Institut für Plasmaphysik ,

K ERN F,O R S C H U N G SAN LAG E J 0 LI C H

des Landes Nordrhein-Westfalen - e. V.

ASSOZIATION EURATOM-KFA

Uber die Parametrisierung

der Lösungen der Vlasov-Gleichung

von P. Gräff

Jül - 203 - pp November 1964

Als Manuskript gedruckt

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Dok.: VlASOW-EQUATION

DK: 536.758

Zu beziehen durch: ZENTRALBIBlIOTHEK der Kernforschungsanlage Jülich, Jülich, Bundesrepublik Deutschland

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Ober die Parametrisierung

der Lösungen der Vlasov-Gleichung

von P. Gräff

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

I. GÜltigkeitsbereich der Vlasov-Gleichung 5

II. Die Vlasov-Gleichung als Gleichung eines gege-

benen Einzelsystems 12

1. Vlasov- und Maxwell-Gleichungen als selbst-

konsistente Zweifeldertheorie 12

2. Individualisierung, Teilchenaspekt und die

Vernachlässigung der Selbstenergien 14

III. Das Anfangswertproblem 18

1. Kompatibilitätsbedingungen und "zulässige"

Flächen 18

2. Das zeitliche Anfangswertproblem 19

3. Das räumliche Anfangswertproblem 20

4. Die Unlösbarkeit des räumlichen Anfangswert­

problems und die Notwendigkeit einer Parame-

trisierung der Lösungen 23

IV. Die Parametrisierung der Vlasov-Gleichung ohne

Magnetfeld 25

1. Die Charakteristikenmethode 28

2. Momentenverfahren 1m Ortsraum 36

3. Momentenverfahren 1m Geschwindigkeitsraum 40

V. Das Problem der Positivität 44

1. Der Hauptsatz 44

2. Die Erhaltungssätze 47

3. Periodische Lösungen 50

4. Die Frage der Eindeutigkeit 52

5. Das Umkehrproblem

6. Der Entropiesatz

VI. Eine Verallgemeinerung der Parametrisierungs­

definition

1. "Abbruchbedingungen". Die allgemeinen hydro­

dynamischen Gleichungen und ihre Positivitäts­

restriktionen

2. Eine methodische Bemerkung

3. Einige Beispiele

4. Keine generellen Dispersionsrelationen

5. Die Landaudämpfung

VII. Das Modell von Bathnager, Gross und Krook

1. Die Gültigkeit des Entropiesatzes

2. Gibt es stationäre periodische Lösungen?

Anhang

Die Vlasov-Gleichung im schwachen Sinn

Literaturverzeichnis

59

63

66

66

72

75

82

83

90

92

93

97

113

1

EINLEITUNG

Die stoßlose Boltzmann-Gleichung hat in den letzten Jahren

eine steigende Bedeutung gewonnen insbesondere bei Unter­

suchungen des dynamischen Verhaltens von hochionisierten

Plasmen. Die wesentlichen Unterschiede gegenüber dem Ver­

halten neutraler Gase liegen hierbei in der langreichwei­

tigen Natur der Coulombkräfte begründet, mit denen sich die

Ionen und Elektronen eines Plasmas gegenseitig beeinflussen.

Man wird annehmen dürfen, daß sich die Wirkung des Stoßterms

der Boltzmann-Gleichung, der die nahen Stöße zweier Teil­

chen erfaßt, auf die Dynamik eines Prozesses qualitativ in

erster Näherung als eine Art von Dämpfung auswirkt. Insbe­

sondere sollte diese Vorstellung bei Prozessen erfüllt sein,

die sich in Zeiten abspielen, die klein gegenüber der Re­

laxationszeit sind.

Berücksichtigt man daher in erster Linie nur den mittleren

Einfluß aller Teilchen auf das elektrische Feld an einer

Stelle, so erhält man in der stoßlosen Boltzmann- oder

Vlasov-Gleichung zusammen mit den Maxwell-Gleichungen ein

System von Gleichungen zur Beschreibung von Materie und

elektromagnetischem Feld. Dieses System ist physikalisch

in sich abgeschlossen und die Erhaltungssätze gelten. Es

könnte noch mathmatisch widerspruchsvoll sein. Das erste und

zweite Kapitel bringen die Diskussion einiger physikalisch

verschiedener Aspekte, die alle formal zur Vlasov-Gleichung

führen.

An die Stelle elner völligen Streichung des Stoßterms tritt

bei der Modellgleichung von Bhatnager, Gross und Krook eine

selbstkonsistente Näherung für den Einfluß der Stöße. Auf

dieses Verfahren ist im letzten Kapitel kurz eingegangen.

2

Im Gegensatz zum zeitlichen Anfangswertproblem, dessen For­

mulierung bei der Vlasov-Gleichung keine grundsätzlichen

Schwierigkeiten bereitet, ist es unmöglich, das räumliche

Anfangswertproblem ebenso zu stellen. Die Untersuchung von

Kapitel 111 zeigt, daß es in diesem Zusammenhang wiinschens­

wert wäre, diejenigen Lösungen der Vlasov-Gleichung, die mit

einem in Raum und Zeit vorgegebenen Feld verträglich sind,

zu bestimmen. In diesem Sinn ist das elektromagnetische Feld

der "wichtigste Parameter" einer speziellen Lösung der Vla­

sov-Gleichung.

Es ist das Hauptziel der vorliegenden Untersuchung, die Mög­

lichkeiten der Parametrisierung zu studieren. Die Aufgabe

wurde eingeengt durch Beschränkung auf die eindimensionale

Gleichung ohne Magnetfeld. Es zeigt sich, (Kapitel IV) daß

die erwähnte Fragestellung stets in irgendeiner Form auf

das allgemeine Momentenproblem führt. Bei diesem versucht

man, aus den Erwartungswerten gegebener Funktionen Rück­

schlüsse auf die Verteilungsfunktion zu ziehen. Die wesent­

liche Schwierigkeit liegt dabei in der Bedingung, daß die

Verteilungsfunktion pos i t i v seln muß.

Einfache Beziehungen ergeben sich für die Geschwindigkeits­

momente. Wie die kinetische Gastheorie zeigt, sind diese

auch physikalisch interessant, weil die niedrigsten Momente

unmittelbar anschaulich verständlich sind. Die entsprechende

Theorie in Kapitel V führt zu einem verhältnismäßig allge­

meinen Resultat, wonach es für eine sehr große Klasse von

elektrischen Feldern E(x,t) stets Lösungen der Vlasov-Glei­

chung gibt, die mit diesem Feld verträglich sind. Der Wert

dieses Ergebnisses wird jedoch dadurch eingeschränkt, daß

die Momentengleichungen ihrerseits nur schwache Lösungen der

ursprünglichen Vlasov-Gleichung festlegent. Das heißt, daß

bei solchen Lösungen der "Stoßterm" nicht identisch verschwin­

det, sondern nur sämtliche Geschwindigkeitsmomente desselben.

t VergI. den Anhang.

3

Hieraus ergeben sich für schwache Lösungen elnlge Konse­

quenzen:

Die Lösungen sind nicht notwendig differentierbar. t

Die Lösungen sind nicht immer eindeutig festgelegt.

Immerhin lassen sich hinreichende Bedingungen angeben,

die die Eindeutigkeit erzwingen. tt Der Entropiesatz braucht nicht zu gelten.

Für schwache Lösungen existiert eln entsprechender Konver­

genzbegriff. Dabei zeigt es sich, daß die in der Literatur

(z.H. Sornnerfeld Bd. V) diskutierten Approximationen der

Verteilungsfunktion durch Hermitesche Polynome nur gegen

eine schwache Lösung konvergieren.

Kapitel VI bringt elne Reihe von Beispielen schwacher Lö­

sungen. Erwähnt seien folgende Fälle:

..

t

Aus den schwachen Lösungen kann man - beim Übergang zum

linearisierten Fall, der bei kleinen Feldern möglich

ist - nicht allgemein auf die Existenz von Dispersions­

relationen für die Ausbreitung elektrostatischer Plas­

mawellen schließen.

Hinsichtlich der Frage der Landaudämpfung kann man An­

fangsverteilungen angeben, die nicht zu Landau-gedämpften

Lösungen im schwachen Sinn führen.

Im Zusammenhang mit der Diskussion der lvlomentengleichungen

sind "Abbruchbedingungen" üblich: Hird das k te Homent in

irgendeiner Form durch die niedrigeren Momente ausge­

drückt, so kommt man zu einem in sich geschlossenen System

von Gleichungen. Die hydromagnetischen Grundgleichungen

Die Einführung nichtdifferentierbarer Lösungen ist auch durch eine maßtheoretische Verallgemeinerung der Vlasov­Gleichung nahegelegt, wie in Kapitel IV gezeigt wird.

tt Auch nicht bei irreversiblen Gleichungen, wie die Di~;kussion des Krook-Modells zeigt.

4

fallen hierunter. Es zeigt sieh, daß Sle einer notwendigen

Ergänzung durch gewisse Positivitätsforderungen an die Mo­

mente bedürfen. Ihre Lösungen definieren dann nicht ge­

näherte Lösungen der Vlasov-Gleichung, sondern vielmehr Lö­

sungen im schwachen Sinn. Dies gilt jedenfalls dann, wenn

das zugehörige elektrische Feld hinreichend glatt verläuft.

Im Sinn dieser Beispiele haben die schwachen Lösungen heu­

ristischen Wert, da es plausibel ist, anzunehmen, daß viele

rhysikalisch interessante strenge Lösungen der Vlasov-Glei­

chung zugleich schwache Lösungen sind. t Zeigt sich, daß elne

vermutete Lösung keine Lösung im schwachen Sinn ist, so

spricht dies unter Umständen gegen die Vermutung.

Schließlich sei noch erwähnt, daß es möglich ist, die Defini­

tion der Parametrisierung im Sinne der erwähnten Abbruchbe­

dingungen zu verallgemeinern. Dabei zeigt sich die grund­

sätzliche Möglichkeit, die Parametrisierung so zu wählen,

daß man unmittelbar strenge und positive Lösungen der Vlasov­

Gleichung erhält.

Im folgenden Text beziehen sich Namensnennungen stets auf das

Literaturverzeichnis am Ende.

t Das ist im wesentlichen immer dann erfüllt, wenn man an-nehmen darf, daß die Lösungen für große Geschwindigkeiten exponentiell abfallen, also etwa für alle "Maxwell-ähn­lichen" Lösungen.

5

I. GÜLTIGKEITSBEREICH DER VLASOV-GLEICHUNG

In e1nem Gas hoher Temperatur findet eine starke Dissoziation

und Ionisation statt. Das Ausmaß dieser Ionisierung ist im

Fall des thermodynamischen Gleichgewichts durch die bekannte

Gleichung von Saha bestimmt. Da die Eigenschaften eines sol­

chen Gases weitgehend durch die Existenz freier Ladungsträger

bestimmt sind, bezeichnet man es mit einern terminus technicus

als Plasma.

Zur Vereinfachung und Veranschaulichung der Vorstellungen se1

im folgenden an ein Wasserstoffplasma gedacht. In einern sol­

chen sind 1m wesentlichen vier Komponenten zu erwarten: Freie

Ionen und ebenso viel freie Elektronen, ein gewisser Anteil

an atomarem Wasserstoff und eine (bei hohen Temperaturen sehr

kleine) Menge von molekularem Wasserstoff. Es liegt nahe, für

theoretische Modellbetrachtungen die idealisierende Vorstel­

lung eines total ionisierten Plasmas heranzuziehen. Dabei

wird auf die Berücksichtigung der atomaren und molekularen

Komponente völlig verzichtet. Bei einer Temperatur von etwa

20 000 0 kann man annehmen, daß ein Wasserstoffgas zu 90% ioni­

siert ist. Ein solches idealisiertes Plasma, das nur noch

Protonen und Elektronen enthält, kann nunmehr durch eine

klassische Gastheorie beschrieben werden. Denn auf den nur

quantentheoretisch verständlichen Effekt vorübergehender Bin­

dungs zustände wurde explizit verzichtet. Man wird als Be­

dingung ansehen dürfen, daß die mittlere kinetische Energie

groß ist gegenüber der potentiellen V:

~T » V

wo k die Boltzmannsche Konstante und T die Temperatur des

Plasmas beschreibt.

Da die Beschreibungsweise für die bei den Komponenten eines

solchen Plasmas prinzipiell dieselbe ist, so können wir uns

6

im folgenden auf ein reines "Elektronengas" beschränken. Ge­

legentlich wird die Näherung gemacht, daß bei der vollstän­

digen Beschreibung des Gesamtplasmas die Ionen als ruhend an­

genommen werden. Dies erklärt sich daraus, daß bei gleicher

Temperatur von Ionen und Elektronen die Elektronen, ihrer

kleineren Masse wegen, sehr viel höhere mittlere Geschwin­

digkeiten haben als die Ionen. Eine weitergehende Annahme,

die für die mathematische Behandlung gelegentlich sehr be­

quem ist, behandelt die ruhenden Ionen als einen kontinuier­

lich ausgeschmierten "positiven Untergrund".t

Zur klassischen Beschreibung des Elektronengases wird man

in erster Linie die Dichteverteilung f(~/~/~) im Orts­

Geschwindigkeitsraum eines Elektrons heranziehen. Die Dynamik

des Gases ist im wesentlichen bestimmt, wenn es gelingt, für

f ein zeitliches Entwicklungsgesetz anzugeben.

Die zeitliche Veränderung von f erfolgt auf grund der Strömung

der einzelnen Elektronen. Dabei bewegt sich jedes Elektron

unter dem Einfluß des an ihm angreifenden lokalen elektromag­

netischen Feldes, das seinerseits durch die Verteilung der

Ladungen und durch Randbedingungen festgelegt ist. Wenn wir

annehmen, daß die homogenen Lösungen der Maxwell-Gleichungen

keine Rolle spielen sollen, so bedeutet das ausdrücklich den

Verzicht auf alle Strahlungseffekte. Zur Vereinfachung sei

bei der folgenden Betrachtung außerdem auf die Berücksichti­

gung der Magnetfelder verzichtet. Wir werden später ohnedies

nur die magnetfeldfreie Vlasov-Gleichung diskutieren.

Das auf ein einzelnes Teilchen wirkende Mikrofeld läßt sich

in zwei Anteile zerlegen:

Ein mittleres elektrisches Feld. Der Ursprung dieses Fel­

des sind die Inhomogenitäten der Ladungsverteilung:

t VergI. die Fußnote am Ende der Nummer.

7

(Der subtrahierte Anteil berücksichtigt den Ionenhinter­

grund.) Dieses mittlere Feld ist also durch die Dichte­

verteilung f selbst vollständig bestimmt.

Diesem mittleren Feld ist ein statistisches Feld über­

lagert. Die Statistik dieses Feldes ist durch f (,ct-J Al) I -t)

allein nicht mehr vollständig bestimmt. Man erkennt dies,

wenn man die Feldschwankung berechnet:

-2-= {~- t =

Hierzu ist es nötig, die Verteilungsfunktion zweler Teil­

chen

{'l. (11\ I 11() ) tr' I ,,-,>' I t )

einzuführen. Mit dieser kommt:

~ (111_,.,.1) (fit' - 'lf"1I )

- l I '\f" - 4f 1 ii I\Q' - "" 11 ,

{ f 1. (~, toO' I 4f'~ ~ 11, t )

Man erkennt hieraus, daß die zeitliche Veränderung von f

durch f 2 mitbestimmt wird.

Während der Einfluß des mittleren Feldes streng klausal ist,

gibt das Schwankungsfeld Anlaß zu einem Diffusionsprozeß.

Die Bewegungsgleichung für f(~/~/~)gewinnt daher das Aus­

sehen:

mit

8

worin e und m Ladung und Masse des Elektrons sind.

Unter welchen Bedingungen kann der Einfluß der rechten Sei­

te dieser Bewegungsgleichung, also der Diffusionseffekt, ver­

nachlässigt werden? Nimmt man an, daß anfänglich eine un­

korrelierte Verteilung vorliegt:

so verschwindet auch das anfängliche statistische Mikrofeld

---i-o o

und damit die rechte Seite. Nun enthält jedoch die Bewegungs­

gleichung für f (Bogoljubov) einen Term, der die direkte

Coulombwechselwirkung eines Teilchens am Ort ~ mit elnem

Teilchen am Ort At' beschreibt. Dieser baut im Laufe der Zeit

eine wachsende Korrelation auf, so daß der obige Produkt­

ansatz für f 2 nicht für alle Zeiten gelten kann.

