k s t s 6 olan sistem için, - atasevinc.netmakine mühendisliği bölümü sİstem modelleme ve...
TRANSCRIPT
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI
14.11.2014 Süre: 80 dakika
1) Transfer fonksiyonu 136)2()1(
)(2
sss
sKsT olan sistem için,
a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)
b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 2’ye yakınsıyor. 0K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan)
c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)
d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)
2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin, önce giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz, sonra ���� = �(�) �(�)⁄ transfer fonksiyonunu çıkartınız. (25 puan)
3) Birinci mertebeden doğrusal zamanla değişmez bir sistemin birim basamak tepkisi t
etyb
345)(
olduğuna göre sistemin transfer fonksiyonunu yazınız (15 puan). Birim basamak tepkisi )(tyb
’yi çiziniz.
Çizimde ��(0�) ve ��(∞) değerleri belli olsun (5 puan). Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem
kazancı kaça yakınsar (5 puan)?
4) Aşağıda verilen sistem K ’nın hangi değer aralığında kararlıdır? (25 puan)
BAŞARILAR … Yard. Doç. Ata SEVİNÇ
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI
14.11.2014 1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: 1z .
Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: 21
p ,
233,2
jp m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.
b) Giriş sinyalinin frekansı için mutlak değerce kazanç
js transfer fonksiyonda yazılıp )( jT şeklinde bulunur.
0 için 0s olacağından sistemin kazancı
2
26136)2(
)1(lim)0(
20
K
sss
sKT
s
ve 0K olduğuna göre 52K =
c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.
d) 26258)(
)()(
23
sss
KKs
sU
sYsT )()()(26258 23 sUKKssYsss
s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: )()()(26)(25)(8)( tKutuKtytytyty &&&&&&&
2) Her türevsel eleman için bir denklem
yazılır. L üzerindeki akıma i dersek:
dt
diLyu i ’den direnç akımını çıkartırsak
C ’nin akımını buluruz: dt
dyC
R
yi Her iki denklemin de Laplace dönüşümü alınıp düzenlenerek
)()()( sIsLsYsU ve )(1
)( sYsCR
sI
bulunur. )(sI ’i diğerinde yerine yazalım:
)()()( 2 sYLCsR
sLsYsU
)()(1 2 sUsYLCs
R
sL
LCs
RCs
LC
R
sLLCs
sGsU
sY
11
1
1
1)(
)(
)(
22
bulunur.
Yandaki sistemde 2211
rr ve 2
2
1
1
rr
(1 ’in yansıtılmışına
2 dedik). Buna göre
1. eksendeki u torku, 2. eksende ur
r
1
2 olarak
görülür. Diğer yandan,
-
SMOK–V–2014–CA–2
2
1
2
111 &&&&
r
rJJ ve
2
1
2
111 &&
r
rbb
yazılabilir. Bunlar 1. taraftaki tork değerine maruz kalan bileşenlerdir. Bunları 2. taraftaki torka maruz kalır gibi
ve 2
’ye göre kullanacaksak katsayılarını bir kez daha 12rr ile çarparak kullanmalıyız. Böylece yukarıdaki
eşdeğer şekli elde ederiz. Buna göre dinamik denklemi yazarsak
2212
1
2
2
1
2
212
1
2
2
32 kb
r
rbu
r
rJ
r
rJJ
&&& Düzenlenip
2y yazılarak Laplace dönüşümünü alınırsa,
)()(1
2
12
1
2
22
12
1
2
2
32sU
r
rsYksb
r
rbsJ
r
rJJ
Buradan da transfer fonksiyon şöyle bulunur:
ksbr
rbsJ
r
rJJ
rrsG
sU
sY
12
1
2
22
12
1
2
2
32
12)()(
)(
İstenseydi herşey 1. tarafa yansıtılarak da işlem yapılabilirdi. O zaman payın ve paydanın 22
2
1rr ile çarpılmışı
olan, yani yukardakine eşit şu ifade bulunurdu:
kr
rsb
r
rbsJJ
r
rJ
rrsG
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
322
2
2
1
1
21)(
3) s
sTsUsTss
sYtybb
te
1)()()(
3
45)(45)(
3
3
4155
3
45)(
s
ss
s
ssT
3
15)(
s
ssT
js yazılarak 13
15lim)(lim
s
ssT
jsjs
Sonsuz yüksek frekans kazancı 1 bulunur.
