyčku x platiacute
01122 RR UUUU
Pro smyčku y platiacute
0232 RR UUU
Dosadiacuteme do rovnic
02001010020 12 II 32010 12 II
010010020 23 II 21010 23 II
Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3
20
103 21
II
a
10
102 23
II
Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A
10
102
20
103 22
2 II
I
20
222 20420103 III
77
2507 I
14050
72 I A
Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3
08020
140103
20
103 21
II A
06010
140102
10
102 2
3
I
I A
Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče
v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
16200080111 RIUR V
14100140222 RIUR V
6100-006333 RIUR V
4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů
Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se
postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute
Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute
veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II
Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a
to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy
orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček
Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj
smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou
smyčkovyacutech proudů
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82
Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů
78
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib
Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona
Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba
Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme
011222 RIUURIRI aba
02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb
32
22
RR
RIUI a
b
01122
32
222
RIUUR
RR
RIURI a
aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute
Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia
01122
32
2
32
222
RIUUR
RR
RI
RR
RURI a
aa
21
32
2212
32
22 UU
RR
RURIR
RR
RIRI a
aa
312132
323121
3121223222
3222312122
1
32
222
21
32
22
RRRRRR
RURURU
RRRRRRRRRR
RURURURURU
RRR
RRR
UURR
RU
Ia
Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32
22
RR
RIUI a
b
a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se
smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
ab III 2
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute
Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
Přiacuteklad 38
79
Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
300 R4 = 200
a) b)
Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 83 b) kde R34 je
1205
600
200300
200300
43
4334
RR
RRR
Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky
a 0)( 1122 RIUURII aba
02001020100)( aba III
b 0)( 2234 RIIURI abb
0100)(20120 abb III
Upraviacuteme a dosadiacuteme
a 02001020100100 aba III 100
10300 a
b
II
b 0100)100
10300(20120
100
10300
a
aa III
Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme
0100103002012360 aaa III
02560 aI
0003571560
2aI A
Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali
Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib
80
0089286100
103000003571-
100
10300
a
b
II A
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je
shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu
smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
0092857)0035710(00892862 ab III A
Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou
10714291200089286343443 RIUU RR V
Proudy rezistory R3 a R4 jsou
0035714300
10714293 I A 0053571
200
10714294 I A
Napětiacute na rezistorech R1 a R2
07142862000003571111 RIUR V
928571000092857222 RIUR V
Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a
napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
020-10)(-0714286-92857
020-107142992857
0089286)(-00035710092857
Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku
Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute
pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by
bylo matematicky obtiacutežneacute
4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute
Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž
je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu
označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute
Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz
jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash
neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a
z nich pak proudy ve větviacutech obvodu
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84
81
Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R
je UA
Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute
321 III
Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a
dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice
32
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
21312321 )()( RRURRUURRUU AAA
21313123221 RRURRURRURRURRU AAA
31322131221 RRURRURRURRURRU AAA
313221
312321
RRRRRR
RRURRUU A
Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
1
11
R
UUI A
2
22
R
UUI A
3
3R
UI A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Přiacuteklad 39
Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30
R4 = 90
82
a) b)
Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 85 b) kde R34 je
12090304334 RRR
Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A
321 III
342
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
120100
20
200
10 AAA UUU
AAA UUU 10)20(12)10(6
AAA UUU 1012240660
107142928
300AU V
Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
-000357200
107142910
200
101
AU
I A
Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru
než byl původniacute předpoklad
928571400100
107142920
100
202
AU
I A
0089286120
1071429
1203 AU
I A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech
83
-071429200-000357111 RIUR V
9285714100928571400222 RIUR V
2678571300089286333 RIUR V
V 8035714900089286434 RIUR
4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice
Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl
připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze
tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86
Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj
jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho
obvodu
a) b)
Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice
84
Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky
je na obr 87 a)
32
3223
RR
RRR
R123 = R1 + R23
123
1
1R
UI
11
1 IRUR
11
RAB UUU
2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na
obr 87 b)
31
3113
RR
RRR
R123 = R2 + R13
123
2
1R
UI
11
1 IRUR
12
RAB UUU
1
1R
UI AB a
3
3
R
UI AB
Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje
Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute
1
11 III
2
22 III
3
33 III
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR
Přiacuteklad 40
Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
110 R4 = 130 R5= 240
1
85
Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34
2401301104334 RRR
Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345
120240240
240240
345
345345
RR
RRR
Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)
a) b) c)
Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)
5454545120100
120100
3452
34522345
RR
RRR
R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545
0039286 25454545
10
12345
1
1 R
UI A
78571430039286200
11
1 IRUR V
2142857785714310
11
RAB UUU V
86
214285700100
2142857
2
2 R
UI AB A
0017857120
2142857
345
345 R
UI AB A
Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)
75120200
120200
3451
34511345
RR
RRR
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175
0114286 175
20
12345
2
2 R
UI A
1142860114286100
22
2 IRUR V
857142942861120
12
RAB UUU V
0042857200
8571429
1
1 R
UI AB A
0071429120
8571429
345
345 R
UI AB A
Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou
-0003570042857-0039286
1
11 III A
00928572142857000114286
2
22 III A
0089286
345
345345 III A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
-071429200-000357111 RIUR V
928571009285700222 RIUR V
107143212000892863453345 RIUU RAB V
10714325 ABR UU V
0044643240
1071432
5
55
R
UI A
1
1
87
0044643240
1071432
34
43 R
UII AB A
4910731100044643333 RIUR V
5803591300044643334 RIUR V
88
5 Magnetickeacute pole
Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute
magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud
Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda
Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute
předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute
magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute
zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje
vždy k severu
Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety
Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute
elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje
Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute
silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole
Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute
magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka
Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute
směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute
čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje
orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech
čaraacutech
Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar
Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -
označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)
a) b)
Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute
Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute
89
Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu
a) b) c)
Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely
c) podkovoviteacuteho magnetu
Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute
působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem
Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme
silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a
jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
521 Magnetickeacute pole vodiče
V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech
kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute
takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute
čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute
V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve
středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93
Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči
90
Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem
Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen
na obr 94
Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo
pravotočiveacuteho šroubu
Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute
vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole
Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu
Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve
směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar
91
53 Veličiny magnetickeacuteho pole
531 Magnetickyacute tok
Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem
Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem
poli Popisuje tedy pole jako celek
Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)
532 Magnetickaacute indukce
Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho
toku na jednotku plochy
SB
Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem
magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě
Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce
Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I
tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1
Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To
se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash
viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute
nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do
zeslabeneacuteho pole
a) b)
Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute
v magnetickeacutem poli
lIkonstF
Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a
označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)
lIBF (N T A m)
92
Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem
Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole
lI
FB
(T NA
-1m
-1)
Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole
Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem
jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity
magnetickeacuteho pole
Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel
pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude
sin lIBF viz obr 98
Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute
Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute
se podiacutelejiacute na jeho vzniku
Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)
Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je
magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo
93
Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute
magnetomotorickeacute napětiacute je tedy
Fm = I
Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho
magnetickeacuteho pole je
Fm = I1 - I2 + I3
Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute
danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute
n
i
im IF1
a) b)
Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)
Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet
všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro
tuto indukčniacute čaacuteru
n
i
mim UF1
Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute
Fm = Um1 + Um2 + Um3
534 Intenzita magnetickeacuteho pole
Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute
indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je
l
UH m (Am
-1 A m)
kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um
Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke
křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery
94
Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole
r
I
l
UH m
2
Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy
tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu
vodiče na rovině indukčniacute čaacutery
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi
intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute
Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem
magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem
bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce
indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole
vybudilo
Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B
Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu
souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah
přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB
Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme
v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a
nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute
HB
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) (H) je jednotka henry ndash jejiacute
rozměr vysvětliacuteme později
Pro ostatniacute materiaacutely platiacute
HB r 0
kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než
vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1
95
Přiacuteklad 41
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud
8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče
5127323954104
1012
8
2
3
3
r
IH (Am)
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
115749051011
40
10112
8
2
2
3
r
IH (Am)
Přiacuteklad 42
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr
101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A
Obr 101 - Svazek vodičů
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku
2815720321 IIIFm A
6366198200
102
1022
8
2
2
2
r
FH m (Am)
Přiacuteklad 43
Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr
102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A
Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli
96
Řešeniacute
Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je
81201560 lIBF N
Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat
do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo
Přiacuteklad 44
Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad
Řešeniacute
0180)15020(60 SB Wb
Přiacuteklad 45
Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T
I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch
Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů
Řešeniacute
HB r 0 0= 410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
r
FH m
2 a
n
i
im IF1
Z toho plyne
r
m
BrHrF
0
22
150102
21015
104
00202 43
7
rFm A
321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A
97
54 Hopkinsonův zaacutekon
Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem
indukčniacutem tokem
Viacuteme že S
B
z toho SB
Protože platiacute HB a l
UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem
mm U
l
SS
l
USHSB
Vyacuteraz mUl
S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je
henry (H)
mm Ul
SG (H)
Platiacute tedy
mm UG
Rozměr jednotky henry
m
mU
G
)()()(2
A
mT
A
WbH
Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm
m
mG
R1
tedy S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku
Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek
Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti
magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku
Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy
deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu
S
lRm
1 kde r 0
Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je
hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny
pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho
magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu
98
Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin
Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute
Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute
Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute
pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny
Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky
poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r
551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů
Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole
Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů
po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin
elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky
se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute
U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute
uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře
materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy
sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4
m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem
magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a
tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu
vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho
pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel
vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost
že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je
zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě
magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika
Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika
99
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace
Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce
strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho
přiacuterůstku magnetickeacute indukce
Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato
čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity
magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při
navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi
body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute
charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute
Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů
Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho
pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť
Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje
tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute
intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou
magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a
značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat
v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity
magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute
hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute
intenzita (koercitivita)
Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom
nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při
snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem
magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba
opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev
popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka
Obr 105 - Hysterezniacute smyčka
100
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety
Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar
hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho
materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na
vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu
Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute
Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute
intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u
takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely
použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj
magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu
wolframu a molybdenu
Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou
koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute
tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech
střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet
Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem
a) b)
Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute
101
Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu
stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel
zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute
odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute
snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne
k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute
s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)
a) b)
Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka
Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am
102
Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu
Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg
103
Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik
104
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute
Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud
kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery l
IH přiacutepadně
l
FH m kde
n
i
im IF1
tedy součet všech proudů ktereacute se
podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole
Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův
zaacutekon
Biot-Savartův zaacutekon
Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon
Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l
je
sin4 2
r
lIH
kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A
Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky
kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov
561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče
Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute
tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu
průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude
stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem
pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)
Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x
IH
2
kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče
Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy
hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r
IH r
2
Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b
IHb
2
105
a) b)
Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)
Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera
Proudovaacute hustota J ve vodiči je
2r
I
S
IJ
Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia
2
22
2 r
aIa
r
ISJI aa
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy
2
2
2
222 r
aI
a
r
aI
a
IH
Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od
středu vodiče je přiacutemkovyacute
Přiacuteklad 46
Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti
15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A
Řešeniacute
Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je
509316000
1052
160
2 3max
r
IH Am
Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je
1273104
40
10160
10)155(2
160
2
33
35
x
IH Am
106
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
a) b)
Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar
nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve
středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit
sin4 2
r
lIH
Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute
24 r
lIH
Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce
zaacutevitu
r
Ir
r
Il
r
I
r
lIH
rr
22
444 2
2
02
2
02
Tedy r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute
2
Dl a
212
DDD
kde D je středniacute průměr ciacutevky 2
12 DDD
Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
107
Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se
podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu
ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr
Přiacuteklad 47
Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A
aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am
Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr a
2
12 DDD
1052
110100
2
12
DD
D mm a 5522
105
2
Dr mm
Počet zaacutevitů v ciacutevce je
5522
10001055222 3
I
HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů
564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute
podmiacutenka lD
Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka
108
Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119
Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem
Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje
severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom
konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)
Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute
magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu
lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je
l
IN
l
UH m
Přiacuteklad 48
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky
kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute
permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
250010505001010
505002
l
INH Am
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde
025132708010800000250080104 -7-7
0 HB r T
a
109
662232 10176714610)2
15()10
2
15( rS m
2
46 10444132201017671460251327 SB Wb
565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o
kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech
kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute
Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole
Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude
intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r
kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute
než d
Magnetickeacute napětiacute Um je
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je
r
IN
l
UH m
2
Přiacuteklad 49
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400
zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro
vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole je
10185923200
10
320
2
10102
80400
22
2
D
INH Am
110
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme
z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1
Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu
662232 107853982105)102
10( rS m
2
46 101115265107853982421 SB Wb
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok
Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly
tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem
dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje
a) b)
Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami
111
Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem
menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto
větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute
větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze
daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je
mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku
kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok
Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že
součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech
toků z uzlu vystupujiacuteciacutech
01
n
k
k
Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute
magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute
n
k
mkm UF1
Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon
m
m
R
U
kde
S
lRm
1 (H
-1) r 0
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem
Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu
Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem
průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se
uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej
v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat
Přiacuteklad 50
Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku
z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4
Wb D = 80 mm
d = 20 mm
Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro
112
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je
SB
kde 662232 101431010)10
2
20( rS m
2
127314
400
10143
1046
4
SB T
Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro
materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute je
31415938025110801250 3 DHlHFm A
Budiacuteciacute proud bude
1570796200
3141593
N
FI m A
Přiacuteklad 51
Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute
permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu
Řešeniacute
Z Hopkinsonova zaacutekona m
m
R
U je
m
m
UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm
44
4107854
4
102314
104
2314
mm
FR H
-1
Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu
S
lRm
1
kde 00010161250
271
H
B (Hm
-1)
633
6
3
100787143
1080
1016
101
10143
1080
0001016
11
S
lRm H
-1
Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem
zaokrouhlovaacuteniacute
Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu
HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7
Hm-1
113
58081008085071250 4
10101270
1250 10 4
271 33
7-
0
H
Br
Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou
Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute
v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2
Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou
Magnetickaacute indukce je S
B
je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute
Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r
BH
0
Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita
feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než
intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu
00
BBH
r
gtgt rFe
Fe
BH
0
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
0
BHUm
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
lB
lHUr
FemFe 0
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
mFemm UUF
Po dosazeniacute
0
BUUF mFemm l
B
r
0
114
Přiacuteklad 52
Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se
vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve
vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet
hodnotu maximaacutelně 08 A
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
100954934
1012
104
21
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
1435395105110095493 36 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
A2997929)5180(21
)10511080(1200)(1200 33
DlHU FemFe
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
173518829979291435395 mFemm UUF A
Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka
2169216898508
1735188
I
FN m zaacutevitů
Přiacuteklad 53
Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500
zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je
vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg
115
Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
1201803009020060500221121 ININFFF mmm A
Intenzita magnetickeacuteho pole
375032
120
l
FH m Am
Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra
B = 12 T
Celkovyacute magnetickyacute tok je
34 10081103321)030030(21 SB Wb
Přiacuteklad 54
Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby
magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro
elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu
Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54
116
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
3182)9070(2 l mm
Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
10127324104
104
61
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
336 10254647910210127324 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
1113103183500 3 lHU FemFe A
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
36595525461113 mFemm UUF A
Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a
provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů
Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak
73195
36595
I
FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a
budiacuteciacute proud bude 4574375800
36595
N
FI m
b A
Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je
znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např
pro dvě čaacutesti obvodu
21 mm
m
RR
U
ndash Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a
proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena
magnetizačniacute křivkou
Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce
)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak
možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm
117
Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a
pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm
Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2
tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm
Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf
Obr 127 - Funkce )( mFf
Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute
naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute
napětiacute z grafu funkce )( mFf
Přiacuteklad 55
Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech
materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle
obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů
Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
118
Řešeniacute
Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu
75051500 INFm A
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je
18090452 plechyl mm
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je
14090252 litinal mm
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm1
Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute
pro oba materiaacutely
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0555556109
1054
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
200 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
3723363610140240010180200 33
1
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm2
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0777778109
1074
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
400 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
8147427210140530010180400 33
2
Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4
Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4
Wb sestrojiacuteme
v Excelu graf funkce )( mFf
119
Fm (A) 372 814
Wb 00005 00007
Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb
58 Elektromagnetickaacute indukce
581 Indukčniacute zaacutekon
Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute
pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy
Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat
elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud
Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem
Indukčniacute zaacutekon
Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje
elektrickeacute napětiacute u
dt
du
kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku
dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d
120
Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon
Pozn
Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu
veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit
Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i
Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud
Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem
ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)
Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem
ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie
Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute
opačnou polaritu u = -e
Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash
viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute
dt
dNu
(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)
Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce
121
Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok
zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li
tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute
Přiacuteklad 56
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky
homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T
a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute
napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)
Řešeniacute
Magnetickyacute tok je
SB
Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0
Po 05 s bude tok
44 106110208 SB Wb
Změna magnetickeacuteho toku bude
44
01 106101061 d Wb
Změna času bude
050dt s
Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to
4801048001032150050
1061150 44
4
dt
dNu V
V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute
je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute
indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute
Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133
Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56
122
582 Pohyboveacute napětiacute
Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute
Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na
jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič
vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto
smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho
toku se neměniacute
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz
obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute
Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute
Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt
du
Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy
zmenšiacute o hodnotu
ltvBlsBSB
Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude
vlBt
ltvB
dt
du
)(
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok
smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity
vlBt
ltvB
dt
du
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče
elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute
Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem
Lenzův zaacutekon
Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem
polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou
123
Obr 135 - Lenzův zaacutekon
Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute
pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr
proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo
Přiacuteklad 57
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o
magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do
magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor
rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0
o a c) 60
o
Řešeniacute
a) Při uacutehlu 90 o
bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to
180503021 vlBu V
b) Při uacutehlu 0
o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru
indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je
nulovaacute
u = 0
c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka
rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami
rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti
rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem
čaraacutem
250505060cos50 0 kolmaacutev ms
Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky
124
Indukovaneacute napětiacute pak bude
0902503021 kolmaacutevlBu V
583 Vlastniacute indukčnost
Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute
magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude
indukovat napětiacute
dt
dNu
Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky
Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m
m
R
U kde INUm a tedy po dosazeniacute
mR
IN
můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu
za čas dt
mR
diNd
V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute
dt
R
diN
u m
Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute
dt
di
R
N
dt
R
diN
Ndt
dNu
m
m
2
Vyacuteraz mR
N 2
byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet
125
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
mR
NL
2
Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je
di
dtuL
1
)(
)()()(
AsV
A
sVH
Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita
materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky
Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute
nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu
Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute
hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se
v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se
nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
Přiacuteklad 58
Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů
vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm
Řešeniacute
Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka
Indukčnost ciacutevky je
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm
a S = r2 = 52
=7853982 mm2
3
672
0
2
1020
10547810450
l
SNL r
126
66
372 1039320
105478101041025
H
Přiacuteklad 59
Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli
se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm
Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400
Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm
23
3
7
0 )1010(
1051
104
11
S
Rm
66437
102534
10100101051
4
10
H
-1
Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru
23
33
7
0 )1010(
10511080
400104
11
S
lR
r
Fem
6437
4
337
101564004
105781010
10
10511080
4004
10
H
-1
Indukčnost ciacutevky je
0549561532
51
10)561532(
1500 2
6
222
mFemm RR
N
R
NL
H
584 Vzaacutejemnaacute indukčnost
Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2
(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute
tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140
127
Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost
Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i
jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje
elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude
indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet
dt
dikonstu 1
2
Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou
vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona
Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem
napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1
111 INFm
Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost
magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou
12
1112
mR
IN
Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude
dt
diM
dt
di
R
NN
dt
di
R
NN
dt
dNu
mm
11
12
121
12
12
1222
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je
12
12
mR
NNM
Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř
všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem
sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1
128
Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami
Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je
mR
NL
2
11
mR
NL
2
22
Vzaacutejemnaacute indukčnost M je
mR
NNM 12
Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme
21
2
1
2
2
2
2
1
2
22122 )( LLRR
NN
R
NN
R
NNM
mmmm
a tedy
22 LLM
Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute
ciacutevce bude
dt
di
R
N
dt
diLu
m
2
111
a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude
dt
di
R
NN
dt
diMu
m
212
Poměr napětiacute 2
1
u
uje
2
1
21
2
1
2
1
N
N
dt
di
R
NN
dt
di
R
N
u
u
m
m
Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
129
Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale
dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě
o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek
Pak
22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Přiacuteklad 60
Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů
primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr
142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je
800
Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Magnetickyacute odpor RmFe
64273
23
3
7
0
100353678984
10101010320
)1030(
10320
800104
11
S
lR
r
Fem
H-1
Indukčnost prvniacute ciacutevky
28274330353678
1
100353678
10006
22
11
mFeR
NL H
Indukčnost druheacute ciacutevky
636000353678
1051
100353678
150 22
6
22
22
mFeR
NL H
Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek
0381704636002839022 LLM H
130
Přiacuteklad 61
Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho
přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s
Řešeniacute
Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce
770002
01-06282743311
dt
diLu V
Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce
549002
01-0638202
dt
diMu V
Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute
ciacutevce bylo u2ideaacutel
1060288020
50
0353678
150
002
01-06
100353678
15010006
1
12
122
dt
di
R
NNu
m
ideaacutel V
Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667
Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667
Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute
2
1
2
1
N
N
u
u hellip transformačniacute poměr
585 Spojovaacuteniacute ciacutevek
Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je
Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně
Ciacutevky spojeneacute seacuteriově
Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143
to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat
stejneacute napětiacute
Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
131
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu kde dt
diLu 11 a
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )( 2121 LLdt
di
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL
Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute
vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k
kLL1
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute
indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet
Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M
je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash
viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet
132
Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti
soběldquo
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Ciacutevky spojeneacute paralelně
Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr
146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech
indukovat stejneacute napětiacute
Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi
kde dt
diLu 1
11 a dt
diLu 2
22
a tedy dt
diLu 1
1 a dt
diLu 2
2
z toho 1
1
L
u
dt
di a
2
2
L
u
dt
di
133
Po dosazeniacute 21 dididi
21 L
u
L
udi
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu z toho
L
u
dt
di
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21
111
LLL
Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute
vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute
jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k kLL 1
11
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz
obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute
MLMLL
21
111
Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash
viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet
MLMLL
21
111
Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
134
Přiacuteklad 62
Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost
seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute
indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH
Řešeniacute
Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je
MLLL 221
Z toho
202
)40100(180
2
)( 21
LLL
M mH
585 Přechodovyacute jev na indukčnosti
Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce
dt
diLuiL
Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji
stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute
odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor
bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku
poškodil)
V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na
indukčnosti
Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon
V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud
jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0
pak vyacuteraz dt
diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem
Pro t0 platiacute
t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0
135
V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu
největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute
to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = konst di = 0 0dt
di
0dt
diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0
R
U
R
ui R 0
V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud
v obvodu je omezen jen odporem rezistoru
Průběh proudu a napětiacute je na obr 150
Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i
napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na
ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty
t
L eUu
0
kde
R
L
Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti
59 Energie magnetickeacuteho pole
Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově
působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud
Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute
průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute
udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem
mm UW 2
1 (J Wb A)
Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie
nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu
136
HBlS
U
V
U
V
Ww mmm
m
2
1
22
Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke
konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je
lSHBVHBVwW mm 2
1
2
1
Přiacuteklad 63
Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky
Řešeniacute
Energie magnetickeacuteho pole je
mm UW 2
1
kde INUm a mR
IN
Po dosazeniacute
mm
mmR
ININ
R
INUW
22
2
1
2
1
2
1
Protože LR
N
m
2
dostaneme vyacuteraz 2
2
1ILWm
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy
Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech
materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole
Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech
vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve
vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti
přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti
plneacuteho průřezu
137
Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech
Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute
energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou
energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů
Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute
jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety
způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce
Pv f 2 B2
Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute
z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm
transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute
budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute
množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute
vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru
V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu
Hysterezniacute ztraacutety
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky
138
Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute
ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci
Ph f B2
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově
proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi
proudy
PFe = Ph + Pv
V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole
silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce
vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli
lIBF
Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute
vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka
magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute
sin lIBF viz obr 153
Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho
magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho
Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole
působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem
proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela
139
Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Velikost siacutely F
lIBF 21
kde 101 HB r 0=410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
kde r
IH
21
1
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
7-212
17-
21 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
(N A A m m)
Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič
Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute
vodič
7-211
27-
12 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute
a vodiče se tedy odpuzujiacute
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je
zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute
140
Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute
Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi
rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7
N na 1 m deacutelky
vodičů
Přiacuteklad 64
Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm
rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho
proudu v nich je 40 A
Řešeniacute
Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je
3-7-
2
7-21 101920010105
304040210
I2
r
lIF N
5121 Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta
ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157
Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute
feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou
Obr 157 - Elektromagnet
141
Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na
pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru
Přitažlivaacute siacutela magnetu
Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce
B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti
magnetickeacute indukce B
Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu
V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou
posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie
magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie
magnetickeacuteho pole
dlSB
dlSB
BdlSHBWm 0
2
0 2
1
2
1
2
1
a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F
dlFA
Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2
02
1
Platiacute že S
B
a mR
IN
kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet
hodnota RmFe zanedbaacutevaacute
Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
142
Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem
přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze
magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute
Přiacuteklad 65
Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm
plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je
66
47
3
47
3
0
1053051656
10100
103102
10
109104
10322
S
lR v
m H-1
Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
9)5305165(42
1010104109
109)105305165(
2300
1042
12
41274
426
22
7
F
65852814303
500
28143032
100010
9281430342
49 3
F N
143
6 Střiacutedaveacute proudy
Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud
se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute
střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T
Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute
čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny
označeniacute přiacuteslušneacute veličiny
Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute
proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je
praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy
harmonickeacute Babyčka
Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu
Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute
jednotkou je hertz značka Hz
Doba jedneacute periody je
fT
1 (s Hz)
Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute
průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz
až MHz
Přiacuteklad 66
Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě
Řešeniacute
02050
11
fT s
144
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii
Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu
Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy
Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel
tft
f
tT
21
22
Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za
jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se
f 2 (rads-1
)
Platiacute tedy
)sin(max tIi
Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel
nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute
Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu
145
Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh
sinusoidy
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje
Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu
Přiacuteklad 67
Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou
hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz
a proud je faacutezově zpožděn o 30o
Řešeniacute
Doba periody je
02050
11
fT s
Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2
Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute
zpožděniacute 30o
30o je 6 radiaacutenů 0001667
12
1020
2
61
Tt s
Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je
)6
00152sin(25)tsin( 0015)( max
fIi
-216207)6
0015314sin(25)6
0015502sin(25 0015)(
i mA
146
62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne
průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163
Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět
Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace
Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory
znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich
působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute
Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe
v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je
vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval
U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy
bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)
bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů
bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)
bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)
631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v
stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute
harmonickyacute proud (napětiacute)
Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině
proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je
tIRUtIW 2
147
2IRUIt
WP
Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval
dt je
dtiRdW 2
dttIRdtiRdW )(sin22
max
2
Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu
bdquoRplocha pod křivkou i2
ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164
rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i
2 po
dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho
proudu daneacuteho průběhu Platiacute
2
2
max2 II
2
maxII což je 7070max II
Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i
silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu
632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost
stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud
Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za
jednotku času
t
QI tIQ
Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165
148
Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod
přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody
a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute
pro stejnosměrnyacute proud QT
Imed 2
a
pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q
Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho
počtu dospět k vyacuterazu
max
2IImed
což je max6370 IImed
Přiacuteklad 68
Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce
Řešeniacute
Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě
230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy
V 32523022max UU
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem
čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho
velikost je
vlBU
kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje
l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole
v je rychlost pohybu vodiče
149
Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se
vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B
magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166
Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute
Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je
velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute
Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute
Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr
168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v
každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli
Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem
pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich
150
obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za
minutu)
Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto
okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a
velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0
a) b) c)
Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli
Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu
v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v
a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to
vlBui
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem
směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato
napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je
max22 UrlBvlBui
Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute
s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu
kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute
indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute
v zaacutevitu v obecneacute poloze je
sinsin22 max UvlBvlBu xi
151
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute
Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden
zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-
kraacutet většiacute
)sin(max tUNui
Přiacuteklad 69
Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm
b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce
B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s
Řešeniacute
Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh
)sin(2 tvlBui
Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je
560
300
60
nf Hz
Uacutehlovaacute rychlost je
431522 f s-1
Rychlost otaacutečeniacute v
rv kde 2
2
1022
104
2
a
r m
6280102431 2 rv ms
Tedy
tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22
Doba jedneacute periody T je
205
11
fT s
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)
152
a) b)
Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69
V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil
praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)
65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže
Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je odpor R
Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež
charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L
Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C
651 Odporovaacute zaacutetěž
Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě
odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a
proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute
vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie
Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
153
Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je
)sin()sin()sin(
max
maxmax tItR
U
R
tUi
Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve
faacutezi
Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R
UI max
max
Pro efektivniacute hodnoty platiacute R
UI
Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži
Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je
2iRiup
Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je
2IRIUP
Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon
jednotkou je watt (W)
652 Induktivniacute zaacutetěž
O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu
připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)
Pak platiacute
dt
diLui
a) b)
Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute
maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu
Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud
neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute
154
Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute
maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj
v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di
lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute
čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax
Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem
indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o
Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah
)sin(max tUu
pak průběh proudu je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak
indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna
proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute
rychlost viz obr 173
Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt
Platiacute
LXILIU maxmaxmax
kde XL je tzv indukčniacute reaktance
LX L ()
Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem
proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze
ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento
odpor minimaacutelniacute)
Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu
LX
UI max
max a LX
UI
Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo
uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL
155
Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute
do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je
okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute
V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět
zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute
směr
V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie
ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho
efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud
kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute
vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud
653 Kapacitniacute zaacutetěž
O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen
kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)
Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět
156
vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita
elektrickeacuteho pole
a) b)
Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute
pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na
deskaacutech kondenzaacutetoru o dq
dtidq
Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du
C
dti
C
dqdu
Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i
dt
duCi
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute
maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud
napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je
du = 0 a tedy i proud je nulovyacute
Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud
maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t
= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a
proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t
= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax
Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute
proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)
Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute
jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt
Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute
uacutehlovaacute rychlost
157
CUI maxmax
Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde
CX C
1
Pak lze psaacutet
CX
UI max
max a pro efektivniacute hodnoty CX
UI
Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177
CfCX C
2
11
Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute
k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud
neproteacutekaacute
Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu
napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem
kondenzaacutetoru
158
V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se
dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute
do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor
nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje
v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije
nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech
V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze
k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do
zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute
se Q a jeho efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a
nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor
Přiacuteklad 70
Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F
pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz
Řešeniacute
V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf
X C
2
1
Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70
159
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity
indukuje se v niacute napětiacute u1
dt
diLu 1
11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU
V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje
napětiacute u2
dt
diMu 1
2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12
kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou
Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů
Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2
zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2
dt
diLu 2
22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU
V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce
indukovalo napětiacute u1
dt
diMu 2
1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21
Transformačniacute poměr
Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR
NL
2
11 a
mR
NL
2
22
Z toho vyplyacutevaacute že 12
12
mR
NNM
Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1
mR
NILIU
2
11111
a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2
12
12112
mR
NNIMIU
160
Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je
2
1
12
121
2
11
2
1
N
N
R
NNI
R
NI
U
U
m
m
Poměr 2
1
2
1
N
N
U
U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu
zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu
elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit
přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute
přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se
napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute
400230 V
66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech
obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě
indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R
Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů
střiacutedaveacuteho proudu
Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho
proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute
respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu
661 Seacuteriovyacute RC obvod
Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože
je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a
tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu
161
Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je
IRUR
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC
Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z
22 RXZ C ()
Pak
ZIU
Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je
22 RX
U
Z
UI
C
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
181 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 71
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost
faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
C
kde velikost kapacitniacute reaktance je
1592
1000
10501022
1
2
1163
CfC
XC
Proud
0470256
12
200159
12
2222
RX
UI
C
A = 47 mA
162
Napětiacute na rezistoru UR
3990470200 IRUR V
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC
4770470159 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
078247912
399cos
U
U R = 0672159 rad = 385o
Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71
662 Seacuteriovyacute RL obvod
Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je
tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL
163
Impedance obvodu je
22 RXZ L ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22 RX
U
Z
UI
L
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
183 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 72
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho
posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
L
kde velikost induktivniacute reaktance je
1257405022 LfLX L
Proud
154807125
230
2222
RX
UI
L
A
Napětiacute na rezistoru UR
12454180 IRUR V
Napětiacute na ciacutevce UL
1945417125 IXU LL V
Faacutezovyacute uacutehel je
0537029230
124cos
U
U R = 1003885 rad = 57 5o
164
Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72
663 Seacuteriovyacute LC obvod
Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I
Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute
)( CLCLCL XXIIXIXUUU
Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter
Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter
165
664 Seacuteriovyacute RLC obvod
Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy
proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL
Impedance obvodu je
22)( RXXZ CL ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
186 je cos
U
IR
U
U R cos
166
Přiacuteklad 73
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute
diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V
frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
kde velikost induktivniacute reaktance je
4512805022 LfLX L
avelikost kapacitniacute reaktance je
7957747250
1040502
1
2
116
CfC
XC
Proud
109746209
230
120)6794251(
230
)( 2222
RXX
UI
CL
A
Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou
713109741120 IRUR V
2759097414251 IXU LL V
87309741679 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
0572579230
7131cos
U
UR = 0961148 rad = 55 1o
Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73
167
665 Paralelniacute RC obvod
Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RC III
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
188 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
CC
RC
Z
UI
22
11
1
RX
Z
C
22
111
RXZ C
168
666 Paralelniacute RL obvod
Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RL III
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
189 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
LL
RL
Z
UI
22
11
1
RX
Z
L
22
111
RXZ L
169
668 Paralelniacute LC obvod
Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute
CL
CLX
U
X
UIII
Impedance LC obvodu je
CLXXX
U
X
U
U
I
UZ
CLCL
1
1
11
1
Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy
CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0
Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se
opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a
ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li
CL
1
což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence
170
CL
1 Cf
Lf
0
0
22
1
CLf
2
10
669 Paralelniacute RLC obvod
Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCXC
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22)( RCL IIII
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
191 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
171
2222
22 111)(
RXXU
R
U
X
U
X
UIIII
CLCL
RCL
Z
UI
22
111
1
RXX
Z
CL
22
1111
RXXZ CL
Přiacuteklad 74
Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož
odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete
faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =
230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute
Řešeniacute
Velikost proudu rezistorem je
0766667300
230
R
UIR A
Velikost proudu ciacutevkou je
091514180502
230
2
Lf
U
X
UI
L
L A
Velikost proudu kondenzaacutetorem je
072256610321010502230
2
16
Cf
U
X
UI
C
C
Celkovyacute proud je
07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem
096987279050
7670cos
I
IR = 141o
Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR
I = IR =0767 A
A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0
562697782
1000
1010802
1
2
1
60
CLf Hz
172
Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74
Přiacuteklad 75
Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10
kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)
Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce
Řešeniacute
Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem
odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti
rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)
Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
314101005022 3 LfLX L
Proud ciacutevkou
0732113
3141592
230
98696
230
10314
230
2222
RX
UI
L
A
Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je
7321073211310 IRU R V
173
Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je
229880732113314 IXU LL V
Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je
003183230
7321cos
U
UR
1538961 rad 8817594 o
Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute
Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti
na čase
)502sin(2302)sin(max ttUu
přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms
=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)
)5391502sin(7322)sin(max ttIi
přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA
=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)
Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75
Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute
36573203217 IUP R W
Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute
3168073222988 IUQ L VAr
Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute
41680732230 IUS VA
174
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody
Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute
posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory
v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy
s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 76
Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute
indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F
Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz
Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76
Řešeniacute
Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech
Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR
je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute
součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o
předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
62810100100022 3 LfLX L
Proud IRL je
0020325
118084
24
1394384
24
1000628
24
2222
RX
UI
L
RL A
Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je
3252000203251000 IRU R V
12763790020325628 IXU LL V
175
Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je
084687524
32520cos RL
U
U R = 3212661o
Proud kondenzaacutetorem IC je
C
CX
UI
kde 1591549102
10
101010002
1
2
112
6
6
CfCX C
0015081591549
24CI A
Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi
s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka
IRLj
a) b)
Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)
Činnaacute složka IRLč
001721384687500020325cos RLRLRLč II A
Jalovaacute indukčniacute složka IRLj
0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A
Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC
tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy
2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A
09999630172130
0172130cos
I
I RLč = 05o
Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve
větvi RL
176
Přiacuteklad 77
Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o
indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby
byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem
Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77
Řešeniacute
Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka
proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC
Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL
- viz obr 198 a)
a) b) c)
Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77
Proud ve větvi s ciacutevkou
0315547
5188
24
100304002
24
2222
RX
UI
L
RL A
Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou
155473031554710 RLR IRU V
237916603155470304002 RLLL IXU V
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou
o82445d1438937ra
013147824
155473cos
RL
RRL
U
U
177
Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru
na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)
004148701314780315547cos RLRLč II A
031280709913190315547sin RLRLj II A
Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je
tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně
kompenzovaacuten pak platiacute
CRLj II a tedy IC = 0312807 A
Proud kondenzaacutetorem je
0312807C
CX
UI A
a tedy kapacitniacute reaktance je
7672451 0312807
24
C
CI
UX
Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet
CfXC
2
1
CXfC
2
1
666
1051859221072451764002
101
72451764002
1
C F
Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o
kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL
což je 0041487 A
Přiacuteklad 78
Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr
199 Řešte obecně
Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78
Řešeniacute
Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu
178
Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se
zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90
o předbiacutehaacute Vyneseme
tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR
je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U
CL
L
ABL
c
ABC
R
ABR
III
X
UI
X
UI
IRU
UUU
222
Po dosazeniacute
2
2
2222222
AB
c
AB
L
AB
ABCLABABR
UX
U
X
UR
UIIRUIRUUU
2
2
22
2
2 111
cL
ABAB
c
AB
L
AB
XXRUU
X
U
X
URU
2
2
22
2
22 11cL
LcAB
cL
LcAB
XX
XXRU
XX
XXRUU
2
2
1cL
Lc
AB
XX
XXR
UU
Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute
na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU
66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute
zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do
magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute
kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje
Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute
IUP
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon
iup
179
Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute
posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute
nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a
z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a
jejiacute jednotkou je voltampeacuter
IUS (VA V A)
Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute
přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži
Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute
nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je
s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem
pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a
induktivniacute zaacutetěži je cos = 0
Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o
90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute
energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je
voltampeacuter reaktančniacute
sin IUIUQ j (Var V A)
Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem
cos IUP sin IUQ IUS 2
2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS
22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP
Platiacute tedy že
222 SQP
což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200
Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu
180
Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A
měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute
napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a
hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku
Přiacuteklad 79
Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete
zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos
Řešeniacute
1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou
prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se
v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen
jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)
Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI
Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud
předřazenyacutem odporem
a) b)
Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti
2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)
Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute
induktivniacute reaktanciacute XL
Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute
hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL
(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute
indukčnost ciacutevky L
181
I
UZ
22 RZX L f
XL L
2
Z
R
IZ
IR
U
UR
cos
IUS cos IUP sin IUQ
67 Rezonance
Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti
indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute
tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute
Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin
rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme
rezonančniacute frekvence a značiacute se f0
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz
obr 202
Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram
Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro
rezonanci XL = XC
Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je
22)( RXXZ CL
Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji
jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0
Z0 = R
Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to
R
UI 0
182
Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost
ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC
LfCf
0
0
22
1
2
022
1f
CL
CLf
2
10
Rezonančniacute křivka
Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)
2222 )2
12()( R
CfLfRXXZ CL
Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)
Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel
je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0
Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute
R
CfLf
arctg
2
12
Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je
22)2
12( R
CfLf
U
Z
UI
Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute
kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute
odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu
Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R
Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL
183
a napětiacute na kondenzaacutetoru IC
IXU CC
1
Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy
0000 ILUU CL kde R
UI 0
Po dosazeniacute je
UR
L
R
ULILUU CL
0
00000
Vyacuteraz R
L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti
Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti
Pak UQXU CL 00
To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka
napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při
naacutehodneacutem dotyku
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod
Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz
obr 205
Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram
184
K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna
velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute
složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R
reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0
Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat
kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter
Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude
převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter
Proud ciacutevkou je
22222 RLf
U
RX
UI
L
RL
Jalovaacute složka proudu IRL je
RLRLRLj II sin kde 222
2sin
RLf
Lf
Z
X
ZI
XI
U
U
RL
L
RLRL
LRLLRL
Po dosazeniacute
222222 2
2
2
2
2 RLf
ULf
RLf
Lf
RLf
UIRLj
Činnaacute složka proudu IRLč je
222222222
cosRLfI
RI
RLf
U
U
U
RLf
UII
RL
RLRRLRLRLč
222222 222 RLf
RU
RLfI
RI
RLf
UI
RL
RLRLč
Proud kondenzaacutetorem je
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
2
2
1
Pro rezonanci
CRLj II
UCf
RLf
ULf
022
0
0 22
2
C
RLf
L
22
02
0)2( 222
0 LRCCLf
2
0
1
2
1
L
R
CLf
185
Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
22
2
2)(
RLf
RCf
RLf
LfU
RLf
RUCf
RLf
ULfIIII RLčCRLj
Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy
22
0
02 RLf
RUII RLč
Impedance při rezonanci je
R
RLf
I
UZ
22
0
0
0
2
Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu
je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0
Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna
odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou
Rezonančniacute křivky
Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu
matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute
2
22
2
222
22
2
RLf
RCf
RLf
LfUI
a
I
UZ
Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu
Činitel jakosti obvodu
Činitel jakosti obvodu je Q
R
LQ
0
186
Platiacute
000 IQII RLC
Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud
odebiacuteranyacute ze zdroje
Přiacuteklad 80
Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny
a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci
proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro
paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem
Řešeniacute
Ad a) Rezonančniacute frekvence
Hz
CLf
33
64630
102055602
10100
10210302
1
1021032
1
2
1
Rezonančniacute impedance
Z0 = R =10
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
A4210
240
R
UI
Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci
V 929516421031005522
f2
33
000000
ILILUU LC
Činitel jakosti
387324
95920 U
UQ C
Ad b) Rezonančniacute frekvence
Hz 1985111111111666666672
1
3
10
23
10
2
1
103
10
102103
1
2
11
2
1
249
2
363
2
0
L
R
CLf
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
187
A 016
1500
1024
10398512
1024
1010319852
1024
2
22
22322
0
0
RLf
RUII RLč
Rezonančniacute impedance
150160
24
0
0I
UZ
Proud kondenzaacutetorem při rezonanci
A 059866524102198522
2
16
0
0
0
0
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
Činitel jakosti
3741657160
598700 I
IQ C
Pozn
Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute
se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod
CLf
2
10
Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně
přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)
68 Kompenzace uacutečiniacuteku
Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla
nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute
složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li
faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je
daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy
v elektrickyacutech strojiacutech
188
a) b)
Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci
Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute
energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute
jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute
činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů
Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což
vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy
většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a
tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet
dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena
roste
Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud
kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho
původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute
složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute
zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho
vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku
Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav
paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095
Přiacuteklad 81
Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07
Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na
hodnotu 095
Řešeniacute
Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
Činnyacute vyacutekon je
189
cos IUIUPČ
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
186335470230
300
cos
U
PI A
Činnaacute složka proudu je
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
133070113043481863354 2222 čj III A
Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
coskomp = 095
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
1372998950230
300
cos
komp
kompU
PI
A
Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A
Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute
Cjjkomp III
Proud kondenzaacutetorem tedy bude
090198304287181330701 jkompjc III A
Pro proud kondenzaacutetorem platiacute
Cf
U
X
UI
c
C
2
1
Kapacita kondenzaacutetoru je tedy
6-5- 10124831012483230502
0901983
2
Uf
IC C F = 12483 F
190
7 Trojfaacutezovaacute soustava
Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute
jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina
průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod
elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak
napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena
využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute
trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute
velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci
elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute
magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
sinsin22 max UvlBvlBu xi
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
191
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute
Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově
pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute
harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem
posunem jednotlivyacutech napětiacute
Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou
pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o
se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se
označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211
Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
192
Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuW
Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech
hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule
0 WVU uuu
Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute
Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute
f
o
f UUx2
1)60cos( ff UUy
2
12
Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU
Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0
UU + UV + UW = 0
72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu
Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute
stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou
Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze
statoroveacuteho vinutiacute
Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem
otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)
Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute
obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou
draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je
posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi
193
průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute
U1 V1 W1 konce U2 V2 W2
Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti
Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu
statoru
Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute
Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem
obvodem a statorovyacutem vinutiacutem
Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod
rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na
vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky
stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n
(otmin)
Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru
Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru
Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute
jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute
vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje
elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem
v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto
uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na
elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu
přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů
přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute
Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech
elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou
195
označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla
3000 otmin
Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech
jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute
s předchoziacutem provedeniacutem
Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute
Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem
Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů
Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je
v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech
vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a
označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy
Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi
nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se
označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)
a) b)
Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy
a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem
Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute
faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf
196
fWVU UUUU
Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US
SWUVWUV UUUU
Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho
napětiacute
2
330cos
2 f
o
fS UU
U
fS UU 3
Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi
libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti
Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke
spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a
ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P
Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je
IRU
kde R je odpor vedeniacute
I je přenaacutešenyacute proud
Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je
2IRIIRIUP
Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině
přenaacutešeneacuteho proudu
197
Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou
energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem
vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety
Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se
napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně
niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se
energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory
Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek
Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty
dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou
proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje
v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky
Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru
Z uvedeneacuteho je patrneacute že
2
1
2
1
N
N
U
U (= transformačniacute poměr) a tedy
1
212
N
NUU
Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute
napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se
transformuje na nižšiacute napětiacute
Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že
vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu
P1 = P2 = P
Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak
1
212
N
NUU gt U1
Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute
2
2U
PI a
1
1U
PI
pak I2 lt I1
proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute
198
Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je
2
11
1
21
11
2
112
N
NI
N
NU
UI
U
UII
rarr
2
1
1
2
N
N
I
I
Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie
se sniacutežiacute
Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV
Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV
Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute
vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro
daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie
Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute
zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V
G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor
Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy
74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti
Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři
faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute
sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič
jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute
vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE
Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič
Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před
dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je
takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale
vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem
krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet
zdraviacute ohrožujiacuteciacute
199
Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C
Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S
Ochrana nulovaacuteniacutem
Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute
čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute
Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem
jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute
faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute
pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu
200
Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např
faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se
na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm
aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem
bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li
se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute
proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)
a) b)
Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem
Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při
poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute
je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud
IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho
působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se
danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine
74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti
Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi
Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy
Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy
připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu
a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
201
f
f
fZ
UI
Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel
danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče
Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy
Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven
nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute
žaacutednyacute proud
IN = 0
Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může
vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute
vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem
různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute
trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky
světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit
přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud
možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech
202
obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN
kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou
U
UU
Z
UI
V
VV
Z
UI
W
WW
Z
UI
Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute
fWVU UUUU
a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o
Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže
v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W
Pozor
Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde
přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a
spotřebičem
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka
Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230
Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka
203
Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou
stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o
UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3
Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou
UV
SUV
Z
UI
VW
SVW
Z
UI
WU
SWU
Z
UI
a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže
Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona
IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
S
f
S
SS
Z
U
Z
UI
3
Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech
napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče
Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech
Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute
Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute
o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232
2
330cos
2 WU
o
WU
fII
I
WUf II 3
204
Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je
různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz
obr 233
Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute
Přiacuteklad 82
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute
činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na
obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute
ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy
205
Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82
Řešeniacute
Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235
Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234
Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je
400 SWVUWVU UUUU V
Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost
Z
UIIII S
WVUWVU
kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L
76173
400
Z
UI S 230207 A
206
Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost
398730323020733 IIIII fWUV A
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech
Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
cos fff IUP (W V A)
Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
fff IUS (VA V A)
Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
sin fff IUQ (VAr V A)
Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute
Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon
cos33 fff IUPP (W V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon
fff IUSS 33 (VA V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
Přiacuteklad 83
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu
R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a
celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do
trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute
Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude
287580
230
R
UI
f
f A
Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy
661252875230 fff IUP W
207
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
1983752875230333 fff IUPP W
Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute
US Proud každyacutem z rezistorů bude
580
40033
3
f
ffSS I
R
U
R
U
R
UI A
Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy
00025400333 fffSSS PIUIUP W
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
6000200033 SPP W
Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy
751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek
Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na
svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co
nejjednoduššiacute
Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je
znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute
chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do
trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy
a) b) c)
Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do
trojuacutehelniacuteka
76 Točiveacute magnetickeacute pole
Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o
připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř
statoru točiveacute magnetickeacute pole
208
Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti
Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238
V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1
ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W
a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)
V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole
jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)
ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček
a) b) c)
209
d) e) f)
Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole
V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do
W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole
jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako
v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o
Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele
stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute
rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute
Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute
magnetickeacute pole
Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku
daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi
Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech
V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW
2
3)
3
4sin()
3
4sin( maxmaxmax IItIiw
Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy
2
3max w
kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute
Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239
Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole
210
maxmax
0
2
3
2
3
2
32)30cos(2 W
Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy
max2
3
Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute
o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a
velikosti max2
3
Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou
statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem
magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho
pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)
fns 60
Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru
Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory
Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho
magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241
V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)
V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)
v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy
pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček
211
a) b)
Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole
Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr
242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi
přiacutevodniacutemi faacutezemi
Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru
212
77 Kompenzace uacutečiniacuteku
Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny
v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy
Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute
elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat
neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a
vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech
bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute
proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem
Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute
charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem
připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute
Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou
hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je
penalizovaacuten
Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků
kondenzaacutetorů k siacuteti
Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu
Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky
spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou
nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem
přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na
využitiacute spotřebiče
Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru
Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech
rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke
zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při
individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute
jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody
213
Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena
v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti
spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace
Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku
kompenzačniacuteho vyacutekonu
Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry
měřiacute pouze činnou odebranou energii
214
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami
81 Elektrostatickeacute pole
Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)
elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19
C
Q = ke k je celeacute čiacuteslo
I elektrickyacute proud ampeacuter (A)
t
QI
E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )
Q
FE
U elektrickeacute napětiacute volt (V)
Q
AU ( CJV )
l
UE
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem
prostřediacute
permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m
-1)
0 r
0 permitivita vakua 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
r poměrnaacute permitivita r gt = 1
24 r
QE
intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule
s naacutebojem Q
D elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
ED r 0
C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)
U
QC
l
SC r 0
215
Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC 21
Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC
1
1
111
21
Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru
t
c eUu 10
kde
CR
Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
Pak kapacita osamoceneacute koule je
104 rC r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
82 Stejnosměrnyacute proud
J Proudovaacute hustota
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
R elektrickyacute odpor ohm ()
R
UI hellip Ohmův zaacutekon
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
rezistivita materiaacutelu
G vodivost siemens (S)
RG
1
216
Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR
teplotniacute součinitel odporu (1oK)
A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu
tIUUQA (J V A s)
P vyacutekon
2IRIIRIUP (W V A)
uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 P
P )( JJ
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel
01
n
k
kI
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku
01
n
k
kU
Spojovaacuteniacute rezistorů
Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21
Paralelniacute niVyacutesl RRRRR
1
1
111
21
Transfigurace
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute
iRIUU 0
Proud nakraacutetko
i
kR
UI 0
217
83 Magnetickeacute pole
magnetickyacute tok weber (Wb)
B magnetickaacute indukce tesla (T)
SB
lI
FB
lIBF sin lIBF (N T A m)
Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)
n
i
im IF1
Um magnetickeacute napětiacute (A)
n
i
mim UF1
H intenzita magnetickeacuteho pole
l
UH m (Am
-1 A m)
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r
I
l
UH m
2
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
HB r 0
0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) henry (H)
r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r
přibližně 1)
Hopkinsonův zaacutekon
mm U
l
SS
l
USHSB
Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)
mm Ul
SG
Rm magnetickyacute odpor (reluktance)
m
mG
R1
S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
218
Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
r
INH
2 kde
2
Dr
2
12 DDD
Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
l
IN
l
UH m
Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
r
IN
l
UH m
2
Indukčniacute zaacutekon
dt
du
pro ciacutevku o N zaacutevitech
dt
dNu
Pohyboveacute napětiacute
vlBu
L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)
dt
diMu 1
2
12
12
mR
NNM
22 LLM
22 LLM
kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Transformačniacute poměr
2
1
2
1
N
N
u
u
Spojovaacuteniacute ciacutevek
seacuterioveacute 21 LLL
seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
219
paralelniacute 21
111
LLL
paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
Přechodovyacute jev na indukčnosti
t
L eUu
0
kde
R
L
Energie magnetickeacuteho pole
mm UW 2
1 lSHBWm
2
1
Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
sin lIBF
Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu
SR
INF
m
2
22
02
1
84 Střiacutedaveacute proudy
f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)
60
nf
T doba jedneacute periody (s)
fT
1
uacutehlovaacute rychlost
f 2 (rads-1
)
Průběh harmonickeacuteho proudu
)sin(max tIi )sin(max tIi
Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
2
maxII
Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
max
2IImed
220
Odporovaacute zaacutetěž
)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR
Ui
Induktivniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
LX
UI max
max
XL induktivniacute reaktance ()
LX L
Kapacitniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
CX
UI max
max
XC kapacitniacute reaktance ()
CX C
1
Seacuteriovyacute RLC obvod
Z impedance obvodu ()
22)( RXXZ CL U
IR
U
U R cos
Paralelniacute RLC obvod
22)( RCL IIII I
IRcos
Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)
S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)
Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)
222 SQP
cosφ uacutečiniacutek
IU
P
cos
Rezonance
f0 rezonančniacute frekvence
CLf
2
10
221
Q činitel jakosti obvodu je R
LQ
0
84 Trojfaacutezovaacute soustava
Uf faacutezoveacute napětiacute
Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuw
US sdruženeacute napětiacute
fS UU 3
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
cos33 fff IUPP (W V A)
fff IUSS 33 (VA V A)
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
222
Použitaacute literatura
BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-
7333-043-1
Internetoveacute straacutenky (www)
BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt
httpwwwbrush-semczgt
Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-
cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt
Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt
5
Obsah
Anotace 3
Uacutevod 9
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10
12 Předpony jednotek 11
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12
21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12
3 Elektrostatickeacute pole 14
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18
35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21
361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22
37 Kondenzaacutetor 22
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28
310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31
3111 Dielektrika vedle sebe 31
3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37
4 Stejnosměrnyacute proud 38
41 Proudovaacute hustota 38
42 Intenzita proudoveacuteho pole 39
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39
431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47
6
46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83
5 Magnetickeacute pole 88
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89
53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92
534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111
58 Elektromagnetickaacute indukce 119
581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134
59 Energie magnetickeacuteho pole 135
7
