Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης

Θα λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε), παραµέ νουν αµετάβλητες µε το χρόνο. Για τη µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού σώµατος αρκεί να µελετήσουµε την κίνηση µιας τοµής (S) αυτού, µε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο αναφοράς (ε) και διερχόµενο από κάποιο χαρακ τηριστικό σηµείο του σώµατος, που ονοµάζεται πόλος της επίπεδης κίνησης. Eάν ο πόλος της κίνησης είναι το κέντρο µάζας C του σώµατος, τότε η τοµή

Σχήµα 1

(S) ονοµάζεται κύρια τοµή του στερεού σώµατος. Στο σχήµα (1) φαίνονται δύο θέσεις της κύριας τοµής του σώµατος κατά τις χρονικές στιγµές t και t+Δt. Mπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η µετατόπιση !

! r ενός τυχαίου

σηµείου A του στερεού, µεταξύ των χρονικών αυτών στιγµών είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα δύο επιµέρους µετατοπίσεων

!! r 1 και

!! r 2, από τις

οποίες η !! r 1 οφείλεται σε µια µεταφορική κίνηση της κύριας τοµής και η

!! r 2 σε µια στροφική κίνηση αυτής περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο

µάζας C του σώµατος και είναι κάθετος στην κύρια τοµή. Έτσι θα ισχύει η σχέση:

!! r = !

! r 1+!! r 2 !

!! r

!t=!! r 1

!t+!! r 2

!t !

lim!t!0

!! r

!t

"

# $

%

& ' = lim

! t!0

!! r 1

!t

"

# $

%

& ' + lim

!t!0

!! r 2

!t

"

# $

%

& ' !

! v

A=! v

C+! v

A/C (1)

όπου

! v

A,

! v

C οι ταχύτητες των σηµείων A και C κατά τη χρονική στιγµή t,

ως προς το επίπεδο αναφοράς (ε) της επίπεδης κίνησης και

! v

A /C η αντίστοι

χη ταχύτητα του σηµείου A, ως προς το κέντρο µάζας του σώµατος. H ταχύ τητα

! v

A εφάπτεται της τροχιάς (τA) που διαγράφει το σηµείο A κατά την

επίπεδη κίνηση του σώµατος, η

! v

C εφάπτεται της αντίστοιχης τροχιάς (τC)

που διαγράφει το κέντρο µάζας του σώµατος και τέλος η

! v

A /C είναι κάθετη

στην ευθεία CA και έχει µέτρο ωR, όπου ! ! η γωνιακή ταχύτητα περιστρο

φής της κύριας τοµής (S), κατά τη χρονική στιγµή t, περί άξονα διερχόµενο από το σηµείο C και κάθετο στο επίπεδό της και R η απόσταση CA. Aς υπο θέσουµε τώρα ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+Δt οι ταχύτητες

! v

A,

! v

C και

! v

A /C µεταβάλλονται κατά

!! v

A,

!! v

C !! v

A/ C αντιστοί χως. Tότε,

µε βάση την (1) µπορούµε να γράψουµε τη σχέση:

Σχήµα 2 Σχήµα 3

!! v

A= !! v

C+ !! v

A /C !

!! v

A

!t=!! v

C

!t+!! v

A /C

!t !

lim!t!0

!! v

A

!t

"

# $

%

& ' = lim

!t!0

!! v

C

!t

"

# $

%

& ' + lim

! t!0

!! v

A /C

!t

"

# $

%

& ' !

! a

A=! a

C+! a

A /C (2)

όπου

! a

A,

! a

C οι επιταχύνσεις των σηµείων A και C αντιστοίχως κατά τη

χρονική στιγµή t, ως προς το επίπεδο αναφοράς (ε) και

! a

A /C η αντίστοιχη

επιτάχυνση του σηµείου A ως προς το κέντρο µάζας C. H επιτάχυνση

! a

A /C

αναλύεται σε επιτρόχια επιτάχυνση

! a

!, η οποία είναι συγγραµµική της σχε

τικής ταχύτητας

! v

A /C του A ως προς το κέντρο µάζας και σε κεντροµόλο

επιτάχυνση

! a

K, η οποία έχει φορά προς το κέντρο µάζας, δηλαδή είναι

κάθετη στο διάνυσµα

! v

A /C. Για τα µέτρα των δύο αυτών επιταχύνσεων ισχύ

ουν οι σχέσεις:

aε=ω΄R και aκ=ω2R όπου

! ! , ! ! ' η γωνιακή ταχύτητα αντιστοίχως η γωνιακή επιτάχυνση του A

κατά την κίνησή του, ως προς το κέντρο µάζας C.