4) Kutu içini G(s), ve H(s) = 1 alarak Kssss
K
sHsG
sGsT
45)()(1
)()(
234 bulunur. Kararlılık için
paydanın köklerinin hiçbiri sağ yarı bölgede olmamalı, bunun için de Routh-Hurwitz testinde ilk sütun hep aynı işaretli olmalıdır:
4s 1 1 K 0 3s 5 4 0 0
2s
5
1
5
41 K 0
1s K
K254
51
54 0 0
0s K 0
İlk sütun artıyla başladığı için hep artı olmalıdır. Yani K > 0 ve 4 – 25K > 0 olmalıdır. Yani 25
40 K
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI
13.11.2015 Süre: 80 dakika
1) Transfer fonksiyonu 54
2)(
2
ss
ssT olan sistem nasıl bir filtreleme yapar (alçak geçiren, yüksek geçiren,
band geçiren), neden? Sistem kararlı mıdır? Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (15 puan)
2) Aşağıda doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Her alt sistemin transfer fonksiyonu harflerle gösterilmiştir. Bütün sistemin transfer fonksiyonunu A, B, C, D cinsinden bulunuz. (Kesirli terim olursa pay veya paydasında başka kesir kalmasın). (15 puan) 3) Yandaki ya da aşağıdaki sistemin önce giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz, sonra ���� = �(�) �(�)⁄ transfer fonksiyonunu çıkartınız. (25 puan)
4) Transfer fonksiyonu 5
62)(
s
ssT olan sistemin birim basamak tepkisini ( )(tyb ) bulunuz ve çiziniz (12
puan). Sistemin alçak frekans (lim � → 0) ve yüksek frekans (lim � → ∞) kazançlarını bulunuz. Bu kazançların
)0( by ve )(by değerleriyle ilişkisini de yazınız. (8 puan)
5) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %10 ve %2’lik durulma zamanı � = 5 saniye isteniyor. Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı � , sönüm katsayısı , tepe zamanı (�) ne olur? (25 puan)
4)2(%
dt
d
yt
d
pt
n
cos
BAŞARILAR … Yard. Doç. Dr. Ata SEVİNÇ
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI
13.11.2015
1) 5)(4)(
2)(
2
jj
jjT olup 0)(lim
0
jT ve 0)(lim
jT ve 0 < � < ∞ için 0)( jT
olduğu için band geçiren filtre olarak davranır.
)(
)(
54
2)(
2sU
sY
ss
ssT
)(2)(542 ssUsYss )(2)(5)(4)( tutytyty &&&&
2) En alttaki birim geribesleme kolu ile B üzerinden geribesleme paraleldir. (1+B) diye negatif geribesleme yönünde birleştirilebilir.
Dolayısıyla transfer fonksiyon: CDABA
AD
sU
sY
1)(
)(
3) Elektrik devresi:
1L üzerindeki akıma
1i diyelim.
1L ve
2L üzerindeki gerilimlerin toplamı u olduğu için
dt
dyL
dt
diLu
2
1
1 Ayrıca
R üzerindeki akım Rdt
dyL
2
olduğu için )()()( 21
2
1sY
R
sLsYsI
dt
dy
R
Lyi
Bunu, ilk denklemin Laplace dönüşümünde yerine yazalım:
)()()()()(1)()()()(21
221
2
2
1211sUsYsLLs
R
LLsYsLsY
R
sLsLsUsYsLsIsLsU
En sağdaki eşitlikten sLLRsLL
R
sU
sY
)()(
)(
21
2
21
Mekanik sistem:
1. yol: Herşeyi 1. eksende düşünürsek, 2
J , J ve 2b ’yi 2
2
2
1rr ile, giriş torkunu ise
21rr ile çarparak yansıtırız:
ur
rkb
r
rbJJ
r
rJ
2
1
1122
2
2
1
1122
2
2
1
1
&&&
ksbr
rbsJJ
r
rJ
rr
sU
sY
sU
s
22
2
2
1
1
2
22
2
2
1
1
211
)(
)(
)(
)(
2. yol: Herşeyi 2. eksende düşünürsek, 1J , k ve
1b ’i 2
1
2
2rr ile çarparak yansıtırız:
ukr
rbb
r
rJJJ
r
r
22
1
2
2
2212
1
2
2
2212
1
2
2 &&&
Ayrıca 212
rry olduğundan,
-
kr
rsbb
r
rsJJJ
r
r
rr
sU
sY
sU
sr
r
2
1
2
2
212
1
2
22
212
1
2
2
12
2
1
2
)(
)(
)(
)(
(İki çözümün de aynı sonucu verdiğini görünüz.)
