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J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 1
TEMA4: Implementación de Filtros Discretos
Contenidos del tema:
q El muestreo y sus consecuencias
q Relaciones entre señales y sus transformadas:
q Especificaciones de filtros continuos y discretoswAproximaciones usualeswEjemplos
q Técnicas de implementación de filtros IIR:wRespuesta impulsiva invariantewTransformación bilineal
q Implementación de filtros FIR
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Tr. 2
q La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la información disponible y la “convertibili-dad” entre el dominio continuo y el discreto.
q La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la forma del espectro discreto.
q La precisión de la transformación discreta-continua depende de la cali-dad del algoritmo de interpolación y de la frecuencia de muestreo.
Algunas Consideraciones al Procesado Discreto
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Tr. 3
q La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuen-cia de la señal de entrada) condiciona la forma del espectro discreto.
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Tr. 4
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Tr. 5
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Tr. 6
q Interesa limitar la banda de la señal de entrada usando un filtro de paso de baja
q Teorema de Nyquist:Para poder recuperar una señal muestrada debemos usar una frecuencia de muestreo por lo menos doble que la frecuencia significativa más alta de la señal de entrada.
Sea la banda de interés de la señal de entrada: ω < ωmaxSea la frecuencia de muestreo: ωs
Teorema de Nyquist:ωs > 2ωmax
q Es imprescindible colocar un filtro de paso de baja al reconvertir la información como señal continua
q Ambos filtros son CONTINUOS!
Restricciones al Procesado Discreto
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Tr. 7
Objetivo: Poder hacer un procesado “Similar” en todos los casos
FiltroContinuo
FiltroContinuo
FiltroContinuo
FiltroContinuo
FiltroSC
A/D D/AFiltroDigital
Entrada Continua Salida Continua
Maneras de Filtrar
Ck Ck
Ck
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Tr. 8
Tareasq Encontrar funciones en z que sean “equivalentes” a filtros continuosq Determinar procedimientos para construir esas funciones en zq Elegir una estructura de sistema y determinar sus coeficientesq Seleccionar las características necesarias para “soportar” la información (nº
de bits, frecuencia de muestreo, código binario, tipo de representación, grado de paralelismo...)
q Escoger los componentes y diseñarlosq Verificar los resultados
Necesidadesq Criterios para comparar entre opcionesq Estimación de la “calidad” de una solución
Síntesis de Filtros Discretos
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Tr. 9
DiseñarFiltro Analógico
Aplicar
de FrecuenciaTransformación
s ---> s s ---> s s ---> z
Aplicar Transformación
de Variable
DiseñarFiltro Analógico
Aplicar
de FrecuenciaTransformación
Aplicar Transformación
de Variable
s ---> s s ---> z z ---> z
Filtro IIR
Filtro IIR
Síntesis de Filtros Discretos
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Tr. 10
