jueves 16 de febrero de 2012 novena clase de 1:30 horas. van 12:00 horas
DESCRIPTION
Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas. Mecánica Cuántica. Programa del curso. I. Introducción 1.1 La ecuación de Schrödinger 1.2 Problemas unidimensionales 1.2.1 La partícula libre 1.2.2 Pozos 1.2.3 Barreras y tuneleo - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Jueves 16 de febrero de 2012Novena clase de 1:30 horas.Van 12:00 horas
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
†
:
, , ,
ET V E E T
T x y x T y x y V
T
Sea un espacio euclidiano lineal
Si para todo
es la transformación adjunta o hermitiana de
:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es hermitiana
ET V E ET
T x y x T y x y V
T
:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es antihermitiana
ET V E ET
T x y x T y x y V
T
*
: ,
,
:
b
a
f a b C f f a f b
f g f x g x dx
D D f f
es infinitamente diferenciable y
Producto escalar:
es un espacio euclidiano
Definimos la transformación lineal:
*
** *
*
,
,
b
a
b
a
b
a
dD f g f x g x dxdx
df b g b f a g a f x g x dxdx
df x g x dx f D gdx
*
: ,
,
:
b
a
f a b C f f a f b
f g f x g x dx
D D f f
es infinitamente diferenciable y
Producto escalar:
:Sea un espacio euclidiano
lineal es un valor propio y es el vector propio.
a) Si es hermitiana, es real:
b) Si es antihermitiana, es imaginario
puro:
ET V E E T
x
T
T
1
1
*
,...,
:
,...,
n
ij
n
ij ji
e e V E
T V E E
A a T
e e
T a a
i j
T
Sea una base ortonormal de
Sea lineal
Sea la representación matricial de
respecto a la base
a) es hermitiana si y sólo si
para toda y para toda
b) es *ij jia a
i j
antihermitiana si y sólo si
para toda y para toda
1
1
,...,
:
,...,
n
ij
n
e e V E
T V E E
A a T
e e
T A
Sea una base ortonormal de
Sea lineal
Sea la representación matricial de respecto
a la base
a) es hermitiana si y sólo si es autoadjunta o
ó hermitiana, es dec †
†
A A
T A
A A
ir,
b) es antihermitiana si y sólo si es antihermitiana,
es decir,
:
,, 0
Sea un espacio euclidiano lineal
Si es hermitiana ó antihermitiana, y y son valores propios distintos con vectorespropios y entonces y son ortogonales:
ET V E E T
T
x y x yx y
1
: dim
,..., n
ET V E E T V n
Tn
u u TV
Sea un espacio euclidiano
lineal y
Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen vectores propios de , que forman una baseortonormal de .
,..., n
k
k
T
u
1
La matriz de relativa a esta base es=diag
donde es el valor propiocorrespondiente al vector propio
1
: dim
,..., n
E T V E E T V nT n
u u T V
Sea un espacio euclidiano lineal y Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen vectores propios de , que forman una base ortonormal de .
1,...,
ij
n
A a
diag
Toda matriz cuadrada
hermitiana o antihermitiana essimilar a la matriz diagonal =
de sus valores propios.
1
1 †
,
.
C C AC
C
C C
La matriz que la diagonaliza, esi) La formada por los vectores propios normalizadosii) La matriz es no singular y es unitaria, es decir,
1,...,
ij
n
A a
diag
Toda matriz cuadrada hermitiana o antihermitiana es
similar a la matriz diagonal = de sus valores propios.
Transformacioneslineales
Matrices
Transformacioneslineales
Matrices
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son lostransformados de los vectores de la base.
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo es lineal
F
F x y x y x y
R R
RR
R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
2 11 1
F F x y x y x y
F F
A
R R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
1 0 1,0 1 0 2 1 2
0 1 1,0 0 1 2 1 1
1 0 0,1 1 0 1 1 1
0 1 0,1 0 1 1 1 1
2 11 1
F F x y x y x y
F F
F
F
F
F
A
R R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
21 0 1,0 1 0 2
12
0 1 1,0 0 1 11
11 0 0,1 1 0 1
1
10 1 0,1 0 1 1
1
2 11 1
F F x y x y x y
F F
F
F
F
F
A
R R
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son lostransformados de los vectores de la base.
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ˆ ,j i ije a a
L
El escalar es el elemento
de la matriz correspondiente a latransformación .
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ˆ ˆ,j i ije Le a
L
El escalar es el elemento
de la matriz correspondiente a latransformación .
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
1. A cada estado de un sistemafísico le corresponde una funciónde onda , .
La función de onda es un vectoren un espacio de Hilbert.
x t
2
3. (La hipótesis de Born) El cuadradode la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad delsistema.
x t x t x t
2
3. El cuadrado de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del sistema.
x t x t x t
2 Probabilidad de encontrar a la partícula,
entre y , al tiempo x t dx
x x dx t
2
Para una partícula en un estado ,la probabilidad de que esté entre
y es entonces
Prob( ) ,b
a
a b
a x b t x t dx
2
Es claro, que se tiene que tener
Prob , 1x x t dx
2
Para una partícula en un estado , la probabilidad de que esté
entre y es entonces Prob( ) ,b
a
a b a x b t x t dx
Un espacio de Hilbert es un espacioeuclidiano completo.
