--

2nh M [urP M + ~(urp)rl =2nrh M [p~) - prJ) 11+ It I

Y dividiendo a ambos lados por 2nhr~tLr

up + ~(U l p)]=[PrJLN - prJ) J [ r ~r ~I

La ecuacion anterior es el balance de masa y si luego consideramos que M y ~t son muy pequenos al igual que ~(UrP ) se tiene

u p + o(u p )] = [O(prJ)]= ~ [ru p] (225)[ r or 0 1 r 5r

y recordando ahora la ecuacion de Darcy para flujo radial

k OP ur -shy

JL or

y lIevandola a la ecuacion (225) se tiene

I [ p k 0 P +r 0[p--k 0 P]] (prJ)- - - - =-0 r p o r o r JL o r 01

i~p lt 1 ~ ti 1 0 ( I ~ -- rp k 5P 1=-0 (prJ) y ( u) t~ (2 26)

I If l r 0 r JL 5 r 0 [ I

A partir de la ecuacion (2 26) se pueden obtener diferentes formas de la ecuacion de difusividad para flujo radial al igual que en el caso lineal dependiendo de las caracteristicas del fluido y del medio poroso

231 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluido Incompresible

Expandiendo la ecuacion (226) se tiene

op 0() k 0 P bull0 P pk 0 Pk OP p- - +r p - +-- -- +--shyp Or or or JL o r or JL 012r

=oPrJ+p0rJ5 [ o[

y como el fluido es incompresible y si ademas se suponen propiedades petrofisicas independientes de la presion se tiene

116

~(r o P J=o (2 27) r or or

Si las propiedades petrofisicas dependen de la presi6n la expansi6n de la ecuaci6n (226) queda de la siguiente forma despues de aplicar las relaciones (26) - (2 8)

1 0 ( 0 PJ _ centlC 0 P -- r - - --- (2 28) r or o r k 0 t

232- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Ligeramente Compresibles

De acuerdo con la ecuaci6n de estado para este tipa de fluido ( relaciones (2 10) ) se puede escribir para el caso de flujo radial

OF = _I_ p 1 (2 29) t3r Cp a-

Expandiendo la ecuaci6n (2 26) y teniendo en cuenta la ecuaci6n (2 29) se tiene

J~ ~ +rpdP ~i + 8PCP P +pilt ~ll r l l 13 r 13 r t3r l 13 r 13 r l 13 r - IJ

- t3P t3 cent

=- p c cent+ p - (2 30) t3 t t3 t

1 k 13 P 13 P l k ( 13 P) 2 C pk 13 P _ 13 P C A t3 centl -- ~l- p--+rp - t3 ~ + - - p+ - - - - P r+ P-r l t3 r t3 r t3 r l t3 r l t3 r 2 t3 t t3 t

(8) 2Si se supone que at 0 y que C = Constante k = Constante fl= Constante y ltjgt = constante la

expresi6n anterior queda

F I

~[r t3P] = centl C t3P (2 31 rlt a- k a

Si las propiedades petrofisicas dependen de la presi6n la aplicaci6n de las relaciones (2 6)- (2 8) a la ecuaci6n (2 30) nos lIeva a

117

~~[r 0 P] = cent fL (C+C ) 0 P (2 32) r o r o r k 0 1

233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases)

Cuando se trata de gas la ecuacion de difusividad para f1ujo radial se obtiene de la siguiente manera

2331- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial- Fluidos Compresibles (Gases Ideales)

Recordando la definicion de densidad del gas ideal p= PMRT Yreemplazando en la ecuacion (2 26) se tiene

~~(r PM ~ 8P J - ~( PM centJ r 0 r ZT fL 8 r 0 I RT

~~(r~p o P J = ~ (Pcent) r o r -1 o r 0 1 (

~ o~ [r~~( p o P J +rp o P ~(~J +~p o p] = cent o P +p cent (2 33)

r p o r o r or o r fL fL or 0 1 0 1

Suponiendo que (kI ll ) y ~ no dependen de la presion

~~(p o P J +~p l P =cent l P (2 33a) fL o r o r llr o r 0 1

~(p O PI+~p l P =centfL OP o r o r ) r o r k 0 1

y recordando que cg=1P para un gas ideal se tiene

~~(r 8P2)= 2cent fL OP = centfL C g Op 2

(234) r o r 8r k 0 1 k 0 1

La ecuacion (2 33a) tambien se puede manipular de la siguiete forma

J p ]2 + p 8 2p + pound8 P = centfL 8 P 1 ( 8 r 8 r 2 r 8 r k 8 1

118

y suponiendo un gradiente de presion pequeno y recordando que para un gas ideal cg=1p se tiene finalmente

6 2 P 1 6 P cent JL cg 6 P middot1 6 ( 6 P1 - - + - - - = =shy - r-shy6r 2 r 6 r k 6 r6r 6 r

(2 34a)

Las ecuaciones (234) y (2 34a) son similares solo que la primera tiene como suposicion que

(centkfl ) es constante y la constante ademas de la suposici6n anterior tambin supone que el

gradiente de presion es muy pequeno Ambas ecuaciones son no lineales porque ~ C g ) dependen

de la presion

Si (khl) Y ltp dependen de la presion y por tanto del tiempo se deben aplicar las relaciones (2 6)shy(28) a la ecuacion(233) y se tiene bull

(233b)

y suponiendo un gradiente de presion pequeno

(2 35)

La ecuacion (2 33b) tambiem se puede manipular de la siguiente forma

y nuevamente suponiendo que el gradiente de presion es pequeno

(235a)

2332- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases Reales)

Cuando se tiene flujo de gas real en sistema radial la ecuacion de difusividad se puede obtener asi

Lievando la definicion de densidad del gas real p = PM(ZRT) a la ecuaci6n (2 26) se tiene bull

119

- -

I 0 ( ( p ) k oP J_0 (cent P ) - o rr JiZ Or- Of Z

v

~[rK~(~ oP]+ r(~1- ~ +k(~) OP]r t7 r Ji Z 0 r Ji Z 0 r 0 r JiZ 0 r

=cent o (P) - + ( P )Ocent - (2 36) O 2 2 o

Cuando k Y ltlgt son independientes de P

(2 36a) ~(z middot~~)+HJ~ ~ ~ ()

5 p )2 (5 (P1Ji Z) ) + ~ 8 2 ~ + ~(~) c5 P =1 5(P 1Z) 5 P

( (j r (jP JiZ 5 r - r Ji2 5r k ~P 5

P y suponiendo que el gradiente es pequeno 0 que - es con stante

JiZ

5 P 15P JiZcentP ( I 15Z ) c5P - - + -- = --- - ---- shy5 r 2 r 5 r P k 2 P Z 5 P 5

(2 37) ~J ~~) ~cent~c~ La ecuaci6n (2 36a) tambien se pudo manejar as

~(_ O P 2 1+~( 1 =f2(--)(~_ (2)5 I _ )o P2

~ P ~r Ji 2 o r ) r Ji Z o r k Z lp 2 5 P () I

2 _6 p 2 ) 5(1 1 JiZ) + 5 2p I_ + ~_t_ 5 p 2 = centC 0 p 2

( () r 0 r 5 r 2 Ji 2 r Ji Z 0 r k Z 8 I

y suponiendo (~Z) constante

5 P + ~ 5 P =centCJi()P2 =~~(roP2) (2 37a)

8r 2 r 5r k 5 1 ror 5 r

120

Si las prapiedades petrofisicas de la raca dependen de la presion aplicando las relaciones (2 6) shy(28) a la ecuacion (2 36) y siguiendo el mismo pracedimiento para obtener las ecuaciones (2 35) y (2 35a) se vuelven a obtener las ecuaciones (2 37) y (2 37a)

2333- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P)

Las ecuaciones de difusividad para gases ecuaciones (2 35)- (2 37a) presentan dificultades para su solucion pues en el caso de las ecuaciones para gases ideales (ecuaciones (2 35)) ) el coeficiente del termino derecho no es constante ya que la viscosidad depende de la presion y por tanto las ecuaciones no son lineales y en el caso de los gases reales ( ecuaciones (2 37) y (2 37a) ) se ha hecho la suposicion de que JI Z 0 JI Z son constantes 10 cual tampoco es cierto Por

eso recordando la definicion de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presen~das antes ( ecuacion (2 22)) y lIevandolas a la ecuacion (2 26) se puede tener una ecuaci6n de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo rad ial de fluidos ligeramente compresibles

OP oP Uevando ias expresiones para - y - y la definicion de densidad para el gas real a la

or 01 ecuacion(226) se tiene 1

~~[r I( 0 m(p)] =~ (~ cent) r or 2 or 0 1 Z

~A cent)~+A)+~J~~ = cent ~_) oZ+c JJlZ o m(p) v

tf~ 2P 0 1

quedando finalmente

centJI(C~ +Cf ) O m(p)~~[r 0 m()] cent [~_~ oZ +c JJI o m(p) (238)r or or P Z o P f dl k d I

AI igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P 0 10 contra rio yesto se hace siguiendo el pracedimiento presentado en Ie caso de flujo lineal ecuacion (224)

24 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Multifasico

Una ecuacion de difusividad para flujo multifasico se puede obtener haciendo el siguiente planteamiento

Si se toma una unidad de volumen de yacimiento la masa de petroleo agua y gas almacenada en ella y sus tasas de cambio con el tiempo se pueden expresar como

121

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

~(r o P J=o (2 27) r or or

Si las propiedades petrofisicas dependen de la presi6n la expansi6n de la ecuaci6n (226) queda de la siguiente forma despues de aplicar las relaciones (26) - (2 8)

1 0 ( 0 PJ _ centlC 0 P -- r - - --- (2 28) r or o r k 0 t

232- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Ligeramente Compresibles

De acuerdo con la ecuaci6n de estado para este tipa de fluido ( relaciones (2 10) ) se puede escribir para el caso de flujo radial

OF = _I_ p 1 (2 29) t3r Cp a-

Expandiendo la ecuaci6n (2 26) y teniendo en cuenta la ecuaci6n (2 29) se tiene

J~ ~ +rpdP ~i + 8PCP P +pilt ~ll r l l 13 r 13 r t3r l 13 r 13 r l 13 r - IJ

- t3P t3 cent

=- p c cent+ p - (2 30) t3 t t3 t

1 k 13 P 13 P l k ( 13 P) 2 C pk 13 P _ 13 P C A t3 centl -- ~l- p--+rp - t3 ~ + - - p+ - - - - P r+ P-r l t3 r t3 r t3 r l t3 r l t3 r 2 t3 t t3 t

(8) 2Si se supone que at 0 y que C = Constante k = Constante fl= Constante y ltjgt = constante la

expresi6n anterior queda

F I

~[r t3P] = centl C t3P (2 31 rlt a- k a

Si las propiedades petrofisicas dependen de la presi6n la aplicaci6n de las relaciones (2 6)- (2 8) a la ecuaci6n (2 30) nos lIeva a

117

~~[r 0 P] = cent fL (C+C ) 0 P (2 32) r o r o r k 0 1

233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases)

Cuando se trata de gas la ecuacion de difusividad para f1ujo radial se obtiene de la siguiente manera

2331- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial- Fluidos Compresibles (Gases Ideales)

Recordando la definicion de densidad del gas ideal p= PMRT Yreemplazando en la ecuacion (2 26) se tiene

~~(r PM ~ 8P J - ~( PM centJ r 0 r ZT fL 8 r 0 I RT

~~(r~p o P J = ~ (Pcent) r o r -1 o r 0 1 (

~ o~ [r~~( p o P J +rp o P ~(~J +~p o p] = cent o P +p cent (2 33)

r p o r o r or o r fL fL or 0 1 0 1

Suponiendo que (kI ll ) y ~ no dependen de la presion

~~(p o P J +~p l P =cent l P (2 33a) fL o r o r llr o r 0 1

~(p O PI+~p l P =centfL OP o r o r ) r o r k 0 1

y recordando que cg=1P para un gas ideal se tiene

~~(r 8P2)= 2cent fL OP = centfL C g Op 2

(234) r o r 8r k 0 1 k 0 1

La ecuacion (2 33a) tambien se puede manipular de la siguiete forma

J p ]2 + p 8 2p + pound8 P = centfL 8 P 1 ( 8 r 8 r 2 r 8 r k 8 1

118

y suponiendo un gradiente de presion pequeno y recordando que para un gas ideal cg=1p se tiene finalmente

6 2 P 1 6 P cent JL cg 6 P middot1 6 ( 6 P1 - - + - - - = =shy - r-shy6r 2 r 6 r k 6 r6r 6 r

(2 34a)

Las ecuaciones (234) y (2 34a) son similares solo que la primera tiene como suposicion que

(centkfl ) es constante y la constante ademas de la suposici6n anterior tambin supone que el

gradiente de presion es muy pequeno Ambas ecuaciones son no lineales porque ~ C g ) dependen

de la presion

Si (khl) Y ltp dependen de la presion y por tanto del tiempo se deben aplicar las relaciones (2 6)shy(28) a la ecuacion(233) y se tiene bull

(233b)

y suponiendo un gradiente de presion pequeno

(2 35)

La ecuacion (2 33b) tambiem se puede manipular de la siguiente forma

y nuevamente suponiendo que el gradiente de presion es pequeno

(235a)

2332- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases Reales)

Cuando se tiene flujo de gas real en sistema radial la ecuacion de difusividad se puede obtener asi

Lievando la definicion de densidad del gas real p = PM(ZRT) a la ecuaci6n (2 26) se tiene bull

119

- -

I 0 ( ( p ) k oP J_0 (cent P ) - o rr JiZ Or- Of Z

v

~[rK~(~ oP]+ r(~1- ~ +k(~) OP]r t7 r Ji Z 0 r Ji Z 0 r 0 r JiZ 0 r

=cent o (P) - + ( P )Ocent - (2 36) O 2 2 o

Cuando k Y ltlgt son independientes de P

(2 36a) ~(z middot~~)+HJ~ ~ ~ ()

5 p )2 (5 (P1Ji Z) ) + ~ 8 2 ~ + ~(~) c5 P =1 5(P 1Z) 5 P

( (j r (jP JiZ 5 r - r Ji2 5r k ~P 5

P y suponiendo que el gradiente es pequeno 0 que - es con stante

JiZ

5 P 15P JiZcentP ( I 15Z ) c5P - - + -- = --- - ---- shy5 r 2 r 5 r P k 2 P Z 5 P 5

(2 37) ~J ~~) ~cent~c~ La ecuaci6n (2 36a) tambien se pudo manejar as

~(_ O P 2 1+~( 1 =f2(--)(~_ (2)5 I _ )o P2

~ P ~r Ji 2 o r ) r Ji Z o r k Z lp 2 5 P () I

2 _6 p 2 ) 5(1 1 JiZ) + 5 2p I_ + ~_t_ 5 p 2 = centC 0 p 2

( () r 0 r 5 r 2 Ji 2 r Ji Z 0 r k Z 8 I

y suponiendo (~Z) constante

5 P + ~ 5 P =centCJi()P2 =~~(roP2) (2 37a)

8r 2 r 5r k 5 1 ror 5 r

120

Si las prapiedades petrofisicas de la raca dependen de la presion aplicando las relaciones (2 6) shy(28) a la ecuacion (2 36) y siguiendo el mismo pracedimiento para obtener las ecuaciones (2 35) y (2 35a) se vuelven a obtener las ecuaciones (2 37) y (2 37a)

2333- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P)

Las ecuaciones de difusividad para gases ecuaciones (2 35)- (2 37a) presentan dificultades para su solucion pues en el caso de las ecuaciones para gases ideales (ecuaciones (2 35)) ) el coeficiente del termino derecho no es constante ya que la viscosidad depende de la presion y por tanto las ecuaciones no son lineales y en el caso de los gases reales ( ecuaciones (2 37) y (2 37a) ) se ha hecho la suposicion de que JI Z 0 JI Z son constantes 10 cual tampoco es cierto Por

eso recordando la definicion de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presen~das antes ( ecuacion (2 22)) y lIevandolas a la ecuacion (2 26) se puede tener una ecuaci6n de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo rad ial de fluidos ligeramente compresibles

OP oP Uevando ias expresiones para - y - y la definicion de densidad para el gas real a la

or 01 ecuacion(226) se tiene 1

~~[r I( 0 m(p)] =~ (~ cent) r or 2 or 0 1 Z

~A cent)~+A)+~J~~ = cent ~_) oZ+c JJlZ o m(p) v

tf~ 2P 0 1

quedando finalmente

centJI(C~ +Cf ) O m(p)~~[r 0 m()] cent [~_~ oZ +c JJI o m(p) (238)r or or P Z o P f dl k d I

AI igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P 0 10 contra rio yesto se hace siguiendo el pracedimiento presentado en Ie caso de flujo lineal ecuacion (224)

24 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Multifasico

Una ecuacion de difusividad para flujo multifasico se puede obtener haciendo el siguiente planteamiento

Si se toma una unidad de volumen de yacimiento la masa de petroleo agua y gas almacenada en ella y sus tasas de cambio con el tiempo se pueden expresar como

121

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

~~[r 0 P] = cent fL (C+C ) 0 P (2 32) r o r o r k 0 1

233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases)

Cuando se trata de gas la ecuacion de difusividad para f1ujo radial se obtiene de la siguiente manera

2331- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial- Fluidos Compresibles (Gases Ideales)

Recordando la definicion de densidad del gas ideal p= PMRT Yreemplazando en la ecuacion (2 26) se tiene

~~(r PM ~ 8P J - ~( PM centJ r 0 r ZT fL 8 r 0 I RT

~~(r~p o P J = ~ (Pcent) r o r -1 o r 0 1 (

~ o~ [r~~( p o P J +rp o P ~(~J +~p o p] = cent o P +p cent (2 33)

r p o r o r or o r fL fL or 0 1 0 1

Suponiendo que (kI ll ) y ~ no dependen de la presion

~~(p o P J +~p l P =cent l P (2 33a) fL o r o r llr o r 0 1

~(p O PI+~p l P =centfL OP o r o r ) r o r k 0 1

y recordando que cg=1P para un gas ideal se tiene

~~(r 8P2)= 2cent fL OP = centfL C g Op 2

(234) r o r 8r k 0 1 k 0 1

La ecuacion (2 33a) tambien se puede manipular de la siguiete forma

J p ]2 + p 8 2p + pound8 P = centfL 8 P 1 ( 8 r 8 r 2 r 8 r k 8 1

118

y suponiendo un gradiente de presion pequeno y recordando que para un gas ideal cg=1p se tiene finalmente

6 2 P 1 6 P cent JL cg 6 P middot1 6 ( 6 P1 - - + - - - = =shy - r-shy6r 2 r 6 r k 6 r6r 6 r

(2 34a)

Las ecuaciones (234) y (2 34a) son similares solo que la primera tiene como suposicion que

(centkfl ) es constante y la constante ademas de la suposici6n anterior tambin supone que el

gradiente de presion es muy pequeno Ambas ecuaciones son no lineales porque ~ C g ) dependen

de la presion

Si (khl) Y ltp dependen de la presion y por tanto del tiempo se deben aplicar las relaciones (2 6)shy(28) a la ecuacion(233) y se tiene bull

(233b)

y suponiendo un gradiente de presion pequeno

(2 35)

La ecuacion (2 33b) tambiem se puede manipular de la siguiente forma

y nuevamente suponiendo que el gradiente de presion es pequeno

(235a)

2332- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases Reales)

Cuando se tiene flujo de gas real en sistema radial la ecuacion de difusividad se puede obtener asi

Lievando la definicion de densidad del gas real p = PM(ZRT) a la ecuaci6n (2 26) se tiene bull

119

- -

I 0 ( ( p ) k oP J_0 (cent P ) - o rr JiZ Or- Of Z

v

~[rK~(~ oP]+ r(~1- ~ +k(~) OP]r t7 r Ji Z 0 r Ji Z 0 r 0 r JiZ 0 r

=cent o (P) - + ( P )Ocent - (2 36) O 2 2 o

Cuando k Y ltlgt son independientes de P

(2 36a) ~(z middot~~)+HJ~ ~ ~ ()

5 p )2 (5 (P1Ji Z) ) + ~ 8 2 ~ + ~(~) c5 P =1 5(P 1Z) 5 P

( (j r (jP JiZ 5 r - r Ji2 5r k ~P 5

P y suponiendo que el gradiente es pequeno 0 que - es con stante

JiZ

5 P 15P JiZcentP ( I 15Z ) c5P - - + -- = --- - ---- shy5 r 2 r 5 r P k 2 P Z 5 P 5

(2 37) ~J ~~) ~cent~c~ La ecuaci6n (2 36a) tambien se pudo manejar as

~(_ O P 2 1+~( 1 =f2(--)(~_ (2)5 I _ )o P2

~ P ~r Ji 2 o r ) r Ji Z o r k Z lp 2 5 P () I

2 _6 p 2 ) 5(1 1 JiZ) + 5 2p I_ + ~_t_ 5 p 2 = centC 0 p 2

( () r 0 r 5 r 2 Ji 2 r Ji Z 0 r k Z 8 I

y suponiendo (~Z) constante

5 P + ~ 5 P =centCJi()P2 =~~(roP2) (2 37a)

8r 2 r 5r k 5 1 ror 5 r

120

Si las prapiedades petrofisicas de la raca dependen de la presion aplicando las relaciones (2 6) shy(28) a la ecuacion (2 36) y siguiendo el mismo pracedimiento para obtener las ecuaciones (2 35) y (2 35a) se vuelven a obtener las ecuaciones (2 37) y (2 37a)

2333- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P)

Las ecuaciones de difusividad para gases ecuaciones (2 35)- (2 37a) presentan dificultades para su solucion pues en el caso de las ecuaciones para gases ideales (ecuaciones (2 35)) ) el coeficiente del termino derecho no es constante ya que la viscosidad depende de la presion y por tanto las ecuaciones no son lineales y en el caso de los gases reales ( ecuaciones (2 37) y (2 37a) ) se ha hecho la suposicion de que JI Z 0 JI Z son constantes 10 cual tampoco es cierto Por

eso recordando la definicion de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presen~das antes ( ecuacion (2 22)) y lIevandolas a la ecuacion (2 26) se puede tener una ecuaci6n de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo rad ial de fluidos ligeramente compresibles

OP oP Uevando ias expresiones para - y - y la definicion de densidad para el gas real a la

or 01 ecuacion(226) se tiene 1

~~[r I( 0 m(p)] =~ (~ cent) r or 2 or 0 1 Z

~A cent)~+A)+~J~~ = cent ~_) oZ+c JJlZ o m(p) v

tf~ 2P 0 1

quedando finalmente

centJI(C~ +Cf ) O m(p)~~[r 0 m()] cent [~_~ oZ +c JJI o m(p) (238)r or or P Z o P f dl k d I

AI igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P 0 10 contra rio yesto se hace siguiendo el pracedimiento presentado en Ie caso de flujo lineal ecuacion (224)

24 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Multifasico

Una ecuacion de difusividad para flujo multifasico se puede obtener haciendo el siguiente planteamiento