Relaciones entre Señales y sus Transformadas
X*
jω( ) XD ejω
1
Ts----- X j ω
Ts----- jn2π
Ts------+
n ∞–=
∞∑= =
Expresión Alternativa:
ΩΩ0−Ω0
ωπ−π−2π 2π0
ω0−ω0
ΑXc(jΩ)
Α/Ts
X(ejω)ESCALADO DIGITAL
ω0 = Ω0Ts
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Tr. 11
Relaciones entre Señales y sus Transformadas
ω−Ωs Ωs0
Ω0−Ω0Α/Ts
X(ejω)ESCALADO DIGITAL
ω0 = Ω0Ts
ω−Ωs Ωs0
Ω0−Ω0Ts = 2 µs
Ts = 3 µsTs = 3 µs
q Importa NO el valor absoluto de Ω0 sino su valor relativo respecto a Ts (o a Ωs)
q Es necesario hacer una normalización, por ejemplo: ωs = ΩsTs = 2π
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Tr. 12
Relaciones entre Señales y sus Transformadas
ω−Ωs Ωs0
Ω0−Ω0Α/Ts
X(ejω)ESCALADO DIGITAL
ω0 = Ω0Ts
ω−Ωs Ωs0
Ω0−Ω0Ts = 2 µs
Ts = 3 µsTs = 3 µs
q Importa NO el valor absoluto de Ω0 sino su valor relativo respecto a Ts (o a Ωs)
q Es necesario hacer una normalización, por ejemplo: ωs = ΩsTs = 2π
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Tr. 13
Relaciones entre Señales y sus Transformadas
ΩΩ0−Ω0
ωπ−π−2π 2π0
ω0−ω0
ΑXc(jΩ)
Α/Ts
X(ejω)ESCALADO DIGITAL
ω0 = Ω0Ts
ωπ−π−2π 2π0
ω0−ω0Ts = 2 µs
Ts = 3 µs
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Tr. 14
x*(t) = xs(t) = señal muestreada
xc(t) = señal continua
x(n) = xc(t)|t=nTs = secuencia numérica
Xc(jΩ)F (CTFT)
z X(z)
X(ejω) = X(z)|z=ejω
F (CTFT) Xs(jΩ)
DTFTω = ΩTs
Xs(jΩ) = X(ejΩΤs)
X(ejω) = Xs(jω/Ts)
Relaciones entre Señales y sus Transformadas
X ejω X* jω( ) XD ejω
1
Ts----- X j ω
Ts----- jn2π
Ts------+
n ∞–=
∞∑= = =
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Tr. 15
x*(t) = xs(t) = señal muestreada
xc(t) = señal continua
x(n) = xc(t)|t=nTs = secuencia numérica
Relaciones entre Señales y sus Transformadas
xc(nTs) = señal discretaxc(nTs) = xc(t)|t=nTs
x(n) = xc(nTs)
xs t( ) xc nTs( )δ t nTs–( )k ∞–=
∞∑ x n( )δ t nTs–( )
k ∞–=
∞∑= =
Secuencia Transformada Z DTFT X(z)|z=ejω
Señal Transf. Laplace CTFT X(s)|s=jΩω -----> “frecuencia” digitalΩ -----> “frecuencia” analógica
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Tr. 16
XS jΩ( ) XS t( )e jΩt– td∞–
∞∫ X n( )e
jΩnTs
n ∞–=
∞∑= =
CTFT: Continuous-time Fourier Transform
DTFT: Discrete-time Fourier Transform
X ejω
XD e
jω X z( )
z ejω
=x n( )e
jωn–
n ∞–=
∞∑= = =
sii --------------> ω = Ω TsXS jΩ( ) X e
jΩTs
=
X ejω
XS j
ωTs--------
=
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Tr. 17
Espectro original:xc(t) Xc(jΩ)
Ωs2πTs------=
X ejω
1
Ts------ Xc j
ω 2πn–Ts
--------------------
n ∞–=
∞∑=
X ejΩTs
1
Ts------ Xc j Ω nΩs–( )[ ]
n ∞–=
∞∑=
XS jΩ( )1
2π------ Xc jΩ( ) P jΩ( )⊕[ ]
1Ts------ Xc j Ω nΩs–( )[ ]
n ∞–=
∞∑= =
CTFT: xs(t) (otra visión):
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Tr. 18
ω
ω
jω
jω
1+δ1
1- δ1
1
δ2
Rp
As
Especificaciones de Filtros Discretos
ωp ωs π
Rizado en la BSBanda deTransición
Rizado en la BP
Rizado en la BP (dB)Atenuación en la BS
Rp 201 δ1–
1 δ1+---------------log–=
As 20δ2
1 δ1+---------------log–=
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Tr. 19
Filtros de Paso de Baja Discretos
Definición del Problema:Obtener una función de sistema, H(z), (o su expresión en
diferencias finitas) que tenga una banda pasante [0, ωp] con una tolerancia δ1 (ó Rp en dB), y una banda de rechazo [ωs, π] con tolerancia δ2 (ó As en dB)
