john baxter

Reingeniería de procesos

aritméticos y algebraicos

Autor

John Baxter García Amaya

Coautor

Carlos Alberto Ospina Parra



1.La multiplicación es una suma

2.La potenciación es una suma

3.La división es una resta

4.La radicación es una resta

Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos

3John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra

¿Por qué 8 x 4 = 32 ?

Porque

• Se suma cuatro veces el número ocho:

8 + 8 + 8 + 8 = 32

•Se sumo ocho veces el número cuatro:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32

La multiplicación como suma



¿Por qué 3² = 9 ?

• El exponente significa las veces que se

debe multiplicar la base por sí misma:

3 x 3 = 9

• Como la multiplicación es una suma, se

obtiene:

3 + 3 + 3 = 9

La potenciación como suma



¿Por qué 20 ÷ 4 = 5 ?

Porque al número 20 (dividendo) se le puede

sustraer el número 4 (divisor) exactamente 5

veces (resultado o cociente):

20 – 4 = 16

16 – 4 = 12

12 – 4 = 8

8 – 4 = 4

4 – 4 = 0

La división como resta

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John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra


¿Por qué √16 = 4 ?

Porque a la cantidad subradical (en este

caso, 16) se le puede sustraerexactamente 4 veces el número 4:

16 – 4 = 12

12 – 4 = 8

8 – 4 = 4

4 – 4 = 0

La radicación como resta



• Factor común por agrupación de términos

como factor común polinomio.

•Trinomio cuadrado perfecto como factor

común polinomio

•Diferencia de cuadrados como factor

común polinomio

•Trinomio cuadrado perfecto por adición y

sustracción como factor común polinomio8



• Trinomio de la forma x² + bx + c como factorcomún polinomio

•Trinomio de la forma ax² + bx + c como factorcomún polinomio

•Cubo perfecto de binomios comocombinación de factor común polinomio ysuma o diferencia de potencias imparesiguales

•Suma o diferencia de cubos perfectoscomo suma o diferencia de potenciasimpares iguales

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• Caso dual de factorización

•Tipos de factorización

•Conclusión final

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1. Factorización finita:

es la comúnmente utilizada; una

expresión con dos, tres, cuatro y hasta

cinco factores.

2. Factorización infinita:

es posible factorizar cada uno de los

factores obtenidos, por caso dual de

factorización todas las veces que se

necesite.

Tipos de factorización

11



Conclusiones finales

1. Los casos de factorización son dos y no 10.

2. Es posible aplicar un método general para resolver

los casos de factorización.

3. Los casos de factorización no son otra cosa que la

expresión de la adición y sustracción en factores.

4. El caso dual de factorización, lleva a que sea

posible obtener dos respuestas distintas en un

ejercicio planteado.

5. La matemática es una ciencia abierta al cambio; es

decir, una ciencia en construcción; no está

totalmente definida, y allí se encierra su misteriosa

belleza.12



Factor común por agrupación de

términos como factor común polinomio

• ax + bx + ay + by =

Se asocian términos por parejas de

acuerdo con un término común:

(ax+bx) + (ay+by)

Se extrae el factor común de cada pareja:

x( a +b ) + y( a + b )

Se saca el factor común de la expresión

algebraica:

(a + b)( x + y)

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Trinomio cuadrado perfecto

como factor común polinomio

x² + 14x + 49=

Se parte en dos sumandos iguales, el término del medio:

x² + 7x + 7x + 49 =

Se asocian términos por parejas de acuerdo con un

término común:

(x² +7x) + (7x+49) =


x(x+7) + 7(x+7)=

Se saca el factor común de la expresión algebraica:

(x+7)(x+7) = (x + 7)²

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x² - 9 =Se suma y resta el producto de las raíces cuadradas de ambostérminos (artificio matemático que no altera la expresión). Para estecaso, la primera raíz es x, y la segunda 3; el producto queda 3x; yésta es la expresión que debe sumarse y restarse:

x² - 3x + 3x – 9 =

Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común:

(x² - 3x )+(3x – 9 ) =


x(x – 3) + 3(x – 3)

Se saco el factor común de la expresión algebraica:

(x – 3)(x + 3)

Diferencia de cuadrados


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x⁴ + x²y²+ y⁴Se forma trinomio cuadrado perfecto. Para ello, es necesario analizar

el segundo término, el cual debe ser el doble producto de las raíces

cuadradas del primer y tercer términos. En este caso, la primera raíz

es x², y la otra, es y²; en consecuencia, el doble producto es 2x²y².

