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Juan David Velilla Uribe
Estabilidade de Poços de Petróleo em Meios Fraturados Empregando o Método dos Elementos Discretos
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientador: Sérgio Augusto Barreto da Fontoura
Co-orientador: Nelson Inoue
Rio de Janeiro, março de 2013.
Juan David Velilla Uribe
Estabilidade de Poços de Petróleo em Meios Fraturados Empregando o Método dos Elementos Discretos
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Cientifico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Sérgio Augusto Barreto da Fontoura Orientador
Departamento de Engenharia Civil-PUC-RIO
Dr. Nelson Inoue Co-orientador
GTEP/PUC-Rio
Prof. Ney Augusto Dumont Departamento de Engenharia Civil-PUC-RIO
Dr. Erick Slis Raggio Santos CENPES/PETROBRAS
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do
Centro Técnico Cientifico- PUC-Rio janeiro, Março de 2013
Rio de Janeiro, 25 de março de 2013.
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou
parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e
do orientador.
Juan David Velilla Uribe
Graduou-se em Engenharia de Petróleos na UIS (Universidade
Industrial de Santander - Colômbia) em Março de 2010. No
mesmo ano trabalho na área de Geomecânica do Petróleo no
ICP (Instituto Colombiano do Petróleo). No ano 2011
ingressou ao curso de Mestrado em Engenharia Civil na
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, na área de
Geotécnia, desenvolvendo dissertação de mestrado na linha de
pesquisa de Geomecânica do Petróleo.
Ficha Catalográfica
CDD:624
Uribe, Juan David Velilla
Estabilidade de poços de petróleo em meios fraturados empregando o método dos elementos discretos / Juan David Velilla Uribe ; orientador: Sérgio Augusto Barreto da Fontoura ; co-orientador: Nelson Inoue – 2013.
109 f. : il. (color.) ; 30 cm
Dissertação (mestrado)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2013. Inclui bibliografia
1. Engenharia civil – Teses. 2. Método
dos elementos discretos. 3. Estabilidade de poços. 4. Rochas fraturadas. 5. Resistência. 6. Perfuração de poços. 7. Metodologia de perfuração. I. Fontoura, Sérgio A. B. da. II. Inoue, Nelson. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
Dedico esta dissertação á minha avó Elena Uribe (descanse em Paz).
Agradecimentos
Agradeço a Deus pela fortaleza e sabedoria fornecida para terminar com
sucesso esta etapa da minha vida.
Agradeço a minha avó, Helena Uribe, quem me ensinou o valor da vida e que
infelizmente partiu para o céu no ano 2011. Muitas saudades de ti “Nona
querida”.
Agradeço a toda minha família especialmente a minha mãe, Gladys Uribe, a
minha tia, Yolanda Uribe, a minha namorada, Margarita Habran, a meus irmãos,
pessoas que sempre tem palavras de animo e fortaleza cada vez que eu preciso.
Agradeço ao professor Sergio A.B. da Fontoura, pela ajuda intelectual, e pela
confiança depositada no meu trabalho. Sem sua ajuda não teria sido possível.
Muito obrigado professor.
Agradeço ao Grupo de Tecnologia e Engenharia do Petróleo (GTEP), porque me
deu a oportunidade de crescer academicamente a cada dia. Agradeço
especialmente a: Nelson Inoue, Sergio Orozco, Guilherme Righeto, Carlos
Emmanuel R. Lautenschläger, Pamela Rodriguez, Paola Rosas, Darwin Mateus
Tarazona e Bianca F. Lima.
Agradeço ao grupo de estabilidade de poço “Wellbore Stability” da universidade
industrial de Santander na Colômbia, porque graças a ele meus interesses na
geomecânica do petróleo começaram a se de desenvolver.
Agradeço a meus amigos Júlio Rueda, Giovanny Rey, Mario Bonilla, Sergio
Orozco, Darwin Mateus, Ruby Hernandez, Alexandre Brandão, pelos muitos
momentos de estudo e alegria compartilhados, no Rio de Janeiro.
A CAPES/PROEX e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este
trabalho não poderia ter sido realizado.
Para finalizar, eu gostaria de citar algumas frases famosas de pessoas que
admiro e que me motivam a ser cada dia melhor. Na vida sempre temos um
objetivo e é a felicidade, lutar pelo que queremos nos faz grandes pessoas:
“Procure ser uma pessoa de valor, em vez de procurar ser uma pessoa de
sucesso. O sucesso é consequência”. (Albert Einstein, Físico).
“Algumas pessoas querem que algo aconteça, outras desejam que aconteça,
outras fazem acontecer” (Michael Jordan, jogador de basquete).
“Vejo na luta enxadrística um modelo exato da vida humana, com sua
luta diária, suas crises e seus incessantes altos e baixos”. (Garry Kasparov,
xadrezista).
Resumo
Uribe, Juan David Velilla; Fontoura, Sérgio Augusto Barreto da (Orientador); Inoue, Nelson (Co-Orientador). Estabilidade de Poços de Petróleo em Meios Fraturados Empregando o Método dos Elementos Discretos. Rio de Janeiro, 2013. 109p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
A estabilidade de poços de petróleo é convencionalmente analisada
empregando soluções analíticas que não são adequadas para modelagem de
meios fraturados, devido a suposições de meio continuo. Esta dissertação tem
como objetivo principal desenvolver uma metodologia computacional para
geração de janela operacional utilizando uma solução numérica, adequada para
meios fraturados. No trabalho foi escolhido o software UDEC (Universal Distinct
Element Code), que é baseado no método dos elementos discretos (MED). Este
método considera o maciço rochoso como a união de blocos de rocha intactos,
unidos pelas fraturas e cujo comportamento físico para cada elemento pode ser
analisado individualmente. A modelagem computacional no UDEC foi realizada
mediante uma analise hidromecânica acoplada. Esta modelagem permitiu avaliar
a influencia de alguns mecanismos que governam a estabilidade de poços,
como: as tensões in situ, a poropressão e a orientação, espaçamento e
persistência das famílias de fraturas. Os resultados numéricos mostram o efeito
das fraturas na orientação e magnitude das tensões, além da magnitude da
poropressão resultando em cálculos dos limites de colapso inferior e fratura
superior da rocha mais realistas.
Palavras-chave
Método dos elementos Discretos; estabilidade de poços; Rochas
Fraturadas; resistência; perfuração de poços; metodologia de perfuração.
Abstract
Uribe, Juan David Velilla; Fontoura, Sérgio Augusto Barreto da (Advisor); Inoue, Nelson (Co-Advisor). Oil Wells Stability in Fractured Media Using the Discrete Element Method. Rio de Janeiro, 2013. 109p. M.Sc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The stability of oil wells is conventionally analyzed using analytical solutions
that are often not suitable for modeling fractured media due to assumptions of
continuous medium. This work has as main objective to develop a computational
method for generating mud window using a numerical solution, suitable for
fractured media. The software chosen for this work was the UDEC (Universal
Distinct Element Code), which is based on discrete element method (DEM). This
method considers the rock mass as the union of blocks of intact rock jointed by
fractures, and whose physical behavior for each element can be analyzed
individually. Computational modeling in UDEC was carried out in a coupled
hydromechanical analysis. This modeling allowed to evaluate the influences of
some of the mechanisms that govern the stability of wells, as in situ stresses,
pore pressure and orientation, spacing and persistence of families of fractures.
Numerical results show the effect of fracture orientation and magnitude of the
stresses, besides the magnitude of the pore pressure resulting in more realistic
calculations of lower collapse and upper fracture of the rock mass.
Keywords
Discrete element Method; Wellbore Stability; fractured Rocks; strength; well
drilling; drilling methodology.
Sumário
1 Introdução 20
1.1. Definição do Problema 20
1.2. Motivação 22
1.3. Objetivos 22
1.4. Estrutura do Texto 23
2 Revisão Bibliográfica 24
2.1. Modelagem Analítica Convencional da Janela Operacional de Poços em
Formações Intactas e Fraturadas 24
Modelagem analítica de descontinuidades 27 2.1.1.
2.2. Panorama da Modelagem Analítica de Estabilidade de Poços em Formações
Fraturadas 28
2.3. Panorama da Modelagem Numérica de Estabilidade de Poços em
Formações Fraturadas 31
3 O Método dos Elementos Discretos (MED) para Rochas Fraturadas 45
3.1. Que é o MED? 45
3.2. Formulação do Método dos Elementos Discretos (MED) 46
Considerações Físicas 48 3.2.1.
Movimentação dos Blocos de Rocha 48
Equilíbrio de Momento e Energia 50
Deformabilidade dos Blocos de Rocha 51
Deformabilidade das Fraturas 53
Fluxo de fluido nas fraturas 56
Considerações numéricas 59 3.2.2.
Representação Numérica das Descontinuidades 59
Discretização Nodal Mista para Deformação em uma Rede Triangular 61
Discretização Nodal Mista para Tensões em uma Rede Triangular 62
Condições de contorno 64
Determinação do Passo de Tempo Mecânico: Solução Estável 65
3.3. O software UDEC (Universal Distinct Element Code) 66
Etapa 1: Definição da Geometria do Problema 67
Etapa 2: Discretização por Diferenças Finitas 67
Etapa 3: Modelos Constitutivos e Propriedades dos Materiais 67
Etapa 4: Condições de Contorno 67
Etapa 5: Utilidades 67
Etapa 6: Configurações 68
Etapa 7: Execução do problema 68
Etapa 8: Gráficas 68
4 . Modelagem computacional da estabilidade de poços em rochas fraturadas 70
4.1. Etapa 1: Consolidação inicial do maciço rochoso 71
Geometrias propostas 71 4.1.1.
Modelos constitutivos e tensões in situ 72 4.1.2.
Condições de contorno e variáveis numéricas 74 4.1.3.
Condição final de equilíbrio 76 4.1.4.
4.2. Etapa 2: Escavação do furo e determinação das pressões de colapso 76
Escavação e aplicação da pressão do fluido em torno do furo 77 4.2.1.
Determinação das pressões de colapso superior e inferior 79 4.2.2.
4.3. Resultados e discussão 79
Parede do poço impermeável 79 4.3.1.
Parede do poço permeável 84 4.3.2.
Efeito da orientação das famílias de fraturas na estabilidade de poços 87 4.3.3.
5 . Validação e comparação dos resultados analíticos e numéricos 90
5.1. Janela operacional analítica versus numérica 90
5.2. Distribuição de tensões em torno e longe da face do poço 94
5.3. Distribuição de poropressão na modelagem analítica Vs Numérica 98
6 Conclusões e Sugestões 99
6.1. Conclusões 99
6.2. Sugestões para trabalhos futuros 100
Lista de Figuras
Figura 1. 1– Os quatro mecanismos mais importantes de instabilidade de poço
(Pasic, 2007). ............................................................................................. 21
Figura 1. 2– Perfuração através de formações fraturadas (Pasic, 2007). ........... 22
Figura 2. 1 – Ilustração dos tipos de ruptura na parede do Poço, a) por Tração e
b) por Cisalhamento (Modificado, Fjaer, 2008). .......................................... 25
Figura 2. 2– Efeito do incremento do peso da lama na parede do poço (Pasic,
2007). ......................................................................................................... 25
Figura 2. 3 – Modelo de estabilidade mecânico analítico da rocha em torno do
poço. .......................................................................................................... 26
Figura 2. 4 – Parâmetros de perfuração durante as três tentativas de perfuração
em um poço de petróleo em camadas fraturadas vulcânicas (Santarelli et al,
1992). ......................................................................................................... 32
Figura 2. 5 – Comportamentos das fraturas no modelamento, a) Aberturas das
fraturas para uma densidade da lama de 1.2 g/cm3, b) Aberturas das
fraturas para uma densidade da lama de 1.7 g/cm3, c) Deslocamento
cisalhante ao longo das farturas para um mergulho de 450 e 1.7g/cm3.
(Santarelli et al, 1992). ............................................................................... 33
Figura 2. 6 – Fluxo de fluido nas fraturas, a) Taxa de fluxo através das fraturas
com mergulho de 450 e densidade do fluido de 1.2 g/cm3 e 1.3g/cm3, b)
Fraturas abertas quando o mergulho é 200 e a densidade 1.2g/cm3.
(Santarelli, 1992). ....................................................................................... 34
Figura 2. 7 – Contornos de cisalhamento depois da escavação para a geometria
circular e uma pressão da lama de 10 MPa, a) σh =45 MPa, σH = 45 MPa, b)
σh =45 MPa, σH = 67.5 MPa, c) σh =45 MPa, σH = 90 MPa, (Zhang et al
,1999). ........................................................................................................ 35
Figura 2. 8 – Comparação dos resultados do modelamento analítico e numérico
para σh =45 MPa, σH = 67.5 MPa (Zhang et al ,1999). ............................... 36
Figura 2. 9 – Taxas de fluxo através das fraturas para uma pressão da lama de
10 MPa a) σh =45 MPa, σH = 45 MPa; a máxima taxa de fluxo é 0.04 m2/s b)
σh =45 MPa, σH = 67.5 MPa; a máxima taxa de fluxo é 0.033 m2/s c) σh =45
MPa, σH = 90 MPa; a máxima taxa de fluxo é 0.032 m2/s (Zhang et al
,1999). ........................................................................................................ 36
Figura 2. 10 – Resultados do modelamento para o caso 2, a) parede
impermeável com vetores de deslocamento e mudanças na poropressão
(linha espessa), b) parede permeável com vetores de deslocamento e
mudanças na poropressão (linha espessa), c) parede permeável com
ângulo de atrito constante e com as fraturas no limite de equilíbrio e d)
parede permeável com redução do ângulo de atrito e com as fraturas no
limite de equilíbrio (Chen et al, 2003). ........................................................ 38
Figura 2. 11 – Máxima tensão e deslocamento de cisalhamento ao redor do
poço versus mergulho da família de fraturas (Yamamoto et al, 2002). ....... 39
Figura 2. 12 – Máximo deslocamento de cisalhamento ao redor do poço versus
peso da lama (Yamamoto et al, 2002). ....................................................... 39
Figura 2. 13 – a) deslocamentos na direção x, b) deslocamentos na direção y, c)
zonas colapsadas no poço (zonas em azul) (Nicolson & Hunt, 2004). ....... 41
Figura 2. 14 – Predições analíticas de dano ao redor do poço, a) modelo
homogêneo isotrópico, b) modelo transversalmente isotrópico (Willson et al,
2007). ......................................................................................................... 42
Figura 2. 15 – Predições numéricas de estabilidade de poço utilizando o modelo
de elementos discretos (Willson et al, 2007). ............................................. 43
Figura 2. 16 – Comportamentos da rocha durante o carregamento biaxial, para
mergulhos de a) 300(foto ampliada), a) 300(detalhe), a) 450, a) 600 (Sagong
et al ,2011). ................................................................................................ 44
Figura 2. 17 – Orientação e magnitude dos deslocamentos das esferas ao redor
do furo para um orientação de a) 300, b) 450 e c) 600(Sagong et al ,2011). 44
Figura 3.1 - Perfuração de um poço em um maciço rochoso fraturado (manual
UDEC, 2011). ............................................................................................. 46
Figura 3. 2– Fluxograma das principais considerações físicas e numéricas
envolvidas no MED. ................................................................................... 47
Figura 3. 3 – Natureza entrelaçada do ciclo de calculo utilizado na formulação
dos elementos discretos (manual UDEC, 2011). ........................................ 49
Figura 3.4 – Zoneamento dentro do modelo contendo um sistema de
descontinuidades continua e descontinua (manual UDEC, 2011). ............. 52
Figura 3.5 – Modelo de escorregamento de Coulomb para o comportamento
básico da fratura (Zhang et al, 1999).......................................................... 55
Figura 3.6 – Comportamento da deformação hidráulico- mecânica no MED, a)
pressão do fluido causando efeitos mecânicos; b) deformação do bloco
afetando a apertura hidráulica a; c) fluxo de fluidos afetado pela apertura a,
d) Geração de pressão diferencial do fluido (Zhang et al, 1999). ............... 56
Figura 3.7 – Fluxo nas fraturas modeladas como fluxo entre domínios hidráulicos
(Zhang et al, 1999). .................................................................................... 57
Figura 3.8 – Relação entre apertura hidráulica, a e tensão normal na fratura, σn
(Zhang et al, 1999). .................................................................................... 59
Figura 3.9 – Contato entre dois blocos rígidos (manual UDEC, 2011). .............. 60
Figura 3.10 – Definição dos contatos no MED, a) contato limite de esquina
arredondado, b) interação esquina-esquina (manual UDEC, 2011)........... 60
Figura 3.11 – Contatos e domínios entre dois blocos deformáveis (manual
UDEC, 2011). ............................................................................................. 61
Figura 3. 12 – O software UDEC (Itasca 2011). ................................................. 66
Figura 3. 13 – Janela principal do software UDEC (Itasca, 2011). ..................... 68
Figura 4. 1– Procedimento geral de cálculo na modelagem computacional. ...... 70
Figura 4. 2 – Geometria global para os modelos propostos. .............................. 71
Figura 4. 3 – Geometrias analisadas, a) modelo homogêneo isotrópico, b)
modelo transversalmente isotrópico, c) modelo anisotrópico. .................... 72
Figura 4. 4 – Condições de contorno aplicadas para os casos 10 e 12. ............. 74
Figura 4. 5 – Poropressão atuando nas fraturas para os casos 7 e 8. ............... 75
Figura 4. 6 – Malha de diferenças finitas para os casos 9, 10, 11 e 12. ............. 75
Figura 4. 7 – História da máxima força de desequilíbrio na etapa 1 para o caso 5.