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140
6 Střiacutedaveacute proudy 143
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152
651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160
661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162
663 Seacuteriovyacute LC obvod 164
664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168
668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183
68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187
7 Trojfaacutezovaacute soustava 190
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207
76 Točiveacute magnetickeacute pole 207
77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215
8
83 Magnetickeacute pole 217
84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221
Použitaacute literatura 222
9
Uacutevod
Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech
obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole
Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru
popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem
bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků
elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute
Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto
tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a
ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z
Maxwellovyacutech rovnic
Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a
jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti
aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute
aplikovaneacute elektrotechniky
10
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky
Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou
fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute
veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme
Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)
jednotka = sekunda
Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem
zaacutepisem
Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute
zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI
Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik
zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se
nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International
dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek
a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veličina
Metr m deacutelka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s čas
Ampeacuter A elektrickyacute proud
Kelvin K teplota
Mol mol laacutetkoveacute množstviacute
Kandela cd sviacutetivost
b) Doplňkoveacute jednotky
doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu
steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu
c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI
vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute
vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami
Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute
vlastniacute naacutezev
11
Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)
protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute
naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev
Coulomb [C]
Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než
jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje
vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a
nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)
Dovoleneacute
Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg
Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m
3
Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)
Nedovoleneacute
Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm
Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W
12 Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou
Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10
-6 F = 0000005 F
Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů
21 Elektronovaacute teorie
Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit
Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů
neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho
elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)
označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura
atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a
z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech
(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19
C
Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů
ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy
stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute
Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se
porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však
vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute
naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo
Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem
přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute
elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
22 Vodiče a izolanty
Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při
slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely
nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem
nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem
naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je
složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou
vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem
působeniacutem elektrickeacuteho pole
Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky
označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem
silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)
23 Zdroje elektrickeacute energie
Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu
energie
Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek
zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely
13
zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem
zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)
Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič
Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka
Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute
vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu
na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem
tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji
Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI
soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC
Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda
14
3 Elektrostatickeacute pole
Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky
nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole
Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem
kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek
Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem
elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute
polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute
naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů
Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se
navzaacutejem přitahujiacute
Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole
Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar
Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela
elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli
Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli
Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele
zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na
volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole
osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4
Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje
Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda
volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na
čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami
15
Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů
Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo
uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit
veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole
QEF ( 1 CNCN )
Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj
je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a
tohoto naacuteboje
Z toho
Q
FE ( CNCN 1 )
Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme
toto pole nehomogenniacute
Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto
polem homogenniacutem
Přiacuteklad 1
Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute
pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C
Řešeniacute
5110150010301050 363 QEF (N)
16
32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou
stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a
velikost
Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem
poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se
čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A
lFA ( mNJ )
Po dosazeniacute F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak
praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U
Q
AU ( CJV )
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje
o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1
)
Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity
pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)
Protože Q
FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a
Q
AU vypočiacutetat
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U
l
UE ( mVmV 1 )
Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute
(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely
17
Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel
Přiacuteklad 2
Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute
vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V
Řešeniacute
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
33 Coulombův zaacutekon
Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou
se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a
zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich
vzdaacutelenosti
Obr 8 - Coulombův zaacutekon
Platiacute tedy
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta maacute hodnotu
4
1konst
18
kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato
hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute
0 r
kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně
rovna 1
Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute
je
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
Přiacuteklad 3
Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost
1 mm
Řešeniacute
)(1032)101(
106021106021
1085484
1
4
1 22
23
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem
většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal
Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje
Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute
ekvipotenciaacutely
Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity
v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy
19
Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q
FE a platiacute Coulombův zaacutekon
2
21
04
1
r
QQF
r
1QQ a CQ 12
Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute
Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však
bude v každeacutem bodu do středu koule
Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem
součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji
Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole
35 Elektrickaacute indukce
Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem
stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest
tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se
elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute
Obr 11 - Elektrickaacute indukce
20
Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do
země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem
Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute
pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle
obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na
destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj
Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
Přiacuteklad 4
Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el
naacutebojem 310-12
C
Řešeniacute
)(105974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D
Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše
neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity
elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash
čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce
Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r
ED r 0
36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů
361 Polarizace dielektrika
Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče
vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem
elektrickyacute proud
U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se
vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se
nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)
Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky
nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu
čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely
9 a) 9 b)
Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)
Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole
polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu
vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute
pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než
původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)
9 a) 9 b)
Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)
22
362 Elektrickaacute pevnost dielektrika
Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a
nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita
elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu
je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu
- proud začne izolantem proteacutekat
Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů
se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů
Materiaacutel r Ep (kVmm)
vzduch 10006 2 až 3
mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30
parafiacuten 19 až 22 20 až 30
kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58
kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10
polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60
sliacuteda 6 až 7 40 až 80
sklo 35 až 4 20 až 50
porcelaacuten 55 až 65 20 až 45
37 Kondenzaacutetor
Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute
elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je
dielektrikum
Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje
opačnyacutech polarit
Obr 15 - Kondenzaacutetor
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute
napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute
naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute
Platiacute tedy
UkonstQ
23
Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F) U
QC a tedy rozměr jednotky farad je (
V
C
U
QF )
Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF
Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je
Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru
Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika
Viacuteme že platiacute
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich
vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r
Přiacuteklad 5
Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm
a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V
Řešeniacute
UCQ
l
SC r 0 kde 322 1041020102 S (m
2)
)(4171)(014171
)(1014171601088541010
1044108854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)
24
381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
1a) 1b)
Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U
Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je
321 QQQQ
Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazeniacute
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute
CUQ
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit
jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
25
1a) 1b)
Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute
jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy
všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
QQQQ 321
Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
321 UUUU
Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute
C
QU
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
321
1111
CCCC
Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute
součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 6
Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do
seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute
26
Řešeniacute
CCCCCCvyacutesl
411111 250
4
1
4
CCvyacutesl F
Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute
kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn
Přiacuteklad 7
Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a
kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=
200 nF
Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Řešeniacute
Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem
C45
5454
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
5454
CC
CCC (nF) = 01F
Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20
Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat
vyacuteslednou kapacitu C
82102150154321 CCCCC F
Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj
66 10267241082 UCQ C
27
Přiacuteklad 8
Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme
libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby
byl splněn danyacute požadavek
Řešeniacute
Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že
spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita
takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že
potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21
Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 9
Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme
kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na
propojenyacutech kondenzaacutetorech
Řešeniacute
Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je
62421 CCC (F)
Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute
hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od
okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi
piacutesmeny
V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U
nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje
určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt
0
V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute
děj na kondenzaacutetoru
Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC
Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)
neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute
t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute
maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute
se zpomaluje
Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud
přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Průběh proudu a napětiacute je na obr 23
29
Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru
Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je
daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute
konstanty
t
c eUu 10
kde
CR
310 Energie elektrostatickeacuteho pole
Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U
C
QU
Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA
Platiacute Q
AU A = U Q tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech
diacutelčiacutech praciacute dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je
C
QWC
2
2
Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC nebo takeacute UQWC
2
1
Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho
kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se
na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou
energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24
30
Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich
vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie
nahromaděnaacute v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww C
C
2
1
2
12
1
2
2
Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole
platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole
Přiacuteklad 10
Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na
kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru
Řešeniacute
Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu
12-12-
3
412-
1
01 10177082108854101
10201108854
l
SC r F
Naacuteboj na kondenzaacutetoru
-12-12
11 10212496101770812 CUQ C
Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek
12-12-
3
412-
2
02 10118053313331088541051
10201108854
l
SC r F
Napětiacute po posunutiacute desek
18101180533
1021249612-
-12
C
QU V
31
Přiacuteklad 11
Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na
napětiacute 230 V
Řešeniacute
1322500101322505290010522301052
1
2
1 66262 UCWC J
311 Složenaacute dielektrika
Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou
3111 Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 25
Obr 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole
l
UEEE 21
Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to
ED r 011 a ED r 022
Naacuteboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude
21 QQQ
Dosadiacuteme za Q1 a Q2
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o
kapacitaacutech 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojeneacute paralelně
Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou
dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute
3112 Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum
Obr 26 - Dielektrika za sebou
Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou
materiaacutelech je stejnaacute
S
QDDD 21
Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druheacute
20
2
r
DE
Celkoveacute napětiacute mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 2
20
222 lD
lEUr
Pak po dosazeniacute
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protože platiacute l
SC r 10 je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protože C
QU1 pak
převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot
kapacit diacutelčiacutech dielektrik
21
111
CCC
Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory
Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech
diacutelčiacutech dielektrik
Lze tedy psaacutet 2
1
21 EE
r
r
a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute
intenzita tohoto dielektrika Ep gt E
Přiacuteklad 12
Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem
tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech
dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute
Materiaacutel r Ep (kVmm)
1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40
2 sliacuteda 7 60
34
Řešeniacute
Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je
92307692141
2400
304207
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
Vmm
161538592307694
72
1
21 EE
r
r
Vm
Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost
vyhovuje
312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem
Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva
středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
24 r
QDE
Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3122 Osamocenaacute koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrickaacute indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazeniacute za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi
maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute
pevnosti izolantu
36
3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
lr
QDE
2
Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Přiacuteklad 13
Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je
kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)
37
Řešeniacute
12-12--12
1
2
0 101038136105log32
166894
50
52log32
131088542
log32
2
r
r
lC r F
C = 1038 pF
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi
V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody
odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho
zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země
Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj
dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj
kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba
oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu
uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost
natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu
izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije
Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute
naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo
vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje
elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter
vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute
nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech
měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů
Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů
Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje
uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a
uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič
Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute
omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje
zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem
Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje
Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech
mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute
elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry
Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute
objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena
k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute
38
4 Stejnosměrnyacute proud
Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne
vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I
Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho
naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad
akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)
Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U
Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu
elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute
ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb
Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute
elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče
41 Proudovaacute hustota
Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se
nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru
Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute
Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem
bude průřez vodiče většiacute
V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute
proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se
na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu
Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
39
42 Intenzita proudoveacuteho pole
Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno
l
UE )( 1 mAmV
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon
Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem
většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je
přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute
Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty
obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme
že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor
Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče
Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu
zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute
Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute
Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem
jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute
měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme
napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru
Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1
)
Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA
-1)
Pak lze psaacutet
R
UI
Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I
Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon
Rezistory
Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute
odpor R
Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru
Přiacuteklad 14
Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A
Řešeniacute
46050
230
I
UR ()
431 Velikost elektrickeacuteho odporu
Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho
je vodič vyroben
Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu
vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute
i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče
Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu
vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute
Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely
Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
kde l je deacutelka vodiče
S je průřez vodiče
je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je
to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2
při teplotě 20oC
41
Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Rezistivita některyacutech materiaacutelů
Materiaacutel mm2m
-1
Měď 00178
Hliniacutek 00285
Střiacutebro 00163
Ocel 013
Konstantan 05
Chromnikl 11
Cekas 11
Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory
Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely
pro vyacuterobu vodičů
Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu
rezistorů
Přiacuteklad 15
Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m
Řešeniacute
S
lR () kde 0785)50( 22 rS mm
2
430785
15000178
S
lR ()
Přiacuteklad 16
Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3
Řešeniacute
S
lR () z toho plyne
SRl
143)1( 22 rS mm2
52901780
1433
SRl (m)
432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě
S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute
elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky
s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste
42
Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při
zahřaacutetiacute vodiče o 1o
C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se
nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -
(1oK)
Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek
odporu R = R2 - R1 miacutet velikost
1RR
Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely
Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu
(K-1
)
Měď 00042
Hliniacutek 0004
Střiacutebro 0004
Ocel 0006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2510-4
Cekas 710-5
Přiacuteklad 17
Měděnyacute vodič o teplotě 20o
C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A
Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C
Řešeniacute
Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1
2120
241
I
UR ()
Přiacuterůstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor při teplotě 60o C
)(40161)40004201(21)1(12 RR
43
Přiacuteklad 18
Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o
C do +40o C
Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě
Řešeniacute
Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co
Odpor při -25o
C R1
Odpor při -25o
C 1112 2731)65004201()1( RRRR
Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu
Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče
je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q
UQA (J V C)
Protože proud je t
QI lze dosadit
tIUUQA (J V A s)
Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty
elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem
a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute
Protože platiacute Ohmův zaacutekon R
UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A
V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute
praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute
v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)
Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo
Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P
IUt
tIU
t
AP
(W V A)
Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1
)
Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Přiacuteklad 19
Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut
Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(6450
230A
R
UI
Vyacutekon )(105864230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s
Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně
použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)
Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute
energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy
ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi
vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ
Platiacute
ZWWW 12
Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost
1
2
W
W a je to vždy čiacuteslo 1
Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 W
W )( JJ
Protože přiacutekon je t
WP 1
1 a vyacutekon je t
WP 2
2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W )( WW
45
Přiacuteklad 20
Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po
dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě
v konvici
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(831120
220A
R
UI
Přiacutekon )(34038312201 WIUP
Vyacutekon )(323100
803403 12 WPP
45 Kirchhoffovy zaacutekony
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem
nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit
pomociacute Ohmova zaacutekona
Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost
odporu zaacutetěže R pak proud I
I
UR
Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je
na obr 34
Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
46
Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly
Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu
Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu
Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy
zaacutekony
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje
Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve
vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i
elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud
Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect
54321 IIIII
Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute
lze psaacutet
01
n
k
kI
Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule
Přiacuteklad 21
Obr 36 - Proudy v uzlu
Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li
proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A
Řešeniacute
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen
uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute
To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule
01
n
k
kU
Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute
+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem
orientace smyčky
- hellip orientace napětiacute je proti směru
orientace smyčky
Tedy U1 + U2 ndash U = 0
Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech
odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce
Přiacuteklad 22
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =
6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38
Obr 38 - Napětiacute ve smyčce
Řešeniacute
Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
040I A
800402011 IRU V 210403022 IRU V
48
46 Spojovaacuteniacute rezistorů
Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 39
Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
021 UUU
Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vyacuteraz I
Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie
aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je
rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie
21 RRRV
Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz
niV RRRRR 21
Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů
jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie
49
462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 41
Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
21 III
Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle
Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute
21
111
RRRV
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme
vyacuteraz
niV RRRRR
1
1
111
21
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
50
Přiacuteklad 23
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =
12 V Obvod je zapojen podle obr 43
Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
0240500
12
Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je
42024010011 IRU V 69024040022 IRU V
Přiacuteklad 24
Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44
Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech
odporů
14577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
8531457
220
Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V
Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR
UI 22
100
220
1
1
AR
UI 550
400
220
2
2 AR
UI 11
200
220
3
3
Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit
321 IIII
AI 853 AIII 8531155022321
což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů
Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně
řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu
odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme
celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů
určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a
napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu
Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 25
Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy
ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45
Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25
52
Řešeniacute
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor
2132
111
RRR
tedy odpor 32
3232
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema
Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor
R123 = R1 + R23
Naacutehradniacute obvod pak je
Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů
Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321
1R
UI
Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na
jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu
Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11
53
Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy
Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem
Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1
Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III
Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute
Přiacuteklad 26
Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49
Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26
Řešeniacute
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit
R345= R3 + R45
Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema
Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute
Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je
daacutena vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod
Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napětiacute U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napětiacute UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypočteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3
333 IRU
Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletně vyřešen
Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve
smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů
56
Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů
Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona
0321 III
Pro uzel B musiacute platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona
021 UUU
Pro smyčku y platiacute
0243 UUU
Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků
472 Transfigurace
V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou
zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit
postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech
přiacutekladech
Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute
57
Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)
a) b)
Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy
Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka
rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute
jako působeniacute trojuacutehelniacuteka
Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56
Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu
Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech
přiacutekladech
Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi
stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute
201012 RRRCelk
Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute
2010
233112
233112 )(RR
RRR
RRR
Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )(RR
RRR
RRR
3010
233112
231231 )(RR
RRR
RRR
Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro
adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro
adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Přiacuteklad 27
Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li
napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30
R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57
Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27
Řešeniacute
Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a
daacutele zjednodušujeme podle obr 58
59
1 2
3 4 5
Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu
Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je
16706
1
36
6
celkR
UI A
60
Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je
0667015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napětiacute rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu
Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do
elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii
Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute
U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho
svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0
481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute
Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute
poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se
vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek
nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem
napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno
= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy
nulovyacute)
Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult
U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se
zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje
Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute
61
Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj
Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je
iRIUU 0
Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika
zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost
Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je
malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem
odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute
vnitřniacute odpor Ri
Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik
Obr 62 - Proud nakraacutetko
62
U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně
zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů
měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute
Přiacuteklad 28
Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru
proudu 02 A je 58 V
Řešeniacute
Proud nakraacutetko bude
i
kR
UI 0
Svorkoveacute napětiacute U je
iRIUU 0
iR 20685
Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri
120
856
iR
Proud nakraacutetko tedy je
61
60 i
kR
UI A
482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute
podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje
Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute
vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech
zdrojů
Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU
Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR
Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU
Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem
napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho
hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by
hrozilo poškozeniacute zdroje
a) b)
Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně
Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů
Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je
jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se
všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat
z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů
Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute
napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly
vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit
02010 UUU a 21 iii RRR
Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute
21 zZz III
Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute
1zz InI nUUUU 002010 n
RR i
i1
Přiacuteklad 29
Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15
V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A
Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A
Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje
64
Řešeniacute
Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud
01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64
Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů
Celkovyacute vnitřniacute odpor bude
32
23
2
3 1
iiacute
RR
Proud nakraacutetko bude
513
5133 01
i
kR
UI A
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi
Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory
využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny
rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty
491 Dělič napětiacute
Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute
65
a) b)
Obr 65 - Dělič napětiacute
Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
21 RR
UI
tedy U
RR
RR
RR
URIU
21
22
21
22
Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2
platit
z
z
RR
RRR
UI
2
21
a po dosazeniacute
URRRRRR
RR
RR
RR
RR
RRR
U
RR
RRIU
zz
z
z
z
z
zz
z
2121
2
2
2
2
21
2
22
Přiacuteklad 30
Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66
Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič
napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o
odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V
Řešeniacute
Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem
R1 + R2 = 1000
tedy R1 = 1000 ndash R2
66
a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
241000
2
21
22
RU
RR
RU
b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute
24500500)1000()1000(
500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
c)
2415001500)1000()1000(
1500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho
napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič
Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory
492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru
k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek
Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem
67
Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute
bbAA RIRI a tedy A
b
b
A
R
R
I
I
Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to
v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku
Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute
tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku
A
b
Am
A
R
R
II
I
A
b
AA
A
R
R
IIn
I
)1(
n
RR A
b
Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash
viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor
Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem
Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory
předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na
předřadneacutem odporu a na voltmetru
pVm UUU p
V
p
V
R
R
U
U
Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy
Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu
)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p
V
V
V
R
R
nU
U
)1(
Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp
Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet
Přiacuteklad 31
Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo
možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA
68
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 2010
200n kraacutet
Odpor bočniacuteku bude 581)120(
30
)1(
n
RR A
b
Přiacuteklad 32
Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak
aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 5120
600n kraacutet
Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp
493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu
V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute
měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute
zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu
Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou
Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA
naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je
omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV
Velikost odporu RX je
iV
VA
V
VA
V
x
xx
R
UI
U
II
U
I
UR
Přiacuteklad 33
69
Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud
ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70
Řešeniacute 95201680
16
003200200
16
5000
16020
16
iV
VA
Vx
R
UI
UR
494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně
širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem
)1(12 RR
kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty
Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute
teploty
Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty
odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2
)1(12 RR 11
2
R
R
11
2
R
R
1
12
R
RR
Měřenaacute teplota je tedy
1
12112
R
RR
Přiacuteklad 34
Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu
je-li
hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o
velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je
20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71
Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty
Řešeniacute
Odpor při 20o C je R1 = 200
Odpor při o C je R2
70
27020
5400
20
1045
1020
1020306 3
3
3
2
A
AA
I
IRUR
Měřenaacute teplota je tedy
510780
7020
104200
20027020
3
1
1212
R
RR o C
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech
Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly
v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly
lineaacuterniacute obvody
V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale
vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute
Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku
Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na
nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a
odpor je tedy vyššiacute
Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a
pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika
nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
a) b)
Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech
obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute
zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku
Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme
pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je
daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute
charakteristikou zdroje
71
Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu
Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen
nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici
a) b) c)
Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu
c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA
charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem
prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto
hodnoty odečteme z grafu
Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu
Přiacuteklad 35
Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je
napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute
podle obr 76 a)
a) b)
72
Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku
Řešeniacute
Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute
že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash
je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho
a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme
Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou
proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek
křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem
z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP
VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body
U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A
Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35
Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je
Ip = 27 mA
Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom
dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho
proudu s VA charakteristikou rezistoru R1
Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož
vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku
hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN
Přiacuteklad 36
Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka
paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi
hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka
U (V) 1 2 3 4 5 6
73
I (A) 01 0165 022 025 028 03
Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32
Řešeniacute
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky
rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute
charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute
charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky
Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1
Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020
60 iR
UIk A
Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36
Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a
proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je
rovno 188 V
74
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji
Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech
zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute
zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na
uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet
tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute
Ohmova zaacutekona
Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech
rezistorů
Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že
jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet
všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než
byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu
Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute
že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou
orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti
směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80
Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3
Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech
Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci
zvolenyacutech smyček x a y
Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)
321 III (1)
75
Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
01221 UUUU RR (2)
Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
0232 UUU RR (3)
Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho
platiacute
111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)
Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod
Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)
0122211 UURIRI (2a)
023322 URIRI (3a)
Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)
0)( 232122 URIIRI (3b)
Upraviacuteme (3b)
02323122 URIRIRI
0)( 231322 URIRRI
32
3122
RR
RIUI
(3c)
a dosadiacuteme do rovnice (2a)
0122
32
31211
UUR
RR
RIURI (2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1
0122
32
312
32
211
UUR
RR
RIR
RR
URI
23321
323211
233121
3121322222
32
231
122
32
2
1
122
32
2
32
23111
)(
)(
RRRRR
RURRUI
RRRRRR
RURURURURU
RR
RRR
UURRR
U
I
UURRR
U
RR
RRIRI
Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2
76
I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3
Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a
(6)
Tiacutem je obvod kompletně vyřešen
Přiacuteklad 37
V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
100
Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37
Řešeniacute
Pro uzel A platiacute
321 III
Pro smyčku x platiacute
01122 RR UUUU
Pro smyčku y platiacute
0232 RR UUU
Dosadiacuteme do rovnic
02001010020 12 II 32010 12 II
010010020 23 II 21010 23 II
Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3
20
103 21
II
a
10
102 23
II
Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A
10
102
20
103 22
2 II
I
20
222 20420103 III
77
2507 I
14050
72 I A
Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3
08020
140103
20
103 21
II A
06010
140102
10
102 2
3
I
I A
Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče
v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
16200080111 RIUR V
14100140222 RIUR V
6100-006333 RIUR V
4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů
Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se
postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute
Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute
veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II
Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a
to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy
orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček
Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj
smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou
smyčkovyacutech proudů
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82
Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů
78
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib
Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona
Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba
Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme
011222 RIUURIRI aba
02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb
32
22
RR
RIUI a
b
01122
32
222
RIUUR
RR
RIURI a
aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute
Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia
01122
32
2
32
222
RIUUR
RR
RI
RR
RURI a
aa
21
32
2212
32
22 UU
RR
RURIR
RR
RIRI a
aa
312132
323121
3121223222
3222312122
1
32
222
21
32
22
RRRRRR
RURURU
RRRRRRRRRR
RURURURURU
RRR
RRR
UURR
RU
Ia
Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32
22
RR
RIUI a
b
a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se
smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
ab III 2
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute
Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
Přiacuteklad 38
79
Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
300 R4 = 200
a) b)
Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 83 b) kde R34 je
1205
600
200300
200300
43
4334
RR
RRR
Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky
a 0)( 1122 RIUURII aba
02001020100)( aba III
b 0)( 2234 RIIURI abb
0100)(20120 abb III
Upraviacuteme a dosadiacuteme
a 02001020100100 aba III 100
10300 a
b
II
b 0100)100
10300(20120
100
10300
a
aa III
Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme
0100103002012360 aaa III
02560 aI
0003571560
2aI A
Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali
Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib
80
0089286100
103000003571-
100
10300
a
b
II A
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je
shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu
smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
0092857)0035710(00892862 ab III A
Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou
10714291200089286343443 RIUU RR V
Proudy rezistory R3 a R4 jsou
0035714300
10714293 I A 0053571
200
10714294 I A
Napětiacute na rezistorech R1 a R2
07142862000003571111 RIUR V
928571000092857222 RIUR V
Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a
napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
020-10)(-0714286-92857
020-107142992857
0089286)(-00035710092857
Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku
Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute
pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by
bylo matematicky obtiacutežneacute
4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute
Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž
je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu
označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute
Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz
jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash
neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a
z nich pak proudy ve větviacutech obvodu
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84
81
Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R
je UA
Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute
321 III
Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a
dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice
32
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
21312321 )()( RRURRUURRUU AAA
21313123221 RRURRURRURRURRU AAA
31322131221 RRURRURRURRURRU AAA
313221
312321
RRRRRR
RRURRUU A
Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
1
11
R
UUI A
2
22
R
UUI A
3
3R
UI A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Přiacuteklad 39
Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30
R4 = 90
82
a) b)
Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 85 b) kde R34 je
12090304334 RRR
Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A
321 III
342
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
120100
20
200
10 AAA UUU
AAA UUU 10)20(12)10(6
AAA UUU 1012240660
107142928
300AU V
Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
-000357200
107142910
200
101
AU
I A
Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru
než byl původniacute předpoklad
928571400100
107142920
100
202
AU
I A
0089286120
1071429
1203 AU
I A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech
83
-071429200-000357111 RIUR V
9285714100928571400222 RIUR V
2678571300089286333 RIUR V
V 8035714900089286434 RIUR
4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice
Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl
připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze
tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86
Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj
jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho
obvodu
a) b)
Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice
84
Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky
je na obr 87 a)
32
3223
RR
RRR
R123 = R1 + R23
123
1
1R
UI
11
1 IRUR
11
RAB UUU
2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na
obr 87 b)
31
3113
RR
RRR
R123 = R2 + R13
123
2
1R
UI
11
1 IRUR
12
RAB UUU
1
1R
UI AB a
3
3
R
UI AB
Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje
Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute
1
11 III
2
22 III
3
33 III
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR
Přiacuteklad 40
Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
110 R4 = 130 R5= 240
1
85
Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34
2401301104334 RRR
Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345
120240240
240240
345
345345
RR
RRR
Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)
a) b) c)
Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)
5454545120100
120100
3452
34522345
RR
RRR
R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545
0039286 25454545
10
12345
1
1 R
UI A
78571430039286200
11
1 IRUR V
2142857785714310
11
RAB UUU V
86
214285700100
2142857
2
2 R
UI AB A
0017857120
2142857
345
345 R
UI AB A
Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)
75120200
120200
3451
34511345
RR
RRR
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175
0114286 175
20
12345
2
2 R
UI A
1142860114286100
22
2 IRUR V
857142942861120
12
RAB UUU V
0042857200
8571429
1
1 R
UI AB A
0071429120
8571429
345
345 R
UI AB A
Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou
-0003570042857-0039286
1
11 III A
00928572142857000114286
2
22 III A
0089286
345
345345 III A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
-071429200-000357111 RIUR V
928571009285700222 RIUR V
107143212000892863453345 RIUU RAB V
10714325 ABR UU V
0044643240
1071432
5
55
R
UI A
1
1
87
0044643240
1071432
34
43 R
UII AB A
4910731100044643333 RIUR V
5803591300044643334 RIUR V
88
5 Magnetickeacute pole
Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute
magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud
Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda
Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute
předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute
magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute
zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje
vždy k severu
Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety
Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute
elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje
Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute
silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole
Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute
magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka
Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute
směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute
čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje
orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech
čaraacutech
Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar
Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -
označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)
a) b)
Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute
Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute
89
Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu
a) b) c)
Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely
c) podkovoviteacuteho magnetu
Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute
působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem
Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme
silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a
jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
521 Magnetickeacute pole vodiče
V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech
kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute
takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute
čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute
V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve
středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93
Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči
90
Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem
Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen
na obr 94
Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo
pravotočiveacuteho šroubu
Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute
vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole
Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu
Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve
směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar
91
53 Veličiny magnetickeacuteho pole
531 Magnetickyacute tok
Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem
Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem
poli Popisuje tedy pole jako celek
Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)
532 Magnetickaacute indukce
Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho
toku na jednotku plochy
SB
Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem
magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě
Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce
Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I
tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1
Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To
se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash
viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute
nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do
zeslabeneacuteho pole
a) b)
Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute
v magnetickeacutem poli
lIkonstF
Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a
označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)
lIBF (N T A m)
92
Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem
Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole
lI
FB
(T NA
-1m
-1)
Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole
Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem
jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity
magnetickeacuteho pole
Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel
pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude
sin lIBF viz obr 98
Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute
Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute
se podiacutelejiacute na jeho vzniku
Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)
Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je
magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo
93
Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute
magnetomotorickeacute napětiacute je tedy
Fm = I
Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho
magnetickeacuteho pole je
Fm = I1 - I2 + I3
Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute
danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute
n
i
im IF1
a) b)
Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)
Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet
všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro
tuto indukčniacute čaacuteru
n
i
mim UF1
Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute
Fm = Um1 + Um2 + Um3
534 Intenzita magnetickeacuteho pole
Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute
indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je
l
UH m (Am
-1 A m)
kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um
Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke
křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery
94
Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole
r
I
l
UH m
2
Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy
tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu
vodiče na rovině indukčniacute čaacutery
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi
intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute
Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem
magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem
bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce
indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole
vybudilo
Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B
Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu
souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah
přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB
Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme
v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a
nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute
HB
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) (H) je jednotka henry ndash jejiacute
rozměr vysvětliacuteme později
Pro ostatniacute materiaacutely platiacute
HB r 0
kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než
vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1
95
Přiacuteklad 41
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud
8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče
5127323954104
1012
8
2
3
3
r
IH (Am)
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
115749051011
40
10112
8
2
2
3
r
IH (Am)
Přiacuteklad 42
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr
101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A
Obr 101 - Svazek vodičů
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku
2815720321 IIIFm A
6366198200
102
1022
8
2
2
2
r
FH m (Am)
Přiacuteklad 43
Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr
102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A
Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli
96
Řešeniacute
Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je
81201560 lIBF N
Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat
do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo
Přiacuteklad 44
Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad
Řešeniacute
0180)15020(60 SB Wb
Přiacuteklad 45
Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T
I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch
Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů
Řešeniacute
HB r 0 0= 410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
r
FH m
2 a
n
i
im IF1
Z toho plyne
r
m
BrHrF
0
22
150102
21015
104
00202 43
7
rFm A
321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A
97
54 Hopkinsonův zaacutekon
Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem
indukčniacutem tokem
Viacuteme že S
B
z toho SB
Protože platiacute HB a l
UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem
mm U
l
SS
l
USHSB
Vyacuteraz mUl
S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je
henry (H)
mm Ul
SG (H)
Platiacute tedy
mm UG
Rozměr jednotky henry
m
mU
G
)()()(2
A
mT
A
WbH
Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm
m
mG
R1
tedy S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku
Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek
Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti
magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku
Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy
deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu
S
lRm
1 kde r 0
Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je
hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny
pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho
magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu
98
Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin
Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute
Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute
Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute
pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny
Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky
poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r
551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů
Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole
Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů
po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin
elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky
se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute
U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute
uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře
materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy
sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4
m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem
magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a
tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu
vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho
pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel
vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost
že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je
zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě
magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika
Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika
99
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace
Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce
strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho
přiacuterůstku magnetickeacute indukce
Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato
čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity
magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při
navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi
body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute
charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute
Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů
Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho
pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť
Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje
tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute
intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou
magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a
značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat
v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity
magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute
hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute
intenzita (koercitivita)
Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom
nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při
snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem
magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba
opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev
popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka
Obr 105 - Hysterezniacute smyčka
100
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety
Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar
hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho
materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na
vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu
Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute
Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute
intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u
takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely
použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj
magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu
wolframu a molybdenu
Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou
koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute
tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech
střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet
Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem
a) b)
Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute
101
Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu
stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel
zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute
odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute
snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne
k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute
s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)
a) b)
Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka
Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am
102
Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu
Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg
103
Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik
104
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute
Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud
kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery l
IH přiacutepadně
l
FH m kde
n
i
im IF1
tedy součet všech proudů ktereacute se
podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole
Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův
zaacutekon
Biot-Savartův zaacutekon
Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon
Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l
je
sin4 2
r
lIH
kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A
Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky
kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov
561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče
Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute
tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu
průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude
stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem
pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)
Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x
IH
2
kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče
Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy
hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r
IH r
2
Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b
IHb
2
105
a) b)
Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)
Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera
Proudovaacute hustota J ve vodiči je
2r
I
S
IJ
Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia
2
22
2 r
aIa
r
ISJI aa
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy
2
2
2
222 r
aI
a
r
aI
a
IH
Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od
středu vodiče je přiacutemkovyacute
Přiacuteklad 46
Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti
15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A
Řešeniacute
Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je
509316000
1052
160
2 3max
r
IH Am
Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je
1273104
40
10160
10)155(2
160
2
33
35
x
IH Am
106
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
a) b)
Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar
nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve
středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit
sin4 2
r
lIH
Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute
24 r
lIH
Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce
zaacutevitu
r
Ir
r
Il
r
I
r
lIH
rr
22
444 2
2
02
2
02
Tedy r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute
2
Dl a
212
DDD
kde D je středniacute průměr ciacutevky 2
12 DDD
Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
107
Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se
podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu
ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr
Přiacuteklad 47
Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A
aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am
Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr a
2
12 DDD
1052
110100
2
12
DD
D mm a 5522
105
2
Dr mm
Počet zaacutevitů v ciacutevce je
5522
10001055222 3
I
HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů
564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute
podmiacutenka lD
Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka
108
Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119
Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem
Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje
severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom
konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)
Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute
magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu
lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je
l
IN
l
UH m
Přiacuteklad 48
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky
kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute
permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
250010505001010
505002
l
INH Am
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde
025132708010800000250080104 -7-7
0 HB r T
a
109
662232 10176714610)2
15()10
2
15( rS m
2
46 10444132201017671460251327 SB Wb
565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o
kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech
kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute
Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole
Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude
intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r
kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute
než d
Magnetickeacute napětiacute Um je
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je
r
IN
l
UH m
2
Přiacuteklad 49
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400
zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro
vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole je
10185923200
10
320
2
10102
80400
22
2
D
INH Am
110
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme
z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1
Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu
662232 107853982105)102
10( rS m
2
46 101115265107853982421 SB Wb
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok
Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly
tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem
dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje
a) b)
Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami
111
Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem
menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto
větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute
větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze
daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je
mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku
kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok
Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že
součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech
toků z uzlu vystupujiacuteciacutech
01
n
k
k
Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute
magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute
n
k
mkm UF1
Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon
m
m
R
U
kde
S
lRm
1 (H
-1) r 0
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem
Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu
Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem
průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se
uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej
v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat
Přiacuteklad 50
Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku
z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4
Wb D = 80 mm
d = 20 mm
Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro
112
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je
SB
kde 662232 101431010)10
2
20( rS m
2
127314
400
10143
1046
4
SB T
Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro
materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute je
31415938025110801250 3 DHlHFm A
Budiacuteciacute proud bude
1570796200
3141593
N
FI m A
Přiacuteklad 51
Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute
permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu
Řešeniacute
Z Hopkinsonova zaacutekona m
m
R
U je
m
m
UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm
44
4107854
4
102314
104
2314
mm
FR H
-1
Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu
S
lRm
1
kde 00010161250
271
H
B (Hm
-1)
633
6
3
100787143
1080
1016
101
10143
1080
0001016
11
S
lRm H
-1
Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem
zaokrouhlovaacuteniacute
Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu
HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7
Hm-1
113
58081008085071250 4
10101270
1250 10 4
271 33
7-
0
H
Br
Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou
Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute
v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2
Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou
Magnetickaacute indukce je S
B
je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute
Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r
BH
0
Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita
feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než
intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu
00
BBH
r
gtgt rFe
Fe
BH
0
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
0
BHUm
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
lB
lHUr
FemFe 0
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
mFemm UUF
Po dosazeniacute
0
BUUF mFemm l
B
r
0
114
Přiacuteklad 52
Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se
vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve
vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet
hodnotu maximaacutelně 08 A
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
100954934
1012
104
21
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
1435395105110095493 36 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
A2997929)5180(21
)10511080(1200)(1200 33
DlHU FemFe
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
173518829979291435395 mFemm UUF A
Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka
2169216898508
1735188
I
FN m zaacutevitů
Přiacuteklad 53
Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500
zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je
vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg
115
Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
1201803009020060500221121 ININFFF mmm A
Intenzita magnetickeacuteho pole
375032
120
l
FH m Am
Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra
B = 12 T
Celkovyacute magnetickyacute tok je
34 10081103321)030030(21 SB Wb
Přiacuteklad 54
Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby
magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro
elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu
Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54
116
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
3182)9070(2 l mm
Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
10127324104
104
61
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
336 10254647910210127324 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
1113103183500 3 lHU FemFe A
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
36595525461113 mFemm UUF A
Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a
provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů
Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak
73195
36595
I
FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a
budiacuteciacute proud bude 4574375800
36595
N
FI m
b A
Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je
znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např
pro dvě čaacutesti obvodu
21 mm
m
RR
U
ndash Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a
proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena
magnetizačniacute křivkou
Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce
)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak
možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm
117
Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a
pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm
Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2
tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm
Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf
Obr 127 - Funkce )( mFf
Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute
naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute
napětiacute z grafu funkce )( mFf
Přiacuteklad 55
Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech
materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle
obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů
Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
118
Řešeniacute
Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu
75051500 INFm A
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je
18090452 plechyl mm
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je
14090252 litinal mm
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm1
Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute
pro oba materiaacutely
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0555556109
1054
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
200 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
3723363610140240010180200 33
1
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm2
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0777778109
1074
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
400 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
8147427210140530010180400 33
2
Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4
Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4
Wb sestrojiacuteme
v Excelu graf funkce )( mFf
119
Fm (A) 372 814
Wb 00005 00007
Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb
58 Elektromagnetickaacute indukce
581 Indukčniacute zaacutekon
Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute
pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy
Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat
elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud
Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem
Indukčniacute zaacutekon
Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje
elektrickeacute napětiacute u
dt
du
kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku
dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d
120
Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon
Pozn
Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu
veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit
Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i
Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud
Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem
ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)
Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem
ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie
Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute
opačnou polaritu u = -e
Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash
viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute
dt
dNu
(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)
Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce
121
Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok
zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li
tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute
Přiacuteklad 56
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky
homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T
a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute
napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)
Řešeniacute
Magnetickyacute tok je
SB
Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0
Po 05 s bude tok
44 106110208 SB Wb
Změna magnetickeacuteho toku bude
44
01 106101061 d Wb
Změna času bude
050dt s
Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to
4801048001032150050
1061150 44
4
dt
dNu V
V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute
je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute
indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute
Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133
Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56
122
582 Pohyboveacute napětiacute
Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute
Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na
jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič
vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto
smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho
toku se neměniacute
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz
obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute
Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute
Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt
du
Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy
zmenšiacute o hodnotu
ltvBlsBSB
Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude
vlBt
ltvB
dt
du
)(
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok
smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity
vlBt
ltvB
dt
du
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče
elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute
Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem
Lenzův zaacutekon
Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem
polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou
123
Obr 135 - Lenzův zaacutekon
Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute
pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr
proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo
Přiacuteklad 57
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o
magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do
magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor
rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0
o a c) 60
o
Řešeniacute
a) Při uacutehlu 90 o
bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to
180503021 vlBu V
b) Při uacutehlu 0
o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru
indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je
nulovaacute
u = 0
c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka
rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami
rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti
rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem
čaraacutem
250505060cos50 0 kolmaacutev ms
Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky
124
Indukovaneacute napětiacute pak bude
0902503021 kolmaacutevlBu V
583 Vlastniacute indukčnost
Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute
magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude
indukovat napětiacute
dt
dNu
Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky
Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m
m
R
U kde INUm a tedy po dosazeniacute
mR
IN
můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu
za čas dt
mR
diNd
V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute
dt
R
diN
u m
Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute
dt
di
R
N
dt
R
diN
Ndt
dNu
m
m
2
Vyacuteraz mR
N 2
byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet
125
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
mR
NL
2
Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je
di
dtuL
1
)(
)()()(
AsV
A
sVH
Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita
materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky
Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute
nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu
Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute
hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se
v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se
nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
Přiacuteklad 58
Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů
vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm
Řešeniacute
Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka
Indukčnost ciacutevky je
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm
a S = r2 = 52
=7853982 mm2
3
672
0
2
1020
10547810450
l
SNL r
126
66
372 1039320
105478101041025
H
Přiacuteklad 59
Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli
se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm
Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400
Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm
23
3
7
0 )1010(
1051
104
11
S
Rm
66437
102534
10100101051
4
10
H
-1
Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru
23
33
7
0 )1010(
10511080
400104
11
S
lR
r
Fem
6437
4
337
101564004
105781010
10
10511080
4004
10
H
-1
Indukčnost ciacutevky je
0549561532
51
10)561532(
1500 2
6
222
mFemm RR
N
R
NL
H
584 Vzaacutejemnaacute indukčnost
Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2
(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute
tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140
127
Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost
Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i
jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje
elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude
indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet
dt
dikonstu 1
2
Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou
vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona
Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem
napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1
111 INFm
Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost
magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou
12
1112
mR
IN
Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude
dt
diM
dt
di
R
NN
dt
di
R
NN
dt
dNu
mm
11
12
121
12
12
1222
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je
12
12
mR
NNM
Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř
všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem
sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1
128
Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami
Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je
mR
NL
2
11
mR
NL
2
22
Vzaacutejemnaacute indukčnost M je
mR
NNM 12
Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme
21
2
1
2
2
2
2
1
2
22122 )( LLRR
NN
R
NN
R
NNM
mmmm
a tedy
22 LLM
Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute
ciacutevce bude
dt
di
R
N
dt
diLu
m
2
111
a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude
dt
di
R
NN
dt
diMu
m
212
Poměr napětiacute 2
1
u
uje
2
1
21
2
1
2
1
N
N
dt
di
R
NN
dt
di
R
N
u
u
m
m
Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
129
Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale
dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě
o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek
Pak
22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Přiacuteklad 60
Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů
primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr
142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je
800
Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Magnetickyacute odpor RmFe
64273
23
3
7
0
100353678984
10101010320
)1030(
10320
800104
11
S
lR
r
Fem
H-1
Indukčnost prvniacute ciacutevky
28274330353678
1
100353678
10006
22
11
mFeR
NL H
Indukčnost druheacute ciacutevky
636000353678
1051
100353678
150 22
6
22
22
mFeR
NL H
Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek
0381704636002839022 LLM H
130
Přiacuteklad 61
Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho
přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s
Řešeniacute
Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce
770002
01-06282743311
dt
diLu V
Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce
549002
01-0638202
dt
diMu V
Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute
ciacutevce bylo u2ideaacutel
1060288020
50
0353678
150
002
01-06
100353678
15010006
1
12
122
dt
di
R
NNu
m
ideaacutel V
Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667
Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667
Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute
2
1
2
1
N
N
u
u hellip transformačniacute poměr
585 Spojovaacuteniacute ciacutevek
Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je
Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně
Ciacutevky spojeneacute seacuteriově
Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143
to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat
stejneacute napětiacute
Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
131
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu kde dt
diLu 11 a
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )( 2121 LLdt
di
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL
Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute
vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k
kLL1
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute
indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet
Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M
je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash
viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet
132
Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti
soběldquo
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Ciacutevky spojeneacute paralelně
Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr
146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech
indukovat stejneacute napětiacute
Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi
kde dt
diLu 1
11 a dt
diLu 2
22
a tedy dt
diLu 1
1 a dt
diLu 2
2
z toho 1
1
L
u
dt
di a
2
2
L
u
dt
di
133
Po dosazeniacute 21 dididi
21 L
u
L
udi
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu z toho
L
u
dt
di
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21
111
LLL
Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute
vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute
jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k kLL 1
11
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz
obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute
MLMLL
21
111
Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash
viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet
MLMLL
21
111
Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
134
Přiacuteklad 62
Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost
seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute
indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH
Řešeniacute
Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je
MLLL 221
Z toho
202
)40100(180
2
)( 21
LLL
M mH
585 Přechodovyacute jev na indukčnosti
Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce
dt
diLuiL
Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji
stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute
odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor
bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku
poškodil)
V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na
indukčnosti
Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon
V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud
jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0
pak vyacuteraz dt
diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem
Pro t0 platiacute
t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0
135
V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu
největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute
to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = konst di = 0 0dt
di
0dt
diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0
R
U
R
ui R 0
V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud
v obvodu je omezen jen odporem rezistoru
Průběh proudu a napětiacute je na obr 150
Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i
napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na
ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty
t
L eUu
0
kde
R
L
Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti
59 Energie magnetickeacuteho pole
Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově
působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud
Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute
průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute
udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem
mm UW 2
1 (J Wb A)
Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie
nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu
136
HBlS
U
V
U
V
Ww mmm
m
2
1
22
Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke
konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je
lSHBVHBVwW mm 2
1
2
1
Přiacuteklad 63
Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky
Řešeniacute
Energie magnetickeacuteho pole je
mm UW 2
1
kde INUm a mR
IN
Po dosazeniacute
mm
mmR
ININ
R
INUW
22
2
1
2
1
2
1
Protože LR
N
m
2
dostaneme vyacuteraz 2
2
1ILWm
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy
Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech
materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole
Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech
vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve
vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti
přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti
plneacuteho průřezu
137
Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech
Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute
energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou
energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů
Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute
jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety
způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce
Pv f 2 B2
Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute
z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm
transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute
budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute
množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute
vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru
V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu
Hysterezniacute ztraacutety
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky
138
Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute
ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci
Ph f B2
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově
proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi
proudy
PFe = Ph + Pv
V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole
silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce
vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli
lIBF
Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute
vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka
magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute
sin lIBF viz obr 153
Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho
magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho
Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole
působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem
proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela
139
Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Velikost siacutely F
lIBF 21
kde 101 HB r 0=410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
kde r
IH
21
1
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
7-212
17-
21 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
(N A A m m)
Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič
Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute
vodič
7-211
27-
12 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute
a vodiče se tedy odpuzujiacute
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je
zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute
140
Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute
Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi
rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7
N na 1 m deacutelky
vodičů
Přiacuteklad 64
Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm
rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho
proudu v nich je 40 A
Řešeniacute
Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je
3-7-
2
7-21 101920010105
304040210
I2
r
lIF N
5121 Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta
ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157
Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute
feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou
Obr 157 - Elektromagnet
141
Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na
pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru
Přitažlivaacute siacutela magnetu
Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce
B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti
magnetickeacute indukce B
Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu
V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou
posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie
magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie
magnetickeacuteho pole
dlSB
dlSB
BdlSHBWm 0
2
0 2
1
2
1
2
1
a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F
dlFA
Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2
02
1
Platiacute že S
B
a mR
IN
kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet
hodnota RmFe zanedbaacutevaacute
Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
142
Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem
přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze
magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute
Přiacuteklad 65
Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm
plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je
66
47
3
47
3
0
1053051656
10100
103102
10
109104
10322
S
lR v
m H-1
Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
9)5305165(42
1010104109
109)105305165(
2300
1042
12
41274
426
22
7
F
65852814303
500
28143032
100010
9281430342
49 3
F N
143
6 Střiacutedaveacute proudy
Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud
se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute
střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T
Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute
čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny
označeniacute přiacuteslušneacute veličiny
Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute
proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je
praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy
harmonickeacute Babyčka
Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu
Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute
jednotkou je hertz značka Hz
Doba jedneacute periody je
fT
1 (s Hz)
Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute
průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz
až MHz
Přiacuteklad 66
Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě
Řešeniacute
02050
11
fT s
144
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii
Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu
Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy
Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel
tft
f
tT
21
22
Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za
jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se
f 2 (rads-1
)
Platiacute tedy
)sin(max tIi
Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel
nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute
Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu
145
Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh
sinusoidy
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje
Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu
Přiacuteklad 67
Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou
hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz
a proud je faacutezově zpožděn o 30o
Řešeniacute
Doba periody je
02050
11
fT s
Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2
Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute
zpožděniacute 30o
30o je 6 radiaacutenů 0001667
12
1020
2
61
Tt s
Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je
)6
00152sin(25)tsin( 0015)( max
fIi
-216207)6
0015314sin(25)6
0015502sin(25 0015)(
i mA
146
62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne
průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163
Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět
Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace
Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory
znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich
působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute
Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe
v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je
vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval
U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy
bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)
bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů
bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)
bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)
631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v
stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute
harmonickyacute proud (napětiacute)
Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině
proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je
tIRUtIW 2
147
2IRUIt
WP
Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval
dt je
dtiRdW 2
dttIRdtiRdW )(sin22
max
2
Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu
bdquoRplocha pod křivkou i2
ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164
rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i
2 po
dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho
proudu daneacuteho průběhu Platiacute
2
2
max2 II
2
maxII což je 7070max II
Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i
silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu
632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost
stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud
Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za
jednotku času
t
QI tIQ
Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165
148
Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod
přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody
a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute
pro stejnosměrnyacute proud QT
Imed 2
a
pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q
Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho
počtu dospět k vyacuterazu
max
2IImed
což je max6370 IImed
Přiacuteklad 68
Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce
Řešeniacute
Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě
230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy
V 32523022max UU
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem
čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho
velikost je
vlBU
kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje
l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole
v je rychlost pohybu vodiče
149
Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se
vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B
magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166
Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute
Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je
velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute
Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute
Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr
168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v
každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli
Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem
pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich
150
obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za
minutu)
Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto
okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a
velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0
a) b) c)
Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli
Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu
v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v
a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to
vlBui
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem
směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato
napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je
max22 UrlBvlBui
Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute
s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu
kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute
indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute
v zaacutevitu v obecneacute poloze je
sinsin22 max UvlBvlBu xi
151
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute
Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden
zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-
kraacutet většiacute
)sin(max tUNui
Přiacuteklad 69
Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm
b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce
B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s
Řešeniacute
Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh
)sin(2 tvlBui
Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je
560
300
60
nf Hz
Uacutehlovaacute rychlost je
431522 f s-1
Rychlost otaacutečeniacute v
rv kde 2
2
1022
104
2
a
r m
6280102431 2 rv ms
Tedy
tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22
Doba jedneacute periody T je
205
11
fT s
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)
152
a) b)
Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69
V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil
praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)
65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže
Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je odpor R
Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež
charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L
Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C
651 Odporovaacute zaacutetěž
Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě
odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a
proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute
vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie
Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
153
Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je