Es sei jedoch bemerkt, daß eine anfängliche Unkorreliertheit

zeitlich bestehen bleibt für ein Kontinuum, zu dem man durch

den Grenzübergang

e -> () ,.,.,., -> 0

mit

gelangt. Die Voraussetzungen, unter denen dieser GrenzÜber­

gang möglich und eindeutig ist, lassen sich angeben. t

Um ohne die Kenntnis der Entwicklung von f 2 eine Abschätzung

des Einflusses der rechten Seite 4>111.,'(( (d ~ j f) auf die Be-

t Die Eindeutigkeit ist bei den von Bogoljubov betrachteten Grenzprozessen nicht gesichert.

9

wegungsgleichung für f zu erhalten, betrachten Wlr zunächst

die Zeit, bis zu der eln merklicher Energieübertrag infolge

des statistischen Feldes auf ein einzelnes Teilchen statt­

findet. Eine rohe Abschätzung erhält man mit einem Stoß­

modell: Ist der mittlere räumliche Abstand der Teilchen

L\ = -1h

(Y1.

so wird beim "Stoß Ii, wenn v die mittlere Geschwindigkeit ist,

der Impuls

und die Energie

übertragen. Der gesamte Energieübertrag bei )J Stößen ist

mit der mittleren kinetischen Energie vergleichbar, wenn 'l.

".,... '11" lJ = .t..'-ItJ.

ist. Der zeitliche Abstand zweler Stöße ist

Man wird daher elnen merklichen Einfluß von Diffusionspro­

zessen infolge des Mikrofeldes erst nach der Zeit

=

erwarten. Für Zeiten, die klein hiergegen sind, ist also

di~ Änderung von f durch die homogene Gl~ichung (Vlasov):

bestimmt. Dies ist nur interessant, wenn innerhalb der Zeit

v~ wesentliche Veränderungen aufgrund der Vlasov-Gleichung

zu erwarten sind. Eine dieser Gleichung zugeordn~te charak­

teristische Zeitskala läßt sich durch Dimensionsanalyse ge-

10

wlnnen, wird jedoch auch durch folgende anschauliche Be­

trachtung geliefert: Wir fragen zunächst, welche makros­

kopischen Dichteschwankungen unter dem Einfluß der Tempera~

turbewegung höchstens zu erwarten sind. Denkt man sich aus

einem Gebiet der linearen Ausdehnung ~~ sämtliche Elek­

tronen entfernt und unmittelbar in der Nachbarschaft ver­

schoben, so hat der verbleibende Ionenhintergrund mit diesen

Elektronen eine potenzielle Wechselwirkungsenergie

Setzt man diese gleich der kinetischen Energie der betref­

fenden Elektronen

so resultiert für die charakteristische Länge

~~ heißt Debeyeradius. Die Dauer elner solchen Dichte­

schwankung ergibt sieh, indem man durch die mittlere Ge­

schwindigkeit eines Teilchens dividiert:

Das Reziproke dieser charakteristischen Zeit wird als Plas­

mafrequenz ~p bezeichnet.

Die Vlasov-Gleichung bestimmt demnach die Dynamik des Ge­

schehens, falls

ist. Diese Bedingung läßt sich umformen:

11

oder t

»

6 0 Ein Beispiel: Für ein Wasserstoffplasma von 10 Kund

einer Teilchendichte von 1012/ccm ist

~ D " 0 _ 'A::I /,0

A Nach der obigen Abschätzung ist die Vlasov-Gleichung dort

im Zeitbereich 10-8 sec sicher gültig.

Tatsächlich ist jedoch eine längere Gültigkeitsdauer an­

zunehmen ( ~ 30 jUsec), da es bei der langen Reichweite der

Coulombkräfte nicht zulässig ist, mit unkorrelierten Stößen

zu rechnen.

Eine genauere Abschätzung liefert ungefähr elne Größenord­

nung weniger als die Stoßzeit t für "starke Reflexionen". c 'l.

Ist deren Wirkungsquerschnitt CX = l1" AL' wo ~ L der Lan-

dauradius ist (Spitzer, Kap. V)

so ergibt sich für t : c

= ~T

Das Gültigkeitskriterium für die Vlasoveleichung geht damit

über in ~G //1 0 Aj) / 'V"' «

d.h. 2>

( :" J 3

?? -1D bzw. It{. It j) » ;f'D

t Da ~D die kleinste Wellenlänge der durch die Vlasov­Gleichung beschreibbaren Effekte bedeutet, ist es ver­ständlich, daß f ein Kontinuum beschreibt.

12

Dies besagt, daß im Debeyevolumen viele Teilchen sein

sollten. Im obigen Beispiel ergibt sich hierfür

Es sei noch auf Qle Ähnlichkeit mit der eingangs ge­

stellten forderung hingewiesen:

hT - = V

die elnen so hohen Ionisationsgrad garantiert, daß eine

idealisierte klassische Behandlung des Plasmas ermöglicht

wird.

11. DIE VLASOV-GL~ICHUNG ALS GLEICHUNG EINES GEGEBENEN

EINZELSYSTEi"jS

11.1 Vlasov- und Maxwell-Gleichungen als selbstkonsisten­

te Zweifeldertheorie

Das Verhalten elnes physikalischen Systems kann durch die

Bewegung eines einzigen repräsentierenden Punktes im Ge­

samtphasenraum aller Teilchen des Systems gekennzeichnet

werden, d.h. durch eine Charakteristik der Liouville-Glei­

chung.

Wir wollen demgegenliber den Zustand der Materie durch An­

gabe ihrer Dichte in jedem Punkt des 6-dimensionalen Orts­

Geschwindigkeitsraumes beschreiben, indem man sich bei­

spielsweise die Materie als eine überlagerung von FIUssig­

keiten verschiedenen Geschwindigkeiten vorstellt. f be­

schreibe ihre Dichte. Der Erhaltungssatz der Materie for­

dert eine Kontinuitätsgleichung, deren Charakteristiken ge­

rade durch die Bewegungsgleichung dieser Flüssigkeit ge­

kennzeichnet sind. Es gilt:

13

Hier ist H die Hamiltonfunktion, die die Strömung beschreibt. t

Wenn diese nach der Newton'schen Mechanik erfolgt, gilt ex­

plizit die Vlasov-Gleichung, diesmal als Gleichung für das

tatsächlich vorliegende System:

i und cf sind die elektromagnetischen Feldgrößen, die den

Maxwell-Gleichungen:

'1"" t! =

1.. c

I ~"'- 4i1a - ~ +-

C ae C

genügen. Während die Vlasov-Gleichung den Einfluß des Fel­

des auf die Materie schildert, steckt die Rückkoppelung der

Materie aufs Feld in den Quellen g und 1 . Diese müssen

durch f ausgejrückt werden, etwa durch die folgenden line­

aren Funktionale:

Dann fordert die Kontinuitätsgleichung, die unmittelbar aus

den Maxwellgleichungen folgt:

+ S ~f ol"'J = 0

Bildet man andererseits das Integral der Vlasov-Gleichung

über den Geschwindigkeitsraum, so erhält man eine ähnlich

gebaute Gleichung. Sie enthält jedoch den zusätzlichen Term

t P und q sind die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse. Bei mehrdimensionalen Problemen ist zu summieren.

14

(~+ ~x!) ~ I.., I-'>oe

Daß dessen Verschwinden aus der Existenz der linearen Funk­

tionale für J und ~ folgt, wird im Anhang gezeigt für den

eindimensionalen Fall.

11.2 Individualisierung, Teilchenaspekt und die Vernach­

lässigung der Selbstenergien

Die im letzten Abschnitt gegebene Interpretation zeigt die

Vlasov-Gleichung im Verein mit den Maxwell-Gleichungen als

ein selbstkonsistentes System von Gleichungen zur Beschrei­

bung eines vorliegenden System. Worin besteht nun in diesem

Fall der Näherungscharakter?

Die Antwort lautet, zunächst etwas vage: In der Nichtberück­

sichtigung der Selbstenergie. Bei geeigneter Subtraktion der

Selbstkräfte werden wir unter anderem die exakte Beschrei­

bung erhalten, wie sie den Bahnen im Gesamtphasenraum aller

Teilchen entspricht. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine

"Selbstenergie" zu definieren, und demgemäß verschiedene

Korrekturen zur Vlasov-Gleichung. Während wir die Materie

im letzten Abschnitt als eine Art klassischen Feldes behan­

delt hatten, müssen wir hierzu in irgend einer Form "indivi­

dualisieren".

Eine einfache Möglichkeit ist folgende: Sieht man von den

Lösungen der homogenen Maxwell-Gleichungen ab, so ist das

elektrische Feld gegeben durch:

15

Das Magnetfeld soll der Einfachheit wegen zunächst außer

Betracht bleiben. Wir betten jeden Punkt des Raumes in eine

offene Umgebung, die ihn enthält, ein. Diese Umgebungen

seien ein für allemal fest gewählt (u.U. aber orts- und zeit­

abhängig).

Dann ist:

}

wo ~ der gesamte Ortsraum ist. Weglassen des zweiten Terms

bedeutet, daß man die Rückwirkung jeder Umgebung auf sich

selbst nicht berücksichti-gt. Diese Korrektur entspricht der

physikalischen Vorstellung insofern, als das elektromagne­

tische Feld eingefilhrt wird, um die Wirkung verschiedener

Teile eines Systems aufeinander zu beschreiben. Als "Teile"

sind hier die verschiedenen Umgebungen anzusehen. Außerdem

werden gerade hierdurch gewisse Divergenzen vermieden, die

die Existenz der Lösungen der Vlasov-Gleichung unter hinrei­

chend allgemeinen Bedingungen stören. Man kann zeigen, daß

bei der obigen Subtraktion der Selbstkräfte keine unendlich

hohen Felder auftreten und dann stets Lösungen existieren. t

Natürlich geht hierbei das gewählte Umgebungs system explizit

in die Lösung ein!

Eine andere ~1öglichkei t, zu "individualisieren", ist die fol­

gende: Die Atome des Systems bestehen nicht in den Umgebungen

der Punkte des Ortsraumes, vielmehr werde für f der Ansatz

gemacht:

t Wegen der Verwendung von Steklov-Mitteln vgl. Batt.

16

Hier s~nd j~irgendwelche Parameter, die die einzelnen

"Atome" charakterisieren sollen. Alle Teile sind ansonst

gleich, beschrieben durch dieselbe Funktion 0.

Die Vlasov-Gleichung wird erfüllt, wenn man Sle für jeden

"Teil" fordert:

Hier werd~ wieder folgende Korrektur vorgenommen:

L ~ ( SI( I -'( I tJ01 i) .,{~ d"O Ic>l:;l.

d.h. die Rückwirkung jeden Teils auf sich wird gestrichen. t

Wir betrachten zur Illustration des Konzeptes zwel Sonder­

fälle: Die Formfunktionen werden als starre Kugeln ange­

nommen vom Radius R, die gleichmäßig mit Ladung erfüllt

sein mögen. ~ beschreibe den Schwerpunkt dieser Kugeln.

Definiert man

{ 0,/"...

==

so wird z.B. das elektrische Feld, das auf das erste Teil­

chen wirkt,

-";>

Cf ( 1111 - 5 1\ I )

t Man könnte mit Vlasov (Monographie) daran denken, solcher­art "ausgedehnte Teilchen" zu beschreiben. Eine Diskussion des Meßprozesses an solchen Objekten führt jedoch - wie man zeigen kann - auf beträchtliche Schwierigkeiten, wenn man nicht von der v. Neumannschen Gleichung für die Dichte­matrix ausgeht.

17

Alle Punkte elnes starren Teilchens haben dann dieselbe Ge­

schwindigkeit und die insgesamt angreifende Kraft ist

I -b ) s

Trttjt!v- (tP (.0)

Die Vlasov-Gleichung geht über in:

Im zweiten Falle wollen wir die Teilchen punktförmig an­

nehmen:

Hier gibt der Parameter J~ Ort und Geschwindigkeit des

~-ten Teilchens an. Die Feldstärke am Ort des ersten Teil­

chens wird

Dieser Ansatz führt offensichtlich folgendermaßen zur

Liouville~Gleichung des Gesamtsystems: Wir betrachten den

Raum aller Koordinaten.

Dann gelten die folgenden Bewegungsgleichungen

P( AC 1\ (t) e L (f").. (.f;) - tr K H') -=

_trl<.lt)l'l> .tA { tI1 I \C'). U;) ~.,. ~

Dies sind aber gerade die Charakteristikengleichungen der

18

entsprechenden Liouville-Gleichung. Sie beschreiben die

Bewegung eines bestimmten Punktes des Phasenraumes, in über­

einstimmung mit der Auffassung, daß unsere Vlasov-Gleichung

in der obigen Interpretation ein gegebenes vorliegendes

System beschreiben sollte

111. DAS ANFANGSWERTPROBLEM

111.1 Kompatibilitätsbedingungen und "zulässige Flächen"

Wir wenden uns der Diskussion des Anfangswertproblems zu,

werden jedoch von der expliziten Betrachtung von Randbe­

dingungen absehen. Ganz generell kann das Problem so ge­

stellt werden, daß die "Anfangswerte" auf einen 6-dimensio­

nalen Fläche ~ des 7-dimensionalen Raumes

t I X J Y I "2: I tJ;c I I) ~ J Vi.

vorgegeben werden. Die Gleichung sollte dann die Lösung 1m , Gesamtraum festlegen.

Man wird sofort vermuten, daß nicht zu beliebigen Anfangs­

bedingungen Lösungen existieren. Es stellen sich damit die

folgenden drei Fragen zu jeder gegebenen Fläche ~ :

1. Welche Größen müssen auf l3" vorgegeben werden, um e1ne

Lösung (eindeutig) festzulegen.

2. Welchen zusätzlichen Bedingungen müssen diese speziellen

Anfangswerte genügen, um auch die Existenz der Lösung

zu garantieren?

3. Ist 0" selbst so beschaffen, daß solche Anfangswerte auf

ihr existi~ren? M.a.W. welche Bedingungen sind an ~

zu stellen, damit das Anfangswertproblem auf f)" überhaupt

formuliert werden kann?

19

2. und 3. bedeuten Kompatibilitätsbedingungen der Anfangs­

daten. Wir wollen solche Flächen, für die 3. positiv be­

antwortet werden kann, als "zulässig" bezeichnen. Wir be­

trachten jetzt einige Lagen von C; •

III.2 Das zeitliche Anfangswertproblem

(5:

Welche Größen können vorgegeben werden? Zunächst denken

wir uns

gegeben. Hiermit sind zugleich

::

gegeben. ~ und ~ können daher nicht mehr frei auf ~ gewählt werden, sondern nur im Einklang mit den Gleichungen

• .1~ C

~! = 0

rM/--ti~4[1 Jedoch legen diese Gleichungen auch t und cf nicht eindeu­

tig auf ~ fest. Um die Freiheit die bei der Wahl dieser

Felder noch besteht, zu formulieren, führen wir die Poten­

tiale tll und Cf ein:

•

Bei Lorenzeichung gelten die folgenden Gleichungen:

21

Generell überlegt man: Wenn f durch die Charakteristiken­

abbildung im ganzen Raum gegeben sein soll, wird man f

auf (; vorgeben wollen. Damit ist auch ~ und j festge­

legt für x = O. Die zweiten und höheren Ableitungen der

Potentiale sind durch die folgenden Gleichungen und ihre

x-Ableitungen festgelegt:

- 4Tt f =

Wir denken uns daher noch folgende Potentiale und ihre er­

sten Ableitungen nach x auf ~ gegeben:

a y ~.I! afk:/ aae- ')tp

d)( ;)x ;)x

Aus der Lorenzkonvention folgt dann:

da)< dOzy d Gt-r 11 'Jlf -::= C 'Pt: &X :>~ ~72

d.h. die Ableitung. von llx nach x. Um Olx selbst fest zu-

legen, differentieren wir diese Gleichung nach x und setzen

das so gewonnene d"~){ /,;);<2. in die Potentialgleichung für

t:1l J< ein. Es entsteht

+ I - c1,. = -

als Gleichung für (),." auf ($. Man wird danach etwa Oz. x

für t = 0 (und x = 0) sowie ?{!){/at vorgeben müssen. (An­

stelle der Randbedingungen für cf im vorigen Fall.)

22

Hier tritt nun eine Schwierigkeit auf, die diesen Fall vom

zeitlichen Anfangswertproblem wesentlich unterscheidet,

und damit die geläufige Symmetrie raum-zeitlicher Frage­

stellungen zerstört. Die Charakteristiken können die Fläche

unter Umständen mehrfach durchsetzen.

Die durch d2: Charakteristiken vermittelten Abbildungen des

Ar-AO - Raumes bilden eine Gruppe. Es liegt daher nahe, die

Punkte einer Charakteristik als äquivalent zueinander zu be­

zeichnen. (Wegen der Berechtigung dieser Namensgebung vgl.

