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DISTRIBUCIONES DISCRETAS
IMPORTANTES
Juan Carlos Colonia
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BIBLIOGRAFÍA
Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres,
Sharon L.: Probabilidad y Estadística para
Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana.
Canavos G. Probabilidad y Estadística,
Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc
Graw Hill.
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ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
IMPORTANTES
Entre las principales distribuciones discretas
tenemos:
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución Hipergeométrica
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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ENSAYO DE BERNOULLI
Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene únicamente dos resultados posibles.
Observaciones:
1. Los resultados de un ensayo de Bernoulli suelen ser denominados “Éxito” y “Fracaso”; los cuales no tienen connotación de bueno y malo respectivamente.
2. Como el experimento solo tiene dos resultados, el termino “éxito” hace referencia a la ocurrencia del evento de interés y el termino “fracaso” al evento contrario, es decir al complemento.
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ENSAYO DE BERNOULLI
Ejemplos:
Al inspeccionar un proceso de producción, si se encuentra algún producto defectuoso el proceso es detenido y sometido a revisión., encontrar un producto defectuoso constituye “éxito“.
Un sistema eléctrico puede que funcione o no, se considera éxito que el sistema funcione y fracaso que no funcione.
Un conmutador en ON/OFF, un servidor con conexión o sin ella, un fusible defectuoso o no defectuoso, etc.
3. El resultado “éxito” toma el valor 1 y “fracaso” el valor 0.
4. La probabilidad de éxito es p y de fracaso (1 – p).
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DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p si su función de probabilidad esta dado por:
Notación:
Características numéricas:
1 xx
Xf x p 1 p x 0,1
X B p
E X p V X p 1 p
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ENSAYO BINOMIAL
Un ensayo binomial se caracteriza por:
1. Constan de n ensayos de Bernoulli.
2. Los resultados en cada ensayo pueden clasificarse
como éxito o fracaso.
3. Los ensayos son independientes.
4. La probabilidad p de éxito en cada ensayo es
constante.
Es decir un ensayo binomial consiste de n ensayos
independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales con
igual probabilidad p de éxito.
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Se emplea para conocer la probabilidad de obtener un
número determinado de “éxitos” al realizar n ensayos de
Bernoulli.
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución Binomial con
parámetros n y p si su función de probabilidad esta
dado por:
Notación:
n xx
X
nf x p 1 p
x
X B n,p
x 0,1, 2, ..., n
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Función de distribución:
Características numéricas:
E X np
V X np 1 p
x
n ii
X
i 0
0 x 0
nF x p 1 p 0 x n
x
1 x 1
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Grafico de la Distribución Binomial con n = 10 y p = 0.5
Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo: Si el 20% de las piezas producidas por una maquina son defectuosas, ¿cual es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas? : Número de piezas defectuosas La probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas es
2
4 x2
X
x 0
4P x 2 F 2 p 1 p 0.9728
x
X B 4 , 0.2
X
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DISTRIBUCIÓN DE POISSON
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PROCESO POISSON
Un proceso Poisson se refiere a eventos que ocurren en un intervalo
continuo (intervalo de tiempo, longitud, región de espacio, etc.) que
satisface las siguientes condiciones:
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o en
una región especifica son independientes del número de resultados
que ocurren en cualquier otro intervalo o región.
2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado en un intervalo muy
pequeño o región muy pequeña es proporcional a la longitud de
dicho intervalo y no depende del número de resultados que se
produzcan fuera de este intervalo o región.
3. La probabilidad de que ocurran más de un resultado en un intervalo
de tiempo muy pequeño o en una región muy pequeña es
prácticamente nula.
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DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se emplea cuando se desea
calcular la probabilidad de ocurrencias de un evento en
un intervalo continuo determinado.
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson
con parámetros si su función de probabilidad esta
dado por:
Donde es el número promedio de resultados y t es el
intervalo continuo.
xt
X
e tf x
x!
x 0,1, 2, ..., n
0
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DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Notación:
Función de distribución:
Características numéricas:
E X
V X
itx
X
i 0
0 x 0
F x e tx 0
i!
X P
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DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Grafico de la Distribución de Poisson con λ = 0.5
Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución
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DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo:
Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasa a través de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo?
: Número de piezas defectuosas
La probabilidad de que entren seis partículas
64
X
e 4P x 6 f 6 0.1041
6!
X P 4
X
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Sea el experimento aleatorio que consiste en seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n (n ≤ N) de una población de tamaño N, dividida en dos subpoblaciones disjuntas de tamaños K y (N – K).
Los K elementos de N se puede clasificar como “éxito” y los (N – K) como “fracasos”.
Interesa saber el número de elementos en la muestra de tamaño n que pertenecen a la subpoblación K, es decir el número de “éxitos” en la muestra.
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Se emplea para calcular la probabilidad de obtener un número
determinado de “éxitos” en una muestra de tamaño n proveniente
de una población de tamaño N.
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica con
parámetros N, n y k si su función de probabilidad esta dado por:
Notación:
X
k N k
x n xf x
N
n
X H N,n,k
x 0,1, 2, ..., n
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Función de distribución:
Características numéricas:
K
E X nN
K N K N n
V X nN N N 1
x
X
i 0
0 x max 0,n N K
k N k
i n iF x max 0,n N K x min n,K
N
n
1 x min n,K
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Grafico de la Distribución Hipergeométrica con
N = 1,000 K = 200 y n = 10
Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Ejemplo: Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen
estado. Se toma una muestra de tres baterías. ¿Cuál es la
probabilidad de que se obtenga al menos una batería en buen
estado?
: Número de baterías defectuosas
Probabilidad de que se obtengan al menos una batería en buen
estado
4 9 4
0 3 0P x 1 1 P x 1 1 P x 0 1 0.881
9
3
X H 9 , 3, 4
X