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Tema B-6. Modulaciones en frecuencia y fase

Joaquín Granado Romero[Dpto. Ing. Electrónica. Universidad de Sevilla]

[email protected]

Tema B-6. [email protected] 2/28

Contenido1. Introducción2. Definición de modulación FM y PM

1. Relaciones FM-PM2. Características de las modulaciones

3. Frecuencia Instantánea4. Desviación en Frecuencia y Fase: Íncice de Modulación5. Espectro de señales FM/PM

1. Modulación PM de un tono2. Estimación del Ancho de Banda: Regla de Carson

6. Modulación de Fase de Banda Estrecha (NBPM)7. Generación de señales FM/PM

1. Generación de señales NBPM/ NBFM2. Generación de señales WBPF/ WBMF

1. Modulador de Armstrong2. Moduladores basados en VCO’s

3. Detección de señales FM/PM8. Aplicación: sistema de radiodifusión FM estereofónico


IntroducciónRecapitulando. Hemos visto:

Análisis de señales en la frecuencia/tiempoAnálisis de los sistemas LTITécnicas de MODULACIÓN permiten desplazar el espectro de la señal en banda base o señal de información a una frecuencia adecuada.

Basadas en la variación de alguno de los los parámetros de una señal denominada portadora (amplitud, frecuencia y fase).

Técnicas AM (Amplitude Modulation)En este tema veremos.

FM (Frequency Modulation) o Modulación en frecuencia. La señal de información hace variar de forma lineal la frecuencia de la señal portadoraPM (Phase Modulation) o Modulación en Fase. La señal de información hace variar de forma lineal la fase de la señal portadora.


Definición de Modulación FM / PMRecurrimos a la notación compleja [g(t) es la envolvente de sc(t)]:

Caso de Modulación en Amplitud (DSB-AM): m(t) es la señal de información. La g(t) es real.

Modulación en PM/FM [g(t) es compleja]:PM: Modulación en Fase (Dp es la Sensibilidad de Fase (rad/v)

FM: Modulación en Frecuencia (Df es la Sensibilidad de Frecuencia (rad/s/v)

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )tj

cj

c

tjccccc

cc

cc

etgrealtseAtg

eArealtAtsωϕ

ϕωϕω

=→=

=+= +cos

( ) ( )tmtgAM =

( ) ( )∫ ∞−=

t

f dmDt λλθ

( ) ( )tjAetg θ=

( ) ( )tmDt p=θ


Relaciones FM/PM

Equivalencias entre la señal moduladora en FM y PM

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∞−==

t

pp

fp

p

f

pf dm

DD

tmdttdm

DD

tm λλ;Generación FM a partir

de un modulador PM

∫p

f

DD MODULADOR

PM

dtd

f

p

DD MODULADOR

FM

mf(t)

mp(t)

sFM(t)

sPM(t)

Generación PM a partir de un modulador FM


Características de la señal FM/PM

La expresión general de una señal modulada en FM/PM será:

Amplitud constante (A)Potencia Media constante:

( ) ( )( )ttAts ccFMPM θω +=− cos

2

2cAP =


Frecuencia Instantánea

Frecuencia Instantánea (fi) es la frecuencia de la señal modulada en el instante ‘t’.

La señal FM/PM consiste en una portadora que va cambiando instantánea-mente alrededor de la fc en función de la señal de información. Su transformada “instantánea” será una delta.¿Qué significa S(f)?

Será un promedio de las componentes es frecuencia de la señal. En general es muy complejo su cálculo.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ;21

;

dttdf

dttdtfi

ttt

c

c

θψπ

θωψ

+==

+=

( ) ( )∫+∞

∞−

−= dtetsfS ftj π2

( ) ( )( )ttAts ccFMPM θω +=− cos


Máxima Desviación en Frecuencia

Para el caso FMDesviación en Frecuencia: df(t)Máxima Desviación en

Frecuencia (∆F)

Para el caso PM:Máxima Desviación de Fase (∆θ)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ;21max

:21max;

21

pfpf

c

VDFVtmytmDdttdSi

dttdF

dttdftfitdf

πθ

θπ

θπ

=∆⇒==

=∆=−=

Interpretación de (∆F):Si Vp ↑ ∆F ↑ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de frecuencias mayor.Si Vp ↓ ∆F ↓ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de frecuencias menor.En cualquier caso ∆f (equivalente al índice de modulación en AM) no afecta a la potencia que se transmite. En AM si afecta.