Weyl.) Durchstößt nun eine Charakteristik (;' mehrfach, so

gibt es auf 6 mehrere verschiedene äquivalente Punkte ln

denen f denselben Wert haben muß. Eine beliebige Vorgabe von

f auf 6 ist also nicht ohne weiteres möglich. Welche "Ver­

träglichkeitsbedingungen" sind an f und die Potentiale auf

. 5 zu stellen? Wir denken uns für einen Augenblick die

äquivalenten Punkte auf ~ bereits bekannt und vorgegeben.

Dann wäre zu fordern

1. In äquivalenten Punkten hat f gleich~ Werte.

2. Da die Kenntnis der äquivalenten ~ -Punkte (ohne welche

Kenntnis aber die erste Forderung nicht erfüllt werden

kann) den Verlauf der Charakteristiken teilweise preju­

diziert, so müssen die Werte von f und den Potentialen

außerdem so aufeinander abgestimmt werden, daß die re­

sultierenden Charakteristiken wenigstens durch diese

äqui valenten Punkte auf r: passieren.

Praktisch bedeutet das natürlich die Kenntnis der gesamten

Charakteristiken. Oder, etwas grob gesagt: Man muß das

ganze Problem schon weitgehend gelöst haben, um die Kom­

patibilitätsbedingungen explizit formulieren zu können.

In diesem Sinne ist also zwar diese b -Fläche zulässig,

das Anfangswertproblem aber nicht ohne weiteres formu­

lierbar - wegen der Verzahnung der Kompatibilitätsbedingung

23

auf ~ mit der vollständigen Lösung selbst.

111.4 Die Unlösbarkeit des räumlichen Anfangswert­

problems und die Notwendigkeit einer Parametri­

sierung der Lösungen

Die angeführten Fälle lehren, daß das Anfangswertproblem

allenfalls bei "raumartiger Lage" der Fläche Lösungsaus­

sichten hat. Denn die Formulierung der Kompatibilitätsbe­

dingungen erfordert im allgemeinen Fall die Kenntnis der

Charakteristikenabbildung. Es erscheint daher eher sinnvoll,

diese Charakteristikenabbildung selbst zur Parametrisierung

heranzuziehen und das Problem in der folgenden Form zu

stellen:

Gegeben sel eine "fest angenommene Charakteristikenabbil=

dung", anschaulich also ein Strömungsbild im M"- s.o -Raum.

Oder, was für das folgende einfacher ist: Das elektromag­

netische Feld für alle Zeiten t > O. Dieses legt die Charak­

teristikenabbildung als Lösung von

= .4{) =

fest (und umgekehrt).

Gefragt ist, ob es zu elnem solchen Feld eine mögliche Lösung

der Vlasov-Gleichung gibt. Explizit bedeutet das: Mit ~

und f sind auch

f = dt.°.".. L:{ und

. c ~i! - -1 t 'J - 4-7f 47T

24

zu allen Zeiten vorgegeben. Beschreibt nun

die Charakteristikenabbildung, wie sie dem zeitlichen An­

fangswertproblem entspricht,

und zu t und ~ gehört, und

ihre Inverse, so ist eine Lösung der Differentialgleichung

~ /l,() 0f ~ (~ + tl(J xl) & 0 + + --- c.

;)1- d~ I}n t!Ja.()

durch jede (differentierbare) Funktion rP C ---;::. ~) J/ gegeben mittels

(Wegen nichtdifferentierbarer Lösungen vgl. Batt.) Damit

die Quellgleichungen erfüllt sind muß gefordert werden

,

rtJtj- i t -Das Existenzproblem konzentriert sich dann auf die Frage:

Gibt es wenigstens eine Funktion yf , die gleichzeitige

Lösung der vier obigen Integralgleichungen ist?

Wir werden 1m folgenden eine Reihe von äquivalenten Formu­

lierungen des Problems bringen, die die Lösung grundsätzlich

aufzeigen. Die Hauptschwierigkeit liegt im allgemeinen in

der zusätzlichen Forderung der Positivität für f, die immer

dann gestellt werden muß, wenn entweder f statistisch inter-

25

pretiert werden soll, oder positive Dichten der Materie

gefordert werden.

IV. DIE PARAMETRISIERUNG DER VLASOV-GLEICHUNG OHNE MAGNET­

FELD

Wir hatten die Nützlichkeit diskutiert, das allgemeine Pro­

blem in der Form zu stellen:

Gegeben: Das elektromagnetische Feld als Funktion von

x,y,z,t d.h. in Raum-Zeit.

Gesucht: Wenigstens eine Lösung der Vlasovgleichung, die

auf dieses Feld "paßt".

Wir zelgen jetzt die Äquivalenz zum mathematischen Momenten­

problem.

Übersichtliche Lösungsmöglichkeiten ergeben sich i~ ein­

dimensionalen Fall, auf den alle folgenden Betrachtungen

zugeschnitten sind. Da Magnetfelder eine räumliche Krüm-

mung der Charakteristiken erzwingen, sind sie einer eindimen­

sionalen Behandlung in Strenge nicht zugänglich. Wir werden

daher von den Annahmen:

= =

und

= ()

ausgehen. Die Vlasov-Gleichung erhält damit das Aussehen:

~ = 0 (V) Jx

mit

26

Das Verschwinden des Magnetfeldes hat auf grund der Maxwell­

Gleichungen zur Folge:

(M1)

_ 0 (M2)

(M3) :. 0

..!.

Hierin ist der Kopplungsparameter tVtp ::. ('f TT'rI e,,'I./f'M, ) ~ die

Plasmafrequenz mit n als mittlerer Ionendichte und mals

Elektronenmasse.

Schließlich nimmt die Poisson-Gleichung, wenn Wlr mit g(x)

einen ruhenden, ausgeschmierten Ionenhintergrund berück­

sichtigen, die Gestalt an:

_ 0 (P)

In ~er Vlasov-Gleichung kann die explizite y-z-Abhangigkeit

durch den Ansatz gelöst werden:

f ==

Die Gleichungen (M2) und (M3) fordern dann

27

Dies ist z.B. erfüllt, wenn ~ nicht von y und z abhängt

und in v und v eine symmetrische Funktion ist (vgl. auch y z· -

das Beispiel von IV.2). Außerdem soll das gesamte Plasma

als neutral angesehen werden:

o

Für die folgende mathematische Diskussion unterdrücken Wlr

ohne wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit die y-z­

Ausdehnung ebenso wie die v v -Abhängigkeit. Ausgangspunkt y z ~

sind dann, wenn wir noch die Zeiteinheit U}p wählen, die

folgenden Gleichungen:

Vlasov: ~ + '\.l. E1 + E Y: - 0

dt 0)( dl/A.

;}E Sf ( X 7f. 'lA. ) 0{ 'IA.. } (X) - I I

(}-'< Poisson:

~E '=' 5 f (~) t 1.(. ) M.- t>! tU.. - I

d-t Maxwell:

Neutralität: s ~ (.0 tXx = -1

Positivität:

o

28

Hierbei ist noch die Normierbarkeit der Verteilungs funktion

vorausgesetzt.

Die Überführung in das Momentenproblem werde jetzt auf drei

verschiedenen Wegen vorgenommen:

1V.1 Die Charakteristikenmethode

Kruskal hat vor einigen Jahren elne Lösung des stationären

Problems gegeben. In der Tat führt in diesem Fall die in

Kapitel 111. gegebene Integralformel auf eine Abel'sche In­

tegralgleichung für die Verteilung der sogenannten "trapped

particles".

Der Wunsch, die dortigen Betrachtungen, die im wesentlichen

auf der Charakteristikenmethode beruhen, auch auf den zeit­

abhängigen Fall zu verallgemeinern, führt zu den hier fol­

genden Überlegungen.

Mit E(x,t) ist auch die Charakteristikenabbildung durch

E Cx,-t)

gegeben. Sie führt einen Punkt x u nach der Zeit t über o 0

wofür wir symbolisch auch schreiben wollen

Dies ist eine maßtreue Abbildung des Phasenraumes. t Mit der

Anfangsverteilung

lautet dann die Lösung für alle Zeiten:

t Der Beweis verläuft analog dem bei der Liouville-Gleichung

29

wo (x u) die "rückwärts abgebildeten" Phasenpunkte von o 0

(x,u) sind

Zugleich mit E(x,t) ist auch die Elektronendichte gegeben:

'1 (X I -/;) = + } ()( J

= und damit die Gesamtladung bis zur Stelle x:

x r ., (Xl/i-) ~X '

_ CI()

x +~

= S J.x' 5 "'-tU' i (Xo (Xii fJA.1, i ) "'\A,, (x: 1.1.', t J) -Q() _ 0(1

Das Integral ist über die linke Halbebene ~x zu er­

strecken, die wir mit H(x) bezeichnen wollen.

X'

C(X,')

30

Statt dessen kann man auch j = )(01 '1= 11." als Variable eln­

führen. Dazu betrachten Wlr das Urbild von H(x) zur Zeit

Null. Es heiße H(x,t):

und liegt links der Kurve C(x,t), deren Punkte (x' ,u')

durch

X 4 (X , u' / t) '= X'

definiert sind.

Da die Abbildung U maßtreu war, 6i.go<lVl, -= eJ.x.'ol'U', so läßt

sich das Integral für Q(x,t) auch schreiben:

H (xJ~) Bezeichnet man nun die charakteristische Funktion der t1enge

H(x,t) mit X (X/tl §,4t) , definiert durch

{ o sonst

so kann man dieses Integral auch schreiben:

Q (11

-b )

Dies ist elne typische Momentengleichung von der Form:

Q (XI t)

Schließlich muß n6ch die Magnetfeldfreiheit gewahrleistet

\verden:

31

Unter Einführung des Potentials V(x,t) führt dies ebenfalls

auf eine Momentengleichung der Form:

Da mit E(x,t) auch die Schar der charakteristischen Funktionen

X (x I i ~ SI"'l ) festgelegt ist und umgekehrt, so lassen sich die­

se Gleichungen folgendermaßen interpretieren:

Gegeben ist eine Schar von Funktionen ')t lx, i I ~/'i) und

X, U (X/t/j,~) sowie deren Momente Q(x,t), V(x,t) (x,t

spielen die Rolle der Scharparameter). Wann existiert elne

hierzu gehörige Verteilungsfunktion? (In unserem Fall

Schwierigkeiten ergeben sich bei der Beantwortung dieser

Frage nur dann, wenn y als positives Maß gefordert wird.

In diesem Zusammenhang sei kurz auf die entsprechenden

maßtheoretischen Vorstellungen eingegangen. Dabei werde

zur Vereinfachung nur die erste obige Momentengleichung,

die der Poisson-Gleichung entspricht, berücksichtigt.

Zunächst ist

d.h. die Mengen H(x,t) bilden bei festem t elne monoton

wachsende Mengenfolge (eine Somenskala in der Terminologie

von Caratheodory) und insbesondere ist deren Grenzwert

::: V H (X'j;t) X

32

die der Betrachtung zugrundeliegende Gesamtmenge, d.h. die

ganze x,u-Ebene.

\Vir zeigen jetzt, daß diese "Enthaltungsrelation" für ver­

schiedene t niemals gilt. Es gibt keine x,y, so daß

Oder, anders gesagt: Es gibt stets Punkte, die in H(x,t)

aber nicht in H(y,t') liegen und umgekehrt. Und dies für

alle x,y.

Wir führen den Beweis nur unter der Annahme, daß E(x,t) be­

schränkt ist:

=

Dann ist die Kurve C(x,t), die H(x,t) definiert durch U- 1

gegeben, und es gilt

/IlA.-4tD} '=

<: =-und ganz entsprechend:

I X-i 0 -- U 0 -I: 1

Daher ist für 1A. p ~ 01:3

t

~ E(x'{i'),i')A-l:'

'" I< 7t

K i '2.. 2.

_ 1 I - 0

)( - Yo _ ;t \ =- 0 'U o

33

Dies bedeutet, daß "weit draußen" die Gleichung für C

die Form hat

, X = x - Mo I i

Das ist elne Gerade mit der Steigung - 1/t. Demnach aber

unterscheiden sich die Kurven C für verschiedene t-~Jerte

sicher so, daß keine völlig links von der anderen ver­

läuft. Für die entsprechenden Gebiete H(x,t) beweist dies

unseren Satz.

Zu jedem t gehört mithin elne Somenskala und durch Variation

von t entsteht eine ganze Schar von solchen Somenskalen, die

alle gegen die Grundmenge konvergieren. Von jedem Soma H(x,t)

ist nun das 11aß fU gegeben durch

Unserem Problem entsprechen fOlgende Fragen:

1. Die Mengen H(x,t) dieser Skalenschar definieren jeden­

falls einen minimalen Borel'schen Mengenkörper ~. Läßt

sich das Maß, von den H's ausgehend, ausdehnen auf die

Mengen dieses Körpers?

Anmerkung: Caratheodory hat die Existenz elnes äußeren l1aßes

für die Mengen von ~ gezeigt. Das hier gesuchte

Maß ist sicher nicht eindeutig festgelegt. Diese

Vieldeutigkeit wird in den folgenden Fassungen

des Momentenproblems der Vlasov-Gleichung eben­

falls auftreten.

2. Im Hinblick auf die vernachlässigte Gleichung für das

34

Magnetfeld wäre weiter zu fordern, daß das so bestimmte

Maß wenigstens ein erstes Moment besitzt und dieses durch

V bestimmt ist.

Nur wenn die so definierten Maße durch eine Dichte f dar­

stellbar sind, die ihrerseits stetig differentierbar ist,

läßt sich die Vlasov-Gleichung in der ursprünglich eegebenen

Form erfüllen. Es ist aber sinnvoll, die Vlasov-Gleichune

selbst nur als die differentielle Formulierung eines allge­

meineren Sachverhaltes aufzufassen, nämlich der "Invarianz

der Norm des Wahrscheinlichkeitsmaßes bei der Charakteristi­

kenabbildung". Man könnte dies als "Vlasovforderung" be­

zeichnen.

Gewisse Grenzprozesse, die man an zunächst differentierbaren

Lösungen ausführen kann, liefern unter Umständen allgemeinere

Lösungen. Die obige Formulierung ist gerade so allgemein ge­

halten, daß sie mit der allgemeinsten von der Statistik her­

zustellenden Forderung verträglich ist. t

Es soll hier nicht untersucht werden, bis zu welcher Allge­

meinheit die Forderungen an die CharaK~eristikenabbildung

ebenfalls abgeschwächt werden können. Nur folgendes sei

erwähnt:

Offenbar ist

~ (x, -t) -

für jedes feste t als Differenz zweler monoton wachsender

Funktionen auf jedem endlichen Intervall von beschränkter

. t Tatsächlich können die Integralgleichungen diese Allgemein­heit wieder einschrtlnken. Vgl. auch Batt, wo ein Existenz­satz des zeitlichen Anfangswertproblems im wesentlichen für f 6 L4 gebracht wird.

35

Schwankung. Nach e1nem Satz von Lebesgue muß daher E dort

fast überall nach x differentierbar vorausgesetzt werden.

Die obigen Betrachtungen zeigen, daß es sich lohnt, für

diese verallgemeinerten Lösungen einen eigenen Begriff ein­

zuführen.

Definition

Wir wollen - unter Ausklammerung einer Klärung der allge­

meinsten zulässigen Charakteristikenabbildung - alle Lö­

sungen der "verallgemeinerten Vlasovforderung" als starke

Lösungen bezeichnen.

Wir zeigen jetzt noch, daß für starke Lösungen die lokale

Vlasov-Gleichung noch gilt - und zwar als Distributions­

gleichung - wenn man annimmt, daß die Charakteristikenab­

bildung stetig differentierbar ist.

Wir betrachten hierzu den Raum J" der einmal stetig diffe­

rentierbaren Funktion mit kompakten Träger und fassen f

als Element des Dualraums auf. Es sei für ~ ~ ~

J,~ .Lli -::;. 0

:::- tt~ < -f I q; ( ~ + 'U D t: I 'l-( -t E f) t J - cf' (Y/u) > bi~o ~t

Da fG ~~ , konvergiert

tf ( X + 1I.-t.6 -c I IU + E A -t ) - tf (x / u. J

Llt

36

gleichmäßig gegen Null und wegen der Stetigkeit der Maße f

bezüglich dieser Konvergenz kommt daher

-~-~ - ------ ---- ';)-~T(J-- -- - -~ !!f.-- -- - - -- - -- -~- -- - --- <'fJM.- + E > - Jx d'\.(,

Die Ableitung existiert daher und ist

<{ Itp) ==

Umgekehrt ist jede positive Lösung dieser Gleichung e1n Maß.

Durch Umkehrung der SchlOsse folgt, daß dieses durch die

Transformation U erzeugt wird aus einem Urmaß zur Zeit t = o.

