kalkulüs - baskent.edu.trtkaracay/etudio/ders/math/genelmath/12vectors.pdf · contents 1 analiz...

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E S ,

O R H A N Ö Z E R , S E R K A N A L I D Ü Z C E

K A L K U L Ü S

N O B E L

Contents

1 Analiz Ögretimi 3

1.1 Iki Milenyum Süren Sorunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Mantık ve Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Tümdengelim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2 Tümevarım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Matematik Dili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

I Ön Bilgiler 31

2 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) 3

2.1 Ön KalKulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Önermeler Cebiri 3

3.1 Iki-degerli Mantık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Matematiksel Mantık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Boole Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Yalın Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Bilesik Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3 Denk Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Önermeler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Operatörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6.1 ∧ Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6.2 ∨ Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Degilleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7.1 Bir Önermenin Degili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7.2 Ise Baglacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7.3 Kosullu Önerme Sonuçları . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8 ∨ Operatörünün Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.1 ∨’nin Esgüçlülügü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.2 ∨’ nin Yer Degisim Özeligi . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.3 ∨’ nin Birlesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.9 Dagılma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10 Bilesik Önermelerin Degillenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10.1 De Morgan Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.11 ⇔: Ancak ve Ancak Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4

3.12 Hepdogru ve Hepyanlıs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.12.1 Karsıt Ters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Kümeler Cebiri 4

4.1 Kümeler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Kapsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2 Evrensel Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Venn Çizenekleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Tümleyen Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2 Bos Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.3 Tek ögeli küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.4 Esit Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.5 Has Alt Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.6 Kuvvet Kümesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.7 Simetrik Fark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Bagıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1 Kartezyen Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.2 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.3 Kartezyen Çarpımın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Analitik Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Bagıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1 Bagıntıların Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.2 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6 Bagıntı Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7 Denklik Bagıntıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7.1 Esitlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.8 Denklik Bagıntısı Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8.1 Denk Ögeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.9 Denklik Sınıfları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.10 Ters Bagıntı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.11 Simetrik Bagıntı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Sayılar 4

5.1 Sayıların Kurulusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Sayıların Sıralanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Dogal Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Dogal Sayıların Kurulusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Peano Belitleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6 Sonlu Tüme Varım Ilkesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.7 Nicelik Sayıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.8 Esgüçlülük . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.9 Sayılabilirlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.10 Sayılamayan Sonsuz Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.11 Gerçel Sayıların Tamlıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.12 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5

6 Rasyonel Üslü Ifadeler 4

6.1 Tamsayı Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.1 Üslü Ifadelerin Özelikleri: . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.2 Negatif Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.3 Benzer Üslü Ifadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2 Rasyonel Kuvvetler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 Üslü Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Alıustırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.5 Üslü Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.6 Alıustırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7 Köklü Ifadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.9 e Sayısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.10 Analitik Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.11 n-sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.12 Kartezyen Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12.1 Ikili ve Çoklu sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12.2 n-sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.13 Analitik Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.14 Kartezyen Çarpımın Genellesmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.15 ALISTIRMALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Denklemler 5

7.1 Dogru deklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.1 Iki noktası bilinen dogru Denklemi: . . . . . . . . . . . 87

7.1.2 Bir noktası ve egimi bilinen dogru Denklemi: . . . . . 88

7.2 Dogrunun Genel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.1 Ikinci Dereceden Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.2 ax2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . . . 89

7.3 ax2 +bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . . . . 89

7.3.1 ax2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . 89

7.3.2 ax2 +bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . 90

7.4 Degisken degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.5 Köklü denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.6 Mutlak Deger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.8 Köklerle Katsayılar Arasındaki Bagıntılar . . . . . . . . . . . . 94

7.8.1 Köklerin Toplamı: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.8.2 Köklerin Çarpımı: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.8.3 Köklerin Farkının Mutlak Degeri: . . . . . . . . . . . . . 95

7.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.10 Ikinci Dereceden Denklemlerin Incelenmesi . . . . . . . . . . 96

7.11 Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.12 Esitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.13 Esitsizlik Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.14 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.15 Ikinci Dereceden Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.16 Parabol Çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6

7.17 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.18 Esitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü . . . . . . . . . . . . 105

7.19 Örnekler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.20 Dogrusal denklem sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Parametrik denklemeler 6

8.1 Egrinin yönü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 kapalı Egri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3 Çember’in Parametrik Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4 Elips’in Parametrik Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.5 Cycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9 Matrisler 6

9.1 Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.1.1 Satır ve Kolon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.2 Matrisin Bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3 Matris Islemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3.1 Matrislerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3.2 Matrislerde Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3.3 Matrisin Sayı ile Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3.4 Matrislerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.3.5 Çarpımın Sırası Degisemez . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.3.6 Ikiden çok matrisin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.3.7 Matrisin Devrigi (transpose) . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.4 Matrislerin Çarpımının Devrigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.4.1 Matrislerde Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.5 Matris Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.1 Kare Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.2 Sıfır Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.3 Kare Matrisin Kösegenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.4 Kare Matrisin Kuvveti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.5 Birim Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.6 Simetrik Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.5.7 Anti Simetrik Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.5.8 Ters Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.5.9 Üçgensel Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.5.10 Matrisin Izi (trace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.6 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.7 Matrisin Uzunlugu (size) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.8 Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.9 Determinant Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.9.1 1×1 Matrislerin determinantı . . . . . . . . . . . . . . 123

9.9.2 2×2 Matrislerinin determinantı . . . . . . . . . . . . . 123

9.9.3 3×3 Matrislerinin determinantı . . . . . . . . . . . . . 124

9.9.4 Sarrus Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.10 Baska Yöntemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.10.1 Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantları . . . . . . 125

9.11 Laplace Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7

9.11.1 Minör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.12 Esçarpan (cofactor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.13 Determinant için Laplace Açılımı . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.14 Determinantların Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.14.1 Sarrus Yöntemiyle Hesap: . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.14.2 Laplace Yöntemiyle Hesap: . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.14.3 Gauss Eleme Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.15 Ters Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.16 Matrisler Üzerinde Ilkel Satır islemleri . . . . . . . . . . . . . . 131

9.17 Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma . . . . . . . . . . 132

9.18 Ekli Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.19 Esçarpan Ile Matrisin tersini Bulma . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.20 Dogrual Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.21 Esçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunusu138

9.22 Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü . . . . 140

9.23 Dogrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü . 141

10 Dogrual Denklem Sistemleri 7

10.0.1 Sonsuz Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.0.2 Tek çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.0.3 Matrislerle Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1 Denk Sistmler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.2 Indirgenmis Satır Esolon Biçimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.3 Esçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunusu148

10.4 Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü . . . . 150

10.5 Dogrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü . 151

10.5.1 Iki Bilinmeyen için Cramer Formülü . . . . . . . . . . . 151

10.5.2 Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü . . . . . . . . . . 153

10.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11 Polinomlar 7

11.1 Bir Belirsizli Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.2 Çok Belirsizli Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11.3 Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama . . . . . . . . . . . . . . 158

11.4 Iki Polinomun Esitligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.5 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.6 Polinomlar Kümesi Üzerinde Islemler . . . . . . . . . . . . . . 160

11.7 Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.8 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.9 Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.10Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.11Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.12Sayıl (skalerle) Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.13Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.14Baslıca Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.14.1 Iki Terim Toplamının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.14.2Iki Terimin Farkının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.14.3Iki Terimin Toplamı Ile Farkının Çarpımı . . . . . . . . 169

8

11.14.4Üç Terim Toplamının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.14.5Iki Terim Toplamının Küpü . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.14.6Iki Terim Farkının Küpü . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.14.7Iki Küp Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.15Iki Terimlinin Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.17Polinomlarda Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

11.18Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11.19Bölme Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.20Çarpan Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.21Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.22Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

11.23Horner Yöntemi ile Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.24Bir Polinomun (x −a)(x −b) Ile Bölünmesinden Elde Edilen

Kalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11.25Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.26Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

11.27Polinomların Çarpanlara Ayrılması . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.28Karmasıkları Basite Indirgemek! . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.29ebob, ekok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.30Cebirsel Ifadeleri Çarpanlara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

11.30.1Ortak Çarpan Parantezine Alma . . . . . . . . . . . . . 201

11.31Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.32Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.33Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.34Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.35Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.36Özdeslikleri Kullanma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.37Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.38Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.39Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.40Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11.41Baslıca Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12 Fonksiyonlar 8

12.1 Foksiyonun Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

12.2 Tek Degerli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.3 Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.4 Fonksiyon Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.1 Esit Foksiyonalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.2 Içine Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.3 Örten Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.4 Bire Bir Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.5 Bire Bir Içine Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.6 Bire Bir Örten Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.7 Sabit Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.8 Sıfır Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.9 Özdeslik Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9

12.5 Kapalı Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

12.6 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

12.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.8 Fonksiyonların Bileskesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

12.9 Bileske Isleminin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.9.1 Yer Degisim Özeligi Yoktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.9.2 Birlesme Özeligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.10Ters Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.11Ters Foksiyonun Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13 Rasyonel Ifadeler 9

13.1 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

13.2 Rasyonel Ifadelerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

13.3 Rasyonel Ifadelerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.4 Rasyonel Ifadelerde Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13.5 Polinom Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13.6 Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü . . . . . . 233

14 Kombinason Ve Permütasyon 9

14.0.1 Kombinasyon (Combination) . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.1 Permütasyon (permutation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.2 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

14.2.1 Kombinarik’in temel formülü . . . . . . . . . . . . . . . 237

14.3 Sayma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

15 Pascal Üçgeni 9

16 Ön Trigonometri 9

16.1 Yönlü Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.2 Yönlü yaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.3 Birim Çember . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4 Açı Ölçü Birimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4.1 Derece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4.2 Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.4.3 Radyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.5 Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.5.1 Simetrik Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.5.2 Simetriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.6 Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri . . . . . . . . . . . . 251

16.7 Özel Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

16.8 Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri . . . . . . . . . . . . . 252

16.8.1 Cosinus Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

16.8.2 Sinus grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

16.8.3 Tanjant Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.9 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.9.1 Arcsinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.9.2 ArcCosinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

10

16.9.3 Arctanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

16.9.4 Arccotanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.10Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.11Periyodik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

16.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

16.13Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.14Fonksiyonun Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15Soldan ve Sagdan Yaklasım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15.1Soldan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15.2Sagdan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15.3Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

16.16Uç Noktalarda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

16.17Karl Weierstrass’ın Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

16.18Örnekler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

16.19Limit Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

16.20belirsiz Biçemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

16.20.1Sonsuzdaki Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

16.21Çözümlü Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

16.22Rasynel Fonksiyonlarda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

16.22.1Sonsuzda Limitin Olmadıgı Durum . . . . . . . . . . . 271

16.22.2Köklü Ifadelerin Sonsuzdaki Limiti . . . . . . . . . . . . 271

16.23Çözümlü Prolemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

26 Integral Alma Yöntemeleri 10

27 Belirsiz Integral 10

27.0.1 Belirsiz Integral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . 305

27.1 Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

27.2 Trigonometrik Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

27.3 Ters Trigonometrik Konumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

27.4 Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

27.5 Rasyonel Fonksiyonların Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . 316

27.5.1 Payda’nın Türevi Pay’a Esitse . . . . . . . . . . . . . . . 316

27.5.2 Basit Kesirlere ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

27.5.3 Payda’da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa . . . . . 320

27.6 Karma problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

27.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

27.8 Ilkel Fonksiyon Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

27.9 Sürekli Fonksiyonların Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

27.10Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

27.11tan θ2 Konumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

27.12Kısmi Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

27.13Polinomların Çarpanlara Ayrılması . . . . . . . . . . . . . . . . 342

27.14Basit Kesirlere Ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

27.15Rasyonel Fonksiyonların Integrallenmesi . . . . . . . . . . . . 345

27.16Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması . . . . . . . . . . . 349

27.17Rasyonellestirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

27.18Köklü Ifadelerin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11

27.19Indirgenme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

27.20Bazı Indirgeme Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

27.21Baglantılı Oranlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

28 Belirsiz Integral 11










28.6 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

28.7 Belirsiz Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

28.8 Calculus’un Birinci Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . 388

28.8.1 Calculus’un 1.Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

28.8.2 Calculus’un Ikinci Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . 388

28.9 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391


28.10Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

28.11Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı . . . . . . . . . . . 391