Si se toma una unidad de volumen de yacimiento la masa de petroleo agua y gas almacenada en ella y sus tasas de cambio con el tiempo se pueden expresar como

121

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

y suponiendo un gradiente de presion pequeno y recordando que para un gas ideal cg=1p se tiene finalmente

6 2 P 1 6 P cent JL cg 6 P middot1 6 ( 6 P1 - - + - - - = =shy - r-shy6r 2 r 6 r k 6 r6r 6 r

(2 34a)

Las ecuaciones (234) y (2 34a) son similares solo que la primera tiene como suposicion que

(centkfl ) es constante y la constante ademas de la suposici6n anterior tambin supone que el

gradiente de presion es muy pequeno Ambas ecuaciones son no lineales porque ~ C g ) dependen

de la presion

Si (khl) Y ltp dependen de la presion y por tanto del tiempo se deben aplicar las relaciones (2 6)shy(28) a la ecuacion(233) y se tiene bull

(233b)

y suponiendo un gradiente de presion pequeno

(2 35)

La ecuacion (2 33b) tambiem se puede manipular de la siguiente forma

y nuevamente suponiendo que el gradiente de presion es pequeno

(235a)

2332- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles (Gases Reales)

Cuando se tiene flujo de gas real en sistema radial la ecuacion de difusividad se puede obtener asi

Lievando la definicion de densidad del gas real p = PM(ZRT) a la ecuaci6n (2 26) se tiene bull

119

- -

I 0 ( ( p ) k oP J_0 (cent P ) - o rr JiZ Or- Of Z

v

~[rK~(~ oP]+ r(~1- ~ +k(~) OP]r t7 r Ji Z 0 r Ji Z 0 r 0 r JiZ 0 r

=cent o (P) - + ( P )Ocent - (2 36) O 2 2 o

Cuando k Y ltlgt son independientes de P

(2 36a) ~(z middot~~)+HJ~ ~ ~ ()

5 p )2 (5 (P1Ji Z) ) + ~ 8 2 ~ + ~(~) c5 P =1 5(P 1Z) 5 P

( (j r (jP JiZ 5 r - r Ji2 5r k ~P 5

P y suponiendo que el gradiente es pequeno 0 que - es con stante

JiZ

5 P 15P JiZcentP ( I 15Z ) c5P - - + -- = --- - ---- shy5 r 2 r 5 r P k 2 P Z 5 P 5

(2 37) ~J ~~) ~cent~c~ La ecuaci6n (2 36a) tambien se pudo manejar as

~(_ O P 2 1+~( 1 =f2(--)(~_ (2)5 I _ )o P2

~ P ~r Ji 2 o r ) r Ji Z o r k Z lp 2 5 P () I

2 _6 p 2 ) 5(1 1 JiZ) + 5 2p I_ + ~_t_ 5 p 2 = centC 0 p 2

( () r 0 r 5 r 2 Ji 2 r Ji Z 0 r k Z 8 I

y suponiendo (~Z) constante

5 P + ~ 5 P =centCJi()P2 =~~(roP2) (2 37a)

8r 2 r 5r k 5 1 ror 5 r

120

Si las prapiedades petrofisicas de la raca dependen de la presion aplicando las relaciones (2 6) shy(28) a la ecuacion (2 36) y siguiendo el mismo pracedimiento para obtener las ecuaciones (2 35) y (2 35a) se vuelven a obtener las ecuaciones (2 37) y (2 37a)

2333- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P)

Las ecuaciones de difusividad para gases ecuaciones (2 35)- (2 37a) presentan dificultades para su solucion pues en el caso de las ecuaciones para gases ideales (ecuaciones (2 35)) ) el coeficiente del termino derecho no es constante ya que la viscosidad depende de la presion y por tanto las ecuaciones no son lineales y en el caso de los gases reales ( ecuaciones (2 37) y (2 37a) ) se ha hecho la suposicion de que JI Z 0 JI Z son constantes 10 cual tampoco es cierto Por

eso recordando la definicion de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presen~das antes ( ecuacion (2 22)) y lIevandolas a la ecuacion (2 26) se puede tener una ecuaci6n de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo rad ial de fluidos ligeramente compresibles

OP oP Uevando ias expresiones para - y - y la definicion de densidad para el gas real a la

or 01 ecuacion(226) se tiene 1

~~[r I( 0 m(p)] =~ (~ cent) r or 2 or 0 1 Z

~A cent)~+A)+~J~~ = cent ~_) oZ+c JJlZ o m(p) v

tf~ 2P 0 1

quedando finalmente

centJI(C~ +Cf ) O m(p)~~[r 0 m()] cent [~_~ oZ +c JJI o m(p) (238)r or or P Z o P f dl k d I

AI igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P 0 10 contra rio yesto se hace siguiendo el pracedimiento presentado en Ie caso de flujo lineal ecuacion (224)

24 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Multifasico

Una ecuacion de difusividad para flujo multifasico se puede obtener haciendo el siguiente planteamiento

Si se toma una unidad de volumen de yacimiento la masa de petroleo agua y gas almacenada en ella y sus tasas de cambio con el tiempo se pueden expresar como

121

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

- -

I 0 ( ( p ) k oP J_0 (cent P ) - o rr JiZ Or- Of Z

v

~[rK~(~ oP]+ r(~1- ~ +k(~) OP]r t7 r Ji Z 0 r Ji Z 0 r 0 r JiZ 0 r

=cent o (P) - + ( P )Ocent - (2 36) O 2 2 o

Cuando k Y ltlgt son independientes de P

(2 36a) ~(z middot~~)+HJ~ ~ ~ ()