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Tr. 20
Especificación de Filtros Continuos
Escala Lineal Relativa:
1
1 ε2
+--------------- Ha jΩ( )
21 Ω Ωp≤( ),≤ ≤
0 Ha jΩ( ) 2 1
A2
------- Ωs Ω≤( ),≤ ≤
Ha jΩ( )2
1
1 ε2
+---------------
1
A2
-------
1
Ωp Ωs Ω
Ω = frecuencia “analógica”
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Tr. 21
Filtros de Butterworth: Prototipo P. Baja
Módulo al cuadrado:
Ha jΩ( )2 1
1 ΩΩc-------
2N+
------------------------------=
N es el orden del Filtro
N=1
N=4N=100
Función de transferencia:
Ha s( ) Ha s–( )( ) Ha jΩ( )2
Ω s j⁄=
jΩ( )2N
s2N
jΩc( )2N
+--------------------------------------= =
pk= Ωcejπ(2k+N+1)/2N
Ha s( )Ωc( )
N
s pk–( )LHP∏
-------------------------------=
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Tr. 22
Filtros de Butterworth: Prototipo P. Baja
Módulo al cuadrado:
Ha jω( )2 1
1 ωωc-------
2N+
------------------------------=
N es el orden del Filtro
N=1
N=4N=100
Función de transferencia:
Ha s( ) Ha s–( )( ) Ha jω( )2
ω s j⁄=
jω( )2N
s2N
jωc( )2N
+--------------------------------------= =
Ha s( )ωc( )
N
s pk–( )LHP∏
-------------------------------=
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Tr. 23
Filtros de Butterworth: Ecuaciones de Diseño
Problema: w Dados Ωp, Rp, Ωs y Asw Obtener N y Ωc
En Ω = Ωp: -10log|Ha(jΩ)|2 = Rp
-10log[1 + (Ωp/Ωc)2Ν]-1 = Rp
En Ω = Ωs: -10log|Ha(jΩ)|2 = As
-10log[1 + (Ωs/Ωc)2Ν]-1 = As
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Tr. 24
Filtros de Butterworth: Ecuaciones de Diseño
N10
Rp 10⁄1–
10As 10⁄
1–
⁄log
2 Ωp Ωs⁄( )log---------------------------------------------------------------------------------------------=
Ωc
Ωp
10Rp 10⁄
1– 2N–-----------------------------------------------= Ωc
Ωs
10As 10⁄
1– 2N–-----------------------------------------------=
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Tr. 25
Filtros de Butterworth: Ejemplo
w Dados Ωp = 0.2π, Rp = 7 dB, Ωs = 0.3π , As = 16 dB
N10
0,71–
101,6
1– ⁄log
2 0,2π( ) 0,3π( )⁄( )log-------------------------------------------------------------------------- 2,79 3= = =
Ωc0,2π
100,7
1–
6–---------------------------------- 0,4985= = Ωc
0,3π
101,6
1–
6–---------------------------------- 0,5122= =
Ωc = 0.5
Ha s( )0,125
s 0,5+( ) s2
0,5s 0,25+ +
------------------------------------------------------------------=
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Tr. 26
A =
1.0000 0.5000 0.2500 0 1.0000 0.5000
A =
1.0000 0.4985 0.2485 0 1.0000 0.4985
B= 0 0 0.1238
Filtros de Butterworth: Ejemplo
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Tr. 27
A =
1.0000 0.4233 0.1103 1.0000 0.1753 0.3895
B = 0 0 0.0383
Filtros de Chebyshev-I: Ejemplo
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Tr. 28
Filtros de Chebyshev-II: Ejemplo
A =
1.0000 1.9521 1.4747 1.0000 0.3719 0.6784
B = 0 0 0.15851.0000 0 6.06541.0000 0 1.0407
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Tr. 29
Filtros Elípticos: Ejemplo
A =
1.0000 0.1696 0.4102 0 1.0000 0.4435
B = 0 0 0.2741.0000 0.1696 0.41020 1.0000 0.4435
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Tr. 30
Técnicas de Aproximación para Filtros Discretos