4) Birim basamağın Laplace dönüşümü s1 olduğu için
5)5(
62)(
1)(
s
b
s
a
ss
ssT
ssY
b
5650
602
a ve 545
6)5(2
b
0,5
4
5
6)(
5
ttyt
eb
Alçak frekans kazancı )(56)0()(lim0
byTjT
Yüksek frekans kazancı )0(2)()(lim
byTjT
5) Kapalı döngü sistemin transfer fonksiyonu
Kass
K
assK
assKsT
22
2
)(11
)()(
Bunu 22
2
2n
n
ss
diye düşünürüz. Yani 2n
K ve 2a .
(Dikkat: Yukarıdaki “s” Laplace dönüşümü değişkenidir. Aşağıdaki ifadelerdeki “s” ise saniyedir.)
Durulma zamanından 18,0)5(44 sstd
2a1
6,1
sa
sradsradMdd
09,110,0ln
8,0ln
2222222 09,18,0 sradKdn
2283,1 sradK
sradsradKn
35,183,1 35,18,0n
59,0
radrad 938,0180
8,538,53cos59,0o
sty
09,1
938,0st
y02,2 st
p
09,1
stp
88,2
2CA2015VSMOK
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI
04.11.2017 Süre: 80 dakika
1) Transfer fonksiyonu )256)(1(
)3)(2(5)(
2
sss
sssT olan sistemin
a) Kutup ve sıfırlarını karmaşık s düzleminde gösteriniz. (6 puan)
b) Alçak frekanslar (� → 0) için sistem kazancını bulunuz. (3 puan)
c) Yüksek frekanslar (� → ∞) için sistem kazancını bulunuz. (3 puan)
d) Sistem kararlı mıdır? Neden? (3 puan)
2) Transfer fonksiyonu 1
23)(
s
ssH olan sistemin birim basamak tepkisini ( )(ty
b) bulunuz ve çiziniz. (10+5
puan)
3) Yanda doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Her alt sistemin transfer fonksiyonu harflerle gösterilmiştir. Bütün sistemin transfer fonksiyonunu A, B, C, D cinsinden bulunuz. (Kesirli terim olursa pay veya paydasında başka kesir kalmasın). (15 puan)
4) Yandaki iki sistemden yalnız birisinin
)(
)(
sU
sY transfer fonksiyonunu bulunuz.
5) Aşağıdaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %5’lik durulma zamanı �� = 6 saniye isteniyor. Buna göre K ve b ne olmalıdır? (15 puan)
)()2
1(deeM
3)5(%
dt
6) Aşağıda verilen sistem K ’nın hangi aralığında kararlıdır? (25 puan)
BAŞARILAR … Yard. Doç. Ata SEVİNÇ
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI
04.11.2017
1) a) Transfer fonksiyonun payının kökleri 2 ve -3 sıfırlardır.
Paydasının kökleri 432
254662
jmm
ve -1 kutuplardır.
b) 0 js için 2,15
6
251
3)2(5)0(
T
c) jjs için 0)( jT
d) Kararlıdır; çünkü bütün kutuplar sol yarı bölgededir.
2) Birim basamağın Laplace dönüşümü 1/s olduğu için
1)1(
231)()(
s
b
s
a
ss
s
ssHsY
b
21
23
0
ss
s
a ,
523
1ss
sb
tety
b
52)(
Diğer yol: tt eeHHHtyb
52)0()()0()(
(Burada -1/τ kutup yani -1 olduğundan τ =1 alındı.)
3) A ve B ikilisi geri beslemeli blok olup bu blok D ile seridir. Bu seri kol da C’ye paraleldir. Dolayısıyla
AB
ABCCADCD
AB
A
sU
sY
11)(
)(
4) Elektrik devresinde y, direnç ve kondansatörün aşağı doğru akımlarının toplamıdır. s domeninde C yerine 1/sC yazarsak:
RsC
sU
sYsU
RsC
R
sU
sC
sUsY
1
)(
)()(
1)(
)(1
)()(
Mekanik sistemde: )()(211111
sUsYksJukyyJkTJ &&&& ksJsU
sY
2
1
1
)(
)(
-
5) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu
22
2
2
2
2
21
)(
)(
n
n
ssKbss
K
bss
K
bss
K
sU
sY
Yani Kn , 2b .