................................................................................................................... 76
Figura 4. 8 – Aplicação da sobre pressão nos contatos ao redor do furo depois
da escavação para os casos 1 até 4. ......................................................... 77
Figura 4. 9 – História da máxima força de desequilíbrio para o caso 9. ............. 77
Figura 4. 10 – Poropressão no estado final de equilíbrio na parede impermeável
no caso 8 e uma pressão da lama de 20 MPa. .......................................... 78
Figura 4. 11 – Poropressão no estado final de equilíbrio para o caso 8 na parede
permeável a uma pressão da lama de 23.5 MPa. ...................................... 78
Figura 4. 12 – Funções FISH para a) obter os elementos plastificados em torno
do furo e b) para obter as fraturas no limite de atrito. ................................. 79
Figura 4. 13 – Elementos plastificados para, a) baixa pressão de 23. 5 MPa e b)
alta pressão de 66 MPa. ............................................................................ 81
Figura 4. 14 – Elementos plastificados para o caso 8, a) pressão de 12 MPa e b)
alta pressão de 60 MPa. ............................................................................ 81
Figura 4. 15 – Elementos plastificados para o caso 12, a) pressão de 24 MPa e
b) pressão de 70 MPa. ............................................................................... 81
Figura 4. 16 – Fraturas no limite de atrito para o caso 7, a) pressão de 12 MPa e
b) pressão de 60 MPa. ............................................................................... 82
Figura 4. 17 – Fraturas no limite de atrito para o caso 12, a) pressão de 24 MPa
e b) pressão de 70 MPa. ............................................................................ 82
Figura 4. 18 – Direção das tensões principais no caso 7 para uma pressão da
lama de 5 MPa. .......................................................................................... 83
Figura 4. 19 – Direção das tensões principais no caso 7 para uma pressão da
lama de 35 MPa. ........................................................................................ 83
Figura 4. 20 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 8 com um peso de lama
nas paredes do poço de 23.5 MPa. ............................................................ 85
Figura 4. 21 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 8 com um peso de lama
nas paredes do poço de 59 MPa. ............................................................... 85
Figura 4. 22 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 12 com um peso de lama
nas paredes do poço de 23.5 MPa. ............................................................ 86
Figura 4. 23 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 12 com um peso de lama
nas paredes do poço de 59 MPa. ............................................................... 86
Figura 4. 24 – Zonas plastificadas a peso da lama de 23.5 MPa e para um
mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700. .......................................... 87
Figura 4. 25 – Fraturas no limite de atrito para um peso da lama de 23.52 MPa e
para um mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700. ............................ 88
Figura 4. 26 – Zonas plastificadas a peso da lama de 59 MPa e para um
mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700. .......................................... 88
Figura 4. 27 – Fraturas no limite de atrito para um peso da lama de 59 MPa e
para um mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700. ............................ 89
Figura 5. 1 – Comparação dos elementos plastificados utilizando o UDEC e o
SEST para o caso 4 e uma pressão de a) 23.5 MPa e b) 63.61 MPa. ........ 92
Figura 5. 2 – Comparação dos elementos plastificados utilizando o UDEC e o
SEST para o caso 7 e uma pressão de a) 11.76 MPa e b) 59 MPa. .......... 93
Figura 5. 3 – Comparação dos elementos plastificados utilizando o UDEC e o
SEST para o caso 12 e uma pressão de a) 23.5 MPa e b) 70.57 MPa. ...... 93
Figura 5. 4 – Tensões principais analíticas atuando ao redor de um poço vertical
para baixas pressões de fluido de perfuração. ........................................... 94
Figura 5. 5 – Tensões principais analíticas e numéricas atuando ao redor do
poço para o caso 4 e uma pressão de 37.6 MPa. ...................................... 95
Figura 5. 6 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do
poço na direção da tensão horizontal mínima para o caso 4 e uma pressão
de 37.6 MPa. .............................................................................................. 95
Figura 5. 7 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do
poço na direção da tensão horizontal máxima para o caso 4 e uma pressão
de 37.6 MPa. .............................................................................................. 96
Figura 5. 8 – Tensões principais analíticas e numéricas atuando ao redor do
poço para o caso 12 e uma pressão de 23.5 MPa. .................................... 96
Figura 5. 9 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do
poço na direção da tensão horizontal mínima para o caso 12 e uma pressão
de 23.5 MPa. .............................................................................................. 97
Figura 5. 10 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do
poço na direção da tensão horizontal máxima para o caso 12 e uma
pressão de 23.5 MPa. ................................................................................ 97
Figura 5. 11 – Distribuição da poropressão longe da parede do poço
impermeável, para o modelo analítico e numérico. .................................... 98
Figura A. 1 – Transformação de tensões num sistema coordenado. ................ 108
Figura A. 2 – Tensões em coordenadas cilíndricas atuando ao redor do poço. 108
Lista de Tabelas
Tabela 1. 1 – Causas de Instabilidade de Poço (McLellan et al, 1994). ............. 20
Tabela 4. 1 – Propriedades geométricas dos modelos propostos. ..................... 72
Tabela 4. 2 – Propriedades da rocha intacta e fratura. ....................................... 73
Tabela 4. 3 – Tensões in situ para os 12 casos propostos. ................................ 74
Tabela 4. 4 – Janela operacional para os casos propostos na parede do poço
impermeável. ............................................................................................. 80
Tabela 4. 5 – Janela operacional para os casos propostos na parede do poço
permeável. ................................................................................................. 84
Tabela 5. 1 – comparação da Janela operacional analítica versus numérica para
os casos propostos na parede do poço impermeável. ................................ 91
Tabela 5. 2 – comparação da Janela operacional analítica versus numérica para
os casos propostos na parede do poço permeável. ................................... 91
Lista Símbolos
a Abertura hidráulica.
α Coeficiente de amortecimento.
C Coesão.
ε Deformação.
F Força.
Aceleração da gravidade.
Velocidade angular.
I Inercia.
Constante de Lamé.
Parâmetro de Kronecker.
Rigidez.
Fator de permeabilidade.
Comprimento do contato.
Massa.
Deslocamento.
Velocidade.
Aceleração.
t Tempo.
Pp poropressão.
Q Vasão.
Tensão efetiva.
Tensão principal maior.
Tensão principal intermedia.
Tensão principal menor.
Tensão tangencial.
Tensão axial.
Tensão radial.
Tensão Horizontal maior.
Tensão Horizontal menor.
Tensão normal.
Tensão Vertical.
Tensão normal na direção do eixo X.
Tensão normal na direção do eixo Y.
Tensão normal na direção do eixo Z.
Tensão de cisalhamento.
Tensão de cisalhamento no plano xy.
Tensão de cisalhamento no plano xz.
Tensão de cisalhamento no plano yz.
Φ Ângulo de atrito.
Volume.
1 Introdução
1.1. Definição do Problema
O mecanismo de perfuração rotativa em um poço de petróleo é resultado da ação
da rotação da broca junto com a força que esta exerce sobre a formação, além da
eficiente limpeza dos cascalhos devido ao fluxo do fluido de perfuração, no entanto,
durante este procedimento há certos problemas principalmente da estabilidade das
paredes do poço que podem dificultar a operação. A tabela 1.1 apresenta as principais
causas de instabilidade, e que são amplamente classificadas em fatores controláveis e
incontroláveis (naturais) em origem (McLellan et al., 1994, Bowes e Procter , 1997; Chen
et al., 1998; Mohiuddin et al., 2001).
Causas de Instabilidade de Poço
Fatores Incontroláveis (Naturais) Fatores Controláveis
Formações naturalmente
fraturadas ou falhadas
Pressão no fundo de poço
(densidade do fluido de perfuração)
Efeito do Tectonismo nas
tensões in situ Inclinação e azimute do poço
Elevadas tensões in situ Transiente de poropressão
Formações móveis Interações físico-químicas da
rocha e fluidos
Formações não consolidadas Vibrações da coluna de perfuração
Colapso de argilas
naturalmente sobrepressurizadas Erosão
Colapso induzido de argilas
sobrepressurizadas Temperatura
Tabela 1. 1 – Causas de Instabilidade de Poço (McLellan et al, 1994).
21
Os mecanismos de instabilidade mais importantes são na realidade quatro e estão
descritos na figura 1.1 (Pasic, 2007). Três de eles são mecânicos (breakouts, famílias de
fraturas naturais com pouco espaçamento e planos de fraqueza, fraturas induzidas pela
perfuração) e um de eles é químico (atividade química). De acordo com a figura 1.1 o
50% dos mecanismos mais comuns decorrem da presença de fraturas das fraturas, o que
justifica a necessidade da compreensão do comportamento físico deste tipo de rochas.
Figura 1. 1– Os quatro mecanismos mais importantes de instabilidade de poço
(Pasic, 2007).
Neste trabalho será analisada a influencia das descontinuidades de formações
naturalmente fraturadas na estabilidade de poço. A rocha nessas zonas pode-se romper
em pequenas porções e se desprender da parede do poço, pudendo causar diferentes
problemas operacionais como, por exemplo, a prisão da coluna de perfuração (Nguyen et
al., 2007). Além disso, é possível o desprendimento de blocos da rocha no interior do
poço por causa da vibração ou impacto do conjunto de fundo de poço (BHA, Bottom-Hole-
Assembly) contra as paredes do poço, conforme apresentado esquematicamente na
Figura 1.2. As vibrações na coluna devem ser minimizadas para ajudar a estabilizar essas
formações (Bowes e Procter, 1997).
A severidade dos problemas do colapso do poço em formações fraturadas depende
principalmente da orientação destas feições relativamente ao poço e ao estado de
tensões. Os sistemas de fraturas naturais podem ainda fornecer um conduto para a
22
invasão do fluido de perfuração e alterar a estabilidade destas descontinuidades, bem
como promover a degradação das propriedades de resistência da superfície.
Figura 1. 2– Perfuração através de formações fraturadas (Pasic, 2007).
1.2. Motivação
A motivação deste trabalho consiste em entender os mecanismos ignorados na
análise de estabilidade de poço convencional em formações fraturadas, por meio de uma
modelagem hidromecânica acoplada, empregando o método dos elementos discretos.
Este tipo de modelagem permite determinar, de uma forma mais realista, as pressões de
fratura e de colapso em um maciço rochoso fraturado, e consequentemente, diminuir o
impacto da presença de fraturas sobre estabilidade de poços, por meio de
recomendações no ajuste de parâmetros de propriedades do fluido de perfuração tais
como a densidade, filtrado e viscosidade.
1.3. Objetivos
O objetivo principal do presente trabalho é:
Desenvolver uma metodologia computacional de perfuração de poços de petróleo
em meios fraturados por meio do método dos elementos discretos (MED), aplicado
23
a uma analise 2D, mediante o uso do software UDEC (Universal Distinct Element
Code).
De modo a atingir este objetivo, a presente dissertação considera as seguintes
etapas de trabalho:
1. Realizar uma revisão de conceitos fundamentais da mecânica de rochas como:
Estado de tensões tridimensional no maciço e simplificações de estados planos
bidimensionais, relações constitutivas do material, tensões in situ, poropressão e
critérios de ruptura (Mohr Coulomb, Critério da Tração).
2. Entender a metodologia de perfuração de poços de petróleo em meios
homogêneos-isotrópicos por métodos convencionais.
3. Compreender os principais modelos constitutivos para descontinuidades como, por
exemplo, os de: Jaeger e Cook, Patton, Barton.
4. Revisar os principais artigos publicados em estabilidade de poços de petróleo em
meios fraturados utilizando critérios analíticos e o MED.
5. Entender e usar o software UDEC para as aplicações dos casos analise; isto inclui
o entendimento da linguagem de programação Fish.
6. Comparar a metodologia de perfuração de poços de petróleo em meios
homogêneos-isotrópicos e transversalmente-isotrópicos com a metodologia
desenvolvida para rochas fraturadas, analítica e numericamente.
1.4. Estrutura do Texto
Antes de compreender o comportamento hidromecânico de uma rocha fraturada
utilizando o método dos elementos discretos, será primeiro necessário realizar uma
revisão biobibliográfica dos principais trabalhos desenvolvidos nesta área além de alguns
conceitos fundamentais os quais são descritos no capitulo dois. O terceiro capítulo
apresenta a teoria fundamental dos elementos discretos envolvendo o efeito
hidromecânico associado e também uma introdução ao software UDEC. O capitulo quatro
esta encargado de estudar o impacto das principais variáveis no comportamento da
estabilidade de poço mediante a modelagem computacional. No capitulo cinco são
comparados os resultados analíticos e numéricos de janela operacional. Finalmente no
capitulo seis são apresentadas as conclusões e recomendações da pesquisa.
2 Revisão Bibliográfica
A modelagem de estabilidade de poços de petróleo em meios fraturados é
convencionalmente realizada utilizando procedimentos que são baseados em tensões
atuantes em um sistema continuo, junto com um modelo constitutivo apropriado só para a
presença de uma família de fraturas, suposições que muitas vezes não fornecem
resultados satisfatórios. Na primeira parte deste capítulo será apresentada uma sucinta
introdução da modelagem analítica convencional de estabilidade de poços tanto para
meios contínuos quanto para meios fraturados; posteriormente, será apresentado um
panorama geral tanto da modelagem analítica quanto da modelagem numérica de
estabilidade de poços em formações fraturadas.
2.1.Modelagem Analítica Convencional da Janela Operacional de Poços em Formações Intactas e Fraturadas
A principal ferramenta que possui o engenheiro para evitar os problemas de
instabilidade de poços é a densidade do fluido de perfuração. Se a densidade é muito
baixa as paredes do poço se derrubam ou colapsam produzindo uma ruptura por
cisalhamento, este tipo de ruptura se conhece como ruptura por colapso inferior, e por o
contrario, se a densidade é muito alta as paredes do poço se abrem ou fraturam
produzindo uma ruptura por tração, este tipo de ruptura se conhece como ruptura por
colapso superior conforme apresentado esquematicamente na Figura 2.1. Onde Pw é a
pressão da lama de perfuração nas paredes do furo, σH é a tensão horizontal máxima, σh
é a tensão horizontal mínima, σ’1 é a tensão principal efetiva maior, σ’3 é a tensão
principal efetiva menor. Assim, para evitar problemas operacionais tão graves como:
elevada produção de cascalhos (colapso inferior) e perda do fluido de perfuração (colapso
superior) o peso da lama deve estar em um intervalo viável para que não ocorra nenhum
dos dois tipos de ruptura (Figura 2.2) este intervalo é conhecido como “janela operacional
de perfuração”.