5 p )2 (5 (P1Ji Z) ) + ~ 8 2 ~ + ~(~) c5 P =1 5(P 1Z) 5 P

( (j r (jP JiZ 5 r - r Ji2 5r k ~P 5

P y suponiendo que el gradiente es pequeno 0 que - es con stante

JiZ

5 P 15P JiZcentP ( I 15Z ) c5P - - + -- = --- - ---- shy5 r 2 r 5 r P k 2 P Z 5 P 5

(2 37) ~J ~~) ~cent~c~ La ecuaci6n (2 36a) tambien se pudo manejar as

~(_ O P 2 1+~( 1 =f2(--)(~_ (2)5 I _ )o P2

~ P ~r Ji 2 o r ) r Ji Z o r k Z lp 2 5 P () I

2 _6 p 2 ) 5(1 1 JiZ) + 5 2p I_ + ~_t_ 5 p 2 = centC 0 p 2

( () r 0 r 5 r 2 Ji 2 r Ji Z 0 r k Z 8 I

y suponiendo (~Z) constante

5 P + ~ 5 P =centCJi()P2 =~~(roP2) (2 37a)

8r 2 r 5r k 5 1 ror 5 r

120

Si las prapiedades petrofisicas de la raca dependen de la presion aplicando las relaciones (2 6) shy(28) a la ecuacion (2 36) y siguiendo el mismo pracedimiento para obtener las ecuaciones (2 35) y (2 35a) se vuelven a obtener las ecuaciones (2 37) y (2 37a)

2333- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P)

Las ecuaciones de difusividad para gases ecuaciones (2 35)- (2 37a) presentan dificultades para su solucion pues en el caso de las ecuaciones para gases ideales (ecuaciones (2 35)) ) el coeficiente del termino derecho no es constante ya que la viscosidad depende de la presion y por tanto las ecuaciones no son lineales y en el caso de los gases reales ( ecuaciones (2 37) y (2 37a) ) se ha hecho la suposicion de que JI Z 0 JI Z son constantes 10 cual tampoco es cierto Por

eso recordando la definicion de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presen~das antes ( ecuacion (2 22)) y lIevandolas a la ecuacion (2 26) se puede tener una ecuaci6n de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo rad ial de fluidos ligeramente compresibles

OP oP Uevando ias expresiones para - y - y la definicion de densidad para el gas real a la

or 01 ecuacion(226) se tiene 1

~~[r I( 0 m(p)] =~ (~ cent) r or 2 or 0 1 Z

~A cent)~+A)+~J~~ = cent ~_) oZ+c JJlZ o m(p) v

tf~ 2P 0 1

quedando finalmente

centJI(C~ +Cf ) O m(p)~~[r 0 m()] cent [~_~ oZ +c JJI o m(p) (238)r or or P Z o P f dl k d I

AI igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P 0 10 contra rio yesto se hace siguiendo el pracedimiento presentado en Ie caso de flujo lineal ecuacion (224)

24 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Multifasico

Una ecuacion de difusividad para flujo multifasico se puede obtener haciendo el siguiente planteamiento

Si se toma una unidad de volumen de yacimiento la masa de petroleo agua y gas almacenada en ella y sus tasas de cambio con el tiempo se pueden expresar como

121

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

Si las prapiedades petrofisicas de la raca dependen de la presion aplicando las relaciones (2 6) shy(28) a la ecuacion (2 36) y siguiendo el mismo pracedimiento para obtener las ecuaciones (2 35) y (2 35a) se vuelven a obtener las ecuaciones (2 37) y (2 37a)

2333- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial - Fluidos Compresibles en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P)

Las ecuaciones de difusividad para gases ecuaciones (2 35)- (2 37a) presentan dificultades para su solucion pues en el caso de las ecuaciones para gases ideales (ecuaciones (2 35)) ) el coeficiente del termino derecho no es constante ya que la viscosidad depende de la presion y por tanto las ecuaciones no son lineales y en el caso de los gases reales ( ecuaciones (2 37) y (2 37a) ) se ha hecho la suposicion de que JI Z 0 JI Z son constantes 10 cual tampoco es cierto Por

eso recordando la definicion de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presen~das antes ( ecuacion (2 22)) y lIevandolas a la ecuacion (2 26) se puede tener una ecuaci6n de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo rad ial de fluidos ligeramente compresibles

OP oP Uevando ias expresiones para - y - y la definicion de densidad para el gas real a la

or 01 ecuacion(226) se tiene 1

~~[r I( 0 m(p)] =~ (~ cent) r or 2 or 0 1 Z

~A cent)~+A)+~J~~ = cent ~_) oZ+c JJlZ o m(p) v

tf~ 2P 0 1

quedando finalmente

centJI(C~ +Cf ) O m(p)~~[r 0 m()] cent [~_~ oZ +c JJI o m(p) (238)r or or P Z o P f dl k d I

AI igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P 0 10 contra rio yesto se hace siguiendo el pracedimiento presentado en Ie caso de flujo lineal ecuacion (224)

24 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Multifasico

Una ecuacion de difusividad para flujo multifasico se puede obtener haciendo el siguiente planteamiento

Si se toma una unidad de volumen de yacimiento la masa de petroleo agua y gas almacenada en ella y sus tasas de cambio con el tiempo se pueden expresar como

121

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

So A m = - Pas a Bo

o m =~(so cent P]01 6 Bo

Sw A m = -- Pws W Bw

o m =~(~cent PIIJ0 1 0 Bw

S S S]m = _ 0 AR +~AR +_ 1 P

g B gt B sW B gs [ o w g

o m) [s S S I ] I --U 0 y R + - RV + -B If PIsdt - it -Bo Ell If IS

y aplicando el principio de continuidad y la ley de Darcy para cad a fase en forma aislada

~~ (r~ oPJ-~(~cent J (2 39) r a- fi oBo a- it Bo

(240)~~(r~ o P J=~(~centJror fillB or 0 1 BII

~~(r ~ 0 P I=~ [s cent R + ~1 cent Rill + SI centl (241 ) r or fi ~ BI or) B J01 II BI

Ademas de las tres ecuaciones anteriores se tend ria la siguiente

So + Sg + Sw =1 0 (242)

Se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incogintas que son So Sw Sg Y P Las cuatro ecuaciones anteriores se podrian resolver simultaneamente por metodos numericos pero se plantea una solucion como la siguiente

~~[r 0 PJ =_cent_(c ) 0 P (243)

ror or (~ l 01

donde

122

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

c = _ _ 1((aBo) _ B (aR s ) ) Bo ap T g ap T

(244 )

(245)

(246)

(24 7)

(248)

Cuando se tiene flujo multifasico la ecuaci6n de difusividad para el petr61eo se puede obtener tambiEln de la siguiente forma

Introduciendo otra funci6n seudopresi6n para el petr6leo representada por m(p) y definida por

(I K m (p) = f YO dp (249)

f Ji B

de la cual se pueden obtener las siguientes expresiones

dm(p)=~dp y dm(p) ~ dp donde i es cualquier variable de la que

Ji B di Ji B di dependen m(p) y P

Cuando se lievan las expresiones anteriores la ecuaci6n de Darcy para fluJo de petr61eo cuando se tiene flujo multifasico a la ecuaci6n (225) ecuaci6n de continuidad para flujo radial y se

M supone que la densidad del petr61eo se puede expresar por p = B donde Mo es la masa

asociada a un barril normal de petr6leo se tiene

y suponiendo que la porosidad no depende de la presi6n

k k y recordando que = - y que k

123

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

6p B2 6 p

se tiene final mente

~~[r 6 m(p)J= cent Jic 6 m(p) (250) r 6 r 6 r k 61

La ecuacion (250) se puede usar para analizar el flujo de petroleo cuando hay flujo multifasico para 10 cual se debe tener una relacion entre m(p) y p Para tener una relacion entre m(P) y P se

~ procede de la siguiente manera iLuti

bull Se requiere tener las curvas de krg Y kro vs So Y la curva de R vs P La primera se obtiene del analisis de nucleos realizado a muestras del yacimiento y la segunda de la prediccion del comportamiento de produccion del yacimiento presentada en el capitulo 1 usando la tecnica de balance de materiales

De las curvas de permeabilidad relativa se elabora la curva de kgko vs So

De la ecuacion para R ecuacion (1 59) se despeja kgko

kR = R +~ gt Ji gt B (1 59)

k Ji~ Bg

k _ Ji lt B~(R _ R ) (251)- - BkJ j1 u ()

bull Se toma un intervalo am plio de presion por 10 menos entre la presion atmosferica y la presion de burbujeo del yacimiento y se divide en intervalos iguales de presion A la presion de 147 Lpc y a las presiones finales de cada intervalo se calculan las viscosidades y los facto res volumetricos del gas y el petroleo y el valor de R del grafico de R vs P luego se calcula kgko de la ecuacion (2 51) Y con este valor y de la curva kgko vs So se obtiene So Y finalmente con este valor y de las curvas de permeabilidad relativa se obtiene el valor de kro correspondiente a So

Se tiene de esta manera para cada presion ei respectiv~ valor de kr I~ B ) y par tanto se

pod ria tener un grafico de kro I (JiIi Bli )vs P

bull EI valor de m(P) para una presion Pn al final del intervalo n se obtiene hallando el area bajo la

curva kmI(JiB )vs P entre 147 Lpc Y Pn aplicando el metodo trapezoidal de integracion

grafica y cuya ecuacion general es la ecuacion (224) pero que aplicada a este caso tiene la siguiente forma

(P)_ uAp [[ m J 22 ro J J 1k II-I [k [k (252) m -T JiB I + 1= 1 JiB + JiB I

124

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

donde

(k j1BJ es el valor de (k m j1 () BJ evaluado a 147 Lpc y (k ro j1 BJ~ es el valor de

(k j1 B ) evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud llP

comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Aplicando el paso anterior a las presiones terminales de todos los intervalos de amplitud llP en que se dividio el intervalo de presion 147 - presion de burbujeo se obtiene un conjunto de valores m(P) - P Ypor tanto un grafico de m(P) vs P del cual se puede obtener P conociendo m(P) 0 10 contrario

25- Obtenci6n de la Ecuaci6n de Difusividad en Coordenadas Cilindricas

La ecuacion de flujo radial incluye solo una direccion de flujo el radio 0 sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y ademas dos pianos horizontales ados posiciones z cualesquiera son idemticos En la practica en un yacimiento cilindrico habra flujo en la direccion radial en la direccion angular y en la direccion vertical y por tanto para describir este flujo especialmente en Simulacion de Yacimientos se requiere de la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas

Para obtener la ecuacion de difusividad en coordenadas cilindricas se considera flujo en las direcciones radial (r) Tangencial (8) y vertical (z)

EI esquema siguiente muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas

pUo+ yenpUo)

Imiddot

1 pUoI -shypUz+ 1(PUz)

En dicho volumen de control el bala1e de masa se hace de la siguiente forma

Balance de masa

125

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

masa] _ [masa] plusmn [fUe~leS ] = [aCUmUI~ci6n ] (2 53) [enlra sale sumlderos agolanllenlo

III I I I II I

En la ecuacion (2 54) se ha incluido un termino que no se habia tenido en cuenta en los otros casos

y es el de fuentes 0 sumideros este termino se usa para tener en cuenta las posibles entradas 0

salidas de masa del volumen de control por procesos diferentes al flujo como es el caso si en el

volumen de control se tuviera un pozo por el cual estuviera saliendo masa del sistema pozo

productor 0 entrando masa al sistema pozo inyector

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que

masa] = pou r -( )S r -) z )-)1 + p-u -( )r-)z )-)l + p -u -(r-)r -)8)-)1 (2 54) [enlra

II I

u s Velocidad de flujo por unidad de area en la direccion tangencial

S r Longitud de arco al radio (r ) debida al cambio angular ()8 )

masa~ = [pou r + )(p-U r )] (S +1Ir -) z ))1 + [p-U + )(p-U )]()r-) z )-)I[sale

+ [p -u + )( P -u n(r -)r -)8 )- )