11s5,02s5,0s6
3)5(%
btd
1s1
b
21
526,2)08.0ln(ln
M
2
22
1646,0
526,2
212srad797,0627,0s5,0627,0646,1646,0
nnnK
22srad636,0K (Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)
6) 1)(,745
)(234
sHssss
KsG . 07450)()(1
234 KsssssHsG
4s 1 4 K 0 3s 5 7 0 0
2s
5
13
5
74 K 0
1s
13
2591
513
57
KK 0 0
0s K 0
İlk sütunda işaret değişikliği olmamalı ki bütün kökler sol yarı bölgede olsun ve sistem kararlı olsun. Yani hem 02591 K hem de 0K olmalı. Düzenlenirse:
64,30 K olmalıdır.
SMOK-V-2017-CA-2
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI
10.11.2018 Süre: 70 dakika
Yazı, insanın okuması içindir. Okunaklı, yormayan ve anlaşılır ifadelerle yazmanız insana değer verdiğinizi gösterir.
1) Transfer fonksiyonu 134)4()2(
)(2
sss
sKsT olan sistem için,
a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)
b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 3’e yakınsıyor. 0K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan)
c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)
d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)
2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin, ���� = �(�) �(�)⁄ transfer fonksiyonunu ve giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz. (25 puan)
3) Transfer fonksiyonu 3
42)(
s
ssH olan sistemin birim basamak tepkisi )(ty
b ’yi yazınız ve çiziniz. Çizimde
��(0�) ve ��(∞) değerleri belli olsun. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı kaça yakınsar? (25 puan)
4) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %2’lik durulma zamanı � = 2 saniye isteniyor. Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı � , sönüm katsayısı , tepe zamanı (�) ne olur? (25 puan)
4)2(%
dt
d
yt
d
pt
n
cos
BAŞARILAR …
-
Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI
10.11.2018
1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: 2z .
Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: 41
p ,
323,2
jp m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.
b) Giriş sinyalinin frekansı için mutlak değerce kazanç
js transfer fonksiyonda yazılıp )( jT şeklinde bulunur.
0 için 0s olacağından sistemin kazancı
3
52
2
134)4(
)2(lim)0(
20
K
sss
sKT
s
ve 0K olduğuna göre 78K =
c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.
d) 52298
2
)(
)()(
23
sss
KKs
sU
sYsT )()2()(52298 23 sUKKssYsss
s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: )(2)()(52)(29)(8)( tKutuKtytytyty &&&&&&&
2) Mekanik sistemde: )()(2 sUsYkbsJsukyybyJbkTJ &&&&&&
kbsJssU
sY
2
1
)(
)(
Elektrik devresinde ise paralel kolun gerilimi Y(s) olup gerilim bölücüden Y(s)=U(s)⸱(ortadaki paralel kolun empedansı) / (toplam empedans)
Ortadaki paralel kolun empedansı sCR
R
RsC
sC
R
22
2
2
2
2
2
11
olduğundan,
sCRsCRsCRsCRsCR
sU
sYsU
RsCR
R
sC
sCR
R
sY
22111222
12
1
22
2
1
22
2
11)(
)()(
1
1
1)(
uCRyyCRCRCRyCCRR
sCRCRCRsCCRR
sCR
sU
sY&&&&
122212112121
221211
2
2121
12
1)(
)(
3) ���0�� = �∞� = 2 , ���+∞� = �0� = 4 3⁄ , kutup = -3
→ ���� = ���+∞� + ����0�� − ���+∞����� = � + �2 −
�� ���
���� = �����
�
-
Veya 3
32
3
41
3
42)(
sss
ssY
b ’ün ters Laplace
dönüşümüyle de ���� bulunabilirdi. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı =
�∞� = 2 olur.
4) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu 22
2
2
2
2
21
)(
)(
n
n
ssKass
K
ass
K
ass
K
sU
sY
Yani Kn , 2a .
11s22s2s2
4)2(%
atd
1s4
a
21
526,2)08.0ln(ln
M
2
22
1646,0
526,2
212srad19,3627,0s2627,0646,1646,0
nnnK
22srad2,10K
rad/s 2,49 rad/s 627,0119,3122
nd
rad894,02,51627,0cos o
� = ��,��,� s = 0,90 s � =�
,�s = 1,26 s
(Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)
SMOK-V-2018-CA-2