kalkulus kelompok 1
TRANSCRIPT
SOAL – SOAL KALKULUS SEMESTER I
OLEH
NAMA NPM
1. LAURENSIUS TAMBA 121000422. SARTIKA CANDRA DEWI SINAGA 121500323. ROH DAME TINDAON 121500184. RIRIS MARGARETA SIADARI 121500445. DEVIANRY SIAGIAN 121500016. HENNI SINAGA 12150050
PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA- A
MATA KULIAH : KALKULUS I
DOSEN PEMBIMBING : YANTI MARBUN SPd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN
PEMATANGSIANTAR
2012/2013
Bab 1
pendahuluan
Sistem Bilangan Rill
1. 13
[12¿) +
16
] = 13[ 12 ( 3−4
2 )+ 16]
= 13[ 12 (−1
12 )+ 16]
= 13(−1
24+ 1
6)
= 13(−1+4
24)
= 13( 3
24)
= 3
72
= 1
24
2. 2+3
1+52
= 2 + 372
= 2 + 67
= 207
Ketaksamaan
3.2
6 y−2 +
y
9 y2−1− 2 y+1
1−3 y = 2
6 y−2+ y
9 y2−1− 2 y+1
−(3 y−1)
= 2
6 y−2+ y
9 y2−1+ 2 y+1(3 y−1)
= 2
2(3 y−1)+ y
(3 y−1 )(3 y+1)+ 2 y+1(3 y−1)
= (3 y+1 )+ y+(3 y+1)(2 y+1)
(3 y−1 )(3 y+1)
= 6 y2+9 y+2
9 y2−1
4. nyatakanlah apakah masing- masing yang berikut benar atau salah.
a) -2 < -20 salah
b) 1 > -39 benar
c) -3 < 59
benar
d) -4 > -16 benar
e) 67
<3439
benar
f) −57
<−4459
salah
5. mana diantara yang berikut bilangan rasional dan bilangan tak rasional
a) √4 rasionalb) 0,375 tak rasionalc) 1+√2 tak rasionald) (1+ √3 )² tak rasionale) 5√2 tak rasional
1.gunakan cara penulusan untuk memerikan selang-selang berikut
a) 2( )7
peny: (2,7) HP:{x │2<x<7 }
b) -2 -1 0
peny: (−∞ ,−2 )HP:{ x∨x ≤−2 }
Nyatakan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan dengan cara penulisan selang dan sketsakan grafik nya
3. 4 x−7<3 x+5
Dikurang 3 x+5
(4 x−7 )−(3x+5 )< (3 x+5 )−(3x+5 )
(4 x−7 )−(3x+5 )<0
x−12<0
Ditambah 12
x−12+12<0+12
x<12
(−∞,12)
4. 2 x+16<x+25
Dikurang x+25
(2 x+16 )−( x+25 )<( x+25 )−( x+25 )
2 x+16−x−25<0
x−9<0
Ditambah 9
x<0+9
x<9
(−∞,9)
5. 7 x−1≤10 x+4
dikurang 10 x+4
(7 x−1 )− (10 x+4 ) ≤ (10 x+4 )−(10 x+4)
7 x−1−10 x−4≤ 0
−3 x−5≤ 0
Ditambah 5
−3 x−5+5≤ 0+5
−3 x≤ 5
Dibagi(-3)
x≥−53
Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut
1. |x+1|<4=①│x+1│¿4
x+1>4
x+1−4>0
x−3>0
x>3
②│x+1│←4
x+1←4
x+1+4<0
x+5<0
x←5
HP:{X │−5< X<3 }
Nilai Mutlak, Akar Kudrat,Kuadrat
2.¿3x5
+1∨≤ 4
•|3x5
+1∨≥ 4 •|3x5
+1∨≤−4
3x+55
≥ 4 3x+5
5≤−4
3x+55
−4≥ 0 3x+5
5+4 ≤0
3x+5−205
≥ 0 3x+5+20
5≤ 0
3x−155
≥ 0 3x+25
5≤0
3 x−15≥ 0 3x+25≤ 0
3 x≥ 15 3x≤−25
x≥ 5 x≤−25
3
HP:{X │−25
3≤ X ≤ 5 }
Buktikan bahwa implikasi yang di tunjukkan adalah benar
3. |x+2|<0,3=¿∨4 x+8∨¿1,2
PENY: 4|X+2|¿1,2
|X+2|¿1,24
|X+2|¿0,3
4.2 X2−5 X−4 ≤0
x1,2=−b±√b2−4 ac2a
= −(−5 ) ±√¿¿¿
= 5±√25+324
= 5±√574
=5± 1,88
4
X1=1,25+1,88=3.13 X2=1,25-1.88=−0,63
HP :{X │−0,63≤ X ≤ 3,13}
Selesaikan ketaksaman – ketaksamaan berikut
5. |2 x−5|<¿x+4∨¿
(2 X−5)2<(X+4)2
4 X2−10 X+25<X2+8 X+16
4 X2−10 X+25−X 2+8 X+16<0
3 X2−28 X+9<0
X=9 ATAU X=13
HP :{X │ X ≤13
atau x ≥9 }
1. Buktikan lah bahwa segitiga yang titik-titik sudut nya adalah ( 5,3 ),( -2, 4 ),dan ( 10, 8 ) adalah
Segitiga sama kaki.