( ){ }( ) ( ) ( ){ } ;max

:max

pppp VDVtmytmDtSit

=∆⇒===∆

θθθθ


Índices de Modulación de Fase y Frecuencia

PMI-Phase Modulation Index (βp):FMI-Frequency Modulation Index (βf):

B: Ancho de Banda de m(t) (señal de información)A mayor índice de modulación mayor desviación en frecuencia para un mismo B.

BF

f

p

∆=

∆=

β

θβ


Espectro de señales PMBuscamos la Transformada de Fourier de una señal modulada en fase (PM).Utilizando la notación compleja de una señal PM:

¿Cómo se calcula G(f)?G(f) y q(t) no tienen una relación lineal no es posible aplicar el principio de superposiciónNo es posible obtener una expresión general de G(f)Estudiamos una caso simple donde mp(t)=Amsen(ωmt)

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )?¿21)(

fGAetg

ffGffGetgAets

Ftj

ccFtjttj

PMcc

→←=

++−→←== +

θ

ωθω


Modulación PM de un tono( ) ( )

( ) ( );

;;

mpp

mmp

mmp

AD

tsenADt

tsenAtm

=

=

=

β

ωθ

ω

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) )(21

;

2

2

pnnsenj

n

n

n

tjntsenj

mn

tjnn

tsenj

JAdeAC

eeTACeCtg

Aetg

p

mT

mTmmpm

mp

βαπ

π

π

ααβ

ωωβω

ωβ

=

=

=→=

=

∫

∑ ∫+

−

−

+∞=

−∞=

+

−

−

Características de la señal de información

Función de Besselde 1ª clase y orden n.Cálculo numérico

g(t) es periódica Tm=1/fmPodemos hacer el desarrollo en series de Fourier de la señal g(t) y después calcular G(f)


Modulación PM de un tonoLa envolvente compleja g(t) se puede expresar como una serie Fourier quedando:

Aplicando las propiedades de la transformada.

Interpretación:G(f) está formada por deltas situadas en nfm cuya magnitud está controlada por la función de Bessel Jn(β).Si (β) ↓ Jn decrece rápidamente y las componentes en frecuencia se concentran. Si (β) ↑ Jn decrece léntamente y las componentes en frecuencia se expanden.β controla el ancho de banda de la señal PM

( ) ∑+∞=

−∞=

=n

n

tjnpn

meJAtg ωβ )(

( ) ( ) ( )∑∑+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

−=−=n

nmpn

n

nmn nffJAnffCfG δβδ )(


Funciones de Bessel de 1ª especie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5beta=4

n

Jn(beta)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7beta=2

n

Jn(beta)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8beta=1

nJn(beta)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1beta=0.5

n

Jn(beta)

β=0.5

β=2

β=1

β=4

clearbeta=[0.5 1 2 4 8]n=[0:1:10]

for i=1:length(n)t_bessel(i,:)=besselj(n(i),beta);

end


Espectro de la señal PM

Jn(0.2)=[0.9900 0.0995 0.0050 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000]Jn(1)=[0.7652 0.4401 0.1149 0.0196 0.0025 0.0002 0.0000]Jn(2)=[0.2239 0.5767 0.3528 0.1289 0.0340 0.0070 0.0012]Jn(5)=[-0.1776 -0.3276 0.0466 0.3648 0.3912 0.2611 0.1310]

Representamos el espectro normalizado (A/2).Para β=0.2 aspecto de delta en fcSi β ↑ BW ↑

BW

( )( )2AfS

1

ffc

ffc

1

ffc

1

β=0.2

β=1.0

β=2

ffc

1

β=5

BW

BW

BW


Regla de CarsonEl Ancho de Banda (BW) de una señal FM/PM depende del Indice de Modulación (β). El cálculo de BW3dB sería muy complejo.Se demuestra que el 98% de la potencia de la señal se encuentra en un intervalo de frecuencias dado por:

donde B es el ancho de banda de la señal de informaciónβ es el Índice de Modulación

Aunque es una regla aproximada resulta muy útil y sencilla de aplicar.