29 Integral 11

29.1 Integral Kavramı ve Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

29.1.1 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

29.2 Belirli Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

29.3 Calculus’un Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

29.3.1 Calculus’un 1.Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . 401

29.3.2 Calculus’un Ikinci Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . 402

29.4 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404










29.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

29.11Belirli Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

29.12Sayısal Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

29.13Düzlemsel Egrilerin Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

12

30 Integral Alma teknikleri 11


30.2 Integral Alma Yöntemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436


30.4 tan θ2 Konumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

30.5 Kısmi Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

30.6 Logaritmik integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

30.7 Köklü Ifadelerin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

31 Integral Alma teknikleri 12


31.2 Integral Alma Yöntemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

31.3∫

R(si nx,cosx) biçimindeki Integraller . . . . . . . . . . . . . 457

31.4 Indirgenme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

31.5 Bazı Indirgeme Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466


31.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

31.7.1 Arcsinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

31.7.2 ArcCosinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

31.7.3 Arctanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

31.7.4 Arccotanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

31.8 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

31.9∫

R(si nx,cosx) biçimindeki Integraller . . . . . . . . . . . . . 472

31.10Logaritmik integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

31.11Dönel Cisimleri Hacimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

31.12Silindirik Kabuklar Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

31.13Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma . . . . . . . . . . . . . . 482

31.14Örnek Hacim Hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

32 Dogal Logaritma Fonksiyonu 12

32.1 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı . . . . . . . . . . . . 488

32.2 Tanım bölgesini Genisletme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

32.3 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri . . . . . . . . . . 489

32.4 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Grafigi . . . . . . . . . . . . 490

32.5 Logaritmik Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

32.6 Logaritmik Türevin Intrgrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

32.7 Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

32.8 a tabanlı Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

32.9 a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranısı . . . . . . . . . . . . . 492

32.10a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.11a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Integrali . . . . . . . . . . . . . . 493

32.12a Tabanına Göre Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.13l oga x fonksiyonunun özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.14l oga x fonksiyonunun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.15Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

13

33 Kutupsal Koordinatlar 12

33.1 Kutupsal Koordinatlarda Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

33.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

33.3 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri . . . . . . . 503

33.3.1 Merkeze Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

33.3.2 Ox− Eksenine Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 503

33.3.3 O y− Eksenine Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 503

33.4 Grafik Çiziminde Izlenecek Yol: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

33.5 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

33.6 Kutupsal Sistemde Tegetin Egimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

33.7 Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı . . . . . . . . . . . . . . . 507

33.8 Iki kutupsal egri arasında kalan alan . . . . . . . . . . . . . . . 508

33.9 Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . 510

33.10Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler . . . . . . . . . . . . 510

33.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

33.12Parametrik Fonksiyonların Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . 512

33.13Ikinci Basamaktan Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

33.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

33.15Sayısal Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

33.15.1Dikdörten Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

33.16Yamuk Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

33.17Pappus teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

33.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

33.18.1Dairesel Simit’in Yüzeyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

33.18.2Dairesel Simit’in Hacmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

33.19Simpson Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

33.20Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

34 Diziler 13

34.0.1 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

34.0.2 Yakınsak Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

34.1 Aritmetik Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

34.2 Geometrik Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

34.3 Monoton Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

34.4 Alt dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

34.5 Sınırlı dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

34.6 Dizilerde Limit Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

34.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

35 Seriler 13

35.0.1 Kısmi Toplam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

35.1 Yakınsak Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

35.2 Rasyonel Terimli Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

35.3 Özel Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

35.4 Aritmetik Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

35.5 Geometrik Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

35.6 Binom Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

14

35.7 Genellesmis Binom Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

35.8 Serilerin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

35.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

35.10Kuvvet Serilerinin Yakınsaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

35.11Yakınsaklık Aralıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

35.12Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel Islemler . . . . . . . . . . . . 546

35.13Toplama ve Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

35.14Kuvvet Serilerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

35.15Kuvvet Serilerinin Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

35.15.1Alterne Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

35.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

35.17Caucy Dizi ve Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

36 Seriler Için Yakınsaklık Testleri 14

36.1 p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

36.2 Oran Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

36.3 Kök Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

36.4 Integral Testi: p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

36.5 p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

36.6 Karsılastırma Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

36.7 Limit Karsılastırma Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

36.8 Oran Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

36.9 Newton Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

37 Degisken Terimli Seriler 14

37.1 Kuvvet Serilerinin Yakınsaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

37.2 Yakınsaklık Aralıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

37.3 Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel Islemler . . . . . . . . . . . . 579

37.4 Toplama ve Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

37.5 Kuvvet Serilerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

37.6 Kuvvet Serilerinin Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

37.7 Maclaurin Serisi Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

37.8 Düzgün Yakınsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

37.8.1 Fonksiyon Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

37.8.2 Fonksiyon Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

37.8.3 Fonksiyon Dizileri Için Cauchy Kriteri . . . . . . . . . . 589

37.8.4 Fonksiyon Serileri Için Cauchy Kriteri . . . . . . . . . . 590

37.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

37.10Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Integrali . . . . . . . . . . . . . . 592

37.11Dirichlet ve Abel Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

37.12Dirichlet Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

37.13Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi . . . . . . . . . . . 599

37.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

37.15Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

37.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

37.17Kuvvet Serilerinin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

37.18Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . 606

37.19Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

15

37.20Serilerin Yaklasık Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

37.21Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

38 Vektörler 15

38.1 Vektör Uzayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

38.2 Simgeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

38.3 Denk Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

38.4 Vektörlerin Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

38.5 Vektör Uzayında Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

38.5.1 Sıfır Vektörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

38.6 Vektörlerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

38.6.1 Toplamanın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

38.7 Vektörlerde Çıkarma Islemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

38.8 Vektörün Sayı ile Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

38.9 Birim Vektör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

38.10Dogrultu Açıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

38.11Analitik Geometriye Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

38.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

38.13Bilesenlerle Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

38.14Nokta Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

38.15Izdüsüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

38.15.1Izdüsümün Genellenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

38.16Iki Vektör Arasındaki Açı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

38.17Iki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü . . . . . . . . . . . . . . . 624

38.18Iki Vektörün Birbirine Dikligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

38.18.1Üçgen Esitsizligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

38.19Uzayda Dogru ve Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

38.20Iki noktası Verilen Dogru Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 626

38.21Noktanın Dogruya Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

38.22Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

38.23Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . 628

38.24Noktanın Düzleme Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

38.25Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

38.26Vektörel Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

38.27Vektörel Çarpımın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

38.28VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları . . . . . . . . . . . . . . 632

38.28.1Diklik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

38.28.2Alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

38.29Üçlü Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

38.30Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

38.31Uzayda Dogru ve Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

38.32Iki noktası Verilen Dogru Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 635

38.33Noktanın Dogruya Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

38.34Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

38.35Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . 637

38.36Noktanın Düzleme Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

38.37Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

16

32 Katlı Integral 15

32.1 Iki Katlı Integralin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

32.2 Ardısık Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

32.3 Katlı Integral Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

32.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

32.5 Katlı integralde degisken degistirme . . . . . . . . . . . . . . . 707

32.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

32.7 Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı . . . . . . . . . . . 711

32.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

32.9 Iki Katlı Integral Ile Hacim hesapları . . . . . . . . . . . . . . . 714

32.10Kutupsal Koordinatlarda Iki Katlı Integraller . . . . . . . . . . 715

32.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

33 Üç Katlı Integraller 16

33.1 Hacim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

33.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

33.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . 725

33.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

33.5 Silindirsel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

33.5.1 Silindir Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

33.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

33.7 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar . . . . . . . . . . . 730

33.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

34 Egrisel Integraller 16

34.1 Düzlemde Egrisel Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

34.2 Uzayda Egrisel Intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

34.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

34.4 Vektör Alanlarının Egrisel Interalleri . . . . . . . . . . . . . . . 743

34.5 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

34.6 Vector Alanını Egrisel Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

34.7 Egrisel Integralle is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

34.8 Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

34.9 Integralin Yoldan Bagımsızlıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

34.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

34.11Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı . . . . . . . . . . 755

34.12Green Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

34.13Green teoemi Ile Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

34.14Aıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

34.15Yüzey Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

34.16Paramertrik Yüzeyin Alanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

34.17Yüzey Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765

34.18Yönlendirilmis Yüzey Üzerinde Integral . . . . . . . . . . . . . 767

34.19Vektör Alanlarının Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

34.20Stokes Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

34.21Divergence Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

34.21.1Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

17

35 Vektör Degerli Fonksiyonlar 16

35.1 Vektör Degerli Fonksiyonlar ve Uzay Egrileri . . . . . . . . . . 777

35.2 Vektör Degerli Fonksiyonların Limiti . . . . . . . . . . . . . . . 778

35.2.1 Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

35.3 Vektör degerli Fonksiyonların Sürekliligi . . . . . . . . . . . . 780

35.4 Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

35.5 Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

35.6 Türev Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

35.7 Vektör degerli Fonksiyonların Tegeti . . . . . . . . . . . . . . . 782

35.8 Düzgün Egri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

35.8.1 Düzgün Egriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

35.9 Vektör Degerli Fonksiyonların integrali . . . . . . . . . . . . . 783

35.9.1 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

35.9.2 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

35.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

35.11Egri Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

35.12Egrilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

35.13Egrilik Çemberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

35.14Normal ve Ikinci Normal Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . 790

35.15Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

35.16Uzayda Hareket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

35.17Kepler Yasaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

35.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

36 Konikler 17

36.1 Koniklerin Adlandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

36.2 Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri . . . . . . . . . . 795

36.3 Koniklerin Kartezyen Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

36.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

36.5 Ikinci Dereceden Yüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

36.6 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

36.7 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

36.8 Hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

36.9 Eliptik Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

36.10Eliptik Koni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

36.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

37 Fiziksel uygulamalar 17

37.1 Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi . . . . . . . . . . . . . . . . 807

37.2 Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 807

37.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.4 Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.5 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.6 Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.7 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

37.7.1 Noktaya Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

37.7.2 Dogru üzerinde Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

18

37.8 Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

37.9 Noktanın Eksene Göre Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

37.10Düzleme Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

37.11Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti . . . . . . . 815

37.12Bir Yayın Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

37.13Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

37.14Üç Katlı Integral Ile Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

37.15Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . 818

37.16Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 819

37.17Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

37.18Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

37.19Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

37.20Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

37.21Work (Is) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

38 Diferensiyel denklemler 18

38.1 Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler827

38.2 Özel ve Genel Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828

38.3 Tek Degiskenli Diferensiyel Denklemler . . . . . . . . . . . . . 828

38.4 Denklemin Dogrusala Dönüsmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 830

39 Diferensiyel Denklemler 18

39.1 Tek Degiskenli Diferensiyel Denklemler . . . . . . . . . . . . . 831

39.2 Tam Diferensiyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833

39.3 Degiskenlerine Ayrılabilir Denklemler . . . . . . . . . . . . . . 840

39.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843

39.5 Integral Çarpanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

39.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852

39.7 Birinci Basamaktan Homojen denklemeler . . . . . . . . . . . 854

39.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

39.9 Birinci Basamaktan Dogrusal Diferensiyel Denklemler . . . . 864

39.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

39.11Tam Diferensiyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

39.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

39.13Degiskenlerine Ayrılabilir Denklemler . . . . . . . . . . . . . . 876

39.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

39.15Integral Çarpanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

39.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

39.17Birinci Basamaktan Homojen denklemeler . . . . . . . . . . . 889

39.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894

39.19Birinci Basamaktan Dogrusal Diferensiyel Denklemler . . . . 895

39.20Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

39.21Bernoulli Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

39.22Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü . . . . . . . . . . 901

39.23Çözümlü Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

39.24Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

39.25Riccati Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

39.26Clairaut Diferensiyel denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

19

39.27Lagrange Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

39.28Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913

40 Üç Katlı Integraller 19

40.1 Hacim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917

40.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

40.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . 919

40.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

40.5 Silindirsel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

40.6 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar . . . . . . . . . . . 923

40.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926

40.8 Düzensiz Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9 Aralıgın Sonsuz Olması Durumu . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9.1 [a,∞) aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9.2 (−∞, a] aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9.3 (−∞,∞) aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . 928

40.10Aralıgın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: 928

40.10.1Sol Uç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

40.10.2Sag Uç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

40.11Aralıgın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: . . . . . 928

40.12Düzensiz intgralleri karsılastırma: . . . . . . . . . . . . . . . . 929

40.12.1Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937

40.13Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi . . . . . . . . . . . . . . . . 937

40.14Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 938

40.15Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

40.16Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

40.17Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

40.18Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

40.19Sıvı Basıncı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

40.20Work (Is) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

40.21Pappus teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

40.22Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946

40.23Simpson Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

40.24Yamuk Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

40.25Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

40.26Noktaya Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

40.27Dogru üzerinde Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

40.27.1Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

40.28Noktanın Eksene Göre Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

40.29Düzleme Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

40.30Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti . . . . . . . 953

40.31Bir Yayın Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

40.32Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

41 Belirli Integral Uygulamaları 19

41.1 Düzlemsel Egrilerin Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

41.2 Alan hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

41.3 Foksiyonun Orta Degeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961

20

Index 19

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E S ,

O R H A N Ö Z E R , S E R K A N A L I D Ü Z C E

K A L K U L Ü S

N O B E L

38 Vektörler

Vektör kavramı, fiziksel kavram olarak ortaya çıkmıs olsa da matematiksel

sistemlerin temel kavramı olmustur. Gerçekten vektör kavramın gelisimi

matematikçilerden çok fizikçiler ve kimyacılar tarafından gerçeklestir-

ilmistir.

