jueves 16 de febrero de 2012 novena clase de 1:30 horas. van 12:00 horas
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Jueves 16 de febrero de 2012Novena clase de 1:30 horas.Van 12:00 horas
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
†
:
, , ,
E
T V E E T
T x y x T y x y V
T
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
es la transformación adjunta o hermitiana de
:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es hermitiana
E
T V E E
T
T x y x T y x y V
T
:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es antihermitiana
E
T V E E
T
T x y x T y x y V
T
*
: ,
,
:
b
a
f a b C f f a f b
f g f x g x dx
D D f f
es infinitamente diferenciable y
Producto escalar:
es un espacio euclidiano
Definimos la transformación lineal:
*
** *
*
,
,
b
a
b
a
b
a
dD f g f x g x dx
dx
df b g b f a g a f x g x dx
dx
df x g x dx f D g
dx
*
: ,
,
:
b
a
f a b C f f a f b
f g f x g x dx
D D f f
es infinitamente diferenciable y
Producto escalar:
:
Sea un espacio euclidiano
lineal
es un valor propio y es el vector propio.
a) Si es hermitiana, es real:
b) Si es antihermitiana, es imaginario
puro:
E
T V E E T
x
T
T
1
1
*
,...,
:
,...,
n
ij
n
ij ji
e e V E
T V E E
A a T
e e
T a a
i j
T
Sea una base ortonormal de
Sea lineal
Sea la representación matricial de
respecto a la base
a) es hermitiana si y sólo si
para toda y para toda
b) es *ij jia a
i j
antihermitiana si y sólo si
para toda y para toda
1
1
,...,
:
,...,
n
ij
n
e e V E
T V E E
A a T
e e
T A
Sea una base ortonormal de
Sea lineal
Sea la representación matricial de respecto
a la base
a) es hermitiana si y sólo si es autoadjunta o
ó hermitiana, es dec †
†
A A
T A
A A
ir,
b) es antihermitiana si y sólo si es antihermitiana,
es decir,
:
,
, 0
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si es hermitiana ó antihermitiana, y y
son valores propios distintos con vectores
propios y entonces y son ortogonales:
E
T V E E T
T
x y x y
x y
1
: dim
,..., n
E
T V E E T V n
T
n
u u T
V
Sea un espacio euclidiano
lineal y
Si es hermitiana ó antihermitiana,
entonces existen vectores propios
de , que forman una base
ortonormal de .
,..., n
k
k
T
u
1
La matriz de relativa a esta base es
=diag
donde es el valor propio
correspondiente al vector propio
1
: dim
,..., n
E T V E E T V n
T n
u u T V
Sea un espacio euclidiano lineal y
Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen
vectores propios de , que forman una base ortonormal de .
1,...,
ij
n
A a
diag
Toda matriz cuadrada
hermitiana o antihermitiana es
similar a la matriz diagonal
=
de sus valores propios.
1
1 †
,
.
C C AC
C
C C
La matriz que la diagonaliza, es
i) La formada por los vectores propios
normalizados
ii) La matriz es no singular y es unitaria,
es decir,
1,...,
ij
n
A a
diag
Toda matriz cuadrada hermitiana o antihermitiana es
similar a la matriz diagonal = de sus valores propios.
Transformacioneslineales
Matrices
Transformacioneslineales
Matrices
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son los
transformados de los vectores de la base.
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo es lineal
F
F x y x y x y
R R
R
R
R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
2 1
1 1
F F x y x y x y
F F
A
R R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
1 0 1,0 1 0 2 1 2
0 1 1,0 0 1 2 1 1
1 0 0,1 1 0 1 1 1
0 1 0,1 0 1 1 1 1
2 1
1 1
F F x y x y x y
F F
F
F
F
F
A
R R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
21 0 1,0 1 0 2
1
20 1 1,0 0 1 1
1
11 0 0,1 1 0 1
1
10 1 0,1 0 1 1
1
2 1
1 1
F F x y x y x y
F F
F
F
F
F
A
R R
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son los
transformados de los vectores de la base.
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
ˆ ,j i ije a a
L
El escalar es el elemento
de la matriz correspondiente a la
transformación .
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
ˆ ˆ,j i ije Le a
L
El escalar es el elemento
de la matriz correspondiente a la
transformación .
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
1. A cada estado de un sistema
físico le corresponde una función
de onda , .
La función de onda es un vector
en un espacio de Hilbert.
x t
2
3. (La hipótesis de Born) El cuadrado
de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del
sistema.
x t x t x t
2
3. El cuadrado de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del sistema.
x t x t x t
2 Probabilidad de encontrar a la partícula,
entre y , al tiempo x t dx
x x dx t
2
Para una partícula en un estado ,
la probabilidad de que esté entre
y es entonces
Prob( ) ,b
a
a b
a x b t x t dx
2
Es claro, que se tiene que tener
Prob , 1x x t dx
2
Para una partícula en un estado , la probabilidad de que esté
entre y es entonces Prob( ) ,b
a
a b a x b t x t dx
Un espacio de Hilbert es un espacio
euclidiano completo.
1. Es un espacio vectorial
2. Tiene un producto escalar
3. Es completo
4. Es separable
22 , : ,b
a
a b f a b f x dx
L a R C
Sean : y :
entonces
( )
Sea , entonces
( )
f g
f g x f x g x
c
cf x cf x
R C R C
C
22 , : ,b
a
a b f a b f x dx
L a R C
2 , es un espacio vectoriala bL
2
*
Sean , , ,
definimos
,b
a
f g a b
f g f x g x dx
L a
2 *Sean , , ,definimos ,b
a
f g a b f g f x g x dx L a
2
2*
Sean , ,
,b b
a a
f a b
f f f x f x dx f x dx
L a
2, , ,
V
x y x x y y
x y V
x y
En un espacio euclidiano , todos los
productos escalares satisfacen la
desigualdad de Cauchy-Schwarz
para todos los y en
La igualdad se cumple si y sólo si y son
dependientes.
