jorge líderes - 2016 ciclo verano - terminos semejantes

7/25/2019 Jorge Lderes - 2016 Ciclo Verano - Terminos Semejantes

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x

1L

2L

x

1L

2L

ACADEMIA LDERESGEOMETRIA

NGULOS FORMADOSPOR DOS RECTASPARALELAS Y UNA

SECANTE

Rectas Paralelas.-Dos rectas de un planoson paralelas cuando al prolongarlas notienen ningn punto comn, o cuando ladistancia entre sus puntos es constante.NotacinEl paralelismo se denota con el smbolo //

Rectas Perpendiculares.-Dos rectas de unplano son perpendiculares si al intersectarseforman un ngulo de 90.Notacin : La perpendicularidad se denota

con el smbolo

Rectas secantes.- Dos rectas en un planoson secantes cuando tienen un punto encomn.

NGULOS FORMADOS POR DOSR!"AS PARALLAS # UNA R!"AS!AN"Dos rectas paralelas al ser cortadas por unatercera recta !llamada recta secante"determinan ngulos especiales por laposici#n de uno respecto al otro.

$. NGULOS $N"RNOS: m$ %, m$ &' m$ (, m$)

$$. NGULOS %"RNOS: m$ 1, m$ 2' m$ *, m$ +

$$$. NGULOS AL"RNOS.- Los ngulosalternos son congruentes. &ternos: m$ 1 - m$ + m$ 2 - m$ * $nternos: m$ % - m$ ) m$ & - m$ ($'. NGULOS !ORRSPOND$N"S.-Losngulos correspondientes son congruentes. &ternos: m$ 1 - m$ ( m$ 2 - m$ ) $nternos: m$ % - m$ * m$ & - m$ +

'. NGULOS !ON(UGADOS.- Los ngulosconugados son suplementarios &ternos: m$ 1 m$ * - 1+0 m$ 2 m$ + - 1+0 $nternos: m$ % m$ ( - 1+0 m$ & m$ ) - 1+0

PROPIEDADES

a" i

21 L//L

b" i:

21 L//L

c" i

21 L//L

d" i

21 L//L

CICLO VERANO 2016 3RO SECUNDARIAPROF. : WALTER LVANO ALMEYDA

Se lee: La recta

1L

Se lee: La recta

1L


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se cumple ue

360+ + = x

se cumple ue

90=x

e" i

21 L//L

EJERCICIOS

1.3

2.3

%.3

&.3

(.3

).3

*.3

+.3

9.3 i1 2

L //L

, 4allar5/6 10.3 En la figura calcula 758, si

.a" 1 b" 2 c" % d" 1,( e" 0,( a" 20 b" 2(c" %0 d" )0


se cumple que:


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4x

5x

1L

2L


11.3

a" +0

b" 100

c" 90d" *

0e" )

0

12.3

a" (&

b" )&

c" &

&d" %

&e" (

0

1%.3

1&.3

1(.3

1).3

9.3 n padre dice a su 4io :;4ora tu edad esla tercera

parte de la ma pero, 4ace 10 au? edad tiene el 4io@

;" 1% A" 20 B" 1) D" 2&E" C.;.

10.3 n padre a uien se le pregunta por laedad de su

4io, contesta i edad es tres eces lade mi 4io,

pero 4ace 10 a


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;"20 a


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EJERCICIOS). Balcular E - en2%0 Gg%*

a" 1 b" 2 c" % d" & e" 31

2.3 Balcular > - %.sec(%

a" 1& b" 2( c" ( d" 1( e"10

%.3 Determinar el alor de P - (cos%* %tg(%

a" % b" ( c" + d" 12 e"1+

&.3 Determinar el alor de > - sen(% ctg%*

a" %/2 b" (/% c" %/( d" 2/(e" 1/(

(.3 Balcular el alor de M -(sen%*%ctg%*10cos(%

a" 1% b" 12 c" 1& d" 2%e" %

).3 Determinar el alor de

a" 1% b" 12 c" 1& d" 2%e" %

*.3 Fallar 758 ,si: 5 tg%* - csc (%

a" 1/% b" 1/& c" & d" 2 e"Q

+.3 Determinar el alor de si

>-10cos(%%sec(%&sec%* a" % b" 2 c" 3& d" & e"3%9. Balcular .C - sec &( % tg&( ' C- csc&(