)sin()sin()sin(
max
maxmax tItR
U
R
tUi
Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve
faacutezi
Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R
UI max
max
Pro efektivniacute hodnoty platiacute R
UI
Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži
Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je
2iRiup
Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je
2IRIUP
Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon
jednotkou je watt (W)
652 Induktivniacute zaacutetěž
O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu
připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)
Pak platiacute
dt
diLui
a) b)
Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute
maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu
Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud
neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute
154
Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute
maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj
v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di
lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute
čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax
Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem
indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o
Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah
)sin(max tUu
pak průběh proudu je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak
indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna
proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute
rychlost viz obr 173
Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt
Platiacute
LXILIU maxmaxmax
kde XL je tzv indukčniacute reaktance
LX L ()
Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem
proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze
ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento
odpor minimaacutelniacute)
Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu
LX
UI max
max a LX
UI
Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo
uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL
155
Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute
do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je
okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute
V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět
zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute
směr
V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie
ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho
efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud
kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute
vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud
653 Kapacitniacute zaacutetěž
O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen
kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)
Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět
156
vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita
elektrickeacuteho pole
a) b)
Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute
pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na
deskaacutech kondenzaacutetoru o dq
dtidq
Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du
C
dti
C
dqdu
Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i
dt
duCi
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute
maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud
napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je
du = 0 a tedy i proud je nulovyacute
Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud
maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t
= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a
proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t
= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax
Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute
proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)
Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute
jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt
Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute
uacutehlovaacute rychlost
157
CUI maxmax
Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde
CX C
1
Pak lze psaacutet
CX
UI max
max a pro efektivniacute hodnoty CX
UI
Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177
CfCX C
2
11
Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute
k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud
neproteacutekaacute
Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu
napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem
kondenzaacutetoru
158
V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se
dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute
do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor
nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje
v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije
nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech
V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze
k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do
zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute
se Q a jeho efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a
nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor
Přiacuteklad 70
Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F
pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz
Řešeniacute
V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf
X C
2
1
Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70
159
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity
indukuje se v niacute napětiacute u1
dt
diLu 1
11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU
V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje
napětiacute u2
dt
diMu 1
2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12
kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou
Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů
Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2
zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2
dt
diLu 2
22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU
V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce
indukovalo napětiacute u1
dt
diMu 2
1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21
Transformačniacute poměr
Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR
NL
2
11 a
mR
NL
2
22
Z toho vyplyacutevaacute že 12
12
mR
NNM
Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1
mR
NILIU
2
11111
a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2
12
12112
mR
NNIMIU
160
Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je
2
1
12
121
2
11
2
1
N
N
R
NNI
R
NI
U
U
m
m
Poměr 2
1
2
1
N
N
U
U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu
zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu
elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit
přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute
přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se
napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute
400230 V
66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech
obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě
indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R
Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů
střiacutedaveacuteho proudu
Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho
proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute
respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu
661 Seacuteriovyacute RC obvod
Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože
je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a
tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu
161
Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je
IRUR
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC
Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z
22 RXZ C ()
Pak
ZIU
Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je
22 RX
U
Z
UI
C
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
181 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 71
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost
faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
C
kde velikost kapacitniacute reaktance je
1592
1000
10501022
1
2
1163
CfC
XC
Proud
0470256
12
200159
12
2222
RX
UI
C
A = 47 mA
162
Napětiacute na rezistoru UR
3990470200 IRUR V
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC
4770470159 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
078247912
399cos
U
U R = 0672159 rad = 385o
Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71
662 Seacuteriovyacute RL obvod
Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je
tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL
163
Impedance obvodu je
22 RXZ L ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22 RX
U
Z
UI
L
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
183 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 72
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho
posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
L
kde velikost induktivniacute reaktance je
1257405022 LfLX L
Proud
154807125
230
2222
RX
UI
L
A
Napětiacute na rezistoru UR
12454180 IRUR V
Napětiacute na ciacutevce UL
1945417125 IXU LL V
Faacutezovyacute uacutehel je
0537029230
124cos
U
U R = 1003885 rad = 57 5o
164
Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72
663 Seacuteriovyacute LC obvod
Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I
Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute
)( CLCLCL XXIIXIXUUU
Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter
Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter
165
664 Seacuteriovyacute RLC obvod
Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy
proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL
Impedance obvodu je
22)( RXXZ CL ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
186 je cos
U
IR
U
U R cos
166
Přiacuteklad 73
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute
diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V
frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
kde velikost induktivniacute reaktance je
4512805022 LfLX L
avelikost kapacitniacute reaktance je
7957747250
1040502
1
2
116
CfC
XC
Proud
109746209
230
120)6794251(
230
)( 2222
RXX
UI
CL
A
Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou
713109741120 IRUR V
2759097414251 IXU LL V
87309741679 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
0572579230
7131cos
U
UR = 0961148 rad = 55 1o
Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73
167
665 Paralelniacute RC obvod
Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RC III
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
188 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
CC
RC
Z
UI
22
11
1
RX
Z
C
22
111
RXZ C
168
666 Paralelniacute RL obvod
Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RL III
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
189 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
LL
RL
Z
UI
22
11
1
RX
Z
L
22
111
RXZ L
169
668 Paralelniacute LC obvod
Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute
CL
CLX
U
X
UIII
Impedance LC obvodu je
CLXXX
U
X
U
U
I
UZ
CLCL
1
1
11
1
Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy
CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0
Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se
opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a
ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li
CL
1
což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence
170
CL
1 Cf
Lf
0
0
22
1
CLf
2
10
669 Paralelniacute RLC obvod
Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCXC
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22)( RCL IIII
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
191 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
171
2222
22 111)(
RXXU
R
U
X
U
X
UIIII
CLCL
RCL
Z
UI
22
111
1
RXX
Z
CL
22
1111
RXXZ CL
Přiacuteklad 74
Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož
odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete
faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =
230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute
Řešeniacute
Velikost proudu rezistorem je
0766667300
230
R
UIR A
Velikost proudu ciacutevkou je
091514180502
230
2
Lf
U
X
UI
L
L A
Velikost proudu kondenzaacutetorem je
072256610321010502230
2
16
Cf
U
X
UI
C
C
Celkovyacute proud je
07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem
096987279050
7670cos
I
IR = 141o
Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR
I = IR =0767 A
A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0
562697782
1000
1010802
1
2
1
60
CLf Hz
172
Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74
Přiacuteklad 75
Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10
kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)
Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce
Řešeniacute
Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem
odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti
rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)
Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
314101005022 3 LfLX L
Proud ciacutevkou
0732113
3141592
230
98696
230
10314
230
2222
RX
UI
L
A
Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je
7321073211310 IRU R V
173
Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je
229880732113314 IXU LL V
Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je
003183230
7321cos
U
UR
1538961 rad 8817594 o
Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute
Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti
na čase
)502sin(2302)sin(max ttUu
přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms
=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)
)5391502sin(7322)sin(max ttIi
přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA
=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)
Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75
Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute
36573203217 IUP R W
Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute
3168073222988 IUQ L VAr
Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute
41680732230 IUS VA
174
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody
Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute
posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory
v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy
s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 76
Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute
indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F
Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz
Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76
Řešeniacute
Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech
Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR
je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute
součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o
předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
62810100100022 3 LfLX L
Proud IRL je
0020325
118084
24
1394384
24
1000628
24
2222
RX
UI
L
RL A
Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je
3252000203251000 IRU R V
12763790020325628 IXU LL V
175
Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je
084687524
32520cos RL
U
U R = 3212661o
Proud kondenzaacutetorem IC je
C
CX
UI
kde 1591549102
10
101010002
1
2
112
6
6
CfCX C
0015081591549
24CI A
Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi
s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka
IRLj
a) b)
Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)
Činnaacute složka IRLč
001721384687500020325cos RLRLRLč II A
Jalovaacute indukčniacute složka IRLj
0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A
Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC
tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy
2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A
09999630172130
0172130cos
I
I RLč = 05o
Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve
větvi RL
176
Přiacuteklad 77
Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o
indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby
byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem
Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77
Řešeniacute
Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka
proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC
Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL
- viz obr 198 a)
a) b) c)
Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77
Proud ve větvi s ciacutevkou
0315547
5188
24
100304002
24
2222
RX
UI
L
RL A
Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou
155473031554710 RLR IRU V
237916603155470304002 RLLL IXU V
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou
o82445d1438937ra
013147824
155473cos
RL
RRL
U
U
177
Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru
na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)
004148701314780315547cos RLRLč II A
031280709913190315547sin RLRLj II A
Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je
tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně
kompenzovaacuten pak platiacute
CRLj II a tedy IC = 0312807 A
Proud kondenzaacutetorem je
0312807C
CX
UI A
a tedy kapacitniacute reaktance je
7672451 0312807
24
C
CI
UX
Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet
CfXC
2
1
CXfC
2
1
666
1051859221072451764002
101
72451764002
1
C F
Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o
kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL
což je 0041487 A
Přiacuteklad 78
Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr
199 Řešte obecně
Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78
Řešeniacute
Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu
178
Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se
zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90
o předbiacutehaacute Vyneseme
tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR
je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U
CL
L
ABL
c
ABC
R
ABR
III
X
UI
X
UI
IRU
UUU
222
Po dosazeniacute
2
2
2222222
AB
c
AB
L
AB
ABCLABABR
UX
U
X
UR
UIIRUIRUUU
2
2
22
2
2 111
cL
ABAB
c
AB
L
AB
XXRUU
X
U
X
URU
2
2
22
2
22 11cL
LcAB
cL
LcAB
XX
XXRU
XX
XXRUU
2
2
1cL
Lc
AB
XX
XXR
UU
Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute
na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU
66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute
zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do
magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute
kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje
Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute
IUP
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon
iup
179
Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute
posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute
nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a
z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a
jejiacute jednotkou je voltampeacuter
IUS (VA V A)
Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute
přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži
Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute
nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je
s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem
pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a
induktivniacute zaacutetěži je cos = 0
Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o
90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute
energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je
voltampeacuter reaktančniacute
sin IUIUQ j (Var V A)
Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem
cos IUP sin IUQ IUS 2
2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS
22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP
Platiacute tedy že
222 SQP
což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200
Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu
180
Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A
měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute
napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a
hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku
Přiacuteklad 79
Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete
zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos
Řešeniacute
1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou
prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se
v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen
jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)
Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI
Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud
předřazenyacutem odporem
a) b)
Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti
2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)
Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute
induktivniacute reaktanciacute XL
Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute
hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL
(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute
indukčnost ciacutevky L
181
I
UZ
22 RZX L f
XL L
2
Z
R
IZ
IR
U
UR
cos
IUS cos IUP sin IUQ
67 Rezonance
Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti
indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute
tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute
Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin
rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme
rezonančniacute frekvence a značiacute se f0
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz
obr 202
Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram
Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro
rezonanci XL = XC
Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je
22)( RXXZ CL
Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji
jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0
Z0 = R
Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to
R
UI 0
182
Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost
ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC
LfCf
0
0
22
1
2
022
1f
CL
CLf
2
10
Rezonančniacute křivka
Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)
2222 )2
12()( R
CfLfRXXZ CL
Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)
Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel
je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0
Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute
R
CfLf
arctg
2
12
Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je
22)2
12( R
CfLf
U
Z
UI
Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute
kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute
odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu
Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R
Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL
183
a napětiacute na kondenzaacutetoru IC
IXU CC
1
Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy
0000 ILUU CL kde R
UI 0
Po dosazeniacute je
UR
L
R
ULILUU CL
0
00000
Vyacuteraz R
L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti
Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti
Pak UQXU CL 00
To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka
napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při
naacutehodneacutem dotyku
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod
Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz
obr 205
Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram
184
K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna
velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute
složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R
reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0
Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat
kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter
Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude
převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter
Proud ciacutevkou je
22222 RLf
U
RX
UI
L
RL
Jalovaacute složka proudu IRL je
RLRLRLj II sin kde 222
2sin
RLf
Lf
Z
X
ZI
XI
U
U
RL
L
RLRL
LRLLRL
Po dosazeniacute
222222 2
2
2
2
2 RLf
ULf
RLf
Lf
RLf
UIRLj
Činnaacute složka proudu IRLč je
222222222
cosRLfI
RI
RLf
U
U
U
RLf
UII
RL
RLRRLRLRLč
222222 222 RLf
RU
RLfI
RI
RLf
UI
RL
RLRLč
Proud kondenzaacutetorem je
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
2
2
1
Pro rezonanci
CRLj II
UCf
RLf
ULf
022
0
0 22
2
C
RLf
L
22
02
0)2( 222
0 LRCCLf
2
0
1
2
1
L
R
CLf
185
Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
22
2
2)(
RLf
RCf
RLf
LfU
RLf
RUCf
RLf
ULfIIII RLčCRLj
Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy
22
0
02 RLf
RUII RLč
Impedance při rezonanci je
R
RLf
I
UZ
22
0
0
0
2
Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu
je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0
Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna
odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou
Rezonančniacute křivky
Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu
matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute
2
22
2
222
22
2
RLf
RCf
RLf
LfUI
a
I
UZ
Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu
Činitel jakosti obvodu
Činitel jakosti obvodu je Q
R
LQ
0
186
Platiacute
000 IQII RLC
Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud
odebiacuteranyacute ze zdroje
Přiacuteklad 80
Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny
a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci
proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro
paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem
Řešeniacute
Ad a) Rezonančniacute frekvence
Hz
CLf
33
64630
102055602
10100
10210302
1
1021032
1
2
1
Rezonančniacute impedance
Z0 = R =10
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
A4210
240
R
UI
Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci
V 929516421031005522
f2
33
000000
ILILUU LC
Činitel jakosti
387324
95920 U
UQ C
Ad b) Rezonančniacute frekvence
Hz 1985111111111666666672
1
3
10
23
10
2
1
103
10
102103
1
2
11
2
1
249
2
363
2
0
L
R
CLf
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
187
A 016
1500
1024
10398512
1024
1010319852
1024
2
22
22322
0
0
RLf
RUII RLč
Rezonančniacute impedance
150160
24
0
0I
UZ
Proud kondenzaacutetorem při rezonanci
A 059866524102198522
2
16
0
0
0
0
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
Činitel jakosti
3741657160
598700 I
IQ C
Pozn
Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute
se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod
CLf
2
10
Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně
přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)
68 Kompenzace uacutečiniacuteku
Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla
nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute
složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li
faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je
daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy
v elektrickyacutech strojiacutech
188
a) b)
Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci
Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute
energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute
jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute
činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů
Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což
vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy
většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a
tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet
dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena
roste
Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud
kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho
původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute
složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute
zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho
vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku
Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav
paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095
Přiacuteklad 81
Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07
Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na
hodnotu 095
Řešeniacute
Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
Činnyacute vyacutekon je
189
cos IUIUPČ
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
186335470230
300
cos
U
PI A
Činnaacute složka proudu je
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
133070113043481863354 2222 čj III A
Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
coskomp = 095
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
1372998950230
300
cos
komp
kompU
PI
A
Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A
Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute
Cjjkomp III
Proud kondenzaacutetorem tedy bude
090198304287181330701 jkompjc III A
Pro proud kondenzaacutetorem platiacute
Cf
U
X
UI
c
C
2
1
Kapacita kondenzaacutetoru je tedy
6-5- 10124831012483230502
0901983
2
Uf
IC C F = 12483 F
190
7 Trojfaacutezovaacute soustava
Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute
jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina
průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod
elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak
napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena
využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute
trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute
velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci
elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute
magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
sinsin22 max UvlBvlBu xi
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
191
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute
Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově
pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute
harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem
posunem jednotlivyacutech napětiacute
Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou
pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o
se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se
označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211
Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
192
Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuW
Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech
hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule
0 WVU uuu
Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute
Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute
f
o
f UUx2
1)60cos( ff UUy
2
12
Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU
Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0
UU + UV + UW = 0
72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu
Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute
stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou
Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze
statoroveacuteho vinutiacute
Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem
otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)
Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute
obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou
draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je
posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi
193
průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute
U1 V1 W1 konce U2 V2 W2
Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti
Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu
statoru
Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute
Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem
obvodem a statorovyacutem vinutiacutem
Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod
rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na
vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky
stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n
(otmin)
Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru
Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru
Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute
jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute
vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje
elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem
v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto
uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na
elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu
přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů
přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute
Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech
elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou
195
označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla
3000 otmin
Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech
jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute
s předchoziacutem provedeniacutem
Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute
Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem
Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů
Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je
v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech
vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a
označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy
Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi
nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se
označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)
a) b)
Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy
a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem
Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute
faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf
196
fWVU UUUU
Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US
SWUVWUV UUUU
Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho
napětiacute
2
330cos
2 f
o
fS UU
U
fS UU 3
Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi
libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti
Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke
spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a
ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P
Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je
IRU
kde R je odpor vedeniacute
I je přenaacutešenyacute proud
Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je
2IRIIRIUP
Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině
přenaacutešeneacuteho proudu
197
Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou
energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem
vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety
Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se
napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně
niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se
energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory
Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek
Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty
dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou
proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje
v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky
Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru
Z uvedeneacuteho je patrneacute že
2
1
2
1
N
N
U
U (= transformačniacute poměr) a tedy
1
212
N
NUU
Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute
napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se
transformuje na nižšiacute napětiacute
Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že
vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu
P1 = P2 = P
Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak
1
212
N
NUU gt U1
Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute
2
2U
PI a
1
1U
PI
pak I2 lt I1
proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute
198
Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je
2
11
1
21
11
2
112
N
NI
N
NU
UI
U
UII
rarr
2
1
1
2
N
N
I
I
Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie
se sniacutežiacute
Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV
Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV
Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute
vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro
daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie
Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute
zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V
G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor
Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy
74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti
Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři
faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute
sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič
jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute
vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE
Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič
Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před
dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je
takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale
vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem
krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet
zdraviacute ohrožujiacuteciacute
199
Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C
Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S
Ochrana nulovaacuteniacutem
Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute
čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute
Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem
jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute
faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute
pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu
200
Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např
faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se
na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm
aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem
bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li
se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute
proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)
a) b)
Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem
Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při
poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute
je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud
IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho
působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se
danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine
74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti
Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi
Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy
Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy
připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu
a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
201
f
f
fZ
UI
Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel
danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče
Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy
Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven
nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute
žaacutednyacute proud
IN = 0
Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může
vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute
vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem
různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute
trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky
světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit
přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud
možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech
202
obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN
kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou
U
UU
Z
UI
V
VV
Z
UI
W
WW
Z
UI
Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute
fWVU UUUU
a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o
Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže
v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W
Pozor
Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde
přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a
spotřebičem
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka
Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230
Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka
203
Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou
stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o
UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3
Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou
UV
SUV
Z
UI
VW
SVW
Z
UI
WU
SWU
Z
UI
a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže
Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona
IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
S
f
S
SS
Z
U
Z
UI
3
Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech
napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče
Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech
Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute
Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute
o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232
2
330cos
2 WU
o
WU
fII
I
WUf II 3
204
Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je
různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz
obr 233
Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute
Přiacuteklad 82
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute
činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na
obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute
ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy
205
Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82
Řešeniacute
Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235
Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234
Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je
400 SWVUWVU UUUU V
Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost
Z
UIIII S
WVUWVU
kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L
76173
400
Z
UI S 230207 A
206
Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost
398730323020733 IIIII fWUV A
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech
Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
cos fff IUP (W V A)
Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
fff IUS (VA V A)
Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
sin fff IUQ (VAr V A)
Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute
Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon
cos33 fff IUPP (W V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon
fff IUSS 33 (VA V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
Přiacuteklad 83
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu
R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a
celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do
trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute
Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude
287580
230
R
UI
f
f A
Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy
661252875230 fff IUP W
207
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
1983752875230333 fff IUPP W
Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute
US Proud každyacutem z rezistorů bude
580
40033
3
f
ffSS I
R
U
R
U
R
UI A
Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy
00025400333 fffSSS PIUIUP W
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
6000200033 SPP W
Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy
751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek
Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na
svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co
nejjednoduššiacute
Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je
znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute
chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do
trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy
a) b) c)
Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do
trojuacutehelniacuteka
76 Točiveacute magnetickeacute pole
Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o
připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř
statoru točiveacute magnetickeacute pole
208
Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti
Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238
V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1
ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W
a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)
V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole
jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)
ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček
a) b) c)
209
d) e) f)
Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole
V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do
W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole
jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako
v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o
Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele
stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute
rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute
Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute
magnetickeacute pole
Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku
daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi
Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech
V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW
2
3)
3
4sin()
3
4sin( maxmaxmax IItIiw
Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy
2
3max w
kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute
Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239
Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole
210
maxmax
0
2
3
2
3
2
32)30cos(2 W
Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy
max2
3
Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute
o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a
velikosti max2
3
Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou
statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem
magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho
pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)
fns 60
Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru
Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory
Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho
magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241
V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)
V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)
v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy
pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček
211
a) b)
Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole
Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr
242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi
přiacutevodniacutemi faacutezemi
Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru
212
77 Kompenzace uacutečiniacuteku
Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny
v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy
Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute
elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat
neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a
vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech
bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute
proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem
Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute
charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem
připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute
Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou
hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je
penalizovaacuten
Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků
kondenzaacutetorů k siacuteti
Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu
Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky
spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou
nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem
přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na
využitiacute spotřebiče
Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru
Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech
rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke
zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při
individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute
jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody
213
Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena
v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti
spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace
Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku
kompenzačniacuteho vyacutekonu
Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry
měřiacute pouze činnou odebranou energii
214
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami
81 Elektrostatickeacute pole
Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)
elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19
C
Q = ke k je celeacute čiacuteslo
I elektrickyacute proud ampeacuter (A)
t
QI
E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )
Q
FE
U elektrickeacute napětiacute volt (V)
Q
AU ( CJV )
l
UE
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem
prostřediacute
permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m
-1)
0 r
0 permitivita vakua 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
r poměrnaacute permitivita r gt = 1
24 r
QE
intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule
s naacutebojem Q
D elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
ED r 0
C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)
U
QC
l
SC r 0
215
Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC 21
Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC
1
1
111
21
Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru
t
c eUu 10
kde
CR
Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
Pak kapacita osamoceneacute koule je
104 rC r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
82 Stejnosměrnyacute proud
J Proudovaacute hustota
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
R elektrickyacute odpor ohm ()
R
UI hellip Ohmův zaacutekon
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
rezistivita materiaacutelu
G vodivost siemens (S)
RG
1
216
Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR
teplotniacute součinitel odporu (1oK)
A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu
tIUUQA (J V A s)
P vyacutekon
2IRIIRIUP (W V A)
uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 P
P )( JJ
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel
01
n
k
kI
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku
01
n
k
kU
Spojovaacuteniacute rezistorů
Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21
Paralelniacute niVyacutesl RRRRR
1
1
111
21
Transfigurace
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute
iRIUU 0
Proud nakraacutetko
i
kR
UI 0
217
83 Magnetickeacute pole
magnetickyacute tok weber (Wb)
B magnetickaacute indukce tesla (T)
SB
lI
FB
lIBF sin lIBF (N T A m)
Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)
n
i
im IF1
Um magnetickeacute napětiacute (A)
n
i
mim UF1
H intenzita magnetickeacuteho pole
l
UH m (Am
-1 A m)
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r
I
l
UH m
2
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
HB r 0
0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) henry (H)
r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r
přibližně 1)
Hopkinsonův zaacutekon
mm U
l
SS
l
USHSB
Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)
mm Ul
SG
Rm magnetickyacute odpor (reluktance)
m
mG
R1
S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
218
Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
r
INH
2 kde
2
Dr
2
12 DDD
Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
l
IN
l
UH m
Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
r
IN
l
UH m
2
Indukčniacute zaacutekon
dt
du
pro ciacutevku o N zaacutevitech
dt
dNu
Pohyboveacute napětiacute
vlBu
L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)
dt
diMu 1
2
12
12
mR
NNM
22 LLM
22 LLM
kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Transformačniacute poměr
2
1
2
1
N
N
u
u
Spojovaacuteniacute ciacutevek
seacuterioveacute 21 LLL
seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
219
paralelniacute 21
111
LLL
paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
Přechodovyacute jev na indukčnosti
t
L eUu
0
kde
R
L
Energie magnetickeacuteho pole
mm UW 2
1 lSHBWm
2
1
Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
sin lIBF
Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu
SR
INF
m
2
22
02
1
84 Střiacutedaveacute proudy
f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)
60
nf
T doba jedneacute periody (s)
fT
1
uacutehlovaacute rychlost
f 2 (rads-1
)
Průběh harmonickeacuteho proudu
)sin(max tIi )sin(max tIi
Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
2
maxII
Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
max
2IImed
220
Odporovaacute zaacutetěž
)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR
Ui
Induktivniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
LX
UI max
max
XL induktivniacute reaktance ()
LX L
Kapacitniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
CX
UI max
max
XC kapacitniacute reaktance ()
CX C
1
Seacuteriovyacute RLC obvod
Z impedance obvodu ()
22)( RXXZ CL U
IR
U
U R cos
Paralelniacute RLC obvod
22)( RCL IIII I
IRcos
Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)
S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)
Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)
222 SQP
cosφ uacutečiniacutek
IU
P
cos
Rezonance
f0 rezonančniacute frekvence
CLf
2
10
221
Q činitel jakosti obvodu je R
LQ
0
84 Trojfaacutezovaacute soustava
Uf faacutezoveacute napětiacute
Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuw
US sdruženeacute napětiacute
fS UU 3
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
cos33 fff IUPP (W V A)
fff IUSS 33 (VA V A)
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
222
Použitaacute literatura
BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-
7333-043-1
Internetoveacute straacutenky (www)
BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt
httpwwwbrush-semczgt
Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-
cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt
Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt
6
46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83
5 Magnetickeacute pole 88
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89
53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92
534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111
58 Elektromagnetickaacute indukce 119
581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134
59 Energie magnetickeacuteho pole 135
7
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140
6 Střiacutedaveacute proudy 143
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152
651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160
661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162
663 Seacuteriovyacute LC obvod 164
664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168
668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183
68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187
7 Trojfaacutezovaacute soustava 190
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207
76 Točiveacute magnetickeacute pole 207
77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215
8
83 Magnetickeacute pole 217
84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221
Použitaacute literatura 222
9
Uacutevod
Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech
obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole
Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru
popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem
bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků
elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute
Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto
tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a
ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z
Maxwellovyacutech rovnic
Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a
jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti
aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute
aplikovaneacute elektrotechniky
10
1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky
Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou
fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute
veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme
Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)
jednotka = sekunda
Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem
zaacutepisem
Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute
zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms
11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI
Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik
zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se
nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International
dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek
a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veličina
Metr m deacutelka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s čas
Ampeacuter A elektrickyacute proud
Kelvin K teplota
Mol mol laacutetkoveacute množstviacute
Kandela cd sviacutetivost
b) Doplňkoveacute jednotky
doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI
radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu
steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu
c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI
vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute
vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami
Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute
vlastniacute naacutezev
11
Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)
protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute
naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev
Coulomb [C]
Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než
jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje
vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a
nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)
Dovoleneacute
Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg
Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m
3
Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)
Nedovoleneacute
Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm
Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W
12 Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou
Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10
-6 F = 0000005 F
Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů
21 Elektronovaacute teorie
Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit
Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů
neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho
elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)
označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura
atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a
z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech
(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19
C
Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů
ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy
stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute
Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se
porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem
Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však
vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute
naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo
Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem
přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute
elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
22 Vodiče a izolanty
Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při
slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely
nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem
nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem
naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je
složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou
vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem
působeniacutem elektrickeacuteho pole
Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky
označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem
silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)
23 Zdroje elektrickeacute energie
Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu
energie
Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek
zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely
13
zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem
zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)
Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič
Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka
Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute
vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu
na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem
tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji
Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI
soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC
Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda
14
3 Elektrostatickeacute pole
Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky
nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole
Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole
Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem
kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek
Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem
elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute
polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute
naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů
Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se
navzaacutejem přitahujiacute
Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic
31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole
Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar
Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela
elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli
Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli
Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele
zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na
volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole
osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4
Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje
Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda
volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na
čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami
15
Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů
Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo
uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit
veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole
QEF ( 1 CNCN )
Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj
je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a
tohoto naacuteboje
Z toho
Q
FE ( CNCN 1 )
Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme
toto pole nehomogenniacute
Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto
polem homogenniacutem
Přiacuteklad 1
Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute
pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C
Řešeniacute
5110150010301050 363 QEF (N)
16
32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou
stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a
velikost
Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem
poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se
čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A
lFA ( mNJ )
Po dosazeniacute F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak
praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U
Q
AU ( CJV )
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje
o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1
)
Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity
pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)
Protože Q
FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a
Q
AU vypočiacutetat
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U
l
UE ( mVmV 1 )
Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute
(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely
17
Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel
Přiacuteklad 2
Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute
vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V
Řešeniacute
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
33 Coulombův zaacutekon
Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou
se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a
zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich
vzdaacutelenosti
Obr 8 - Coulombův zaacutekon
Platiacute tedy
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta maacute hodnotu
4
1konst
18
kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato
hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute
0 r
kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně
rovna 1
Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute
je
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
Přiacuteklad 3
Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost
1 mm
Řešeniacute
)(1032)101(
106021106021
1085484
1
4
1 22
23
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho
naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem
většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal
Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje
Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute
ekvipotenciaacutely
Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity
v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy
19
Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q
FE a platiacute Coulombův zaacutekon
2
21
04
1
r
QQF
r
1QQ a CQ 12
Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute
Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však
bude v každeacutem bodu do středu koule
Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem
součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji
Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole
35 Elektrickaacute indukce
Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem
stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest
tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se
elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute
Obr 11 - Elektrickaacute indukce
20
Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do
země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem
Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute
pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle
obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na
destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj
Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
Přiacuteklad 4
Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el
naacutebojem 310-12
C
Řešeniacute
)(105974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D
Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše
neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity
elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash
čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce
Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r
ED r 0
36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů
361 Polarizace dielektrika
Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče
vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem
elektrickyacute proud
U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se
vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se
nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)
Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky
nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu
čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely
9 a) 9 b)
Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)
Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole
polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu
vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute
pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než
původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)
9 a) 9 b)
Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)
22
362 Elektrickaacute pevnost dielektrika
Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a
nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita
elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu
je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu
- proud začne izolantem proteacutekat
Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů
se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů
Materiaacutel r Ep (kVmm)
vzduch 10006 2 až 3
mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30
parafiacuten 19 až 22 20 až 30
kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58
kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10
polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60
sliacuteda 6 až 7 40 až 80
sklo 35 až 4 20 až 50
porcelaacuten 55 až 65 20 až 45
37 Kondenzaacutetor
Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute
elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je
dielektrikum
Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje
opačnyacutech polarit
Obr 15 - Kondenzaacutetor
Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute
napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute
naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute
Platiacute tedy
UkonstQ
23
Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F) U
QC a tedy rozměr jednotky farad je (
V
C
U
QF )
Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF
Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je
Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru
Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika
Viacuteme že platiacute
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich
vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r
Přiacuteklad 5
Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm
a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V
Řešeniacute
UCQ
l
SC r 0 kde 322 1041020102 S (m
2)
)(4171)(014171
)(1014171601088541010
1044108854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)
24
381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
1a) 1b)
Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U
Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je
321 QQQQ
Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazeniacute
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute
CUQ
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit
jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů
382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů
Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)
Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3
kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako
působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu
kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute
25
1a) 1b)
Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute
jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy
všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
QQQQ 321
Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech
321 UUUU
Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute
C
QU
Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute
naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet
321
1111
CCCC
Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute
součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 6
Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do
seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute
26
Řešeniacute
CCCCCCvyacutesl
411111 250
4
1
4
CCvyacutesl F
Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute
kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn
Přiacuteklad 7
Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a
kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=
200 nF
Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Řešeniacute
Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem
C45
5454
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
5454
CC
CCC (nF) = 01F
Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20
Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat
vyacuteslednou kapacitu C
82102150154321 CCCCC F
Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj
66 10267241082 UCQ C
27
Přiacuteklad 8
Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme
libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby
byl splněn danyacute požadavek
Řešeniacute
Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že
spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita
takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že
potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21
Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů
Přiacuteklad 9
Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme
kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na
propojenyacutech kondenzaacutetorech
Řešeniacute
Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je
62421 CCC (F)
Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute
hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od
okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi
piacutesmeny
V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U
nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje
určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt
0
V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute
děj na kondenzaacutetoru
Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC
Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)
neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute
t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute
maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute
se zpomaluje
Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud
přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Průběh proudu a napětiacute je na obr 23
29
Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru
Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je
daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute
konstanty
t
c eUu 10
kde
CR
310 Energie elektrostatickeacuteho pole
Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U
C
QU
Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA
Platiacute Q
AU A = U Q tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech
diacutelčiacutech praciacute dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je
C
QWC
2
2
Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC nebo takeacute UQWC
2
1
Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho
kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se
na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou
energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24
30
Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich
vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie
nahromaděnaacute v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww C
C
2
1
2
12
1
2
2
Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole
platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole
Přiacuteklad 10
Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na
kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru
Řešeniacute
Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu
12-12-
3
412-
1
01 10177082108854101
10201108854
l
SC r F
Naacuteboj na kondenzaacutetoru
-12-12
11 10212496101770812 CUQ C
Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek
12-12-
3
412-
2
02 10118053313331088541051
10201108854
l
SC r F
Napětiacute po posunutiacute desek
18101180533
1021249612-
-12
C
QU V
31
Přiacuteklad 11
Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na
napětiacute 230 V
Řešeniacute
1322500101322505290010522301052
1
2
1 66262 UCWC J
311 Složenaacute dielektrika
Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou
3111 Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 25
Obr 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole
l
UEEE 21
Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to
ED r 011 a ED r 022
Naacuteboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude
21 QQQ
Dosadiacuteme za Q1 a Q2
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o
kapacitaacutech 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojeneacute paralelně
Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou
dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute
3112 Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2
podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum
Obr 26 - Dielektrika za sebou
Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou
materiaacutelech je stejnaacute
S
QDDD 21
Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druheacute
20
2
r
DE
Celkoveacute napětiacute mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 2
20
222 lD
lEUr
Pak po dosazeniacute
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protože platiacute l
SC r 10 je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protože C
QU1 pak
převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot
kapacit diacutelčiacutech dielektrik
21
111
CCC
Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory
Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech
diacutelčiacutech dielektrik
Lze tedy psaacutet 2
1
21 EE
r
r
a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute
intenzita tohoto dielektrika Ep gt E
Přiacuteklad 12
Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem
tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech
dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute
Materiaacutel r Ep (kVmm)
1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40
2 sliacuteda 7 60
34
Řešeniacute
Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je
92307692141
2400
304207
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
Vmm
161538592307694
72
1
21 EE
r
r
Vm
Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost
vyhovuje
312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem
Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva
středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta
3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
24 r
QDE
Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3122 Osamocenaacute koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrickaacute indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazeniacute za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi
maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute
pevnosti izolantu
36
3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy
Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole
Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch
Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je
lr
QDE
2
Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute
velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute
Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě
Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi
vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Přiacuteklad 13
Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je
kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)
37
Řešeniacute
12-12--12
1
2
0 101038136105log32
166894
50
52log32
131088542
log32
2
r
r
lC r F
C = 1038 pF
313 Elektrostatickeacute jevy v praxi
V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody
odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho
zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země
Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj
dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj
kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba
oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu
uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost
natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu
izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije
Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute
naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo
vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje
elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter
vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute
nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech
měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů
Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů
Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje
uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a
uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič
Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute
omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje
zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem
Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje
Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech
mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute
elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry
Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute
objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena
k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute
38
4 Stejnosměrnyacute proud
Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne
vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I
Směr proudu je dohodou stanoven od + k -
Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho
naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad
akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)
Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U
Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute
elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času
t
QI )( sCA
Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)
Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu
elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute
ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb
Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute
elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče
41 Proudovaacute hustota
Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se
nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru
Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute
Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem
bude průřez vodiče většiacute
V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute
proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se
na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu
Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
39
42 Intenzita proudoveacuteho pole
Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno
l
UE )( 1 mAmV
43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon
Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem
většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je
přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute
Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty
obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme
že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor
Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče
Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu
zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute
Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute
Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem
jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute
měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme
napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru
Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1
)
Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA
-1)
Pak lze psaacutet
R
UI
Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I
Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon
Rezistory
Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute
odpor R
Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru
Přiacuteklad 14
Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A
Řešeniacute
46050
230
I
UR ()
431 Velikost elektrickeacuteho odporu
Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho
je vodič vyroben
Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu
vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute
i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče
Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu
vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute
Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely
Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
kde l je deacutelka vodiče
S je průřez vodiče
je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je
to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2
při teplotě 20oC
41
Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech
Rezistivita některyacutech materiaacutelů
Materiaacutel mm2m
-1
Měď 00178
Hliniacutek 00285
Střiacutebro 00163
Ocel 013
Konstantan 05
Chromnikl 11
Cekas 11
Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory
Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely
pro vyacuterobu vodičů
Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu
rezistorů
Přiacuteklad 15
Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m
Řešeniacute
S
lR () kde 0785)50( 22 rS mm
2
430785
15000178
S
lR ()
Přiacuteklad 16
Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3
Řešeniacute
S
lR () z toho plyne
SRl
143)1( 22 rS mm2
52901780
1433
SRl (m)
432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě
S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute
elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky
s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste
42
Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při
zahřaacutetiacute vodiče o 1o
C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se
nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -
(1oK)
Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek
odporu R = R2 - R1 miacutet velikost
1RR
Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se
v tabulkaacutech
Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely
Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu
(K-1
)
Měď 00042
Hliniacutek 0004
Střiacutebro 0004
Ocel 0006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2510-4
Cekas 710-5
Přiacuteklad 17
Měděnyacute vodič o teplotě 20o
C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A
Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C
Řešeniacute
Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1
2120
241
I
UR ()
Přiacuterůstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor při teplotě 60o C
)(40161)40004201(21)1(12 RR
43
Přiacuteklad 18
Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o
C do +40o C
Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě
Řešeniacute
Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co
Odpor při -25o
C R1
Odpor při -25o
C 1112 2731)65004201()1( RRRR
Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute
44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu
Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče
je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q
UQA (J V C)
Protože proud je t
QI lze dosadit
tIUUQA (J V A s)
Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty
elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem
a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute
Protože platiacute Ohmův zaacutekon R
UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A
V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute
praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute
v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)
Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo
Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P
IUt
tIU
t
AP
(W V A)
Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1
)
Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Přiacuteklad 19
Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut
Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(6450
230A
R
UI
Vyacutekon )(105864230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s
Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně
použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)
Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute
energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy
ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi
vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ
Platiacute
ZWWW 12
Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost
1
2
W
W a je to vždy čiacuteslo 1
Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 W
W )( JJ
Protože přiacutekon je t
WP 1
1 a vyacutekon je t
WP 2
2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W )( WW
45
Přiacuteklad 20
Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po
dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě
v konvici
Řešeniacute
Odebiacuteranyacute proud )(831120
220A
R
UI
Přiacutekon )(34038312201 WIUP
Vyacutekon )(323100
803403 12 WPP
45 Kirchhoffovy zaacutekony
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem
nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit
pomociacute Ohmova zaacutekona
Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost
odporu zaacutetěže R pak proud I
I
UR
Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je
na obr 34
Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod
46
Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly
Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu
Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu
Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy
zaacutekony
451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje
Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve
vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i
elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud
Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect
54321 IIIII
Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon
Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute
lze psaacutet
01
n
k
kI
Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule
Přiacuteklad 21
Obr 36 - Proudy v uzlu
Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li
proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A
Řešeniacute
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen
uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute
To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule
01
n
k
kU
Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute
+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem
orientace smyčky
- hellip orientace napětiacute je proti směru
orientace smyčky
Tedy U1 + U2 ndash U = 0
Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech
odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce
Přiacuteklad 22
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =
6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38
Obr 38 - Napětiacute ve smyčce
Řešeniacute
Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
040I A
800402011 IRU V 210403022 IRU V
48
46 Spojovaacuteniacute rezistorů
Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně
461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 39
Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů
Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
021 UUU
Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vyacuteraz I
Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie
aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je
rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie
21 RRRV
Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz
niV RRRRR 21
Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů
jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie
49
462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Je znaacutezorněno na obr 41
Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů
Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute
21 III
Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle
Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute
21
111
RRRV
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů
Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme
vyacuteraz
niV RRRRR
1
1
111
21
Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu
převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů
50
Přiacuteklad 23
Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =
12 V Obvod je zapojen podle obr 43
Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
0240500
12
Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je
42024010011 IRU V 69024040022 IRU V
Přiacuteklad 24
Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44
Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech
odporů
14577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR
UI
V
8531457
220
Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V
Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR
UI 22
100
220
1
1
AR
UI 550
400
220
2
2 AR
UI 11
200
220
3
3
Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit
321 IIII
AI 853 AIII 8531155022321
což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu
47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem
471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů
Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně
řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu
odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme
celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů
určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a
napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu
Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 25
Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy
ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45
Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25
52
Řešeniacute
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor
2132
111
RRR
tedy odpor 32
3232
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema
Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor
R123 = R1 + R23
Naacutehradniacute obvod pak je
Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů
Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321
1R
UI
Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na
jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu
Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11
53
Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy
Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem
Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1
Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute
Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III
Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute
Přiacuteklad 26
Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49
Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26
Řešeniacute
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem
rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute
Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit
R345= R3 + R45
Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema
Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute
Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je
daacutena vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod
Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napětiacute U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napětiacute UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypočteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3
333 IRU
Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletně vyřešen
Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve
smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů
56
Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů
Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona
0321 III
Pro uzel B musiacute platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona
021 UUU
Pro smyčku y platiacute
0243 UUU
Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků
472 Transfigurace
V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou
zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit
postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech
přiacutekladech
Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute
57
Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)
a) b)
Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy
Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka
rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute
jako působeniacute trojuacutehelniacuteka
Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56
Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu
Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech
přiacutekladech
Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi
stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute
201012 RRRCelk
Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute
2010
233112
233112 )(RR
RRR
RRR
Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )(RR
RRR
RRR
3010
233112
231231 )(RR
RRR
RRR
Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro
adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro
adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Přiacuteklad 27
Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li
napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30
R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57
Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27
Řešeniacute
Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a
daacutele zjednodušujeme podle obr 58
59
1 2
3 4 5
Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu
Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je
16706
1
36
6
celkR
UI A
60
Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je
0667015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napětiacute rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu
Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do
elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii
Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute
U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho
svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0
481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute
Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute
poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se
vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek
nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem
napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno
= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy
nulovyacute)
Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult
U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se
zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje
Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute
61
Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj
Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je
iRIUU 0
Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika
zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost
Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je
malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem
odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute
vnitřniacute odpor Ri
Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik
Obr 62 - Proud nakraacutetko
62
U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně
zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů
měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute
Přiacuteklad 28
Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru
proudu 02 A je 58 V
Řešeniacute
Proud nakraacutetko bude
i
kR
UI 0
Svorkoveacute napětiacute U je
iRIUU 0
iR 20685
Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri
120
856
iR
Proud nakraacutetko tedy je
61
60 i
kR
UI A
482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie
Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute
podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje
Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute
vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech
zdrojů
Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU
Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR
Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU
Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem
napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho
hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by
hrozilo poškozeniacute zdroje
a) b)
Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně
Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů
Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je
jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se
všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat
z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů
Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute
napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly
vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit
02010 UUU a 21 iii RRR
Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute
21 zZz III
Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute
1zz InI nUUUU 002010 n
RR i
i1
Přiacuteklad 29
Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15
V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A
Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A
Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje
64
Řešeniacute
Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud
01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64
Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů
Celkovyacute vnitřniacute odpor bude
32
23
2
3 1
iiacute
RR
Proud nakraacutetko bude
513
5133 01
i
kR
UI A
49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi
Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory
využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny
rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty
491 Dělič napětiacute
Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute
65
a) b)
Obr 65 - Dělič napětiacute
Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
21 RR
UI
tedy U
RR
RR
RR
URIU
21
22
21
22
Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2
platit
z
z
RR
RRR
UI
2
21
a po dosazeniacute
URRRRRR
RR
RR
RR
RR
RRR
U
RR
RRIU
zz
z
z
z
z
zz
z
2121
2
2
2
2
21
2
22
Přiacuteklad 30
Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66
Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič
napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o
odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V
Řešeniacute
Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem
R1 + R2 = 1000
tedy R1 = 1000 ndash R2
66
a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute
241000
2
21
22
RU
RR
RU
b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute
24500500)1000()1000(
500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
c)
2415001500)1000()1000(
1500
2222
2
2121
22
RRRR
RU
RRRRRR
RRU
zz
z
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho
napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič
Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory
492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru
k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek
Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem
67
Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute
bbAA RIRI a tedy A
b
b
A
R
R
I
I
Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to
v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku
Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute
tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku
A
b
Am
A
R
R
II
I
A
b
AA
A
R
R
IIn
I
)1(
n
RR A
b
Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru
Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash
viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor
Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem
Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory
předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na
předřadneacutem odporu a na voltmetru
pVm UUU p
V
p
V
R
R
U
U
Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy
Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu
)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p
V
V
V
R
R
nU
U
)1(
Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp
Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet
Přiacuteklad 31
Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo
možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA
68
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 2010
200n kraacutet
Odpor bočniacuteku bude 581)120(
30
)1(
n
RR A
b
Přiacuteklad 32
Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak
aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V
Řešeniacute
Rozsah potřebujeme zvětšit 5120
600n kraacutet
Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp
493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu
V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute
měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute
zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu
Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou
Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA
naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je
omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV
Velikost odporu RX je
iV
VA
V
VA
V
x
xx
R
UI
U
II
U
I
UR
Přiacuteklad 33
69
Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud
ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70
Řešeniacute 95201680
16
003200200
16
5000
16020
16
iV
VA
Vx
R
UI
UR
494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru
Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně
širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem
)1(12 RR
kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty
Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute
teploty
Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty
odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2
)1(12 RR 11
2
R
R
11
2
R
R
1
12
R
RR
Měřenaacute teplota je tedy
1
12112
R
RR
Přiacuteklad 34
Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu
je-li
hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o
velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je
20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71
Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty
Řešeniacute
Odpor při 20o C je R1 = 200
Odpor při o C je R2
70
27020
5400
20
1045
1020
1020306 3
3
3
2
A
AA
I
IRUR
Měřenaacute teplota je tedy
510780
7020
104200
20027020
3
1
1212
R
RR o C
410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech
Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly
v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly
lineaacuterniacute obvody
V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale
vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute
Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku
Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na
nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a
odpor je tedy vyššiacute
Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a
pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika
nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
a) b)
Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku
Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech
obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute
zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku
Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme
pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je
daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute
charakteristikou zdroje
71
Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu
Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen
nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici
a) b) c)
Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu
c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje
Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA
charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem
prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto
hodnoty odečteme z grafu
Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu
Přiacuteklad 35
Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je
napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute
podle obr 76 a)
a) b)
72
Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku
Řešeniacute
Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute
že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash
je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho
a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme
Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou
proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek
křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem
z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP
VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body
U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A
Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35
Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je
Ip = 27 mA
Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom
dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho
proudu s VA charakteristikou rezistoru R1
Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož
vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku
hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN
Přiacuteklad 36
Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka
paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi
hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka
U (V) 1 2 3 4 5 6
73
I (A) 01 0165 022 025 028 03
Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32
Řešeniacute
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky
rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute
charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute
charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky
Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1
Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020
60 iR
UIk A
Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36
Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty
Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a
proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je
rovno 188 V
74
411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji
Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech
zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute
zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona
4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na
uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet
tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute
Ohmova zaacutekona
Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech
rezistorů
Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že
jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet
všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než
byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu
Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute
že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou
orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti
směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80
Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3
Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech
Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci
zvolenyacutech smyček x a y
Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů
Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)
321 III (1)
75
Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
01221 UUUU RR (2)
Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)
0232 UUU RR (3)
Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho
platiacute
111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)
Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod
Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)
0122211 UURIRI (2a)
023322 URIRI (3a)
Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)
0)( 232122 URIIRI (3b)
Upraviacuteme (3b)
02323122 URIRIRI
0)( 231322 URIRRI
32
3122
RR
RIUI
(3c)
a dosadiacuteme do rovnice (2a)
0122
32
31211
UUR
RR
RIURI (2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1
0122
32
312
32
211
UUR
RR
RIR
RR
URI
23321
323211
233121
3121322222
32
231
122
32
2
1
122
32
2
32
23111
)(
)(
RRRRR
RURRUI
RRRRRR
RURURURURU
RR
RRR
UURRR
U
I
UURRR
U
RR
RRIRI
Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2
76
I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3
Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a
(6)
Tiacutem je obvod kompletně vyřešen
Přiacuteklad 37
V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
100
Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37
Řešeniacute
Pro uzel A platiacute
321 III
Pro smyčku x platiacute
01122 RR UUUU
Pro smyčku y platiacute
0232 RR UUU
Dosadiacuteme do rovnic
02001010020 12 II 32010 12 II
010010020 23 II 21010 23 II
Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3
20
103 21
II
a
10
102 23
II
Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A
10
102
20
103 22
2 II
I
20
222 20420103 III
77
2507 I
14050
72 I A
Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3
08020
140103
20
103 21
II A
06010
140102
10
102 2
3
I
I A
Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče
v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
16200080111 RIUR V
14100140222 RIUR V
6100-006333 RIUR V
4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů
Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se
postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute
Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute
veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II
Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a
to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy
orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček
Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj
smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou
smyčkovyacutech proudů
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82
Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů
78
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib
Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona
Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba
Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme
011222 RIUURIRI aba
02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb
32
22
RR
RIUI a
b
01122
32
222
RIUUR
RR
RIURI a
aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute
Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia
01122
32
2
32
222
RIUUR
RR
RI
RR
RURI a
aa
21
32
2212
32
22 UU
RR
RURIR
RR
RIRI a
aa
312132
323121
3121223222
3222312122
1
32
222
21
32
22
RRRRRR
RURURU
RRRRRRRRRR
RURURURURU
RRR
RRR
UURR
RU
Ia
Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32
22
RR
RIUI a
b
a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se
smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
ab III 2
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute
Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
Přiacuteklad 38
79
Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
300 R4 = 200
a) b)
Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 83 b) kde R34 je
1205
600
200300
200300
43
4334
RR
RRR
Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky
a 0)( 1122 RIUURII aba
02001020100)( aba III
b 0)( 2234 RIIURI abb
0100)(20120 abb III
Upraviacuteme a dosadiacuteme
a 02001020100100 aba III 100
10300 a
b
II
b 0100)100
10300(20120
100
10300
a
aa III
Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme
0100103002012360 aaa III
02560 aI
0003571560
2aI A
Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali
Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib
80
0089286100
103000003571-
100
10300
a
b
II A
Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je
shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu
smyčkovyacutech proudů Ib a Ia
0092857)0035710(00892862 ab III A
Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou
10714291200089286343443 RIUU RR V
Proudy rezistory R3 a R4 jsou
0035714300
10714293 I A 0053571
200
10714294 I A
Napětiacute na rezistorech R1 a R2
07142862000003571111 RIUR V
928571000092857222 RIUR V
Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a
napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony
020-10)(-0714286-92857
020-107142992857
0089286)(-00035710092857
Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku
Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute
pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by
bylo matematicky obtiacutežneacute
4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute
Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona
Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute
Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž
je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu
označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute
Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz
jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash
neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a
z nich pak proudy ve větviacutech obvodu
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84
81
Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R
je UA
Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute
321 III
Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a
dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice
32
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
21312321 )()( RRURRUURRUU AAA
21313123221 RRURRURRURRURRU AAA
31322131221 RRURRURRURRURRU AAA
313221
312321
RRRRRR
RRURRUU A
Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
1
11
R
UUI A
2
22
R
UUI A
3
3R
UI A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona
111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR
Přiacuteklad 39
Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30
R4 = 90
82
a) b)
Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit
na obvod podle obr 85 b) kde R34 je
12090304334 RRR
Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A
321 III
342
2
1
1
R
U
R
UU
R
UU AAA
Vypočiacutetaacuteme UA
120100
20
200
10 AAA UUU
AAA UUU 10)20(12)10(6
AAA UUU 1012240660
107142928
300AU V
Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech
-000357200
107142910
200
101
AU
I A
Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru
než byl původniacute předpoklad
928571400100
107142920
100
202
AU
I A
0089286120
1071429
1203 AU
I A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech
83
-071429200-000357111 RIUR V
9285714100928571400222 RIUR V
2678571300089286333 RIUR V
V 8035714900089286434 RIUR
4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice
Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl
připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze
tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute
Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86
Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice
V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a
R3
Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj
jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho
obvodu
a) b)
Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice
84
Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky
je na obr 87 a)
32
3223
RR
RRR
R123 = R1 + R23
123
1
1R
UI
11
1 IRUR
11
RAB UUU
2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na
obr 87 b)
31
3113
RR
RRR
R123 = R2 + R13
123
2
1R
UI
11
1 IRUR
12
RAB UUU
1
1R
UI AB a
3
3
R
UI AB
Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje
Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute
1
11 III
2
22 III
3
33 III
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR
Přiacuteklad 40
Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88
Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =
110 R4 = 130 R5= 240
1
85
Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Řešeniacute
Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34
2401301104334 RRR
Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345
120240240
240240
345
345345
RR
RRR
Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)
a) b) c)
Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40
Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)
5454545120100
120100
3452
34522345
RR
RRR
R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545
0039286 25454545
10
12345
1
1 R
UI A
78571430039286200
11
1 IRUR V
2142857785714310
11
RAB UUU V
86
214285700100
2142857
2
2 R
UI AB A
0017857120
2142857
345
345 R
UI AB A
Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)
75120200
120200
3451
34511345
RR
RRR
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175
0114286 175
20
12345
2
2 R
UI A
1142860114286100
22
2 IRUR V
857142942861120
12
RAB UUU V
0042857200
8571429
1
1 R
UI AB A
0071429120
8571429
345
345 R
UI AB A
Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou
-0003570042857-0039286
1
11 III A
00928572142857000114286
2
22 III A
0089286
345
345345 III A
Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou
-071429200-000357111 RIUR V
928571009285700222 RIUR V
107143212000892863453345 RIUU RAB V
10714325 ABR UU V
0044643240
1071432
5
55
R
UI A
1
1
87
0044643240
1071432
34
43 R
UII AB A
4910731100044643333 RIUR V
5803591300044643334 RIUR V
88
5 Magnetickeacute pole
Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute
magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud
Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda
Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute
předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute
magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute
zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje
vždy k severu
Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety
Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute
elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje
Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute
silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud
51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole
Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute
magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka
Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute
směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute
čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje
orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech
čaraacutech
Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar
Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -
označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)
a) b)
Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute
Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute
89
Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu
a) b) c)
Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely
c) podkovoviteacuteho magnetu
Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute
působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute
52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem
Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme
silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a
jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
521 Magnetickeacute pole vodiče
V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech
kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute
takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute
čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute
V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve
středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93
Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči
90
Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem
Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen
na obr 94
Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo
pravotočiveacuteho šroubu
Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute
vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole
Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky
Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu
Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve
směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar
91
53 Veličiny magnetickeacuteho pole
531 Magnetickyacute tok
Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem
Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem
poli Popisuje tedy pole jako celek
Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)
532 Magnetickaacute indukce
Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho
toku na jednotku plochy
SB
Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem
magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě
Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce
Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I
tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1
Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To
se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash
viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute
nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do
zeslabeneacuteho pole
a) b)
Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute
v magnetickeacutem poli
lIkonstF
Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a
označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)
lIBF (N T A m)
92
Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem
Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole
lI
FB
(T NA
-1m
-1)
Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole
Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem
jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute
Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity
magnetickeacuteho pole
Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel
pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude
sin lIBF viz obr 98
Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute
Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute
se podiacutelejiacute na jeho vzniku
Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)
Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je
magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo
93
Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute
magnetomotorickeacute napětiacute je tedy
Fm = I
Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho
magnetickeacuteho pole je
Fm = I1 - I2 + I3
Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute
danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute
n
i
im IF1
a) b)
Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)
Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet
všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro
tuto indukčniacute čaacuteru
n
i
mim UF1
Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute
Fm = Um1 + Um2 + Um3
534 Intenzita magnetickeacuteho pole
Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute
indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je
l
UH m (Am
-1 A m)
kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um
Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke
křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery
94
Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole
r
I
l
UH m
2
Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy
tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu
vodiče na rovině indukčniacute čaacutery
535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi
intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute
Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem
magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem
bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce
indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole
vybudilo
Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B
Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu
souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah
přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB
Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme
v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a
nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute
HB
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) (H) je jednotka henry ndash jejiacute
rozměr vysvětliacuteme později
Pro ostatniacute materiaacutely platiacute
HB r 0
kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než
vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1
95
Přiacuteklad 41
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud
8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče
5127323954104
1012
8
2
3
3
r
IH (Am)
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče
115749051011
40
10112
8
2
2
3
r
IH (Am)
Přiacuteklad 42
Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr
101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A
Obr 101 - Svazek vodičů
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku
2815720321 IIIFm A
6366198200
102
1022
8
2
2
2
r
FH m (Am)
Přiacuteklad 43
Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr
102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A
Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli
96
Řešeniacute
Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je
81201560 lIBF N
Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat
do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo
Přiacuteklad 44
Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad
Řešeniacute
0180)15020(60 SB Wb
Přiacuteklad 45
Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T
I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch
Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů
Řešeniacute
HB r 0 0= 410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
r
FH m
2 a
n
i
im IF1
Z toho plyne
r
m
BrHrF
0
22
150102
21015
104
00202 43
7
rFm A
321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A
97
54 Hopkinsonův zaacutekon
Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem
indukčniacutem tokem
Viacuteme že S
B
z toho SB
Protože platiacute HB a l
UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem
mm U
l
SS
l
USHSB
Vyacuteraz mUl
S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je
henry (H)
mm Ul
SG (H)
Platiacute tedy
mm UG
Rozměr jednotky henry
m
mU
G
)()()(2
A
mT
A
WbH
Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm
m
mG
R1
tedy S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku
Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek
Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti
magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku
Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy
deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu
S
lRm
1 kde r 0
Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je
hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny
pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho
magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu
98
Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin
Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute
Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute
sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute
Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute
pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny
Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky
poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r
551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů
Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole
Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů
po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin
elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky
se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute
U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute
uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře
materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy
sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4
m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem
magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a
tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu
vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho
pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel
vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost
že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je
zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě
magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika
Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika
99
Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace
Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce
strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho
přiacuterůstku magnetickeacute indukce
Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato
čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity
magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při
navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi
body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute
charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute
Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů
Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho
pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť
Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje
tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute
intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou
magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a
značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat
v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity
magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute
hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute
intenzita (koercitivita)
Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom
nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při
snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem
magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba
opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev
popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka
Obr 105 - Hysterezniacute smyčka
100
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety
Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar
hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho
materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na
vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu
Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute
Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute
intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u
takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely
použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj
magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu
wolframu a molybdenu
Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou
koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute
tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech
střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet
Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem
a) b)
Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute
101
Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu
stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel
zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute
odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute
snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne
k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute
s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)
a) b)
Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka
Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am
102
Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu
Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg
103
Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik
104
56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute
Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud
kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute
indukčniacute čaacutery l
IH přiacutepadně
l
FH m kde
n
i
im IF1
tedy součet všech proudů ktereacute se
podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole
Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův
zaacutekon
Biot-Savartův zaacutekon
Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon
Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l
je
sin4 2
r
lIH
kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A
Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky
kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov
561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče
Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute
tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu
průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude
stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem
pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)
Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x
IH
2
kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče
Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy
hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r
IH r
2
Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b
IHb
2
105
a) b)
Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)
Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera
Proudovaacute hustota J ve vodiči je
2r
I
S
IJ
Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia
2
22
2 r
aIa
r
ISJI aa
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy
2
2
2
222 r
aI
a
r
aI
a
IH
Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od
středu vodiče je přiacutemkovyacute
Přiacuteklad 46
Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti
15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A
Řešeniacute
Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je
509316000
1052
160
2 3max
r
IH Am
Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je
1273104
40
10160
10)155(2
160
2
33
35
x
IH Am
106
562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
a) b)
Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar
nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve
středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit
sin4 2
r
lIH
Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute
24 r
lIH
Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce
zaacutevitu
r
Ir
r
Il
r
I
r
lIH
rr
22
444 2
2
02
2
02
Tedy r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute
2
Dl a
212
DDD
kde D je středniacute průměr ciacutevky 2
12 DDD
Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
107
Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se
podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu
ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr
Přiacuteklad 47
Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A
aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am
Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
r
INH
2 kde
2
Dr a
2
12 DDD
1052
110100
2
12
DD
D mm a 5522
105
2
Dr mm
Počet zaacutevitů v ciacutevce je
5522
10001055222 3
I
HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů
564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute
podmiacutenka lD
Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka
108
Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119
Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem
Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje
severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom
konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)
Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute
magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu
lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je
l
IN
l
UH m
Přiacuteklad 48
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky
kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute
permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je
250010505001010
505002
l
INH Am
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde
025132708010800000250080104 -7-7
0 HB r T
a
109
662232 10176714610)2
15()10
2
15( rS m
2
46 10444132201017671460251327 SB Wb
565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o
kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech
kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute
Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole
Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude
intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r
kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute
než d
Magnetickeacute napětiacute Um je
INUm
Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je
r
IN
l
UH m
2
Přiacuteklad 49
Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400
zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro
vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A
Řešeniacute
Intenzita magnetickeacuteho pole je
10185923200
10
320
2
10102
80400
22
2
D
INH Am
110
Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S
B
SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme
z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1
Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu
662232 107853982105)102
10( rS m
2
46 101115265107853982421 SB Wb
57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok
Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly
tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem
dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje
a) b)
Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami
111
Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem
menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto
větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute
větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze
daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je
mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku
kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok
Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že
součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech
toků z uzlu vystupujiacuteciacutech
01
n
k
k
Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute
magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute
n
k
mkm UF1
Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon
m
m
R
U
kde
S
lRm
1 (H
-1) r 0
571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem
Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu
Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem
průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se
uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej
v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat
Přiacuteklad 50
Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku
z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4
Wb D = 80 mm
d = 20 mm
Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro
112
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je
SB
kde 662232 101431010)10
2
20( rS m
2
127314
400
10143
1046
4
SB T
Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro
materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute je
31415938025110801250 3 DHlHFm A
Budiacuteciacute proud bude
1570796200
3141593
N
FI m A
Přiacuteklad 51
Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute
permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu
Řešeniacute
Z Hopkinsonova zaacutekona m
m
R
U je
m
m
UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm
44
4107854
4
102314
104
2314
mm
FR H
-1
Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu
S
lRm
1
kde 00010161250
271
H
B (Hm
-1)
633
6
3
100787143
1080
1016
101
10143
1080
0001016
11
S
lRm H
-1
Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem
zaokrouhlovaacuteniacute
Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu
HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7
Hm-1
113
58081008085071250 4
10101270
1250 10 4
271 33
7-
0
H
Br
Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou
Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute
v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2
Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou
Magnetickaacute indukce je S
B
je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute
Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r
BH
0
Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita
feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než
intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu
00
BBH
r
gtgt rFe
Fe
BH
0
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
0
BHUm
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
lB
lHUr
FemFe 0
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
mFemm UUF
Po dosazeniacute
0
BUUF mFemm l
B
r
0
114
Přiacuteklad 52
Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se
vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve
vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet
hodnotu maximaacutelně 08 A
Řešeniacute
Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
100954934
1012
104
21
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
1435395105110095493 36 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
A2997929)5180(21
)10511080(1200)(1200 33
DlHU FemFe
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
173518829979291435395 mFemm UUF A
Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka
2169216898508
1735188
I
FN m zaacutevitů
Přiacuteklad 53
Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500
zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je
vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg
115
Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
1201803009020060500221121 ININFFF mmm A
Intenzita magnetickeacuteho pole
375032
120
l
FH m Am
Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra
B = 12 T
Celkovyacute magnetickyacute tok je
34 10081103321)030030(21 SB Wb
Přiacuteklad 54
Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby
magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro
elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu
Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54
116
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
3182)9070(2 l mm
Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve
feromagnetickeacutem jaacutedru
Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je
66
7
0
10127324104
104
61
BH Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute
charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am
Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je
336 10254647910210127324 HUm A
Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je
1113103183500 3 lHU FemFe A
Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je
36595525461113 mFemm UUF A
Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a
provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů
Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak
73195
36595
I
FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a
budiacuteciacute proud bude 4574375800
36595
N
FI m
b A
Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů
Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je
znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např
pro dvě čaacutesti obvodu
21 mm
m
RR
U
ndash Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a
proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena
magnetizačniacute křivkou
Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce
)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak
možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm
117
Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a
pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm
Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2
tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm
Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf
Obr 127 - Funkce )( mFf
Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute
naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute
napětiacute z grafu funkce )( mFf
Přiacuteklad 55
Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech
materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle
obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů
Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů
118
Řešeniacute
Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu
75051500 INFm A
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je
18090452 plechyl mm
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je
14090252 litinal mm
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm1
Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute
pro oba materiaacutely
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0555556109
1054
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
200 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
3723363610140240010180200 33
1
Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4
Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute
Fm2
SB
kde 633 1090010301030 S m
2
0777778109
1074
4
SB T
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =
400 Am
Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme
z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am
Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2
A
lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym
8147427210140530010180400 33
2
Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4
Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4
Wb sestrojiacuteme
v Excelu graf funkce )( mFf
119
Fm (A) 372 814
Wb 00005 00007
Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55
Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb
58 Elektromagnetickaacute indukce
581 Indukčniacute zaacutekon
Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute
pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy
Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat
elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud
Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem
Indukčniacute zaacutekon
Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje
elektrickeacute napětiacute u
dt
du
kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku
dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d
120
Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon
Pozn
Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu
veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit
Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i
Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud
Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem
ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)
Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem
ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie
Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute
opačnou polaritu u = -e
Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash
viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute
dt
dNu
(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)
Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce
121
Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok
zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li
tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute
Přiacuteklad 56
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky
homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T
a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute
napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)
Řešeniacute
Magnetickyacute tok je
SB
Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0
Po 05 s bude tok
44 106110208 SB Wb
Změna magnetickeacuteho toku bude
44
01 106101061 d Wb
Změna času bude
050dt s
Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to
4801048001032150050
1061150 44
4
dt
dNu V
V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute
je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute
indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute
Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133
Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56
122
582 Pohyboveacute napětiacute
Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute
Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na
jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič
vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto
smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho
toku se neměniacute
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz
obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute
Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute
Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt
du
Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy
zmenšiacute o hodnotu
ltvBlsBSB
Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude
vlBt
ltvB
dt
du
)(
Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok
smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity
vlBt
ltvB
dt
du
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče
elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute
Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem
Lenzův zaacutekon
Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem
polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou
123
Obr 135 - Lenzův zaacutekon
Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute
pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr
proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo
Přiacuteklad 57
Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o
magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do
magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor
rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0
o a c) 60
o
Řešeniacute
a) Při uacutehlu 90 o
bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to
180503021 vlBu V
b) Při uacutehlu 0
o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru
indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je
nulovaacute
u = 0
c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka
rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami
rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti
rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem
čaraacutem
250505060cos50 0 kolmaacutev ms
Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky
124
Indukovaneacute napětiacute pak bude
0902503021 kolmaacutevlBu V
583 Vlastniacute indukčnost
Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute
magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude
indukovat napětiacute
dt
dNu
Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky
Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m
m
R
U kde INUm a tedy po dosazeniacute
mR
IN
můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu
za čas dt
mR
diNd
V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute
dt
R
diN
u m
Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute
dt
di
R
N
dt
R
diN
Ndt
dNu
m
m
2
Vyacuteraz mR
N 2
byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet
125
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
mR
NL
2
Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je
di
dtuL
1
)(
)()()(
AsV
A
sVH
Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita
materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky
Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute
nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu
Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute
hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se
v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se
nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
Přiacuteklad 58
Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů
vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm
Řešeniacute
Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka
Indukčnost ciacutevky je
l
SN
R
NL r
m
0
22
kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm
a S = r2 = 52
=7853982 mm2
3
672
0
2
1020
10547810450
l
SNL r
126
66
372 1039320
105478101041025
H
Přiacuteklad 59
Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli
se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm
Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400
Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm
23
3
7
0 )1010(
1051
104
11
S
Rm
66437
102534
10100101051
4
10
H
-1
Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru
23
33
7
0 )1010(
10511080
400104
11
S
lR
r
Fem
6437
4
337
101564004
105781010
10
10511080
4004
10
H
-1
Indukčnost ciacutevky je
0549561532
51
10)561532(
1500 2
6
222
mFemm RR
N
R
NL
H
584 Vzaacutejemnaacute indukčnost
Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2
(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute
tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140
127
Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost
Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i
jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje
elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude
indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet
dt
dikonstu 1
2
Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou
vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona
Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem
napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1
111 INFm
Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost
magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou
12
1112
mR
IN
Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude
dt
diM
dt
di
R
NN
dt
di
R
NN
dt
dNu
mm
11
12
121
12
12
1222
Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je
12
12
mR
NNM
Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř
všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem
sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1
128
Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami
Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je
mR
NL
2
11
mR
NL
2
22
Vzaacutejemnaacute indukčnost M je
mR
NNM 12
Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme
21
2
1
2
2
2
2
1
2
22122 )( LLRR
NN
R
NN
R
NNM
mmmm
a tedy
22 LLM
Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute
ciacutevce bude
dt
di
R
N
dt
diLu
m
2
111
a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude
dt
di
R
NN
dt
diMu
m
212
Poměr napětiacute 2
1
u
uje
2
1
21
2
1
2
1
N
N
dt
di
R
NN
dt
di
R
N
u
u
m
m
Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
129
Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale
dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě
o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek
Pak
22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Přiacuteklad 60
Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů
primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr
142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je
800
Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek
Řešeniacute
Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je
320)9070(2 l mm
Magnetickyacute odpor RmFe
64273
23
3
7
0
100353678984
10101010320
)1030(
10320
800104
11
S
lR
r
Fem
H-1
Indukčnost prvniacute ciacutevky
28274330353678
1
100353678
10006
22
11
mFeR
NL H
Indukčnost druheacute ciacutevky
636000353678
1051
100353678
150 22
6
22
22
mFeR
NL H
Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek
0381704636002839022 LLM H
130
Přiacuteklad 61
Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho
přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s
Řešeniacute
Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce
770002
01-06282743311
dt
diLu V
Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce
549002
01-0638202
dt
diMu V
Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute
ciacutevce bylo u2ideaacutel
1060288020
50
0353678
150
002
01-06
100353678
15010006
1
12
122
dt
di
R
NNu
m
ideaacutel V
Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667
Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667
Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute
2
1
2
1
N
N
u
u hellip transformačniacute poměr
585 Spojovaacuteniacute ciacutevek
Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je
Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně
Ciacutevky spojeneacute seacuteriově
Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143
to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat
stejneacute napětiacute
Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
131
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu kde dt
diLu 11 a
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )( 2121 LLdt
di
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL
Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute
vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k
kLL1
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute
indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet
Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M
je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash
viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet
132
Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti
soběldquo
Pro prvniacute obvod
21 uuu kde dt
diM
dt
diLu 11 a
dt
diM
dt
diLu 22
Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt
di
dt
diM
dt
diM
dt
diL
dt
diLu
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221
Ciacutevky spojeneacute paralelně
Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou
ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr
146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech
indukovat stejneacute napětiacute
Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute
Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute
obvod lze psaacutet
21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi
kde dt
diLu 1
11 a dt
diLu 2
22
a tedy dt
diLu 1
1 a dt
diLu 2
2
z toho 1
1
L
u
dt
di a
2
2
L
u
dt
di
133
Po dosazeniacute 21 dididi
21 L
u
L
udi
Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute
dt
diLu z toho
L
u
dt
di
Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21
111
LLL
Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute
vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute
jednotlivyacutech ciacutevek
Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek
Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro
vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah
n
k kLL 1
11
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz
obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute
MLMLL
21
111
Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash
viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet
MLMLL
21
111
Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M
134
Přiacuteklad 62
Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost
seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute
indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH
Řešeniacute
Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je
MLLL 221
Z toho
202
)40100(180
2
)( 21
LLL
M mH
585 Přechodovyacute jev na indukčnosti
Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce
dt
diLuiL
Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji
stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute
odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor
bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku
poškodil)
V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na
indukčnosti
Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti
V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon
V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud
jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0
pak vyacuteraz dt
diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem
Pro t0 platiacute
t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0
135
V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu
největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute
to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute
V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje
v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je
maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute
t0 i = konst di = 0 0dt
di
0dt
diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0
R
U
R
ui R 0
V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud
v obvodu je omezen jen odporem rezistoru
Průběh proudu a napětiacute je na obr 150
Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i
napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na
ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty
t
L eUu
0
kde
R
L
Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti
59 Energie magnetickeacuteho pole
Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově
působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud
Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute
průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute
udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem
mm UW 2
1 (J Wb A)
Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie
nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu
136
HBlS
U
V
U
V
Ww mmm
m
2
1
22
Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke
konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole
Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je
lSHBVHBVwW mm 2
1
2
1
Přiacuteklad 63
Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky
Řešeniacute
Energie magnetickeacuteho pole je
mm UW 2
1
kde INUm a mR
IN
Po dosazeniacute
mm
mmR
ININ
R
INUW
22
2
1
2
1
2
1
Protože LR
N
m
2
dostaneme vyacuteraz 2
2
1ILWm
510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy
Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech
materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole
Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech
vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve
vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti
přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti
plneacuteho průřezu
137
Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech
Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute
energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou
energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů
Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute
jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety
způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce
Pv f 2 B2
Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute
z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm
transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute
budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute
množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute
vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru
V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu
Hysterezniacute ztraacutety
Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute
feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve
feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute
smyčky
Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky
138
Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute
ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci
Ph f B2
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech
Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově
proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi
proudy
PFe = Ph + Pv
V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute
empirickeacute vzorce
511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole
silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud
Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce
vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli
lIBF
Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute
vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka
magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute
sin lIBF viz obr 153
Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli
Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho
magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho
Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole
působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem
proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela
139
Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Velikost siacutely F
lIBF 21
kde 101 HB r 0=410-7
(Hm-1
) pro vzduch je r přibližně 1
kde r
IH
21
1
Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah
7-212
17-
21 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
(N A A m m)
Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič
Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute
vodič
7-211
27-
12 10I2
r2
I 104
r
lIlIlIBF
Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute
a vodiče se tedy odpuzujiacute
Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je
zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute
140
Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů
Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute
Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi
rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute
vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7
N na 1 m deacutelky
vodičů
Přiacuteklad 64
Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm
rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho
proudu v nich je 40 A
Řešeniacute
Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je
3-7-
2
7-21 101920010105
304040210
I2
r
lIF N
5121 Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta
ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157
Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute
feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou
Obr 157 - Elektromagnet
141
Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na
pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru
Přitažlivaacute siacutela magnetu
Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce
B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti
magnetickeacute indukce B
Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu
V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou
posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie
magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie
magnetickeacuteho pole
dlSB
dlSB
BdlSHBWm 0
2
0 2
1
2
1
2
1
a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F
dlFA
Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2
02
1
Platiacute že S
B
a mR
IN
kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet
hodnota RmFe zanedbaacutevaacute
Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
142
Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem
přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze
magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute
Přiacuteklad 65
Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm
plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A
Řešeniacute
Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je
66
47
3
47
3
0
1053051656
10100
103102
10
109104
10322
S
lR v
m H-1
Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je
SR
INS
SF
m
2
22
0
2
2
0 2
1
2
1
9)5305165(42
1010104109
109)105305165(
2300
1042
12
41274
426
22
7
F
65852814303
500
28143032
100010
9281430342
49 3
F N
143
6 Střiacutedaveacute proudy
Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud
se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute
střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T
Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute
čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny
označeniacute přiacuteslušneacute veličiny
Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute
proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je
praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy
harmonickeacute Babyčka
Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu
Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute
jednotkou je hertz značka Hz
Doba jedneacute periody je
fT
1 (s Hz)
Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute
průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz
až MHz
Přiacuteklad 66
Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě
Řešeniacute
02050
11
fT s
144
61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii
Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu
Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy
Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel
tft
f
tT
21
22
Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za
jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se
f 2 (rads-1
)
Platiacute tedy
)sin(max tIi
Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel
nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute
Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu
145
Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh
sinusoidy
)sin(max tIi
Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje
Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu
Přiacuteklad 67
Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou
hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz
a proud je faacutezově zpožděn o 30o
Řešeniacute
Doba periody je
02050
11
fT s
Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2
Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute
zpožděniacute 30o
30o je 6 radiaacutenů 0001667
12
1020
2
61
Tt s
Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je
)6
00152sin(25)tsin( 0015)( max
fIi
-216207)6
0015314sin(25)6
0015502sin(25 0015)(
i mA
146
62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne
průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163
Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět
Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace
Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory
znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově
63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin
Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich
působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute
Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe
v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je
vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval
U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy
bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)
bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů
bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)
bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)
631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v
stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute
harmonickyacute proud (napětiacute)
Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině
proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je
tIRUtIW 2
147
2IRUIt
WP
Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval
dt je
dtiRdW 2
dttIRdtiRdW )(sin22
max
2
Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu
bdquoRplocha pod křivkou i2
ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164
rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i
2 po
dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho
proudu daneacuteho průběhu Platiacute
2
2
max2 II
2
maxII což je 7070max II
Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i
silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu
632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost
stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud
Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za
jednotku času
t
QI tIQ
Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165
148
Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu
Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod
přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody
a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute
pro stejnosměrnyacute proud QT
Imed 2
a
pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q
Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho
počtu dospět k vyacuterazu
max
2IImed
což je max6370 IImed
Přiacuteklad 68
Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce
Řešeniacute
Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě
230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy
V 32523022max UU
64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem
čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho
velikost je
vlBU
kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje
l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole
v je rychlost pohybu vodiče
149
Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se
vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B
magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166
Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute
Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je
velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute
Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute
Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr
168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v
každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli
Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem
pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich
150
obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za
minutu)
Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto
okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a
velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0
a) b) c)
Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli
Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu
v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr
indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v
a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to
vlBui
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem
směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato
napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je
max22 UrlBvlBui
Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute
s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu
kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute
indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute
v zaacutevitu v obecneacute poloze je
sinsin22 max UvlBvlBu xi
151
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute
Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden
zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-
kraacutet většiacute
)sin(max tUNui
Přiacuteklad 69
Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm
b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce
B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s
Řešeniacute
Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh
)sin(2 tvlBui
Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je
560
300
60
nf Hz
Uacutehlovaacute rychlost je
431522 f s-1
Rychlost otaacutečeniacute v
rv kde 2
2
1022
104
2
a
r m
6280102431 2 rv ms
Tedy
tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22
Doba jedneacute periody T je
205
11
fT s
V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)
152
a) b)
Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69
V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil
praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)
65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže
Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je odpor R
Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež
charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L
Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož
charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C
651 Odporovaacute zaacutetěž
Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě
odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a
proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute
vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie
Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
153
Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je
)sin()sin()sin(
max
maxmax tItR
U
R
tUi
Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve
faacutezi
Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R
UI max
max
Pro efektivniacute hodnoty platiacute R
UI
Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži
Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je
2iRiup
Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je
2IRIUP
Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon
jednotkou je watt (W)
652 Induktivniacute zaacutetěž
O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu
připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)
Pak platiacute
dt
diLui
a) b)
Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute
maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu
Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud
neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute
154
Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute
maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj
v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di
lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute
čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax
Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem
indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o
Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah
)sin(max tUu
pak průběh proudu je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak
indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna
proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute
rychlost viz obr 173
Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt
Platiacute
LXILIU maxmaxmax
kde XL je tzv indukčniacute reaktance
LX L ()
Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem
proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze
ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento
odpor minimaacutelniacute)
Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu
LX
UI max
max a LX
UI
Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo
uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL
155
Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute
do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je
okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute
V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět
zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute
směr
V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie
ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho
efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud
kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute
vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud
653 Kapacitniacute zaacutetěž
O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen
kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)
Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět
156
vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita
elektrickeacuteho pole
a) b)
Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu
Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute
pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na
deskaacutech kondenzaacutetoru o dq
dtidq
Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du
C
dti
C
dqdu
Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i
dt
duCi
Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute
maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud
napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je
du = 0 a tedy i proud je nulovyacute
Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud
maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t
= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a
proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t
= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax
Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute
proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)
Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je
)2
sin(max
tIi
Ze vztahu dt
duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute
jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt
Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute
uacutehlovaacute rychlost
157
CUI maxmax
Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde
CX C
1
Pak lze psaacutet
CX
UI max
max a pro efektivniacute hodnoty CX
UI
Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho
proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177
CfCX C
2
11
Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci
Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute
k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud
neproteacutekaacute
Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu
napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC
Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je
)2
sin()sin( maxmax
tItUiup
Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute
průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy
Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem
kondenzaacutetoru
158
V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se
dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute
V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute
do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor
nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute
energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje
v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute
s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije
nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech
V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze
k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do
zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute
se Q a jeho efektivniacute velikost je
IUQ (VAr V A)
Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a
nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor
Přiacuteklad 70
Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F
pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz
Řešeniacute
V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf
X C
2
1
Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70
159
654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity
indukuje se v niacute napětiacute u1
dt
diLu 1
11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU
V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje
napětiacute u2
dt
diMu 1
2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12
kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou
Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů
Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2
zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2
dt
diLu 2
22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU
V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce
indukovalo napětiacute u1
dt
diMu 2
1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21
Transformačniacute poměr
Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR
NL
2
11 a
mR
NL
2
22
Z toho vyplyacutevaacute že 12
12
mR
NNM
Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1
mR
NILIU
2
11111
a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2
12
12112
mR
NNIMIU
160
Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je
2
1
12
121
2
11
2
1
N
N
R
NNI
R
NI
U
U
m
m
Poměr 2
1
2
1
N
N
U
U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr
Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu
zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu
elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit
přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute
přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se
napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute
400230 V
66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech
obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě
indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R
Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů
střiacutedaveacuteho proudu
Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho
proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute
respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu
661 Seacuteriovyacute RC obvod
Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože
je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a
tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu
161
Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je
IRUR
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC
Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z
22 RXZ C ()
Pak
ZIU
Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je
22 RX
U
Z
UI
C
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
181 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 71
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost
faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
C
kde velikost kapacitniacute reaktance je
1592
1000
10501022
1
2
1163
CfC
XC
Proud
0470256
12
200159
12
2222
RX
UI
C
A = 47 mA
162
Napětiacute na rezistoru UR
3990470200 IRUR V
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC
4770470159 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
078247912
399cos
U
U R = 0672159 rad = 385o
Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71
662 Seacuteriovyacute RL obvod
Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je
tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL
163
Impedance obvodu je
22 RXZ L ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22 RX
U
Z
UI
L
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
183 je cos
U
IR
U
U R cos
Přiacuteklad 72
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho
posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22 RX
U
Z
UI
L
kde velikost induktivniacute reaktance je
1257405022 LfLX L
Proud
154807125
230
2222
RX
UI
L
A
Napětiacute na rezistoru UR
12454180 IRUR V
Napětiacute na ciacutevce UL
1945417125 IXU LL V
Faacutezovyacute uacutehel je
0537029230
124cos
U
U R = 1003885 rad = 57 5o
164
Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72
663 Seacuteriovyacute LC obvod
Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I
Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute
)( CLCLCL XXIIXIXUUU
Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter
Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter
165
664 Seacuteriovyacute RLC obvod
Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy
proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR
IRUR
Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2
Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC
X C
2
11
Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech
prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute
ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL
Impedance obvodu je
22)( RXXZ CL ()
Pak
ZIU
Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
186 je cos
U
IR
U
U R cos
166
Přiacuteklad 73
Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je
120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute
diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V
frekvence f = 50 Hz
Řešeniacute
Velikost proudu je
22)( RXX
U
Z
UI
CL
kde velikost induktivniacute reaktance je
4512805022 LfLX L
avelikost kapacitniacute reaktance je
7957747250
1040502
1
2
116
CfC
XC
Proud
109746209
230
120)6794251(
230
)( 2222
RXX
UI
CL
A
Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou
713109741120 IRUR V
2759097414251 IXU LL V
87309741679 IXU CC V
Faacutezovyacute uacutehel je
0572579230
7131cos
U
UR = 0961148 rad = 55 1o
Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73
167
665 Paralelniacute RC obvod
Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru
Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RC III
Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
188 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
CC
RC
Z
UI
22
11
1
RX
Z
C
22
111
RXZ C
168
666 Paralelniacute RL obvod
Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky
Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22
RL III
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
189 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
22
22
22 11
RXU
R
U
X
UIII
LL
RL
Z
UI
22
11
1
RX
Z
L
22
111
RXZ L
169
668 Paralelniacute LC obvod
Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCX C
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute
CL
CLX
U
X
UIII
Impedance LC obvodu je
CLXXX
U
X
U
U
I
UZ
CLCL
1
1
11
1
Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy
CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0
Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se
opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a
ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li
CL
1
což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence
170
CL
1 Cf
Lf
0
0
22
1
CLf
2
10
669 Paralelniacute RLC obvod
Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru
Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram
Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je
tedy napětiacute
U = UR = UL = UC
Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U
Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je
R
UIR
Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je
L
LX
UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2
Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je
C
CX
UI kde kapacitniacute reaktance
CfCXC
2
11
Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi
prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash
viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute
22)( RCL IIII
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr
191 je cos
I
IRcos
Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu
171
2222
22 111)(
RXXU
R
U
X
U
X
UIIII
CLCL
RCL
Z
UI
22
111
1
RXX
Z
CL
22
1111
RXXZ CL
Přiacuteklad 74
Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož
odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete
faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =
230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute
Řešeniacute
Velikost proudu rezistorem je
0766667300
230
R
UIR A
Velikost proudu ciacutevkou je
091514180502
230
2
Lf
U
X
UI
L
L A
Velikost proudu kondenzaacutetorem je
072256610321010502230
2
16
Cf
U
X
UI
C
C
Celkovyacute proud je
07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem
096987279050
7670cos
I
IR = 141o
Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR
I = IR =0767 A
A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0
562697782
1000
1010802
1
2
1
60
CLf Hz
172
Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74
Přiacuteklad 75
Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10
kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)
Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce
Řešeniacute
Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem
odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti
rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)
Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
314101005022 3 LfLX L
Proud ciacutevkou
0732113
3141592
230
98696
230
10314
230
2222
RX
UI
L
A
Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je
7321073211310 IRU R V
173
Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je
229880732113314 IXU LL V
Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je
003183230
7321cos
U
UR
1538961 rad 8817594 o
Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute
Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti
na čase
)502sin(2302)sin(max ttUu
přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms
=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)
)5391502sin(7322)sin(max ttIi
přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA
=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)
Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75
Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute
36573203217 IUP R W
Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute
3168073222988 IUQ L VAr
Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute
41680732230 IUS VA
174
6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody
Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute
posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory
v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy
s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech
Přiacuteklad 76
Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute
indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F
Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz
Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76
Řešeniacute
Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech
Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR
je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute
součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o
předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC
Indukčniacute reaktance ciacutevky je
62810100100022 3 LfLX L
Proud IRL je
0020325
118084
24
1394384
24
1000628
24
2222
RX
UI
L
RL A
Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je
3252000203251000 IRU R V
12763790020325628 IXU LL V
175
Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je
084687524
32520cos RL
U
U R = 3212661o
Proud kondenzaacutetorem IC je
C
CX
UI
kde 1591549102
10
101010002
1
2
112
6
6
CfCX C
0015081591549
24CI A
Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi
s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka
IRLj
a) b)
Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)
Činnaacute složka IRLč
001721384687500020325cos RLRLRLč II A
Jalovaacute indukčniacute složka IRLj
0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A
Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC
tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy
2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A
09999630172130
0172130cos
I
I RLč = 05o
Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve
větvi RL
176
Přiacuteklad 77
Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o
indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby
byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem
Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77
Řešeniacute
Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka
proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC
Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL
- viz obr 198 a)
a) b) c)
Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77
Proud ve větvi s ciacutevkou
0315547
5188
24
100304002
24
2222
RX
UI
L
RL A
Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou
155473031554710 RLR IRU V
237916603155470304002 RLLL IXU V
Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou
o82445d1438937ra
013147824
155473cos
RL
RRL
U
U
177
Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru
na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)
004148701314780315547cos RLRLč II A
031280709913190315547sin RLRLj II A
Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je
tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně
kompenzovaacuten pak platiacute
CRLj II a tedy IC = 0312807 A
Proud kondenzaacutetorem je
0312807C
CX
UI A
a tedy kapacitniacute reaktance je
7672451 0312807
24
C
CI
UX
Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet
CfXC
2
1
CXfC
2
1
666
1051859221072451764002
101
72451764002
1
C F
Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o
kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL
což je 0041487 A
Přiacuteklad 78
Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr
199 Řešte obecně
Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78
Řešeniacute
Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu
178
Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se
zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90
o předbiacutehaacute Vyneseme
tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR
je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U
CL
L
ABL
c
ABC
R
ABR
III
X
UI
X
UI
IRU
UUU
222
Po dosazeniacute
2
2
2222222
AB
c
AB
L
AB
ABCLABABR
UX
U
X
UR
UIIRUIRUUU
2
2
22
2
2 111
cL
ABAB
c
AB
L
AB
XXRUU
X
U
X
URU
2
2
22
2
22 11cL
LcAB
cL
LcAB
XX
XXRU
XX
XXRUU
2
2
1cL
Lc
AB
XX
XXR
UU
Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute
na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU
66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu
Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute
zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do
magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute
kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje
Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute
IUP
V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon
iup
179
Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute
posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute
nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a
z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a
jejiacute jednotkou je voltampeacuter
IUS (VA V A)
Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute
přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži
Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute
nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je
s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem
pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a
induktivniacute zaacutetěži je cos = 0
Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o
90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute
energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je
voltampeacuter reaktančniacute
sin IUIUQ j (Var V A)
Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem
cos IUP sin IUQ IUS 2
2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS
22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP
Platiacute tedy že
222 SQP
což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200
Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu
180
Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A
měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute
napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a
hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku
Přiacuteklad 79
Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete
zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos
Řešeniacute
1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou
prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se
v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen
jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)
Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI
Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud
předřazenyacutem odporem
a) b)
Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti
2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)
Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute
induktivniacute reaktanciacute XL
Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute
hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL
(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute
indukčnost ciacutevky L
181
I
UZ
22 RZX L f
XL L
2
Z
R
IZ
IR
U
UR
cos
IUS cos IUP sin IUQ
67 Rezonance
Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti
indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute
tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute
Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin
rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme
rezonančniacute frekvence a značiacute se f0
671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz
obr 202
Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram
Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro
rezonanci XL = XC
Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je
22)( RXXZ CL
Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji
jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0
Z0 = R
Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to
R
UI 0
182
Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost
ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC
LfCf
0
0
22
1
2
022
1f
CL
CLf
2
10
Rezonančniacute křivka
Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)
2222 )2
12()( R
CfLfRXXZ CL
Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)
Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel
je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0
Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute
R
CfLf
arctg
2
12
Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je
22)2
12( R
CfLf
U
Z
UI
Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod
Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute
kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute
odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu
Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R
Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL
183
a napětiacute na kondenzaacutetoru IC
IXU CC
1
Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy
0000 ILUU CL kde R
UI 0
Po dosazeniacute je
UR
L
R
ULILUU CL
0
00000
Vyacuteraz R
L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti
Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti
Pak UQXU CL 00
To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka
napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při
naacutehodneacutem dotyku
672 Paralelniacute rezonančniacute obvod
Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz
obr 205
Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram
184
K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna
velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute
složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R
reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0
Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat
kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter
Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude
převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter
Proud ciacutevkou je
22222 RLf
U
RX
UI
L
RL
Jalovaacute složka proudu IRL je
RLRLRLj II sin kde 222
2sin
RLf
Lf
Z
X
ZI
XI
U
U
RL
L
RLRL
LRLLRL
Po dosazeniacute
222222 2
2
2
2
2 RLf
ULf
RLf
Lf
RLf
UIRLj
Činnaacute složka proudu IRLč je
222222222
cosRLfI
RI
RLf
U
U
U
RLf
UII
RL
RLRRLRLRLč
222222 222 RLf
RU
RLfI
RI
RLf
UI
RL
RLRLč
Proud kondenzaacutetorem je
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
2
2
1
Pro rezonanci
CRLj II
UCf
RLf
ULf
022
0
0 22
2
C
RLf
L
22
02
0)2( 222
0 LRCCLf
2
0
1
2
1
L
R
CLf
185
Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
22
2
2)(
RLf
RCf
RLf
LfU
RLf
RUCf
RLf
ULfIIII RLčCRLj
Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy
22
0
02 RLf
RUII RLč
Impedance při rezonanci je
R
RLf
I
UZ
22
0
0
0
2
Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu
je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0
Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna
odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou
Rezonančniacute křivky
Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu
matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute
2
22
2
222
22
2
RLf
RCf
RLf
LfUI
a
I
UZ
Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu
Činitel jakosti obvodu
Činitel jakosti obvodu je Q
R
LQ
0
186
Platiacute
000 IQII RLC
Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud
odebiacuteranyacute ze zdroje
Přiacuteklad 80
Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny
a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci
proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro
paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem
Řešeniacute
Ad a) Rezonančniacute frekvence
Hz
CLf
33
64630
102055602
10100
10210302
1
1021032
1
2
1
Rezonančniacute impedance
Z0 = R =10
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
A4210
240
R
UI
Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci
V 929516421031005522
f2
33
000000
ILILUU LC
Činitel jakosti
387324
95920 U
UQ C
Ad b) Rezonančniacute frekvence
Hz 1985111111111666666672
1
3
10
23
10
2
1
103
10
102103
1
2
11
2
1
249
2
363
2
0
L
R
CLf
Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci
187
A 016
1500
1024
10398512
1024
1010319852
1024
2
22
22322
0
0
RLf
RUII RLč
Rezonančniacute impedance
150160
24
0
0I
UZ
Proud kondenzaacutetorem při rezonanci
A 059866524102198522
2
16
0
0
0
0
UCf
Cf
U
X
UI
C
C
Činitel jakosti
3741657160
598700 I
IQ C
Pozn
Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute
se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod
CLf
2
10
Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně
přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)
68 Kompenzace uacutečiniacuteku
Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla
nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute
složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu
Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li
faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je
cos IIČ
činnyacute vyacutekon je
cos IUIUPČ
(W V A)
Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek
V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je
daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy
v elektrickyacutech strojiacutech
188
a) b)
Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci
Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute
energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute
jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute
činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů
Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což
vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy
většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a
tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet
dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena
roste
Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud
kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho
původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute
složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute
zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho
vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku
Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav
paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095
Přiacuteklad 81
Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07
Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na
hodnotu 095
Řešeniacute
Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
Činnyacute vyacutekon je
189
cos IUIUPČ
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
186335470230
300
cos
U
PI A
Činnaacute složka proudu je
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
133070113043481863354 2222 čj III A
Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru
coskomp = 095
Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je
1372998950230
300
cos
komp
kompU
PI
A
Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy
1304348230
300
U
PIč A
Jalovaacute induktivniacute složka proudu je
042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A
Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute
Cjjkomp III
Proud kondenzaacutetorem tedy bude
090198304287181330701 jkompjc III A
Pro proud kondenzaacutetorem platiacute
Cf
U
X
UI
c
C
2
1
Kapacita kondenzaacutetoru je tedy
6-5- 10124831012483230502
0901983
2
Uf
IC C F = 12483 F
190
7 Trojfaacutezovaacute soustava
Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute
jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina
průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod
elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak
napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena
využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute
trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute
velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci
elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu
71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute
magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u
Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
sinsin22 max UvlBvlBu xi
kde
B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole
l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)
v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu
v = r
r = a2
Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy
t
191
a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se
konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na
čase t
)sin(max tUui
Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute
Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově
pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute
harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem
posunem jednotlivyacutech napětiacute
Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou
pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o
se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se
označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211
Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute
192
Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuW
Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech
hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule
0 WVU uuu
Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute
Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute
f
o
f UUx2
1)60cos( ff UUy
2
12
Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU
Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0
UU + UV + UW = 0
72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu
Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute
stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou
Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze
statoroveacuteho vinutiacute
Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem
otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)
Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute
obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou
draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je
posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi
193
průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute
U1 V1 W1 konce U2 V2 W2
Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti
Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu
statoru
Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute
Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem
obvodem a statorovyacutem vinutiacutem
Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod
rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na
vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky
stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n
(otmin)
Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru
Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru
Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute
jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute
vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje
elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem
v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto
uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na
elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu
přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů
přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute
Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech
elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou
195
označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla
3000 otmin
Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech
jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute
s předchoziacutem provedeniacutem
Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute
Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem
Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů
Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je
v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech
vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a
označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy
Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi
nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se
označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)
a) b)
Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy
a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem
Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute
faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf
196
fWVU UUUU
Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy
Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US
SWUVWUV UUUU
Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho
napětiacute
2
330cos
2 f
o
fS UU
U
fS UU 3
Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi
libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US
73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti
Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke
spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a
ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P
Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je
IRU
kde R je odpor vedeniacute
I je přenaacutešenyacute proud
Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je
2IRIIRIUP
Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině
přenaacutešeneacuteho proudu
197
Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou
energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem
vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety
Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se
napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně
niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se
energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory
Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek
Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty
dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou
proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje
v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute
počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky
Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru
Z uvedeneacuteho je patrneacute že
2
1
2
1
N
N
U
U (= transformačniacute poměr) a tedy
1
212
N
NUU
Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute
napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se
transformuje na nižšiacute napětiacute
Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že
vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu
P1 = P2 = P
Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak
1
212
N
NUU gt U1
Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute
2
2U
PI a
1
1U
PI
pak I2 lt I1
proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute
198
Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je
2
11
1
21
11
2
112
N
NI
N
NU
UI
U
UII
rarr
2
1
1
2
N
N
I
I
Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie
se sniacutežiacute
Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV
Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV
Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute
vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro
daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie
Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute
zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V
G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor
Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy
74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti
Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři
faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute
sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič
jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute
vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE
Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče
mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič
Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před
dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je
takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale
vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem
krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet
zdraviacute ohrožujiacuteciacute
199
Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C
Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S
Ochrana nulovaacuteniacutem
Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute
čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute
Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem
jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute
faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute
pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu
200
Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např
faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se
na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm
aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem
bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li
se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute
proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)
a) b)
Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem
Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při
poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute
je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud
IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho
působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se
danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine
74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti
Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi
Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy
Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy
připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu
a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
201
f
f
fZ
UI
Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel
danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče
Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy
Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven
nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute
žaacutednyacute proud
IN = 0
Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může
vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute
vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem
různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute
trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky
světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit
přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud
možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech
202
obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN
kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou
U
UU
Z
UI
V
VV
Z
UI
W
WW
Z
UI
Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute
fWVU UUUU
a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o
Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute
Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže
v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W
Pozor
Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde
přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a
spotřebičem
741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka
Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230
Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka
203
Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou
stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o
UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3
Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou
UV
SUV
Z
UI
VW
SVW
Z
UI
WU
SWU
Z
UI
a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže
Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona
IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW
Souměrneacute zatiacuteženiacute
Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů
v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je
S
f
S
SS
Z
U
Z
UI
3
Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech
napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče
Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech
Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute
Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute
o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232
2
330cos
2 WU
o
WU
fII
I
WUf II 3
204
Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute
Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je
různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz
obr 233
Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute
Přiacuteklad 82
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute
činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na
obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute
ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy
205
Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82
Řešeniacute
Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235
Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234
Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je
400 SWVUWVU UUUU V
Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost
Z
UIIII S
WVUWVU
kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L
76173
400
Z
UI S 230207 A
206
Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost
398730323020733 IIIII fWUV A
75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech
Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
cos fff IUP (W V A)
Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
fff IUS (VA V A)
Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je
sin fff IUQ (VAr V A)
Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute
Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon
cos33 fff IUPP (W V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon
fff IUSS 33 (VA V A)
Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
Přiacuteklad 83
Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu
R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a
celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do
trojuacutehelniacuteku
Řešeniacute
Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude
287580
230
R
UI
f
f A
Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy
661252875230 fff IUP W
207
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
1983752875230333 fff IUPP W
Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute
US Proud každyacutem z rezistorů bude
580
40033
3
f
ffSS I
R
U
R
U
R
UI A
Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy
00025400333 fffSSS PIUIUP W
Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je
6000200033 SPP W
Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy
751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek
Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na
svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co
nejjednoduššiacute
Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je
znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute
chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do
trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy
a) b) c)
Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do
trojuacutehelniacuteka
76 Točiveacute magnetickeacute pole
Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o
připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř
statoru točiveacute magnetickeacute pole
208
Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti
Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238
V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1
ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W
a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)
V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do
V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole
jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)
ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček
a) b) c)
209
d) e) f)
Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole
V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1
ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do
W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole
jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako
v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o
Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele
stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute
rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute
Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute
magnetickeacute pole
Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku
daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi
Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech
V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW
2
3)
3
4sin()
3
4sin( maxmaxmax IItIiw
Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy
2
3max w
kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute
Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239
Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole
210
maxmax
0
2
3
2
3
2
32)30cos(2 W
Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy
max2
3
Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute
o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a
velikosti max2
3
Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou
statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem
magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho
pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)
fns 60
Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru
Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory
Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho
magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241
V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)
V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)
v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy
pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček
211
a) b)
Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole
Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr
242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi
přiacutevodniacutemi faacutezemi
Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru
212
77 Kompenzace uacutečiniacuteku
Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny
v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy
Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute
elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat
neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a
vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech
bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute
proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem
Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute
charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem
připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute
Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou
hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je
penalizovaacuten
Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků
kondenzaacutetorů k siacuteti
Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu
Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky
spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou
nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem
přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na
využitiacute spotřebiče
Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru
Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech
rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke
zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při
individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute
jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody
213
Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena
v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti
spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace
Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku
kompenzačniacuteho vyacutekonu
Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry
měřiacute pouze činnou odebranou energii
214
8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich
značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami
81 Elektrostatickeacute pole
Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)
elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19
C
Q = ke k je celeacute čiacuteslo
I elektrickyacute proud ampeacuter (A)
t
QI
E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )
Q
FE
U elektrickeacute napětiacute volt (V)
Q
AU ( CJV )
l
UE
2
21
04
1
r
QQF
r
hellip Coulombův zaacutekon
siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem
prostřediacute
permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m
-1)
0 r
0 permitivita vakua 0 = 885410-12
(CV-1m
-1)
r poměrnaacute permitivita r gt = 1
24 r
QE
intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule
s naacutebojem Q
D elektrickaacute indukce
S
QD )( 22 mCmC
ED r 0
C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)
U
QC
l
SC r 0
215
Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC 21
Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů
nivyacutesl CCCCC
1
1
111
21
Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru
t
c eUu 10
kde
CR
Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru
2
2
1UCWC
Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
Pak kapacita osamoceneacute koule je
104 rC r
Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je
1
2
0
1
2
0
log32
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
82 Stejnosměrnyacute proud
J Proudovaacute hustota
S
IJ )( 22 mAmA
V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2
R elektrickyacute odpor ohm ()
R
UI hellip Ohmův zaacutekon
S
lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm
rezistivita materiaacutelu
G vodivost siemens (S)
RG
1
216
Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR
teplotniacute součinitel odporu (1oK)
A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu
tIUUQA (J V A s)
P vyacutekon
2IRIIRIUP (W V A)
uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech
1001
2 P
P )( JJ
Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel
01
n
k
kI
Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku
01
n
k
kU
Spojovaacuteniacute rezistorů
Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21
Paralelniacute niVyacutesl RRRRR
1
1
111
21
Transfigurace
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute
iRIUU 0
Proud nakraacutetko
i
kR
UI 0
217
83 Magnetickeacute pole
magnetickyacute tok weber (Wb)
B magnetickaacute indukce tesla (T)
SB
lI
FB
lIBF sin lIBF (N T A m)
Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)
n
i
im IF1
Um magnetickeacute napětiacute (A)
n
i
mim UF1
H intenzita magnetickeacuteho pole
l
UH m (Am
-1 A m)
V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r
I
l
UH m
2
Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem
HB r 0
0 = permeabilita vakua 0= 410-7
(Hm-1
) henry (H)
r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r
přibližně 1)
Hopkinsonův zaacutekon
mm U
l
SS
l
USHSB
Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)
mm Ul
SG
Rm magnetickyacute odpor (reluktance)
m
mG
R1
S
lRm
1 (H
-1) kde r 0
m
m
R
U - Hopkinsonův zaacutekon
Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu
r
IH
2 kde r je poloměr zaacutevitu
218
Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky
r
INH
2 kde
2
Dr
2
12 DDD
Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky
l
IN
l
UH m
Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky
r
IN
l
UH m
2
Indukčniacute zaacutekon
dt
du
pro ciacutevku o N zaacutevitech
dt
dNu
Pohyboveacute napětiacute
vlBu
L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)
dt
diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky
l
SN
R
NL r
m
0
22
M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)
dt
diMu 1
2
12
12
mR
NNM
22 LLM
22 LLM
kde je činitel vazby obou ciacutevek 1
Transformačniacute poměr
2
1
2
1
N
N
u
u
Spojovaacuteniacute ciacutevek
seacuterioveacute 21 LLL
seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221
219
paralelniacute 21
111
LLL
paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL
21
111
Přechodovyacute jev na indukčnosti
t
L eUu
0
kde
R
L
Energie magnetickeacuteho pole
mm UW 2
1 lSHBWm
2
1
Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole
sin lIBF
Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu
SR
INF
m
2
22
02
1
84 Střiacutedaveacute proudy
f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)
60
nf
T doba jedneacute periody (s)
fT
1
uacutehlovaacute rychlost
f 2 (rads-1
)
Průběh harmonickeacuteho proudu
)sin(max tIi )sin(max tIi
Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
2
maxII
Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu
max
2IImed
220
Odporovaacute zaacutetěž
)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR
Ui
Induktivniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
LX
UI max
max
XL induktivniacute reaktance ()
LX L
Kapacitniacute zaacutetěž
)sin(max tUu )2
sin(max
tIi
CX
UI max
max
XC kapacitniacute reaktance ()
CX C
1
Seacuteriovyacute RLC obvod
Z impedance obvodu ()
22)( RXXZ CL U
IR
U
U R cos
Paralelniacute RLC obvod
22)( RCL IIII I
IRcos
Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu
P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)
S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)
Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)
222 SQP
cosφ uacutečiniacutek
IU
P
cos
Rezonance
f0 rezonančniacute frekvence
CLf
2
10
221
Q činitel jakosti obvodu je R
LQ
0
84 Trojfaacutezovaacute soustava
Uf faacutezoveacute napětiacute
Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W
)sin(max tUuU
)3
2sin(max
tUuV
)3
4sin(max
tUuw
US sdruženeacute napětiacute
fS UU 3
Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu
cos33 fff IUPP (W V A)
fff IUSS 33 (VA V A)
sin33 fff IUQQ (VAr V A)
222
Použitaacute literatura
BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-
7333-043-1
Internetoveacute straacutenky (www)
BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt
httpwwwbrush-semczgt
Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-
cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt
Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW
lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt