juhász tibor - tankonyvtar.hu · ez a jegyzet az eszterházy károly főiskola programtervező...

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Publication date 2013

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

................................................................................................................................................ v .................................................................................... 1

........................................................................................................... 1 ......................................................................................................... 3

........................................................................................................................ 4 ............................................................................................................... 6 .............................................................................................................. 8 ............................................................................................................ 11

................................................................................................................... 13 5. Feladatok ............................................................................................................................. 14

.......................................................................................................................... 16 ..................................................................................................... 16

....................................................... 18 ............................................................................ 19

.......................................... 22 ............................................................................................. 23

6. Feladatok ............................................................................................................................. 26 3. Polinomok ..................................................................................................................................... 29

.................................................................................................... 29 ........................................................................................... 32

............................................................................................................... 34 4. Feladatok ............................................................................................................................. 35

4. Algebrai egyenletek ...................................................................................................................... 36 .................................................................................. 37

.............................................................................. 37 ............................................................................ 38

..................................................................................... 41 .............................................................................................. 42 ............................................................................................. 45

3. Feladatok ............................................................................................................................. 48 ....................................................................................................................... 51

1. Feladatok ............................................................................................................................. 60 6. Kombinatorikai alapok ................................................................................................................. 62

...................................................................................... 62 .......................................................................................... 65

.............................................................................. 66 4. Feladatok ............................................................................................................................. 69

.............................................................................................................................. 71 .................................................................................... 71

.......................................................................................................... 72 ................................................................................................. 73

............................................................................................... 76 ................................................................................................................... 80

........................................................... 83 7. Feladatok ............................................................................................................................. 85

................................................................................................................. 87 1. Feladatok ............................................................................................................................. 92

9. Vektorterek ................................................................................................................................... 95 ............................................................................................. 102

2. Vektorrendszer rangja ....................................................................................................... 106 ........................................................ 107

3. Feladatok ........................................................................................................................... 109 ..................................................................................................... 111

1. Cramer- ................................................................................................................. 113 2. Gauss- ............................................................... 113

............................................................................................ 115

iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.

2.2. Gauss-Jordan- ...................................................................................... 117 ............................................................................... 119

4. Feladatok ........................................................................................................................... 120 ................................................................................................................. 123

1. Izomorfizmus .................................................................................................................... 129 ................................................................................................... 130

................................................................................... 133 4. Feladatok ........................................................................................................................... 134

....................................................................................................................... cxxxvi

v Created by XMLmind XSL-FO Converter.

A fejezetek

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1. fejezet -

nk a

-

az egyetlen eleme, a 2 pedig a

s.


1.

a b


2.

, azaz

3.

- -

eggyel szorozzuk.

(kiolvasva: a b), ha van olyan c

(akisebb, mint b), ha de

n egy ter H

- n- -et is,

akkor H on alapszik egy fontos

1.

2.

n -

nnak


Alkalmazva az (1.1)

(1.2)

(1.1)

k-

1.2

k darab

. Az -egy k

nesnek,

figyel k

k

hogy az


-

egyenlet me

hogy a szi n

n

halmazt az , elemeit pedig

ez

x

s, mint az

, ha

, akkor a-t , ha pedig , akkor a-t

1.1. a b

q r .

a- b- q-t

az r-

- -

Bizony

azaz az

r. Ekkor valamely k

. Innen az

b

v


b

Az - . A bal

, ami azt jelenti, hogy q r

Az 1.5

r

-

a b -

nak a b-vel, vagy: a b-nek), ha van olyan c

.

1.


2.

3.

A

4.

Ha , akkor vagy .

5.

Ha , akkor .

6.

Ha , akkor .

k l . Ekkor

d a b

d az a- b- , akkor ,

a b

a

alatt a b

a b

;

azaz vagy d az a b is az.

.

Most meg

a b . Ha

a

alakban, ahol


ahol -

a b euklideszi algoritmusnak, az az

a- b- (1.3)-(1.7)

a- b-nek. De ha d

hogy , vagyis

.

fogalma. Aza b

azt az m - b-nek,

azaz a b , akkor

a b

-

pedig


1.

Egy 0- -

vagy 1.

2.