a" 10 b" 1% c" 11 d" 12e" 1&

10.3 Balcular

a" 1 b" 1/2 c" 31/% d" 2e" 2/%

11.3 ea

Hara ealuar R - 10

a" b" c" 1( d"e" 1*

12.3 Del grfico 4allar ctgR

1%.3 Balcular

a" 2(/12 b" 2(/2& c" &9/12 d"&9/2& e" */1+

1&.3 De la figura calcular a/b

1(.3 Balcular 758

a" 1 b" 2 c" % d" & e" (

1).3



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1*.3 Balcular

cbaE ++=

iendo

a - tan%* csc(% b - sen&(.sec&(c - 2sen)0. tan%0

a" 2 b" % c" & d" ( e" )1+.3

Nndicar cada uno de los siguientes productos

6/o diisores como una sola potencia ! no esnecesario

efectuar dic4a potencia" a" *(S *2 S *&- b" )&S )3% S )-

c" 5( S 5) S 53%-

d" !%a"31 S !%a"3& S !%a"3) -

m ( m +

m %

2 2

2

+ +

+

!"

#x$"% & #x$"' ( )" #a*b"+a*b"& #a*b"-.(

"/"

0"1" 52 : 5(

La teora de e5ponentes, estudia todas lasclases de e5ponentes ue e5isten 6 lasdiferentes relaciones ue e5isten entre ellos,

mediante le6es. La operaci#n ue da origenal e5ponente, es la potenciaci#n.

PO"N!$A!$*N:Es una operaci#n matemtica ue consisteen 4allar una e5presi#n llamada potencia,partiendo de otras e5presiones llamadasbase 6 e5ponente.

Representacin

Eemplo

RAD$!A!$*N :Es una operaci#n matemtica ue consisteen 4acer corresponder dos nmerosllamados ndice 6 radicando con un tercernmero llamado raO, el cual es nico, segn

3 : 30c! #3 + 6 3 N"b radicandor raO n3?sima principal de b

L#S D %PONN"SLas principales le6es de los e5ponentes sonlos siguientes

Es una figura geom?trica cerrada, ue seforma al unir consecutiamente tres o mspuntos no colineales.

TTTTTTTTTTTTTUVrtices: A, B, C, D, E, F

TTTTTTTTTTTTTULados : FA,.....,CD,BC,AB

NO"A!$*NHolgono ;ABDEI

NGULOS DETERMINADOS

L+NA ASO!$ADA



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!LAS$F$!A!$*N

, Por la rein ue li/itan3 Pol0ono !on1e&o: cu6os ngulosinteriores son menores de 1+0

3 Pol0ono No con1e&o:cuando uno o msngulos son ma6ores de 1+0.

, Por la /edida de sus ele/ento3 Holgono Euingulo Buando los ngulosinteriores 6 e5teriores son de la mismamedida.

3 Holgono Euiltero Buando los ladostienen igual longitud.

3 Holgono egular Buando los ngulos 6lados tienen la misma medida.

Donde 7J8 es el centro del polgono.

NO"A: olo los polgonos ue son regularestienen ngulo central.