IV.2 Momentenverfahren 1m Ortsraum

Wir betrachten wieder

und entwickeln q(x,t) bezüglich x nach e1nem Orthogonal­

system X R (x). Für die Komponenten gilt dann:

~ ~ ~ (J( tJ (y) 'IA , i ) / 1{ 0 &} 'U, t }) x: Iq (l() 01. x p{ 11(. - 1 k l-tJ

oder, wegen der maßtreuen Abbildung

Wir können die Funktionen

10 Ie ( 5, "1 I -b ) ==- j( ~ (x (5 I !Vz / -c ))

als prinzipiell gegeben ansehen, da X (.3 J ~J-t) durch E (x, t)

eindeutig festgelegt ist. Die Gleichung besagt, daß die

Momente von l' tt gegeben sind:

37

10 ~ (j I 1J, I-/;) = (~[-6)

Die Frage lautet: Gibt es eine zugehörige Verteilungs-

funktion 't (~/~)?

Wir illustrieren das Verfahren lffi Fall der kräftefreien

Gleichung E = 0

= d' (X)

Die Lösungen haben das Aussehen

Die Nebenbedingung fUr die Ladungsdichte wird

Wir wählen als Orthogonalsystem die Fouriertransformation.

Es entsteht:

oder

=

Führt man die Fouriertransformierte von Y (t"J'1) bezüglich

beider Variabler ein:

rv y ( Je) 1) = A

4n1.

38

so kommt

Da dies für alle t gelten muß, kann man kt = L als neue

Variable einführen, falls k f 0 ist, und erhält folgende rv

Aussagen über i

==

=

/I

21f

beliebig ~ -t f..1e 11..) ist demnach in der k- L -Ebene überall festgelegt,

ausgenommen die t-Achse. Diese ist allenfalls (unter Aus­

lassung des Nullpunktes) noch Träger einer willkürlichen

Distribution. Die einzigen Distributionen mit dem Träger

k = 0 sind die Diracmaße und ihre Ableitungen und es resul­

tiert der Ansatz:

mit

..1-2."

1\1

f (fq,) -t

{11- (0) - 0

Fourierrücktransformation liefert:

=

und daher

=

39

mit

Bei posi ti vem ~ m folgt das Verschwinden von ~hJ. • Der

kräftefreie Fall ist also nur möglich, wenn die Ionenladung

an jeder Stelle durch eine gleichgroße Dichte ruhender Elek­

tronen neutralisiert wird. Man sieht, daß das Magnetfeld

dann automatisch verschwindet.

Anmerkung: Im Fall konstanter Ionenladungsdichte 1 läßt sich

zwar nicht mehr über den Gesamtraum normieren. Jedoch kann

man versuchen, lokal zu neutralisieren:

Die obigen überlegungen lassen sich fast wörtlich übertragen

und liefern dann:

und daher

~ ( Vi) 1.) ::: J C ~) (/I + i (I. J) f- 2- J (14.) l te) ..e.~ (I.) 1\1. ... ,.,

Das ergibt für die Lösung:

= . I. 0: 0

40

w1e zu erwarten war. Magnetfeldfreiheit bedeutet dann:

o

Die eben durchgeführten Schlüsse lassen sich nicht ziehen,

wenn die feldfreie Gleichung erst asymptotisch far große

Zeiten gilt, denn es war wesentlich für die Einführung der

Variablen ~ , daß t beliebig variieren durfte. Im Fall

der Landaudämpfung etwa kann daher asymptotisch nur das

Bestehen einer Lösung der Form

ausgesagt werden.

IV.3 Momentenverfahren 1m Geschwindigkeitsraum

Wir entwickeln nach einern vollständigen System des Geschwin­

digkeitsraumes.

Erwähnt sei zunächst der Fall der Fourierentwicklung.

Es entsteht

'" + 11 E (x, -l;) Jz f - 0

~ LX) + oE 'dx

41

Denkt man sich also wieder [(x,t) fest vorgegeben, so be­

deutet dies eine lineare Gleichung für f, deren Anfangsbe­

dingungen - mit E zugleich - fixiert sind, (Neunzert~ die

Hauptschwierigkeit liegt wieder in der - nichtanalytischen -

Bedingung der Positivität. Das Verfahren entspricht im

wesentlichen der Bestimmung der charakteristischen Funktion.

Als anderen Fall betrachten Wlr Potenzen. Multipliziert man

die Vlasov-Gleichung mit uk und integriert, so entsteht mit

offenbar nach partieller Integration im letzten Term

d f (tl.) -- -t dt

Diese Momentengleichungen sind im Prinzip aus der Theorie

der Boltzrnann'schen Stoßgleichung bekannt. Wir interpre­

tieren sie jedoch hier als Rekursionsformeln für die ~'lo­

mente wachsender Ordnung (Burgers):

Bei gegebenem E(x,t) ist der Start der Rekursion durch

JE. =- ~ (x) + dX

bestimmt. l'Jach den Rekursionsformeln sind damit auch sJmt­

liehe Momente von f weitgehend festeelegt und zwar bis auf

irRendwelche additiven reinen Zeitfunktionen, die nicht

mehr vom Ort abh~ngen und die beim einzelnen Integrations­

schritt hinzukommen. Da nun die Momente die Funktion f unter

sehr schwachen Voraussetzungen ihrerseits festlegen, (A~­

hang), so bedeutet diese Willklir in den Momenten,daß f nicht

eindeutig durch E(x,t) bestimmt ist.

42

Die Vorgabe von f für x = 0, wie sie dem räumlichen An­

fangswertproblem entspricht, legt ebenfalls den konstanten

Anteil der Momente fest. Die erwähnten Kompatibilitäts­

bedingungen bestehen dann in den im nächsten Kapitel zu be­

sprechenden PositivitätsforderunBen.

Wir betrachten jetzt die ersten Momente explizit:

=

Dies ist natürlich wieder die Kontinuitätsgleichung.

Es folgt

f (4) + Funktion (t)

Die "Integrationskcnstante" auf der rechten Seite muß) hier

Null gesetzt werden, um das Verschwinden des Magnetfeldes

zu garantieren. Diese Annahme wird z.B. hinfallig, wenn

man ein äußeres elektrisches Feld anlegt. Das soll daher

ausgeschlossen seln.

Für ddS zweite t10ment kommt:

d.L~} E f (") _ 'JL'

= d1; 'dX fl. "d'l. ~ + -(~()() -+ '0-1:.1. ) E ~)( 2.. =

oder

f (2) ~t-tS'1EO{X ~2V

+ C (j:-) - Jt 1.

mit

43

daher:

il

+ r'3 E MX -

Die (~leichune kann ~Vle üblich als elne GleidlP;eVJichtsbe­

dingung zVJischen dem kinetischen Druck p und der elektro­

statischen Energiedichte aufgefaßt VJerden. Tatsächlich er­

scheint sie in unserem Zusammenhang aber als Definitions­

gleichung für p. Entsprechendes gilt für die höheren Mo­

mente. Durch die Momente sind auch die Erwartun~sVJerte aller

Polynome festgelegt. Daher lassen sich Erwartun~swerte all

der Funktionen approximieren, die durch Polynome gleich­

mäßig angenähert VJerden können.

Die Wahrscheinlichkeit eines gewissen GeschVJindigkeits­

intervalls (a,b) läßt sich aber nicht durch die Momente

unmittelbar bestimmen, denn hierfür braucht man den Erwdr­

tungswert der zugehörigen charakteristischen Funktion

r dt-b (11.<.) :: { o Mo E (~J h)

$O'lllst

Diese läßt sich jedoch durch Polynome nicht gleichmäßig

approximieren. für infinitesimale Intervalle folgt hieraus;

daß man mit endlich vielen Momenten die VerteilunQsdichte

nicht lokal approximieren kann. Vp,l. auch in V.S die Be­

trachtung über die Brunssche Reihe.

44

V. DAS pgOBLLM DER POSITIVITÄT

V.1 Der Hauptsatz

Um die Positivitat einer Funktion f(u) aus ihren Momenten

zu erschließen, ist zu fordern, daß im Definitionsbereich

von f die Erwartungswerte aller dort positiven Polynome

selbst positiv sind. Für kompakte Definitionsbereiche stellt

dies eine komplizierte Bedingung dar, da es schwierig ist,

sich liber alle Polynome, die innerhalb des Definitionsbe­

reichs nur komplexe Nullstellen haben, einen Überblick zu

verschaffen. Für den unendlichen Definitionsbereich lassen

sich hingegen die liberall positiven Polynome einfacher

klassifizieren. Das dann vorliegende Momentenproblem ist

nach Hamburger benannt. Notwendige und hinreichende Be­

dingungen sind (Widder):

=

{lOJ {l1 J

= > 0 f ( ... I f~)

f (0) f ilJ f {t.J

= f (-11

-f (1.) f(1 1 > tJ

f(:lJ f(~) f~)

Die HIs sind hierbei die Hankeldeterminanten. Diese Be­

dingungen garantieren ganz allßemein die Existenz mindestens

einer monoton wachsenden t Funktion F(u), so daß die

i" Dies ist im Fall der Differentierbarkeit von F mit der Po-sivi tätsforderung äquivalent. \Jegen der hier betrachteten Verallgemeinerung von f vgl~ Batt sowie den Anhang.

Stieltjes-Momente

+-0

45

S Mie. olF(I\A) -...0

(k) gleich den gegebenen f werden.

Wenn Wlr diese Ungleichungen als elne Folge von Bedingun?en

für die sukzessiven Momente höherer Ordnung ansehen wollen,

folgt

f (oJ ::> 0

f (t) > ~ Ho

Ir' f{'O

- {tel J fl"}

rt" I f (~) f ('1) fW f31 fft.J r(SJ

">

1-1'1.

Nun sind die höheren Momente nur bis auf elDe additive Kon­

stante (genauer, eine reine Zeitfunktion beim einzelnen

Rekursionsschritt - zur Vereinfachung sei aber von dieser

Zeitabh~ngigkeit abgesehen) festgelegt. Man kann daher

haffen, durch geeignete Wahl dieser Konstanten C die obigen n

Bedingungen stets zu erfüllen. Dies wird indessen nur dann

möglich seln, wenn die rechten Seiten der obigen Unglei­

chungen beschränkt sind.

Da die Bedingungen für alle x und t des betrachteten Raurn­

Zeit-Gebietes gelten müssen, stellt dies eine Einschränkung

an die "zulässigen E-Felder" dar.

Um zunächst zu verhindern, daß die Nenner der obigen 3c-

46

dingungen sukzessive kleiner werden und damit die erfor­

derlichen Konstanten immer größer, kann man die obigen

Ungleichungen durch die folgenden (allerdings nurmehr hin­

reichenden) Bedingungen ersetzen:

. . .

mit elnem beliebig kleinen aber festen positiven 0(. Dies

wiederum ist sicher erfüllt, wenn man für die Momente for-

dert: f (o) :> 0<

f (2) > f (/f) t + cX

0<.

f (0) f (-1) f (2.) I f (-1) f ('1..) lf/o<' +0( f (~) { f (3) I fl'J) "> t (1./ 1(1) f (t)

Die Beschränktheit der Zähler auf der rechten Seite ist

sicher dann gegeben, wenn die darin auftretenden Mo~ente

selbst beschr~nkt sind. Nun enth~lt das n te Moment neben

der Konstanten C Bestandteile, die durch folgende Opera-n

tionen aus E(x,t) und g(x) gebildet sind:

MUltiplikationen (insbesondere Potenzierung), x-Integrationen

und t-Differentiationen. Wenn wir fordern, daß diese Opera­

tionen im betrachteten x-t-Gebiet nur auf beschränkte Funk­

tionen führen, so sind die solcherart eingeschrJnkten L-Fel­

der offenbar mit der Vlasov-Gleichung kom p a t i bel.

Dies ist etwa für hinreichend Blatten Zeitverlauf und be­

schränkte x-Gebiete zu erwarten.

Es folgt daher der

47

Hauptsatz

Zu jedem elektrischen Feld E(x,t), XE: [OI-1J, das mit sämt­

lichen - als existent angenommen - Zeitableitungen stetig

und in x beschränkt ist, existiert mindestens eine Lösung

f(x,u,t) der Vlasov-Cleichung.

Bemerkung: Dieser Satz ist nur richtig, wenn die Vlasov­

Gleichung selbst als eine Distributionsgleichung aufge­

faßt wird. Daß er dann jedoch stets richtig ist, wird im

Anhang gezeigt.

Wegen dieser Einschränkung sollen die oben definierten Lö­

sungen schwache Lösungen heißen. Welche Schwierigkeiten

bei ihrer physikalischen Interpretation auftreten können,

zeigen die drei letzten Nummern dieses Kapitels.

V.2 Die Erhaltungssätze

Die vorstehenden Betrachtungen zelgen, daß die Positivität

die Mannigfaltigkeit der schwachen Lösungen "qualitativ"

wenig einschränkt.

Auf der Suche nach einigermaßen allgemeinen weiteren Restrik­

tionen bieten sich die Erhaltungssätze an.

a) Der Ladungserhaltungssatz

Jackson et ale haben auf die Schwierigkeit hingewiesen,

Plasma mit Ladungsüberschuß auf zeitlich konstante "Ge­

samtladung" zu normieren. Denn der Ladungsüberschuß ruft

einen Zustrom aus der Umgebung hervor, ohne deshalb dort

die Neutralität zu stören. Der Widerspruch wird dadurch

vermieden, daß das System für x--> ca nicht abgeschlossen

ist und daher von dort Ladung ausströmen kann.

Wir hatten daher in Kapitel IV vorsichtshalber die Neu­

tralität des Gesamtplasmas gefordert. Wünschenswert ist

48

jedoch lediglich die Erhaltung der Gesamtladung, Aus der

Kontinuit~tsgleichung

= 0

folgt

dQ J (-1) (A)-t) f (1J ( 0) -t ) = 0 + -~-t

wo /I

Q = 5 (f (0) (X,·I;) - ~ LX.) Jot><

0

Die fragliche Bedingung lautet also:

iiiernach sind endliche Gesamtladungen des Systems möglich.

Der am Rand auftretende elektrische Druck muß dann aber

durch das Gefalle des kinetischen Drucks aufgefangen wer­

den, Die Bedingung ist bei Jackson et ale verletzt.

b) Der Impulssatz ( '()("J = /1 )

d f {.f} ~ ( { (2J _ E2

-t V ) - 0 -+ 2-

'd-t ;;>X

Die Bedingung lautet offenbar

f (2.) C 1'/ J t ) E'J. V (...,) t) - - (.tf J -1:.) + 2.

S (~) (0, -4;) - E2. (0 1;) + V(OJ-t.) ::: 2. '

mit dem Ausdruck fUr f(2)

49

d'l. V _ (O,-b) ;) t 'I.

c) Der J:.:nergiesatz

A 'C)~)

-l-.;t ~}J

= E JE -2 dt 2 d)( ut

oder

'd { {(~) -t f 1.- ) /I

c'JL) 0

- ~ -dt -- "2. ())(

2-

fordert

f ('!,) (-1,?t) -

f ('1) ( 0, + J

mit

JE) ~ E1 ~) -- dt. ;JX

'dX

? 'J E 'L dV +

C)'bv

- 2... dt -+ - d t'b dt

ist )( x

(3.) 'J S E 2 o<x 9 f f (x)i)

'b + VPlx - - 2-

-dt ~t

0 ~

\ldx

50

Daher ist zu fordern

/I 1/ A

~ S E:2.o{X- S VdX S o'\. Lr ~x Co"'" c;f .

1- -t -1- r;>t

D 0 0

Man kann die Lösung außerhalb des Intervalls (0,1) perlo­

disch fortsetzen oder nicht. FGr periodische Lösungen qel­

ten sicher die ErhaltungssJtze. hinzu kommen weitere 3e­

dingungen an die "Oberwellen" (vgl. VI.3b) durch die For­

derung:

=

fGr k ~ 4. 1:s scheint daher, als ob bei periodischen

Lösungen die zul~ssigen Felder E(x,t) eingeschrJnkt

seien. Wie dann zu verfahren ist, bringt die nachste

i',ummer.

V.3 Periodische Lösungen

Es ist zu beachten, daß die bisherigen Betrachtunren nicht

in voller Allgemeinheit durchgeführt wurden. Denn die beim

einzelnen Rekursionsschritt auftretenden willkUrlichen

"Konstanten" C können allgemein irgendwelche Funktionen n

der Zeit sein.

Wir hatten zur Vereinfachung der Betrachtung bislang auf

diese Freiheit verzichtet. !'1an erkennt aber-leicht, daL für

beliebig oft nach der Zeit differenzierbare Funktionen C (t), n

die in s~~tlichen Ableitungen beschrankt sind, aie Lxistenz

der Lösungen ebenso gezeigt werden kann wie in V.l.

Interessant sind in diesem ZusaT!1menhang periodische L:)~.3urren,

da diese zu einer eindeutigen Festlegunz der Zeitabh~n0iFkeit

fOhren. Dies folgt aus der GOltiekeit der ErhaltunpssJtze.