Klasik fizikte iki türlü nicelik kullanılır:

1. Sayısal (skalar) nicelikler

2. Vektörel nicelikler

Sekil 38.1: Yön-boy-dogrultu

Sayısal nicelikler, ölçümlerde sayısal degerinden baska bir nitelik

tasımayan ögelerdir. Daha açık deyisle, yalnız sayısal nitelik tasıyan ögel-

erdir ki bunlar bildigimiz sayılardır. Vektörler ise büyüklük, dogrultu ve

yön niteligini tasıyan ögelerdir. Vektörün büyüklügü onun uzunlugudur

(boy) ve sayısal bir niteliktir. Dogrultu uzaydaki konumunu belirler. Yön

ise, üzerinde bulundugu dogrultuya göre pozitif ya da negatif tarafa

yönlenmesidir. Vektör düzlemde ya da uzayda hangi dogru üzerinde

ise, vektörün dogrultusu odur. Çogunlukla o dogrutuya tasıyıcı dogru

diyoruz. Tasıyıcı dogru üzerinde pozitif ve negatif olmak üzere iki yön

belirlenebilir.

Her vektörün tasıyıcı dogru üzeride bir baslangıç ve bir bitim noktası

vardır. Baslangıçtan bitime dogru olan yön vektörün yönüdür.

Fiziksel kaynakların çogu, vektörün yönü ile dogrultusunu aynı

sayarlar. Uzayda vektör çizilince tasıyıcı dogrusu da belirli olacagı için

bu yaklasım kabul edilebilir. Ama fizikte vektör alanı diye geçen kavramı,

matematikte vektörler üzerindeki bir denklik sınıfı olarak tanımlayacagız.

38.1 Vektör Uzayı

Dogrusal cebir, vektörleri fiziksel nitelikleriyle tanımlamak yerine, on-

ların sagladıgı cebirsel özeliklerle ilgilenir. Böylece fiziksel ortama baglı

olmayan soyut bir matematiksel sistem ortaya konabilir. Uygulamacı bu

soyut sistemi alıp kendi isine uyarlayabilir.

V bos olmayan bir küme R gerçel sayı kümesi olsun. V kümesi asagı-

daki kosulları saglıyorsa bir gerçel vektör uzayıdır:

Her u, v , w ∈V ve her α,β ∈R için asagıdaki özelikler saglanır

1. V kümesi toplama (+) islemine göre bir Abel grubudur:

(a) u, v ∈V ise u + v ∈V

(b) u + (v +w) = (u + v)+w (Birlesme özeligi)

614 Vektörler

(c) u + v = v +u (yer degisme özeligi)

(d) v +0 = v (birim öge varlıgı)

(e) v − v = 0 (ters öge varlıgı)

2. R×V −→V dönüsümü asagıdaki skalerle çarpma özeliklerini saglar:

(a) α(βv) = (αβ)v (uyumluluk)

(b) 1v = v (skaler çarpımın birimi)

(c) α(u + v) = αu +αv (skaler çarpımın vektör toplamı üzerine

dagılımı)

(d) (α+β)v =αv +βv (skaler toplamın vektörle çarpımının dagılımı)

11~v

38.2 Simgeler

Fiziksel uygulamalarda a vektörünün ~v , v gibi simgelerle gösterilmesi

gelenek halini almıstır. Yalınlıgı saglamak için bazı bazı kaynaklarda

v vektörü v gibi koyu yazılır. Matematikte, tipografik nedenlerle ok

gösterminden sakınılır. Vektör, V uzayının bir ögesi olarak alınır ve

normal harflerle gösterilir.

Bu kitapta v , ~v ve v gösterimleri es anlamlı kullanılacaktır. ~v vek-

törünün uzulugunu, yazılıs kolaylıgına baglı olarak v, |v| ya da |~v | simge-

siyle gösterecegiz. her durumda vektör ile uzunlugu gösterimlerde belirli

olacak, bir karısıklık dogmayacaktır.

38.3 Denk Vektörler

Uzayda bir ~a = −→AB vektörünü dogrultu, yön ve uzunlugunu koruyarak

O(0,0) baslangıç noktasına kaydıralım. Kaydırma sonunda elde edilen

~a = −−→OP vektörü ile ~a = −→

AB vektörü arasında bir denklik bagıntısı vardır:

Dogrultuları paralel, yönleri ve uzulukları aynıdır.

Sekil 38.2: denklik

Bunu genellestirelim:

Tanım 38.1. Uzayda bütün vektörlerin olusturdugu kümeyi V ile göstere-

lim. V kümesi üzerinde dogrultuları paralel, yönleri aynı ve uzunlukları

esit olan vektörleri birbirlerine denk sayan bir bagıntı kuralım. Bu bagıntı

V kümesi üzerinde bir denklik bagıntısıdır. Bu bagıntıya ait her denklik

sınıfına bir vektör diyecegiz.

Buradaki denklik sınıfı, fizikte kullanılan vektör alanı kavramıdır.

Görsel kolaylık saglamak için, denklik sınıfları içinden, baslangıç

noktaları koordinat sisteminin O baslangıç noktasıyla çakısan temsilcileri

seçelim. Baslangıç noktası O(0,0) ve bitim noktası P (x, y) olan vektörü ~a,

AB vektörünü−→AB ile ve ~a vektörünün uzunlugunu |~a| ile gösterelim.

38.4 Vektörlerin Gösterimi

Sekil 38.3: Iki boyutlu vektör

Dikey kartezyen koordinat sisteminde bir ~v vektörü Sekil (38.3)’deki gibi

ya da Sekil 38.9’deki gibi gösterilir. ~v vektörünün bir tasıyıcısı (dogrultu),

38.5 Vektör Uzayında Islemler 615

A baslangıç noktası, B bitim noktası ve A noktasından B noktasına

yönlendigini belli etmek için B noktasının oldugu yöne konulan ok

simgesi var. Genellikle ~v vektörünü

~v =−→AB (38.1)

simgesiyle, v vektörünün uzunlugunu

v = |v | = |−→AB | (38.2)

simgesiyle gösteririz.

38.5 Vektör Uzayında Islemler

Vektör uzayı natematiksel bir yapıdır. Genellikle, matematiksel yapılar

üzerine sayılardakine benzer operatörleri tanımlamak isteriz. Vektör

uzayında toplama ve çıkarma islemlerini basit geometrik yorumlarla

tanımlayabiliyoruz. Vektörler üzerinde biraz sonra anlatacagımız üç

çarpma islemi tanımlanabiliyor. Bölme islemi tanımsızdır.

38.5.1 Sıfır Vektörü

Sekil 38.4: Sıfır vektör

Uzunlugu 0 ve yönü olmayan vektördür.~0 ile gösterilir. Bu vektörü

baslangıç noktasına konulmus bir nokta olarak düsünebiliriz. Sıfır

vektörü ait oldugu vektör uzayında sayılardaki sıfırın rolünü oynar.

Uzunlugu ve yönü olmadıgı için toplandıgı ya da çıkarıldıgı vektörün

uzunlugunu ve yönünü degistirmez. Sıfır vektörü toplamsal V grubunun

birim ögesidir; yani her ~v vektörü için

~v +~0 =~v (38.3)

olur.

38.6 Vektörlerin Toplamı

Vektörlerin toplamı için sayılarda kullanılan artı (+) operatörü kullanılır.

Tabii, bu operatörün sayılardaki toplama isleminden farklı bir isleve

sahip oldugunu söylemeye gerek yok. ~a = −−→O A ile~b = −−→

OB vektörlerinin

toplamı

~a +~b =−−−−→(a +b),

−−→O A+−−→

OB =−−−−−−−→AB +C D (38.4)

biçiminlerinden birisiyle gösterilir.

Sekil 38.5: Vektörlerin Toplmamı

Vektör uzayı bir grup oldugu için toplama ilemine kapalıdır; yani

a,b ∈V ise a +b ∈V olacaktır.

Toplama isleminin geometrik yorumu: Sekil (38.5)’den görüldügü gibi

~a ile~b vektörlerini toplarken ~a vektörünün bitim noktasına~b vektörü

eklenir. Ekleme islemi yapılırken vektörlerin dogrultu, yön ve uzunlukları

korunur. Böylece ~a +~b vektörü OACB parelelkenarının kösegeni olur.

Vektör toplamı için kullandıgımız artı (+) simgesi sayıların toplamında

kullandıgımız simge ile aynıdır, ama islevleri farklıdır. Tabii, vektör

toplamı sayılardaki toplamdan farklı oldugu için farklı bir simge kul-

lanılabilirdi. Ama bütün toplamsal gruplarda (+) sembolünü kullanmak

gelenektir; bu gelenek algıyı ve ögrenmeyi kolaylastırır.

616 Vektörler

38.6.1 Toplamanın Özelikleri

Birlesme Toplamsal gruplarda birlesme özeliginin varlıgını biliyoruz. V

vektör uzayı da artı operatörüne göre toplamsal bir grup oldugundan

a + (b + c) = (a +b)+ c (38.5)

birlesme özeligini saglar. Böyle oldugunu sekil çizerek geometrik olarak

görebilirsiniz.

Üçgen Esitsizligi a,b ∈V ise

|a +b| ≤ |a|+ |b| (38.6)

bagıntısı vardır. Buna üçgen esitsizligi denilir. Üçgen esitsizligindeki

ögelerin sayısal (skalar) olduguna dikkat ediniz.

Toplamaya Göre Birim Vektör Sıfır~0 vektörü toplma isleminin birimidir.

Çünkü her ~v vektörü için

~v +~0 =~vdir.

Sekil 38.6: Vektörün TersiVektörün tersi Toplamsal V grubunun her ~v ögesinin toplama islemine

göre −~v ile gösterilen bir ters ögesi vardır:

~v + (−~v) =~0 (38.7)

olur.

38.7 Vektörlerde Çıkarma Islemi

Iki vektörün farkını sayılardaki gibi tanımlarız. her a,b ∈V için

~a + (−~b) =~a −~b (38.8)

yazılır. Buradan hemen su sonuç çıkar:

~a + (−~a) =~0 (38.9)

Sekil 38.7: Çıkarma:~a −~b

Sekil 38.8: ~u −~v farkı

38.8 Vektörün Sayı ile Çarpımı

~v bir vektör ve α bir gerçel sayı ise α~v sayıl (skalar) çarpımının, R×V →V

isleminin bir sonucu oldugunu biliyoruz. Buradaki α sayısına sayıl

(skalar) denir.

