jl flores

FISICA CLASICAPOSTULADOS DE EINSTEIN

TRANSFORMACIONES DE LORENTZMODELO MATEMATICO

CINEMATICA RELATIVISTADINAMICA RELATIVISTA

RELATIVIDAD ESPECIAL

Ciclo Conferencias: Una introduccion a la Relatividad desde unpunto de vista Matematico

Jose L. FloresUniversidad de Malaga

Ciclo Conferencias: Una introduccion a la Relatividad... RELATIVIDAD ESPECIAL




1 FISICA CLASICA

2 POSTULADOS DE EINSTEIN

3 TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

4 MODELO MATEMATICO

5 CINEMATICA RELATIVISTA

6 DINAMICA RELATIVISTA





Sistemas InercialesTransformaciones de GalileoLeyes de NewtonEcuaciones de MaxwellEl eterExperimento Michelson-Morley

1. FISICA CLASICA






SISTEMAS INERCIALES:

Sistema de Referencia: Conjunto de coordenadasque permite determinar unvocamente la ubicacionespacial y temporal de cualquier suceso.

Sistema inercial: Sistema de referencia que estaen reposo o movimiento rectilneo uniformerespecto de un objeto material sobre el cual noactua fuerza alguna, cualquiera sea su posicion.

Principio Relatividad Galileo:En los sistemas inerciales los fenomenos mecanicosresponden a las mismas leyes, lo que haceimposible distinguir en mecanica cual de ellos estaen reposo y cual en movimiento.






TRANSFORMACIONES DE GALILEO:

x = x v ty = yz = zt = t.

Establecen la relacion entre las coordenadas espaciales y temporalesde dos sistemas de referencia inerciales.

Se deducen de suponer el caracter absoluto del espacio y del tiempo.






LEYES DE NEWTON:

Primera Ley: Todo cuerpo permanecera en suestado de reposo o movimiento uniforme yrectilneo a no ser que sea obligado por fuerzasimpresas a cambiar su estado

Segunda Ley: El cambio de movimiento esproporcional a la fuerza motriz impresa y ocurresegun la lnea recta a lo largo de la cual aquellafuerza se imprime

Tercera Ley: Con toda accion ocurre siempreuna reaccion igual y contraria; las acciones mutuasde dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas ensentidos opuestos






ECUACIONES DE MAXWELL:

~E = /0 ~B = 0 ~E = ~B/t ~B = 00~E/t + 0jc .

Conjunto de ecuaciones que, junto con la fuerza de Lorentz, describenpor completo los fenomenos electricos y magneticos.

Conllevan la nocion de campo electromagnetico y la prediccion de lasondas electromagneticas

Ecuaciones no invariantes frente a las transformaciones Galileo!!






EL ETER:

Introducido como medio fsico por el que se deban propagar las ondaselectromagneticas y como sustento del concepto de campo.

Sugera la existencia de un sistema de referencia muy especial: aquelen el que el eter estara en reposo y en el que las ecs. de Maxwelladmitan su expresion conocida, de hecho la mas simple posible.

Este espacio no poda ser otro que el espacio absoluto.

La existencia del eter se consideraba ampliamente aceptada a finalesdel s. XIX, pero deba poseer unas propiedades fsicas muy peculiaresque lo hacan muy difcil de detectar.

Michelson y Morley disenaron un experimento para probar suexistencia midiendo el movimento de la tierra a traves de el.






EXPERIMENTO MICHELSON-MORLEY:

Realizado en Cleveland en 1887, se considera uno de los experimentosmas importantes de la Fsica.

Pretenda probar el movimiento de la tierra a traves del eter midiendola velocidad de la luz en dos direcciones perpendiculares entre s y condiferente velocidad relativa al eter.






Michelson y Morley construyeron un interferometro compuesto de unsemiespejo, que divida la luz en dos haces de luz que viajaban endirecciones perpendiculares y luego se recogan en un punto comun.

Al seguir trayectorias distintas, estos haces de luz deban viajar adiferente velocidad, por lo que deban crear un patron de interferenciaal ser detectados al final de su trayecto.

El experimento no detecto ninguna interferencia, y, por tanto,ninguna variacion en la velocidad de la luz.