25
Figura 2. 1 – Ilustração dos tipos de ruptura na parede do Poço, a) por Tração e b)
por Cisalhamento (Modificado, Fjaer, 2008).
Figura 2. 2– Efeito do incremento do peso da lama na parede do poço (Pasic, 2007).
Incremento da densidade do fluido de perfuração
Janela Operacional
Poropressão
Ruptura por cisalhamento Ruptura por Tração
Ruptura por Cisalhamento
Tensão Horizontal
Ruptura por cisalhamento
Ruptura por
Tração
Ruptura por cisalhamento
Argila Mole
Argila Frágil
σ’1
σ’1
σ’3 σ’3
σ’3
σ’3
a b
26
Para realizar o calculo da janela operacional utilizando uma modelagem analítica
convencional de estabilidade de poços, é realizado primeiro a determinação das tensões
principais efetivas atuando na rocha ao redor do poço; posteriormente, é avaliado se a
rocha é estável ou instável por meio de um modelo de falha da rocha (Mohr Coulomb) e,
finalmente, são determinadas a pressões de colapso inferior (limite inferior da janela) e
colapso superior (limite superior da janela). Portanto, a modelagem analítica irá a
depender das propriedades mecânicas da rocha, as quais, por sua vez, dependem do
modelo constitutivo utilizado, da poropressão, das tensões in situ e da inclinação e o
azimute do poço.
Salienta-se que a diferença entre a modelagem analítica de meios contínuos e a
modelagem analítica em meios fraturados radica no modelo constitutivo utilizado em cada
caso. A figura 2.3 apresenta graficamente como é gerado o modelo mecânico
convencional de estabilidade de poço.
Figura 2. 3 – Modelo de estabilidade mecânico analítico da rocha em torno do poço.
Tensões efetivas em torno do furo de perfuração
Modelo Constitutivo: • Cisalhamento • Tração
Janela Operacional de lama
Modelo de Estabilidade Mecânico da Rocha em torno do Poço
Condições de tensão no subsolo terrestre
Propriedades de resistência do material
Tensões efetivas Poropressão
27
Kirsch (1898) desenvolveu a solução analítica das tensões atuando ao redor de uma
cavidade cilíndrica, que é a base para uma serie de métodos de analise de estabilidade
analítica, estas equações são apresentadas no apêndice A.
A seguir será apresentado um breve resumo dos principais modelos constitutivos
utilizados na modelagem analítica convencional de meios fraturados.
Modelagem analítica de descontinuidades 2.1.1.
Patton (1966) apresenta um modelo em que o aumento da resistência ao
cisalhamento das descontinuidades se deve à existência das rugosidades nas superfícies.
Este efeito foi levado em consideração em superfícies rugosas idênticas de forma
triangular, e somente após a ruptura destas rugosidades ocorrera deslizamento pela
superfície da descontinuidade.
O modelo de Ladanyi e Archambauldt (1970) leva em consideração as contribuições
da superfície que é cisalhada (as), do atrito (Φ) e da dilatância (v), na resistência ao
cisalhamento das descontinuidades. Em geral os parâmetros de as Φ e v não são de fácil
determinação; Ladanyi e Archambauldt, com a experiência obtida em grande número de
ensaios de cisalhamento se superfícies rugosas, propõem relações empíricas para o
calculo desses parâmetros.
Jaeger (1971) apresenta um modelo de uma rocha que possui uma família de
planos de fraqueza inclinados um ângulo β com a horizontal. Este modelo constitutivo é
baseando no critério de Mohr Coulomb, sendo possível assinar umas propriedades
diferentes de coesão (Cw) e ângulo de atrito (ϕw), a cada família de planos. Por
conseguinte, para determinadas inclinações da família de planos de fraqueza haverá uma
determinada resistência ao cisalhamento da rocha. No caso de haver mais de uma
descontinuidade, os efeitos delas se superpõem. Deste modo a faixa de valores do ângulo
β para os quais pode ocorrer deslizamento aumenta.
Hoek e Brown (1980) com base em resultados experimentais de uma série de
ensaios sobre rochas publicados na literatura propuseram uma função potência para a
condição de ruptura, que pode também ser aplicada a rochas anisotrópicas e fraturadas.
Dentro dos critérios de ruptura disponíveis, o de Hoek e Brown é o único que leva em
consideração a resistência da rocha intacta e do maciço rochoso.
O critério de Barton Bandis (1983) foi desenvolvido com base em inúmeros estudos
experimentais em juntas naturais e artificiais, estes trabalhos iniciais foram aperfeiçoados
28
ate chegar a uma equação empírica para a resistência ao cisalhamento de pico das
juntas, conhecida como critério de Barton-Bandis. Este critério não admite tração e é
função de quatro parâmetros de caracterização das juntas que podem ser medidos em
laboratório ou campo.
2.2.Panorama da Modelagem Analítica de Estabilidade de Poços em Formações Fraturadas
A seguir são apresentados os principais trabalhos aplicados a casos reais na
modelagem analítica de estabilidade de poços em formações fraturadas.
Last et al. (1995) apresentam um caso estudo de problemas de instabilidade de
poço no campo Cusiana (Colômbia) localizado em uma região com tectonismo em
atividade. Last et al. (1995) sugerem que o bolo do fluido de perfuração na parede do
poço atrasa a invasão do fluido através da fratura, além da difusão da poropressão dentro
das fraturas reduzindo os problemas de instabilidade. Last et al. (1995) também indicam
que em uma situação geológica complexa de instabilidade de poço que não responde a
tratamentos convencionais é necessário integrar dados de campo, modelos e
experiências multidisciplinares para obter uma solução prática.
McLellan et al. (1996) baseados em estudos de laboratório, campo e modelagem
surgirem que só a densidade do fluido de perfuração não pode reduzir os problemas de
colapso em argilas. O modelo constitutivo utilizado em seus estudos foi o de Hoek e
Brown. McLellan et al (1996) estipulam que entre maior seja a densidade do fluido de
perfuração especialmente em argilas laminadas, fraturadas ou moles, poderá resultar em
uma elevada poropressão causando uma redução nas tensões efetivas na parede do
poço e assim uma redução da resistência. McLellan et al (1996) também indicam que
uma maior eficácia do fluido de perfuração base óleo poderia estar limitada em formações
fraturadas de argila e carvão.
Willson et al. (1999) analisam o efeito da presença de planos de fraqueza na
perfuração de poços de petróleo no campo Pedernales (Venezuela) e no campo Cusiana
(Colômbia). Esta análise foi realizada em uma profundidade especifica, utilizando o
critério de Jaeger (1971). Willson et al. (1999) verificaram que a janela operacional nestes
29
campos é afetada pela rotação de tensões que pode existir devido à presença das
fraturas. A partir dos resultados obtidos na anterior modelagem com relação à pressão de
colapso, foi verificado que existem direções preferenciais nas quais as pressões do fluido
de perfuração necessárias para garantir a estabilidade do poço são menores. Destaca-se
que essas direções são perpendiculares à orientação da família de fraturas.
Edwards et al. (2002) apresentam um caso estudo de instabilidade de poço no golfo
de México. Neste trabalho não foi realizado nenhuma avaliação numérica, mas sim
identificados os principais mecanismos de instabilidade através do analise com perfis de
imagem e monitoramento de cascalhos. As principais recomendações deste trabalho
foram: duas formas de instabilidade podem ocorrer no mesmo poço devido à falha da
rocha intacta ou ao deslizamento dos planos de fraqueza, incrementar o peso do fluido de
perfuração evita a o colapso inferior, mas agrava o modo de colapso superior. O
monitoramento com perfis de imagem e cascalhos melhora o entendimento da
instabilidade de poço.
Gallant et al. (2007) analisam a estabilidade de poço a elevadas inclinações através
de argilas fraturadas no campo Terra Nova. Um modelo de planos de fraqueza utilizando
o modelo de Jaeger foi implementado com o objetivo de levar em consideração a
laminação da argila. O modelo utiliza parâmetros que são obtidos por testes triaxiais a
vários ângulos com respeito ao mergulho. Monitoramento em tempo real assim como
dados de perfilagem foram as ferramentas utilizadas para identificar as seções instáveis e
assim a causa raiz das instabilidades. As principais recomendações deste estudo foram:
1) a densidade do fluido de perfuração deve-se manter baixa para evitar a pressurização
das fraturas, 2) Mudanças na inclinação e azimute do poço podem produzir estados
desfavoráveis de tensão ao redor do poço afetando a resistência da rocha fraturada.
Nguyen et al. (2009) apresentam um estudo de instabilidade de poço em formações
fraturadas e ativas quimicamente no golfo de Arábia. O modelo constitutivo utilizado foi o
de Jaeger junto com um modelo poroelástico de dupla porosidade e dupla
permeabilidade. Neste estudo uma solução poro mecânica de poço inclinado tem sido
derivada para incluir a dependência com o tempo. Na modelagem conclui-se que os
problemas de estabilidade de fraturas agravam-se com o tempo de poço aberto, exposto
ao fluido de perfuração.
Nguyen et al. (2010) analisa em tempo real a instabilidade de poço em formações
fraturadas no campo Phu Horm na Tailândia. O modelo utilizado foi o de Jaeger e Mohr
Coulomb, junto com uma analise poroelástica de dupla porosidade e dupla
30
permeabilidade. Através do analise é revelado que a analise convencional elástico de
Mohr Coulomb não é conveniente na modelagem prevendo um peso maior do fluido de
perfuração na operação. A analise de dupla porosidade foi mais conservativo ao calcular
o peso do fluido de perfuração, pela incorporação das fraturas. A analise esteve de
acordo com as observações no campo. Portanto esta solução é útil na predição da
alteração das tensões efetivas dependendo do tempo e os efeitos na janela operacional
ao ser comparado com os valores para rochas intactas.
Ottesen (2010) analisam um incidente relacionado à instabilidade de poço em
formações fraturadas. Um testemunho de rocha foi obtido em um intervalo de argila
fraturada. Este intervalo foi identificado utilizando o scanner CAT e perfil de imagem. Uma
serie de testes triaxiais foram realizados para caracterizar as propriedades mecânicas e
resistência ao cisalhamento da argila. O modelo de Hoek e Brown foi utilizado. Os
resultados sugeriram que a capacidade de selo da fratura deve ser aumentada para
diminuir a invasão de fluidos na rede de fraturas. A resistência residual determinada com
os testes de laboratório é a medida mais representativa da resistência da rocha fraturada.
Se na pratica o peso do fluido de perfuração é insuficiente para melhorar a estabilidade do
poço em uma família de fraturas, o ângulo de ataque deve ser incrementado através de
outra orientação do poço.
Lang et al. (2011) realizaram um estudo sobre perfuração em tempo real em
formações fraturadas e reservatórios esgotados. Eles surgirem que a solução dos
problemas de instabilidade não só esta em melhorar o modelamento de estabilidade de
poço associado às fraturas, anisotropia da rocha e o esgotamento da pressão, mas
também tendo em conta seu impacto sobre as tensões horizontais. Os anteriores fatores
foram considerados no modelamento em um caso estudo no golfo de México. Foram
realizados testes de laboratório para a determinação das propriedades mecânicas, para
assim utilizar o modelo de Jaeger. As tensões atuando ao redor do poço foram calculadas
utilizando as equações de Kirsch. Baseado no modelamento realizado se recomenda na
perfuração da rocha fraturada um determinado peso do fluido de perfuração, atingido o
objetivo com segurança. Monitoramento em tempo real foi aplicado para atualizar o
modelo de estabilidade.
Hemphill (2012) analisa o comportamento de argilas fraturadas durante a perfuração
de poços. Para realizar a modelagem foi utilizado o modelo de Jaeger e as tensões de
Kirsch. As principias recomendações foram: 1) as instabilidades são o resultado de
flutuações na pressão no poço sendo resultado das pressões diferenciais entre a
31
densidade estática e a densidade de circulação, 2) Qualquer modelamento de
estabilidade devera utilizar a resistência residual das argilas e não a resistência intacta e
3) Uma efetiva gestão da pressão do poço reduzira o risco associado à perfuração de
zonas fraturadas.
2.3.Panorama da Modelagem Numérica de Estabilidade de Poços em Formações Fraturadas
A seguir são apresentados os principais trabalhos aplicados na modelagem
numérica de estabilidade de poços em formações fraturadas utilizando o método dos
elementos discretos, método que será discutido com mais detalhe no capitulo 3.
Santarelli et al. (1992) apresentam uma avaliação de instabilidade de poço em um
caso real. A perfuração deste poço foi realizada em três tentativas baseados na escolha
de três parâmetros do fluido de perfuração: a densidade, a viscosidade marsh e o filtrado.
A solução ótima de perfuração foi diminuir a densidade do fluido de perfuração, aumentar
a viscosidade e a diminuir o filtrado. A figura 2.4 apresenta os perfis destes parâmetros na
profundidade.
32
Figura 2. 4 – Parâmetros de perfuração durante as três tentativas de perfuração em
um poço de petróleo em camadas fraturadas vulcânicas (Santarelli et al, 1992).
Para reproduzir e entender porque as duas primeiras tentativas de solução foram
mal sucedidas, foi realizado um modelo de estabilidade utilizando o método dos
elementos discretos mediante o software UDEC. As propriedades mecânicas foram
calculadas pelo analise de um testemunho de rocha na profundidade de 4040 m. O
modelo constitutivo utilizado para a fratura foi o modelo de escorregamento de Coulomb e
para a rocha intacta o modelo de Mohr Coulomb. As tensões in situ foram calculadas: σH
=30.7 MPa (Elasticidade lineal), σh =21.2 MPa (Leak Off Test) e σV =45 MPa (perfil de
densidade). Foi assumido um modelo 2D de duas famílias de fraturas ortogonais para
cinco mergulhos diferentes (00, 200, 450, 700 e 900) utilizado um espaçamento de 5 mm,
este valor foi observado nos testemunhos. Os principais resultados na modelagem da
parede de poço impermeável foram: Para baixas densidades da lama de perfuração (1.2
g/cm3=8 MPa) as direções das tensões principais em torno do poço tendem a coincidir
com a direção da família de fraturas e não com as direções das tensões de Kirsch. Na
medida em que o peso do fluido de perfuração aumenta (figura 2.5) os problemas de
instabilidade diminuem, coisa que não acontece com as observações realizadas no
campo, pelo que a infiltração do fluido de perfuração deve ser levada em consideração.
Densidade (g/cm3)
Vis. Marsh (seg)
Filtrado API (cm3)
Prof (m)
Densidade (g/cm3)
Vis. Marsh (seg)
Vis. Marsh (seg)
Filtrado API (cm3)
Filtrado API (cm3)
Densidade (g/cm3)
Mudança para o fluido base óleo
1a Tentativa:
Fluido base-água
2a Tentativa: Fluido base-água e
depois lama base-óleo
3a Tentativa: Fluido base-óleo
Arg
ilit
o S
ilic
ific
ad
o
To
ba
s e
Ba
salt
os
33
(a) (b) (c)
Figura 2. 5 – Comportamentos das fraturas na modelagem, a) Aberturas das
fraturas para uma densidade do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3, b) Aberturas das
fraturas para uma densidade do fluido de perfuração de 1.7 g/cm3, c) Deslocamento
cisalhante ao longo das farturas para um mergulho de 450 e 1.7g/cm3. (Santarelli et al,
1992).