( )BBW 12 += β


Modulación de Fase de Banda EstrechaPartiendo de la expresión de la envolvente compleja de una señal PM/FM y suponiendo variaciones de fase muy pequeñas (|θ(t)|<0.2 rad.):

La señal modulada tendrá la forma:

La señal (NBPM: Narrow Band Phase Modulation) se caracteriza por.

Una portadora puraUna señal DSB-AM desfasada 90º respecto a la portadora anteriorLas señales NBPM pueden generarse con circuitos moduladores AM.

( ) ( ) ( )[ ]tjAAetg tj θθ +≅= 1

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )tsentAtAetgrealts cctj c ωθωω −≅= cos


Generación de señales FMNos centramos en circuitos que generan señales FMConsideraciones generales

Moduladores Directos: consiste en generar señales FM a partir de un modulador FMModuladores Indirectos: generan una señal FM a partir de circuitos generadores PM.

Emplearemos sistemas Variantes en el TiempoVeremos generación de señales:

NBFM (Narrow Band FM) WBFM (Wide Band FM) o simplemente FM

∫p

f

DD MODULADOR

PMmf(t) sFM(t)


Generación NBFM

Esquema basado en un modulador NBPM (Mod. Indirecta).Basado en moduladores DSB-AM. Podemos generar señales NBFM a partir de moduladores DSB-AM vistos anteriormente.OL: Oscilador Local

∫mf(t)

��

��

��

��OL��

��

��

��−π/2

sen(ωct) cos(ωct)

sNBFM(t)

( ) ( ) ( ) ( )tsentAtAts ccNBPM ωθω −= cos

Generador NBPM


Generación WBFM o simplemente FM

Basados en NBFMAñadimos un multiplicador de frecuenciasModulador Armstrong.

Basados en circuitos VCO’s:VCO: Voltage Controlled Oscila-tors): Circuitos que generan una señal seno de frecuencia controlada por la entrada.Idealmente de forma linealSon circuitos realimentados

ModuladorNBFM

mf(t) sFM(t)Multiplicador “n” de Frecuencia

β1≈0.2 β2 =nβ2

El multiplicador en frecuencia es un elemento No Lineal que aumenta el Índice de Modulación.

vi(t)VCO

sen(kvit)

Veremos el fundamento de los VCO’sbasados en circuitos resonantesExisten otras tecnologías de VCO’s


Generación de FM basada en NBFMEjemplo de multiplicador de frecuencia

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ){ }

inout

incout

incoutin

cin

inout

tmttv

tmtsentvtmt

ttsentvtvtv

ββ

βω

βωβθ

θω

2

22cos121

;

;;

2

2

=

++=

+=→=

+==

ModuladorNBFM

mf(t) sFM(t)Multiplicador “n” de Frecuencia

β1≈0.2 β2 =nβ2


Circuitos Resonantes variablesVCO’s con circuitos resonantes

Basados en LC que oscilan dadas unas condiciones iniciales.Frecuencia de oscilación (resonancia):

Si el condensador varía con la señal de información:

La frecuencia de oscilación (aprox. por Taylor):

C L

;1LCi =ω

( );0 tamCC +=

( )( )

( )0

00

00

00

2;

;11

1

1

Cakdondetmk

tmCa

LCtmCaLC

ffi

i

ωωω

ω

−=+=

−≅

+=


DemoduladoresBasados en dos elementos:

DISCRIMINADOR DE FRECUENCIASDispositivo que proporciona una ganancia proporcional a la frecuencia de la señal de excitación

DETECTOR AMGeneralmente se empleará un detector de envolvente

Discriminadorde

Frecuencia

sAM(t)sFM(t) Detector de

Envolvente

mf(t)


DemoduladoresBasado en discriminador simple RL Rd

Ld

RLD

C

VFM

(t)

+

-

e(t)

VD

EM

OD(t)

+

-

( ) ( )( ) ;

ωω

ωω

ωjLR

jLVEHFM +

==

ω

|H(ω)|

ωc

1

Detector de EnvolventeDiscriminador


DemoduladoresBasado en discriminador RLC

( ) ( )( ) ;

111

−+

==

ωω

ωω

ω

dd

d

FM

LCj

RIEH

Detector de Envolvente

Discriminador

RdDCd RLC

VD

EM

OD(t)

+

-

I FM

(t) e(t)

+

-

Ld

ω

|E(ω)|

ωc ωresonancia


AplicaciónEstudiamos el actual sistema de radiodifusión FM-estéreo.FM-estéreo nace cuando ya existían emisoras FM-monoEn FM-estéreo se transmiten dos fuentes de sonido, dando sensación de profundidad en la audición:

Canal R (Right): audio derechoCanal L (Left): audio izquierdo

FM-estéreo emplea FDM (Frequency Division Multiplexing),consistente en modular cada fuente de información a una frecuencia de portadora diferente de forma que no solapan los espectros y puedan ser recuperados.Carácterísticas de la FM-estéreo:

Frecuencias de portadora: 88.1MHz a 107.9 MHzExisten un total de 100 canales (emisoras) separadas cada 200KHzÍndice de Modulación β=5. Máxima desviación ∆F=75KHz. Ancho de banda de la señal de información B=15KHz BW=180KHz


Transmisor FM

A la entrada del Modulador FM la señal mf(t) estará compuesta por:

mR(t)+ mL(t) sin procesarmR(t)- mL(t) sin procesar modulada en DSB-AM con portadora de 38KHzUn tono piloto a 36KHz/2=18KHz. Este tono permite la demodulación coherente y que el receptor sepa que la emisión es FM estéreo.

38KHz19KHzf

Mf(f)

mR(t) y mL(t) son las fuentes de audioMod. DSB-SC: Modulador Double Side

Band AM Carrier SupressedOL: Oscilador Local a 38 KHzMod. FM: Modulador WBFM en la banda

88.1-107.9 MHZ.

mR(t)

OL38KHz

ModDSB-SC

ModFM

mL(t) ��

��

��

��

��

/2

mR(t)+mL(t)+

+

-

+

mR(t)-mL(t)

mf(t) SFM(t)


Receptor FM Estéreo

Demodulación FMRecuperación de la información “mono” (mR(t)+ mL(t)) mediante el filtrado de las componentes a baja frecuencia (LPF de 15KHz)Demodulación coherente de la señal mR(t)- mL(t) mediante la recuperación de la portadora por un PLL y posterior filtrado.Obtención de las componentes R-L

38KHz19KHzf

Mf(f)

PLL38KHz

BPF23-53 KHz

DemodFM

+

SFM(t)

LPF15KHz

LPF15 KHz

+

mR(t)+mL(t)

mR(t)-mL(t)2mL(t)

2mR(t)

+

-


ConclusionesLa técnica de modulación FM/PM se basa en portar la información en variaciones de frecuencia y fase.Concepto de Frecuencia Instantánea dificultad para calcular la transformada de Fourier de una señal FM/PM (componentes estacionarias de frecuencias).Una señal FM/PM tiene una potencia media constante que no depende del Índice de la Modulación.El BW de la señal FM/PM es proporcional al ancho de banda de la señal de información y al Índice de Modulación según la regla de Carson.Un tipo de PM denominado NBPM similar a AM.Generadores y Detectores FM/PMSistemas FM estéreo que actualmente se utilizan comercialmente

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