Como el ejercicio planteado solamente contiene x²y² una vez, es

necesario sumar x²y²; para que el ejercicio no quede alterado, es

necesario sustraer dicho término:

x⁴ + x²y² + y⁴

+ x²y² - x²y²

x⁴ + 2x²y²+ y⁴ - x²y²

Trinomio cuadrado perfecto por adición y

sustracción como factor común polinomio

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x⁴ + 2x²y²+ y⁴ - x²y²

El paso siguiente es resolver el trinomio cuadrado

perfecto (proceso que ya fue descrito); y el otro término,

por el momento, se le deja al margen:

(x⁴ + 2x²y²+ y⁴) - x²y² =

( (x⁴ + x²y²) + (x²y² + y⁴) ) - x²y² =

(x²(x² + y²) + y²(x² + y²) ) - x²y² =

(x² + y²) (x² + y²) - x²y² =

(x² + y²) ² - x²y² =



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La expresión resultante es una diferencia de cuadrados (proceso ya

reseñado): el término que debe adicionarse y sustraerse es:xy(x²+y²), así:

(x² + y²) ² - xy(x²+y²) + xy(x²+y²) - x²y² =


( (x² + y²) ² - xy(x²+y²) ) + ( xy(x²+y²) - x²y² ) =


(x² + y²) ((x² + y²) – xy) + xy((x² + y²) -xy)


((x² + y²) – xy) ((x² + y²) + xy)

Se ordenan términos, y se da la respuesta:

(x² – xy + y²) (x² + xy + y²)



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x² + 7x + 12=Se parte en dos sumandos el término del medio, de tal manera que

ambos sean divisores del último término del trinomio

x² + 4x + 3x + 12 =


(x² +4x) + (3x+12) =


x(x+4) + 3(x+4)=

Se saco el factor común de la expresión algebraica:

(x+4)(x+3)

Trinomio de la forma x²+bx+c


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2x² + 7x + 6 =

Se parte en dos sumandos el término del medio, de tal manera queuno sea divisor del último término del trinomio; y el otro, múltiplodel primero:

2x² + 4x + 3x + 6 =


(2x² +4x) + (3x+6) =


2x(x+2) + 3(x+2)=


(x+2)(2x+3)

Trinomio de la forma ax²+bx+c


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x³ + 3x²y + 3xy² + y³ =Lo primero que se debe hacer es agrupar términos por parejas; así,:en el primerparéntesis, deben ir los cubos, y en el otro, los dos términos restantes:

(x³ + y³) + (3x²y + 3xy²) =

Se factoriza la primera expresión como suma o diferencia de potencias imparesiguales , la cual obedece a la siguiente fórmula: (x+y)(xⁿ⁻¹ - xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….y ⁿ⁻¹)

(x+y)(x² - xy + y²) + (3x²y + 3xy²) =

Se extrae el factor común de la segunda expresión:

(x+y)(x² - xy + y²) + 3xy(x + y) =

Se saca el factor común de la expresión:

(x+y) ((x² - xy + y²) + 3xy) =

Reduzco términos semejantes en el segundo paréntesis y concluyo que el resultado esun trinomio cuadrado perfecto, lo Factorizo y doy la respuesta:

(x+y)(x² +2xy + y²)

(x+y)((x² +xy) + (xy + y²))

(x+y) (x(x+y) + y(x+ y))

(x+y)(x+y)(x+y)

(x+y)³

Cubo perfecto de binomios

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Obedece a la siguiente fórmula:

xⁿ + yⁿ = (x+y)(xⁿ⁻¹ - xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….y ⁿ⁻¹)

xⁿ - yⁿ = (x-y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….+y ⁿ⁻¹)Ésta es deducida a partir de la división algebraica de aⁿ ± bⁿentre a ± b

(x³ + y³)

Se utiliza la fórmula para factorizar la expresión planteada,considerando la como 3:

(x+y)(x² - xy + y²)

Suma o diferencia de cubos

perfectos como suma o diferencia

de potencias impares iguales

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x- y=Factorización como diferencia de cuadrados perfectos

utilizando el proceso de factor común polinomio:

x – ySe suma y resta el producto de las raíces cuadradas de ambos términos(artificio matemático que no altera la expresión). Para este caso, laprimera raíz es x y la segunda y, el producto queda xy; y ésta es laexpresión que debe sumarse y restarse:

x - x½ y ½ + x½ y ½ - y =


(x - x½ y ½) + (x½ y ½ - y ) =


x½(x½ - y ½) + y ½ (x½ - y ½)


(x½ - y ½)(x½ + y ½)

Caso dual de factorización

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x- y=

Factorización como suma o diferencia depotencias impares iguales:

x – y

Se desarrolla la siguiente fórmula tomando elejercicio como:

(x^(1/3)³) - (y^(1/3)³)

xⁿ - yⁿ = (x-y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….+y ⁿ⁻¹)

(x^(1/3) - y^(1/3))(x^(2/3) + x^(1/3) y^(1/3) + y^(2/3))

Caso dual de factorización

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