No caso da modelagem da parede de poço permeável foi observado que quando a
densidade da lama aumenta a taxa de fluxo nas fraturas é maior (figura 2.6a). Para uma
densidade de 1.3 g/cm3 a taxa de fluxo pela rede fraturas é quatro vezes maior que para
uma densidade de 1.2 g/cm3. Outra consequência da penetração do fluido na rede de
fraturas é que a tensão normal efetiva sobre as fraturas é muito menor e que as aberturas
das fraturas tornam-se consideravelmente menores quando o reboco é perfeitamente
impermeável (figura 2.6b). O atrito aplicado sobre os blocos começa a diminuir e os
blocos começam a se perder o que os torna mais propensos a ser erodidos da parede do
poço pela circulação.
34
(a) (b)
Figura 2. 6 – Fluxo de fluido nas fraturas, a) Taxa de fluxo através das fraturas com
mergulho de 450 e densidade do fluido de 1.2 g/cm3 e 1.3g/cm3, b) abertura das Fraturas
quando o mergulho é 200 e a densidade 1.2g/cm3. (Santarelli, 1992).
Os mecanismos anteriores podem ser utilizados para explicar os dados de campo,
como o aumento de densidade do fluido de perfuração sendo nesse caso, o fator
desestabilizante. De um ponto de vista pratico a estratégia usada com sucesso para
perfurar um poço consiste em especificar o fluido e adaptar a taxa de circulação a uma
menor de velocidade de fluido na parede do poço e ainda assegurar a lubrificação e
resfriamento da broca.
Zhang et al. (1999) descrevem os resultados de uma serie de analises numéricos na
estabilidade de poço utilizando o software UDEC. Foram utilizados duas geometrias, a
primeira em um domínio quadrado de 2.5x2.5m contendo duas famílias de fraturas
ortogonais e inclinadas 150 com a horizontal, a segunda num domínio circular de raio 1.25
m com fraturas aleatoriamente espaçadas. O modelo constitutivo utilizado para as fraturas
foi o modelo de atrito de Coulomb e para a rocha intacta o modelo de Mhor Coulomb. As
propriedades mecânicas e tensões in situ foram tomadas como valores típicos de uma
rocha fraturada tipo arenito, em uma profundidade de 3000 m.
Zhang et al (1999), bem como Santarelli et al (1992), analisa a estabilidade quando
a parede do poço é impermeável ou permeável. Para o caso da parede impermeável se
Reboco perfeito
Sem reboco
35
pode observar que quando a diferença entre as tensões in situ horizontais é maior, mais
elementos são cisalhados na direção da tensão horizontal mínima (figura 2.7).
Ocasionalmente fraturas conectadas na face do poço resultaram em blocos instáveis que
caem na direção da tensão horizontal máxima.
Figura 2. 7 – Contornos de cisalhamento depois da escavação para a geometria
circular e uma pressão do fluido de perfuração de 10 MPa, a) σh =45 MPa, σH = 45 MPa,
b) σh =45 MPa, σH = 67.5 MPa, c) σh =45 MPa, σH = 90 MPa, (Zhang et al ,1999).
Quando são comparadas as tensões in situ no modelo numérico com as tensões do
meio continuo de Kirsch, pode se observar que na parede do poço a tensão radial
apresenta resultados semelhantes, mas a tangencial não, devido ao efeito da livre
movimentação dos blocos de rocha sendo muito maior nestas zonas. A figura 2.8
apresentam os resultados destas tensões analíticas e numéricas longe da face do poço
para um caso da geometria quadrada.
36
Figura 2. 8 – Comparação dos resultados do modelamento analítico e numérico
para σh =45 MPa, σH = 67.5 MPa (Zhang et al ,1999).
No caso da parede do poço permeável é observado que quando uma tensão
diferencial é aplicada, as fraturas alinhadas com a tensão horizontal mínima estão mais
fechadas, comparadas com as mesmas na tensão horizontal mínima. Isto resulta em um
grande fluxo de fluidos anisotrópico em torno da área da face do poço como
consequência da abertura da fratura e a taxa de fluxo (figura 2.9).
Figura 2. 9 – Taxas de fluxo através das fraturas para uma pressão do fluido de
perfuração de 10 MPa a) σh =45 MPa, σH = 45 MPa; a máxima taxa de fluxo é 0.04 m2/s b)
σh =45 MPa, σH = 67.5 MPa; a máxima taxa de fluxo é 0.033 m2/s c) σh =45 MPa, σH = 90
MPa; a máxima taxa de fluxo é 0.032 m2/s (Zhang et al ,1999).
37
Chen et al. (2003) teve como objetivo pesquisar a influencia das fraturas no maciço
rochoso, em particular o impacto da infiltração do fluido de perfuração nas fraturas e as
tensões in situ sobre a estabilidade de poço. Uma geometria quadrada de 3X3 m
contendo duas famílias de fraturas a diferentes orientações e diferentes valores de
tensões in situ foram analisadas. O modelo constitutivo utilizado para as fraturas foi o
modelo de escorregamento de Coulomb e para a rocha intacta o modelo de Mohr
Coulomb. As propriedades mecânicas e tensões in situ foram tomadas como valores
típicos de uma rocha fraturada tipo argila, em uma profundidade de 2000 m.
Neste trabalho foi analisada a estabilidade da parede de poço impermeável e a
parede permeável. No caso da analise na parede de poço impermeável foi observado que
quando o mergulho era de 450 as máximas tensões de cisalhamento nas fraturas foram
apresentadas, de modo que os deslocamentos na parede do poço foram maiores, e assim
como consequência as maiores possibilidades de blocos de rocha caíam no poço. Este
deslocamento é maior quando a diferença das tensões in situ aumenta. Portanto as
tensões in situ e o padrão de fraturas são um fator dominante no comportamento do
maciço rochoso. Neste tipo de analise foi admitida a geração da poropressão devido à
compressibilidade do fluido. A mudança deste valor ocorreu só na parede de poço
impermeável devido a que não foi permitida a dissipação da poropressão, valor que
dependente do deslocamento do sistema de blocos. Na analise da parede de poço
permeável foi considerada uma função de redução de ângulo de atrito à medida que a
infiltração da lama ocorria nas fraturas. O efeito desta consideração teve um significativo
impacto na estabilidade durante a perfuração. A influencia é maior quando as tensões in
situ aumentam. Portanto é critico incluir o mecanismo de redução de ângulo de atrito nas
fraturas para tais rochas. A figura 2.10 apresenta os deslocamentos na parede de poço
permeável e impermeável assim como as fraturas no limite de atrito com e sem a redução
do ângulo de atrito, para um dos casos de estudo.
38
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2. 10 – Resultados da modelagem para o caso 2, a) parede impermeável
com vetores de deslocamento e mudanças na poropressão (linha espessa), b) parede
permeável com vetores de deslocamento e mudanças na poropressão (linha espessa), c)
parede permeável com ângulo de atrito constante e com as fraturas no limite de equilíbrio
e d) parede permeável com redução do ângulo de atrito e com as fraturas no limite de
equilíbrio (Chen et al, 2003).
Yamamoto et al. (2002) apresenta um estudo real de estabilidade de poço em um
campo offshore no Japão, utilizando o software UDEC. Este estudo foi motivado pela não
correta explicação dos analises convencionais de estabilidade em problemas como:
grande quantidade de cascalho observado nas peneiras no retorno do fluido
simultaneamente com perda de circulação, o incremento da densidade do fluido de
perfuração não fornece resultados satisfatórios, e as direções do breakout com o perfil
Caliper variam com a profundidade. A rocha problemática foi uma argila em uma
profundidade de 2000 m. O modelo constitutivo utilizado para as fraturas foi o modelo de
atrito de Coulomb e para a rocha intacta o modelo lineal elástico sem critério de ruptura.
As propriedades mecânicas da fratura foram calculadas por testes de cisalhamento direto,
39
perfis de poço e analise cascalhos. A geometria do modelo foi quadrada em um domínio
de 3.2x3.2 m contendo só uma família de fraturas a diferentes orientações.
Diferentes pesos de fluido de perfuração, diferentes condições de tensões in situ e
diferentes mergulhos dos planos de fraqueza são considerados na modelagem. O efeito
do mergulho das fraturas é aumentar ou diminuir a tensão de cisalhamento nas fraturas
tal como é apresentado na figura 2.11 para a parede de poço permeável. O resultado de
incrementar o peso do fluido de perfuração é incrementar a tensão de cisalhamento e o
deslocamento (figura 2.12). Quando foi considerada a parede impermeável a poropressão
na parede do poço é suprimida. O deslocamento de cisalhamento ao redor do poço é
menor no caso impermeável que no caso permeável.
Figura 2. 11 – Máxima tensão e deslocamento de cisalhamento ao redor do poço
versus mergulho da família de fraturas (Yamamoto et al, 2002).
Mergulho da família de fraturas (graus)
Te
ns
ão
(M
Pa
)
Ma
x d
es
lo d
e c
isa
lha
men
to (
mm
)
40
Figura 2. 12 – Máximo deslocamento de cisalhamento ao redor do poço versus peso
do fluido de perfuração (Yamamoto et al, 2002).
Nicolson & Hunt (2004) apresentam um estudo de estabilidade de poço enfocado ao
carregamento e descarregamento da pressão do fluido de perfuração nas paredes do
poço, em um campo no mar do norte na Noruega. Este estudo foi realizando
empregando-se o software UDEC. As propriedades mecânicas da rocha foram obtidas por
testes triaxiais em um testemunho de argila calcaria. O modelo constitutivo utilizado para
as fraturas foi o modelo de atrito de Coulomb e para a rocha intacta o modelo de Mhor
Coulomb. As tensões in situ foram calculadas mediante testes LOT (Leak off Test), ELOT
(Extended Leak off Test), e perfil de densidade, utilizando uma técnica chamada de
“inversão” (Aadnoy, 1990). A poropressão foi assumida a ser hidrostática. A geometria
das fraturas foi obtida pelo método de Voronoi, que fornece uma geometria aleatória. A
anterior suposição foi realizada pela falta de detalhe com os perfis de imagem.
Dois modelos de carregamento e descarregamento de pressão no poço foram
realizados, o primeiro foi de 27.5 até 26 MPa e o segundo de 20.5 até 22.2 MPa. As
recomendações para este trabalho foram: 1) o carregamento cíclico incrementa o dano no
poço 2) Os sistemas do fluido e métodos de perfuração que minimizam a variação da
pressão devem ser recomendados, 3) Outros efeitos da invasão do fluido no poço devem
ser considerados, como o efeito termal cíclico que pode ter algum impacto na
estabilidade, 4) O efeito químico é outro que deve ser considerado em particular para
definir a relação dos efeitos de salinidade e osmose. A figura 2.13 apresenta o
deslocamento no tempo na direção das tensões horizontais conforme o carregamento
cíclico é aplicado. As zonas falhadas ao final do carregamento cíclico são apresentadas
Peso do Fluido (SG)
Ma
x d
es
loc
am
en
to (
mm
)
41
em azul (figura 2.13c), estas zonas estão na direção da tensão horizontal mínima, zonas
onde são apresentadas as máximas tensões tangenciais segundo as equações de Kirsch.
(a) (b)
(c)
Figura 2. 13 – a) deslocamentos na direção x, b) deslocamentos na direção y, c)
zonas colapsadas no poço (zonas em azul) (Nicolson & Hunt, 2004).
Willson et al. (2007), descrevem alguns novos desenvolvimentos no entendimento
teórico e capacidade preditiva da falha da rocha ao redor de poços perfurados a elevados
ângulos em camadas contendo uma família de planos de fraqueza. Este estudo foi
realizado no campo Niakuk na Alaska. Uma comparação entre os métodos convencionais
A B
C
42
de estabilidade de poço e o método dos elementos discretos mediante o uso do software
Rockfiel foi realizada. A rocha problemática foi uma argila em uma profundidade de 2000
m. As propriedades mecânicas foram calculadas utilizando perfis de poço, testes de
laboratório e dados em tempo real. O modelo constitutivo utilizado para as fraturas foi o
modelo de atrito de Coulomb e para a rocha intacta o modelo de Mohr Coulomb. As
tensões in situ foram assumidas como valores meios nessas profundidades. O estudo foi
realizado em um poço horizontal paralelo ao mergulho dos planos de fraqueza.
As principais recomendações deste estudo foram: evitar atravessar falhas em um
ângulo oblíquo, que vai deixar o plano de falha exposto por uma distancia significativa ao
longo do caminho do poço. Considerar o potencial impacto da dependência do tempo e
efeitos de fadiga cíclicos afetando gradativamente a estabilidade do poço. Deve-se
considerar o possível impacto da profundidade da agua ou mudanças na elevação do
terreno nos gradientes de poropressão e fratura. Predições 2D e 3D da poropressão e
gradientes de fratura são necessárias nessas circunstancias. A figura 2. 14 e figura 2.15
apresentam alguns resultados do colapso para os modelos convencionais analíticos, e o
modelo de fraturas de elementos discretos.
(a) (b)
Figura 2. 14 – Predições analíticas de dano ao redor do poço, a) modelo
homogêneo isotrópico, b) modelo transversalmente isotrópico (Willson et al, 2007).
43
Figura 2. 15 – Predições numéricas de estabilidade de poço utilizando o modelo de
elementos discretos (Willson et al, 2007).
Sagong et al. (2011) realizaram uma pesquisa numérica e experimental da
influencia do mergulho de uma família de planos de fraqueza sob o comportamento de
deslizamento ao redor de um furo. A rocha fraturada foi uma mistura de cimento e fraturas
artificiais com mergulho de 300, 450 e 600. Foi utilizado o software PFC para modelar o
comportamento do modelo de fraturas. Um carregamento biaxial de compressão foi
aplicado. Durante a compressão foram geradas fraturas por tração as quais são visíveis e
progressivas ao redor do poço. As fraturas propagaram na direção quase normal à
superfície da fratura. Das observações foi postulado que a geração de fraturas por tração
é afetada pela geometria não simétrica da rocha. Geração de blocos removíveis foi
observada. A analise mostra que sobre um baixo ângulo de mergulho uma geração
progressiva de fraturas por tração é observada em relação a mergulhos maiores. A
interação entre fraturas por tração e cisalhamento no agente cimentante da rocha e na
área das fraturas reflete o grau de carregamento que foi transferido da tensão normal à
tensão de cisalhamento ao longo das fraturas. O modelo constitutivo de contato usado
para os calculo foi o modelo de Hoek e Brown. A figura 2.16 e figura 2.17 apresentam a
zonas de falha e assim como os deslocamentos no modelo experimental e o modelo
numérico.
44
Figura 2. 16 – Comportamentos da rocha durante o carregamento biaxial, para
mergulhos de a) 300(foto ampliada), a) 300(detalhe), a) 450, a) 600 (Sagong et al ,2011).
(a) (b)
(c)
Figura 2. 17 – Orientação e magnitude dos deslocamentos das esferas ao redor do
furo para um orientação de a) 300, b) 450 e c) 600(Sagong et al ,2011).
3 O Método dos Elementos Discretos (MED) para Rochas Fraturadas
Este capítulo apresenta os conceitos básicos do método dos elementos
discretos (MED), começando com uma breve descrição do método, junto com as
principais considerações físicas e numéricas. Ao final do capitulo é apresentado
o software UDEC (Universal Distinct Element Code), o qual corresponde ao
software utilizado na modelagem de estabilidade de poço nesta dissertação.
3.1.Que é o MED?