Egy 0- - - vagy

2-nek, sem a 15-

1.2. Minden 0- -

-nek a , ,

-

valamely k-

-

,

is.

. Ekkor

. Mivel

(1.8)-


n egy -

1-

. Innen egy

n-

nem cs -

Ha

n term

nevezni.

, akkor d kanonikus alakja

ahol d

tnek jelen, melyek n

n-

ha n m megkaph n m kanonikus

=28.

- -

N

N

ami ellentmond annak, hogy

Ha az - -e 1-

n p. Ekkor valamely c

e c n- . Innen

hogy az -

- - -ig

-

n

- n-ig:

-at,


eratosztheneszi szita

-

0-ig

-vel megszorozva egyet

a b , a-

b- mondjuk. Az .


,

jel nem ugyanaz. A bal

oldalon a

a

a b

lesz, melyek pontosan az , illetve

a-

Az is igaz, hogy a 0 (azaz a

-


t

- -et minden -

osztja, vagyis minden -gyel

l el lehet

. Ekko

A

helyezkednek el a

a

b

x

-

jutunk el a . A


5. Feladatok

1.1. Feladat. Igazolja, hogy

a.

n ;

b.

n ;

c.

n

1.2. Feladat. Igazolja, hogy

minden

1.3. Feladat.

1.4. Feladat.

1.5. Feladat. ?


1.6. Feladat.

a b

1.7. Feladat.

1.8. Feladat.

1.9. Feladat.


2. fejezet -

en

-

w

ont, nevezetesen a pont,

pont

rmely


van olyan pont, mellyel -

a vagy b

esetben a a- b-vel szorozva kapjuk, hogy

egyenlethez jutunk. Innen kapjuk, hogy

Ha (2.1)- yenletet szorozzuk b-vel, a

a-

ig a

.

R-

R-nek:

R-ben a

,

R R elemei


A harmad

-gyel

ot i- az

a-val. Ekkor az

algebrai alakban adott komplex

:


a

z w

z

;

;

;

;

ha , akkor .

akja

-rendszer

ponton. Ezt az .

, az

. Ne


Az

2.4. Az


Az -

;

.

r

argumentuma, akkor a 2.2

z

. Legyen most

. Ekkor

, ahol k

z

z trigonometrikus alakja: .

A


n- n ,


Moivre-

-

. Innen

ugyanis ekkor

-

n-

Legyen n n- n-

z

z n-

jelet

n-

Legyen zn-

alakban. Ha egy n- z-nek, akkor -

-


valamely k

z n-

n-edik

trigonometrikus alakja

. A k

Folytatva ezt, a esetben

esetben.

Legyenek u v n-nel:

, ahol q t . Ekkor

esetben lesz

(2.2)

n- (2.2)

n k

n darab n-

- .

n darab n- -edik e

(2.2)

(az (2.2) n-

ahol


n-

-et

i .

Az n- n- z

w a z egy n- z n-

w- n-

videos/egyseggyokanim.html


(2.2) esetre, azt kapjuk, hogy az egyik negyedik

, azaz .

n-

) a kompl n-

6. Feladatok

2.1. Feladat.

2.2. Feladat.

1.

;

2.

;

3.


?

2.3. Feladat. Adja meg az

, han

2.4. Feladat. Hozza algebrai alakra a

2.5. Feladat. Legyen

2.6. Feladat. Adja meg a

2.7. Feladat. Fejezze ki a

2.8. Feladat. Adja meg a

2.9. Feladat.

2.10. Feladat.

2.11. Feladat. Legyen a a

2.12. Feladat.

2.13. Feladat.

alakban; ekkor .)

2.14. Feladat.


egyenleteket!


3. fejezet - Polinomok Legyen T

T elemeit, az x

x T-

a T n T

feletti polinomnak mondjuk. Az

- f -

x x

T- x

-

x- T

(3.1)

n-

azonosan nulla polinomnak ne -val

Ha k . Ezt a k f polinom

-

hogy ne kelljen az azonosan nulla polinom

.

A T

A T

tagok szorzata x

. Ekkor

-

sem, azaz

Polinomok


f g

T-beli

minden f f

ko

polinom.

T

elemei.

l tudunk

3.1. f g ( ) T feletti

q r T feletti polinomok, amelyekre

, ahol r foka kisebb a g

q r

polinomok, melyekre

ahol is kisebb mint

g

polinom viszont g-

(3.2)

is azonosan nulla kell legyen, ahonnan

q r polinomok. Legyenek

n, illetve m- , akkor a

. Az esetben osszuk el f g

Polinomok


g- f - :

f legmag foka kisebb, mint f foka.

Ha

f helyett az

polinomot, melyre igaz, hogy . Ha

helyett -vel.

Mivel az k-

q polinomot az f r

f

g

A g - f

Vonjuk ki f -

A von g -

g

g - -

Polinomok


g

2. Polinomok

Legyen egy T t adott eleme T-nek. Az

T- polinom

f T

f -hez

Az

Horner- , melynek alapja, hogy az

x

x-

Polinomok


x t-

null

t

Ekkor(3.3) szerint f polinom t helyen vett

3.2 polinomba -

Horner- polinom helyen vett

tag

rner- f

Polinomok


Azt mondjuk, hogy az polinomnak, ha . Itt T

esetben f - t

f i

(3.4) t f polinomnak, ha f

alakban, ahol q f . Ekkor az f polinom t-

T feletti

polinomok, hogy . Ha t f polinomnak, akkor . Mivel T-

vagy

vagyis t f polinomnak, ha vagy g-nek, vagy h-nak (esetleg mindkett

Legyen az f . Ha -nek van

-

ahol f - polinommal,

hogy ekkor az f

3.2.

amennyi a foka.

n nulla polinomnak T

Ha a (3.5)

mondjuk, hogy -nek. Pontosabban, ha s, akkor -t f s-szeres

mondjuk.

3.3. n-

n

Ha az f g polinomok b

, azaz b

polinomnak. Ha f g n

Polinomok


megegyeznek, az azt jelenti, hogy az n

De ha f g legfeljebb n-

- n- az azonosan nulla

polinom, vagyis .

n-

megmondjuk

lt is

3 5]

4. Feladatok

3.1. Feladat.

3.2. Feladat. f polinomot a g-vel!

a.

b.

3.3. Feladat. - -e az

3.4. Feladat. -

3.5. Feladat. c

helyen 3 legyen!

3.6. Feladat. n-

orner-

3.7. Feladat. i!


4. fejezet - Algebrai egyenletek Egyenlet alatt egy F G x-

alatt mindazon t- F, mind a G

elemeit az egyenlet

egyenletetekvivalensnek

ekvivalens egyenletet kapunk, az egyenlet ekviv

Mi most csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor

ugyanannak a polinomnak a

egyenlet

polinom. Ha f

egyenletet algebrai egyenletnek algebrai egyenlet

az f t

ha t az f

nevezni.

A

4.1.

(3.5)

alakban, ahol a f f

3.2

nem lehet nagyobb az egy

polinom foka.

Az szorzatot kifejtve, egy olyan

polinomot kapunk, ahol:

Algebrai egyenletek


k darabot az

(4.1)

,

ismert

algebrai egyenlet

1.1.

a-val:

Algebrai egyenletek


a l kell, hogy

, akkor

ahol za D

Az , a

melyek

.

a-val:

x -t! Ekkor a

p q

(4.2)

. Ha , akkor (4.2) y

p, sem q nem nulla. Legyenek u v

Algebrai egyenletek


(4.2) u v komplex

gy

a(4.2)

w a komplex

u- v-re is 3- (4.2) egyenlet

-

is adja meg(4.2)

u

(4.2)

A

Algebrai egyenletek


egyenlethez jutunk. A (4.2)

Innen

Algebrai egyenletek


. A (4.3)

-t:

Az ,

-

4.2. -Abel-

egyenletnek nin

f polinom az

Algebrai egyenletek


algebrai egyenlet egy t

q

-

fogjuk megmutatni,

4.3. Ha a t

akkor is az.

Ha t

hogy , azaz

amely pontosan azt jelenti, hogy polinomnak, azaz .

f polinom(4.1)

Ha a

polinom. Ha pedig

mondjuk . Ekkor a - -

nt

4.4. feletti polinom fe -

Ha az f (4.1)

4.5.

Algebrai egyenletek


4.6. - Legyen . Ha f ,

akkor minden olyan ely az

, amelyre .

A Bolzano-

f f

miatt vannak olyan a b

. Ekkor - f

azaz az

4.7. Az

r

r alakban, ahol u az -nak, v pedig az -

Minden r ra alakban, ahol u v ,

r

videos/bolzanoanim.html

Algebrai egyenletek


-nel az

v-

v- v-

u v v -nek.

z u- u

az -nak.

szorozva vele ekvivalens

-

-hez tar

Algebrai egyenletek


Az -

melyet (4.4)-

Az ,

hanem minden olyan egyenletre, ahol f egy

Algebrai egyenletek


pontokat az intervallumban, melyekre

Ha nincsenek ilyen pontok, akkor az egyenletnek nyil intervallumban. Ha vannak,

akkor a Bolzano-

Algebrai egyenletek


. Az

- , vagy az

n-

n tart a

sorozat az egyenlet egy

s az

Algebrai egyenletek


P intervallumon, 0,1

intervallumon.

Legyen . Ekkor

intervallum biztosan tartalmazza az egyenlet egy

az

. Mivel ,

most

Az ,

3. Feladatok

4.1. Feladat.

a.

b.

videos/ifanim.gif

Algebrai egyenletek


c.

d.

e.

f.

g.

4.2. Feladat.

a.

b.

c.

4.3. Feladat.

a.

b.

4.4. Feladat. Oldja meg az

,

4.7

Az ,

Algebrai egyenletek



5. fejezet -

S

Az S S

S-beli elemet


f

helyett pedig az

Az S

ahol a T feletti (T

Azt mondjuk, hogy az S , ha minden

5.1. Ha az S

Legyen

B. Az n . Ez -ra az

n- B

alakban, ahol C D legfeljebb

D elemet tartalmazza, akkor

C-re D

, ahol E-ben az elemek sz

legfeljebb -re,

kapjuk, hogy

Azt mondjuk, hogy az , ha

, stb.

Legyen az S Ha S-ben van olyan e elem, hogy

e elemet (a

is

az


a T

polinom;

egy H

ha e f ,

Legyen az S e. Azt mondjuk, hogy az S

halmaz a , hogy x

elemet az - a

aell

gyakranreciproknak

A

lemnek van inverze, a -ban

csak a

5.2. Legyen

1.

S

2.

Ha az - - .

3.

Ha az a bS- -

.

b c az a elem inverzei. Ekkor

2. Mivel a -

.

Az S , ha minden


5.3.

igaz.

Azt mondjuk, hogy az csoport, ha S- S

csoportban

csoportnak vagy Abel-csoportnak , ,

-

5.2 S

- .

-

Legyen H G-nek. Azt mondjuk, hogy G-nek, ha is

csoport, azaz H maga is csoportot alkot a G-

csoportnak a -e vagy

5.4. - A csoport H

rmely

H ,

H-nak.

b helyett a-t

is benne van a H- b helyett e-

azt kapjuk, hogy is a H- H H

a helyett -

a H G-

1.

Abel-csoport;

2.

minden


.

, ,

H a H

metszet pedig


, elemeire

-

R H

R-nek R-beli

5.5. - A H

is elemei H-nak.

m egy

, illetve alatt az

, illetve m-

m

Az 5.3 , az 5.4 -

-

-


Az a

, hogy vagy . Az R , ha nem tartalma

-

vagy

hogy ha egy R a

a

elem, hogy -

Az testnek Abel-

k, hogy az

pontosan akkor test, ha m

Legyen T T n

a Ttest n, akkor azt mondjuk, hogy a .

p. A test

Ha a T T-

mondjuk.

T

T a vagy

T

akkor is igazak maradnak, ha T alatt a fen

Legyen most polinomokat. Mivel a test

f - g-


) de csak

algebrai

1.

2.

-re.

H

H) ,

- ), melyre igaz, hogy

Boole-

pedig komplementer-

1. Feladatok

5.1. Feladat. H

-

5.2. Feladat. Igazoljuk, hogy

Van- eleme?

