kalkulus i - kuliah matematika - materi
TRANSCRIPT
Kalkulus I
Nama: Yusep JaelaniNIM: 601190001
Prodi: Matematika
UNIVERSITAS BALE BANDUNGKAB. BANDUNG
2019
1
Daftar Isi
1 PENDAHULUAN 51.1 Sistem Bilangan Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operasi Bilangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Urutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Pertaksamaan/Ketaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Ketaksamaan Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 FUNGSI DAN LIMIT 102.1 Fungsi dan Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Notasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Daerah Asal dan Daerah Hasil . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Daerah Asal Alami (Natural Domain) . . . . . . . . . . 112.1.4 Variabel Bebas dan Variabel Terikat . . . . . . . . . . 122.1.5 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.6 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Operasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Komposisi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Pengertian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Definisi Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2
Daftar Tabel
1 Penulisan Selang Grafik Ketaksamaan . . . . . . . . . . . . . . 72 Kesamaan Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3
Daftar Gambar
1 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Domain dan Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Grafik Fungsi Genap dan Ganjil . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Nilai Sudut Istimewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Grafik Fungsi Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Grafik Fungsi Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Grafik Fungsi Tangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 Tabel dan Grafik Permasalahan Limit . . . . . . . . . . . . . . 1711 Grafik Limit f(x) mendekati nilai c . . . . . . . . . . . . . . . 18
4
1 PENDAHULUAN
Kalkulus berasal dari bahas latin calculus yang berarti ”batu kecil”untukmenghitung. Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit,turunan, integral, dan deret tak terhingga serta ilmu yang mempelajari per-ubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yangmempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan permasalahan.Kalkulus juga dapat diaplikasikan lebih dalam lagi, bisa dalam bidang sains,ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidakdapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Dalam sejarahnya, Kalkulus dikembangkan secara terpisah oleh dua orangilmuwan pada saat itu, yaitu Sir Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leib-niz. Newton mengaplikasikan ilmunya ke bidang fisika, dan Leibniz berkon-tribusi pada pengembangan notasi kalkulus seperti yang dikenal saat ini.
Kemudian, kalkulus juga berperan penting pada bidang-bidang yang la-in, seperti di bidang sains, teknik, ekonomi, dan lain sebagainya. Biasanya,kalkulus digunakan untuk memecahkan berbagai masalah penting yang solu-sinya tak dapat dipecahkan dengan metode aljabar elementer. Oleh karenaitu digunakanlah kalkulus untuk memecahkan masalah itu.
1.1 Sistem Bilangan Real
Untuk mempelajari kalkulus, kita perlu memahami bahasan tetang sistembilangan real, karena di kalkulus ini didasari dengan sistem bilangan realbeserta sifat-sifatnya.
Pada sistem bilangan yang kita kenal, dapat dijabarkan beberapa, sebagaiberikut.
1. Bilangan bulat yaitu bilangan yang dimulai dari bilangan negatif, nol,dan positif, B = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
2. Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari 0, C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
3. Bilangan asli adalah bilangan real yang dimulai dari bilangan 1, A ={1, 2, 3, 4, 5, ...}
4. Bilangan prima adalah bilangan yang dapat dibagi 1 dan bilangan itusendiri, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
5
5. Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi dua,G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
6. Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak dapat dibagi dua, G ={1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
7. Bilangan komposit adalah bilangan bukan nol, bukan satu dan bukanprima, K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...}
8. Bilangan kosong adalah bilangan yang tidak punya anggota, K = {}
9. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk ab
atau disebut pecahan. P = {12, 23, ...}
10. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalambentuk a
b, contoh π,
√3
1.2 Operasi Bilangan
Mungkin sudah pada kenal dengan operasi penjumlahan dan perkalian.Misalkan a dan b bilangan real, maka penjumlahan a dan b ditulis a+ b danperkalian a dan b ditulis a.b atau secara singkatnya ditulis ab.Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan sebagai berikut.
• Hukum komutatif: a+ b = b+ a dan ab = ba
• Hukum asosiatif: a+ (b+ c) = (a+ b) + c dan a(bc) = (ab)c
• Hukum distributif: a(b+ c) = ab+ ac
• Elemen-elemen identitas:Terhadap penjumlahan: 0 sebab a+ 0 = aTerhadap perkalian: 1 sebab a.1 = a
• Invers (Kebalikan):Setiap bilangan real a mempunyai invers aditif (disebut juga negatif)−a yang memenuhi a+−a = 0 dan setiap bilangan real yang tidak nolmempunyai invers multiplikasi (disebut juga balikan) yaitu a−1 yangmemenuhi a.a−1 = 1.Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dengan −b = a + (−b) danab
= a.b−1.