EXPLICACIONES A LOS RESULTADOS:

La Tierra arrastra consigo al eter en sumovimiento,

Los cuerpos se contraen en la direccion de sumovimiento, cancelando as el efecto debidoa la diferencia de velocidades de los haces,

La velocidad de la luz es constante conrespecto a la fuente que la emite,

...

Relatividad Especial (A. Einstein, 1905).





1. POSTULADOS DE EINSTEIN





POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL:

Las leyes de la Fsica coinciden en cada sistema de referencia inercial.

En particular, los sistemas inerciales resultan indistinguibles, lo quedestierra la nocion de sistema de referencia absoluto, e incorporaimplcitamente el Principio de inercia.

La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente.

Por tanto, la constancia de la velocidad de la luz pasa a ser unPrincipio universal, resultando clave para establecer lastransformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales.





Deduccion de las transformaciones de LorentzTranformaciones de Lorentz

2. TRANSFORMACIONES DELORENTZ






DEDUCCION DE LAS TRANFORMACIONES DE LORENTZ:

y y

x x

P

(x,y,z,t)

(x,y,z,t)v

O O

Consideremos dos sistemas de referencia inerciales R, R tales que R

se mueve en la direccion x con velocidad v respecto de R.(Suponemos t = t = 0 cuando O, O coinciden.)Consideremos el suceso P con coordenadas (x , y , z , t) en el sitema R.

Pretendemos hallar las coordenadas (x , y , z , t ) de P en R .






Resulta razonable suponer que las coordenadas en las direccionesperpendiculares al movimiento permanecen invariantes:

y = y , z = z .

Tambien podemos suponer que (x , t), (x , t ) se relacionan mediante:

x = Ax + Bt, t = Cx + Dt.

Si denotamos por x , t las coordenadas de O en R entonces:

x = Ax + Bt = 0, x/t = v = B = vA. (1)

Sustituyendo (1) en la ecuacion x = Ax + Bt se tiene:

x = A(x v t).






y y

x x

P

(x,y,z,t)(x,y,z,t) v

O O

Invirtiendo las ecs. x = Ax + Bt, t = Cx + Dt se tiene:

x =Dx + vAt

AD BC t =At Cx AD BC . (2)

Repitiendo el argumento anterior, pero tomando el punto O que semueve con velocidad v respecto del sistema R , obtenemos:

A = D.






Sustituyendo esto en las transformaciones anteriores, y usando lanotacion convencional A = , C/A = K , queda:

x =x + vt

(1 + vK ), t =

t Kx (1 + vK )

; x = (x vt), t = (t + Kx),

donde y K no dependen de x , t, pero = (|v |), K = K (v).Si R se mueve con velocidad v respecto de R, entonces R se muevecon velocidad v respecto de R . Luego:

x = (x + vt ), t = (t + K x ) donde K = K (v).

Comparando estas ecuaciones con las anteriores para x , t:

2 =1

1 + vK, K = K






De la segunda de estas dos ecuaciones se tiene

K = v/V 2,

donde V 2 depende de |v |.En consecuencia

=1

1 (v/V )2 .

Las leyes de transformacion quedan entonces:

x =x vt

1 (v/V )2 t =

t (v/V 2)x1 (v/V )2 .






y y

x x

P

(x,y,z,t)

(x,y,z,t)v

y

x

(x,y,z,t)

v

Para determinar la dependencia de V en v , supongamos otro sistemaR que se mueve con velocidad relativa v respecto de R . Entonces:

x =x vt

1 (v/V )2t =

t (v/V 2)x 1 (v/V )2

.

La transformacion entre R y R debe tener la misma forma que lacomposicion de las transformaciones entre R y R , y R y R .






Luego V 2 = V2

es una constante universal independiente de lavelocidad relativa de los sistemas de referencia.

En resumen, la transformacion queda:

x =x vt

1 (v/V )2 , t =

t (v/V 2)x1 (v/V )2 con V cte.

Esencialmente existen dos posibilidades: V = o V





O = O

P P

O O

Supongamos que en el instante t = t = 0 un flash de luz es emitidodesde el origen O.