(2 55)

S r + M bull Longitud de arco en el radio (r + )r ) deb ida al cambio angular ( )8 )

fuenles 1 = q-r -)r -)8 -) z - )1 (2 56) [sumideros 11

Donde

Maw fuenl es sumideros q- (2 57)

) Vr - )f

126

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

acumUI~Ci6n ] = [ (p centLlI - (p cent) L r middot ~r ~emiddot tu (2 58) [agofamlenlo 11

Reemplazando las Ecuaciones (2 54) - (2 56) Y la Ecuaci6n (258) en la Ecuaci6n (253)

cancelando terminos semejantes despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre (rmiddot ~r ~emiddot ~z ~) se obtiene

Si se consideran los deltas (~r ~e ~z ~t) tan pequenos de tal forma que la ecuaci6n anterior

se pueda expresar en diferenciales se obtiene la ecuaci6n de conservaci6n de masa en forma

diferencial 0 ecuaci6n de continuidad

(p u ) a( p u ) I a( p u s ) a( p u = ) ~ a( p cent ) - - - - =q+ (260)

r ar r ae az at

Incluyendo los dos primeros terminos de la Ecuaci6n (2 60) en un mismo diferencial se obtiene la

ecuaci6n de continuidad 0 balance de masa

I a( p r J ) I a( p u ) a( p U ) ~ a( p cent ) -- -- - =q+ (2 61)

r ar r ae az al

La ecuaci6n de difusividad en coordenadas cilindricas es obtenida al combinar la Ecuaci6n (2 61) y

la Ley de Darcy para flujo radial angular y vertical

Ley de Darcy para flujo radial

k r apu =-- - (2 62)

f1 ar

Ley de Darcy para flujo tangencial

127

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

Velocidad debida al diferencial de presi6n presente entre dos puntos separados por una distancia

as

U s k () a

=-- ~ jJ as

(263)

Donde as es la longitud de arco entre los puntos considerados

S=rmiddote ~ as =rmiddot ae

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales

u ~ - ~ g~ J

Ill tal forma que la Ecuacion (256) se transforma en

(2 64)

~~[ r( p ~ apll+ _1 ~ ( p apI + ~ [r or jJ ar r2 ae jJ ae ) az

p~ ( ap Jl jJ az

(265)

=Zj + (pIgt cent + cent Igt pl lgt P Igt P li P lit

Para un fluido levemente compresible en un medio isotermico se ha asumido convencionalmente

compresibilidad constante de acuerdo con esto cumple con la ecuaci6n (22) y suponiendo tambien

la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuaci6n (28) 0 sea que la

ecuacion (2 65) se convierte en

L ~[ p r( ~ ap II+ --- ~[ p ( ap l+ ~[ p ( ~ aP- r middotahII r ar fl ar r ae jJ a9) az fl az az (266)

=-q + p cent(C + Cmiddotmiddot )-ap r J at

La expresion (2 66) es la ecuaci6n general de difusividad en coordenadas cilindricas para el flujo

monofasico de cualquier fluido a traves de un medio poroso isotermico

128

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

En forma vectorial la ecuacion general de difusividad en coordenadas cilindricas se logra

considerando el operador divergencia (V) y e gradiente (V) de esta manera la Ecuacion

(2 65) se expresa

v ( P ~ VP) ~ Ii + a( ~t cent) (267)

26- Variables Adimensionales

Son grupos de variables que como su nombre 10 indica no tienen dimensiones pero son denominadas por una variable en particular

Se usan basicamente para tener soluciones generales de una ecuacion dada sin tener en cuenta por ejemplo en el caso de la ecuacion de difusividad efectos como unidades de las variables tipo de fluidos etc

En el caso de la ecuacion de difusividad las variables mas importantes son r

r[) = - = radio adimensional (2 68) fw

kl I IJ = J = tiempo adimensional (2 69)

centj1 Cr~

2nkh () ( ) 2nkh ( )PI) =-- I1P = PIJ r IJ ) =-- P - PrJ = presion adimensional (270) qj1 qj1

Cuando r = rw ~ ro = 1 Y Po(roto) = Po(1 to)= Po(to)

(271 )

Las ecuaciones (268) - (271) en unidades de campo (~ cp h pies t dias horas P Ipc q BND K md rw pies) toman la siguiente forma

( (268)

k(md) 111O~O (dias) 86400(s d) I ) = J

A- ( )C( _1)(14711PC) )2 ( 1) (3048)-cms 1

If j1 cp pc - (r pies __ JaT Jpie1

W

129

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130

kl ==000634 2 (tdias) (2 72)

cent f1Crw

4== 264 10 kl (I hrs) (2 73) - 1

cent f1 Cr~

PJ) == 27rkh (i~ - P ) qf1 wr

== 27rk(md) 11l000h(pies~3~48 (p -p ) ( lal J BN)(B )~615(3048) (~ 147 Lpc

(q D 86400

= 708 10-1 kh (p - P ) (2 74) B I

qf1

La aplicacion principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuacion de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera

A partir de las ecuaciones (2 68) - (2 71) se pueden obtener las siguientes expresiones

orJ) r=rwrD o r = r o r J)

o r rIV

(5 0 k

0 1 centf1Cr

61 centf1Cr

dlf) k

op _ oPJ) a- ~ 27r kh oPrl _ - - --- - - - --- - I orn 0 r 0 rJ) qf1 0 r IV

oPrJ qf1 0 Po or 27rkhr 0 ro

13 Po = 0 PI) ~= _ 27rkh 0 Pr1 centf1CrH~ o l ) 13t o l n qf1 o t k

oP I k q f1 0 p)

0 1 27rkh centf1Crw 0 10

Llevando las expresiones anteriores a la ecuacion (2 26) se tiene

130