Kύλιση τροχού σε επίπεδη επιφάνεια Tυπικό παράδειγµα επίπεδης κίνησης αποτελεί η κύλιση ενός τροχού πάνω σε επίπεδη επιφάνεια. Kατά την κύλιση του τροχού το κέντρο του K διαγρά φει ευθύγραµµη τροχιά, παράλληλη προς την επιφάνεια επί της οποίας κυλίεται, τα δε σηµεία επαφής του τροχού µε την επιφάνεια αυτή έχουν

συνεχώς µηδενική ταχύτητα. Για τη µελέτη της κύλισης του τροχού θεωρού µε µια κύρια τοµή αυτού, η οποία µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+Δt µετατοπίζεται από τη θέση (S) στη θέση (S') (σχήµα 4). H µετατόπιση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως συνισταµένη µιας µεταφορικής κίνησης, κατά την οποία η ευθεία CA που συνδέει το κέντρο µάζας C του τροχού µε το σηµείο επαφής A µετατοπίζεται ευθύγραµµα κατά το διάνυσµα

!! r 1 και καταλαµβά

νει τη θέση C΄A΄ και µιας στροφικής κίνησης, περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο της κύριας τοµής, κατά την οποία η ευθεία C΄A΄στρέφεται κατά γωνία Δφ, λαµβάνουσα την τελική της θέση C΄M. Έτσι το σηµείο επαφής* A σε χρόνο Δt θα έχει µετατοπιστεί κατά το διάνυσµα !

! r , που είναι η συνισταµένη της µετατόπι σής του

!! r 1, λόγω

Σχήµα 4 της µεταφορικής κίνησης του τροχού και της µετατόπισής του

!! r 2, λόγω

της περιστροφικής του κίνησης, δηλαδή ισχύει η σχέση:

!! r = !

! r 1+!! r 2 !

!! r

!t=!! r 1

!t+!! r 2

!t !

lim!t!0

!! r

!t

"

# $

%

& ' = lim

! t!0

!! r 1

!t

"

# $

%

& ' + lim

!t!0

!! r 2

!t

"

# $

%

& ' !

! v

A=! v

C+! v

A/C (1)

όπου

! v

A,

! v

C οι ταχύτητες των σηµείων A και C αντιστοίχως κατά τη

χρονική στιγµή t, ως προς τη σταθερή επιφάνεια κύλισης και

! v

A /C η σχε

τική ταχύτητα του A ως προς το κέντρο µάζας C. Όµως λόγω της κύλισης του τροχού το µήκος του τόξου A’M είναι ίσο µε το µέτρο του διανύσµατος

!! r 1, δηλαδή ισχύει η σχέση:

Δr1=A’M ! Δr1=RΔφ !

!r1

!t=

R!"

!t !

lim!t!0

!r1

!t

"

# $

%

& ' = R lim

!t!0

!"

!t

"

# $

%

& ' ! vC

= R! = vA/C

δηλαδή οι ταχύτητες

! v

C και

! v

A /C έχουν ίσα µέτρα. Όµως οι ταχύτητες

αυτές είναι και αντίρροπες, οπότε µπορουµε να γράψουµε τη σχέση: ----------------------------------- *Aποδεικνύεται ότι η τροχιά που διαγράφει ένα οποιοδήποτε σηµείο του τροχού, ως προς τη σταθερή επιφάνεια κύλισης, είναι µια καµπύλη γραµµή, η οποία στην Aναλυτική Γεωµετρία ονοµάζεται κυκλοειδής καµπύλη.

! v

C= -! v

A /C !

! v

C+! v

A /C=!

0 !(1)

! v

A=

!

0

Eξάλλου, εάν

! a

C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C του τροχού κατά

τη χρονική στιγµή t, τότε το µέτρο της θα είναι:

a

C= lim

!t!0

!vC

!t

"

# $

%

& ' = R lim

! t!0

!"

!t

"

# $

%

& '

! aC

= R!'

όπου

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της στροφικής κίνησης του τροχού περί

άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C και κάθετο στο επίπεδο της κύριας τοµής του. Eάν κάθε στιγµή ισχύει

! a

C=0, τότε η κύλιση του τροχού

χαρακτηρίζεται ως ισοταχής. Aν κάθε στιγµή η

! a

C είναι οµόρροπη της

! v

C,

τότε η κύλιση του τροχού χαρακτηρίζεται ως επιταχυνόµενη και τέλος εάν η

! a

C είναι αντίρροπη της

! v

C, η κύλιση χαρακτηρίζεται ως επιβραδυνόµενη.

Στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Aπό την προηγούµενη ανάλυση της επίπεδης κίνησης ενός στερεού σώµατος έγινε φανερό ότι αυτή είναι µια σύνθετη κίνηση, η οποία προκύπτει από τη σύνθεση µιας µεταφορικής κίνησης του στερεού και µιας περιστροφικής κίνησης περί άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης και διέρχεται από το κέντρο µάζας του σώµατος. Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι, η επίπεδη κίνηση µπορεί να θεωρηθεί ως γνήσια περιστροφική κίνηση περί άξονα, που είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης, ο οποίος όµως µετατοπίζεται ως προς το επίπεδο αυτό. Προς τούτο θεωρούµε µια στοιχειώδη µετατόπιση του σώµα

Σχήµα 5 Σχήµα 6 τος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, κατά την οποία µια ευθεία αυτού µετατίθεται από τη θέση AB στη θέση A΄B΄. Eάν K είναι το σηµείο

τοµής των µεσοκαθέτων στις ευθείες AA΄ και BB΄, τότε τα τρίγωνα KAB και KA΄B΄ είναι ίσα µεταξύ τους ίσα (σχήµα 5), διότι έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία. Aυτό σηµαίνει ότι οι γωνίες AKA΄ και BKB΄ είναι ίσες µεταξύ τους, οπότε εάν το τρίγωνο AKB στραφεί στο επίπεδό του περί το K, κατά γωνία AKA’=BKB’=dφ, θα συµπέσει µε το τρίγωνο KA΄B΄, δηλαδή η ευθεία AB θα συµπέσει µε την A΄B΄. Άρα µια στοιχειώδης µετατόπιση του σώµατος στον χρόνο dt µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε στοιχειώδη περιστρο φή αυτού, περί άξονα που διέρχεται από το σηµείο K και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης. Tο σηµείο K ονοµάζεται στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του σώµατος κατά τη χρονική στιγµή t και στη διάρκεια της επίπεδης κίνησης του σώµατος διαγράφει, ως προς το σταθερό επίπεδο αναφοράς της κίνησης, µια εν γένει καµπύλη γραµµή, η οποία αποτελεί την τροχιά του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής και βρίσκεται στο επίπεδο της κύριας το µής του στερεού σώµατος. Aς θεωρήσουµε τώρα τις ταχύτητες

! v

A και

! v

B

των σηµείων A και B αντιστοίχως του σώµατος κατά τη χρονική στιγµή t. Tα διανύσµατα

! v

A και

! v

B θα είναι κάθετα στις ευθείες AK και BK αντιστοί

χως (σχήµα 6), τα δε µέτρα τους θα δίνονται από τις σχέσεις: vA

=!rA και vB

=!rB (1)

όπου ω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του σώµατος, περί το K, κατά τη χρονική στιγµή t και rA, rB οι αντίστοιχες αποστάσεις των σηµεί ων A και B από το K. Aπό τις σχέσεις (1) εύκολα προκύπτει ότι:

! =v

A

rA

=v

B

rB

=d"

dt

όπου dφ η στοιχειώδης γωνία στροφής του στερεού περί το K, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt. Eίναι προφανές ότι το στιγµιαίο κέντρο περισ τροφής K βρίσκεται στην τοµή των καθέτων ευθειών επί τα διανύσµατα των ταχυτήτων

! v

A και

! v

B των σηµείων A και B αντιστοίχως, γεγονός που µας

επιτρέπει να καθορίζουµε κάθε στιγµή τη θέση του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής, όταν γνωρίζουµε τις ταχύτητες δύο σηµείων της κύριας τοµής του στερεού σώµατος.

Δυναµική άποψη της επίπεδης κίνησης Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί επίπεδη κίνηση υπό την επίδραση κάποιων εξωτερικών δυνάµεων. H επιτάχυνση

! a

i ενός τυχαίου υλικού

σηµείου Ai του στερεού, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της αντίστοιχης επιτάχυνσης

! a

C του

κέντρου µάζας C του στερεού και της αντίστοιχης σχετικής επιτάχυνσης

! a

i /C του σηµείου Ai ως προς το κέντρο µάζας, δηλαδή ισχύει η σχέση:

! a

i=! a

C+! a

i /C !

m

i

! a

i= m

i

! a

C+ m

i

! a

i /C !

�

mi

! a i = mi

! a C + mi [

! a i (!) +

! a i (") ] !

!

f i +!

F i = mi

! a C +mi

! a i (!) +mi

! a i (k ) (1)

όπου

!

f i,

!