El flash de luz es descrito desde ambos sistemas R, R como unaesfera centrada en O, O cuyo radio se incrementa a velocidad c .Supongamos que en el sistema R, la esfera de luz pasa por un puntoP de coordenadas espaciales (x , y , z) en el instante t. Entonces:

x2 + y2 + z2 c2t2 = 0.Ciclo Conferencias: Una introduccion a la Relatividad... RELATIVIDAD ESPECIAL





Este suceso tendra coordenadas (x , y , z , t ) en el sistema R , quedeberan satisfacer:

x 2 + y 2 + z 2 c2t 2 = 0.

Sustituyendo en esta ultima expresion las expresiones para x , y , z , t

dadas por las transformaciones obtenidas anteriormente obtenemos:

(1 (cv/V 2)2)x2 + (1 (v/V )2)y2 + (1 (v/V )2)z2(1 (v/c)2)(ct)2 2v(1 (c/V )2)xt = 0

A partir de aqu, calculos elementales permiten concluir:

V = c , y, por tanto, = (1 (v/c)2)1/2.






TRANSFORMACIONES DE LORENTZ:

y y

x x

P

(x,y,z,t)

(x,y,z,t)v

O O

x = (x vt)y = yz = zt = (t (v/c)2x)con = (1 (v/c)2)1/2

Observaciones:

Obtenidas en primer lugar por Lorentz.

Einstein las doto de contenido fsico.

Minkowski las doto de contenido geometricoal interpretarlas como isometras de espacio4-dimensional con metrica no euncldea.





Espacios vectoriales con producto escalarEspacios vectoriales lorentzianosGrupo de LorentzModelo Matematico

3. MODELO MATEMATICO






ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO ESCALAR

Denotaremos por V = V (R) a un espacio vectorial real de dimension n.

Tipos de Formas Bilineales

Sea b : V V R una forma bilineal simetrica. Diremos que b es:definida positiva (resp. negativa) si b(v , v) > 0 (resp. b(v , v) < 0)v V \ {0}.semidefinida positiva (resp. semidefinida negativa) si b(v , v) 0(resp. b(v , v) 0) v V .indefinida si no es semidefinida positiva ni semidefinida negativa.

no degenerada si el radical N = {v V : b(v ,w) = 0 w V } soloesta formado por el vector 0 (en caso contrario, se dice degenerada).






Teorema de Sylvester

Dada una forma bilineal simetrica b en V existe una base B = {ei}ni=1 talque la matriz (b(ei , ej))i ,j de b en dicha base es:

MB(b) =

0 IIn(+)

(nulidad) y (ndice)son independientes de B

Observaciones

El subespacio generado por {ei}i=1 coincide con el radical de b.Dados (V , b), (V , b), existe un isomorfismo f : V V quepreserva b y b si y solo si n = n, = , = .






Demostracion (Teorema de Sylvester).

Para la existencia de bases ortonormales:

Considerese la matriz (simetrica) de b en una base B1 arbitraria.

Diagonalizando por congruencia, considerese B2 nueva base conmatriz asociada MB2(b) diagonal.

Dividiendo cada v B2 por|b(v , v)| (si 6= 0) se obtiene la base B

requerida.

Para la unicidad del ndice y la nulidad:

La nulidad se corresponde con la dimension del radical de b, luegoes independiente de B.

El ndice tambien es independiente de B, puesto que en casocontrario existira u V con b(u, u) mayor y menor que 0.






Caracter Causal (de un vector)

Dada una forma bilineal simetrica b en V , sea qb(v) = b(v , v) su formacuadratica asociada. Diremos que v V es:

temporal si qb(v) < 0.

luminoso si qb(v) = 0 y v 6= 0.espacial si qb(v) > 0 o v = 0.

causal si v es temporal o lumin.

Producto Escalar

Un producto escalar g sobre V es una forma bilineal simetrica nodegerada. Diremos que g es:

eucldeo si = 0.

lorentziano si = 1 y n 2.






Ortogonalidad

Sea (V , g) un espacio vectorial con un producto escalar g .

Sean v ,w V , se dice que v es ortogonal a w , y se denota v w , sig(v ,w) = 0.

Sean A,B V , se dice que A ortogonal a B, y se denota A B, siv w v A, w B.

Subespacio Ortogonal

Sea W un subespacio vectorial de (V , g). Se define el ortogonal de Wcomo:

W = {v V : g(v ,w) = 0 w W }.Diremos que W es no degenerado si W W = {0} ( g |W no degen.).