Filtros IIR ó Recursivosq Método de la respuesta impulsiva invarianteq Modificación del método de la respuesta impulsiva invarianteq Transformación z apareadaq Transformación bilineal
Filtros FIR ó No-recursivosq Series de Fourierq Fórmulas de análisis numérico
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Tr. 31
Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante
FiltroContinuo
Ck
FiltroContinuo
Idea: Imitar HA(s) a través de la función continua del bloque filtro + muestreador
HA(s) H*A(jω)
T, ωs
HA*
jω( ) HD ejωT
hA 0+( )
2------------------ 1
T--- HA jω jnωs+( )
n ∞–=
∞∑+= =
Procedimiento:1.- Seleccionar un filtro analógico, HA(s)2.- Determinar hA(t)3.- Discretizar la función temporal, hA(nT)
4.- Calcular la transformada z, Z[hA(nT)]
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Tr. 32
Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante
Aplicación del Procedimiento (suposiciones):
q Para señales limitadas en banda, HA(jω) ≈ 0, para |ω| ≥ ωs/2
Se cumplirá: ∑ HA(jω + jkωs) ≈ 0, para |ω| ≤ ωs/2
q Si además hA(0+) = 0
Se cumplirá: ; para |ω| ≤ ωs/2HA*
jω( ) HD ejωT
1
T--- HA jω( )≈=
Si grado [N(s)] < grado [D(s)] - 1----------> Se cumplen las hipótesis
Para polos simples:
Para polos simples:
HA s( )Ai
s pi–-------------
i 1=
N
∑= hA t( ) Aiepi t
i 1=
N
∑= hA nT( ) AiepinT
i 1=
N
∑=
HD z( )Aiz
z epiT–
-------------------i 1=
N
∑=
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Tr. 33
Utilidad para funciones “sólo-polos”Si el filtro analógico es estable, lo es el digital
Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante
Ejemplo:
Descomposición:
Filtro Digital
HA s( )1
s2
5s 4+ +---------------------------= HA s( ) 1
3--- 1
s 1+----------- 1
3--- 1
s 4+-----------–=
hA t( ) 13---e
t– 13---e
4t––= hA nT( ) 1
3--- e
nT– 13---e
4nT––=
HD z( )
13---z
z eT–
–-----------------
13--- z
z e4T–
–---------------------– e
T–e
4T––3
---------------------------- z
z eT–
– z e
4T––
--------------------------------------------------= =
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Tr. 34
Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante
HA s( )s 1+
s2
5s 6+ +--------------------------- 2
s 3+----------- 1
s 2+-----------–= =
HD z( )2
1 e3T–
z1–
–------------------------------ 1
z e2T–
z1–
–------------------------------–=
HD z( )1 0,8966z
1––
1 1,5595z1–
– 0,6065z2–
+------------------------------------------------------------------=
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Tr. 35
Ejemplo:
HA s( )1
s2
5s 4+ +---------------------------= HD z( )
13---z
z eT–
–-----------------
13--- z
z e4T–
–---------------------– e
T–e
4T––3
---------------------------- z
z eT–
– z e
4T––
--------------------------------------------------= =
HD z( ) K zz p1–( ) z p2–( )
---------------------------------------=
HD z( )Kz
1–
1 p1 p+2
( )z1–
– p1p2z2–
+----------------------------------------------------------------------=
y(n)
z-1
-p1p2
x(n)
z-1
p1+ p2 K
Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante
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Tr. 36
Especificaciones del filtro digital: ωp, Rp, ωs y As
Procedimiento (Filtro): 1.- Elegir T y determinar las frecuencias analógicas de interés:Ωp = ωp/T, Ωs= ωs/T2.- Diseñar un filtro analógico, Ha(s), usando 1.-3.- Desarrollar Ha(s) en fracciones simples