6
1.3 Urutan
Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan, yaitu him-punan bilangan positif dan himpunan bilangan negatif. Berdasarkan fakta,diperkenalkan relasi urutan < (dibaca ”kurang dari”) yang didefinisikan de-ngan:x < y jika dan hanya jika y − x positifx < y mempunyai arti yang sama dengan y > x
Contoh Soal 1.1
1. 4− 3(8− 12)− 6 = 4− 6− 3(−4) = −2 + 12 = 10
2. 56− [1
4+ 2
3] = 5
6− [3+8
12] = 5
6− 11
12= 10−11
12= − 1
12
3. (2x− 3)(2x+ 3) = 4x2 + 6x− 6x− 9 = 4x2 − 9
1.4 Pertaksamaan/Ketaksamaan
Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan bi-langan riil yang membuat ketaksamaan berlaku, biasanya terdiri dari suatukeseluruhan selang bilangan, atau dalam beberapa kasus, suatu gabungan da-ri selang-selang demikian. Ketaksamaan pasti memiliki dua variabel a danb. Dituliskan dengan tanda kurang dari atau lebih dari seperti a < x < b,lalu dinyatakan dengan lambang (a,b) dan bisa dibentuk sebuah grafik garis.
Tabel 1: Penulisan Selang Grafik Ketaksamaan
7
Contoh: Selesaikan ketaksamaan berikut dan perlihatkan grafiknya.
1. 2x− 7 < 4x− 2
2. x−2x+2≥ 0
Jawab:
1.
2x− 7 < 4x− 2−7 + 2 < 4x− 2x−5 < 2x−5
2< x
2. x−2x+2≥ 0
hanya berubah tanda pada pembilang dan penyebut yaitu 1 dan -2.Namun -2 mempunyai hasil tak terdefinisisehingga penyelesaiannya adalah (−∞,−2) ∪ (1,∞)
1.5 Ketaksamaan Nilai Mutlak
Definisi:
|x| = x jika x ≥ 0|x| = −x jika x < 0
Misalnya, |3| = 3 dan | − 3| = −(−3) = 3. Dengan demikian, |x| tidakpernah negatif.Sifat-sifat nilai mutlak:
1. |ab| = |a||b|
2. |a||b| = |a||b|
3. |a+ b| ≤ |a|+ |b| (ketaksamaan segitiga)
4. |a− b| ≥ ||a| = |b||
Ketaksamaan nilai mutlak juga dapat diselesaikan dengan menggunakansifat-sifat berikut ini.
1. |x| < a↔ −a < x < a
2. |x| > a↔ x < −a atau x > a
8
3. |x| =√x2
4. |x|2 = x2
5. |x| < |y| ↔ x2 < y2
Contoh:
1. Selesaikan ketaksamaan dari |x| < 3 dan perlihatkan himpunan penye-lesaiannya pada garis riil.
2. Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Carilah bilangan positifδ (delta) sedemikian sehingga |x− 3| < δ → |6x− 18| < ε
Jawab:
1. |x| < 3−3 < x < 3← |x| < a↔ −a < x < a
2.|6x− 18| < ε ↔ |6(x− 3)| < ε
↔ 6|x− 3| < ε (|ab| = |a||b|)↔ |x− 3| < ε
6(kalikan 1
6)
Karenanya, kita pilih δ = ε6
secara mundur, terlihat bahwa:|x− 3| < δ → |6x− 18| < ε
9
2 FUNGSI DAN LIMIT
2.1 Fungsi dan Grafik
Gambar 1: Grafik Fungsi
Fungsi f dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan tiap-tiapanggota A dengan tepat satu anggota B. Himpunan A selanjutnya disebut se-bagai daerah asal dan himpunan B disebut daerah kawan. Himpunan semuaanggota B merupakan peta atau bayangan dari unsur A disebut himpunannilai fungsi f dan disebut jelajah fungsi f . Jika fungsi f memetakan sebagiansaja anggota A ke himpunan B maka daerah asal dari f dikatakan daerahasal alamiah. Pada notasi y = f(x), x dikatakan peubah bebas dan y dika-takan peubah terikat.