ESPACIOS VECTORIALES LORENTZIANOS

Espacio Vectorial Lorentziano

Llamamos espacio vectorial lorentziano a un espacio vectorial V dedimension n 2 dotado de un producto escalar lorentziano g .

Conos y Orientacion Temporal

El conjunto de los vectores temporales (causales, luminosos si n > 2)tiene dos partes conexas.

Cada una de estas partes se llama cono temporal (causal, luminoso).

Una orientacion temporal de un espacio vectorial lorentziano es unaeleccion de uno de los conos temporales ( causales o luminosos).Al cono elegido le llamaremos cono futuro, y al otro pasado.






Proposicion

Dos vectores temporales v y w caenen el mismo cono temporal siig(v ,w) < 0.

Proposicion

Cada cono temporal es convexo (elsegmento que une cada dos de suspuntos tambien esta incluido en el).

vw

Cono Pasado

Cono Futuro






Desigualdad Cauchy-Schwarz Invertida

Si v ,w son temporales entonces:

(1) |g(v ,w)| |v ||w |, ademas la igualdad se da sii v ,w son colineales.(2) Si v ,w estan en el mismo cono, entonces existe unico 0 tal que:

g(v ,w) = |v ||w | cosh().Demostracion.

(1) Tenemos w = av + w , w v g(w ,w) = a2g(v , v) + g(w ,w) g(v ,w)2 = g(v , v)(g(w ,w)g(w ,w)) g(v , v)g(w ,w) = |v |2|w |2.

(2) Si v ,w se encuentran en el mismo cono entonces

g(v ,w)/|v ||w | 1 ! : cosh() = g(v ,w)/|v ||w |. Ciclo Conferencias: Una introduccion a la Relatividad... RELATIVIDAD ESPECIAL





Desigualdad Triangular Invertida

Si v ,w son temporales que estan en el mismo cono entonces:

|v |+ |w | |v + w |,

y la igualdad se da sii v ,w son colineales.

Demostracion.Como v ,w pertenecen al mismo cono, v + w temporal y g(v ,w) < 0:

|v + w |2 = g(v + w , v + w) = |v |2 + |w |2 + 2|g(v ,w)| |v |2 + |w |2 + 2|v ||w | = (|v |+ |w |)2.

La igualdad se da sii |g(v ,w)| = |v ||w |, es decir, sii v , w colineales.






Caracter Causal (de un subespacio)

Un subespaco W de (V , g) es:

espacial si g |W es eucldeatemporal si g |W es no degenerada con = 1 (Lorentz si dimW 2)luminoso si g |W es degenerada (W W 6= ).






GRUPO DE LORENTZ

Consideramos ahora un espacio vectorial lorentziano muy particular:

Espaciotiempo Lorentz-Minkowski

Es el espacio vectorial lorentziano Ln = (Rn, , 1), donde

(a1, . . . , an), (b1, . . . , bn)1 = a1b1 +n

i=2

aibi .

Sea B0 = (e1, . . . , en) es la base usual de Rn. Denotamos

= MB0(, 1) =( 1 0

0 In1

)Orientacion temporal cono causal futuro aquel al que pertenece e1.






Grupo de Lorentz

Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como

Iso(Ln) = {f : Ln Ln : f es una isometra vectorial}

Por otra parte, se define el grupo de Lorentz como

O1(n) = {A Mn(R) : AtA = } (det(A) = 1).

Observacion

Fijada la base usual B0 se tiene el siguiente isomorfismo de grupos:

: Iso(Ln) O1(n), (f ) = Af = M(f ,B0)1(A) = fA






Transformaciones Propias/Impropias

Una transformacion de Lorentz A es propia (resp. impropia) si det A = +1(resp. det A = 1).

O+1 = {A O1(n) : detA = +1} (puras o boosts)O1 = {A O1(n) : detA = 1}

Transformaciones Ortocronas/No Ortocronas

Una transformacion de Lorentz A es ortocrona (resp. no ortocrona) sifA(C

) = C (resp. fA(C ) = C ).

O1 = {A O1(n) : fA(C ) = C } = {A O1(n) : a11 1}.O1 = {A O1(n) : fA(C ) = C } = {A O1(n) : a11 1}.