F i η συνισταµένη των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων αντι

στοίχως που ενεργούν στο υλικό σηµείο Ai, µάζας mi και

�

! a i,!,

�

! a i,! η επιτρό

χια αντιστοίχως η κεντροµόλος επιτάχυνσή του κατά τη σχετική του κίνηση ως προς το κέντρο µάζας C του σώµατος. Eφαρµόζοντας τη σχέση (1) για όλα τα υλικά σηµεία του στερεού σώµατος και αθροίζοντας κατά µέλη τις εξισώ σεις που θα προκύψουν, παίρνουµε τη σχέση:

�

!(! f i) +!(

! F i) = !(mi

! a C) +!(mi

! a i ,!) +!(mi

! a i ,k ) !

�

! 0 +!(

! F i) =

! a C!(mi) +!(mi

! a i ,!) +!(mi

! a i ,k ) !

�

! F !"

= M! a C +#(mi

! a i ,!) +#(mi

! a i ,k ) (2)

όπου

!

F !"

η συνισταµένη όλων των εξωτερικών δυνάµεων, που ενεργούν πάνω στο στερεό σώµα και M η µάζα του. Eξάλλου, εάν

! r i είναι η επιβατική

ακτίνα του σηµείου Ai,, ως προς το κέντρο µάζας C του σώµατος, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις:

Σχήµα 7

�

! a i,! = (

! " '!! r i) και

�

! a i,k = (

! ! !! v i/C) = (

! ! ! d

! r i /dt)

οπότε η (2) γράφεται:

�

! F !"

= M! a C +#mi(

! ! '$! r i ) +#mi[(

! ! $ d

! r i /dt)] !

�

! F !"

= M! a C +

! ! '# $mi

! r i[ ] +

! ! # $mi(d

! r i /dt)[ ] !

�

! F !" = M

! a

C+! ! '# $m

i

! r i[ ] +

! ! #

d

dt$m

i

! r i( )

%

& '

(

) * (3)

όπου

! ! , ! ! ' η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού

κατά την στροφική του κίνηση, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C και είναι κάθετος στο επίπεδο αναφοράς της κίνησης. Όµως από τον ορισµό του κέντρου µάζας του σώµατος ισχύει η σχέση

!(mi

! r i )=!

0 , οπότε η (3) γράφεται:

!

F !"

= M! a

C (4)

Aπό την (4) προκύπτει η ακόλουθη πρόταση: Kατά την επίπεδη κίνηση στερεού σώµατος, το κέντρο µάζας του κινείται ως υλικό σηµείο, µε µάζα ίση προς τη µάζα του σώµατος, πάνω στο οποίο ενεργούν όλες οι εξωτερικές δυνάµεις του σώµατος. Eξάλλου, εάν

! ! i είναι η ροπή της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το

υλικό σηµείο Ai του στερεού σώµατος, περί το κέντρο µάζας του, θα ισχύει:

�

! ! i = (

! r i!! F i,"# ) = [

! r i! (! f i +! F i)] = (

! r i!! f i ) + (

! r i!! F i) (5)

Όµως ισχύει και η σχέση:

! ! i = (

! r i ! mi

! a i ) =

! r i !mi(

! a C +

! a i /C )[ ] !

�

! ! i = (

! r i! mi

! a C) + (

! r i! mi

! a i,") + (

! r i! mi

! a i,# ) (6)

Eπειδή τα διανύσµατα

! r i και

�

! a i ,k είναι συγγραµµικά, θα είναι

�

(! r i!mi

! a i,! )=

! 0

και λόγω της

�

! a i,!=(

! " '!! r i ) η (6) γράφεται:

�

! ! i = (

! r i! mi

! a C) + [

! r i! mi(

! " '!

! r i )] (7)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε:

�

(! r i!! f i) + (

! r i!! F i) = (

! r i! mi

! a C) + [

! r i! mi(

! ! '!

! r i )] (8)

Eφαρµόζοντας την (8) για όλα τα υλικά σηµεία του στερεού σώµατος και αθροίζοντας κατά µέλη τις σχέσεις που θα προκύψουν, παίρνουµε:

�

!(! r i"! f i ) +!(

! r i"! F i) = !(

! r i" mi

! a C) +![

! r i" mi(

! ! '"! r i )] (9)

Όµως οι δυνάµεις

!

f i είναι εσωτερικές δυνάµεις µεταξύ των υλικών σηµείων

του στερεού σώµατος, οπότε το άθροισµα !(! r i!!

f i) είναι ίσο µε µηδέν, ενώ το

άθροισµα !(! r i!!

F i ) αποτελεί την ολική ροπή

! !

C των εξωτερικών δυνάµεων

που ενεργούν στο σώµα, περι το κέντρο µάζας του, οπότε η σχέση (9) γρά φεται:

�

! ! C = !(

! r i" mi

! a C) +![

! r i" mi(

! " '"

! r i )] !

�

! ! C = !(mi

! r i )"

! a C[ ] +! [

! r i" mi(

! " '"

! r i )] !

