jose del carmen arocha luna matematicas funcion 1 instituto tecnico agropecuario de chinacota

JOSE DEL CARMEN AROCHA LUNA

MATEMATICAS FUNCION*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

25. SaberesFunciones, Grficos y Lmites.Clculo DiferencialClculo Integral

* PROGRAMA DE ESTUDIOINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

1. Estrategias MetodolgicasBsqueda de fuentes de informacinConsulta, lectura, sntesis e interpretacinOpinin acerca del uso y valor del conocimiento.

2. Apoyos educativos. * Antologas, Libros, Artculos publicados, revistas especializadas, programas de computo.

*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

3. Evaluacin del desempeo

* Ejercicios planteados en clase. * Ejercicios extra clase. * Tres exmenes parciales

** Entrega oportuna. ** Presentacin ** Claridad del proceso


4. Fuentes de Informacin: * ARYA, Jagdish C. Lardner. Robin W. Matemticas Aplicada * Haeussler, Ernest F. Jr. Matemticas para administracin, Eco.. * Miller, Charles D. Heeren Matemtica, Razonamiento y Aplicacin


CALENDARIO DE EXPERIENCIASMAYO17. PRESENTACIN EE . e INDUCCIN A LA FORMA DE TRABAJO 23 INTRODUCCIN TEMA I- EJEMPLOS Y EJERCICIOS EN CLASE.MAYOINVESTIGACIN TEORICA y EXPOSICIN RESOLUCION EJERCICIOSEJERCICIOS Y RESOLUCION18 EXAMEN INTRODUCCIN TEMA II- EJEMPLOS Y EJERCICIOS EN CLASE

MAYOINVESTIGACIN TEORICA y EXPOSICIN RESOLUCIN EJERCICIOSEJERCICIOS Y RESOLUCION. 23 EXAMEN 30 INTRODUCCIN TEMA III- EJEMPLOS

MAYOINVESTIGACIN TEORICA y EXPOSICINRESOLUCIN DE EJERCICIOS 20 EJERCICIOS Y RESOLUCIN. 27 EXAMEN.

MAYO

EVALUACIN DE INSTRUMENTOS . FIN DE CURSO


UNIDAD I

FUNCIONES, GRFICOS Y LMITES


FUNCIONES, GRFICOS Y LMITES*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Una funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades.

Dos variables X y Y estn asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a Y, se dice que Y es una funcin (unvoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.

Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definicin de la funcin y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Qu son las funciones?*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

FuncionesUna funcin es la relacin entre dos conjuntos llamados Dominio y Co-dominio, donde a cada elemento del dominio se le asigna exactamente un elemento en el co-dominio.La funcin asocia a cada valor de x un nico valor de y.4-1043-5Funcin-2-101234xxyyNO FuncinINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Funcionesxf(x)DominioCo-Dominioabcdf(a)f(b)f(c)f(d)Nota: al Co-dominio tambin se le conoce como alcance, rango, recorrido o amplitudINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Dnde se ocupan?Las funciones matemticas pueden referirse a situaciones cotidianas y Generalmente se hace uso de las funciones reales, an cuando el ser humanonose da cuenta.

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria en cualquier rea donde haya que relacionar variables. tales como: *El valor del consumo mensual de agua potable que depende del nmero de metros cbicos consumidos en el mes.* El costo de una llamada telefnica que depende de su duracin.*La estatura de un nio que depende de su edad, etc.


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POLINOMICAS ALGEBRAICAS RACIONALES RADICALES

FUNCIONES EXPONENCIALES TRASCENDENTES LOGARITMICAS TRIGONOMETRICASTIPOS DE FUNCIONESINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

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En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explcitas Si se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin. f(x) = 5x - 2 Funciones implcitas Si no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x - y - 2 = 0Funciones AlgebraicasINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

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Funciones AlgebraicasFuncin lineal:

La funcin lineal (funcin polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son nmeros dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los nmeros reales. La grfica de cualquier funcin lineal es una lnea recta.

La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuacin de la funcin a 0 y se despeja el valor respectivo para x. INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

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Funciones Lineales1. y = x. S o l u c i n :

2. y = -2xS o l u c i n :

3. y = x + 2S o l u c i n :

4. y = x - 3S o l u c i n :

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Funciones constantes: El criterio viene dado por un nmero real. f(x)= k La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.Funciones valor absoluto: El criterio viene dado por un nmero real. f(x)= x La grfica es una v.Funciones polinmicas : Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x + a1 x + + an xn Su dominio es R , es decir, cualquier nmero real tiene imagen.


Funcion valor absolutoxy-2 -1 0 1 2 2 1012xINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTAFuncion constante

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Funciones racionalesUna funcin racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales.Esto es, una funcin racional es de la forma los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador, Q(x) = 0.

Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.El dominio de una funcin irracional de ndice impar es R.El dominio de una funcin irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.


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Funciones trascendentesLa variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra.

Funcin exponencial Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Funciones logartmicas La funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.


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Funcin cuadrticaINSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

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S o l u c i o n e s INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

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Funciones trigonomtricasFuncin senof(x) = sen xFuncin cosenof(x) = cosen xFuncin tangentef(x) = tg xFuncin cosecantef(x) = cosec xFuncin secantef(x) = sec xFuncin cotangentef(x) = cotg x


Cundo una grfica no corresponde a una funcin?De las dos grficas que se muestran a continuacin, la de la izquierda corresponde a una funcin y la derecha no.En sta a cada valor de la variable independiente X, le corresponde un nico valor imagen de la variable dependiente Y En sta hay algunos valores de la variable X a los que corresponden ms de un valor de la variable Y. Lo que contradice la definicin de funcin. *INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Dominio

Se llama dominio de definicin de una funcin f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la funcin, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

En la funcin que tiene por expresin algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. (EVALUAR)

Decimos que en este caso dicha funcin est definida en todo R (conjunto de los nmeros reales).

MATEMTICAS APLICADAS*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Sin embargo la funcin y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la funcin. (EVALUAR)Cuando una funcin se nos presenta a travs de su grfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha grfica conseguimos el dominio de definicin.

Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la grfica. Y ste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio. *INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio. En este caso tenemos que Dom f = (-, 2) U (2, 7] *INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

EJEMPLOSFUNCIONES POLINMICAS:Son aquellas cuya expresin algebraica es un polinomio; es decir, las funciones polinmicas, tienen como dominio de definicin todo el conjunto de los nmeros reales: Rf(x)= 3x5- 8x + 1; D(f) = Rg(x)= 2x + 3; D(g) = Rh(x)= ; D(h) = R


FUNCIONES RACIONALES:Si la funcin es racional, esto es que su expresin es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las races del polinomio denominador. Por ejemplo: I)

Resolvemos la ecuacin x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3.

Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}MATEMTICAS APLICADAS*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

II)

Resolvemos la ecuacin x2+ 1 = 0;

y nos encontramos que no tiene solucin. No se han encontrado valores que anulen el denominador. y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto D(f) = R.*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

FUNCIONES IRRACIONALES:Funciones irracionales son las que vienen expresadas a travs de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.

Si el radical tiene ndice impar, entonces el dominio ser todo el conjunto R de los nmeros reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raz de ndice impar de la expresin que haya en el radicando.

Si el radical tiene ndice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existir la raz y por tanto no tendrn imagen .*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

I)Resolvemos la inecuacin x +1 > 0; ==> x > -1;

x+1 es una expresin positiva si x pertenece al intervalo [-1, +). Por lo tanto D(f) = [-1, +).

II)Resolvemos la inecuacin x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)(x - 5) >0

R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cul de ellas se da que el signo del radicando sea positivo.

Por lo tanto D(g) = (-, -5] U [+5, +) *INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

III) Resolvemos la inecuacin x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)(x - 4) >0;

Observar que la inecuacin se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando est en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. En que se traduce esto?

En tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.Por lo que:

R nos queda dividido en tres zonas.Y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio: D(h) = (-, -2) U (+4, +)*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

E J E R C I C I O S*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Obtn el dominio de definicin de los grficos*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuacin:*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

MATEMTICAS APLICADAS*LIMITE MATEMATICO

En matemticas, se usa el concepto del lmite para describir la tendencia de una sucesin o una funcin. La idea es que en una sucesin o una funcin, al hablar de lmite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto nmero (o sea, el lmite) tanto como queramos.

Se usa el lmite en clculo (por lo que tambin se usa en el anlisis real y matemtico) para definir convergencia, continuidad, derivacin, integracin, y muchas otras cosas.


* Lmite de una funcin

Informalmente, decimos que el lmite de la funcin f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos Esta definicin se llama frecuentemente la definicin psilon-delta del lmite.


Variaciones de una funcin. Crecimiento-Decrecimiento de la funcin y Mximos y mnimos. 1.Crecimiento y Decrecimiento. Un determinado parsito se reproduce dividindose en dos cada segundo. La funcin que determina el nmero de parsitos que hay en cada segundo de tiempo que transcurre es la representada a la derecha. Al aumentar el valor de la variable x, tambin aumenta el valor de la variable y. Esto es una funcin es estrictamente creciente. Si x1 f(x1)

Al aumentar el valor de la variable x, ahora disminuye el valor de la variable y o imagen.