1. Es un espacio vectorial2. Tiene un producto escalar3. Es completo4. Es separable
22 , : ,b
a
a b f a b f x dx
L a R C
Sean : y :entonces
( )
Sea , entonces( )
f g
f g x f x g x
ccf x cf x
R C R C
C
22 , : ,b
a
a b f a b f x dx
L a R C
2 , es un espacio vectoriala bL
2
*
Sean , , ,
definimos
,b
a
f g a b
f g f x g x dx
L a
2 *Sean , , ,definimos ,b
a
f g a b f g f x g x dx L a
2
2*
Sean , ,
,b b
a a
f a b
f f f x f x dx f x dx
L a
2, , ,
V
x y x x y y
x y V
x y
En un espacio euclidiano , todos losproductos escalares satisfacen ladesigualdad de Cauchy-Schwarz
para todos los y en
La igualdad se cumple si y sólo si y sondependientes.
2
2 2 2*
Sean , , ,
,b b b
a a a
f g a b
f g f x g x dx f x dx g x dx
L a
2
En un espacio euclidiano , todos los productos escalares satisfacen la desigualdad
de Cauchy-Schwarz , , , para todos los y en .
V
x y x x y y x y V
22 , : ,
es un espacio vectorial
b
a
a b f a b f x dx
L a R C
*
Con la definición de producto escalar
,
es un espacio euclidiano
b
a
f g f x g x dx
22
*
, : ,
es un espacio euclidiano con ,
b
a
b
a
a b f a b f x dx
f g f x g x dx
L a R C
¿Es este espacio completo?
El teorema de Riesz-Fischer lo afirma
22
*
, : ,
con el producto escalar ,
es un espacio de Hilbert
b
a
b
a
a b f a b R C f x dx
f g f x g x dx
L a
*
Para este tipo de espacio de Hilbertse puede encontrar una base ortonormalinfinita numerable ; 1, 2,3, ;
es decir,
,
i
b
k l k l kla
i
x x dx
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k ka
f a b
f
f x f x dx
L a
1
1
Sea . Entonces
si para
n
n k kk
k kk
n
f
f
f f n N
1
Si
para toda en el espacioentonces se dice que el conjunto
; 1,2,3,
es completo.
k kk
i
f
f
i
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k ka
f a b
f
f x f x dx
L a
2
1
*
Si , , entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k ka
f a b f x x
f x f x dx
L a
1
1 1
, ,
,
k k j jj
j k j j jk kj j
f x
* * *
1 1
* *
1 1
* *
1 1 1
,b b
k k l lk la a
b
k l k lk l a
k l kl k kk l k
f g f x g x dx x x dx
x x dx
2
1
*
Si , ,entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k ka
f a b f x x
f x f x dx
L a
*
1 1
*
1
*
1
' ' '
' ' ' ' ' '
' '
b
k k k kk k a
b b
k kka a
k kk
f x x x f x dx x
f x x x dx f x x x dx
x x x x
2
1
*
Si , , entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k ka
f a b f x x
f x f x dx
L a
*
1
Se dice que un conjunto ortonormalde funciones es completo, si sesatisface la relación
' 'k kk
x x x x
00 0
xx
x
00 0
xx
x
0 0
1x dx
f x x x dx f x
2
2
ˆ
2
H E
V r r E rm
2 2
2
Una dimensión y 0
2
V
d x E xm dx
2
2
2V r r E r
m
2
22
d xk x
dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
22
22d x
E xm dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
2 2*
2*
En particular, si tenemos
i k k xikx ik xk k
k k
x x dx A e e dx A e dx
k k
x x dx A dx
Si el rango sobre el cual el espacioestá definido es infinito
el espacio de Hilbert
no es separable; es decir, no existeuna base infinita numerable.
x
En ese caso denotaremoslas funciones base como
;
donde es continuo y varíade a .
k
k
Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
En el punto el valor delas funciones de la base ;
se denotará ; .
x
k
k x
Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no esseparable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
*
La condición de completez se escribe
; ; ' 'k x k x dk x x
Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
*
En este caso las funciones de onda no se puedennormalizar.Se normalizan en el sentido de la delta de Dirac
; , ; ; '; 'k k k x k x dx k k
*
Sea una función del espacio.Entonces
;
donde
; , ;
f
f k k dk
k k f k x f x dx
*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx
*
*
; , ; , ' '; '
' ' '; ;
' ' ; ';
' ' '
k f k k k dk
dk dk k k k
dk k dk k k
dk k k k k
*,f g k k dk
*
*
; ; ; , ;
; ; ; , ;
f k k dk k k f k x f x dx
g k k dk k k g k x g x dx
2*,f f k k dk k dk
*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
2 2*
2*
En particular, si tenemos
i k k xikx ik xk k
k k
x x dx A e e dx A e dx
k k
x x dx A dx
1
Transformada de Fourier:
12
Transformada inversa de Fourier:
12
i x
i x
F f f x e dx
f x F F e d
F
F
2exp ;f x A x x R
11
A
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2x i xAF f e e dx
F
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2 2
2 22 2 2
2
2 2
2 2
4 4
2 4
x i x x i xA AF f e e dx e dx
x i x x i x x i x
x i
F
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2 2
22
24
2
2 2
2 2
x i x x i x
x ix i x
A AF f e e dx e dx
A AeF e dx e dx
F
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2
2
;2
x ie dx
x i d dx
e d
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
22
2 2
42
4 4
2
2 2
x iAe e dx
Ae Ae
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2exp exp42
La transformada de Fourier de una gaussianaes otra gaussiana
AA x
F
2
2 1exp exp42
F x
F
2
2 1exp 10 exp4020
F x
F
2
2 1exp 100 exp400200
F x
F
2
2 1exp 1000 exp40002000
F x
F
0 0x x x dx x
Nota: Estas "funciones" no satisfacen lascondiciones que hemos impuesto para laexistencia de la transformada de Fourier.No son funciones, son distribuciones.
12
1 2
x
F
F