�

! ! C = (

! 0 !! a C) +" [

! r i! mi(

! " '!

! r i )] = " [

! r i! mi(

! " '!

! r i )] (10)

διότι

!(mi

! r i )=!

0 . Iσχύει όµως και η διανυσµατική ταυτότητα:

�

[! r i! mi(

! ! '!

! r i )] = mi[(

! r i"! r i )! ! '-(

! ! '"! r i )! r i] !

�

[! r i! mi(

! ! '!

! r i )] = mi(ri

2 ! ! '-0

! r i) = miri

2 ! ! '

οπότε η (10) γράφεται:

! ! C = (miri

2 ! " ')! =

! " ' (miri

2) = IC

! " '! (11)

όπου Ic η ροπή αδράνειας του σώµατος, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο αναφοράς της κίνησης. H σχέση (11 )µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη σπουδαία πρόταση: Kατά την επίπεδη κίνηση ενός στερεού σώµατος, τούτο περιστρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης, ως εάν ο άξονας αυτός ήταν σταθερός. Παρατηρήσεις: i) Oι σχέσεις

�

! F !"

=M! a

C και

! ! C= I

C

! " '

χαρακτηρίζουν την επίπεδη κίνηση στερεού σώµατος, όταν ως πόλος της κίνησης ληφθεί το κέντρο µάζας του C. Eάν ως πόλος της κίνησης θεωρηθεί ένα οποιοδήποτε άλλο σηµείο του σώµατος, τότε οι εξισώσεις που καθορί ζουν την κίνηση του πόλου και την περιστροφή του σώµατος περί άξονα που διέρχεται από τον πόλο αυτό και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης είναι πολύπλοκες. Για το λόγο αυτό είναι σχεδόν απαραίτητο να λαµβάνεται ως πόλος της επίπεδης κίνησης, το κέντρο µάζας του σώµατος και να ανά γονται όλες οι επί του σώµατος εξασκούµενες εξωτερικές δυνάµεις στο κέντρο µάζας του. ii) Eάν κατά την επίπεδη κίνηση στερεού σώµατος ο στιγµιαίος άξονας περιστροφής του διέρχεται δια του σώµατος, τότε ενδείκνυται να λαµβάνε ται ως πόλος της κίνησης το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του σώµατος, δηλαδή το σηµείο τοµής του στιγµιαίου άξονα περιστροφής και της κύριας τοµής του σώµατος. Tότε η επίπεδη κίνηση ανάγεται σε γνήσια στροφική κίνηση περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής, οπότε θα ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης, δηλαδή η σχέση:

! ! "#

= I! $ '

όπου

! ! "#

η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων επί του σώµατος περί

τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής του, I η αντίστοιχη ροπή αδράνειας του σώµα τος και

! ! ' η αντίστοιχη γωνιακή του επιτάχυνση.

Kινητική ενέργεια στερεού κατά την επίπεδη κίνησή του Eάν λάβουµε ως πόλο της επίπεδης κίνησης στερεού σώµατος το κέντρο µά ζας του C, τότε η κινητική ενέργεια ενός υλικού σηµείου του στερεού, µάζας mi, θα είναι:

Ki =

mivi2

2=

mi(! v i !! v i )

2=

mi(! v C +

! v i /C)!(

! v C +

! v i /C)

2 !

�

Ki =mi

2[vC

2 + vi/C

2 + (2! v C !! v i /C)] (1)

όπου

! v

C η ταχύτητα του κέντρου µάζας ως προς το αδρανειακό σύστηµα

αναφοράς από το οποίο εξετάζεται η κίνηση και

! v

i /C η σχετική ταχύτητα

του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο µάζας. Eξάλλου, η κινητική ενέργεια K του στερεού σώµατος θα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των κινητικών ενεργειών των υλικών του σηµείων, δηλαδή θα ισχύει:

Σχήµα 8

�

K = !(Ki) !(1)

�

K =1

2! [mivC

2 + mivi/C

2 + mi(2! v C"! v i /C)] !

�

K =! (mivC

2/2) +! (mivi/C

2 /2) +!mi(! v C"! v i /C) !

�

K =vC

2

2! (mi) +! (mivi/C

2 /2) +! v C"!mi(

! v i /C)[ ] !

�

K =vC

2

2! (mi) +

1

2! (miri

2!

2) +! v C"!mi(

! ! #! r i )[ ] !

�

K =vC

2

2! (mi) +

!2

2! (miri

2) +! v C"! ! # !mi

! r i( )[ ] !

�

K =MvC

2

2+!

2IC

2+[! v C ! (

! ! "! 0 )]

!

�

K =Mv

C

2

2+

IC!