4.- Transformar los polos analógicos, pk, en digitales, epk
T
Filtros IIR: Diseño
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Tr. 37
A =
1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949
B =
1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466
Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo
ωp = 0.2π, ωs= 0.3πRp= 1dB, As= 15dB
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Tr. 38
z-1
z-1
z-1
z-1
-α11
γ01
γ0
-α21
-α1L
-α2L
γ11
γ0L
γ1L
x(n)
y(n)
Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo
A =
1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949
B =
1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466
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Tr. 39
Filtros IIR: Transformación bilineal
Técnicas anteriores: Emular la respuesta al impulso del filtro analógico
Transformación bilineal: Emular la respuesta temporal del filtro analógico para cualquier excitación
Alternativa:
Sea: ;
q Respuesta a una señal arbitraria:
q Para 0+ < t1 < t2
Aproximando cuando t1 -> t2
HI s( )1s---= hI t( ) 1 t 0+≥,
0 t 0-≤,=
y t( ) x τ( )hI t τ–( ) τd0t
∫=
y t2( ) y t1( )– x τ( )hI t τ–( ) τdt1
t2∫ x τ( )hI t2 τ–( ) τd
0
t2∫ x τ( )hI t1 τ–( ) τd
0
t1∫– x τ( ) τd
t1
t2∫= = =
y t2( ) y t1( )t2 t1–
2--------------- x t1( ) x t2( )+[ ]≈–
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Tr. 40
Filtros IIR: Transformación bilineal
Si t1 = nT - T, t2 = nT:
La Función de Transferencia del integrador digital será:
Esto equivale a sustituir s por:
y t2( ) y t1( )t2 t1–
2--------------- x t1( ) x t2( )+[ ]≈– y nT( ) y nT T–( ) T
2--- x nT T–( ) x nT( )+[ ]≈–
Y z( ) z1–
Y z( )– T2--- z
1–X z( ) X z( )+=
HI z( ) T2--- z 1+
z 1–-----------=
s 2T--- z 1–( )
z 1+----------------=
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Tr. 41
Filtros IIR: Transformación bilineal
Significado de la transformación en el dominio s:
La Función de Transferencia del integrador digital será:
Esto equivale a sustituir s por:
y t2( ) y t1( )t2 t1–
2--------------- x t1( ) x t2( )+[ ]≈– y nT( ) y nT T–( ) T
2--- x nT T–( ) x nT( )+[ ]≈–
Y z( ) z 1– Y z( )– T2--- z 1– X z( ) X z( )+=
HI z( ) T2--- z 1+
z 1–-----------=
s 2T--- z 1–( )
z 1+----------------=
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Tr. 42
jΩ
jΩ
σ
σ
Im(z)
Im(z)
Re(z)
Re(z)
π/Τ
−π/Τ
−3π/Τ
3π/Τ
esT = z
= z1+sT/21-sT/2
Comparando Transformaciones
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Tr. 43
jΩ
σ
Im(z)
Re(z)
π/Τ
−π/Τ
−3π/Τ
3π/Τ
esT = z
Comparando Transformaciones
Re(s) = σ < 0 -----------------> |z| < 1 [interior del círculo unidad]
Re(s) = σ = 0 -----------------> |z| = 1 [circunferencia unidad]
Re(s) = σ > 0 -----------------> |z| > 1 [exterior del círculo unidad]
Todas las “tiras” semi-infinitas de anchura 2π/T se transforman en el círculo unidad
Todo filtro analógico causal y estable se transforma en uno digital causal y estable
Si Ha(jΩ) = Ha(jω/T) = 0 para |Ω| > π/T -----------------> H(ejω) = (1/T)Ha(jω/T) para |ω|<π
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Tr. 44
Filtros IIR: Transformación bilineal
Procedimiento:1.- Seleccionar un filtro analógico, HA(s)
