jorge albah
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JORGE ALBAHACA
MATEMATICA II
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CALCULO INTEGRAL
CALCULO DE ÁREAS
A2
A4
A3
A1
INTEGRAL DEFINIDA Y
n
1i
ii*
n
b
a
x)x(flimdx)x(f
b
a
dx)x(f
Integrando
Límite
Superior
e Inferior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función integrable en [a, b]
y F una primitiva de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
b
a
b
a)x(F)a(F)b(Fdx)x(f
Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales
0)1(.1 dxxsen
1
023.2 dxx
2
1 2 2
3.3 dx
x
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y
y son constantes, se tiene:
b
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función contínua en 1; 5 , si:
5
1
3
17)(4)( dxxfydxxf
Determine el valor de:
5
3)( dxxf
2. Si existen las integrales de la izquierda,
también existe la integral de la derecha:
c
a
b
a
b
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de
integración
bac ,
La propiedad anterior es aplicada cuando la función
está definida por partes y cuando es seccionalmente
continua.
Ejemplo:
Si:
y se quiere hallar:
21 ;21
11- ; 2-x )(
xx
xxf
2
1
1
1
2
1
)21()2()( dxxdxxdxxf
2
1
dxxf
3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x)
para todo x [a, b], se tendrá:
b
a
b
a
dx)x(fdx)x(g
Teorema de comparación
b
a
0 dx f(x) entonces
b,xa cuando 0,f(x) .4 Si
a
adxxf 0)(.5
a
b
b
adxxfdxxf )()(.6
Sea f una función integrable en [a, b],entonces:
EJERCICIOS
Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
1. ¿Será correcto afirmar que:
a)
b) ?3
40)41(
3
2
2 dxx
1
0
1
0
2
1
1
2 )1(
2
)1(
12
)1(
1
xdx
xdx
x
EJERCICIOS
4. Determine el valor de “ ” tal que:
2)23(1
2 dxxxk
k
EJERCICIOS
Se muestra al grafica de . Usando fórmulas
geométricas:
Evalúe la integral:
Calcule el área representada por la
integral:
f
9
3)( dxxf
9
3)( dxxf