2
2 2 2*
Sean , , ,
,b b b
a a a
f g a b
f g f x g x dx f x dx g x dx
L a
2
En un espacio euclidiano , todos los productos escalares satisfacen la desigualdad
de Cauchy-Schwarz , , , para todos los y en .
V
x y x x y y x y V
22 , : ,
es un espacio vectorial
b
a
a b f a b f x dx
L a R C
*
Con la definición de producto escalar
,
es un espacio euclidiano
b
a
f g f x g x dx
22
*
, : ,
es un espacio euclidiano con ,
b
a
b
a
a b f a b f x dx
f g f x g x dx
L a R C
¿Es este espacio completo?
El teorema de Riesz-Fischer lo afirma
22
*
, : ,
con el producto escalar ,
es un espacio de Hilbert
b
a
b
a
a b f a b R C f x dx
f g f x g x dx
L a
*
Para este tipo de espacio de Hilbert
se puede encontrar una base ortonormal
infinita numerable ; 1, 2,3, ;
es decir,
,
i
b
k l k l kl
a
i
x x dx
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k k
a
f a b
f
f x f x dx
L a
1
1
Sea . Entonces
si
para
n
n k kk
k kk
n
f
f
f f n N
1
Si
para toda en el espacio
entonces se dice que el conjunto
; 1, 2,3,
es completo.
k kk
i
f
f
i
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k k
a
f a b
f
f x f x dx
L a
2
1
*
Si , , entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k k
a
f a b f x x
f x f x dx
L a
1
1 1
, ,
,
k k j jj
j k j j jk kj j
f x
* * *
1 1
* *
1 1
* *
1 1 1
,b b
k k l lk la a
b
k l k lk l a
k l kl k kk l k
f g f x g x dx x x dx
x x dx
2
1
*
Si , ,entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k k
a
f a b f x x
f x f x dx
L a
*
1 1
*
1
*
1
' ' '
' ' ' ' ' '
' '
b
k k k kk k a
b b
k kka a
k kk
f x x x f x dx x
f x x x dx f x x x dx
x x x x
2
1
*
Si , , entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k k
a
f a b f x x
f x f x dx
L a
*
1
Se dice que un conjunto ortonormal
de funciones es completo, si se
satisface la relación
' 'k kk
x x x x
0
0 0
xx
x
0
0 0
xx
x
0 0
1x dx
f x x x dx f x
2
2
ˆ
2
H E
V r r E rm
2 2
2
Una dimensión y 0
2
V
dx E x
m dx
2
2
2V r r E r
m
2
22
d xk x
dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
22
22
d xE x
m dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
2 2*
2*
En particular, si tenemos
i k k xikx ik xk k
k k
x x dx A e e dx A e dx
k k
x x dx A dx
Si el rango sobre el cual el espacio
está definido es infinito
el espacio de Hilbert
no es separable; es decir, no existe
una base infinita numerable.
x
En ese caso denotaremos
las funciones base como
;
donde es continuo y varía
de a .
k
k
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
En el punto el valor de
las funciones de la base
;
se denotará
; .
x
k
k x
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
*
La condición de completez se escribe
; ; ' 'k x k x dk x x
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
*
En este caso las funciones de onda no se pueden
normalizar.
Se normalizan en el sentido de la delta de Dirac
; , ; ; '; 'k k k x k x dx k k
*
Sea una función del espacio.
Entonces
;
donde
; , ;
f
f k k dk
k k f k x f x dx
*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx
*
*
; , ; , ' '; '
' ' '; ;
' ' ; ';
' ' '
k f k k k dk
dk dk k k k
dk k dk k k
dk k k k k
*,f g k k dk
*
*
; ; ; , ;
; ; ; , ;
f k k dk k k f k x f x dx
g k k dk k k g k x g x dx
2*,f f k k dk k dk
*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
2 2*
2*
En particular, si tenemos
i k k xikx ik xk k
k k
x x dx A e e dx A e dx
k k
x x dx A dx
1
Transformada de Fourier:
1
2
Transformada inversa de Fourier:
1
2
i x
i x
F f f x e dx
f x F F e d
F
F
2exp ;f x A x x R
1
1
A
2exp ;
1Transformada de Fourier:
2i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2x i xA
F f e e dx
F
2exp ;
1Transformada de Fourier:
2i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2 2
2 22 2 2
2
2 2
2 2
4 4
2 4
x i x x i xA AF f e e dx e dx
x i x x i x x i x
x i
F
2exp ;
1Transformada de Fourier:
2i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2 2
22
24
2
2 2
2 2
x i x x i x
x ix i x
A AF f e e dx e dx
A AeF e dx e dx
F
2exp ;
1Transformada de Fourier:
2i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2
2
;2
x i
e dx
x i d dx
e d
2exp ;
1Transformada de Fourier:
2i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
22
2 2
42
4 4
2
2 2
x iAee dx
Ae Ae
2exp ;
1Transformada de Fourier:
2i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2exp exp42
La transformada de Fourier de una gaussiana
es otra gaussiana
AA x
F
2
2 1exp exp
42F x
F
2
2 1exp 10 exp
4020F x
F
2
2 1exp 100 exp
400200F x
F
2
2 1exp 1000 exp
40002000F x
F
0 0x x x dx x
Nota: Estas "funciones" no satisfacen las
condiciones que hemos impuesto para la
existencia de la transformada de Fourier.
No son funciones, son distribuciones.
1
2
1 2
x
F
F