• Sayıl çarpım vektörün uzunlugunu α katına uzatır.

• Sayıl çarpım vektörün dogrultusunu degistirmez.

• Pozitif sayı ile çarpılınca vektörün yönü degismez.

• Negatif sayı ile çarpılınca vektörün yönü tersine döner.

• α> 1 ise vektörün uzunlugu artar: |~v | < |α~v |.

38.9 Birim Vektör 617

• α= 1 ise vektörün uzunlugu degismez: |~v | = |α~v |.

• α< 1 ise vektörün uzunlugu azalır: |~v | > |α~v |.

Sayıl çarpım

(α+β)~a =α~a +β~aα(~a +~b) =α~a +α~b (38.10)

esitliklerini saglar.

38.9 Birim Vektör

Uzunlugu 1 olan vektöre birim vektör denilir. Geometrik anlamada,

uzunluk ölçü biriminin ne oldugu önem tasımaz, çünkü bütün uzunluk

ölçü biriemlei birbirlerine dönüstürülebilir.

Her ~a vektörünü kendi uzunluguna bölerek birim vektör elde edilebilir.

Dolayısıyla her dogrultuda birim vektör vardır.

~a

|~a| =1

|~a|~a (a 6= 0) (38.11)

Kolayca görülecegi gibi

| ~a|~a| | =1

|~a| |~a| = 1

Fizikte ve analitik geometride, çogunlukla vektör ok seklinde bir

dogru parçası ile gösterilir. Buraya kadar söylediklerimizin fiziksel ya da

geometrik yorumları kolayca yapılabilir.

1. Aynı yön ve aynı büyüklüge sahip iki veköre esit vektörler denilir.

2. ~v vektörü ile ters yönlü ama esit uzunlukta olan ~−v vektörüne ~v

vektörünün tersi denilir.

3. ~v =λ~u ise bu iki vektör birbirine paraleldir. Paralel vektörlerin tasıyıcı

dogruları birbirlerine paralel olur.

4. Tasıyıcı dogruları birbirlerine dik olan iki vektör birbirlerine diktir.

5. Baslangıç noktası O ’da olan vektörlere yer vektörü denilir.

38.10 Dogrultu Açıları

Üç boyutlu uzayda vektörün koordinat eksenleriyle yaptıgı α,β,γ

açılarına dogrultu açıları, bu açıların ölçümleri de dogrultu kosinüs-

leri diye adlandırılır.

Sekil 38.9: Dogrultu Açıları

Dogultu açıları belli olan vektörün yönü ve dogrultusu belli olur.

Koordinat eksenleri üzerindekii , j ,k birim dikey sistemini kullanarak,

dogrultu açılarını bulabiliriz: Her hangi bir ~a için

cosα= ~a.i

||a|||i || =~a.i

||a||cosβ= ~a. j

||a||| j || =~a. j

||a||cosγ= ~a.k

||a|||k|| =~a.k

||a||

618 Vektörler

x = ||a||cosα, y = ||a||cosβ, z = ||a||cosγ

dersek, ~a vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüsümlerinin

uzunluklarını buluruz. α,β,γ açılarının kosinüsleri sayısal olark bulun-

abilir. Bu sayılara dogrultu kosinüsleri denilir.

Bir ~a vektörünün dogrultu kosinüslerinin kareleri toplamı daima 1

olur:

cos2α+cos2β+cos2γ= 1

||a|| (x2 + y2 + z2) = 1

olur. Çünkü ||a|| =√

x2 + y2 + z2dir.

38.11 Analitik Geometriye Giris

Vektörlerin daha yararlı kullanılabilmesi için onlar üzerinde geometriye

dayanmayan cebirsel islemlerin tanımlanması gerekir. Bunu yapmak

çok kolaydır. Vektör uzaylarında yaptıgımız denklik sınıfları tanımına

göre, her vektörü yer vektörü gibi düsünebiliriz. Yer vektörlerini bitim

noktalarının koordinatları cinsinden yazabiliriz.

Algıyı kolaylastırmak için düzlemsel vektörleri düsünelim. ~v vek-

törünün bitim noktasını (vx , vy ) koordinatları ile gösterirsek, bitim

noktaları ile vektörler arasında bire-bir bir eslesim kurulabilir.

~v ←→ (vx , vy )

Ox− ekseni üzerinde birim vektörü~i ile ve O y− üzerindeki birim vektörü~j ile gösterelim. Bitim noktasının Ox− ekseni üzerindeki izdüsümüne

karsılık gelen yatay vektör x~i ve bitim noktasının O y− ekseni üzerindeki

izdüsümüne karsılık gelen düsey vektörü y~j ile gösterelim.

~v = vx~i + vy~j (38.12)

dir.

Sekil 38.10: Orthonormal Taban

Düzlemdeki her ~v vektörü için bu eslesmeyi yapabiliriz. Dolayısıyla

her vektörü~i ile ~j birim vektörlerinin katlarının toplamı cinsinden yaz-

abiliriz. Buna dogrusal bilesim deniyor. Bu eslesme olaganüstü kolaylık

saglar. Düzlemdeki bütün vektörleri iki vektörün toplamı olarak ifade

edebiliyoruz. Bu kolaylıgı saglayan {~i ,~j } birim vektörlerine düzlemsel

vektörlerin bir dikey birimsel tabanı (orthomormal base) denilir. {~i ,~j }

vektölerinin uzunlukları ||i || = || j || = 1dir ve birbirlerine diktirler. Dikligi

i ⊥ j simgesiyle gösterecegiz. (38.12) ifadesinden sunlar çıkar:

v = |~v | =√

(vx )2 + (vy )2 (38.13)

~v =−−→OP vektörünün Ox− ekseni ile yaptıgı açı θ ise

x = |~v |cosθ = vcosθ, y = |~v |si nθ = v si nθ (38.14)

olur. (38.12) ifadesinde vx , vy sayılarına, sırasıyla, ~v vektörünün birinci ve

ikinci bilesenleri denilir.

Yüksek boyutlu uzaylarda da geçerli olan bu formülü n-boyutlu V n

vektör uzayına genellestirelim:

38.12 Alıstırmalar 619

Tanım 38.2. V n vektör uzayında

{~e1,~e2,~e3, . . .~en} (38.15)

vektörleri verilsin.

1. i 6= j ⇒~ei ⊥~e j

2. |~ei | = 1 (i = 1,2, . . . ,n)

3. V n vektör uzayına ait her ~v vektörü için

~v =n∑

i=1αi~ei (38.16)

olacak sekilde hepsi aynı anda sıfır olmayan

α1,α2,α3, . . . ,αn (38.17)

katsayıları varsa, (38.15) vektörlerine V n vektör uzayının dikey birimsel

bir tabanıdır (orthonormal base) denilir.

Bu durumda, (38.20)’ye {ei } sisteminin bir dogrusal bilesimi (linear

combination), (38.17) sayılrına ~v vektörünün {ei } tabanına göre bilesen

katsayıları denilir. {ei } tabanı belirli oldugu zaman tabanın kim oldugunu

söylemek gerekmez. Ayrıca, belirli bir taban için bilesen katsayıları tek

olarak belirli olugundan, (38.20) toplamı yerine,

{αi } = (α1,α2,α3, . . . ,αn) (38.18)

katsayılar vektörünü kullanabiliriz. Bunu yapmak, özellikle, vektörler

üzerinde cebirsel islemler yapmayı kolaylastıracaktır. (38.20)’deki ~v

vektörünün uzunlugu

|~v |2 =n∑

i=1α2

i (38.19)

ile tanımlıdır.

αi katsayılarının hepsi birden sıfır olmadan (38.20) dogrusal bilesmi~0

vektörüne esitse,n∑

i=1αi~ai =~0 (38.20)

oluyorsa, ai (i = 1,2, . . . ,n) vektörlerine dogrusal bagımlıdır (linear

dependent) denilir. Bu durumda ai vektörlerinden her hangi birisi

ötekiler cinsinden yazılabilir. Dogrusal bagımlı olmayan vektörlere

dogrusal bagımsız vektörler denilir. Dogrusal bagımsız vektörlerden hiç

birisi ötekiler cinsinden yazılamaz.

38.12 Alıstırmalar

1. ~a = (1,0,3) vektörünün uzunlugunu bulunuz.

2. Uç noktaları P1(2,3,5) ve P2(3,0,7) olan−−−→P1P2 vektörünün uzunlugunu

bulunuz.

3. Düzlemdeki a(x, y) noktası için ~a =−−→O A vektörünü, düzlemdeki dikey

birimsel taban cinsinden yazınız.

620 Vektörler

4. ~v = 2i − j − 2k vektörüyle aynı yön ve dogrultudaki birim vektörü

bulunuz.

5. P1(3,−2,0) ve P2(7,4,4) noktalarını birlestiren dogru parçasının orta

noktasını bulunuz.

6. ~a = (a1, a2, a3),~b = (b1,b2,b3),~c = (c1,c2,c3) vektörlerinin bitim

noktalarını köse kabul eden ABC üçgenin kenar ortaylarının kesisim

noktasının

(x2, x2, x3) =(

a1 +b1 + c1

3,

a2 +b2 + c2

3,

a3 +b3 + c3

3

)oldugunu gösteriniz.

7. ~u = (2,3,4) ve ve ~v = (−2,1,3) ise ~u +~v , 2~u ve 2~u + 3~v vektörlerini

bulunuz.

8. ~u = (1,0,3),~v = (−1,2,3), ~w = (0,1,2) veriliyor. ~a = (−2,6,1) vektörünü

~u = (1,0,3),~v = (−1,2,3), ~w = (0,1,2) vektörlerinin dogrusal bilesimi

olarak yazınız.

9. A(2,4),B(−3,2) ise−→AB ile aynı dogrultu ve aynı yönde olan birim

vektörü yazınız.

38.13 Bilesenlerle Islemler

Daha önce tanımladıgımız vektörlerin toplamını ve sayıl çarpımını

bilesenler cinsinden ifade edebiliriz:

~a = a1~e1 +a2~e2 +·· ·+an~en (38.21)

~b = b1~e1 +b2~e2 +·· ·+bb~en (38.22)

olmak üzere, ~a +~b vektör toplamını bilesenlerinin toplamı cinsinden

yazabiliriz.

~a +~b = (a1 +b1)~e1 + (a2 +b2)~e2 +·· ·+λan~en +λbn~en (38.23)

dir. Benzer olarak, bir vektörün bir sayı ile çarpımı, o sayı ile bilesen-

lerinin çarpımı cinsinden yazılabilir:

λ~a =λa1~e1 +λa2~e2 +·· ·λan~en (λsabit ) (38.24)

Bu esitlikler vektör toplamı ve sayıl çarpımı tanımından görülebilir.

Asagıdaki bagıntılar apaçıktır:

−~a =−a1~e1 −a2~e2 −·· ·−an~en (38.25)

~a −~b = (a1 −b1)~e1 + (a2 −b2)~e2 +·· · (an −bn)~en (38.26)

|~a| =√

a21 +a2

2 +·· ·+a2n (38.27)

38.14 Nokta Çarpım 621

Önce de söyledigimiz gibi, islemlerde kısalıgı saglamak için, ~a yerine

(38.18) vektörünü kullanırız: Bu durumda

−~a = (−a1,−a2, . . . ,−an)

λ~a = (λa1,λa2, . . . ,λan)

~a +~b = (a1 +b1, a2 +b2, · · · , an +bn)

~a −~b = (a1 −b1, a2 −b2, . . . , an −bn)

~a =~b ⇔ (a1 = b1)∧ (a2 = b2)∧ (an = bn)

~a =~0 ⇔ (a1 = 0)∧ (a2 = 0)∧ . . .∧ (an = 0)

bagıntıları geçerlidir.