2.1.1 Notasi Fungsi
Untuk memberi nama fungsi dipakai huruf f(x), g(x) atau F(x). Maka f(x)dibaca f dari x atau f pada x.Contoh: Diketahui f(x)=x3 − 4, berapakah jika f(2)?f(x) = x3 − 4f(2) = (2)3 − 4f(2) = 8− 4f(2) = 4
10
2.1.2 Daerah Asal dan Daerah Hasil
Daerah asal (domain) adalah himpunan semua bilangan real yang menye-babkan aturan fungsi berlaku/terdefinisi, dimana himpunan elemen-elemenfungsi itu mendapat nilai. Sedangkan daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian yang berisi semua pasangan dari daerahasal. Untuk menyebutkan suatu fungsi secara lengkap, selain korespondensi-nya maka harus menyebutkan daerah asal fungsi tersebut.Contoh: f(x)=x2 + 1 dengan daerah asal {−1, 0, 1, 2, 3}Sehingga daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}
Gambar 2: Domain dan Range
2.1.3 Daerah Asal Alami (Natural Domain)
Jika sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan, maka daerah asalnyaadalah himpunan bilangan real terbesar sehingga aturan fungsi ada makna-nya dan memberikan nilai bilangan real.Contoh: Carilah daerah asal mula (natural) dari fungsi,
1. f(x)= 1(x−3)
2. f(x)=√
4− x2
3. f(x)= 1√x2−x−12
Jawab:
1. f(x)= 1(x−3)
Daerah asal mula untuk f adalah {x ∈ R : x 6= 3}. Ini dibaca ”him-punan x dalam R (bilangan real) sedemikian sehingga x tidak samadengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.
11
2. f(x)=√
4− x2, fungsi irasional terdefinisi jika bagian di bawah tandaakar positif atau nol, maka 4 − x2 ≥ 0 atau x2 − 4 ≤ 0 difaktorkan(x + 2)(x − 2) ≤ 0 atau −2 ≤ x ≤ 2. Jadi, daerah asal alami fungsiadalah Df = {x|x ∈ R,−2 ≤ x ≤ 2}.
3. f(x)= 1√x2−x−12 , fungsi pecahan irasonal jika bagian penyebut x2−x−
12 > 0 atau (x − 4)(x + 3) > 0 maka x < 3 atau x > 4. Jadi, daerahasal alami fungsi adalah Df = {x|x ∈ R, x < 3 atau x > 3}.
2.1.4 Variabel Bebas dan Variabel Terikat
Jika aturan fungsi diberikan oleh persamaan:y = f(x)maka x → variabel bebas (independent variable)y → variabel terikat (dependent variable)
2.1.5 Grafik Fungsi
Gambar 3: Grafik Fungsi
2.1.6 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f(−a)= f(a) atau f(−x)=f(x). Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu −y. Contoh:
1. g(x)= x3 − 2xg(−x)= (−x)3 − 2(−x) = −x3 + 2x = −(x3 − 2x) = −g(x)
2. Apakah f(x)= x3+3xx4−3x2+4
genap, ganjil, atau bukan keduanya?
f(−x)= (−x)3+3(−x)(−x)4−3(−x)2+4
= −(x3+3x)x4−3x2+4
= −f(x)
12
Gambar 4: Grafik Fungsi Genap dan Ganjil
2.2 Operasi Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f+g, selisih f−g, hasil kali fg, hasilbagi f
gdan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa
irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dirumuskan sebagai berikut.
• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f − g)(x) = f(x)− g(x)
• (fg)(x) = f(x)g(x)
• (fg)(x) = f(x)
g(x), asalkan g(x) = 0
Contoh:Jika f(x) = x2 − 2x dan g(x) = x− 1, tentukan:a. f + g c. f
g
b. f − g d. f 2
Jawab:a. f + g = (x2 − 2x) + (x− 1) = (x2 − x− 1)b. f − g = (x2 − 2x)− (x− 1) = (x2 − 3x+ 1)
c. fg
= (x2−2x)(x−1) = x(x−2)
(x−1)d. f 2 = (x2 − 2x)2 = x4 − 4x2 + 4x2 = x4
2.2.1 Komposisi Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka dengan daerah asal g merupakan daerahhasil f maka komposisi (g ◦ f) = g(f(x))Contoh: Jika f(x) = x2 − 2x dan g(x) = x− 1, tentukan g ◦ f dan f ◦ g
13
a. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 − 2x) = x2 − 2x− 1b. (f ◦g)(x) = f(g(x)) = f(x−1) = (x−1)2−2(x−1) = x2−2x−1−2x+2 =x2 − 4x+ 1
2.2.2 Fungsi Trigonometri
Gambar 5: Fungsi Trigonometri
Gambar 6: Nilai Sudut Istimewa
14
Berikut adalah grafik-grafik fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen.