El grupo de Lorentz en dim= 2

Isometras con determinante 1:

O+1 (2) ={(

cosh sinh sinh cosh

): R

}O+1 (2) = {A : A O+1 (2)}

Isometras con determinante 1:

O1 (2) ={(

cosh sinh sinh cosh

): R

}O1 (2) = {A : A O1 (2)}.






El grupo de Lorentz en dim> 2

Af O1(n) admite un vector propio temporal:

M(fA,B) {1} O(n 1) para cierta B base ortn.

(A O+1 rotacion espacial pura en hiperpl. ortg. al v. propio.)Af O1(n) admite un vector propio luminoso con autovalor 6= 1:

M(fA,B) O1(2) O(n 2) para cierta B base ortn.

(Transformacion Lorentz bidimensional en un plano temporal picompuesto con una isometra eucldea en pi.)Af O1(n) admite un unico vector propio luminoso independiente deautovalores +1 o 1.






Peculiaridad en dim= 4

Toda transformacion de Lorentz puede escribirse como composicionde una isometra para un plano temporal pi1 y una isometra en unplano espacial pi2, no necesariamente ortogonal a pi1.

En Relatividad, este resultado se suele enunciar as:

Las transformaciones de Lorentz (propias, ortocronas) soncomposiciones de boosts y rotaciones.






MODELO MATEMATICO

El siguiente modelo matematico recoge todas las implicaciones derivadasde los postulados de Einstein:

Espaciotiempo en Relatividad Especial

Un espaciotiempo en Relatividad Especial es un espacio afn lorentziano(A,V , g) de dimension 4 orientado temporalmente, donde

A es el conjunto de puntos o sucesos,

V es el espacio vectorial director,

g es la metrica de Lorentz con una orientacion temporal prefijada.

Observacion:Es posible mostrar la unicidad del modelo, y llegar a el de modo deductivo.






Observador Instantaneo

Un observador instantaneo es un par (P, e0) con P A y e0 Vvector temporal unitario futuro.

Llamamos trayectoria de un observador no acelerado a una recta afn{P + se0 : s R} generada por un observador instantaneo (P, e0).

Sistema Referencia Inercial

Un sistema de referencia inercial R es un par formado por unobservador instantaneo (P, e0) y una base ortn. {e1, e2, e3} de e0 .Llamamos espacio en reposo del sistema de referencial inercial R en elinstante t0 al hiperplano afn de A de ecuacion t t0 en lascoordenadas introducidas por R (como referencia ortonormal afn).






Trayectoria de R medida por R

La trayectoria que mide R del observador R es la curva en e0 < V :

t 7 t(

X1T

e1 +X2T

e2 +X3T

e3

)donde e 0 = Te0 + X1e1 + X2e2 + X3e3.

Tri-velocidad

La tri-velocidad que mide R de R es la derivada:

~v =X1T

e1 +X2T

e2 +X3T

e3 (e0 temporal |~v | < 1).






TRANSFORMACIONES DE LORENTZ CLASICAS:

R, R sistemas referencia inerciales a velocidad no nula generan elplano temporal e0, e 0R.Supongamos que e1, e

1 se hallan en este plano, y e2 = e

2, e3 = e

3.

Veamos la relacion entre las coordenadas de R y R , suponiendo quelas bases inducidas por B y B tienen la misma orientacion:

R B = (e0, e1), R B = (e 0, e 1)

Puesto que M(Id ,B B ) O+1 (2), existe R tal que:

M(Id ,B B ) =(

cosh() sinh()sinh() cosh()

)con v = tanh() (1, 1).






Luego

M(Id ,B B ) = 11 v2

(1 vv 1

)Si (t, x), (t , x ) son las coordenadas de R, R , resp.:

t = 11v2 (t

+ vx ) 11v2/c2 (t

+ vc2

x )

x = 11v2 (vt

+ x ) 11v2/c2 (vt

+ x )

Estas son precisamente las transformaciones de Lorentz que habamosdeducido previamente.





Dilatacion del tiempoContraccion de la longitudParadoja de los gemelosLey de adicion de las velocidades

3. CINEMATICA RELATIVISTA






DILATACION DEL TIEMPO






R

R

P

L

S

R, R sistemas de referencia inerciales, bajo los convenios anteriores,con velocidad relativa v .

S recta descrita por el observador asociado a R .P suceso a lo largo de la recta S .