5.3. Feladat. Csoport-e a , ahol

5.4. Feladat. Csoport-e a , ahol ?

5.5. Feladat. Legyen c

csoport, ahol

5.6. Feladat. Igazolja, hogy az


C

5.7. Feladat. Legyen H a H

5.8. Feladat. -

5.9. Feladat.

egyenletnek az

5.10. Feladat. Igazolja, hogy -nak!

5.11. Feladat.

5.12. Feladat. Vezessen be a

komplementer- -algebra legyen!


6. fejezet - Kombinatorikai alapok

biten

Ha n k

elem egy k- kapjuk.

n elem k-

bit, melyen

ra

oka, hogy

alkal

-

Ha

k k-adikat darab elem

Kombinatorikai alapok


k

Ha n k

n elem egy k- kapjuk.

n elem k- n darab, a

k-adik

Az n az

n n elem egy

n n

n

a-

Ha n n

n darab elem egy

n darab elem

Az

-



Ha n k

n k

akkor az n elem egy k- kapjuk.

n k-

Az , az n alatt a k -nak

olvasunk. Ha pedig , akkor - n

n- -

Ha n k

n elem egy k- kapjuk.

n elem k-ad os

n

k

! Ekkor

ndarab elem minden k- darab elem pontosan egy k-



-

-

Az adunk

n olyan n

:

lesz, melynek minden tagja

(6.1) pontosan k x-

y- n k darabot pedig -

6.1. Legyenek valamely T n

n-

. Pontosan ezt a

tagot kapjuk, ha (6.2) n - -

- -



esetben kapjuk az tagot.

6.2. tel). Legyenek

valamely test elemei. Ekkor

A

n

.

n k darab elem, melyet

n -

k darab

pedig az eredeti n

, azaz



6.2

A Pascal-

-et

Pascal- n- k-adik

. A (6.3) a Pascal-

Az



- - - k-

A (6.5) , esetben

(6.4)



4. Feladatok

6.1. Feladat. -

nem oszt -zel?

6.2. Feladat.

6.3. Feladat.

6.4. Feladat.

6.5. Feladat.

6.6. Feladat.

meg?

6.7. Feladat.

6.8. Feladat.

ilyen

6.9. Feladat.

6.10. Feladat.

6.11. Feladat.

6.12. Feladat.

gy biztosan legyen

6.13. Feladat. n

6.14. Feladat. A (6.5)

6.15. Feladat.

6.16. Feladat.

6.17. Feladat. Igazolja, hogy a Pascal- n- !



6.18. Feladat. Igazolja, hogy a Pascal- n-

6.19. Feladat. Legyen n . Igazolja, hogy


7. fejezet -

Legyen , ahol az

f

azM , akkor

a

f az M

akkor az

n n

n

az M

csoport, ahol a M halmaz -

esetben, mikor , n-

- egy f

alakban fogjuk megadni:

mint a -hez a

6- -hoz a 4- -hez 4-et.

Azt mondjuk, hogy az

a k l , ha , de az f

f , ha .


f

i j

i j

i i j x

nek, ha abban voltak, nem lesznek), ha az x j

akkor a

-

f

legyen az inverze. Ekkor , I -

-

Legyenek m n , ahol

T test elemei. Az


T test feletti)

T-beli elemek m n

Az , az elemeket pedig a

AB

Az A az

A

B

Az

A , illetve

i- j- -

z

- -

n-edik sor -


f f

A

azt a T T

elemet rendeli. A elemet az

T

A szorzatot az A f

Az

-

, az - . Az A

Legyen most


egy adott A csoportra,

Az A

A

7.1 (7.1)

A


, illetve

mind

a

T test feletti

T

7.1.

Tekints

. Ekkor

-

szorzat megjelenik az A


-

j-t, melyre ; ekkor

f g

7.2.

nulla.

7.3.

elemek az i-edik sorban


7.4.

c c-

c c- tozik,

c-t

7.5.

Teg i- j-edik sorok

A f

i- j-

f g

7.6.

7.7.


-

az

A

fokozhatjuk, ha az dikat,

7.8.


i-edik sorhoz a j-ediket, majd

aj- i- i- j-ediket! A 7.6

7.7

Egy -ad egy olyan

k k

A ald

azon

oszlopok indexei , akkor a d-


A

kompleme

.