2

2 (2)

όπου IC η ροπή αδράνειας του στερεού, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης και

! ! η

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού ως προς τον άξονα αυτό. Aπό τη σχέση (2) προκύπτει η ακόλουθη πρόταση: H κινητική ενέργεια στερεού σώµατος που εκτελεί επίπεδη κίνηση, είναι κάθε στιγµή ίση µε το άθροισµα της κινητικής ενέργειας του

κέντρου µάζας του, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη όλη τη µάζα του σώµατος και της κινητικής ενέργειας, λόγω της περιστροφής του περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης. Eξάλλου για την κινητική ενέργεια στερεού σώµατος που εκτελεί επίπεδη κίνηση ισχύει η ακόλουθη πρόταση, η οποία είναι γνωστή και ως θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου. H µεταβολή της κινητικής ενέργειας στερεού σώµατος κατά την επίπεδη κίνησή του, είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των έργων των εξωτερικών δυνάµεων που ενεργούν στο σώµα. Aπόδειξη: Θεωρούµε µια στοιχειώδη µετατόπιση του στερεού σώµατος, κατά την οποία το κέντρο µάζας του C µετατοπίζεται ως προς την αρχή O του αδρανειακού σύστηµα αναφοράς, κατά

d! r C. Eάν

d! r '

i είναι η αντίστοιχη

µετατόπιση ενός τυχαίου σηµείου Ai του σώµατος και d! r

i η αντίστοιχη

µετατόπιση του σηµείου αυτού ως προς το κέντρο µάζας C, τότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέση:

d! r 'i = d

! r C +d

! r i = d

! r C + (d

! ! !! r i ) (3)

όπου d

! ! το διάνυσµα της στοιχειώδους γωνιακής µετατόπισης του σώµατος

κατά την περιστροφή του, περί το κέντρο µάζας και

! r i η επιβατική ακτίνα

του σηµείου Ai ως προς το κέντρο µάζας C. Tο στοιχειώδες έργο της

εξωτερικής δύναµης

!

F i που επιδρά επί του υλικού σηµείου Ai κατά την εν

λόγω στοιχειώδη µετατόπιση του σώµατος είναι:

dWi = (!

F i !d! r 'i ) !

(3)

dWi = (

!

F i !d! r C) + [

!

F i !(d! ! "! r i )] ! (4)

Tο αντίστοιχο στοιχειώδες έργο dW όλων των εξωτερικών δυνάµεων, που ενεργούν στο στερεό σώµα, θα είναι προφανώς ίσο προς το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών έργων dWi , δηλαδή θα ισχύει:

dW = (! dWi) !(4)

dW = (

!

F i !d! r C)" + [

!

F i !(d! ! #! r i )]" !

dW = [d! r C! (

!

F i )]" + d! ! ! [(

! r i#!

F i )]" !

�

dW =(! F !"#d! r C) + (

! ! C#d

! " ) (5)

όπου

�

! F !"

η συνισταµένη όλων των εξωτερικών δυνάµεων, αν τις θεωρήσου µε ότι εφαρµόζονται στο κέντρο µάζας αυτού και

! ! C η συνισταµένη των

ροπών των δυνάµεων αυτών, περί το κέντρο µάζας. Eξάλλου η αντίστοιχη στοιχειώδης µεταβολή dK. ης κινητικής ενέργειας του στερεού σώµατος θα είναι: dK = d(MvC

2/2 +IC!

2/2) !

dK = M(! v C!d

! v C) + IC(

! ! !d! ! ) !

dK = Md! r C

dt!d! v

C

"

# $

%

& ' +I

C

d! !

dt!d! "

"

# $

%

& ' !

dK = d! r C!M

d! v

C

dt

"

# $

%

& ' +d

! ! !I

C

d! "

dt

"

# $

%

& ' !

�

dK = (! F !"#d! r C)+(

! ! C #d

! " ) (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε:

dK = dW !

�

!(dK) = !(dW) !

K!"# -K$%& = W!

F 1

+W!

F 2

+ ... + W!

F n

όπου

!

F 1,

!

F 2,...

!

F n οι εξωτερικές δυνάµεις που ενεργούν πάνω στο στερεό

σώµα.

Oρµή στερεού κατά την επίπεδη κίνησή του Oρίζεται ως ορµή

!

P ενός σώµατος κατά την επίπεδη κίνησή του, το διανυσ µατικό άθροισµα των ορµών των υλικών σηµείων από τα οποία αυτό αποτε λείται, δηλαδή ισχύει:

�

! P = !(

! P i) = !(mi

! v i) !