Gambar 7: Grafik Fungsi Sinus
Gambar 8: Grafik Fungsi Cosinus
Gambar 9: Grafik Fungsi Tangen
15
Kesamaan TrigonometriKesamaan Ganjil genap Kesamaan ko fungsi:sin(−x) = −sinx sin(π
2− x = cosx)
cos(−x) = cosx cos(π2− x) = sinx
tan(−x) = −tanx tan(π2− x) = cotx
Kesamaan Penambahan: Kesamaan sudut ganda:sin(x+ y) = sinxcosx+ cosxsinx sin2x = 2sinxcosx
cos(x+ y) = cosxcosy − sinxsinycos2x = cos2x− sin2x
= 2cos2x− 1= 1− 2sin2x
tan(x+ y) = tanx+tany1−tanxtany
Kesamaan Jumlah: Kesamaan Pythagoras:sinx+ cosy = 2sin(x+y
2)cos(x−y
2) sin2t+ cost = 1
cosx+ cosy = 2cos(x+y2
)cos(x−y2
) 1 + tan2t = sec2t1 + cot2t = csc2t
Kesamaan hasil kali:sinxsiny = −1
2(cos(x+ y)− cos(x− y))
cosxcosy = 12(cos(x+ y) + cos(x− y))
tanx = sinxcosx
cotx = cosxsinx
secx = 1cosx
cscx = 1sinx
sinxcosy = 12(sin(x+ y) + sin(x− y))
Tabel 2: Kesamaan Trigonometri
Contoh: Periksalah kebenaran dari kesamaan-kesamaan berikut.
1. 1 + tan2t = sec2t
2. 1 + cot2t = csc2t
Jawab:
1. 1 + tan2t = sec2t1 + tan2t = 1 + sin2t
cost= cos2t+sin2t
cos2t= 1
cos2t= sec2t
2. 1 + cot2t = csc2t1 + cot2t = 1 + cos2t
sin2t= sin2t+cos2t
sin2t= 1
sin2t= csc2t
16
2.3 Pengertian Limit
Perkataan limit berarti mendekati, untuk memahami limit kita awali de-ngan pemahaman secara intuisi.f(x) = x3−1
x−1
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berben-tuk 0
0. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat
dengan 1(x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x sepertiterlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x)
Gambar 10: Tabel dan Grafik Permasalahan Limit
mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskandengan:
limx→1
x3 − 1
x− 1= 3
Dan ini dibaca ”limit x3−1x−1 untuk x mendekati 1 adalah 3”. Dalam contoh
ini kita menghubungkan limit limit dengan fungsi dekat dengan 1. Bukan di1.Secara bentuk aljabar:
limx→1x3−1x−1 = limx→1
(x−1)(x2+x+1x−1 = limx→1(x
2 + x+ 1) = 12 + 1 + 1 = 3
17
2.3.1 Definisi Limit
Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c ∈ I. Fungsi f(x) dika-takan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semuatitik pada I
{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak.
Berapakah nilai limit f(x) ketika x mendekati c?
Gambar 11: Grafik Limit f(x) mendekati nilai c
(Pengertian limit secara intuisi) untuk menyatakan bahwa limF (x)x→c =L berarti bahwa bilangan x dekat tetapi berlainan dari c maka f(x) dekatke L.
Definisi: suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x disekitar c,maka limx→c f(x) = L jika dan hanya jika limx→c− f(x) = limx→c+ f(x) = L.
Contoh:Fungsi f(x) = x + 1 dengan daerah asal Df = {x|x ∈ R}, akan ditentukandengan nilai fungsi f(x) jika x mendekati 2.x 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,02 2,1 2,2 2,3
x+1 2,8 2,9 2,99 ... 3,01 3,02 3,1 3,2 3,3
Dari tabel tampak bahwa fungsi f(x) = x+1 mendekati nilai L = 3 jika xmendekati 2, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. Dengan demikiandapat ditulis bahwa: limx→2 f(x) = limx→2(x+ 1) = 3
18