51

Der Ladungs- und Impulssatz führen zu keinen neuen Aussapen

über C1 ' Wle es sein sollte. Der EnerGiesatz lautet: A

~ (f C~) + E 2. ) ()()( = 0

o

Dies liefert jetzt:

11

J ~ ol)( ( .$ EL + C'Z. CfJ) - 0 - I di (J

oder

C1. (i:.) =

Man erkennt in der Tat: o

Für beschrJnkte L-Felder IJßt sich die Konstante C2 so

wählen, daß die Positivitätsforderung erfüllt werden kann.

Dies ist z.~. für gedämpfte Lösungen der Fall.

Analoge detrachtungen pelten fUr die höheren Momente. Durch

partielle Integration und vJiederhol te Anwendung der l<ekur­

s ionsf onne I

beweist man, falls noch V(O,t) = 0 Gesetzt wir'd, eine Farnei,

die nur fUr die geraden Momente notiert sei:

v f (2. (k- 1))

(2. k - -1 ) ('l. W - ~) V ~ -f (?. ( Je - 2.») _ ....

3! )(

+ ) { (2 k - ~ Je 2 k - 3) ... /I

" tel

V "f (2J.-3)

:lh.-17 cl

/l! :Jt } ~X

52

Das hier auftretende Integral muI;) , über elne volle Periode

erstreckt, verschwinden. Diese ForderunE laßt sich bei in­

stationaren Problemen durch geeignete Wahl der "Inteprations-(2k-1) .

konstanten" C2k _1 (t) von f offenbar stets erfüllen.

Eine entsprechende Überlegung gilt auch für die ungeraden

Momente. Der zeitunabh~ngige Anteil der C's muß so gew~hlt

werden, daß der PositivitatsforderunE senügt wird.

Eine Einschrjnkung an die zul~ssigen Felder erGibt sich je­

doch für den stationären fall. Die Periodizit~tsforderung

lautet, wenn man beachtet, daß f(O)' = -V'" ist,

11

~ ~X V Ie. VIII -- o o

Diese Jedingung ist sicher erfüllt, wenn Vi eine Funktion

von V allein ist:

, V =

Denn dann ist V" und V'" ebenfalls als Funktion von V

ausdrückbar, und das unbestimmte Integral über VkV'"

führt auf eine Funktion von V~ die daher in x periodisch

ist.

Die obige Forderung stimmt überein mit der aus der Charak­

teristikenmethode nach bernstein, Green und Kruskal folgen-

den Darste-l-lung-Für-V~.- -S-ie-st-e-ll-t~ cl-i-e-ei-nz-i-p,e-wesent-I-iche- - -- - -­

EinschrJnkung un die periodischen Felder dar.

V.4 Die Frage der Eindeutigkeit

Die Betrachtungen der letzten Nummern zeigen, Wle man zu

Lösungen der Mornentengleichungen kommt, die einern normier­

ten Maß entsprechen. Es erheben sich folgende FraRen:

53

Sind die Lösungen bei gegebenen Momenten eindeutig fest­

gelegt?

Sind die Lösungen der Momentengleichungen auch Lösungen der

ursprünglich gegebenen Vlasov-Gleichung?

In welcher Weise lassen sich aus den Momenten N~herungslö­

sungen konstruieren und in welchem Sinn konvergieren diese

gegen die Lösung?

a) Im Anhang wird gezeigt, daß die Lösungen der Momenten­

gleichungen stets Lösungen der Vlasov-Gleichung im schwa­

chen Sinn definieren. Unter solchen werden allgemein Lö­

sungen verstanden, für die die linke Seite der Gleichung

orthogonal stehen möge auf einer fest gegebenen Menge ~

von Funktionen. In diesem Fall bedeutet die Null der

rechten Seite eine Funktion Cf (>', fl.1 I t), so daß

_ 0

für alle '+ G '01r gil t.

In Anlehnung an Vorstellungen der projektiven Geometrie

kann man auch sagen, die Gleichung gelte als Gleichung

im Dualraum m I von ~. Wählt man ~ gleich der l"lenge

der Schwarzsehen "Testfunktionen", die auf einem kompak­

ten Träger beliebig oft differentierbar sind, so sind die

positiven Lösungen gerade wieder die Maße. In unserem Fall

kommt als Testfunktionsmenge offenbar die Menge aller Po­

tenzen von u in Frage:

(Wegen elner Verschärfung dieser Annahme siehe den Anhang.)

Dann ist ~ eine Funktion, deren sämtliche Momente ver­

schwinden. Ein Beispiel ist

54

In Kapitel IV.1 wurden starke Lösungen eingeführt. Zur

Illustration des Unterschiedes von starken und schwachen

Lösungen betrachten wir zwei Beispiele, die sich auf die

kräftefreie Gleichung beziehen:

4 + AA.. 21 = 0 Jt ~X

Eine Lösung im starken, jedoch nicht 1m schwachen Sinn

ist

[11 c~st , 1/ 1

= At 11 f (x- IA.t)'Z. .1-fM

während

" - J '" (/11 _ t l-

i/q

fl ':: e.- f 11 ~ e M/n I A-t. I r 4g

e1ne Lösung 1m schwachen aber nicht 1m starken Sinn ist.

In der Tat löst f 1 zwar die Vlasov-Gleichung, jedoch

existieren keine Momente höherer als 3. Ordnung gleich­

mäßig in x und t; es kann daher nicht als Element von

~~ gelten. Und umgekehrt löst f 2 die gegebene Glei­

chung nur im schwachen Sinn, denn für die rechte Seite

kommt statt der Null

t 1.4

I M. I 11'l

Dieser Ausdruck ist jedoch auf sämtlichen Polynomen 1n u

orthogonal.

Diese Beispiele legen es nahe, aus physikalischen Gründen

Lösungen zuzulassen, die sowohl starke als auch schwache

Lösungen sind. Diese erfüllen die Forderung, daß fein

Wahrscheinlichkeitsmaß beschreibt und garantieren die

55

Möglichkeit, Momentengleichungen beliebig hoher Ordnung

abzuleiten. Der physikalischen Interpretation zugänglich

sind in Verallgemeinerung noch Lösungen, für die min­

destens die ersten drei Momente existieren. Hinsichtlich

einer Einschränkung, die der Entropiesatz bringt, ver­

gleiche man V.5.

b) Das obige Beispiel zeigt, daß aus den Momenten nicht not­

wendig auf die Eindeutigkeit der Lösungsfunktion geschlossen

werden kann: In der Tat lassen die Momente

(4k + 3)!/3!

o k gerade

k ungerade

offensichtlich die beiden Lösungen

und

;1

41 e

1.u.1"/q.

zu. wir fragen jetzt na~h hinreichenden Bedingungen für

die Eindeutigkeit.

Wir behaupten, daß die Eindeutigkeit gewährleistet ist,

falls es eine Funktion 'i\ (X.J -t) > 0 gibt, so daß

~!

~ür alle geraden Momente gilt.

Zum Beweis betrachten wir die Fouriertransformierte der

Verteilungsfunktion:

56

::

Entwicklung der Exponentialfunktion liefert:

00

< L Da f positiv ist können selne Absolutstriche weggelassen

werden. Dann gilt

k gerade

< =

k ungerade

Unter Berücksichtigung der Voraussetzung folgt

< ~ (1'1 -+ .2 ~ ) t ~ /2Jq + f (tI) e I ~ I {~I 'it =

Diese Reihe konvergiert bei festem x,t im Kreis um den

Nullpunkt der komplexen z-Ebene mit dem Radi us ~ (xJ t)

Setzt man r =' J + r:~ so ist

Dieses Integral existiert nach dem vorigen, falls

I\. ( )() -I: )

Die Fouriertransformation existiert daher im ganzen

Streifen

57

um die ~ -Achse und ist 1m Kreis um die Null mit dem

Radius It analytisch.

Wir zeigen jetzt, daß sie 1m ganzen Streifen analytisch ooJ

ist. Für die Ableitung von j kommt:

=

wo

/c.t/ > R Es is t, mi t : =" !....j.'; IIJ. :

Nun ist

I tU I e,

\du

)

1.6 ~ I f.t - { L1 ~.f. 1.(.

< J,(,(,I (e, ...j. e. )

58

für sehr große u (d.h. R hinreichend groß) gilt

1u I (lA ~ , t 6 ) u

< A

mi t einem geeigneten kleinen €,

Dies eingesetzt, ergibt:

Ja I < /""/:> R

Falls 'Yl. 1m Streifen liegt, so liegt auch

~ ± ( I ~~ ( + €)

für hinreichend kleine I A ~ I und € 1n diesem Streifen,

d.h. das Integral existiert. Da f für große u Werte stär­

ker als jede Potenz abnimmt, so wird für hinreichend große

Werte von R das Integral beliebig klein.

,v

Hieraus folgt, daß die Ableitung von J nach 2 im ganzen

Streifen existiert.

Durch analytische Fortsetzung ,.... wicklung von 1 im Nullpunkt

Streifen definiert ist. Da !

folgt aus der Reihenent-

eine Funktion, die im ganzen

im ganzen Streifen analy­

tisch ist, so ist diese Fortsetzung genau J im Streifen.

I'J

f ist mithin auf der reellen Achse durch die Entwicklungs-

koeffizienten 1m Nullpunkt eindeutig bestimmt. Wegen der

Eindeutigkeit der Rücktransformation ist auch f selbst

hierdurch eindeutig festgelegt. Die Entwicklungskoeffizien­

ten sind aber durch die Momente gegeben.

59

V.5 Das Umkehrproblem

Wir gehen kurz auf die Frage ein, 1n welchem Sinne die Ge­

schwindigkeitsmomente die Lösungen der Vlasov-Gleichung re­

präsentieren.

a) ZUhächst ist zu bemerken, daß die Gleichungen für die

Momente die Vlasov-Gleichung selbst nur im Sinne der

Distributionstheorie darstellen. Dies wird im Anhang

gezeigt.

Mit den dort entwickelten Vorstellungen ist der Begriff

der schwachen Konvergenz verknüpft: Sind f(~w)~JTest­

funktionen aus .J >< f2 (wegen der Definition muß auf den

Anhang verwiesen werden), so ist die Konvergenz

1m schwachen Sinn durch

für alle festen <f' E ,9 x P erklärt.

b) Um zur Konstruktion e1ner Funktionenfolge zu kommen,

die im schwachen Sinn gegen die Lösung konvergiert,

betrachten wir eine Gewichtsfunktion w(u), die auf irgend­

welche Orthogonalpolynome führen möge

-t-=-

) J>"" Cu.) ~I)'ra (u) W (1.-\) ~1A. :::: ~1J'l;rn

Mit den Momenten sind zugleich auch die Erwartungswerte

dieser Polynome gegeben:

< f I 3Jm (I\() >

60

Man erkennt dann unmittelbar, daß

.....

= L 4.= 0

gegen die Lösung konvergiert 1m schwachen Sinn.

c) Speziell ergeben sich mit

für :P (u.) die Hermi te 'schen Polynome (Engelmann et al.). ~

Die resultierende "Bruns'sche Reihe" konverBiert daher

ebenfalls im allgemeinen nur schwach.

Wenn man jedoch annehmen darf, daß die Verteilungsfunktion

sich für große u so verhält, daß

f ()t) -f.A..J -t.)

für ein festes k ~ 1 ist, so konvergiert die Folge sogar

punktweise in u (Frank - Mises Kap. IX).

d) Schließlich besprechen W1r noch die Approximation im

Mittel. Es wird sich zeigen, daß die Momentenmethode

keine Berechnungsgrundlage liefert.

Wir beschränken uns auf

W(M.) ~ e

Die Orthogonalfunktionen

61

sind dann Linearkombinationen von

. I

Für die Momente

resultiert:

(~ + 01. E ) F (Ie +4 )

JX

Beachtet man noch, daß

k E F (It-·f) _

F (/tz-r2J

so entsteht folgende Rekursionsformel:

Es ist zu fordern

1. Positivität

\ F (0) I > 0 I F etJ

> 0

2. Schreibt man die approximativen Lösungen

so garantiert die Forderung

• I •

;) F (je)

dt:

. . .

62

L a~ (!lI -t-) endlich

die Existenz eines Grenzelements f(x,t,u, o(), das

quadratischintegrabel ist.

3. Eine entsprechende Forderung ist an die Koeffizienten

zu stellen, die die Integrierbarkeit von f und J~/.f

garantiert.

Um die Iteration zu starten, ist die Kenntnis von

F(o)(x,t, cO und E(x,t) nötig. Es ist zu fordern:

A)

B) r: 1-1) (f i 0) ::: ) I

Dabei ist F(l) durch die Rekursion durch F(o) weitgehend

festgelegt. Wenn man F(o) in übereinstimmung mit A) vor­

gibt, führt daher B) zu Bedingungen an E(x,t); ein Bei­

spiel möge dies verdeutlichen: Wir wählen

-t- (0) r (X)-i:Jcx)

für alle ~ • Man rechnet leicht nach, daß es nur für

solche E-Felder Lösungen geben kann, für die

E + = o

gilt.

63

Man könnte jetzt die Poisson- und Maxwell-Gleichungen

genähert erfüllen für kleine ot. wenn

~~ o(.....:;J0

S t (x) 7t I IU J ot.) olllA. = f (0) ( XI ;t )

~ S f CX) i) 1A. J 0( ) U ol1A. = [("") (x, -t )

0(. -> 0

Hier wird die Voraussetzung 3. wesentlich.

Diese Bemerkungen sollten auf die Schwierigkeiten des

Verfahrens hinweisen.

V.6 Der Entropiesatz

Die Vlasov-Gleichung ist reversibel. Definiert man die lo­

kale Entropiedichte durch

H = - S4 -&t f t;{ Il.(..

und den Entropiefluf~ durch

S = - J f ~ f M.ol'l-t.

so gilt

~H ..,. ";;)5 () - '=-

Je ax

Voraussetzung ist dabei, daß H existiert und eindeutig de­

finiert werden kann. LS sei auf einige Schwierigkeiten hin­

gewlesen.

Betrachtet man die schwachen Lösungen der kräftefreien Glei-

64

chun~ zu den Momenten

k gerade, sonst Null

so war

eine Lösung. Der Entropiesatz gilt. Für die 1m schwachen

Sinn äquivalente Lösung

lA..(.I /1/,+ }

lautet dagegen der Entropiesatz:

;)H -Jt

r1i t

kommt:

-+ dS 'dX

=

= e

= . ... 1.. I 1/q 1;,

oI7t -~ f -MI . I I 'f ,z4 e.. t ~ Ai •

t.

{ IM. (q -t .t.. (A+ ote-t~ I« i"q ) 1 d1-<

Man überzeugt sich leicht, daß die rechte Seite nicht ver­

schwindet und sogar von ~ abhängt. Durch Variation dieses

Parameters ließe sich also die Entropieerzeugung ändern.

Dieses paradoxe Resultat erklärt sich daraus, daß zu den ge­

gebenen Momenten die Verteilungsfunktion und damit die En­

tropie nicht eindeutig gegeben ist. Es ist daher nicht

65

sinnvoll, elne Entropiedichte zu definieren. Das Beispiel

zeigt, daß der übergang zu den Momentengleichungen mit

"Informationsverlust" verbunden sein kann.

Die Entropiedefinition stößt auch dann auf Schwierigkeiten,

wenn f singulär ist. Dieser Fall liegt vor, wenn fein

Strecken- und ein Punktspektrum hat, also J -SingularitJten.

Nach einem Satz von Gelfand, Kolmogoroff und Jaglom diver­

giert in diesem Fall die Entropie. Aus den Momenten allein

kann diese Eigenschaft der Verteilungs funktion nicht ohne

weiteres erschlossen werden.

In der Arbeit von Bernstein, Green und Kruskal wird gezeigt,

daß die strengen stationären Lösungen im Fall schwacher

Felder, der eine Linearisierung erlaubt, zwar nicht unmittel­

bar in die Landau- van Kampenschen-Lösungen einmünden, je­

doch diesen im schwachen Sinn äquivalent sind. Während für

die Bernstein-Green-Kruskal-Lösungen bei endlichen Feldern

elne Entropie definiert werden kann, divergiert diese je­

doch beim Übergang zu den van Kampenschen Lösungen.

Wir betrachten schließlich noch den Fall solcher schwachen

Lösungen, die eindeutig festgelegt sind. Wenn diese keine

Singularitäten aufweisen, ist die zugehörige Entropie eln­

deutig definierbar. Trotzdem braucht der Entropiesatz

n l c h t notwendig zu gelten. Er kann verletzt sein, wenn

diese Lösungen n~cht zugleich starke Lösungen der Vlasov-

1 . . d t G elchung Sln •

Diese Betrachtungen lassen sich verallgemeinern. Sei t11 die Menge der einmal stetig differentierbaren Funktionen

und F E M1 • Ist feine s t a r k e stetig differentierbare

Lösung der Vlasov-Gleichung, so ist FCf) eine starke Lösung

t Der Nachweis, daß dies u.U. nicht der Fall ist, ist jedenfalls offen.