, Por el n2/ero de ladosGringulos % ladosBuadrilteros & ladosHentgonos ( ladosFe5gono ) ladosFeptgono * ladosJctgono + ladosCongono 9 ladosDecgono 10 ladosEndecagono 11 ladosDodecgono 12 lados

Hentadecgono 1( ladosNcosgono 20 lados

P R O P $ D A D S

$.- Relacin de lados3 14rtices3 5nulo

$$.- Su/a de /edidas de los 5nulosinteriores 6Si7

n - nmero de lados$$$.- Su/a de /edidas de los 5nulose&teriores 6Se7:

$'.- Medida de un 5nulo interior enpol0onos

eui5nulos 6 !i7:

n - nmero de lados'.- Medida de un 5nulo e&terior enpol0onos

eui5nulos 6!e7:

NO"A: olo en polgono regular

Vngulo central - ngulo e5terior



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'$. Su/a de un 5nulo interior 8 un5nulo e&terior:

( R ! $ ! $ O S

9).La suma de los ngulos interiores de undodecgono

es

a" 1900 b" 1+00 c" 19(0 d"19)0 e" 2000

9. La suma de los ngulos e5teriores de undodecgono es

a" 2*0 b" %)0 c" 2%0 d" 200e" %00

9;. i un ngulo interior es 10+ =Buntomide el ngulo e5terior del polgono@

a" *2 b" 10+ c" 1+0 d" %)e" 1+

9. Balcular la suma de ngulos interiores deun

polgono de + ?rtices

a" 10+0 b" 900 c" 12)0 d" 1&&0 e"*20

9?. i el ngulo interior es el untuplo delngulo e5terior de un polgono regular. =Bunto mide ladiferencia de

los ngulos@

a" 120 b" %0 c" )0 d" 1(0 e"90

9@. En un polgono regular de 9 ?rtices.=Bunto mide

uno de sus ngulos e5ternos@

a" (0 b" )0 c" 20 d" &0 e"

%09. Balcular 7R8' si el polgono es euingulo

)9. Balcular 758, si los polgonos sonregulares

)). Balcular 758

). i el ngulo interior de un polgono es1%2 =Bunto

mide su ngulo e5terior@

a" 1%2 b" (+ c" )+ d" &+ e"122

);. Fallar el nmero de lados de un polgonosabiendo

ue en ?l se pueden traOar 10&diagonales.

). El ngulo interior de un polgono mide1)0W. Balcular

el nmero total de diagonales ue sepuede traOar en?ste polgono.

a" 11( b" 12( c" 12*CICLO VERANO 2016 3RO SECUNDARIAPROF. : WALTER LVANO ALMEYDA


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d" 1%0 e" 1%(

)?. La suma de los ngulos de ciertopolgonos regular

e5cede a la suma de los ngulos e5ternosen 900W

=Buntos lados tiene el polgono@

a" 1) b" 1+ c" 9 d" 12 e"(

)@. =Bul es el polgono cone5o, sabiendoue la

suma del nmero de lados ms elnmero de

diagonales es igual a 91@

a" Holgono de 1& lados b" Holgono de 1+ lados

c" Holgono de 1) lados d" Holgono de 2) lados e" C.;.

). En un 4eptgono, tres de sus ngulosinteriores

miden 120W cada uno3 Balcular la medidade los otros

cuatro ngulos sabiendo ue soncongruentes.

a" 1%0W b" 120W c" 11(W d" 1%(We" 1((W

"ODOS.- Hara determinar la cantidad defiguras se utiliOan dos m?todos BonteoDirecto !espacios no alineados" e Nnducci#natemtica !espacios alineados"

, !ON"O D$R!"O.-Bonsiste en calcular el nmero de figurasdel tipo deseado procediendo a lanumeraci#n de todas las figuras simplesmediante dgitos 6/o letras, posteriormenteal conteo ordenado de las figuras de 1nmero, al unir 2 nmeros, al unir %nmeros 6 as sucesiamente.Be/plos:1" Fallar el nmero de tringulos en lasiguiente figura

Enumeramos la figura dada 6 luegoprocedemos a contar

De 1 nmero 1'2'%'&'(De 2 nmeros 1a'2a'%&'&(

De % nmeros 1b%'2b(De & nmeros ningunoDe ( nmeros 12%ab'12(abDe ) nmeros ningunoDe * nmeros 12%&(ab

Gotal de tringulos ( & 2 2 1 - 1&

, $NDU!!$ON MA"M"$!A.-Este m?todo se emplea para determinar enciertos casos f#rmulas donde la cantidad defiguras a contar parece enorme.