Observemos que P = (T , L) en R y P = (T , 0) en R .






De las transformaciones de Lorentz se tiene(TL

)=

11 v2

(1 vv 1

)(T

0

)y, por tanto, se deducen las relaciones

T =1

1 v2T, L =

11 v2 vT

La primera igualdad es la dilatacion del tiempo anunciada:

El sistema de referencia R, que mide una coordenada temporal T ,aprecia una dilatacion del tiempo respecto a la coordenada temporalT medida por R






CONTRACCION DE LA LONGITUD






R

RP

L

R, R sistemas de referencia inerciales con velocidad relativa v .Para R hay una varilla rgida en reposo de longitud L, cuyos extremostienen asignadas coordenadas (t, 0), (t, L) para cada instante t.

Para R la varilla se mueve a velocidad v , y sus extremos tienencoordenadas (0, 0), P = (0, L) en el instante t = 0.






Si P = (T , L) para R, entonces de las transformaciones de Lorentz:(TL

)=

11 v2

(1 vv 1

)(0L

)y, por tanto, se deducen las relaciones

T =1

1 v2 vL, L =

11 v2L

La segunda igualdad es la contraccion de la longitud anunciada:

El sistema R observara una contraccion de la longitud en la direcciondel movimiento respecto a la longitud en reposo medida por R






PARADOJA DE LOS GEMELOS






P

Q

S

e0e0

e0Primer Gemelo

Segundo Gemelo

R,R ,R sistemas de referencia inerciales con vectores temporalesfuturos e0, e

0, e0 no colineales.

P,Q,S puntos de corte de las rectas afines correspondientes.

La desigualdad triangular invertida implica:

|PS | > |PQ|+ |QS |Ciclo Conferencias: Una introduccion a la Relatividad... RELATIVIDAD ESPECIAL





El primer gemelo, que permanece en reposo en R, mide un intervalode tiempo |PS | mayor que la suma de los tiempos |PQ|+ |QS |medido por el segundo gemelo.

Sin embargo, el segundo gemelo puede argumentar que en otrosistema de referencia es su hermano quien se va y vuelve, mientrasque el permanece en reposo, por lo que el tiempo transcurrido debieraser superior para el.

Cual de los dos gemelos tienes razon?

El primero, ya que el sistema de referencia alternativo propuesto por elsegundo gemelo no es inercial.






LEY DE ADICION DE VELOCIDADES:






v12 v23

R1 R2 R3

B1 B2 B3v13

R1,R2,R3 sistemas referencia inerciales con velocidades relativas vij .

De las transformaciones de Lorentz sabemos que:

M(Id ,Bi Bj) =(

cosh(ij) sinh(ij)sinh(ij) cosh(ij)

)donde tanh(ij) = vij .

Ademas: M(Id ,B1 B3) = M(Id ,B1 B2) M(Id ,B2 B3).






Sustituyendo las expresiones de las matrices se obtiene:(cosh(13) sinh(13)sinh(13) cosh(13)

)=

(cosh(12 + 23) sinh(12 + 23)sinh(12 + 23) cosh(12 + 23)

).

Luego, 13 = 12 + 23, y, por tanto,

v13 = tanh(13) = tanh(12 + 23)

= tanh(12)+tanh(23)1+tanh(12)tanh(23) =v12+v231+v12v23

En conclusion:

Ley Adicion Velocidades: v13 =v12+v231+v12v23 .





Momento relativistaOtras magnitudes relativistasEnerga relativista totalEquivalencia entre masa y energa

3. DINAMICA RELATIVISTA






CONSIDERACIONES PREVIAS:

Por que reformular la dinamica? Las transformaciones de Lorentzson incompatibles con las siguientes propiedades clasicas:

- la posibilidad de acelerar los cuerpos mas alla de c .- la conservacion del momento en todos los sistemas de referencia.

Como puede reformularse? Generalizando el concepto newtonianode momento de manera que:

- Se preserve en todos los sistemas de referencia.- Se asemeje al momento newtoniano a velocidades bajas.

Observacion importante: el caracter intrnseco que exigimos almomento relativista sugiere que este debera estar relacionado con unobjeto de cuatro dimensiones.






Consideremos dos sistemas de referencia inerciales R, R concoordenadas de e 0 para R:(

11 v2 ,

vx1 v2 ,

vy1 v2 ,

vz1 v2

).