�

! P = ! [mi(

! v C +

! v i/C)] (1)

όπου

! v

C η ταχύτητα του κέντρου µάζας του σώµατος ως προς το αδρανειακό

σύστηµα αναφοράς της κίνησής του και

! v

i/C η σχετική ταχύτητα του τυχαί

ου σηµείου Ai του στερεού ως προς το κέντρο µάζας του. Eάν ! ! είναι η

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος προς το επίπεδο κίνησής του και

! r i η επιβατική ακτίνα του σηµείου Ai ως προς το κέντρο µάζας, τότε η σχέση

(1) γράφεται:

�

! P =! v C!(mi) + [

! ! "! (mi

! r i )] !

�

! P = M

! v C + [

! ! !" (mi

! r i )] (2)

Όµως ισχύει

(mi

! r i) =!

0 ! , οπότε η (2) δίνει:

!

P = M! v

C (3) H (3) εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: H ορµή ενός στερεού σώµατος, το οποίο εκτελεί επίπεδη κίνηση, είναι ίση µε την ορµή του κέντρου µάζας του, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη ολόκληρη την µάζα του σώµατος. Aς υποθέσουµε τώρα ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η ορµή του υλικού σηµείου Ai του σώµατος µεταβάλλεται κατά

d

!

P i και ότι τη στιγ

µή t η συνισταµένη εσωτερική δύναµη επί του υλικού αυτού σηµείου είναι

!

f i, ενώ η αντίστοιχη συνισταµένη εξωτερική δύναµη επί του υλικού σηµείου

είναι

!

F i. Tότε σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, για το υλικό αυτό

σηµείο θα ισχύει:

d!

P i/dt =

!

f i+!

F i (4)

Eφαρµόζοντας τη σχέση (4) για όλα τα υλικά σηµεία του σώµατος και προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις που θα προκύψουν, έχουµε:

�

! (d! P i /dt)= !(

! f i ) +!(

! F i ) !

�

d

dt! (! P i) =

! 0 +! F

!" !

d!

P /dt =!

F !"

(5) όπου

!

F !"

η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που ενεργούν στο σώµα. H (5) εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: Kατά την επίπεδη κίνηση ενός στερεού σώµατος, η ταχύτητα µεταβο λής της ορµής του είναι κάθε στιγµή ίση µε τη συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που ενεργούν πάνω στο σώµα. Eίναι προφανές ότι, αν

!

F !"

=

!

0 , τότε η ορµή του σώµατος δεν µεταβάλλεται κατά την επίπεδη κίνησή του.

Στροφορµή στερεού κατά την επίπεδη κίνησή του. Nόµος µεταβολής της στροφορµής

Oρίζουµε ως στροφορµή

�

!

L ενός στερεού σώµατος κατά την επίπεδη κίνησή του, περι µία αρχή O που είναι ακίνητη στο σύστηµα αναφοράς της κίνησής του, το διανυσµατικό άθροισµα των στροφορµών όλων των υλικών του ση µείων περί το O, δηλαδή ισχύει:

�

! L = ! (

! L i ) = !(

! r i " mi

! v i ) (1)

Σχήµα 9

όπου

�

! r i η επιβατική ακτίνα του τυχαίου υλικού σηµείου Ai του σώµατος, ως

προς το O και

! v

i η ταχύτητά του. Eξάλλου, εάν

! v

C είναι η ταχύτητα του

κέντρου µάζας C του σώµατος και

! v

i /C η ταχύτητα του υλικού σηµείου:

κατά την περιστροφή του σώµατος, περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επί πεδο της κίνησης, τότε θα ισχύει

! v

i=! v

C+! v

i /C

οπότε η (1) γράφεται:

�

! L = ! [

! r i " mi(

! v C + vi /C)] = !(

! r i " mi

! v C) +!(

! r i " mi

! v i /C) (2)

Όµως, εάν

! r C είναι η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας C του σώµατος

ως προς το O και

�

! r '

i η επιβατική ακτίνα του σηµείου Ai ως προς το C, θα

ισχύει:

�

! r i=! r C

+! r '

i

οπότε η (2) γράφεται:

�

! L = ! [(

! r 'i+! r C)" mi

! v C)] +! [(

! r 'i+! r C)" mi

! v i /C)] !

�

! L =! (

! r 'i " mi

! v C)+! (

! r C)" mi

! v C)+! (

! r 'i " mi

! v i /C)+! (

! r C " mi

! v i /C) !

�

! L = ! (mi

! r 'i )"

! v C)[ ]+(

! r C "! v C)!(mi) +! (

! r 'i " mi

! v i /C)+

! r C " ! (mi

! v i /C)[ ]

Όµως ισχύουν οι σχέσεις

�

!(mi

! r 'i )=! 0 και

�

!(mi

! v i /C )=

! 0 , οπότε η προηγούµενη

σχέση γράφεται:

�

! L = (

! 0 !! v C) + M(

! r C !! v C) +"(

! r 'i ! mi

! v i /C) + (

! r C !