66

der Gleichung

(F) + = b

für alle F ~ M1 , wenn man sich E wieder durch f gegeben

denkt. Insbesondere ist mit E > 0

eine überall stetige differentierbare Funktion und daher

€ Mi' und

der Ausdruck für die Boltzmannsche Entropie. Bei starken

stetig differentierbaren Lösungen ist daher die GÜltig­

keit des Entropiesatzes zu erwarten. Das obige Beispiel

zeigt, daß dies für schwache Lösungen nicht mehr notwen­

dig zutrifft.

Allgemein ist zu erwarten, daß die Forderung, mit einer

schwachen Lösung f solle auch F(f) eine schwache Lösung

der obigen Gleichung (F) sein, die zulässigen Funktionen

F stark einschränkt.

VI. EINE VERALLGEMEINERUNG DES PARAMETRISIERUNGSGEDANKENS

VI.i "Abbruchsbedingungen". Die allgemeinen hydrody­

namischen Gleichungen und ihre Positivitäts­

restriktionen

Das Verfahren der Geschwindigkeitsmomente hat den Vorzug

unmittelbarer physikalischer Interpretierbarkeit. Man wird

f(o)

f(l)

f(2)

f(3)

usw.

67

als Dichte,

als Strom bzw. Impulsdichte,

als Energiedichte, d.h. als Temperatur bzw. Druck,

als vJärmestromdichte

interpretieren. Diese Relationen sind geläufig aus der Theo­

rie der Transportprozesse.

Sieht man die ersten n Momente als hinreichend zur Beschrei­

bung des Zustandes eines Systems an, so liegt der Wunsch

nahe, Gleichungen allein für diese aufzustellen. Dabei hat

man z.B. folgendes Anfangswertproblem im Auge:

Zur Zeit t = 0 mögen die ersten n Momente gegeben sein:

f (o) (x, 0 )

während über die höheren Momente nichts bekannt sel. Welche

zeitliche vJei terentwicklung ist zu ervlarten?

Das Problem wäre gelöst, wenn ~an etwa E(x,t) kennen würde.

Wir zelgen, daß die Vorgabe der ersten n Momente äquivalent

ist der Vorgabe der ersten n Zeitableitungen von E zur Zeit

Null. Es ist:

= f (KJ) ( - ~ x)

und hiernach ist E bis auf elne Konstante festgelegt. Weiter

kommt

~E (jt

f (2.>

d _ _ ~ (X ) E - ~X dX v

E't 2.

68

usw. Über die höheren Ableitungen ( > n) von E kann noch

beliebig verfügt werden.

Dem entspricht die Tatsache, daß die Abbildung der möglichen

Funktionen f auf end 1 ich viele Momente niemals um­

kehrbar eindeutig ist:

f -~ , . ,

und daher die Momente die Funktion f nicht eindeutig fest­

legen.

Folgende Möglichkeiten ergeben sich:

1. Man legt die höheren Ableitungen von E irgendwie fest

zur Zeit t = O. Dann waren die Momentengleichungen nur

eine andere Form der ersten n Ableitungen von E selbst.

Das Ganze entspricht unserer Parametrisierung, abgesehen

von der Annahme, daß E analytisch sein muß.

2. Man legt die höheren Momente von f zur Zeit t = 0 fest,

irgendwie, jedoch mit der Positivität verträglich. Da­

mit ist auch f(x,v,ü) im wesentlichen gegeben. Dies ent­

spricht dem früher erwähnten Anfangswertproblem.

3. Wir schreiben das (n + 1)te Moment in irgendeiner will­

kürlichen Weise zu all e n Zeiten vor.

Etwa:

{ (/)!J°H)

oder, etwas allgemeiner

Schreibt man dann das System der Momentengleichungen in

der Form:

69

~E = f (O) - ~ (x)

()x

dE ::: f (-t J

-dt ~I)) f (O)

ti-(2.J

E -- 'J)( ~t

~-L:'J J (~_A) Q. ~ (-{(o: . ... :I(k) ) - M.E (}X

f)1..

f (Ik;-I/) =

tP (J (o) . ... J (lkJ )

d t (",,+1.\ .f ('IIlJ ~ f (:r(O), . .. { ('JA) )

~~Al E -=: cJt dX'

djltk..d) ( f (tI) j ("") ) d -f (~~L)

== (M -f 2.) E ~ ) . . . - ;}t

'dx

So erkennt man, daß dies eine "Abbruchbedingung" bedeutet:

Das System der ersten Gleichungen ist in diesem Sinne ab­

geschlossen. Die höheren Momente sind automatisch mitbe­

stimmt durch die folgenden Gleichungen. Damit sind samt­

liche Momente fixiert und damit auch die Lösung. Man kann

auch sagen: Diese Lösungen sind Urbilder von

sofern sie nur positiv sind.

Diese Bedingungen für die Positivität lauten:

70

Für gerade n: Für ungerade n:

f (,) :> 0 f (o) ::;>()

{(()} {(1) fM {(-tl > 0 >0 f (11 {m

{ (-t) {Cl) ,

('~J f{OI " (YJ (tf)) f . "~ .. f ' , .

';> 0 >-

(('~) f ('14) {l~f) eP

Es ist zu beachten, daß diese Ungleichungen ergänzend zu

den ersten Momentengleichungen hinzutreten.

()

Man erkennt, daß die Nebenbedingung 0 an die Stelle elner

vollständigen Kenntnis bzw. Vorgabe der Anfangsdaten ge-. t treten lst.

Einige nahegelegte Bedingungen sind die folgenden:

a) Die Adiabasiebedingung

f (0 1 r

b) Die Druckhomogenität: (KaIman)

c) Die Annahme, daß der Druck der Dichte proportional sein

soll:

tAufgrund des Hauptsatzes V.1 wird man wünschen, daß E(x,t) den dortigen Bedingungen genügt, um die Positivität für die nicht mehr explizit behandelten Momente > n garantieren zu können.

71

Führt man wie lm Anhang die Erwartungswerte von Polynomen

P(u) ein durch

so kann man dies auch schreiben

( J H~ (~ J > - 0

wo ~ eln geeigneter Proportionalitäts faktor ist und H2 das zweite Hermite'sche Polynom (Engelmann et al.).

d) Der Wärmestrom ist der makroskopischen Strömung propor­

tional

f (')} rv

Mit Engelmann et ale kann hierfür wieder geschrieben wer­

den

(:fl H>(~J> 0

4. Man kann eine ähnliche Relation für die Ableitungen von

E vorschreiben, etwa

9E , "'if;)

11

~ E ) . j CJ i ...

Wegen der Umrechnungsmöglichkeit auf die entsprechenden

Geschwindigkeitsmomente ist dies mit dem diskutierten

Fall 3 identisch.

5. Schließlich kann man die fehlende Kenntnis der Start­

bedingungen durch statistische Annahmen ersetzen.

72

VI.2 Methodische Bemerkung

Die Betrachtungen des letzten Paragraphen legen es nahe,

den Begriff der Parametrisierung zu verallgemeinern. Man

wird vermuten, daß dies die Vorgabe einer oder mehrerer

Funktionalabbildungen leistet:

o

Wir betrachten elnlge Spezialfälle, die sich auf diese Ge­

stalt bringen lassen:

A) Das Anfangswertproblem

Hierbei ist f o die angenommene Anfangsverteilung.

B) Die Parametrisierung mittels des elektrischen Feldes:

- A- (l/, -1:-)

+

Hier ist E(x,t) das angenommene elektrische Feld.

C) Die Polytropengleichung

j(()) (XjO)

[ {4tJ :r (x/O) f (At)

o (X)

= { (~.,"')

(x,t.) -

73

Hier sind die Anfangsmomente f(o) ••• f(n) und die "Poly-o 0

tropengleichung" angenommen.

D) Auf einen anderen Typ möglicher Parametrisierung führt

folgender Ansatz für die Verteilungsfunktion: t

f f L b,=O

.=

Mit f ist auch jede stetig differentierbare Funktion von

f eine Lösung der Vlasov-Gleichung.

Die Gleichung für ln(f) liefert daher:

Dies sind bei gegebenem E(x,t) ebenfalls Rekursionsfor­

meln, die durch o

c:l/J

gestartet werden können. Poisson- und Maxwell-Gleichung

können daher als Bedingungen zwischen E(x,t) und f(x,t,O)

aufgefaßt werden.

Geschlossene Gleichungen für diese Kompatibilitätsforde-. tt

rungen ergeben sicp etwa bei folgenden Abbruchsbedingungen:

a~ _ 0 oder

oder I ==0 ""'" -::0

t Die Positivität ist hier trivial erfüllt.

tt Die Normierbarkeit von f fordert, daß der höchste nicht­verschwindende Koeffizient a k ° sein muß und k gerade.

74

Wir betrachten zur Illustration den Fall, daß

41J _ 0 4tf _ 0

Dies entspricht der Frage nach Maxwellschen Lösungen der

Vlasov-Gleichung.

Aus dem Verschwinden von 4.1f und .::1.3 folgt:

842- 0 Cl(1. = - jb (~) -tJx

Ba", , 02 (7t) d~'Z.. 0 4..t j:>{-/;) x -+ +- = -

iVt- (i) X

Für k = 1 und 0 liefern die Rekursionsformeln:

.L!- ( Ci Ci. "I ,&qo ) Cl(. '2. e>t -+ --= JE CJX

" Ja.,

ti/J = i= ~I:;

Mit den obigen Ausdrücken folgt

T

Für E liefern die Poisson- und Maxwell-Gleichungen 2..

(QIJ + tl., /4~ ) =

C)X

75

oder mit den obigen AusdrUcken , 1-

~o + 0-><+01.)

6)E 11 + ~ fl "f :-

oX f

~E ~ tio -+

0~~)1.. f-)l.-+~ e, ~(l

-= ~t ).f f

Die Gleichungen I und 11 stellen Gleichungen für die un­

bekannten Funktionen a (x,t) und E(x,t) dar. Die Funk-o

tionen ~ (t) und j3(t) stellen zunächst noch willkür-

liche Funktionen dar, die so gewählt werden müssen, daß

die Gleichungen sich nicht widersprechen. Das dies mög­

lich ist, zeigt die Lösung

p{t-) =

o«t) - ()

= k ruln"1 E == 0 . I

VI.3 Einige Beispiele.

Wir illustrieren die Theorie an einigen Beispielen, wobei

Wlr konstante Ionendichte voraussetzen wollen. Es sind fol­

gende Bezeichnungen Ublich:

== f ('1.)_

Wir diskutieren einige Annahmen über die sukzessiven ersten

Momente.

76

a) Das nullte Moment sei vorgeschrieben für alle Zeiten.

Aus ~E

dX

gegeben.

folgt damit (unter Hinzunahme der Randbedingungen) das

elektrische Feld E(x,t) und damit die gesamte Lösung.

b) Das erste Moment möge zu allen Zeiten verschwinden.

o

Es ist dann bei geeigneten Randbedingungen

f (-tJ + tkf- (i) o

und es liegt im wesentlichen eln stationäres Problem

vor. Die Lösung läßt sich nach Bernstein et ale auf die­

jenige einer Abel'schen Integralgleichung zurückführen.

Wir wollen nur den einfachen Fall betrachten, der einer

ebenen Welle entspricht, setzen daher für das Potential

v Es ist L = - i K V und die Rekursionsgleichungen für

die Momente lauten einfach:

.J f (Je.,.,,) . GI\ = k E j (k--")

oder, Vlenn man V a·ls Variable einführen kann:

ci f (n.+1)

:: k f (k-,fJ

77

Mit 1-

1 + t<.2. V

lassen sich diese Gleichungen sofort integrieren:

Es kommt:

t> f (l) V - k't V L + t{'!. = =. T

f (If) ~ Vl..+ K 't V l - ct1. V ..j. ~~ - 2'

f ((,) f V.l 5" L V't + ~2. V l.. - ~lf V -I- 4 fI - k. :: 2 It 1.

, wir entnehmen hieraus:

1. In den höheren Momenten treten immer Oberwellen auf,

ähnlich wie bei den Leistungen ln der Elektrotechnik.

2. Die Positivität von f(o) fordert, daß

/l

Bei gegebener Wellenlänge sind nicht Wellen beliebig

hoher Amplitude möglich.

3. Die Positivität von f(2) fordert:

k'Z. V?. + V 2.

Ein Mindestdruck muß vorhanden sein (die a's sind

formalIntegrationskonstante), der gegen die elek­

trostatischen Kräfte agieren muß.

78

4. Denken Wlr uns eine kleine Translationsbewegung über­

lagert, so ist zwar v nicht mehr Null, jedoch ver­

schwindet df(l)/dx nach wie vor. Bei kleinen Gesamt­

strömen kann man immer noch das magnetische Feld ver­

nachlässigen. Das Modell entspricht dann einer lau­

fenden Welle. Man erkennt: Es gibt keine Dispersions­

relation (vgl. van Kampen für den linearisierten Fall,

sowie allgemein VI.4).

c) Das zweite Moment sei vorgeschrieben für alle Zeiten.

Wir können die fraglichen Gleichurigen hydrodynamisch

schreiben:

';;)t f-/1 = d X

U- = ~ ;;, t 'dX

dV- d'V- E /1 ~ + 'V" - -- f ;)X Jt @t<

Wir betrachten zunächst den Fall homogener Druckver-

hältnisse:

&~ 0 -CJ!

Die resultierenden Gleichungen sind genau die des

Nulltemperaturplasmas. Sie sind nach KaIman voll­

ständig lösbar in Form einer Parameterdarstellung.

Ein Teil der dortigen Umformungen ergibt sich hier

fast zwangsläufig.

Dazu beachte mall, daß mit )(

j p (x', k) a{}l'

79

sofort aus der Divergenzgleichung folgt:

E(x,-h)

g(t) ist die übliche Integrationskonstante.t

Die

Kontinuitätsgleichung wird mit

--

= + .h. (-(;) - ~ (f)

erfüllt. Wir wollen mit KaIman h

Impulsbilanz wird:

• = g annehmen. Die

Q _ X + ~ (1:)

Führt man jetzt Q statt x als unabhängige Variable

eln - übergang zu Lagrangekoordinaten - so ist

und daher durch Vergleich beider Seiten

sowie

t Nur für konstante g(t) ist die Magnetfeldfreiheit gewährleistet. In allen anderen Fällen gelten die Kalman'schen Lösungen nur unter Vernachlässigung der Magnetfelder.

80

Beachtet man, daß

=f

so folgt:

A ( dX) = V-~t a. f

Für irgend elne Funktion f(x,t) gilt daher:

- (~) (~) - d)( -t Jt IX.

Demnach lautet unsere Impulsbilanz

& - X T 'j (.Jt)

Die Lösungen sind ersichtlich harmonische Schwingungen

mit der Plasmafrequenz:

x ( Q I -b) = A ( a ) ~ ;t 1- 13 ( a) w, t + a (;t)

wobei G(t) Lösung der Gleichung

•• tff (t) ist. Ga, +

Hinsichtlich der Diskussion dieser Parameterdar­

stellung sei auf KaIman verwiesen. Die dortigen Re­

sultate gelten wieder n ich t nur für Nulltempera­

turplasma, sondern liefern, wie betont, eine schwache

Lösung der Vlasov-Gleichung auch bei endlichen Tem­

peraturen, wenn E in allen Zeitableitungen beschränkt

ist. Zur Erläuterung berechnen wir noch das dritte

Moment.

'= -

81

Es folgt dann durch Integration der folgenden Glei­

chung, wenn man darin den obig,en Ausdruck für x (Q, t)

einsetzt, f 3 :

Hieraus folgt die Parameterdarstellung durch Inte­

gration nach Q; entsprechendes gilt für die höheren

Momente.

Schließlich sei noch angemerkt: Das Nulltemperatur­

plasma ist Gegenstand einer Reihe von Untersuchungen

insbesondere numerischer Art (Auer et al.). In allen

derartigen Fällen ist ein erweiterter Gültigkeitsbe­

reich der Gleichungen im schwachen Sinn anzunehmen.

Wir betrachten noch den Fall, daß p durch elne Poly­

tropengleichung gegeben ist:

Eine vollständige Linearisierung der Gleichung ist mir

nicht gelungen. Bezüglich E sind die geeigneten Koor­

dinaten die Lagrangekoordinaten, (Q,t) wie oben ge-

zeigt. Bezüglich des Druckterms sind es die Riemann'schen,

( f ,v) vgl. Sommerfeld II.