A7 !onteo de se/entos3 tri5nulos3cuadril5teros3 5nulos audos 8sectores circulares:

3 Cmero de tringulos

3 Cmero de segmentos

3 Cmero de cuadrilteros

3 Cmero de angulos agudos

3 Cmeros de sectores circulares



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Eemplos

1" =Buntos tringulos 4a6 en@

O"ROS !ASOS :

!onteo de "ri5nulos.B;J 1.3 cuando desde un ?rtice salenlneas ue llegan al lado opuesto 6 4a6 lneasparalelas o no a dic4o lado Cmero de

tringulos

n - nmero de espacios erticales

m - nmero de espacios 4oriOontales

B;J 2.3 cuando los tringulos songenerados por ceianas traOadas desde dos

?rtices.

n - nmero de espacios del lado ;B m - nmero de espacios del lado AB

!onteo de cuadril5teros:

n - nmero de espacios erticalesm - nmero de espacios 4oriOontales

!onteo de cuadrados:Baso 1.3 Buando el nmero de espacioserticales es igual al nmero de espacios4oriOontales.El nmero de cuadrados est dado por lasiguiente f#rmula

n - nmero de espacios 4oriOontales ue esigual al nmero de espacios erticales.

Baso 2.3 Buando el nmero de espacioserticales es diferente al nmero de espacios4oriOontales. e calcula con la siguientef#rmula

n - nmero de espacioserticales m - nmero de espacios4oriOontales

e reemplaOa 4asta ue un factor tenga elalor de 1.

Be/plo :

1" Fallar el nmero de cuadrados en lasiguiente figura

( R ! $ ! $ O S

9). Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

a" 1% b" 1&

c" 1(

d" 1) e" 12

9. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

a" 10 b" +c" 1*

d" 1( e" 1&



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9;. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

a" 1% b" 1&c" 1(

d" 1) e" 1*

9. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

a" + b" 9c" 10

d" 11 e" *

9@. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

a" 1% b" 1(

c" 1&d" 12 e"

C.;.

9. Decir cuntos cuadrilteros 4a6 en lasiguiente figura.

a" ( b" )c" *

d" + e"C.;.

10. Falla el nmero de tringulos en lafigura

;" 12 A"1( B"1+D" 21 E" 2&

11. Falla el nmero total de cuadrilteros

;" 12 A" 1( B" 1+

D" 21 E" 2&

12. Falla el nmero de tringulos en la figura

;" )0 A" 1( B" %0

D" &( E" &+

1%. Falla en nmero total de cuadrilteros.

;" 9 A" 12B" 1(

D" 21 E" 2%

1&.3 Falla el nmero total de 4e5gonos.

;" % A" &B" (

D" ) E" *

1(. Falla el nmero total de cuadrilteros enla figura

;" 12 A" 1(B" 1+



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7

A A8C

CC8DCC8

ECC8

FCC8

GCC8


D" 21 E" 2&

1). =Buntas letras B 4a6 en la figura@

;" ) A" 10B" 12

D" + E" 11

1*. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

;" 10 A" 12B" 1&

D" 1% E" 1(

1+. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.

;" *2 A" *&B" *)

D" *+ E" +0

19. =Buntos semicrculos 4a6 en la figura@ ;" 10 A" 1(

B" 20

D" 1+ E"C.;.

20. =Buntos segmentos se cuentan en@

1 2 % & ( XXXXXX..%1 %2%%

a" ()1 b" &++ c" )2& d" 9%) e"%%0

21 . Fallar el total de ngulos

a" ()b" 2+

c" 1&d" %2e" )&

22. Balcular el nmero de segmentos ueaparecen en la siguiente figura

a" %0 b" %1 c" %2 d" %% e" %&2%. De la figura mostrada, 4alla el alor de la

e5presi#n.

;"E - & A" E - ) B" E- +

D" E - 10 E"E - 12


+

cdeNro

trapeciosdeNroE

.

.

=


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