! 0 ) !

�

! L = (

! r C ! M

! v C) + (

! r 'i ! mi

! v i /C)" (3)

H (3) εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: Kατά την επίπεδη κίνηση στερεού σώµατος, η στροφορµή του ως προς µία ακίνητη αρχή O, είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του κέντρου µάζας του σώµατος, αν σ’ αυτό θεωρήσουµε συγκεντρωµένη ολόκληρη τη µάζα του, συν την στροφορµή του σώµατος περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης, θεωρούµενης* στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, η στροφορµή του σώµατος περί το O µεταβάλλεται µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, κατά

�

d! L . Tότε θα ισχύει η σχέση:

�

d! L = d !(

! r i" mi

! v i )[ ] = !(d

! r i" mi

! v i ) +!(

! r i" mid

! v i) !

�

d! L /dt = !(d

! r i /dt)" mi

! v i[ ] +! [

! r i" mi(d

! v i /dt)] !

-------------------------------------------------------- * Η στροφορµή του σώµατος θεωρούµενη στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του και περί το κέντρο µάζας ονοµάζεται ιδιοστροφορµή αυτού.

�

d! L /dt = !(

! v i " mi

! v i) +! [

! r i" mi(d

! v i /dt)] !

�

d! L /dt =

! 0 +! [

! r i" mi(d

! v i /dt)] = ! [

! r i" mi(d

! v i /dt)] (4)

Όµως για το υλικό σηµείο Ai, σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο του Nεύτωνα θα έχουµε:

mi(d! v i /dt) =

!

f i +!

F i όπου

!

f i,

!

F i η συνισταµένη των εσωτερικών αντιστοίχως των εξωτερικών

δυνάµεων επί του υλικού σηµείου. Έτσι η σχέση (4) γράφεται:

�

d! L /dt = ! [

! r i" (! f i +! F i)] = !(

! r i"! f i) +!(

! r i"! F i) (5)

Eξάλλου για τις εσωτερικές δυνάµεις επί των υλικών σηµείων του στερεού σώµατος, λόγω του αξιώµατος της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδρασης ισχύει η σχέση

!(! r 'i! fi )= 0 , οπότε η (5) γράφεται:

�

d! L /dt =

! 0 +!(

! r i"! F i) !

�

d!

L /dt =! ! "#

(6) όπου

! ! "#

η συνισταµένη ροπή των εξωτερικών δυνάµεων επί του σώµατος, περί το ακίνητο σηµείο O. H (6) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την εξής σπουδαία πρόταση: Kατά την επίπεδη κίνηση ενός στερεού σώµατος, ο ρυθµός µεταβο λής της στροφορµής του ως προς ένα σηµείο, που είναι ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς της κίνησής του, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνισταµένη των ροπών των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί το σηµείο αυτό. Eίναι προφανές ότι αν

! ! "#

=

!

0 , τότε

�

d!

L /dt=!

0 που σηµαίνει ότι η στροφορµή ενός σώµατος κατά την επίπεδη κίνησή του, ως προς µία ακίνητη αρχή, διατηρείται σταθερή, εφ’ όσον η συνισταµένη των ροπών των εξωτερικών δυνάµεων περί την αρχή είναι ίση µε µηδέν. Σπουδαία παρατήρηση: H σχέση (6) ισχύει µε την απαραίτητη προϋπόθε ση ότι η αρχή Ο ως προς την οποία αναφέρεται η στροφορµή του σώµατος είναι ακίνητη στο σύστηµα αναφοράς της κίνησής του. Εάν η αρχή Ο κινεί ται, τότε για την στροφορµή

�

! L αποδεικνύεται* η σχέση:

�

d! L /dt + (

! V !

! P ) =

! " #$

(7) όπου

�

! P η ορµή του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς της κίνησής του,

�

! V η

αντίστοιχη ταχύτητα της αρχής Ο και

�

! ! "#

η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δρουν στο σώµα, περι την αρχή Ο. Εάν η αρχή Ο συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C του σώµατος ή η αρχή ηρεµεί στο σύστηµα αναφοράς -------------------------------------------- H απόδειξη υπάρχει στην ανάρτηση µε τίτλο “Γενική κίνηση στερεού σώµατος” και εύκολα µπορεί να αναζητηθεί.

της κίνησης του σώµατος (V=0), τότε η σχέση (9) παίρνει την απλοποιηµένη µορφή:

�

d! L /dt =

! ! "# (8)