7.9. Lemma. A dk-

d

k

elemeket

- d gja

az elemeket hagyja fixen, akkor g-

tagja

-nak is tagja. A

ami pontosan a

sarokban jelenjen meg. Ha B

tagja d-nek, pedig -nak,

tagja -


tagja -nak.

7.10. - kdarab

sort k-

k- d A

d tagjainak szorzatai tagjai -nak. Ez darab

k

k- en tagot kapunk. Mivel ezek a tagok

- .

Ha a fenti A

k 0- -

gy a Laplace-

7.11.

-

Ha most az A


7.12.

kapunk.

Szorozzuk meg az i- i-

j-edik sor megfe

t; ekkor

ahol

t j- j-edi i-

B. Ekkor t

j-edik sorra, kapjuk, hogy . De mivel B

val

azaz

felett minden elem nulla:

vagyis ha

7.13.


7.1

7.8

. eleme nulla legyen. Ekkor a7.7.

Most pedig l

1.


1 lesz,

2.

3.

4.

5.

szorzata, azaz .

7. Feladatok

7.1. Feladat. ordulhat-

7.2. Feladat. Az

a.

b.

szorzatok?

7.3. Feladat.


7.4. Feladat. Mi a kapcsolat az A B

7.5. Feladat.

fel?

7.6. Feladat.

konstanssal szorozzuk?

7.7. Feladat. x

7.8. Feladat.

7.9. Feladat.

7.10. Feladat.

A V Vandermonde-


8. fejezet -

azt az

minden

T test feletti

T

(

minden Abel-csoport.

A B

A B A

i-ediket), a B j-edik),

n

i- j-edik eleme (8.1

azt az

minden


Legyenek

Az


mutatja, hogy a szorzat egy

,

,

,

.

8.1. Ha , , akkor

ekkor az

hogy az

T

test,


8.2.

Ahhoz, hogy

mind

T-

-

8.3. Ha A B

Legyenek C az a

A


ban az az ,

B

A Laplace- n

-edik sor - -edik

sor - -edik sor -

-edik sor - -edik sor -

-edik sor -

azn-edik sorhoz adjuk az -edik sor - -edik sor -

-edik sor -

7.7 -

n

Mivel a

.

8.4.

A

ez B. Ekkor

.


F

ahol az A

A-

, azaz B A inverze.

trix hogyan

akkor miatt A-

A

meg.

soportot alkotnak a

1. Feladatok

8.1. Feladat.



Adja meg az

8.3. Feladat. Igazolja, hogy ha

!

8.4. Feladat. Keressen az

8.5. Feladat. Keresse meg azokat a


Van-e G-

G csoporto

8.7. Feladat.

8.8. Feladat. Igazolja, hogy ha A

.

8.9. Feladat. Oldja meg a

8.10. Feladat. Igazolja, hogy mindazon

8.11. Feladat. Csoportot alkot-

halmaz?


8.12. Feladat. Legyen A valamely n

Mutassa meg, hogy !


9. fejezet - Vektorterek

Legyen V T egy test. Azt mondjuk, hogy a V T-beli)

, ha adva van egy

- a -

T test feletti A

-

Legyen egy Abel- T egy test. Azt mondjuk, hogy T test felett,

T-

1.

,

2.

,

3.

,

4.

.

Ekkor V elemeit vektoroknak

1.

T test felett.

2.

A T n-esek ha T

Ezt a vektorteret - vagy

Vektorterek


3.

4.

T-

a T

5.

6.

az euklideszi geometriai teret. Az

mondjuk. Az

p

- -

- Szabadvektorok alatt az ezen

ekvivalencia-

a b szabadvektorok egy- a

b c azt a szabadvektort, melyhez az a fenti

b a

b c 9.2

Vektorterek


9.3

a szabadvektor a-nak

egy reprezen O azA

Ekkor alatt az

O- pontot. Le

a

jelenti.

Az a

Vektorterek


9.5 9.6

Vektorterek


Legyen V T test felett,

vagy .

A V L L V -

- 5.4

9.1. A V L

is elemei L-nek.

1.

2.

-

3.

n-

4.

Az

5.