O MED é um método numérico que foi desenvolvido por Cundall, 1971
com o objetivo de modelar o comportamento mecânico, hidráulico e térmico de
um maciço rochoso fraturado, quando os modelos tradicionais do meio continuo
não forneciam resultados satisfatórios. No MED o maciço rochoso é
representado por uma associação de blocos discretos (figura 3.1), e avaliar a
interação entre estes promovida pela aplicação de forças ou deslocamentos. As
fraturas simulam as condições de contorno e interfaces entre cada bloco de
rocha intacta. Os blocos de rocha podem ser rígidos ou deformáveis, e as
rotações nos blocos são permitidas. No caso de blocos deformáveis estes
podem ser discretizados por diferenças finitas e caracterizados por modelos
constitutivos elásticos ou elastoplásticos. As forças de contato e deslocamentos
nas interfaces de uma montagem de blocos são calculadas através de uma serie
de equações que definem o movimento dos blocos. Os movimentos resultam da
propagação através do sistema de blocos dos distúrbios causados pelos
carregamentos aplicados ou forças de corpo. Este é um processo dinâmico no
qual a velocidade de propagação depende das propriedades físicas do sistema
discreto.
46
Figura 3.1 - Perfuração de um poço em um maciço rochoso fraturado
(manual UDEC, 2011).
O MED possui duas características que o distinguem dos métodos
numéricos do meio continuo (elementos finitos, diferenças finitas) e são: i) o
comportamento do sistema geológico é definido por um material continuo para a
rocha intacta, e por um material descontinuo que representa as
descontinuidades, ii) os mecanismos de deformação incluem grandes
deslocamentos (escorregamento das juntas e separação) e rotação dos blocos.
A geometria de cada bloco de rocha é limitada pelo espaçamento e orientação
das descontinuidades no maciço rochoso, permitindo interatuar com (ou se
desconectar) com os blocos vizinhos. O MED não somente inclui a
representação teórica do continuo para os blocos de rochas, mas também as leis
de força-descolamento, as quais especificam as forças entre blocos e as leis que
especificam o movimento de cada bloco devido a forças de desequilíbrio atuando
sobre eles.
3.2. Formulação do Método dos Elementos Discretos (MED)
Para compreender o MED é preciso definir quais são as principais
considerações no desenvolvimento do método, divididas em duas categorias: 1)
considerações físicas, que seriam todas aquelas leis que modelam um
determinado comportamento físico do sistema, e 2) as considerações numéricas,
que seriam aquelas leis encargadas da otimização matemática. A figura 3.2
apresenta um fluxograma onde são descritas as principais características destas
considerações. Este fluxograma esta relacionado com os efeitos hidráulicos e
mecânicos que serão abordados nesta dissertação.
Fraturas
Zonas de diferenças
finitas
Contorno
interior
Bloco de Rocha Intacta
Contorno
exterior
Falha
σhmin
σhmin
σHmax σHmax Pw
47
Figura 3. 2– Fluxograma das principais considerações físicas e numéricas envolvidas no MED.
Considerações Físicas
Movimentação dos blocos de
rocha
Momento e energia no
sistema
Deformabilidade e ruptura do sistema
rocha-fratura
Efeitos mecânicos do Fluxo de fluidos nas
fraturas
Considerações Numéricas
Representação numérica
das descontinuida
des
Discretização nodal
Condições de contorno
Determinação do passo de
tempo
Segunda Lei de
Newton
Lei da conservação
do momento e Energia
Modelos Constitutivos
Lei de Darcy
Detecção e identificação do contato
Diferenças finitas
triangulares
Forças ou Velocidades
Função do passo de
tempo
Método dos elementos Discretos para o efeito Hidromecânico associado
48
Considerações Físicas 3.2.1.
Movimentação dos Blocos de Rocha
O movimento de um bloco individual de rocha é determinado pela magnitude e
direção do momento de desequilíbrio e as forças atuantes, como resultado de mudanças
de carregamento no sistema de blocos. Considerando o movimento em uma dimensão de
uma massa única com amortecimento viscoso, e atuando sobre ela uma força variável F(t),
a segunda lei de Newton incluindo amortecimento viscoso, pode ser definida como:
gum
Fu v
t
)(
(3.1)
Onde:
u =Velocidade (m/s);
t=Tempo(s);
m=massa (Kg);
F=força (N);
g=aceleração da gravidade (m/s2);
αv=coeficiente de amortecimento (1/s).
Utilizando um esquema de diferencias finitas centrais pode ser escrito para o lado
esquerdo da equação (3.1), assim:
2/1
21
)(2
2
t
tgm
Ftu
uv
t
v
tt
tt
(3.2)
Com as velocidades armazenadas no ponto médio do passo de tempo, é possível
expressar deslocamentos como:
49
tuuu
tt
ttt
2 (3.3)
Como as forças dependem dos deslocamentos, o cálculo força-deslocamento é
realizado em um determinado instante de tempo. A aceleração é também fornecida pela
força neste mesmo instante de tempo (t + Δt) e pela massa. A figura 3.3 ilustra o esquema
de diferenças finitas centrais com a ordem de cálculos indicadas por setas.
Figura 3. 3 – Natureza entrelaçada do ciclo de calculo utilizado na formulação dos
elementos discretos (manual UDEC, 2011).
Para um sistema de blocos em duas dimensões que estão sob varias forças (por
exemplo, a gravidade), a equação (3.2) pode ser expressa assim:
2/1
21
)(
2
2
t
tgm
Ftu
uv
i
t
v
tt
tt
(3.4)
2
1
212
2
t
tI
Mt
v
t
v
tt
tt
(3.5)
Onde:
=Velocidade angular do bloco em torno de seu centroide;
50
I =Momento de inercia do bloco;
M =momentos totais atuando no centroide do bloco;
iu =componentes de velocidade no centroide do bloco;
ig =Componente da aceleração gravitacional (Forças de corpo).
Equilíbrio de Momento e Energia
Considerem-se dois corpos (denotados pelos subíndices a e b) em contato por um
determinado período de tempo. Pelas leis de Newton, existe uma força comum F que atua
na direção oposta sobre os dois corpos, os quais se aceleram em proporção as forças:
Fum aa (3.6)
Fum bb (3.7)
Combinando as equações (3.6) e (3.7), e integrando:
T
bb
T
aa dtumdtum00
(3.8)
00
b
T
bba
T
aa uumuum (3.9)
00
aabb
T
bb
T
aa umumumum (3.10)
A equação (3.10) indica que o momento total no final de um período de tempo
arbitrário é idêntico ao momento no começo.
Agora, supondo que um corpo com uma velocidade inicial 0 é levado a uma
velocidade final em uma distancia S através de uma força constante, F:
Fm (3.11)
Utilizando a regra da cadeia: dS
d
51
S
Fdsdm00
(3.12)
Assumindo o parâmetro m na equação (3.12) constante:
FSm 2
0
2
2
1 (3.13)
A equação (3.13) expressa o trabalho realizado por uma força, o qual é igual à
mudança na energia cinética do corpo.
A força de oposição ao movimento esta relacionada ao deslocamento pela equação
( KSF ) onde K expressa à rigidez da mola, portanto, temos que a equação 3.12 pode
ser expressa como:
S
KSdsdm00
(3.14)
222
02
1
2
1KSm (3.15)
Neste caso a diminuição na energia cinética é igual à energia armazenada na mola.
O mesmo argumento pode ser utilizado em sentido oposto, de tal modo que a energia
cinética cedida a um corpo é igual à diminuição na energia armazenada em uma mola.
Portanto, a energia cinética de um corpo depois de uma colisão elástica é igual á energia
cinética antes da colisão.
Deformabilidade dos Blocos de Rocha
Os blocos podem ser rígidos ou deformáveis no método dos elementos discretos. A
formulação básica para blocos rígidos foi proposta por Cundall (1978). Esta formulação
representa o meio como um conjunto de blocos distintos que não mudam sua geometria
devido ao carregamento aplicado. Consequentemente, esta formulação é mais aplicável a
problemas nos quais o comportamento do sistema é dominado pelas descontinuidades e
onde as propriedades elásticas do material podem ser ignoradas. Tais condições resultam
52
em ambientes de baixas tensões onde o material possui resistência elevada e baixa
deformabilidade.
Os blocos deformáveis são internamente discretizados com o método de diferencias
finitas triangulares. A complexidade da deformação dos blocos depende do numero de
elementos dentro dos quais os blocos estão divididos. A figura 3.4 ilustra o zoneamento
no interior dos blocos para um determinado sistema de descontinuidades.
Figura 3.4 – Zoneamento dentro do modelo contendo um sistema de
descontinuidades continua e descontinua (manual UDEC, 2011).
Os vértices de um elemento triangular são pontos de rede e as equações de
movimento para cada um desses pontos (ou “nós”) estão formulados como:
i
S
iejij
gm
Fdsn
u e
(3.16)
Onde:
Se=superfície de contorno da massa m, aglomerada no ponto de rede;
nj=vertor normal a s;
Fi=é a resultante de todas as forças externas aplicadas ao ponto de rede;
gi=é a aceleração da gravidade.
A-Blocos de
elementos discretos B- Zoneamento
dentro dos blocos
53
Durante um determinado passo de tempo, as deformações e as rotações estão
relacionadas aos deslocamentos nodais de acordo com as equações 3.17 e 3.18:
ijjiij uu ,,
2
1 (3.17)
ijjiij uu ,,2
1 (3.18)
As relações constitutivas para blocos deformáveis são utilizadas de modo
incremental de tal modo que a implementação de problemas não lineares podem ser
realizados facilmente. A forma dessas equações é:
ijij
e
ij 2 (3.19)
Onde:
, = constantes de Lamé;
e
ij =incrementos elásticos do tensor de tensões;
ij =deformações incrementais;
2211 = incremento de deformação volumétrica;
ij =função delta de Kronecker.
Deformabilidade das Fraturas
O modelo básico que representa a relação tensão-deslocamento das fraturas é
linear, e encontra-se expressa pela seguinte equação:
nnn uK (3.20)
Onde:
Δσn=incremento da tensão efetiva normal;
Kn = rigidez;
54
Δun=incremento do deslocamento normal.
Existe um limite da resistência na tração T da fratura. Se essa resistência é
excedida (σn<-T), a fratura se ativa mecanicamente. Esta modelagem no software UDEC
é realizada anulando-se a resistência à tração da fratura. Similarmente, no cisalhamento a
resposta é controlada por uma rigidez ao cisalhamento constante Ks. Os valores da
tensão de cisalhamento τs encontram-se em uma faixa cujo limite está definido pela
combinação da resistência coesiva (C) e a resistência de atrito (Φ), como apresentado na
equação 3.21:
max TanC ns (3.21)
Então:
e
sss uK (3.22)
Ou, se:
max s (3.23)
Então:
max ss usign (3.24)
Onde:
Δuse=componente elástico do deslocamento de cisalhamento;
Δus=incremento do deslocamento de cisalhamento.
Este modelo é descrito como o modelo de escorregamento de Coulomb e é ilustrado
na figura 3.5. Acrescenta-se a isso que a dilatância da fratura pode ocorrer no começo do
escorregamento (escorregamento não elástico). A dilatância é governada por um ângulo
especifico de dilatância φ. A dilatância acumulada é limitada por qualquer aumento
elevado na tensão normal ou por elevados deslocamentos de cisalhamento acumulados
que excedem um valor limite de UCS (Uniaxial compressive strength). Esta limitação
sobre a dilatância corresponde ao fato de que o achatamento das asperezas a grandes
55
tensões normais ou grandes cisalhamentos deveram eventualmente prevenir. No modelo
de Coulomb a dilatância encontra-se restrita, como apresentado na figura 3.5.
Figura 3.5 – Modelo de escorregamento de Coulomb para o comportamento básico
da fratura (Zhang et al, 1999).
Se:
max s Então φ=0 (3.25)
E
Se max s e css uu então φ=0 (3.26)
O modelo de Coulomb pode ser adaptado para aproximar uma resposta de
enfraquecimento causada pelo deslocamento (displament-weakening response) que
algumas vezes é observada em sistemas de fraturas. Isso acontece devido à redução da
resistência em qualquer caso onde a resistência à tração ou ao cisalhamento seja
excedida.
Te
nsão d
e c
isalh
am
ento
, τ s
Com
ponente
de d
ilata
ção d
a
norm
al ao d
eslo
cam
ento
, u
dn
Deslocamento critico, ucs Deslocamento de cisalhamento, us
Incrementando tensão efetiva normal, σ’n
Incrementando tensão efetiva normal, σ’n
Deslocamento de cisalhamento, us
Ângulo de dilatação, φ
56
Fluxo de fluido nas fraturas
A condutividade de uma fratura pode ser modelada de acordo com a abertura da
mesma. A figura abaixo ilustra como o fluxo dentro das descontinuidades pode ser
modelado.
Figura 3.6 – Comportamento da deformação hidráulico- mecânica no MED, a)
pressão do fluido causando efeitos mecânicos; b) deformação do bloco afetando a
apertura hidráulica a; c) fluxo de fluidos afetado pela abertura a, d) Geração de pressão
diferencial do fluido (Zhang et al, 1999).
A implementação numérica para o fluxo de fluido faz uso do domínio hidráulico
descrito na figura 3.7 para um sistema de forma compacta. Neste sistema existe uma rede
de domínios hidráulicos, que são preenchidos com o fluido a pressão, e comunicados com
seus vizinhos.
a) b)
c) d)
57
Figura 3.7 – Fluxo nas fraturas modeladas como fluxo entre domínios hidráulicos
(Zhang et al, 1999).
Conforme à figura 3.7, os domínios hidráulicos 1, 2 e 4 representam fraturas. O
domínio 3 esta localizado na intercepção de duas fraturas, enquanto que o domínio 5
corresponde a um espaço vazio. Os domínios hidráulicos estão separados por contatos
nos quais as forças de interação mecânica são aplicadas. Os contatos A até G
representam contatos aresta-aresta, enquanto que H representa um contato vértice-aresta
e I representa um contato vértice-vértice. Como os blocos são deformáveis, eles estão
subdivididos em elementos de malha triangulares. Os pontos de rede podem existir tanto
nos vértices dos blocos quanto ao longo das arestas. Um ponto de contato encontra-se
localizado em um ponto de rede, uma borda ou um ponto de rede de outro bloco. Por
exemplo, na figura 3.7 o contato B implica a existência de um ponto de rede ao longo de
uma das arestas em contato. Como resultado, a fratura entre dois blocos esta
representada pelos domínios 1 e 2.
Para um ponto de contato (vértice-vértice como o contato I, ou vértice-aresta como o
contato F), a taxa de fluxo de um domínio hidráulico a um domínio adjacente com uma
pressão diferencial Δp é expressa pela equação (3.27):
pKq c (3.27)
Onde:
Kc=fator de condutividade no ponto de contato.
até 1 5 : Domínios Hidráulicos até A I : Contatos dos blocos
58
No caso de um contato aresta-aresta, são definidos os segmentos, LA e LB que
denotam os comprimentos dos contatos A e B, respetivamente (figura 3.7). O
comprimento é definido como a soma das meias-distâncias aos contatos mais próximos.
Para tais contatos pode ser utilizada uma lei cubica de fluxo em uma fratura plana (Louis,
1969; Norton e Knapp, 1977; Witherspoon et al.1980):
l
paKq j
3
(3.28)
Onde:
Kj=fator de condutividade da fratura cujo valor teórico é 1/2 ;
=viscosidade dinâmica do fluido;
a= abertura hidráulica; e
l=comprimento assignado ao contato entre domínios.
A equação 3.28 implica que o fluxo pode tomar lugar em um contato sempre e
quando as pressões no domínio sejam zero; neste caso, a gravidade pode fazer com que
o fluido migre de um domínio para outro que não esteja completamente saturado. No
entanto, a permeabilidade aparente deve diminuir como o faz a saturação. Portanto, há
dois fatores a se considerar:
1. Permeabilidade deve ser zero para um valor de saturação igual a zero;
2. O fluido não pode ser extraído de um domínio hidráulico de saturação igual a
zero.