Peny:
A(10,8),B(5,3) ,dan C(-2,4)
d(A,B)=√¿¿ d(A,C)¿√¿¿
= √¿¿ = √¿¿
= √¿¿ = √¿¿
= √25+25 = √144+16
= √50 = √166
Sistem Koordinat Persegi- Panjang
dikuadratkan
= 5 √2 = 4 √10
d(B,C) = =√¿¿
= √¿¿
= √¿¿
= √49+1
= √50
=5√2
2. Tentukan jarak antara (-2,3) dengan titik tengah potongan garis yang di gabungkan (-2,-2)dan (4,3).
Peny: misalkan A(-2,3) dan titik tengah potong garis P(-2,-2),Q(4,3)
Maka titik tengah X=x1+x2
2=−2+4
2=1
Maka titik tengah Y=y1+ y 2
2=−2+3
2=1
2
Maka B(1,12
)
d(A,B)=√¿¿
=√ [1−(−2) ]2+¿¿
=√32+¿¿
=√9+ 254
=√ 36+254
d (A,B) =√612
3. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang di berikan
Garis tengah AB, dengan A=(-1,2)dan B(3,8).
Peny: Maka titik tengah X=x1+x2
2=−1+3
2=1
Maka titik tengah Y=y1+ y 2
2=2+8
2=5
P(1,5)
d(B,P)=√¿¿
=√¿¿
=√¿¿
=√4+9
=√13
PERSAMAAN LINGKARAN: d2 =¿
√132=(X−1)2+(Y −5 )2
13 =(X−1)2+(Y −5 )2
4. dalam soal ini tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan yang diberikan.
4 x2+4 y2+4x-12y+1=0
Peny: 4 x2+4 y2+4x-12y+1=0 dibagi dengan 4
x2+ y2+x-3y+14
=0
Pusat lingkaran: a=1 A=−12
a=−12
(1 )=−12
b=−3→B=¿−12
b=−12
(−3 )=32
r=√ 14=1
2
5. Sebuah tali secara ketat mengelilingi dua lingkarn dengan persamaan( x−1¿¿2 +¿+2¿¿2=16dan
¿ berapakah panjang tali ini?
Persamaan lingkaran 1: ( x−1¿¿2 +¿+2¿¿2=16
Pusat lingkaran= x:1 dan y:−2
R =√16=4
Persamaan lingkaran 2:¿
Pusat lingkaran:x=−9dan y=10
R =√16=4
Soal 1.6
Cari sebuah persamaan untuk tiap garis,kemudian tuliskan dalam bentuk Ax+By+C=0
1 melaliu(2,3)dengan kemiringan 4
Jwb :
y-y1= m(x-x1)
y-3=4(x-2)
y-3=4x-8
y-3-4x+8=0
(-4x-y+5)0
4x+y-5=0
2 melaui(3,-4) dengan m= -2
Jwb.
y+4= -2(x-3)
y+4= -2x+6
y= -2x+6-4
y= -2x+2
2x+y-2=0
3.melalui (4,1 )dan (8,2)
Garis Lurus
Jwb.
m=y2− y1
x2−x1
m=2−18−2
m¿ 14
persamaan garis
y− y1=m(x−x¿¿1)¿
y−1=14
( x−4 ) × 4
4 y−4=x−4
−x+4 y=0
x−4 y=0
4. Tuliskan persamaan garis melalui (3,-3)a. sejajar garis y= 2x+ 5
b. tegak lurus garis y = 2x +5
c.sejajar garis 2x+3y=6
Jwb.