Vektorterek


alterei

H , akkor a b

, akkor is benne

H

vektorrendszeren

V H egy

zere V -nek. A alatt V a H

V

tartalmazza a H H

-t is.

a V H-

Vektorterek


Legyenek a V

vektort az vektorok

elemeit.

9.2. Legyen V H V -nek. Ekkor

H-

a H-

a b H-

videos/vektor.html

Vektorterek


H-beli vektorok az

is H- egy H-

V -ben,

alteret a H vektorrendszer

1.

2.

3.

megegyezik.

A V H , azaz V

H-b

Az

ll H

nevezetesen

sem haladja meg az ezen polino

Legyenek adott vektorai a V

akkor, ha

Vektorterek


H

akkor minden H-

9.3. A V vektorai, ahol

mondjuk -gyel osztva, majd

vagyis az

vektorok

1.

ha

2.

3.

A

V -

9.4. Legyen B a V

1.

Vektorterek


B V -nek.

2.

B V -nek.

3.

V B

Mivel B vektor

B- 9.3 Ba-val

B

vektort! Mivel B

vektorok, hogy a

B-

B-

azaz B

Te B-

Mivel B

V B-

B

B

nulla B B

isa

Vektorterek


V

.

.

V n n

V - n-

Legyen a V

n n-

- , akkor azon

, az a vektor

Ha aza

a egy -beli

x y v

rendre , akkor az

komponensei lesznek.

Most megmutatjuk, hogy az

, ahhoz, hogy az

vektorral, ha

E

-

Vektorterek


ahonnan , azaz

vektor

(9.1) egyenlet bal

olda

egyenletrendszerhez jutunk, melynek

b

b

2. Vektorrendszer rangja

Azt mondjuk, hogy egy vektorrendszer rangjar r

9.5. H

vektorrendszer rangja r b egy

ol

valamely

vektorrendszer rangja nem lehet lenne, akkor

b

. Ekkor az

r

(9.2) b

az vektorrendszer rangja nem lehet r.

Vektorterek


T test feletti -beli vektorokat (ezeket a

a sorvektor- A

9.6.

1.

Az A r.

2.

Az A - r.

3.

Az A r- -

- -

elemi so

rral.

1.

2.

A

Vektorterek


9.7. Minden

Gauss-

,

az

1.

2.

3.

4.

Vektorterek


5.

Az A

A

3. Feladatok

9.1. Feladat. Vektorteret alkotnak-e a pontosan n-

9.2. Feladat. Igazolja, hogy V

feltenni, hiszen azt a 1.

vektorra!)

9.3. Feladat. Mutassuk meg, hogy -ben a

halmazok alterek! Adjon meg egy-egy

ezekben az alterekben!

9.4. Feladat. Mutassuk meg, hogy a

!

9.5. Feladat. Adottak az x polinomok -ben. Mely polinomokat kell

kapjunk?

9.6. Feladat.

9.7. Feladat. Mutassa meg, hogy az vektorrendszer

-nek!

9.8. Feladat. Mutassa meg, hogy az ektorai -

nek!

9.9. Feladat. Mutassa meg, hogy a

alkotnak -

9.10. Feladat. Mutassa meg, hogy egy adott A

A -

9.11. Feladat.

melyeknek van l

9.12. Feladat.

a.

Vektorterek


b.

c.

d.

e.

f.


10. fejezet - egyenletrendszerek A

objektumot, ahol adott T n m

A , elemeit az

, B-t a szabadtagok , az


-beli vektor, hogy az

i- X az ismeretlenek

vektoros alakja

B

9.5

r), akkor az r

darab ve B

10.1. -Capelli).

n

, akkor az

a kisebb, mint az ismeretlenek

melyek nem mindegyike nulla, hogy

Ha


azaz -

egyenletrend

1. Cramer-

10.2. A

ahol A

annak k- B

Mivel , a Kronecker-

helyett x y

2. Gauss-

ekvivalensnek mo


10.3.

legyen:

ahol

legyenek ezek rendre a T test

-t:

.

Oldjuk meg az


melyben

aholu u nk.

t, ahol

vektorokE

a


Innen

A

avektor.

A (10.2)

egyetlen pont.

b A lesz,

szabadtagjainak vektora pedig b


-

2.2. Gauss-Jordan-

a harmadik sort osztjuk 1/3-

-mal:


Gauss-Jordan-

az a b E .