2.- Sustituir s en HA(s), según:
3.- La función resultante, HD(z), es el filtro digital buscado
En resumen: HD(z) = HA(s)| para
s 2T--- z 1–( )
z 1+----------------=
s 2T--- z 1–( )
z 1+----------------=
Ejemplo:
-----> ; HA s( )s
s2
5s 4+ +---------------------------= HD z( )
2T--- z 1–( )
z 1+----------------
4
T2
------ z 1–( )2
z 1+( )2
------------------- 10T------ z 1–( )
z 1+---------------- 4+ +
------------------------------------------------------------------=
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 45
Ejemplo:
-----> ; HA s( )s
s2
5s 4+ +---------------------------= HD z( )
2T--- z 1–( )
z 1+----------------
4
T2
------ z 1–( )2
z 1+( )2
------------------- 10T------ z 1–( )
z 1+---------------- 4+ +
------------------------------------------------------------------=
Ejemplo: Filtro Digital:
; ;
HD z( )α 1 z
2––
a1 a2z 1– a3z 2–+ +-------------------------------------------------=
α 4
T2
------ 10T------ 4+ +=
a1 α 4+( ) α 1+( )= a2 2 α–( ) 2 α+( )= a1 α 4–( ) α 1–( )=
y(n)
z-
-p1p2
x(n)z-
p1+ p2
-K
K
K
Filtros IIR: Transformación bilineal
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 46
Especificaciones del filtro digital: ωp, Rp, ωs y As
Procedimiento (Filtro): 1.- Elegir T y determinar las frecuencias analógicas de interés:Ωp = F1(ωp, 1/T), Ωs= F2(ωs, 1/T)2.- Diseñar un filtro analógico, Ha(s), usando 1.-3.- Sustituir s en Ha(s) usando la transformación bi-lineal
Filtros IIR: Diseño usando la trans. bilineal
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Tr. 47
B =
1.0000 2.0327 1.0331 1.0000 1.9996 1.0000 1.0000 1.9676 0.9680
A =
1.0000 -0.9459 0.2342 1.0000 -1.0541 0.3753 1.0000 -1.3143 0.7149
Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo
ωp = 0.2π, ωs= 0.3πRp= 1dB, As= 15dB
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 48
A =
1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949
B =
1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466
A =
1.0000 -0.9459 0.2342 1.0000 -1.0541 0.3753 1.0000 -1.3143 0.7149
B =
1.0000 2.0327 1.0331 1.0000 1.9996 1.0000 1.0000 1.9676 0.9680
Filtros IIR: Butterworth, Comparación
B =
1.0000 2.0183 1.0186 1.0000 1.9814 0.9817 1.0000 2.0004 1.0000
C =
5.7969e-004
B =
1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 49
Filtros IIR: Butterworth, Comparación
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 50
Filtros IIR: Transformación bilineal
Relaciones:
; s 2T--- z 1–( )
z 1+---------------- σ jω+= = z
2T--- s+
2T--- s–------------ r jω( )exp= =
r
2T--- σ+
2
ω2+
2T--- σ–
2
ω2+
----------------------------------------
1 2⁄
=
σ
s=0s= οο
s=−οο
jω
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 51
Filtros IIR: Transformación bilineal
WARPING:
HD(z) = HA(s)| para -----> HD(z) = HD(ejω) =HD(es´) s 2T--- z 1–( )
z 1+----------------=
s 2T--- e
s'1–
es'
1+--------------- 2
T--- e
s'2---
e
s'2---–
–
e
s'2---
e
s'2---
+
---------------------- 2T---
s'2---sinh
s'2---cosh
---------------= = =
Ω ω
σ σ
jπ
-jπ
s s´
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 52
Filtros IIR: Transformación bilineal
WARPING:2.- Sustituir s en HA(s), según:
HD(z) = HA(s)| para -----> HD(ejω) = HA(jΩ)
----------> Ω < 0.3/Τ −−−−>
Hay una evidente falta de linealidad!!!