38.14 Nokta Çarpım

Skaler Çarpma

Vektörler üzerinde toplama, çıkarma ve sayı ile çarpma islemlerini

tanımladık. Meraklı ögrenciler su soruyu sorabilirler: Vektörler üzerinde

çarpma ve bölme islemleri tanımlı degil mi? Bu soruya verilecek yanıt

hayır olacaktır. Vektörler üzerinde sayılardakine benzer çarpma ve

bölme islemleri yoktur. Onun yerine vektörler üzerinde iki çarpma islemi

tanımlanır. Bunlardan birincisi olan nokta çarpım (skaler çarpım) sayısal

deger verir ve bir vektörün baska bir vektör üzerine izdüsümünü belirler.

Ikinci çarpma islemi vektörel çarpım adını alır, çarpılan vektörlerin

düzlemine dikey olan yeni bir vektör yaratır.

Tanım 38.3. ~a ile~b n-boyutly Rn öklit uzayında iki vektör olsun. Bu vek-

törlerinin ~a.~b simgesiyle gösterilen nokta çarpımı, karsılıklı bilesenlerinin

birbirleriyle çarpımlarının toplamına esittir:

~a.~b = a1.b1 +a2.b2 +·· ·+an .bn (38.28)

Bu durumda nokta çarpım (.) operatörü Rn ×Rn kartezyen çarpımından R

gerçel sayılar kümesine bir dönüsümdür:

. : Rn ×Rn −→R (38.29)

Dönüsümün degeri sayısal oldugu için, bazı kaynalar ona skaler çarpım

der. Notasyonları yalınlastırmak için vektör üzerine ok isaretini koymaya-

cagız.

Asagıdaki bagıntılar kolayca görülebilir:

~a.~a ≥ 0

~a.~a = 0 ⇐⇒~a = 0

~a.~b =~b.~a

(α~a).(β~b) = (αβ)~a.~b

~a.(~b +~c) =~a.~b +~a.~c

(~a.+~b).~c =~a.~c +~b.~c

α(~a.+~b) = (α~a).~b =~a(α~b)

~ei .~ei = 1, (i = 1,2, . . . ,n)~i .~j = 0(i 6= j ) (38.30)

622 Vektörler

Teorem 38.4. ~a ile~b vektörleri arasındakis açı θ ise, ~a.~b = |~a|.~b|cosθ olur.

Buradan

~a.~b = |~a|.|~b|cosθ

|~a.~b| = |~a|.|~b|.|cosθ| (cosθ ≤ 1)

|~a.~b| ≤ |~a|.|~b|

çıkar. Son esitsizlik ünlü Cauchy-Schwarz esitsizliginin özel bir halidir.

Ayrıca ikinci satırdan, iki vektör arsındaki açı formülü çıkar:

cosθ = ~a.~b

|~a|.|~b|(38.31)

38.15 Izdüsüm

~a ile~b vektörleri arasındaki açı θ ise, ~a vektörünün~b üzerine izdüsümünün

uzunlugu

λ= |~a|cosθ (38.32)

sayısıdır. |OB | dogru parçasını−−→OB vektörü olarak ifade etmek istersek,

~b||b|| birim vectörünün λ katını alabiliriz:

−−→OB = (|~a|cosθ)

~b

||b|| =λ(~b

||b|| )

yazabiliriz.

Sekil 38.11: Iki vektör arasındaki açı 38.15.1 Izdüsümün Genellenmesi

Düzlemsel durum için yukarı ifade ettigimiz sonucu n− boyutlu uzaylara

genellestirebiliriz:

~a ile~b vektörleri Rn Öklit uzayına ait olsunlar. ~a vektörünün~b vektörü

üzerine izdüsümü olan vektörü i zdb a simgesiyle gösterelim. ~a − i zdb a

vektörünün~b vektörüne dik olacagı açıktır.~b vektörü ile aynı dogrultu

ve yöne sahip her vektör~b vektörünün bir katı olur. O halde i zdb a = λb

olacak sekilde bir λ sayısı vardır. (~a − i zdb a) ⊥~b oldugundan bu ikisinin

nokta çarpımı sıfırdır:

0 = (~a −λ~b).~b

0 = (~a.~b)−λ(~b.~b)

λ= ~a.~b~b.~b

= ~a.~b

||b||2

Uzunlugu λ olan~b yönündeki, vektör

i zdb a = ~a.~b

||~b||2.~b

||b||

38.16 Iki Vektör Arasındaki Açı 623

olur.~b.~b = ||~b||2 oldugundan

i zdb a =(

~a.~b

||~a||.||~b||

)~b

=(~a.~b

||~b||

)~b

||~b||olur. Eger ~ub vektörü~b nin yön ve dogrultusunda birim vektör ise,

i zdb a = (~a.~b)~ub

olacaktır.

Teorem 38.5. Cauchy-Schwarz esitsizligi: n− boyutlu Rn Öklit uzayındaki

(38.21) vektörleri için

|~a.~b| ≤ ||~a||.||~b|| (38.33)

bagıntısı vardır.

Kanıt:~b = 0 ise bagıntının saglanacagı apaçıktır.~b 6=~0 ise esitsizligin

iki yanını ||~b|| sayısı ile bölebiliriz. Buradan,∣∣∣∣∣~a.

(~b

||b||

)∣∣∣∣∣≤ ||a||

çıkar.(~b||b||

)birim vektör oldugundan, teoremin kanıtı, ~u birim vektör

olmak üzere,

|~a.~u| ≤ ||~a||esitsizliginin kanıtlanmasına indirgenmis olur. Simdi bunu gösterelim:

~a.~u’nun bir sayı oldugunu düsünerek ~u.~u = ||u||2 = 1 yazabiliriz. Bunu

kullanırsak,

0 ≤ ||~a − (~a − (~a.~u)~u||2

≤ [~a − (~a.~u)~u] . [~a − (~a.~u)~u]

≤~a.~a −~a.[(~a.~u)~u]− [(~a.~u)~u].~u + [(~a.~u)~u].[(~a.~u)~u]

≤ ||~a||2 −2(~a.~u)2 + (~a.~u)2, (~u.~u = ||~u||2 = 1)

≤ ||~a||2 − (~a.~u)2

çıkar. Son satırı

~a.~u ≤ ||~a||2

biçiminde yazıp iki yanın karekökü alınırsa, amaçlanan esitsizlik elde

edilir.

38.16 Iki Vektör Arasındaki Açı

n− boyutlu Rn Öklit uzayındaki (38.21) vektörleri arasındaki açıya θ

diyelim. Cauchy-Schwarz esitsizliginden

−||a||.||b|| ≤~a.~b ≤ ||a||.||b||⇔−1 ≤ ~a.~b

||a||.||b|| ≤ 1

yazılabilir. [−1,1] aralıgındaki her sayı bir açının kosinüsüdür. O halde

cosθ = ~a.~b

||a||.||b|| (38.34)

624 Vektörler

esitligini saglayan bir θ açısı vardır. Bu açıya ~a ile~b vektörleri arasındaki

açı diyoruz.

Bu tanım, iki ve üç boyut için geometrik gösterimlere uyar. Dolayısıyla,

bu tanımı yüksek boyutlara bir genisleme olarak kabul etmek gerekir.

Sekil 38.12: Iki Vektör Arasındaki Açı

38.17 Iki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü

Iki ya da üç boyutlu Öklit uzayında iki vektör (ya da iki dogru) arasındaki

açının ölçümü çok kullanılır. Bunu yüksek boyutlara genellestirmek

mümkündür:

~a.~b = ||a||.||b||cosθ (38.35)

formülünü daha önce çıkarmıstık. Bu formülün 2 ve 3 boyuttaki ge-

ometrik açıklaması kolayca yapılabilir. Dolayısıyla, (38.35) formülünü

yüksek boyutlara dogal bir genellestirme olarak düsünebiliriz.

Bu formülde, seçilen koordinat sisteminin hiç bir rolü olmadıgı,

dolayısıyla iki vektör araındaki açının ölçümünün degismez (invariant)

kaldıgı gözlenebilir.22~a ⊥~b ⇔ (~a.~b = 0)

38.18 Iki Vektörün Birbirine Dikligi

~a ile~b arasındaki açı θ = 90o ya da denk olarak θ = π2 radyan ise ~a ile

~b vektörlerine birbirlerine dik iki vektör diyecek ve ~a ⊥ ~b simgesiyle

38.18 Iki Vektörün Birbirine Dikligi 625

gösterecegiz.

~a ile~b vektörleri birbirlerine dik iseler, Formül (38.34)’den nokta

çarpımlarının sıfıra esit oldugu görülebilir

~a ⊥~b ⇔ (~a.~b = 0)

38.18.1 Üçgen Esitsizligi

n− boyutlu Rn Öklit uzayındaki (38.21) vektörlerinin nokta çarpımların-

dan

(~a +~b).(~a +~b) = ||~a +~b||2

yazabiliriz. sag yandaki kareyi hesaplarsak,

||~a +~b||2 = ||~a||2 +2(~a.~b)+||~b||2

çıkar. Sag ortadaki nokta çarpıma Cauchy-Schwarz esitsiliginiuygularsak,

||~a +~b||2 ≤ ||~a||2 +2||~a||.||~b||+ ||~b||2

≤(||~a||+ ||~b||

)2

olur. Son esitsizlikte iki yanın karekökü alırsa

||~a +~b|| ≤ ||~a||+ ||~b|| (38.36)

elde edilir.3 3 Bir karısıklık dogmuyorsa, yazım

kolaylıgı için vektörlerin üzerine oksimgesi konmayabilir.Örnek 38.6. ~u = 2i +3 j +k ile ~v =−i +5 j +k vektörleri arasındaki açıyı

bulunuz.

Çözüm: ||u|| =p

22 +32 +12 = p14, ||v || =

√(−1)2 +52 +12 = p

27

u.v =−2+15+1 = 14 oldugundan, Formil (38.34) uygulanırsa,

cosθ = 14p14.

p27

=p

42

9

çıkar. Buradan, isteniyorsa, trigonometri cetvelinden ya da hesap maki-

nasından,

θ = cos−1

(p42

9

)' 0.77 r ad y an = 44.9o

bulunur.

Örnek 38.7. ~a = 2i +14 j +5k ile~b =−3i − j +4k vektörlerinin birbirlerine

dik oldugunu gösteriniz.

Çözüm: ~a.~b = 2(−3)+14(−1)+5(4) = 0 ⇒~a ⊥~bÖrnek 38.8. ~a = 3i − j +5k vektörünün~b =−2i + j +2k vektörü üzerine

izdüsümünü bulunuz.

Çözüm:

i zdb a = (~a.~b)~b

||b||2 =((3i − j +5k).(2i + j +2k)

).(−2i + j +2k)

9

= 3

9

(−2i + j +2k)

=−2

3i + 1

3j + 2

3k

olur.

626 Vektörler

38.19 Uzayda Dogru ve Düzlem

Teorem 38.9. Uzaydaki bir dogru, üzerideki bir nokta ve dogruya paralel

olan bir vektör yardımıyla tek olarak belirlenebilir.

Sekil 38.13: Uzayda dogru denklemi

Kanıt: Uzayda bir L dogrusu üzeride bir A(x1, y1, z1) noktası ve L

dogrusuna paralel olan bir

~v =−−→OQ, Q(a,b,c), ~v = ai +b j + ck

vekörü verilsin. L dogrusu üzeride gezgin bir P (x, y , z) noktasını düsüne-

lim. ~u = −−→OP olsun.

−→AP vektörü ~v vektörüne paraleldir. Bunu ~v ∥ −→

AP

simgesiyle gösteriyoruz.

−→AP =−−→

OP −−−→O A = (x −x1, y − y1, z − z1)

ve

x−x1 = at , y−y1 = bt ; z−z1 = ct ⇔ x = x1+at , y = y1+bt , z = z1+ct , −∞< t <∞

parametrik denklemi yazılabilir. Her birinden t çekilip esitlenirse,

x −x1

a= y − y1

b= z − z1

c(38.37)

elde edilr. Bu denklemlere dogrunun simetrik denklemleri adı verilir.