A abertura hidráulica é dada por:
nuaa 0 (3.29)
Onde:
a0=apertura hidráulica da fratura em tensão normal zero;
un=deslocamento normal da fratura (positivo denotando apertura).
Um mínimo valor de ares é assumido para a abertura hidráulica, sob o qual o
fechamento mecânico não afeta a permeabilidade do contato. Um valor máximo, amax
59
também é fixado para melhorar a eficiência no calculo explícito. A variação da abertura
hidráulica com a tensão normal é apresentada na figura 3.8.
Figura 3.8 – Relação entre abertura hidráulica, a e tensão normal na fratura, σn
(Zhang et al, 1999).
3.2.2.Considerações numéricas
Representação Numérica das Descontinuidades
Uma fratura de rocha é representada numericamente como uma superfície de
contato (composta de pontos individuais de contato) formada entre duas bordas de um
bloco. Em geral, para cada interface entre dois blocos são criados elementos para
representar pontos de contato. No MED, os blocos adjacentes podem ter contato ao longo
de um segmento de aresta comum ou em pontos discretos, onde um vértice encontra-se
em uma aresta ou em outro vértice. A figura 3.9 apresenta o esquema de representação
de contatos. Para blocos rígidos, um contato é criado em cada vértice a fim de permitir a
interação com outro vértice ou aresta de um bloco oposto. Se os blocos são deformáveis
(internamente discretizados), os pontos de contato são criados em todos os pontos da
rede que estão localizados dentro do borde do bloco em contato.
Para a modelagem exposta na figura 3.9, se supõe que as extremidades dos blocos
tenham resistência infinita. Na realidade, o esmagamento das extremidades dos blocos
ocorreria como um resultado da concentração de tensões. No entanto, a modelagem
(extensão) (compressão)
60
explicita deste efeito é impraticável. Entretanto uma representação realista pode ser
realizada arredondando-se as esquinas dos blocos, de tal modo que os blocos podem-se
deslizar um sobre outro quando as duas extremidades opostas interagem.
Figura 3.9 – Contato entre dois blocos rígidos (manual UDEC, 2011).
Figura 3.10 – Definição dos contatos no MED, a) contato limite de esquina
arredondado, b) interação vértice-vértice (manual UDEC, 2011).
O arredondamento dos vértices é utilizado no MED especificando um arco para
cada vértice do bloco. O arco é definido pela distancia do ápice do ponto de tangencia
com os limites adjacentes (figura 3.10). Os vértices arredondados podem introduzir
a) b)
Posição inicial do bloco 2
Centroide do bloco
Bloco A
Bloco B
Direção do contato normal
Canto Pxi
Direção de
cisalhamento
Direção da normal ao contato
Bloco A
Bloco B
61
inexatidão na solução se o arredondamento é muito grande. Se o comprimento do
arredondamento é mantido aproximadamente igual a 1% do comprimento da borda
representativa no modelo, é obtida uma boa precisão.
Os pontos de contato são atualizados automaticamente sempre que os blocos se
movem. Os algoritmos para realizar esta atualização devem ser computacionalmente
eficientes, particularmente para a análise dinâmicas onde podem ocorrer grandes
deslocamentos, requerendo a exclusão e a adição de centenas de contatos durante uma
modelagem dinâmica. O MED tem a vantagem de possuir uma rede de domínios criados
pela interação de blocos em duas dimensões. Os domínios são a regiões no espaço entre
blocos, os quais são definidos por pontos de contatos como D1 e D2 na figura 3.11.
Durante um determinado passo de tempo novos contatos podem ser formados somente
entre os vértices e as arestas dentro do mesmo domínio, desta forma, podem ser
executadas atualizações sempre que alguma medida prescrita de movimento seja
alcançada dentro do domínio.
.
Figura 3.11 – Contatos e domínios entre dois blocos deformáveis (manual UDEC,
2011).
Discretização Nodal Mista para Deformação em uma Rede Triangular
Bloco 1
Bloco 2
Pontos de malha
Contatos vértice aresta
Comprimentos associados com os contatos
Domínios
Zonas de diferenças finitas
62
A taxa de deformação ij é definida a partir da derivada das velocidades nodais. A
taxa de deformação é então particionada em dois componentes desviadores, ije e e ,
como apresentado na equação (3.30).
ijijij ee (3.30)
Onde:
ij =função de Kroenecker.
Uma taxa de deformação volumétrica nodal (definida como o peso médio dos
valores dos elementos em torno do ponto de rede), é calculado como:
n
n
m
e
e
m
e
ee
n
V
Ve
e
1
1
(3.31)
Onde “mn” são os elementos em torno do nó “n”, e “Ve” é o volume do elemento “e”.
Depois que os valores da taxa de deformação volumétrica são obtidos, é calculado
um valor principal para o elemento e tomando a média dos valores dos nós:
d
n
ned
e1
1 (3.32)
Onde d=3 para um triangulo, e d=4 para um tetraedro.
Finalmente, a taxa de deformação de um elemento é redefinida pela superposição
da parcela desviadora e o volume médio.
ijijij ee (3.33)
O modelo constitutivo é utilizado para derivar novas tensões (a partir das taxas de
deformação) e tensões anteriores.
63
Discretização Nodal Mista para Tensões em uma Rede Triangular
Considerando uma lei constitutiva de incremento volumétrico de tensão-deformação,
para pequenos incrementos pode ser empregada a seguinte expressão:
peeK (3.34)
Onde pe representa o incremento plástico volumétrico-deformação, cujo valor é
diferente de zero para materiais dilatantes/contractantes. As forças nodais associadas
devem ser consistentes com as suposições feitas para definir a cinemática do elemento.
Para atingir este objetivo, é aplicado um procedimento de discretização nodal mista sobre
o termo peK , como é descrito na equação (3.34). Por conveniência a termo
peK e igual
p como apresentado na equação (3.35).
peK (3.35)
O valor p é uma quantidade padrão avaliada no procedimento do modelo
constitutivo.
A técnica para discretização nodal mista sobre tensões é similar para a deformação.
Primeiro, os valores nodais para p são calculados como um peso médio dos valores
dos elementos em torno deles.
n
n
m
e
e
m
e
eep
n
V
V
1
1
(3.36)
Depois que os valores p são obtidos, é calculado um valor principal para o
elemento p tomando a media dos valores nodais:
d
n
p
n
p
d 1
1
(3.37)
64
Onde d=3 para um triangulo, e d=4 para um tetraedro.
Finalmente, as tensões calculadas pelo modelo constitutivo são corrigidas pela
substituição de p por
p .
ij
pp
ijij (3.38)
Certamente, a discretização nodal mista sobre tensões somente é relevante para
materiais dilatante/contractantes.
Condições de contorno
Tensão (carregamento) ou deslocamento (velocidade) pode ser aplicado no
contorno de um modelo no MED. A condição é aplicada no centroide dos blocos ao longo
do contorno para um modelo de corpo rígido. Para blocos deformáveis, os deslocamentos
são especificados em termos de velocidades prescritas em pontos dados da rede. Nota-
se que a equação (3.38) não envolve aqueles pontos. Em uma condição de contorno, as
forças estão derivadas como segue:
snF j
b
iji (3.39)
Onde:
nj=vetor normal apontando fora do segmento da condição de contorno.
Δs=é o comprimento do segmento do contorno sobre o qual as tensões b
ij atuam.
A força Fi é adicionada na equação (3.16) para um ponto apropriado de rede.
Quando são realizadas análises estáticas, o problema de definir as condições de
contorno para um modelo numérico sem limites pode ser abordado pelo acoplamento da
montagem de blocos a uma representação contorno-elemento do campo. Devido a que
comportamento não linear é usualmente confinado na vizinhança da estrutura ou
escavação sob estudo, a suposição do comportamento linear-elástico nestas zonas é
justificado.
Uma matriz de rigidez K a qual relaciona as forças e deslocamentos nas interfaces
da montagem dos elementos distintos e um plano infinito ou plano médio representa a
65
região do contorno do elemento. O modulo elástico do domínio do campo distante deve
refletir a deformabilidade da massa de rocha fraturada. Durante o processo de calculo, o
movimento dos blocos definem os deslocamentos na interface. O domínio do elemento-
contorno proporciona reação elástica dada pela seguinte expressão:
KuF (3.40)
Determinação do Passo de Tempo Mecânico: Solução Estável
O comportamento dinâmico é representado numericamente por um algoritmo de
passo de tempo no qual o tamanho do passo é limitado pela consideração de que as
velocidades e as acelerações são constantes dentro do passo. Adicionalmente, o passo
de tempo deve ser suficientemente pequeno durante um passo simples, a fim de garantir
que as perturbações mecânicas não se propaguem entre um elemento discreto e os
blocos nos seus arredores. Nota-se que a restrição de tempo se aplica tanto para
contatos quanto para blocos. Para blocos rígidos, a rigidez da massa do bloco e a
interface definem a limitação do passo de tempo (salienta-se que para blocos
deformáveis, o tamanho da zona é utilizado). A rigidez do sistema inclui contribuições dos
módulos da rocha intacta e a rigidez dos contatos.
É importante destacar que o esquema de solução empregado pelo MED é
condicionalmente estável. Nesse esquema, é determinado um passo de tempo limitado, o
qual satisfaz o critério de estabilidade para o calculo da deformação do bloco interno e os
deslocamentos relativos do bloco inteiro. O passo de tempo computacional requerido para
a estabilidade da deformação do bloco é estimado como:
21
min2
i
in
k
mt
(3.41)
Onde:
mi= massa associada com o nó do bloco; e
ki=é a medida de rigidez dos elementos em torno do nó.
66
O termo de rigidez Ki deve se levado em consideração tanto para a rocha intata
quanto para as descontinuidades. O parâmetro anterior é calculado como a soma de dois
componentes, como visto na equação (3.42).
jizii KKK (3.42)
O primeiro termo do lado direito representa a soma das contribuições da rigidez de
todos os elementos conectados ao nó i, os quais são estimados como:
min
2
max
3
4
3
8
h
bGKK zi
(3.43)
Onde:
K e G correspondem aos módulos de rigidez de Bulk e de rigidez ao cisalhamento,
respetivamente;
bmax= é a zona de borda mais longa;
hmin=mínima altura de um elemento triangular.
3.3. O software UDEC (Universal Distinct Element Code)
O software UDEC desenvolvido pela ITASCA (figura 3.12) corresponde ao mais
recente resultado dos estudos em duas dimensões do método dos elementos discretos
realizados por Cundall et al. no ano de 1980. Neste ano foram combinadas as
formulações para a representação de corpos rígidos e deformáveis separados por
descontinuidades. O código pode realizar análises estáticas ou dinâmicas. No ano de
1983 o Dr Cundall começou a trabalhar na versão tridimensional do método. A partir
desse trabalho foi desenvolvido o software 3DEC, que começou a ser utilizado para
estudar a estabilidade de minas e a avaliação das tensões tridimensionais devido a
processos de escavação.
67
Figura 3. 12 – O software UDEC (Itasca 2011).
A modelagem de problemas em meios rochosos fraturados é realizada no software
UDEC em um conjunto de oito etapas. A figura 3.13 apresenta a janela principal do
software UDEC. À continuação é apresentada cada uma das etapas junto com uma
sucinta definição:
Etapa 1: Definição da Geometria do Problema
Nesta primeira etapa são definidos os contornos do modelo de elementos discretos.
Estes contornos podem ser lineares (quadrado) ou curvos (circulo). Além dos contornos,
nesta etapa são definidos o raio de arredondamento dos cantos dos blocos e o mínimo
comprimento de borda para que um bloco seja gerado.
Etapa 2: Discretização por Diferenças Finitas
Na segunda etapa é construída a malha de diferenças finitas mediante a escolha do
máximo comprimento de borda de um elemento triangular. Esta etapa é realizada apenas
para as modelagens de blocos deformáveis.
Etapa 3: Modelos Constitutivos e Propriedades dos Materiais
Nesta etapa são definidos os modelos constitutivos da rocha intacta e da fratura. Da
escolha destes modelos dependem as propriedades mecânicas requeridas nos materiais.
68
Etapa 4: Condições de Contorno
As condições de contorno podem ser aplicadas em termos de forças ou
deslocamentos. No caso de problemas com fluxo de fluidos nesta etapa são definidas as
condições iniciais de poropressão do sistema.
Etapa 5: Utilidades
Na etapa de utilidades podem-se desenhar os deslocamentos, tensões,
velocidades, etc, de algum ponto dentro do sistema discreto. O gráfico da máxima força
de desequilíbrio versus o número e ciclos é escolhido nesta etapa.
Etapa 6: Configurações
Nesta etapa são escolhidas algumas características especiais na modelagem. Entre
elas esta o valor da gravidade, o coeficiente de amortecimento, o máximo comprimento de
separação entre blocos, o máximo comprimento de sobreposição dos blocos, entre outros
valores.
Etapa 7: Execução do problema
Com todas as características anteriores já definidas, o problema pode ser resolvido.
O critério de parada da execução pode se escolhida de duas formas: até que a relação do
máximo resíduo do equilíbrio atual com respeito à máxima força atinja um valor mínimo,
ou definindo-se a quantidade de ciclos de execução do programa.
Etapa 8: Gráficas
Quando o sistema tinha atingido a condição de equilíbrio, podem ser visualizados
nesta etapa os resultados de tensão, deformação, poropressão, velocidade etc.
69
Figura 3. 13 – Janela principal do software UDEC (Itasca, 2011).
Outra característica importante do software UDEC é que ele possui sua própria
linguagem de programação chamada FISH. Esta linguagem foi desenvolvida no ano de
1996 como resposta aos usuários que desejavam realizar mais operações e que eram
impossíveis de realizar com as estruturas existentes.
Na linguagem FISH é possível desenvolver funções, por exemplo, para avaliar
novos modelos constitutivos e para desenhar e imprimir novas variáveis.
4 Modelagem computacional da estabilidade de poços em rochas fraturadas
Neste capitulo será realizada a modelagem computacional de estabilidade de poços
utilizando o software UDEC (Universal Distinct Element Code). A análise de estabilidade
consiste de duas etapas, a primeira é a consolidação inicial do maciço rochoso, e a
segunda a escavação e aplicação instantânea da pressão do fluido de perfuração nas
paredes do furo, considerando a parede do poço permeável e impermeável. As pressões
de colapso superior e inferior são calculadas por meio de um procedimento iterativo de
tentativa e erro até que nenhum elemento esteja plastificado e nenhuma fratura esteja no
limite de atrito ao redor do furo. Para modelar a etapa 1 e a etapa 2, deverão ser
definidos: a geometria ou padrão das fraturas no modelo, os modelos constitutivos dos
blocos de rocha intacta e fraturas, as tensões in situ, as condições de contorno do modelo
e as variáveis numéricas como a raio de arredondamento dos blocos (ro) e o comprimento
máximo de borda da malha de diferenças finitas. A figura 4.1 apresenta o procedimento
geral utilizado na modelagem computacional.
Figura 4. 1– Procedimento geral de cálculo na modelagem computacional.
Geometria das fraturas
Variáveis Numéricas
Modelos constitutivos
Tensões in situ
Etapa 1 Etapa 2 Resultados e
discussão
Equilíbrio inicial
Escavação e busca das
pressões de colapso
Condições de contorno
71
4.1. Etapa 1: Consolidação inicial do maciço rochoso
À continuação serão definidas passo a passo as fases requeridas para gerar a
etapa 1 na modelagem computacional.
4.1.1.Geometrias propostas
Baseado na figura 4.2 três geometrias foram propostas para a modelagem, cujas
propriedades são apresentadas na tabela 4.1. Segundo o Chen et al 2003, os limites
externos do modelo devem ser localizados de modo a se ter um domínio quadrilateral
cujas dimensões correspondem a 5 vezes o diâmetro do poço (3m).