Esto es que la funcin es estrictamente decreciente.

Si x1 f(x1)>f(x2)


El estudio del crecimiento-decrecimiento de una funcin, lo haremos por intervalos del dominio, indicando en cules es creciente y en cules decreciente. A partir de la grfica se ve claro el crecimiento-decrecimiento de una manera intuitiva, pero siempre mirndola de izquierda a derecha que es como va aumentando la variable independiente x.


2.Mximos y mnimos relativos.Debido a cambios que vemos en algunas funciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasan de crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremos relativos (mximos relativos y mnimos relativos). Una funcin f tiene un mximo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la funcin pasa de ser creciente a la izquierda de x0 a ser decreciente a la derecha de x0.

Es decir, f tiene en x0 un mximo relativo si f(x0) > f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.


La funcin representada tiene en 2; un mximo relativo.

Una funcin f tiene un mnimo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la funcin pasa de ser decreciente a la izquierda de x0 a ser creciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un mnimo relativo si f(x0) < f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Aqu vemos que en x=2 hay un mnimo relativo, la funcin pasa de ser decreciente a crecienteUna funcin puede tener varios extremos relativos, de entre ellos, si existe, llamaremos mximo absoluto al valor x0 que cumpla f(x0) > f(x) para cualquier x del dominio, y anlogamente llamaremos mnimo absoluto, si existe, al valor x0 que cumpla f(x0)

Observa en esta grfica que el nmero de viajeros en una lnea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la maana. CONTESTA:

*El crecimiento de la funcin es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8? *Indica los tramos en los que la funcin es decreciente y los tramos en los que es creciente. *En qu tramo no hay variacin en el nmero de viajeros?Cmo diras que es la funcin en ese tramo? *En qu momento hubo un nmero mximo de viajeros?


La siguiente grfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad: CONTESTA

*Cundo crece el nivel de ruido? *Cundo decrece? *Indica los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es mxima o mnima


Simetras Observa la grfica . La parte de la curva a la izquierda del eje Oy es la imagen reflejada de la que est a la derecha del eje. Esto es que la funcin es simtrica respecto del eje Oy o simtrica par. Una funcin es simtrica respecto al eje Oy (eje de ordenadas) si cumple que f(x) = f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetra par de la funcin f.La funcin aqu representada es y = x2. Es obvio que x2 = (-x)2.


En cambio sta muestra como la rama de la izquierda del eje vertical es el reflejo de la de la derecha, pero no respecto a este eje, sino respecto al origen de coordenadas. Ahora la funcin es simtrica respecto al origen, o sea, simetra impar. Una funcin es simtrica respecto al origen de coordenadas si cumple que f(x) = - f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetra impar de la funcin f.Ahora la funcin representada es y = x3+x; (-x)3+(-x) = - x3-x


Continuidad Para que nos hagamos una idea, una funcin continua en todo su dominio sera aquella que se puede dibujar de un slo trazo sin levantar el lpiz del papel. Por ejemplo la dibujada a continuacin:Pero la mayora de las funciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continua slo en algunos "trozos" de su dominio y en los lmites de stos presentarn discontinuidades*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

MATEMTICAS APLICADASDiscontinuidad de salto finito.

Se presentar una discontinuidad de salto finito en un valor x = a, cuando en la grfica observemos una separacin o salto entre dos trozos de la funcin que pueda medirse. Esto es debido a que la tendencia de la funcin a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha.*INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Discontinuidad de salto infinito.

Cuando en un punto de la curva observamos que la tendencia a la izquierda o a la derecha (o ambas) es a alejarse al infinito (ms infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto infinito en el punto a.


Discontinuidad evitable.

Si nos encontramos que la continuidad de la grfica se interrumpe en un punto donde no hay imagen, o la imagen est desplazada del resto de la grfica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a. Aqu la tendencia de la funcin a la izquierda de a y a la derecha de a s coincide, sin embargo es f(a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe.


ACTIVIDADES: 1. Analiza la simetra de estas funciones: y = x y = 2x + 1 y = x3 y = x4

2. Indica si; en alguna de las funciones que se presentan a continuacin existe algn tipo simetra, continuidad, etc.


MATEMTICAS APLICADAS *INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Otras caractersticas de las funciones. Concavidad-convexidad.

Diremos que una funcin es CNCAVA si su grfica queda por encima de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos.

Diremos que una funcin es CONVEXA si su grfica queda por debajo de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos


Cuando tengan tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde se produzcan esos cambios de concavidad a convexidad o viceversa sern los que llamaremos PUNTOS DE INFLEXIN: Como puedes comprobar, la curva se repite cada cierto intervalo del eje de abscisas, a esto llamamos periodicidad. *INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

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