Iki boyutlu uzayda dogru denklemini yukarıdak fomülden çıkarabiliriz.

L dogrusu A(x1, y1) noktasından geçiyorsa x = x1 + t a, y = y1 + tb

olacagından ~v 6=~0 oldugunda ya a 6= 0 ya da b 6= 0 olmalıdır. t = x−aa ve

y = y1 + tb’de yerine yazılırsa

y = y1 + b

a(x −x1) (38.38)

elde edilir ki bu düzlemdeki dogru denklemidir.

Örnek 38.10. A(3,−1,2) noktasından geçen ve ~v =−2i +4 j +5k vekörüne

paralel olan dogrunun simetrik denklemini bulunuz.

Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacagız:

−x −3

2= y +1

4= z −2

5

çıkar.

38.20 Iki noktası Verilen Dogru Denklemi

Iki nokta bir dogru belirler. Baska bir deyisle iki noktadan ancak bir dogru

geçer. Bundan yaralanarak dogru üzerindeki A ve B noktaları biliniyora,

dogruyu belirlyebiliriz. Simdi o dogrunun denklemini yazacagız: ~v =−→AB

vektörüne paralel olan ve A noktasından geçen dogrunun simetrik

denklemini biliyoruz.

~v =−→AB = (x2 − z1, y2 − y1, z2 − z1)

vektörü ~v vektörüne paralel oldugundan, (38.37) denklemi

x −x1

x2 −x1= y − y1

y2 − y1= z − z1

z2 − z1

olur.

38.21 Noktanın Dogruya Uzaklıgı 627

Örnek 38.11. A(3,2,1) ve A(1,3,5) noktalarından geçen dogrunun simetrik

denklemini yazınız. Dogrunu x = 0 koordinat düzlemi ile kesim noktasını

bulunuz.


−x −3

1−3= y −2

3−2= z −1

5−1

çıkar.

Çözüm: Yukarıdaki formülden,

x −3

1= y −2

−3= z +1

2

olur. Bu denklemde x = 0 alınırsa,

y −2

−3= z +1

2=−3 ⇒ y = 11, z =−7

çıkar. O halse dogrıunu x = 0 düzlemini deldigi nokta (0,11,−7) nok-

tasıdır.

38.21 Noktanın Dogruya Uzaklıgı

Teorem 38.12. Uzayda bir A(a,b,c) noktasının bir L dogrusuna olan

uzaklıgı, ~v//L ise,

d = |~v ×−→AB |

|~v | (38.39)

dir.

Sekil 38.14: Noktanın dogruya uzaklıgı

Uzayda bir L dogrusu ile bir P (p, q ,r ) noktası verilsin. Dogru üzerinde

bir A(x0, y0, z0) noktası alalım. ~v =−→AP vektörü ile

−→AP vektörü arasındaki

açı α ise,

d = |−→AP |sinα

dır. Buradan,

|~v ×−→AP | = |~v |× |−→AP |sinα

çıkar.

Örnek 38.13. P (5,−3) noktasını 4x+3y −15 = 0 dogrusuna uzaklıgı nedir?

Çözüm: Dogru üzerinde bir P noktası bulup, uzaklık formülünü

uygulamalıyız.En kolay yol, koordinate eksenlerini kestigi noktaları

bulmaktır. x = 0 konulursa, P (0,5 noktası dogrunun Ox eksenini kestigi

nokta olarak bulunur. α açısının sinüsünü bilmedigimiz için, yukarıdaki

formül ile aynı sonucu vereck olan skaler çarpım uygulanırsa

d = |~h ×−→AP | = |~h|.|−→AP |

|~h|= 20−24p

16+9= 4

5

olur.

628 Vektörler

38.22 Düzlem Denklemi

Sekil 38.15: Kesisen iki dogru bir düzlembelirler

Sekil 38.16: Düzlemin normali


Düzlem denklemi, birbirlerine denk farklı yöntemlerle elde edilebilir. Bu

yöntemlerden birisi, uzayda paralel olmayan iki vektör ile bir noktanın

düzlemi belirleyecegi gerçeginden hareket eder. Denklemi aranan dü-

zlem D olsun. P0(x0, y0, z0) düzlem içinde sabit bir nokta ve P (x, y , z) ise

düzlem içinde gezgin bir nokta olsun. Düzlemin normali (düzleme dik

vektör) ~n = ai +b j +ck olsun. ~n normali düzlem içindeki her dogruya dik

oldugundan ~n.−−→P0P = 0 olacaktır.

−−→P0P = (x −x0, y − y0, z − z0) oldugundan

a(x −x0)+b(y − y0)+ c(z − z0) = 0

dır. Buradan,

ax +by + cz +d = 0, d =−ax0 −by0 − cz0) (38.40)

olur ki bu aranan düzlem denklemidir.

Örnek 38.14. P (2,−1,3) noktasından geçen ve ~n = 83,5,7) vektörüne dik

olan düzlem denklemini bulunuz.

Çözüm: Aranan düzlemde gezgin bir P (x, y , z) noktası düsünelim.

~n ⊥−−→P0P oldugundan, skaler çarpımları sıfıra esittir:

3(x −2)+ (−7)(y +1)+5(z −3) = 0

Buradan arana düzlemi

3x −7y +5z −28 = 0

olarak çıkar.

38.23 Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi

Örnek 38.15. P1(2,−1,3), P2(1,2,2), P3(−2,1,1) noktalarından geçen

düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm: Üç noktadan bir düzlem geçtigini biliyoruz. Denklemini

aradıgımız düzlem D olsun. Düzlem içinde iki vektörün vektörel çarpımı,

düzleme dik olan bir vektördür.−−−→P1P2 = (−1,3,−1) ve

−−−→P1P3 = (−4,2,−2)

vektörlerinin vektörel çarpımı,

−−−→P1P2 ×−−−→

P1P3 =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

−1 3 −1

−4 2 −2

∣∣∣∣∣∣∣=−4i +6 j +10k

olur. Bu vektör D düzlemine dik oldugundan, düzlem içindeki−−−→P1P2

vrktörünr diktir. Öyleyse onların skaler çarpımı sıfıra esit olur:

−4(x −2)+6(y +1)+10(z −3) = 0

olur ki buradan düzlemin denklmi olarak,

2x −3y −5z +8 = 0

bulunur.4, 54

5

38.24 Noktanın Düzleme Uzaklıgı 629

Örnek 38.16. x −2y43z −6 = 0, 3x +2y −5z −10 = 0 düzlemlerinin

arakesiti olan L dogrusunun denklemini bulunuz.

Çözüm: Düzlemlerin normalleri, sırasıyla, ~n1 = (1,−2,3), ~n2 =(3,2,−5) dir. Arakesit dogrusu her iki düzlem içinde olacagından, her

ikisinin normaline dik olacaktır: Öyleyse, nomallerin vektörel çarpımı

arakesit dogrusuna paralle olur:

~n1 ×~n2 =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 −2 3

3 2 −5

∣∣∣∣∣∣∣= 4i +14 j +8k

elde edilir. Her iki denklemde z = 0 konularak x y düzlemi ile arakesiti

bulunur.:

x −2y = 6, 3x +2y = 10

denklem sitemi elde edilir. Bu sistem çözülürse x = 4, y =−1 bulunur. O

halde, arakesit dogrusu (4,−1,0) noktasından geçmektedir. Dolayısıyla L

nin simetrik denklemix −4

2= y +1

7= z

4

olacaktır.

Örnek 38.17. 6x +3y −2z = 0, x +2y2z = 0 düzlemleri arasındaki açıyı

bulunuz.

Çözüm: Düzlemlerri arsındaki açı, noralleri arasındaki açıya esittir.

Öyleyse, iki normeal arasındaki açıyı bulacagız.

~n1 = (1,2,2), ~n2 = (1,2,2)ol dugund an,

cosα= ~n1.~n2

|~n1|.|~n2|= 6(1)+3(2)−2(2)√

62 +32 + (−2)2= 8

21

çıkar.

α= cos−1(8

21) ≈ 67.6o

olur.

38.24 Noktanın Düzleme Uzaklıgı

Sekil 38.18: Noktanın Düzleme Uzaklıgı

Teorem 38.18. Uzayda bir P (x0, y0, z0) noktasının ax +by + cz +d = 0

düzlemine uzaklıgı

d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2

(38.41)

bagıntısı ile verilir.

Kanıt: Düzleme P diyelim. Düzlem içinde her hangi bir nokta

B(x1, y1, z1) olsun. A noktasından düzleme inilen dikmenin ayagına

A′ diyelim. Düzlemin ~n = (a,b,c) normali−−→B A′ vektörüne diktir. A nok-

tasının−−→B A′ dogrusuna olan uzaklık formülünden,

d = ~n ×−−→B A′

|~n| = ~n.−→B A

|~n|

630 Vektörler

olur.−→B A = (x1 −x0), (y1 − y0), (z1 − z0) oldugundan,

d = a(x1 −x0)+b(y1 − y0)+ c(z1 − z0)|pa2 +b2 + c2

= |ax0 +by0 + cz0 − (ax1 +by1 + cz1)|pa2 +b2 + c2

olur. B noktası düzlem içinde oldugudan (ax1+by1+cz1) = 0 dır. O halde,

d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2

(38.42)

Örnek 38.19. A(−3,1,5) noktasının 6x − 2y + 3z = 9 düzlemlemine

uzaklıgını bulunuz.

Çözüm: (38.49) formülünden,

d = |6(−3)+ (−2)(1)+3(5)−9|√62 + (−2)2 +32

= |−14|7

= 2

çıkar.

Örnek 38.20. Merkezi M(3,2,1)) olan ve 4x +8y + z = 0 düzlemine teget

olsn kürenin denklemini bulunuz.

Çözüm: Küre merkezinin teget düzleme uzaklıgı kürenin r yarıçapıdır:

d = r|4(3)+8(2)+1(1)−2|p

42 +82 +12= 27

9= 3

olur. Merkezi ve yarıçapı bilinen kürenin denklemi

(x −3)2 + (y −2)2 + (z −1)2 = 9

olur.

38.25 Alıstrmalar

1. Asagıdaki nokta çiftlerinden geçen dogruların parametrik denklem-

lerini yazınız.

a)P (1,2,−1) Q(−1,0,1)

b)P (0,1,0) Q(0,3,0)

c)P (1,−1,3) Q(2,1,3)

d)P (1,2,0) Q(1,1,−1)

2. P (3,2,1),Q(1,3,2),R(3,2,1) noktalarından geçen düzlemin denklemini

bulunuz.

3. P (3,−2,1) noktasından geçen ve x = 1+2t , y = 2− t , z = 3t dogrusuna

paralle olan dogrunun denklemini yazınız.

4. 2x−3y45z−700, 3x+2y−5z+2 = 0 düzlemlei arasındaki açıyı bulunuz.

38.26 Vektörel Çarpım 631

5.

L1 :x −1

2= y +1

1= z −2

4

dogrusu ile

L2 :x +4

4= y

−3= z − 1

2

−1

dogrusu kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.

6.

x =−6− t , y = 20+3t , z = 1+3t ile x5+2s, y =−9−4s, z = 1+7s

dogruları kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.

7. 2x +3y +6z = 18 düzleminin grafigini çiziniz.

8. P (−1,2,2) noktasının 2x −2y − z +5 = 0 düzlemine uzaklıgını bulunuz.

38.26 Vektörel Çarpım

Daha önce bir sayı ile bir vektörün çarpımını ve iki vektörün nokta

(skaler) çarpımını gördük. bu kesimde iki vektörün vektörel çarpımını

inceleyecegiz:

Tanım 38.21. ~a = (a1, a2, a3) ve~b = (b1,b2,b3) vektölerinin vektörel

çarpımı

~a ×~b =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣dir.

Matrisin açılımını yazarsak

~a ×~b =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣∣ i +∣∣∣∣∣a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣∣ j +∣∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣ k

= (a2b3 −a3b2) i + (a3b1 −a1b3)|; j + (a1b2 −a2b1) k

olur. Bu çarpımı bilesenler cinsinden de ifade edersek,

~a ×~b = (a1i +a2 j +a3k)× (b1i +b2 j +b3k)

= (a2b3 −a3b2) i + (a3b1 −a1b3) j + (a1b2 −a2b1) k

= ((a2b3 −a3b2, (a3b1 −a1b3), (a1b2 −a2b1))

olur.

Örnek 38.22. ~a = 2i − j +k, ~b = −3i + j −k ise ~a ×~b vektörel çarpımını

bulunuz.

632 Vektörler

Çözüm: Tanımı kullanarak

~a ×~b =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 1

−3 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣= (1−1)i + (−3+2) j + (2−3)k

=− j −k

olur.

38.27 Vektörel Çarpımın Özelikleri

(i )~a =~0 ya da~b =~0 ⇒ a ×~b =~0(i i ) a ×~b −b ×~a

(i i i )~a × (~b +~c) = (~a ×~b)+ (a ×~c)

(i v) (~a +~b)×~c = (~a ×~c)+ (b ×~c)

(v)~a × (λb) = (λa)×~b =λ(~a ×~b), (λ ∈R)

(vi )~a ×~a =~0(vi i )~a.(~a ×~b) =~0

(vi i i )~b.(~a ×~b) =~0(i x)~i .×~i =~0, ~j .×~j =~0, ~k.×~k =~0(x)~i .×~j =~k, ~j .×~k =~i , ~k.×~i =~j

~j .×~i =−~k, ~k.×~j =−~i ,~i .×~k =−~j

dir.

38.28 VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları

38.28.1 Diklik

Sekil 38.19: Vektörel Çarpım

Tanım 38.23. Uzayda ~a ile~b vektörleri sıfırdan farklı iseler,

1. ~a ×~b vektörel çarpımı ~a ile~b vektörlerinin olusturdugu düzleme diktir.

2. Düzlemin ~n normalinin yönü sag el kuralına göre belirlenmis ve ~a ile~b

vekörleri arasındaki açı θ (0 ≤ θ ≤π) olmak üzere,

~a ×~b =(|~a|.|~b|sinθ

)dır.

Vektörel çarpım çarpan vektörlerin olusturdugu düzleme dik olduguna

göre her iki vektöre de dik olur. θ = 0 ya da θ = π ise ~a ile~b vektörler par-

alel olurlar:

~a 6=~0, vecb 6=~0 ⇐⇒~a ∥~b ⇔~a ×~b =~0

olur.

38.29 Üçlü Çarpım 633

38.28.2 Alan

~a ×~b vektörel çarpımının uzunlugu ~a ile~b vektörlerinin olusturdugu

paralelkenarın alanına esittir.


Tabanı |~a| ve yüksekligi |~b|sinθ olan paralelkenarın alanı A ise,

A = taban× [yükseklik

=~a ×~b| = |~a| (|b|sinθ)

= |~a ×~b|

Örnek 38.24. Köseleri A(1,1,1), B(2,3,4), C (3,0,−1) olan üçgenin alanını

bulunuz.

Çözüm: Üçgenin alanını iki kenarınının olusturdugu vektörlerin

vektörel çarpımının yarısıdır.−→AB = i +2 j +3k ve

−→BC = i −3 j −5k dır.

Buradan

−→AB ×−→

BC =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 3

1 −3 −5

∣∣∣∣∣∣∣=−i +8 j −5k

olur. O halde,

A = 1

2|− i +8 j −5k| = 3

p10

2

38.29 Üçlü Çarpım

~a,~b ve~c vektörlerinin üçlü çarpımı

~a.(~b ×~c) (38.43)

olarak tanımlanır.

Teorem 38.25. ~a.(~b ×~c) üçlü çarpımı ~a,~b ve~c vektörlerinin olusturdugu

prizmanın hacmine esittir.


Kanıt:

Prizmanın bir yüzünün alanı (buna taban alanı diyelim) A = |~b ×~c| dir.

veca ile~b×~c arasındaki açı θ olsun. Prizmanın yüksekligi h = |veca||cosθ|olacaktır. Öyleyse, prizmanın hacmi,

V = A.h = |~b ×~c|.|veca|.|cosθ| = |veca.(~b ×~c)|

oacaktır. Vektörlerin koordinatlarcinsinden ifadeleri

~a = a1i +a2 j +a3k, ~b = b1i +b2 j +b3k, ~c = c1i + c2 j + c3k

ise, sözkonusu hacim

V =~a.(~b ×~c) =

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣Örnek 38.26. ~a = i +4 j −7k, ~b = 2i − j +4k, ~c =−9 j +18k vektörleri aynı

düzlemdemidirler?

634 Vektörler

Çözüm: Aynı dzlemde olan üç vektörn olusturdugu paralelyüzün

hacmi sıfır olur, çünkü yükseklik sıfırdır. Böyle olup olmadıgına bakalım

V =~a.(~b ×~c) =

∣∣∣∣∣∣∣1 4 −7

2 −1 4

0 −9 18

∣∣∣∣∣∣∣= 0

dır. O halde verilen üç vektör aynı düzlemdedir.


1. ~a = i −3 j +k vektörüveiliyor. Öyle~b ve~c vektörlrini bulunuz ki ~a, ~b, ~c

vektörleri ikiser ikiser birbirlerine dik olsunlar.

2. ~a = 2i − j +k, ~b = i −3k ise ~a ×~b nedir?

3. Köseleri a(0,2,1), B(3,0,1), C (2,2,1) olan üçgenin alanını bulunuz.

4. ~a = i +k, ~b = 2i + j vektörlerine dik olan birim vekrörü bulunuz.

5. Kenarları ~a = 2i + j +k, ~b = j +k, vr cc = i +k olan paralelyüzün

hacmini bulunuz.

6. ~v = 7 j −4k, ~w = 2i − j +3k ise ~v × ~w vektörel çarpımını bulunuz.

7. Kenarları ~a = i −2 j +3k, ~b = 4i +7 j −11k, 5i +9 j −k ile belirlenen

paralelyüzün hacmini bulunuz.

8. ~a = i + 2 j − k, ~b = −2i + 3k, ~c = 7 j − 4k vrktörleri ile belirlenen

paralelyüzün hacmini bulunuz.

38.31 Uzayda Dogru ve Düzlem

Teorem 38.27. Uzaydaki bir dogru, üzerideki bir nokta ve dogruya paralel

olan bir vektör yardımıyla tek olarak belirlenebilir.

Sekil 38.22: Uzayda dogru

Kanıt: Verilen sabit nokta A(a1, a2, a3), verilen dogru~b dogrulsusu

olsun. ~a = −−→O A diyelim. Uzaydaki d dogrusu üzerinde hareketli bir

R(x, y , z) noktası alalım.~r = −−→OR diyelim.

−→AR ∥~b oldugundan

−→AR = λ~b

olacaktır. O halde r =−−→OR =~a +λ~b çıkar, yani

~r =~a +λ~b

istenen dogrunun vektörel denklemidir.

Dogrunun simetrik denklemini yazmak için, bilesenleri kullanalım.

O noktasından−→AR vektrüne bir ~v =−−→

OQ paralelini çizelim. Q =Q(a,b,c)

olsun. A(a1, a2, a3) ve R(x, y , z) olduguna göre−→AR = (x −a1, y −a2, z −a3)

olur.

x −a1 = at , y −a2 = bt ; z −a3 = ct

yazılabilir. Buradan, t parametresi çekilip degerleri esitlenirse,

x −a1

a= y −a2

b= z −a3

c(38.44)

elde edilr. Bu denklemlere dogrunun simetrik denklemleri adı verilir.

38.32 Iki noktası Verilen Dogru Denklemi 635

Iki boyutlu uzayda dogru denklemini yukarıdak fomülden çıkarabiliriz.

L dogrusu A(a1, a2) noktasından geçiyorsa x = a1 + t a, y = a2 + tb

olacagından ~v 6=~0 oldugunda ya a 6= 0 ya da b 6= 0 olmalıdır. t = x−aa ve

y = y1 + tb’de yerine yazılırsa

y = a2 + b

a(x −a1) (38.45)

elde edilir ki bu düzlemdeki dogru denklemidir.

Örnek 38.28. A(3,−1,2) noktasından geçen ve ~v =−2i +4 j +5k vekörüne

paralel olan dogrunun simetrik denklemini bulunuz.


−x −3

2= y +1

4= z −2

5

çıkar.

38.32 Iki noktası Verilen Dogru Denklemi

Iki nokta bir dogru belirler. Baska bir deyisle iki noktadan ancak bir dogru

geçer. Bundan yaralanarak dogru üzerindeki A ve B noktaları biliniyora,

dogruyu belirleyebiliriz. Simdi o dogrunun denklemini yazacagız: Verilen

noktalar A(a1, a2, a3) ve B(b1,b2,b3) olsun. ~v = −→AB vektörüne paralel

olan ve A noktasından geçen dogrunun simetrik denklemini biliyoruz.

yinr R(x, y , z) aranan dogtuüzerinde hareketli bir nokta olamak üzere

dogrunun simetrik denklemi

x −a1

b1 −a1= y −a2

b2 −a2= z −a3

b3 −a3(38.46)

olur.

Örnek 38.29. A(3,2,1) ve B(1,3,5) noktalarından geçen dogrunun simetrik

denklemini yazınız.


x −3

1−3= y −2

3−2= z −1

5−1

çıkar.

Örnek 38.30. A(3,2,−11) ve B(5,−1,1) noktalarından geçen dogrunun

simetrik denklemini yazınız. Dogrunun X = 0 koordinet düzlemi ile

kesisimini bulunuz.

Çözüm: Yukarıdaki formülden,

x −3

1= y −2

−3= z +1

2

olur. Bu denklemde x = 0 alınırsa,

y −2

−3= z +1

2=−3 ⇒ y = 11, z =−7

çıkar. O halde dogrunun x = 0 düzlemini deldigi nokta (0,11,−7) nok-

tasıdır.

636 Vektörler

38.33 Noktanın Dogruya Uzaklıgı

Teorem 38.31. Uzayda bir A(a,b,c) noktasının bir L dogrusuna olan

uzaklıgı, ~v//L ve P noktası ~v üzerinde ise

d = |~v ×−→AB |

|~v | (38.47)

dir.

Sekil 38.23: Noktanın dogruya uzaklıgı

Uzayda bir L dogrusu ile bir P (p, q ,r ) noktası verilsin. Dogru üzerinde

bir A(x0, y0, z0) noktası alalım. ~v vektörü ile−→AP vektörü arasındaki açı

α, 0 ≤α≤π ise,

d = |−→AP |sinα

dır. Buradan,

|~v ×−→AP | = |~v |.|−→AP |sinα

çıkar.

Örnek 38.32. P (5,−3) noktasının 4x +3y −15 = 0 dogrusuna uzaklıgı

nedir?

Çözüm: Dogru üzerinde bir P noktası bulup, uzaklık formülünü

uygulamalıyız.En kolay yol, koordinat eksenlerini kestigi noktaları

bulmaktır. x = 0 konulursa, P (0,5) noktası dogrunun Ox eksenini kestigi

nokta olarak bulunur. α açısının sinüsünü bilmedigimiz için, yukarıdaki

formül ile aynı sonucu vereck olan skaler çarpım uygulanırsa

d = |~h.−→AP ||~h|

= 20−24p16+9

= 4

5

olur.

38.34 Düzlem Denklemi

Sekil 38.24: Kesisen iki dogru bir düzlembelirler



Denklemi aranan düzlem D olsun. P0(x0, y0, z0) düzlem içinde sabit bir

nokta ve P (x, y , z) ise düzlem içinde gezgin bir nokta olsun. Düzlemin

normali (düzleme dik vektör) ~n = ai +b j + ck olsun. ~n normali düzlem

içindeki her dogruya dik oldugundan ~n.−−→P0P = 0 olacaktır.