-Jordan-

A Gauss-Jordan-

-Jordan-

inverze.

A 8. fejezetben az

-Jordan-

az

A j- ) mint


E j-

-Jordan

pedig pontosan ezeket oldjuk meg egyszerre.

-

-ben (n .

Legyen H altere a V . Ekkor az

halmazt a elemet az

10.4. Legyen V T test felett, H altere V -nek, .

Ekkor

1.

kor, ha ;

2.

az Tfelett, ha

V H

10.5. Ha az

-nek, ahol az

H pedig az

miatt

, azaz .


(10.1) -

melyben

ahonnan

- (10.1)

4. Feladatok

10.1. Feladat.


a.

b.

c.

d.

e.

f.

10.2. Feladat. Igazolja, hogy egy n ismeretlenes, T

-nek!

10.3. Feladat.

a.

b.


11. fejezet - Legyenek vektorterek ugyanazon T

- a b vektor is eleme -

vektor is eleme,

-e a vektorral.

Az a vektorra is eleme -

vektorok elemei. Mivel ugyanazon T vektor is eleme.


A

kapjuk- a vektort szorozzuk meg a

avektorra a az a vektor

-val. A

Ha

,

- ), valamint a vektorok adott

Legyen , , vagyis

,

pontot -


11.1. A

1.

.

2.

Minden .

3.

Ha L a altere, akkor a halmaz altere -nek.

4.

Ha , akkor

5.

6.

Ha L

- .

1.

2.

ahonnan

3.


Legyenek -beli vektorok. Ekkor vannak olyan a b vektorok L-ben, hogy

. A

Mivel

4.

n vektorra igaz.

5.

Ha -nek, akkor

6.

-

.

, .

11.2. Legyen

vektorhoz a


vektort rendeli, ahol az a vektor

, akkor

A a

a

A

nullvektora

A

halmaz


halmazok.

11.1 - megmutatjuk, hogy a mag is az.

11.3. A -nek.

Legyen

miatt

-ben.

11.4. A line .

. Ekkor

, azaz esetben

csak

11.5.

Legyen -


ahol

Mivel -

azaz -nek.

11.6. Legyenek

A

nevezni.

1. Izomorfizmus

izomorfizmusoknak vektorterek

izomorfak

11.7.

megegyezik.

egy izomorfizmus a

B -nek. A 11.1 -nek,

amely a 11.5 B

n T test

f - - rendelje minden

- n-

tasorhoz

n

T n

vektorteret alaposan megismerni.


Legyen V V -

Ha automorfizmusnak

, , ahol

-

Legyen A adott T test feletti ,

elemeit

11.8.

Legyen 11.4

Legyen T test feletti V egy V -

E alatt azt az

i- vektor E

11.9. Legyen V egy V -

E A. Ha

, akkor

Legyen . Mivel

az

mint tudjuk


Az

a b

. A

-ra.

egy vektor

-

A zuk a pont


pont.

T test feletti V

,

akkor legyen

T V -

E A B, akkor a

V egy n T test felett, melynek E egy adott

V -

E

V -

a V -

A B, akkor , ugyanis

j- vektorE -

ha a V -

V

- V - egy

V -nek, , . Ekkor minden

E , ahol a

rendezett elemn-es j- E A


leme . Az

A

V -

Legyenek V

11.2

melyre

E S. Ekkor S olyan T j-

vektor E -oszlopa szerepel. Ezt az S

- F- . Mivel S

F- E-

akkor az - -

vektorok E

Gauss-Jordan-

e-

S

11.10. Legyenek V -ben,

Saz E- F- , valamint

a bvektor E, illetve F

Legyen . Mivel


- F- -

11.11. Legyenek V -ben,

S azE- F- V -

E F A B. Ekkor

.

Legyen . Ekkor

ahonnan , azaz

4. Feladatok

11.1. Feladat.

1.

2.

3.


4.

5.

11.2. Feladat. Adja meg az

a.

b.

c.

11.3. Feladat. Ha V egy n

cxxxvi Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Typotex, 2007.

2002.

juhász tibor - tankonyvtar.hu · ez a jegyzet az eszterházy károly főiskola programtervező...

Documents