Si interpretamos R como una partcula de masa m, las tres ultimascomponentes de me 0 deben estar relacionadas con el momento linealclasico respecto a R.

Por otra parte, el desarrollo de Taylor de la primera componente es

11 v2m = (1 +

1

2v2 + )m

( mc2 + 1

2mv2 +

),

lo que sugiere su relacion con la energa cinetica clasica respecto a R.






Postulados

1. A toda partcula fsica se le asigna una masa en reposo m 0.2. La partcula fsica es material si m > 0. En ausencia fuerzas su

trayectoria se identifica a la de un observador no acelerado

{p + se 0 : s R}

y se define su energa-momento como el vector temporal futuro

p = me 0.

3. La partcula fsica es luminosa si m = 0. Su trayectoria se identificacon una recta afn del tipo

{P + su : s R}, con u luminoso, futuro.Ciclo Conferencias: Una introduccion a la Relatividad... RELATIVIDAD ESPECIAL





Partcula masiva

Una partcula de masa m > 0 es una curva temporal : I R Acon la normalizacion g(, ) = m2( mc2).Llamamos energa-momento de la partcula en el instante s I a lavelocidad (s).Si la trayectoria de la partcula es una recta afn se dira que esta noacelerada, y su energa-momento se considerara un vector constantede V .

Rayo de luz

Un rayo de luz es cualquier recta afnmente parametrizada : I R Acuya energa-momento es luminosa y futura.






Descomposicion de V inducida por un sistema de referencia inercial:

V = e0R e0 .

La energa-momento en s0 I de una partcula se escribe:

(s0) = Ee0 + ~P donde E = g(e0, (s0)) > 0, ~P e0 .

Energa, momento, tri-momento

Si se tiene una partcula y un sistema de referencia inercial R, llamamos:

Energa de medida por R a E .

Momento de medido por R a ~P.

Tri-momento de medido por R a ~p = m~P/E e0 .






Si ~v es la tri-velocidad que mide R se tiene:

E =m

1 v2c2

( mc2

1 v2c2

), ~P = E~v , ~p = m~v .

Esto indica que incluso una partcula material en reposo v = 0 debetener un mnimo de energa

E = mc2






MUCHAS GRACIAS!






Momento Lineal Relativista

El momento lineal relativista de a una partcula de masa en reposo m0 quese mueve a velocidad ~u respecto de un sistema de referencia S es:

~p =m0~u

1 u2/c2 = m~u,

donde m := m01u2/c2 es la masa inercial de la partcula.

Observaciones:

As definido ~p se preserva en todos los sistemas de referencia.

La expresion de ~p se aproxima a la newtoniana a velocidades bajas:

~p m0~u para u c .






Fuerza, Trabajo, Energa Cinetica

La fuerza, el trabajo y la energa cinetica se definen qa partir del momentode manera analoga al caso clasico:

~F =d~p

dt, dW = ~F d~r , dT

dt= ~F ~u.

Integrando la expresion del trabajo se obtiene:

T =m0c

21 u2/c2 m0c

2.

Si suponemos u c, entonces:

T m0c2(1 + u2/c2)m0c2 12

m0c2.






ENERGIA RELATIVISTA TOTAL:

Se define la energa relativista total de una partcula de masa m0como:

E = T + m0c2 =

m0c2

1 u2/c2De la conservacion del momento se deduce:

La energa relativista total de un sistema de partculas siempre seconserva en cualquier sistema de referencia, independientemente deque el numero de partculas del sistema permanezca invariante.

El momento lineal y la energa total relativista se relacionan mediantela expresion:

E 2 = p2c2 + m20c4.






EQUIVALENCIA ENTRE MASA Y ENERGIA:

Consideremos un cuerpo en reposo de masa m0 que se fractura en dospiezas de masas m01, m02 y velocidades u1, u2, resp.

Aplicando la conservacion de energa se deduce que la suma de lasmasas de los trozos resultantes es menor que la masa del cuerpooriginal, siendo:

m =T1 + T2

c2.

Se deduce, por tanto, que parte de la masa del cuerpo original se hatransformado en energa cinetica de los fragmentos resultantes.






MUCHAS GRACIAS!


jl flores

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