−−→P0P = (x−x0, y−

y0, z − z0) oldugundan

a(x −x0)+b(y − y0)+ c(z − z0) = 0

dır. Buradan,

ax +by + cz +d = 0, d =−ax0 −by0 − cz0) (38.48)

olur ki bu aranan düzlem denklemidir.

Örnek 38.33. P (2,−1,3) noktasından geçen ve ~n = (3,−7,5) vektörüne dik

olan düzlem denklemini bulunuz.

Çözüm: Aranan düzlemde gezgin bir P (x, y , z) noktası düsünelim.

~n ⊥−−→P0P oldugundan, skaler çarpımları sıfıra esittir:

3(x −2)+ (−7)(y +1)+5(z −3) = 0

Buradan aranan düzlem

3x −7y +5z −28 = 0

olarak çıkar.

38.35 Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi 637

38.35 Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi

Örnek 38.34. P1(2,−1,3), P2(1,2,2), P3(−2,1,1) noktalarından geçen

düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm: Üç noktadan bir düzlem geçtigini biliyoruz. Denklemini

aradıgımız düzlem D olsun. Düzlem içinde iki vektörün vektörel çarpımı,

düzleme dik olan bir vektördür.−−−→P1P2 = (−1,3,−1) ve

−−−→P1P3 = (−4,2,−2)

vektörlerinin vektörel çarpımı,

−−−→P1P2 ×−−−→

P1P3 =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

−1 3 −1

−4 2 −2

∣∣∣∣∣∣∣=−4i +2 j +10k

olur. Bu vektör D düzlemine dik oldugundan, düzlem içindeki−−−→P1P2 ve−−−→

P1P3 vektörlerine diktir. Öyleyse ~n = (−4,6,10) ve P1(2,−1,3) ’den geçen

düzlem denklemi

−4(x −2)+6(y +1)+10(z −3) = 0

olur ki buradan düzlemin denklemi olarak,

−4x +2y +10z −20 = 0

bulunur.6, 7 6

7

Örnek 38.35. x −2y +3z −6 = 0, 3x +2y −5z −10 = 0 düzlemlerinin

arakesiti olan L dogrusunun denklemini bulunuz.

Çözüm: Düzlemlerin normalleri, sırasıyla, ~n1 = (1,−2,3), ~n2 =(3,2,−5) dir. Arakesit dogrusu her iki düzlem içinde olacagından, her

ikisinin normaline dik olacaktır. Öyleyse, nomallerin vektörel çarpımı

arakesit dogrusuna paralel olur:

~n1 ×~n2 =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 −2 3

3 2 −5

∣∣∣∣∣∣∣= 4i +14 j +8k

elde edilir. Her iki denklemde z = 0 konularak x y düzlemi ile arakesiti

bulunur.

x −2y = 6, 3x +2y = 10

denklem sitemi elde edilir. Bu sistem çözülürse x = 4, y =−1 bulunur. O

halde, arakesit dogrusu (4,−1,0) noktasından geçmektedir. Dolayısıyla L

nin simetrik denklemix −4

2= y +1

7= z

4olacaktır.

Örnek 38.36. 6x+3y −2z = 0, x+2y +2z = 0 düzlemleri arasındaki açıyı

bulunuz.

Çözüm: Düzlemler arasındaki açı, normaller arasındaki açıya esittir.

Öyleyse, iki normal arasındaki açıyı bulacagız.

~n1 = (6,3,−2), ~n2 = (1,2,2)

638 Vektörler

oldugundan,

cosα= ~n1.~n2

|~n1|.|~n2|= 6(1)+3(2)−2(2)√

62 +32 + (−2)2p

12 +22 +22= 8

21

çıkar.

α= cos−1(8

21) ≈ 67.6o

olur.

38.36 Noktanın Düzleme Uzaklıgı

Sekil 38.27: Noktanın Düzleme Uzaklıgı

Teorem 38.37. Uzayda bir P (x0, y0, z0) noktasının ax +by + cz +d = 0

düzlemine uzaklıgı

d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2

(38.49)

bagıntısı ile verilir.

Kanıt: Düzleme P diyelim. Düzlem içinde her hangi bir nokta

B(x1, y1, z1) olsun. A noktasından düzleme inilen dikmenin ayagına

A′ diyelim. Düzlemin ~n = (a,b,c) normali−−→B A′ vektörüne diktir. A nok-

tasının−−→B A′ dogrusuna olan uzaklık formülünden,

d = ~n ×−−→B A′

|~n| = ~n.−→B A

|~n|olur.

−→B A = (x1 −x0, y1 − y0, z1 − z0) oldugundan,

d = a(x1 −x0)+b(y1 − y0)+ c(z1 − z0)|pa2 +b2 + c2

= |ax0 +by0 + cz0 − (ax1 +by1 + cz1)|pa2 +b2 + c2

olur. B noktası düzlem içinde oldugudan (ax1+by1+cz1) = 0 dır. O halde,

d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2

(38.50)

Örnek 38.38. A(−3,1,5) noktasının 6x −2y +3z = 9 düzlemine uzaklıgını

bulunuz.

Çözüm: (38.49) formülünden,

d = |6(−3)+ (−2)(1)+3(5)−9|√62 + (−2)2 +32

= |−14|7

= 2

çıkar.

Örnek 38.39. Merkezi M(3,2,1)) olan ve 4x +8y + z −2 = 0 düzlemine teget

olsun kürenin denklemini bulunuz.

Çözüm: Küre merkezinin teget düzleme uzaklıgı kürenin r yarıçapıdır:

d = r = |4(3)+8(2)+1(1)−2|p42 +82 +12

= 27

9= 3

olur. Merkezi ve yarıçapı bilinen kürenin denklemi

(x −3)2 + (y −2)2 + (z −1)2 = 9

olur.

Çözüm:

38.37 Alıstırmalar 639


1. Asagıdaki nokta çiftlerinden geçen dogruların parametrik denklem-

lerini yazınız.

a)P (1,2,−1) Q(−1,0,1)

b)P (0,1,0) Q(0,3,0)

c)P (1,−1,3) Q(2,1,3)

d)P (1,2,0) Q(1,1,−1)

2. P (3,2,1),Q(1,3,2),R(3,2,1) noktalarından geçen düzlemin denklemini

bulunuz.

3. P (3,−2,1) noktasından geçen ve x = 1+2t , y = 2− t , z = 3t dogrusuna

paralel olan dogrunun denklemini yazınız.

4. 2x−3y +5z = 0, 3x+2y −5z+2 = 0 düzlemleri arasındaki açıyı bulunuz.

5.

L1 :x −1

2= y +1

1= z −2

4

dogrusu ile

L2 :x +2

4= y

−3= z − 1

2

−1

dogrusu kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.

6.

l1 : x =−6− t , y = 20+3t , z = 1+3t ile x = 5+2s, y =−9−4s, z = 1+7s

dogruları kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.

7. 2x +3y +6z = 18 düzleminin grafigini çiziniz.

8. P (−1,2,2) noktasının 2x −2y − z +5 = 0 düzlemine uzaklıgını bulunuz.

9. Merkezi (x0, y0, z0) noktasında olan ve yarıçapı r olan kürenin genel


10.

Örnek 38.40. Uzunlugu (boyu) 1 birim olan vektöre birim vektör denilir.

Dolayısıyla birim vektör degiltirç Her dogrultı için bir birim vektör

vardır. ~v he hangi bir vektör ise vecu = 1|vecv | vecv birim vektördür.

Gösteriniz.

11.

veci = (1,0,0), vec j = (0,1,0), veck = (0,0,1)

koordinat vektörlerinin birer birim vektör oldugunu gösteriniz.

12. Her vektörün koordinat vektörlerinin bir dogprusal bilesimi olarak

yazılabilecegini gösteriniz.

640 Vektörler

13. Iki nokta arasındaki uzaklıgın, bu noktaları bitim noktaları olarak

kabul eden yuer vektörlerinin farkının uzunlugudur. Gösteriniz.

14. r yarıçaplı ve merkewzi baslangıç noktasında olan kürenin denklem-

ini yazınız.

15. Merkezi M(−2,4,−6) noktasında olan ve x y düzlemine tegpet olan

kürenin denklemini yazınız.

16. Iki vektör arasındaki açı, geometrik olarak söyle tanımlanır: Vek-

töler kendilerine paralal olarak baslangıç noktaları O(0,0) baslangıç

noktasına kaydırılır. Olusan iki yer vektörünün pozitif yönde mey-

dana getirdikleri iki açıdan küçük olanı vektörler arasındaki açıdır.

Iki vektör arasındaki açı 0 derece ise vektörler paralel olur. vecu

ile vecv vektörleri arasındaki thet a açısı, skaler çarpım cinsinden

vecu = αvecv = |vecv |.|vecu|cosθ ile verilir. vecu ile vecv vektör-

lerinin paralel olması için vecu =αvecv olacak sekilde bir α sayısının

varlıgının gerekli ve yetreli oldugunu gösteriniz.

17. Iki vektör arasındaki açı π2 = 90o ise vektörler birbirlerine diktir.

vecu ile vecv vektörlerinin birbirlerine dik olması için vecu.vecv = 0

olması gerekli ve yeterlidir. Gösteriniz.

|vecu.vecv | ≤ |vecu|.|vecv |Cauchy-Schwartz esitsizligini kanıtlayınız.

18.

|vecu + vecv | ≤ |vecu|+ |vecv |üçgen esitsizligini kanıtlayınız.

19. Çemberin |AB | çapını gören çevre açının dik oldugunu gösteriniz.

20. Yukarıdaki özelik küre için de vardır. Kürenin merkezinden geçen

dogrunu küre ile kesisim noktaları A ve B ise |AB | dogru parçası

kürenin bir çapıdır. Küre üzerindeki bir P noktası düsünelim. ang l e APB

açısının dik oldugunu gösteriniz.

21. Iki vektörün vektörel çarpımının boyunun, olustırdujkları paralelke-

narın alanına esit oldugunu gösteriniz.

22. Düzleme dik olan vektöre dügzlemin normali denilir. Normal dü-

zlem içindeki her dogruya diktir; yani vecn normal, vecPQ düzlem

içindeki bir dogru ise vecn.vecPQ = 0 dır. Bu özeligi kullanarak

normali verilen düzlem denklemini yazınız.

23. A(−2,0,4) ile B(2,4,−2) noktalarından geçen dogrunun parametrik


24. Verilen bir dogruya pararlel olan ve berilen bir noktadan geçen

dogrunun denklemini yazınız.

Index

üçgen esitsizligi, 625

üçgen esitsizligpi, 640

üçlü çarpım, 631

çemberin çapı, 640

analitik geometri, 618

bilesenlerle islemler, 620

birimsel taban, 618

Cauchy-Schwartz esitsizligi, 640

denklik sınıfı, 613

dik vektörler, 617, 624

diklik, 640

Directional Angles, 617

dogru denklemi, 625, 634

dogrultu açıları, 617

dogrultu kosinüsleri, 617

dogrusal bagımı, 619

dogrusal bagımlı, 619

dot product, 621

esit vektörler, 617

iki vektör arasındaki açı, 623, 640

izdüsüm, 622

kürenin çapı, 640

linearly dependent, 619

linearly independent, 619

nokta (skaler) Çarpım, 621

noktanın dogruya uzaklıgı, 635

normal vektör, 640

orthonormal base, 618

paralel vektörler, 617

parallel vektörler, 640

skaler çarpma, 621

ters vektörler, 617

triple product, 631

Vektör alanı, 613

vektörel çarpım, 631

vektörel çarpımın özelikleri, 632

yer vektörü, 617

kalkulüs - baskent.edu.trtkaracay/etudio/ders/math/genelmath/12vectors.pdf · contents 1 analiz...

Documents