Ich gebe nur das Resultat der Umschreibung auf Q,t

falls p = a ~ 7f' ist:

+ = Q-x+t-

Hier ist r die adiabatische Konstante.

82

VI.4 Keine generellen Dispersionsrelationen

In Verallgemeinerung des Beispiels VI.2b betrachten Wlr

jetzt generell laufende Wellen, etwa der Form:

v =

Die h. mögen dabei Funktionen sein, die außerhalb eines J

Intervalls I. verschwinden: J

Die entsprechenden Ströme seien so klein, daß Magnetfel­

der vernachlässigt werden können.

Außerdem betrachten Wlr nur endliche Zeiten

() < t .:::. T =

dann bleiben die Wellenpakete innerhalb elnes geeigneten

hinreichend großen Intervalls der x-Achse, etwa innerhalb

(- a, +a). Der Ionenhintergrund sei zur Vereinfachung Wle-

der konstant angenommen, etwa = 1 gesetzt. Es folgt:

f (o) .., IJ - 2. --t.. ~ J

i (oi) //

== L ~j Vj'

I ,e I q 2.) + 4. 2 f ('J.) A 2,{i I(: + 2. (1./ - "i VJ --.

::. 2

Die Bedingung an a 2 lautet daher:

= etc.

83

Man erkennt:

a) Heliebige Differentierbarkeit und Beschränktheit der

Funktionen h j ermöglicht stets schwache Lösungen, falls

nur

L ~. J

< 11

b) Eine Minimaltemperatur darf nicht unterschritten werden.

c) Es gibt Lösungen, bei denen die Wellen sich überlagern

lassen: Die obigen Wellenpakete durchdringen sich unge­

stört. Das Superpositionsprinzip gilt.

d) Für kleine Feldstärken läßt sich die Vlasov-Gleichung

linearisieren. In einer linearen Theorie ist es denkbar,

daß ein Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwin­

digkeit einer Welle und ihrer Wellenlänge besteht. Für

schwache Lösungen gibt es solche Dispersionsrelationen

offenbar nicht, allgemein. Dies ist in Übereinstimmung

mit dem Resultat von van Kampen für starke Lösungen.

VI.5 Die Landaudämpfung

Wir wenden uns dem Problem der Landaudämpfung zu. Die bis­

herige Diskussion zeigt, daß es möglich ist, gedämpfte Lö­

sungen im schwachen Sinn zu konstruieren. Wir betrachten

elne zwischen 0 und 1 erklärte Lösung. Speziell ergibt sich

für

VI) ~ (x) diffbar und beschränkt

elne Dämpfung der von Landau betrachteten Art. Es ist un­

mittelbar ersichtlich, daß E beliebig oft zeitlich differen­

zierbar ist und sämtliche Momente beschränkt sind, daß also

eine Lösung im sc~.vJachen Sinn existiert.

Explizit folgt:

84

_ ~t ;f + o/(J I ( X) ~

(A) _ ~t" /\ ot (x ) ~

(2) _At (A + ).. 2. ) 0<: (i) e- + ~ f ('2.) (j J t)

Hierbei ist

( 0)

CX ::

(1 )

cA dl - )

d><

(!U

0( =-. , , ,

die Konstanten C sind so zu wählen, daß der Positivität

Rechnung getragen wird.

Die hierdurch definierte Lösung ist ln der Tat gerade Landau­

gedämpft • Für t -?> c:c folgt:

r (0)

1 -i;> .IJ f (-t)

-i> o ) )

Es ergibt sich eine örtlich konstante Geschwindigkeits­

verteilung.

}

Es ist zu beachten, daß dieser Schluß nur für die schwachen

Lösungen gezogen werden kann. Betrachtet man starke Lösungen

im Limes t -'";:r 00 , so kann für diese zunächst nur das I3e­

stehen einer Lösung der Form:

ausgesagt werden. Da die Überlegungen von Kapitel IV.2 jetzt

nicht mehr durchführbar sind, so ist zu vermuten, daß die

85

starken Lösungen im Gegensatz zu den schwachen auch für

große Zeiten noch eine echte Ortsabhängigkeit zeigen.

Dies läßt sich im Fall der linearisierten Vlasov-Gleichung

verifizieren, bei der man das elektrische Feld als eine

kleine Störung behandelt und Lösungen der Gleichung

+'2..-<. + ~

ln der Nähe einer stationären Maxwellverteilung gegebener

Temperatur betrachtet. So enthalten die von Landau ange­

gebenen Formeln für die Verteilungsfunktion für große

Zeiten in der Tat die oben angegebene Ortsabhängigkeit und

die Momente verschwinden exponentiell im Laufe der Zeit~

Das Beispiel zeigt, daß asymptotisch für starke Lösungen

eine Ortsabhängigkeit resultiert im Gegensatz zu den schwa­

chen Lösungen.

Es ist nun wesentlich, daß durch ~(l)(x) die Lösung weit­

gehend charakterisiert ist. Insbesondere ergeben sich für

die Anfangsverteilung (t = 0) folgende Momente:

(.0 )

A -+ 0<. (X)

-f (2) lX,' 0 )

2. '2. (2 I C _ f 0<(1) (X) +0 -t-J..) 0( (Je) + L-

Formal gelangt man von hier aus durch Fourier-Rücktrans­

formation zur Anfangsverteilung

86

Man erkennt, daß man auf diese Weise e1ne Charakterisierung

aller derartigen l\nfangsverteilungen erhält, die Landau­

gedämpft sind. Sie sind wesentlich durch Vorgabe von ~(o)(x) und die Wahl dar Ck's bestimmt nach den obigen Formeln.

Dies sind nun keineswegs alle möglichen Anfangsverteilunßen,

so daß die Landaudämpfung nicht für beliebige (erst recht

nicht im Fall der linearisierten Gleichung) Anfangsvertei­

lungen gilt.

Zur Illustration betrachten W1r etwa den Fall Gauß'scher

Dämpfung (im linearisierten Fall bei Hayes diskutiert):

Es ergibt sich:

f ~) (i I t) f{1,) (XI tJ

~) - ;t--12. F (y, t) := f ( Jt) e

\.

( .. _~-t A + /' 0) Cx} ~

(7.) -~ ~1. L ~ f (x) t.- ( A -r -,r l )

-I- (1.

Die Dämpfung gegen e1ne örtlich konstante Verteilung 1m

schwachen Sinn ist klar. Die Anfangsbedingungen werden:

87

f(OJ (A', 0 J 'C Ai- /' (oJ (YJ

f(1) (t, 0) = 0

f(L) (JI,D) t ;1 (AJt (j) + t (L) (t) (4-1"')

=

Da die Momente nicht gleichm~ßig beschr~nkt sind, so ist

mit einern raschen Wachstum der konstanten Ck und damit der

Momente selbst zu rechnen. Es ist daher nicht von vornher­

ein sicher, daß die so definierten schw~chen Lösungen auch .. . d· . d d h ß(o) d elndeutlg festgelegt Sln • Dle Momente Sln urc un

die C's charakterisiert. Die Klasse all dieser Anfangsver­

teilungen zeigt also einen Gauß'schen Zeitabfall, sicher

keinen Landau'schen. Man sieht: Ein solcher kann für

f(1

)Cx,O) = ° niemals eintreten. Außerdem erkennt man, daß

die Lösung für negative Zeiten ebenfalls sinnvoll ist und

ein Anwachsen beschreibt (vgl. auch Bohm).

Natürlich kann man dies alles verallgemeinern auf beliebige

andere D~mpfungsannahmen, wie

E _'i/~

,k:=3Jf ... I ~ rv e

Zum Beschluß denken Wlr uns noch die ersten n Momente der

Anfangsverteilung gegeben,

beschr~nkt

und zelgen, wann es dann stets elnen Landau-gedämpften Ver­

lauf geben kann. Wir machen den Ansatz:

r (o) T ('i,i) 1 +-

88

mit mehreren noch offenen Zerfallskonstanten. Wir betrach­

ten zur Vereinfachung lediglich den Fall n = 3. Für t = 0

kommt:

.f Co, =

=

=

Definiert

F (o) =

t=(-1) =

F (), I ::'

_, ((u (tJ 2. 0(" + 0<1. -+-

co ) '2.. 0(3.

+ C'J.

man:

)( X'

5 ~ >' I ~ tJ{ J( 1/

( f (.) (x 1'1 0 J - -1 )

x f (-t) J tA x' ( X " 0)

~ r (t7) "1-

f {'tl ( {t.. - 1 (- ) KlO) - 'Z... olx

So entsteht mit

a{", -+ 0(,. + «,. = F (10)

)..1 ~'" ..,. At ((t -t ~~ Cf. ~ - F {-()

2. A'1. A 1-~-1ri,., -+ 'J.o{z. -+ ~ ~~ - ~ (2)

- f (o)

89

rührt man die Determinanten ein:

t= Cf )(x) /f

j) lo} D (11) ( .]:(21 (x) A \ A1 Al A:!I X) = ... = 2.

At A,1. Al- t:" (;) (X) A,1... A~ " ~ ~ t.

so ergeben sich folgende 6 Lösbarkeitsbedingungen

0)

1) Damit überhaupt eine Lösung existiert:

J) (oJ + 0

2) Damit f(o) stets positiv ist:

J) (0) D (A) 1/ + ..D (1,) 11

-I-J) ('JJ) I'

? 0 +

3) Damit

f (I) f (1) ~

f (-r) '1. )

elnc weitere komplizierte Bedingung, die aper wegen der

Willkür, die über C2

noch in r(2) steckt, für beschränkte

f's stets erfüllt werden kann.

Diese Ungleichungen sind also als Bedingungen an die A's aufzufassen. Wenn sie nicht erfüllbar sind, so beschreiben

die obigen Anfangsmomente keinen in der angegebenen Weise

zerfallenden Zustand. Die höheren Momente sind durch die

bekannten Rekursionsformeln ebenfalls mitbestimmt.

90

Für hinreichend große Zeiten kommt nur mehr die "reine

Landaudämpfung" des kleinsten ~/.s lns Spiel.

VII. DAS MODELL VON BHATNAGER, GROSS UND KROOK

Die geschilderte Methode der Momente ist prinzipiell auf

das Modell von Bhatnager, Gross und Krook anwendbar. Bei

diesem wird der Stoßterm der Boltzmann-Gleichung so appro­

ximiert, daß der Massen-Impuls- und Energiesatz erfüllt

sind. Die fragliche Gleichung lautet, wenn ~ > 0 eine

Konstante bedeutet:

(f - 4» E = + U

Hierin ist 0 elne lokale Maxwellverteilung, deren drei Para­

meter durch die erwähnten Erhaltungssdtze festgelegt sind.

Im einzelnen ergeben sich daher f9lgende Konsistenzgleichungen:

f H) = =

:::: = + C (:t.)

Hierin ist C(t) elne noch offene Zeitfunktion. Aus Gründen der

Positivität von f ist es notwendig, zu fordern, daß E(x,t) und

C(t) noch folgenden Ungleichungen genügen:

( 11"t ?! ) ( C (i) - V + 'OX

91

> 0

E~ ) 1..

/" 0

Die obigen Gleichungen stellen eln ähnliches selbstkonsisten­

tes Gleichungssystem fUr E,f und C dar, wie dies bei der

Vlasov-Gleichung fUr E und f allein der Fall war. Da die

rechte Seite bei Vorgabe von E(x,t) und C(t) vollständig

bestimmt ist

ex r { - J

so ist die Momentenmethode möglich. Die Rekursionsformeln

werden:

f fol ( (~) - j 'I

~ (1&) )

Bei der Wahl der Integrationskonstanten in den einzelnen

Integrationsschritten ist wieder allf die Positivitätsbe­

dingungen zu achten. Indessen bringt die gegenüber der

Vlasov-Gleichung kompliziertere Struktur der obigen Momen­

tengleichungen unter Umständen gewisse Bindungen der Inte­

grationskonstanten untereinander, die im Widerspruch zu

den Positivitätsforderungen stehen. Es ist daher nicht

mehr ohne weiteres möglich, für schwache Lösungen des

Krook-Modells einen Satz von ähnlicher Allgemeinheit zu

formulieren, wie dies in Kapitel V.i für die Lösungen der

Vlasov-Gleichung möglich war.

92

Die Nummer VII.2 zeigt an elnem Beispiel, welcherart die

erw~hnten Schwierigkeiten der Momentenmethode jetzt sind.

VII.l Die Gültigkeit des Entropiesatzes

Wir zeigen, daß der Entropiesatz gilt. Mit

= f ~ f folgt für

H = s =

die Gleichung

+ :::

Unter Benutzung der Erhaltungssätze folgt:

f (0) S - ~ r Man überzeugt sich leicht, daß die rechte Seite stets

positiv ist:

Q (x)-t) o

Der Entropiesatz gilt daher. Das Gleichheitszeichen kann

nur eintreten für:

Asymptotisch stellt sich daher lmmer elne Maxwellverteilung

ein.

Der eben gegebene Beweis gilt offenbar mit Sicherheit nur

für starke Lösungen des Krook-Modells. Darunter mögen -

93

unter Verzicht auf Allgemeinheit - hier einfach solche

verstanden werden, die mindestens einmal stetig differen­

tierbar sind und die Gleichung punktweise erfüllen.

Betrachtet man dagegen schwache Lösungen im Sinne der Mo­

mentenmethode, so kann für diese nur das Bestehen einer

Gleichung (im starken Sinn) der Form:

t E =

ausgesagt werden. Der hinzugekommene ~ -Term der rechten

Seite ist wieder so, daß seine sämtlichen Momente verschwin­

den. Hierdurch wird (unter Umständen) aber die "entropische

Eigenschaft", die die Gleichung für starke Lösungen be­

sitzt, zerstört, ähnlich wie dies in Kapitel V.6 erörtert

wurde. Hiermit entfällt für schwache Lösungen einer der

wesentlichsten physikalischen Gesichtspunkte, die dem

Krook-Modell zugrunde liegen.

Diese Bemerkung ist nicht auf das Krook-Modell eing~schränkt,

sondern gilt ebenso für jede derartige irreversible Glei­

chung, wie etwa die Gleichungen von Fokker und Planck oder

die Boltzmannsche Stoßgleichung. Insbesondere ist daher bei

der Approximation durch endlich viele Momente, wie sie dem

Übergang zu den hydrodynamischen Grundgleichungen entspricht,

die Irreversibilität nicht 'la priori" klar. (Genauer: Hierzu

ist eine Diskussion der sogenannten "Normallösungen" erfor­

derlich, vgl. Truesdell.)

Qualitativ wird man allerdings, Wle die Betrachtungen über

die Bruns' sche Reihe zeigen (V. 5. c) "in der Nähe des 1'1ax­

wellgesetzes" punktweise Konvergenz gegen eine starke Lö­

sung - und damit die Gültigkeit des Entropiesatzes - erwar-

ten.

94

VII.2 Gibt es stationäre periodische Lösungen?

Wir versuchen, die unterschiedliche Betrachtungsweise

zwischen starken und schwachen Lösungen des Krook-Modells

an einem Beispiel zu erörtern. Es liefert für starke Lö­

sungen als einfache Folge des:'" dann gÜltigen - Entropie­

satzes:

Stationäre periodische Lösungen im starken Sinn sind un­

möglich. Für schwache Lösungen kann diese Folgerung nicht

gezogen werden. Wir wollen zeigen, inwieweit ein analoges

Resultat bei der Momentenmethode durch ganz andere Be­

trachtungen nahegelegt wird.

Die fraglichen Gleichungen lauten:

d. 1 (~1-,f) ~ E f (~--1) -

{(D) ( f (k) _ cf Oe) ) .:: rr

~l(

f (0) A + oiE - a4x

j (AJ = 0

f ('l J _ v -+ c

wobei C so gewählt wird, daß f(2) positiv wird. Die Max­

wellverteilung ist also um Null zentriert und alle unge­

raden Momente 0(k) verschwinden.

Wir berechnen jetzt einige der höheren Momente: Für f(3)

folgt sofort aus der Rekursionsformel

f (,,) C ,3

mit

r (2) 3 F ] -

95

kommt daher durch Integration tiber eine Periode, deren

Länge 1 sein möge: ,.,

(3 - ~".. j E'!,~x 1-

0

Aus {C2.)1..

d fl~J { l~) f;J (f (4l _ 3 ) 4 E - f (oJ =

dx

folgt ebenso

o Hierdurch ist die in f(4) enthaltene Integrationskonstante

C4 festgelegt. Entsprechendes gilt für die höheren Momente,

so daß die Integrationskonstanten jetzt nicht ohne weiteres

den Positivitätsforderungen angepaßt werden können. Die Po­

sitivitätsforderung lautet für f(4):

Es kann E-Felder geben, die dieser Bedingung für geeignete

Wahl von C genügen. Dies ist jedoch bei kleinen Störungen

von E, die physikalisch nicht von "entscheidendem" Einfluß

sein sollten, nicht mehr der Fall. Dazu denke man sich E

so abgeändert, daß in einem beliebig kleinen Intervall:

ist. Hiervon wird die (integrale) Bestimmungsgleichung für

C4 praktisch nicht berührt. Dann wird die linke Seite der

letzten Ungleichung jedenfalls kleiner als die rechte und

man erhält einen Widerspruch zur Positivität. Man könnte

sagen: "Die Positivität ist keine stabile Eigenschaft der

96

Lösung". Man möchte daher vermuten, daß auch für schwache

Lösungen stationär periodische Fälle auszuschließen sind.