s 2T--- z 1–( )
z 1+----------------=
Ω 2T--- e
jω1–
ejω
1+------------------ 2
T--- e
jω2------
ejω
2------–
–
ejω
2------
ejω
2------–
+
-------------------------- 2T---
ω2-----sin
ω2-----cos
-------------= = =
Ω 2T--- ω
2----tan= ω Ω≈
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 53
WARPING: No-linealidad:
---------> Ω < 0.3/Τ −−−−> Ω 2T--- ω
2----tan= ω Ω≈
Filtros IIR: Transformación bilineal
ω
Ω
π 2π 3π
π
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 54
Filtros IIR: Transformación bilineal
WARPING: No-linealidad:
----------> Ω < 0.3/Τ −−−−> Ω 2T--- ω
2----tan= ω Ω≈
ω
Ω
π 2π 3π
π
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 55
Filtros IIR: Transformación bilineal
WARPING: No-linealidad de Fase:
ω
Ω
π 2π 3π
π
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 56
Filtros IIR: Transformación bilineal
Pre-warping:Seleccionar las frecuencias de interés:ej. Paso-baja: límite de la banda pasante, (Ωp)
y límite de la de corte, (Ωc)
Transformar esas frecuencias de interés según:
ó Corregir la posición de los polos y ceros:
ωp 2ΩpT
2----------atan=
ωc 2ΩcT
2----------atan=
zm
2T--- σm+
2T--- σm–------------------= pk
2T--- sk+
2T--- sk–---------------=
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 57
Ejemplo: (T=1)
-----> ; HA s( )s 1+
s2
5s 6+ +---------------------------= HD z( )
2 z 1–( )z 1+
---------------- 1+
4 z 1–( )2
z 1+( )2
------------------- 10 z 1–( )z 1+
---------------- 6+ +
-------------------------------------------------------------=
HD z( )0,15 0,1z
1–0,05z
2––+
1 0,2z1–
+----------------------------------------------------------------=
zm
2T--- σm+
2T--- σm–------------------=
σ1= -2, σ2= -3; s3= -1z1= 0, z2= -0.02; p3= 0.333; p4= 1
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 58
Filtros FIR: Propiedades
Filtro no recursivo:
Respuesta en frecuencia:
Fase: ; Retraso de grupo:
H z( ) h nT( )zn–
n 0=
N 1–∑ z
N 1–( )–h nT( )z
N 1– n–
n 0=
N 1–∑= =
H ejωT M ω( )ejθ ω( ) h nT( )e jωnT–
n 0=
N 1–∑= =
M ω( ) H ejωT
=
θ ω( ) H ejωT
arg=
τpθ ω( )
ω------------–= τg ωd
d θ ω( )–=
N-1 polosen el origen
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 59
Filtros FIR: Propiedades
Filtros de Retraso Constante:Para que tp y tg sean constantes:
Soluciones: ; ; para
Es posible mantener la fase y el retraso de grupo constantes en toda la banda pasante!!
θ ω( ) τω–=
θ ω( ) τω–
h nT( ) ωnTsinn 0=
N 1–∑
h nT( ) ωnTcosn 0=
N 1–∑
-------------------------------------------------atan= =
h nT( ) τω ωnT–( )sinn 0=
N 1–∑ 0=
τN 1–( )T
2---------------------= h nT( ) h N 1– n–( )T[ ]= 0 n N 1–≤ ≤
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 60
Filtros FIR: Propiedades
Filtros de Retraso Constante:Para que tp y tg sean constantes:
Si sólo el retraso de grupo debe ser constante:
----->> y θ ω( ) θ0 τω–= τN 1–( )T
2---------------------= h nT( ) h N 1– n–( )T[ ]–=
1
-1
1
-1 n=10n=10
N=11N=10
nT nT
h(nT) h(nT)
1
-1
1
-1 n=10n=10
N=11N=10
nT nT
h(nT) h(nT)
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 61
Filtros FIR: Ejemplo
Sea la respuesta al impulso: h(n) = 1, 1, 1
En este caso: |H(ejω)| = |1 + 2cosω|, 0 < ω < π- ω, si 0 < ω < 2π/3
φ[H(ejω)] = π - ω, si 2π/3 < ω < π
Podemos definir: H(ejω) = Hr(ω)ej(β−αω) , con |β| = π/2, α = (N-1)/2
En este caso: Hr(ω) = 1 + 2cosω, -π < ω < π
φr[H(ejω)] = - ω
H ejωT
h n( )e
jωn–
n 0=
2
∑ 1 ejω–
ej2ω–
+ + ejω
1 ejω–
+ +
ejω–
1 2 ωcos+ ejω–
= = = =
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 62
|H(ejω)| Hr(ω)
φ[H(ejω)] φr[H(ejω)]
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 63