Figura 4. 2 – Geometria global para os modelos propostos.
Onde d é o diâmetro do poço, S1 e S2 são os espaçamentos de cada família de
fraturas, P1 e P2 são as persistências das fraturas, L1 e L2 são os comprimentos onde as
fraturas não persistem, α1 e α2 são as orientações de cada família de planos em relação à
horizontal.
d
3 m
3 m
α2 α1
σh
σH
72
Geometria a Geometria b Geometria c
d (m) 0.155 d 0.155 d 0.155
S1 (m) ----- S1 (m) 0.065 S1 (m) 0.065
S2 (m) ----- S2 (m) ----- S2 (m) 0.065
α1 (0) ----- α1 (
0) 45
0 α1 (
0) 20
0
α2 (0) ----- α2 (
0) ----- α2 (
0) 70
0
L1 (m) ----- L1 (m) 0 L1 (m) 0.065
L2 (m) ----- L2 (m) ----- L2 (m) 0.065
Tabela 4. 1 – Propriedades geométricas dos modelos propostos.
As geometrias apresentadas foram escolhidas com o objetivo de avaliar a
estabilidade do poço, introduzindo-se uma família de planos de fraqueza por vez,
possibilitando a melhor explicação do desvio dos resultados numéricos em relação aos
analíticos. A figura 4.3 apresenta os três tipos de geometrias analisadas.
Figura 4. 3 – Geometrias analisadas, a) modelo homogêneo isotrópico, b) modelo
transversalmente isotrópico, c) modelo anisotrópico.
4.1.2.Modelos constitutivos e tensões in situ
Para os blocos de rocha intacta foi selecionado o modelo constitutivo de Mohr-
Coulomb e para as fraturas o modelo de atrito de Coulomb. Segundo Chen et al. (2005)
as propriedades típicas ou parâmetros de entrada destes modelos constitutivos para uma
rocha do tipo argila são apresentadas na tabela 4.2.
a b c
73
Propriedades Valor
Rocha intacta
Densidade (Kg/m3) 2278
Módulo volumétrico K (GPa) 18,87
Módulo cisalhante G (GPa) 7,72
Ângulo de atrito (0) 36,2
Coesão (MPa) 6,3
Ângulo de dilatação (0) 0
Resistência à tração (MPa) 2,07
Fratura
Módulo volumétrico do fluido (GPa) 0,1
Densidade do fluido (Kg/m3) 1000
Rigidez normal (Pa/m) 1800x1010
Rigidez cisalhante (Pa/m) 1200x1012
Fator de permeabilidade da fratura (1/Pa*Seg) 83,3
Coesão (MPa) 0
Ângulo de atrito (0) 32
Limite de tração (MPa) 0
Abertura residual (m) 5x10-8
Abertura a tensão normal nula (m) 2x10-6
Tabela 4. 2 – Propriedades da rocha intacta e fratura.
As tensões aplicadas a cada geometria (a, b e c) foram divididas em 12 casos de
estudo, apresentados na tabela 4.3. As tensões aplicadas representam as condições
típicas de tensão em uma argila a uma profundidade de 2000 m. (Chen et al., 2005) Estes
casos permitem modelar o comportamento do maciço rochoso sob ação de tensões
isotrópicas e anisotrópicas, considerando ou não um valor de poropressão. No estudo foi
adotado um valor de poropressão igual a 21 MPa, baseado em um valor de gradiente
normal hidrostático.
74
Modelo Homogêneo Isotrópico
Caso 1 2 3 4
σv (MPa) 44 44 44 44
σH (MPa) 40 40 60 60
σh (MPa) 40 40 40 40
Pp (MPa) 0 21 0 21
# de famílias de
fraturas 0 0 0 0
Modelo Transver isotrópico Modelo anisotrópico
Caso 5 6 7 8 9 10 11 12
σv (MPa) 44 44 44 44 44 44 44 44
σH (MPa) 40 40 60 60 40 40 60 60
σh (MPa) 40 40 40 40 40 40 40 40
Pp (MPa) 0 21 0 21 0 21 0 21
# famílias
de fraturas 1 1 1 1 2 2 2 2
Tabela 4. 3 – Tensões in situ para os 12 casos propostos.
4.1.3.Condições de contorno e variáveis numéricas
As condições de contorno foram expressas em termos de tensões totais, aplicadas
nos contatos externos do modelo, como é apesentado na figura 4.4 para os casos 10 e
12. O software UDEC trabalha com forças, realizando uma transformação matricial interna
de tensões para forças, tal como foi descrito no capitulo 3 na equação 3.40.
Figura 4. 4 – Condições de contorno aplicadas para os casos 10 e 12.
Contatos externos do modelo onde as forças produto das tensões in situ são
aplicadas
75
A poropressão de 21 MPa aplicada somente dentro das fraturas e nos contornos do
modelo. Este valor foi mantido constante durante toda a etapa 1 (figura 4.5).
Figura 4. 5 – Poropressão atuando nas fraturas para os casos 7 e 8.
Entre as principais variáveis numéricas requeridas pelo software UDEC, está o
máximo comprimento de borda de um elemento triangular, parâmetro necessário para a
geração da malha de diferenças finitas. O valor adotado para este comprimento foi de
0.01m=1 cm. A figura 4.6 apresenta um detalhamento da região de borda do poço antes
da escavação.
Figura 4. 6 – Malha de diferenças finitas para os casos 9, 10, 11 e 12.
0.13 m
0.1
3 m
0,0
76
Para evitar resistências infinitas nos cantos dos blocos, tal como foi descrito no
capitulo 3, estes foram arredondados em um raio de 0.5 mm.
4.1.4.Condição final de equilíbrio
O método de solução que usa o software UDEC é o método da relaxação dinâmica,
método explícito que necessita satisfazer uma tolerância para que todo o sistema esteja
em equilíbrio. Foi estabelecido um critério que consiste na razão entre o máximo resíduo
do equilíbrio atual e a máxima força de desequilíbrio, sendo adotado um valor igual a
1*10-5. A figura 4.7 apresenta a história da máxima força de desequilíbrio para o caso 5.
Figura 4. 7 – História do máximo resíduo do equilíbrio na etapa 1 para o caso 5.
4.2. Etapa 2: Escavação do furo e determinação das pressões de colapso
Com a etapa 1 concluída (para cada um dos doze modelos propostos), o seguinte
passo consiste em escavar o furo e aplicar a pressão do fluido nas paredes do mesmo. À
continuação será explicado como se realiza a aplicação da pressão do fluido, além da
busca das pressões de colapso superior e inferior.
77
4.2.1.Escavação e aplicação da pressão do fluido em torno do furo
Ao escavar o furo uma nova condição de contorno deve ser inserida; para realizar
isto, são aplicados nos contatos ao redor do poço uma sobrepressão induzida, a qual
consiste na diferença entre a pressão do fluido de perfuração e a poropressão. Na figura
4.8 é apresentado este procedimento para os casos 1 até 4.
Figura 4. 8 – Aplicação da sobre pressão nos contatos ao redor do furo depois da
escavação para os casos 1 até 4.
Depois que a pressão da lama é aplicada, o modelo deve atingir um novo estado de
equilíbrio, para isto foi aplicado o mesmo procedimento da etapa 1 com o critério de
convergência de 1*10-5. A figura 4.9 apresenta a história da máxima força de desequilíbrio
para o caso 9 antes e depois da escavação.
Figura 4. 9 – História da máxima força de desequilíbrio para o caso 9.
Contatos na parede do poço
onde a sobre pressão
(ΔP= Pw-Pp) é aplicada.
Pw: Pressão da lama
Pp: Poropressão
ΔP
ΔP
Antes da escavação
Depois da escavação
78
Na etapa 2, a poropressão na condição de parede do poço impermeável não foi
mantida fixa, sendo liberada para interagir com os blocos de rocha mudando seu valor
com o deslocamento do sistema (figura 4.10). Para o caso da parede do poço permeável
a poropressão nas fraturas na parede do poço foi mantida com um valor fixo e igual ao
valor do peso do fluido de perfuração (figura 4.11).
Figura 4. 10 – Poropressão no estado final de equilíbrio na parede impermeável no
caso 8 e uma pressão da lama de 20 MPa.
Figura 4. 11 – Poropressão no estado final de equilíbrio para o caso 8 na parede
permeável a uma pressão da lama de 23.5 MPa.
79
4.2.2.Determinação das pressões de colapso superior e inferior
O objetivo nesta etapa da modelagem é obter as pressões de colapso superior e
inferior. Para realizar isto é gerado um procedimento de tentativa e erro, testando-se
varias pressões até que nenhum dos elementos na face do furo esteja plastificado e
nenhuma fratura esteja no limite de atrito. Foram geradas duas funções na linguagem de
programação FISH do software UDEC para verificação da estabilidade do poço para cada
pressão aplicada. Estas funções são apresentadas na figura 4.12.
Figura 4. 12 – Funções FISH para a) obter os elementos plastificados em torno do
poço e b) para obter as fraturas no limite de atrito.
4.3. Resultados e discussão
4.3.1.Parede do poço impermeável
Os resultados das pressões de colapso inferior (Pci) e superior (Pcs) para cada um
dos modelos propostos na parede do poço impermeável são apresentados na tabela 4.4.
Pode se ver que, quando são introduzidas as fraturas, a pressão de colapso superior não
ocorre especificamente nos elementos situados na parede do poço (figuras 4.14b e
4.15b). Isto ocorre pois as fraturas na parede do poço são fechadas devido as altas
80
pressões e a movimentação dos blocos (Santarrelli et al., 1992), o que altera o estado de
tensões e a posterior ruptura.
Pci (MPa) Pcs (MPa)
Geometria
homogênea
isotrópica
Caso 1 11.17 68.69
Caso 2 24.0 56.55
Caso 3 23.17 52.79
Caso 4 35.73 40.72
Geometria
transversalmente
isotrópica
Caso 5 18.0 61.49
Caso 6 29.47 49.87
Caso 7 24.98 62.81
Caso 8 Não há janela operacional
Geometria
anisotrópica
Caso 9 20.0 60.0
Caso 10 26.48 61.4
Caso 11 30.0 62.0
Caso 12 43.49 50.48
Tabela 4. 4 – Janela operacional para os casos propostos na parede do poço
impermeável.
Nas figuras 4.13 a 4.17 são apresentados os elementos plastificados e fraturas no
limite de atrito para altas e baixas pressões, nos casos 4, 7 e 12. Os pontos vermelhos
indicam os elementos plastificados que atingiram sua máxima resistência de pico; os
pontos verdes são os elementos que estão plastificados, mas sem atingir sua máxima
resistência; e os pontos rosa indicam os elementos em limite de tração.
81
Figura 4. 13 – Elementos plastificados para o caso 4, a) baixa pressão de 23. 5 MPa
e b) alta pressão de 66 MPa.
Figura 4. 14 – Elementos plastificados para o caso 7, a) pressão de 12 MPa e b) alta
pressão de 60 MPa.
Figura 4. 15 – Elementos plastificados para o caso 12, a) pressão de 24 MPa e b)
pressão de 70 MPa.
82
Figura 4. 16 – Fraturas no limite de atrito para o caso 7, a) pressão de 12 MPa e b)
pressão de 60 MPa.
Figura 4. 17 – Fraturas no limite de atrito para o caso 12, a) pressão de 24 MPa e b)
pressão de 70 MPa.
Segundo o Santarelli et al. (1992) as fraturas ao redor do poço tem o efeito de
reorientação das tensões in situ que se alinhariam paralelamente aos planos de
descontinuidades das mesmas. Este efeito é produzido quando as pressões na parede do
poço são bem menores que a mínima tensão principal in situ, para pressões maiores este
efeito desaparece. Na figura 4.18 é apresentado para o caso 7 a perfuração do poço com
um peso da lama de 5 MPa, podendo-se observar como a tensão principal maior
rotaciona paralelamente aos planos das fraturas; e para uma pressão da lama de 35 MPa
(figura 4.19) este efeito desaparece como foi descrito por Santalrelli et al. (1992).
83
Figura 4. 18 – Direção das tensões principais no caso 7 para uma pressão da lama
de 5 MPa.
Figura 4. 19 – Direção das tensões principais no caso 7 para uma pressão da lama
de 35 MPa.
84
4.3.2.Parede do poço permeável
Quando é modelada a parede do poço permeável é permitido ter fluxo de fluidos da
face do furo pelas fraturas para a formação, tendo sido utilizado o acoplamento
hidromecânico implementado no UDEC. As considerações adotadas na escavação foram:
manutenção da poropressão fixa e igual ao peso da lama nos contatos das fraturas
localizados na face do furo, e aplicação do excesso de poropressão nos contatos da
rocha intacta. Os resultados da modelagem da janela operacional, tendo em contas as
considerações anteriores, são apresentados na tabela 4.5. Posto que o fluxo de fluidos é
permitido nas fraturas, a tabela só apresenta os resultados para os modelos que
apresentam fraturas ou seja os casos 5 até 12.
Pci (MPa) Pcs (MPa)
Geometria transversalmente
isotrópica
Caso 5 41.16 50.57
Caso 6 Não há janela
Caso 7 Não há janela
Caso 8 Não há janela
Geometria anisotrópica
Caso 9 42.39 47.75
Caso 10 Não há janela
Caso 11 Não há janela
Caso 12 Não há janela
Tabela 4. 5 – Janela operacional para os casos propostos na parede do poço
permeável.
Nas figuras 4.20 até figura 4.23 pode se observar o comportamento do fluxo de
fluidos nas fraturas quando a pressão do fluido é acrescentada, este efeito tem como
consequência a perda do fluido de perfuração produto da falta de um bom reboco na
parede do poço. Note-se que no modelo transversalmente isotrópico (caso 8) o fluxo de
fluido ocorre até os limites exteriores, mas em um menor valor comparado ao caso
anisotrópico (caso 12) visto que o número de fraturas conectadas à parede de do poço é
menor.
85
Figura 4. 20 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 8 com um peso de lama nas
paredes do poço de 23.5 MPa.
Figura 4. 21 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 8 com um peso de lama nas
paredes do poço de 59 MPa.
86
Figura 4. 22 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 12 com um peso de lama
nas paredes do poço de 23.5 MPa.
Figura 4. 23 – Fluxo de fluidos nas fraturas para o caso 12 com um peso de lama
nas paredes do poço de 59 MPa.
87
4.3.3.Efeito da orientação das famílias de fraturas na estabilidade de poços
Com o objetivo de verificar o comportamento da estabilidade de poços, segundo as
orientações das fraturas interceptando a parede do poço, foi realizada uma sensibilidade
de orientação dos planos de fratura a ângulos de 200, 450 e 700, verificando o
comportamento da rocha intacta e das fraturas a um determinado peso da lama. Segundo
Santarelli et al. (1992), as piores condições de estabilidade se encontram quando as
famílias de fraturas possuem uma orientação entre 450 e 900 em relação à tensão
horizontal mínima. Esta condição, além de favorecer a instabilidade das fraturas, também
tem um efeito na plastificação da rocha intacta, pois as tensões atuantes na parede do
poço têm uma dependência das fraturas tal como foi apresentado anteriormente. As
figuras 4.24 até 4.27 apresentam o comportamento de estabilidade da rocha intacta e as
fraturas para o caso 8, variando a inclinação dos planos das fraturas para as pressões de
23.5 MPa e 59 MPa.
(a) (b)
(c)
Figura 4. 24 – Zonas plastificadas a peso da lama de 23.5 MPa e para um
mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700.
88
(a) (b)
(c)
Figura 4. 25 – Fraturas no limite de atrito para um peso da lama de 23.52 MPa e
para um mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700.
(a) (b)
(c)
Figura 4. 26 – Zonas plastificadas a peso da lama de 59 MPa e para um mergulho de
fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700.