Ein allgemeiner Beweis unter Heranziehung sämtlicher Mo­

mente ist mir aber nicht gelungen.

Dieses Beispiel illustriert zugleich, daß und weshalb die

Momentenmethode - zumindest hier - ineffektiv wird, wenn

man versucht, sämtliche Momente zu berücksichtigen.

97

ANHANG

Die Vlasov-Gleichung 1m schwachen Sinn

a) Die Ableitung des Hauptsatzes von Ziffer V.l gibt Krite­

rien für die Lösungen des Momentengleichungssystems an

die Hand.

Es erhebt sich die Frage, ob und in welchem Sinn solche

Lösungen auch noch Lösungen der ursprünglich gegebenen

Vlasov-Gleichung sind.

Gelegentlich der Ableitung der Momentengleichungen wur­

den folgende Voraussetzungen gemacht:

1. u-Integration und Differentiation nach x und t sind

vertauschbar. , 2. Das bei der partiellen Integration auftretende Glied

verschwindet.

Es ist aber nicht apriori sicher, daß jede positive

Lösung der Momentengleichungen diese Prozesse gestattet

(die - notabene - sämtlichen Ableitungen der Momenten­

gleichungen zugrunde liegen). Vielmehr könnte der Fall

eintreten, daß es gewisse Lösungen des Momentenproblems

gibt, die - in die Vlasov-Gleichung eingesetzt - nicht

mehr das System der Momentengleichung reproduzieren •

•• Es war gezeigt worden (V.4), daß die Momentengleichungen

u.U. auf eine Lösung der Vlasov-Gleichung fUhren, deren

rechte Seite nur orthogonal ist auf den Polynomen in u.

Es erhebt sich daher die Frage, ob dieser Raum der Polynome

stets ausreichend ist. Andernfalls gäbe es noch schwäche­

re Nullfunktionen fUr die rechte Seite.

98

Im folgenden soll gezeigt werden, daß aus den Momenten­

gleichungen die Vlasov-Gleichung fast überall in x als

Orthogonalitätsbedingung auf dem Raum der Polynome ln

u folgt, und daß dann die Umformungen 1 und 2 immer

m~glich sind. Zugleich ergibt sich die allgemeinste

Form, die die Nullfunktionen der rechten Seite höchstens

annehmen können.

b) Wir betrachten solche Felder E(x,t), SOWle Konstanten

Al' A2 , ••• , daß

ist für alle t und die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) {(O) =

2) { (1<.+")

=

3) f(k) endlich und stetig differenzierbar.

f (0) f (-1) f (14)

f (-tl f (2.) .... , f (110+/1)

> 0 4)

f (No # tJ f (21-.)

99

Dann gibt es (mindestens) ein Maß ;U auf u, dessen

Momente

die obigen f(k) sind. Ein solches Maß ru(x,u,t) möge

"Lösung" heißen.

c) Aus der Menge all dieser Maße sondern wir diejenigen

ab, die in einem "naiven Sinn" als Lösungen der ur­

sprünglichen Vlasov-Gleichung angesehen werden können.

Definition:

Ein Maß ;U(x,u,t) auf u heiße "Normallösung", wenn es

I. Lösung ist, d.h. 1) und 4) genügt.

11. Durch eine Dichte darstellbar ist: 'l.L

= S f (X'J '1-1/ i) ~'tA..

111. f(x,u,t) stetig differentierbar ist nach x,u,t.

IV. Das Integral

J existiert für jedes x,t und k.

V. Die Integrale existieren:

s und g 1 e 1 c h m ä ß 1 g konvergieren für R ~oo

Wir werden zeigen: Jede Normallösung f ist Lösung der

100

Gleichung

wo P(u) eln beliebiges endliches Polynom ist ln u:

und das "Skalarprodukt" durch

+-S «P 'P 0-< ~ - --

definiert ist.

Bezeichnet '1< den Raum, aller obigen Polynome, so kann

man daher auch kürzer sagen: Es wird gezeigt, daß Normal­

lösungen die Vlasov-Gleichung im Sinne einer Gleichung

~' ,d. h. dem Dualraum von 'P erfüllen.

Bemerkung

Die Abbildung integrierbarer Funktionen auf Elemente in

72' ist homomorph: Von Null verschiedene Funktionen

können in das Nullelement übergehen, wie das in V.4

erwähnte Beispiel zeigt. Bezeichnet man daher mit 1 ein Nullelement in f.' :

< Cf I P > o so folgt für Normallösungen lediglich das Bestehen einer

Gleichung der Form:

+ Cf (x, lLt J -t)

Das heißt, Normallösungen erfüllen die Vlasov-Gleichung

als Gleichung in ~ I • Dies wird jetzt gezeigt.

101

Zunächst ist

+ f\ 4~

f-f k

S ~ Jq Ij ~O-<M" ;<A. 0{ M. :;:::.

())< JX -R -fl.

Nach Voraussetzung V. konvergieren die Integrale der

linken Seite gleichmäßig, daher darf zur Grenze überge­

gangen werden:

J =

Dasselbe gilt für die Zeitableitungen.

Weiter folgt aus der Existenz von (Voraussetzung IV.)

s daß

o

existiert, und durch partielle Integration die Existenz

von

Da der zweite Term der rechten Seite existiert, so muß

daher der Grenzwert von

=

ebenfalls existieren, und zwar für alle ~. Hieraus folgt,

daß f(x,t,R) für große R stärker abnehmen muß als jede

102

Potenz, und hieraus wiederum, daß der fragliche Limes

verschwindet.

Es folgt also:

..f-oe:> "j ~

5 .2. M 0{ M"

t}lM--00

f (k- C }

::= - 11

Hieraus ist der Nachweis erbracht, daß für Normallösungen

aus den Momentengleichungen

~ t (leI

- + 'dt

die Vlasov-Gleichung als Gleichung ln ~' folgt:

+

d) Da für die Formulierbarkeit der Vlasov-Gleichung ln ~'

offenbar nur die Existenz der Integrale

erforderlich ist, so erhebt sich die Frage, ob auch

solche Lösungen, die I. bis IV. genügen und V. in der

schwächeren Form:

V' • existiert

noch auf die Vlasov-Gleichung ln ~' führen.

In diesem Fall kann man nicht mehr ohne weiteres auf die

Zulässigkeit der Vertauschbarkeit von Differentiationen

nach x bzw. t und u-Integration schließen, und dies ist

daher nicht zu erwarten.

103

Wir werden indessen zeigen:

Faßt man die Vlasov-Gleichung als Distributionsgleichung

auf, so läßt sich diese Vertauschung rechtfertigen. Und

zwar werden wir dabei nicht einmal die Voraussetzung V'.

selbst benötigen.

Im Hinblick auf das Folgende definieren Wlr daher als

schwache Normallösungen solche Maße, die 1) bis 4) sowie

I. bis IV. genügen, für die als kurz gesagt

existiert.

Wir führen den Raum der "Testfunktionen" eln durch die

Defini tion: ~ sei der Raum der beliebig oft nach x und t

differentierbarer Funktionen mit kompakten Träger. (Da

das betrachtete x-Intervall selbst kompakt ist, denke man

sich das Problem periodisch fortgesetzt ln x und in x

periodische Testfunktionen.)

Unser Ziel ist es, die Vlasov-Gleichung als Gleichung in

~/x12' aufzufassen. Hierzu ist es nötig, das uneigent­

liche Integral (die Zeit werde wieder nicht mehr explizit

geschrieben) :

S F ( i, 'l..t ) 01. 'l..<.,

_ 00

zu definieren. Es möge Stern-Integral heißen.

Definition

* S i=(x,ltt) ~ existiert

falls iM.

<, J + (X, 1\..1- ) d tU I Cf (x:) >

104

konvergiert für alle n -> oe und für jedes feste cf t: ~ und wir setzen

+M.

< (I=" (lI,'IA-) ,.1.",,- i l' (XI> - ~ < ~ f (XI"') tK-u. I Cf (x:) > -A1..

In der Tat ist das so definierte Integral e1n Element () ] , aus ~ d.h. eine Schwartz'sche Distribution. Daß

diese Definition des Sternintegrals eine sinnvolle Ver­

allgemeinerung des normalen Integralbegriffs ist, geht t hervor aus folgendem:

Satz 1

Falls das Integral

+00

5 ~ (K, 1lA) ~/IA.-

gleichmäßig konvergent über jedem Kompaktum 1n x ist,

dann konvergiert es 1m Sinne der Distributionstheorie

und es ist:

J Beweis:

+M-J F (.~I 1-t) du ( Cf (X) > I

+00 + VI.-

~ S /lf (X) I ~ X • SM.-f S l=" ( X I 'lA) olll-t - S F (x, 1-\ ) d.u I X G 1:t::3 e 'f ('f)

t Zur Vereinfachung wird im folgenden t h~ufig bei der For­mulierung der Scitze weggelassen. x steht dann stellver-

105

Wir sind jetzt in der Lage, die Vertauschbarkeit der

x-Differentiation mit der Sternintegration zu zeigen.

Satz 2

Sei F(x,u) stetig differentierbar und existiere das

Integral im Sinne der Distributionstheorie:

und sel nach x stetig differentierbar, dann existiert

auch

und dieses ist gleich

Beweis:

-+'Yl +1'1.

< ~ 5 r: ()t) 1Vt-) d tU

oX I q (X) > :; - < S F (XI '1A) d,v. I Lf' (x»

--11.

(LI Die rechte Seite ist ein Element aus V und der Grenz-

wert n -> 00 existiert nach Voraussetzung für alle tf 6 ~ Andererseits ist die linke Seite, deren Grenzwert daher

auch existiert

+/111.

< r;) 5 F (XI ~) o-lM. } Cf (x» i"x

106

Geht man hierin zum Limes n ~oo über, so folgt die Be­

hauptung.

Wir bemerken noch, daß, falls die Integrale

5 'd F - 0{ flA.. ~x J

gleichmäßig konvergieren über jedem Kompaktum, gilt

= J

dies folgt sofort aus Satz 1 und 2.

Folgerung.

Da die Integrale

-00

existieren und gleichmäßig konvergieren (Nachtrag) auf

jedem Kompaktum in (x,t), so existiert das entsprechen­

de Sternintegral nach Satz 1 und es ist

Nach Satz 2 existiert daher

und ist gleich

J JX

Entsprechendes gilt für die t-Differentiation.

107

Man erkennt, daß also die Existenz der Integrale über

und

lm Sinne der Distributionstheorie stets gesichert ist. t

Weiterhin folgt sofort, daß alle schwachen Normallösungen

f Lösungen der Vlasov-Gleichung in der Form:

für jedes feste f aus ~ und alle k's sind. Dies ist

im wesentlichen die Form der Vlasov-Gleichung in Jt/x ~I Zur Verdeutlichung betrachten wir ein Element 'f' 6 ,SJ >C ~ Ein solches hat das Aussehen:

N

f= L. }e,::,Q

Das Skalarprodukt sei erklärt durch:

<<P I fIJ> {I/ .,(

L < S cF Cr, -CI U)ttA. ~ A { erle (Je, -1:) I k::.o

Dann folgt aus der obigen Formel die Gültigkeit der

Vlasov-Gleichung in der Gestalt:

E ~ I rLJ> 81'Vt. l

o

() f'1/1 .. Q/ "1/1' für alle festen Cf C Jt./'",>< ~ , also als Glelchung ln V X r

e) Der Fall derjenigen Lösungen, die nicht differentierbar

sind (im normalen Sinne. Im Sinne der Distributions-

t V'. ist überflüssig.

108

theorie wurde die Differentierbarkeit ja oben gezeigt)

oder für die

nicht existiert, kann jetzt definitorisch behandelt

werden. Es genügt, die Definitionen ln je' zu geben.

<~ J P(Ik) olGf ~ < f ( f> LU» =

oX ;)X

<:1 I 'P(ILt» def d ( f ( 'P (IK) > :::

clt C)t

<~ I r(IZIl)/ def (f I 'P I ( IU) > -utU.

Für solche Lösungen gilt die Vlasov-Gleichung daher

defini tionsgemäß sogar in 'J2-1 , also sicher auf S x. ~ Wir wollen sie "schwache Lösungen" nennen.

f) Resultat

Mit dem - mit Hilfe der Sternintegration definierten -

Skalarprodukt wird die Vlasov-Gleichung stets von den

Lösungen der Momentengleichungen erfüllt, wenn man Sle

als Gleichung in J' X Je' interpretiert:

für alle r G t9)C 'je.

109

g) Anmerkung

Man hätte die schwachen Normallösungen auch im Sinne der

Distributionstheorie definieren können: Durch die Exis­

tenz der Ableitungen nach u

111 I. existiert

und diejenigen des Integrals:

IV I. existiert.

Dann hätte sich ergeben, daß

~ f (x) -t \ R ) 'R.. I L{ (XI -t J 'R ) '> -~ 0

für R --/ ~. Dies genügt ebenfalls, um unser obiges

Resultat zu erhalten.

h) Nachtrag

Wir zelgen, daß aus der Existenz der Momente ihre gleich­

mäßige Konvergenz folgt.

Wir beweisen zunächst folgenden

Satz (v. Waldenfels)

Sei F(x,u) stetigt in x und u und positiv

o Sei außerdem

stetig

110

so konvergieren die Integrale

t'R ~ :;: (X'J ~ ) a( tU

-tp.

für R _"":> 00 gleichmäßig in jedem Kompaktum ln x.

Beweis

Sei Kein Kompakturn in x und

S.M-r )( E /(

~ =F(x,tU)CJ1fIA..

I'U I ~ 'l'L

Offenbar ist

, , ~ ~ ,..

Wir behaupten:

Widerspruchsannahme:

für alle n.

Dann gibt es zu jedem n ein x n' so daß

S -+ (x tU-) du "> cf %J

L /11{ I ~ m

Da alle x ~ K, gibt es elne gegen diesen Häufungspunkt , n

etwa x, konvergente Teilfolge x ~ x und es ist für nk

IU ) d % ~ ~ F (X'klll

,tU) ci ll4..

I tzl./ ~ IVZ "t

111

Für k ~ cX) folgt für das linke Integral:

5

+~ 1'»1.

= ~ ) F ( )("' /U )d Il<- - S:F ( X .... /2-< )"{",, }

-- ce

Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit ist der erste Term

gleich

Im zweiten darf ohnedies durchgezogen werden. Es resul­

tiert daher:

s +" ( X I 'tl) 0<. t'L(. ~

/IU.I ~ rm

für alle IIl. Widerspruch!

1f.lir wenden diesen Satz an auf

F = f ly,ij'lA)

Es folgt: Die Integrale

+(.2. r {(x,-t)IU)

-'P--

d -2.

2.1e A.-t.

konvergieren gleichmäßig auf jeden Kompaktum ln (x,t)

gegen

112

Dasselbe gilt auch für die ungeraden Momente, denn es

ist

Daher konvergieren alle Momente gleichmäßig auf jedem

Kompaktum in (x,t).

Auer, Hurwitz und

Kilb

Batt, J.

Bernstein, I.B.,

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Kruskal, M.D.

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Physics of fully ionized gases.

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Neuere Entwicklungen in der sta­

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(dort: Kapitel 111)

The Laplace transform.

Princeton, 1946

(vgl. auch Ahiezer und Krein, SOWle

Bellman und Beckenbach)

Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor G. Leibfried für

viele Diskussionen über diese Arbeit und die Anregung zu

manchen KlarsteIlungen.

Herrn Professor Dr. W. Fucks sel herzlich gedankt für seln

verständnisvolles Entgegenkommen und die Ermöglichung die­

ser Untersuchungen.

Herrn Dr. H.L. Jordan, der mich auf den hier behandelten

Problemkreis aufmerksam machte, bin ich für viele fördernde

Gespräche und An~egungen sehr verbunden.

Herr Dr. R. LUst und rlerr Dr. D. PIirsch in MUnchen waren

so freundlich, die Arbeit einer Durchsicht zu unterziehen.

Sie haben mich auf elnlge wesentliche Schwierigkeiten auf­

merksam gemacht. Ihnen sei hierfür sehr herzlich gedankt.

Nicht vergessen möchte ich melnen Freund Dr. W. v. Waldenfels,

der oftmals mein "besseres mathematisches Gewissen" war.