Filtros FIR: Propiedades
Respuesta en Frecuencia (caso simétrico con N impar):
Pero:
H ejωT
h nT( )e
jωnT–h N 1–( )T
2--------------------- e
jω N 1–( )T2
---------------------–
h nT( )ejωnT–
nN 1+
2-------------=
N 1–∑+ +
n 0=
N 3–2
-------------
∑=
h nT( )e jωnT–
nN 1+
2-------------=
N 1–
∑ h nT( )e jω N 1– n–( )T–
n 0=
N 3–2
-------------
∑ h N 1– n–( )T[ ]e jωnT–
nN 1+
2-------------=
N 1–
∑= =
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 64
h(nT) N H(ejωT) Coeficientes
Simétrica
Impar
Par
Antisimétrica
Impar
Par
ejω N 1–( )T
2---------------------–
ak ωkTcos
k 0=
N 1–( )2
-----------------
∑a0 h N 1–
2-------------
T=
ak 2hN 1–
2------------- k–
T=
bk 2hN2---- k–
T=
ejω N 1–( )T
2---------------------–
bk ω k12---–
Tcos
k 1=
N2----
∑
ejω N 1–( )T
2--------------------- π
2---––
ak ωkT[ ]sin
k 0=
N 1–( )2
-----------------
∑
ejω N 1–( )T
2--------------------- π
2---––
bk ω k12---–
Tsin
k 1=
N2----
∑
Filtros FIR: Respuesta en Frecuencia
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 65
Filtros FIR: Posición de los ceros
Las restricciones exigen:
Haciendo k = (N-1)/2 -n:
Los ceros de N(z) son los de H(z).Para esta expresión (sea N par o impar):
Se trata de polinomios de imagen especular
H z( ) 1
zN 1–( )
2-----------------
--------------------- h nT( ) zN 1–( )
2----------------- n–
zN 1–( )
2-----------------– n–
±
12--- h N 1–( )
2-----------------T
z0 z0±( )+
n 0=
N 3–2
-------------
∑=
H z( ) 1
zN 1–( )
2-----------------
---------------------ak2----- z
kz
k–±
k 0=
N 1–2
-------------
∑N z( )D z( )-----------= =
N z1–
N z( )±=
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 66
Polinomios de imagen especular:Si zi = rie
jφi es un cero, zk = zi-1 = e-jφi/ri también es un cero.
Implicaciones:q Puede haber un número arbitrario de ceros en zi = 1 ó -1.q Puede haber un número arbitrario de pares de ceros complejos conjugados sobre
dicha circunferencia.q Los ceros fuera de esa circunferencia aparecen en pares recíprocos.q Los ceros complejos fuera de la circunferencia unidad aparecerán en grupos de 4.
N-1 polos
Filtros FIR: Posición de los ceros
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 67
Filtros FIR: Ejemplo 2
Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 6, 5, -2, -1, 1, -4 ----> N = 11, α = (N-1)/2 = 5
a(0) = h(α) = h(5) = 6; a(1) = 2h(5-1) = 10; a(2) = 2h(5-2) = -4;a(3) = 2h(5-3) = -2; a(4) = 2h(5-4) = 2; a(5) = 2h(5-5) = -8;
Ahora: Hr(ω) = a(0) + a(1)cosω + a(2)cos2ω + a(3)cos3ω + ... == 6 + 10cosω - 4cos2ω - 2cos3ω + 2cos4ω - 8cos5ω
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 68
Filtros FIR: Ejemplo 2
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 69
Filtros FIR: Ejemplo 3
Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 6, 6, 5, -2, -1, 1, -4 ----> N = 12, α = (N-1)/2 = 5.5
b(1) = 2h(6-1) = 12; b(2) = 2h(6-2) = 10;b(3) = 2h(6-3) = -4; b(4) = 2h(6-4) = -2; b(5) = 2h(6-5) = 2;b(6) = 2h(6-6) = -8;
Ahora: Hr(ω) = b(1)cosω(1−1/2) + b(2)cosω(2−1/2) + b(3)cosω(3−1/2) + ... == 12cos(ω/2) + 10cos(3ω/2) - 4cos(5ω/2) - 2cos(7ω/2) + 2cos(9ω/2) - 8cos(11ω/2)
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 70
Filtros FIR: Ejemplo 3
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 71
Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 0, -5, 2, 1, -1, 4 ----> N = 11, α = (N-1)/2 = 5
Filtros FIR: Ejemplo 4
J.L.Huertas SETI-03-04
Tr. 72
Filtros FIR: Ejemplo 5
Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 6, -6, -5, 2, 1, -1, 4 ----> N = 12, α = (N-1)/2 = 5.5