89
(a) (b)
(c)
Figura 4. 27 – Fraturas no limite de atrito para um peso da lama de 59 MPa e para
um mergulho de fraturas de a) 450, b) 200 e c) 700.
5 Validação e comparação dos resultados analíticos e numéricos
Geralmente os modelos geomecânicos de estabilidade de poços são desenvolvidos
analiticamente e sob uma serie de considerações baseadas na teoria de elasticidade.
Nestes casos a rocha costuma ser modelada como um meio contínuo, assumindo que as
tensões nela não são afetadas por diversas estruturas no subsolo como planos de
fraqueza e falhas, devido à complexidade matemática que traz. Como consequência, a
teoria desenvolvida não modela de maneira correta o problema em estudo. O método dos
elementos discretos é adequado para modelar este tipo de problemas. Este capítulo foi
desenvolvido para verificar quais seriam as principais diferenças entre os resultados
numéricos e analíticos e assim identificar e entender melhor a mecânica da instabilidade
de poços devido a presença de fraturas.
5.1. Janela operacional analítica versus numérica
Nas tabelas 5.1 e 5.2 são apresentados os resultados de janela operacional para o
modelo analítico de Jaeger e os modelos numéricos estudados. Os parâmetros físicos e
mecânicos, além das geometrias usadas para gerar os modelos, foram as descritos no
capitulo 4 na tabela 4.2.
91
Modelo analítico Modelo numérico
Pci (MPa) Pcs (MPa) Pci (MPa) Pcs (MPa)
Geometria homogênea isotrópica
Caso 1 11.29 68.69 11.17 68.69
Caso 2 23.76 56.29 24.0 56.55
Caso 3 23.57 52.72 23.17 52.79
Caso 4 35.97 40.39 35.73 40.72
Geometria transversalm
ente isotrópica
Caso 5 18.84 68.69 18.0 61.49
Caso 6 30.0 56.22 29.47 49.87
Caso 7 31.78 52.79 24.98 62.81
Caso 8 Não há janela Não há janela
Geometria anisotrópica
Caso 9 18.84 68.69 20.0 60.0
Caso 10 30.0 56.22 26.48 61.4
Caso 11 32.58 52.79 30.0 62.0
Caso 12 Não há janela 43.49 50.48
Tabela 5. 1 – Comparação da Janela operacional analítica versus numérica para os
casos propostos na parede do poço impermeável.
Modelo analítico Modelo numérico
Pci (MPa) Pcs (MPa) Pci (MPa) Pcs (MPa)
Geometria transversalm
ente isotrópica
Caso 5 37.71 51.59 41.16 50.57
Caso 6 29.12 46.15 Não há janela
Caso 7 Não há janela Não há janela
Caso 8 Não há janela Não há janela
Geometria anisotrópica
Caso 9 39.5 48.5 42.39 47.75
Caso 10 31.2 43.7 Não há janela
Caso 11 Não há janela Não há janela
Caso 12 Não há janela Não há janela
Tabela 5. 2 – Comparação da Janela operacional analítica versus numérica para os
casos propostos na parede do poço permeável.
Nas figuras 5.1 até 5.3 são superpostas as zonas plastificadas para o modelo
analítico fornecido pelo software de estabilidade de poço SEST (GTEP; Petrobras, 2012)
e os resultados numéricos do UDEC. Pode se observar que nestes gráficos o
comportamento das zonas plastificadas se ajustam muito bem na analise da geometria
92
homogênea isotrópica. No entanto, cada vez que uma família de fraturas é introduzida,
este resultado vai mudando, o que leva a concluir que a diferença nos resultados se deve
única e exclusivamente a três razões:
Rotação e movimentação dos blocos e fraturas,
Geração e comportamento da poropressão,
Discretização numérica ou malha de diferenças finitas.
Para evitar o erro numérico de aproximação foi gerada uma malha de diferenças
finitas de tal forma que os resultados analíticos e numéricos para o modelo homogêneo
isotrópico (casos 1, 2, 3 e 4) fossem praticamente os mesmos. Nestes casos o meio
analisado é continuo, o que resultaria simplesmente em aproximar as equações
diferenciais analíticas numericamente. Foi calibrada uma malha com um máximo
comprimento de bordas das zonas de diferenças finitas de 0.01m. Desta forma, só
ficariam os dois primeiros mecanismos como principais geradores de instabilidade, e
devido ao fato de que os modelos constitutivos utilizados nos modelos analíticos e
numéricos serem os mesmos, pode se concluir que os principais efeitos dos dois
mecanismos estariam na mudança das tensões principais em torno do furo, o que
alteraria a condição de falha do material.
Figura 5. 1 – Comparação dos elementos plastificados utilizando o UDEC e o SEST
para o caso 4 e uma pressão de a) 23.5 MPa e b) 63.61 MPa.
Plastificado Plastificado
a) b)
93
Figura 5. 2 – Comparação dos elementos plastificados utilizando o UDEC e o SEST
para o caso 7 e uma pressão de a) 11.76 MPa e b) 59 MPa.
Figura 5. 3 – Comparação dos elementos plastificados utilizando o UDEC e o SEST
para o caso 12 e uma pressão de a) 23.5 MPa e b) 70.57 MPa.
Na continuidade será analisada, comparada e discutida a distribuição de tensões
em torno e distante da face do poço para os 12 modelos propostos.
Plastificado Plastificado
a) b)
Plastificado Plastificado
a) b)
94
5.2. Distribuição de tensões em torno e longe da face do poço
A solução analítica proposta para calcular a distribuição de tensões ao redor do
poço foi obtida por Kirsch (1898), cujas equações estão descritas no apêndice A. As
tensões principais em torno de um poço vertical para baixa pressões seriam a tensão
tangencial σ’1=σ’θ a tensão radial σ’3=σ’r e a tensão vertical σ’2=σ’z, e estariam aplicadas
conforme apresentado na figura 5.4. Considerando o efeito do plano de fraqueza estas
tensões podem rotacionar ao redor do poço tal como foi descrito por Santarelli et al.
(1992).
Figura 5. 4 – Tensões principais analíticas atuando ao redor de um poço vertical
para baixas pressões de fluido de perfuração.
Nas figuras 5.5 até 5.8 pode se verificar o comportamento das tensões analíticas
propostas por Kirsch e as tensões obtidas do modelo numérico, ao redor e distante da
parede do poço, para o caso 4. Estas tensões são similares, pois o único erro que as
diferenciam é o erro da aproximação numérica por diferenças finitas. Já nas figuras 5.9
até 5.11 pode se verificar a mesma comparação de tensões para o caso 12. Note-se que
quando o sistema de fraturas é introduzido, as diferenças entre as tensões aumentam em
função da anisotropia produzida pelas fraturas.
σθmax
σθmax
σr σr
σr
σr
σθmin
σh σh
σH
σH
95
Figura 5. 5 – Tensões principais analíticas e numéricas atuando ao redor do poço
para o caso 4 e uma pressão de 37.6 MPa.
Figura 5. 6 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do poço
na direção da tensão horizontal mínima para o caso 4 e uma pressão de 37.6 MPa.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Ten
são
(M
Pa)
θ (Graus)
Tensões Principais (Pw=37.6 MPa)
S1 (UDEC) S1 (Analitico) S2 (UDEC)
S2 (Analitico) S3 (UDEC) S3 (Analitico)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
Ten
são
(M
Pa)
r (m)
Tensões Distante do Poço na direção σhmin (Pw=37.6 MPa)
Sr (UDEC) Sr (Analitico) St (UDEC)
St (Analitico) Sz (UDEC) Sz (Analitico)
96
Figura 5. 7 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do poço
na direção da tensão horizontal máxima para o caso 4 e uma pressão de 37.6 MPa.
Figura 5. 8 – Tensões principais analíticas e numéricas atuando ao redor do poço
para o caso 12 e uma pressão de 23.5 MPa.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
Ten
são
(M
Pa)
r (m)
Tensões Distante do Poço na direção σHmax (Pw=37.6 MPa)
Sr (UDEC) Sr (Analitico) St (UDEC)St (Analitico) Sz (UDEC) Sz (Analitico)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Ten
são
(p
si)
θ (Graus)
Tensões Principais (Pw=23.5 MPa)
S1 (UDEC) S1 (Analitico) S2 (UDEC)
S2 (Analitico) S3 (UDEC) S3 (Analitico)
97
Figura 5. 9 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do poço
na direção da tensão horizontal mínima para o caso 12 e uma pressão de 23.5 MPa.
Figura 5. 10 – Tensões analíticas e numéricas atuando distante da parede do poço
na direção da tensão horizontal máxima para o caso 12 e uma pressão de 23.5 MPa.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
Ten
são
(p
si)
r (m)
Tensões distante do Poço na direção σhmin (Pw=23.5 MPa)
Sr (UDEC) Sr (Analitico) St (UDEC)
St (Analitico) Sz (UDEC) Sz (Analitico)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
Ten
são
(p
si)
r (m)
Tensões distante do Poço na direção σHmax (Pw=23.5 MPa)
Sr (UDEC) Sr (Analitico) St (UDEC)
St (Analitico) Sz (UDEC) Sz (Analitico)
98
5.3. Distribuição de poropressão na modelagem analítica Vs Numérica
A distribuição da poropressão é afetada igualmente às tensões in situ pelos
deslocamentos dos blocos de rocha próximos à parede do poço. As consequências deste
efeito é que a poropressão seja gerada e que o valor mude dependendo do valor dos
deslocamentos dos blocos e pressão dentro das fraturas. As figuras 5.11 mostram a
distribuição de poropressão para o caso 8 na parede de poço impermeável para uma
pressão na parede do poço de 23.5 MPa.
Figura 5. 11 – Distribuição da poropressão longe da parede do poço impermeável,
para o modelo analítico e numérico.
0
10
20
30
40
50
60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Pp
(M
Pa)
r (m)
Poropressão
Pp direção SHmax Pp diração Shmin Pp Analitica
6 Conclusões e Sugestões
6.1. Conclusões
Foi desenvolvida uma metodologia computacional hidromecânica acoplada para
analise da estabilidade de poços em maciços fraturados, tanto para a parede de poço
permeável como impermeável. Esta metodologia teve como objetivo principal calcular as
pressões de colapso superior e colapso inferior, avaliando os principais parâmetros que
influenciam estes valores, tais como a orientação e persistência das fraturas, o regime de
tensões in situ e a poropressão.
A partir da utilização do software UDEC, foi realizada uma modelagem
computacional de estabilidade de poço em duas etapas; a primeira corresponde a uma
fase inicial de consolidação do maciço rochoso, a qual é uma operação que simula as
condições naturais de compactação da rocha, enquanto que a segunda corresponde a
escavação e busca das pressões de colapso.
Para o cálculo das pressões de colapso inferior e colapso superior, foram
desenvolvidas duas funções na linguagem de programação FISH (empregando o software
UDEC), as quais permitem avaliar o estado de plastificação da rocha intacta e o estado de
limite de atrito das fraturas na parede do poço para um determinado peso do fluido de
perfuração. Este procedimento foi realizado de forma iterativa testando vários pesos do
fluido de perfuração até que nenhum ponto ao redor do poço estivesse plastificado e
nenhuma fratura estivesse no limite de atrito.
Os resultados estabelecem que as condições de estabilidade diminuem quando a
poropressão e a anisotropia das tensões aumenta, assim como também se existem
orientações de fraturas entre 45 e 90 graus. Adicionalmente, foi verificado a partir dos
resultados obtidos que para a condição de parede do poço permeável os problemas
podem se agravar. Com base no anterior, se conclui que as recomendações nestas
100
condições são as seguintes: 1) perfurar as famílias de fraturas em direção a seu polo, 2)
manter um bom reboco na parede do poço, e 3) evitar pesos da lama elevados o que
pode ocasionar perda de fluidos nas fraturas e diminuição da estabilidade.
Foi realizada uma comparação entre a modelagem analítica convencional e a
modelagem numérica de estabilidade de poços em maciços fraturados. A diferença nos
resultados das pressões de colapso entre as duas modelagens é explicada em termos
variação as tensões in situ, a poropressão e os modelos constitutivos. As tensões obtidas
a partir das equações analíticas de Kirsch e as tensões calculadas numericamente são
muito similares longe da parede do poço. No entanto, foi verificado que nas vizinhanças
da parede do poço estes valores possuem uma diferença significativa. As causas destas
diferenças se devem principalmente à livre movimentação e deformação individual dos
blocos de rocha, assim como também a mudanças da poropressão, notando-se que estes
valores são maiores na parede do poço. Acrescenta-se a isso que o modelo constitutivo
analítico de Jaeger não leva em consideração a interação entre as famílias de fraturas, e
por tanto esse fato é estabelecido como mais outra causa dessas diferenças. Por tanto, a
depender das tensões atuando na parede do poço, assim como das geometrias das
fraturas utilizadas nas duas modelagens anteriores, mudaram as pressões de colapso no
poço.
6.2. Sugestões para trabalhos futuros
Nesta dissertação foi realizada uma analise acoplando os efeitos mecânicos e
hidráulicos como fatores dominante dos problemas de instabilidade. No entanto,
recomenda-se considerar adicionalmente os efeitos associados a parâmetros como a
temperatura e à atividade química das rochas, os quais são de grande importância em
rochas argilosas fraturadas.
Recomenda-se realizar modelagens numéricas três dimensões, a fim de avaliar
cenários geométricos diferentes aos avaliados na modelagem numérica em duas
dimensões.
101
Realizar estudos sob o efeito do carregamento e descarregamento da pressão do
fluido de perfuração nas paredes do poço a fim de simular as consequências deste efeito
na estabilidade do mesmo. Salienta- se que esta pratica operacional pode ser empregada
durante a perfuração de um poço de petróleo em meios fraturados (Nicolson & Hunt,
2004).
Recomenda-se validar os resultados obtidos pelas modelagens numéricas com
dados reais obtidos de situações em campo.
Desenvolver funções FISH para simular a diminuição do ângulo de atrito causada
pela infiltração da lama na parede do poço. Salienta-se que a diminuição do ângulo de
atrito causa, por sua vez, um efeito sobre a estabilidade de poços de petróleo (Chen et al.
2003).
Recomenda-se reproduzir o comportamento mecânico de maciços fraturados por
meio da elaboração de amostras artificias de rochas fraturadas em laboratório, a fim de
validar ou construir diversos modelos constitutivos para a caracterização de um
determinado maciço rochoso de interesse. Destaca-se que estudos similares têm sido
desenvolvidos e publicados nesta área (Sagong et al, 2011).
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108
Apêndice A
Figura A. 1 – Transformação de tensões num sistema coordenado.
2222
' SenCosSenCos VhHx (A.1)
22
' SenCos Hhy (A.2)
2222
' CosSenSenCos VhHz (A.3)
CosSenHhyx 25.0'' (A.4)
SenSenHhzy 25.0'' (A.5)
25.0 22
'' SenSenCos VHhxz (A.6)
Pw
σy
σy
σx σx θ
σθ
σr σx σx
σy
σy
σz
x´, σx
y’, σy
z’, σz
VZ ,
HX ,
hY ,
109
Figura A. 2 – Tensões em coordenadas cilíndricas atuando ao redor do poço.
(A.7)
(A.8)
(A.9)
(A.10)
(A.11)
(A.12)
2
2
2
2
4
4
2
2
4
4
2
2
243124312
12 r
RPSen
r
R
r
RCos
r
R
r
R
r
Rwxy
yxyx
r
2
2
4
4
''4
4''
2
2''
2312312
12 r
RPSen
r
RCos
r
R
r
Rwyx
yxyx
2422
2
2
''2
2
''' Senr
RCos
r
Ryxyxzz
223122312 2
2
4
4
''2
2
4
4''
Cosr
R
r
RSen
r
R
r
Ryx
xy
r
2
2
'''' 1r
RSenCos zxzyz
2
2
'''' 1r
RCosSen zxzyrz