a. sejajar garis y = 2x+5
y− y1=(x−x1)
y –(-3)=2(x-3)
y+3 = 2x-6
y+3—2x+6=0
y-2x+9=0
2x-y-9=0
b. Tegak lurus garis y = 2x+5
y− y1=m(x−x1)
y- (-3) =2(x-3)
y+3= 2x-6
y+3-2x+6 =0
2x-y+9= 0
m1.m2=−1
2 X m1=-1
m1=−12
Persamaan garis
y− y1=m(x−x¿¿1)¿
y− (−3 )=−12
( x−3)
y+3=−12
x+32
×2
2 y+6=−x+3
2 y+x+6−3=0
2 y+x+3=0
x+2 y+3=0
c.sejajar garis 2x+3y=6
jwb: 2x+3y=6
3y=-2x+6
y=−23
x+6
m=−23
Persamaan garis:
y− y1=m(x−x1)
y− (−3 )=−23
(x−3)
y+3=−23
x+2
y+3+ 23
x−2=0
2 x+3 y+3=0
5.melalui(2,3)dan(4,8)
jwb m=y2−¿ y1
x2−x1
¿
m=8−34−2
m=52
Melalui (2,3)
y− y1=m(x−x1)
y−3=52( x−2)
( y−3=52
x−5 )×2
2 y−6=5 x−10
−5 x+2 y−6+10=0
(−5 x+2 y+4=0 ) ׿
5 x−2 y−4=0
Gambar sketsa grafik dari persamaan yang diberikan .
1. y=x + 1
x= 0 y=1 A(0,1)
y=0 x= -1 B(0,-1)
0=x3+3
−1=x3
x=3√−1
¿−1
1
-1
2.16 x2+ y2=16
Titik potong pada sumbu x maka y=0
Jawab:16 x2+02=16
16 x2=16
GRAFIK PERSAMAAN
x2=16
16
x2=1
x=± 1
Tipot (1,0) (-1,0)
Tipot pada sumbu x=0
y2=16
y=4
Tipot(0,4) (0, -4)
4
-1 1
-4
3. y= -3x + 15
y= 3 x2−3 x+12
jawab: -3x + 15 + 3 x2−3 x+12
0=3 x2−3 x+3 x+12-15
0=3 x2-3
0=3(x2−1)
x2=1
x=± 1
x =1 , y = -1
x =3 x2−3 x+12
=3(1)2 – 3(1) + 12
=3 – 3 + 12
= 12 ( 1,12)
y=3 x2−3 x+12
=3(-1)2 – 3(1) +12
=3-3+12
=6+12
=18 (-1, 18)
4. x2+ y2=36
y=0 , x2+02=36
x2=36 6
x=√36=±6 4
(6,0) dan (-6,0) 2
x=0 ,02+ y2=36 -6 -4 -2 0 2 4 6 x
y=√36 2
y=±6 4
(0,6) dan (0,-6) 6
5.( x−2 )2+ y2=4
Jika x=0, maka: (0−2 )2+ y2=4
4+ y2=4
y2=4−4=0
y=0
Sehingga koordinat : (0,0)
Jika y=0, maka: ( x−2 )2+02=4
x2−4 x+4=4
x (x−4 )=0 4
x=4 2
Sehingga koordinatnya: (0,0); dan (4,0) -4 -2 0 2 4
Bab 2
Fungsi dan limit
1. Untuk φ (t )= √ t(1+t 2)
hitung lah
a.φ(0)¿ √0(1+0 )
=0
b.φ(x¿¿3)= √x3
(1+( x2 )3)=
x32
1+x6 ¿
c.φ(−t)= √−t
(1+(−t)2)=
−t12
1+ t2
d.ϕ( x+2 )=√ ( x+2 )¿¿
e.ϕ( 14 )= √( 1
4 )(1+( 1
4 )2)
=
12
(1+ 116 )
=
12
1716
=1634
= 817
f.ϕ( 1z4 )= √ 1
z 4
(1+z2 )=
1z2
(1+z2 )= 1
( z2+z4 )
2. Untuk g (u )= 3(u−2 ) , cari dan sederhanakan
[g ( x+h )−g ( x ) ]h
.
Penyelesaian:
[g ( x+h )−g(x )]h
=
3x+h−2
− 3x+2
h=
3x−6−(3 x+3h−6)( x+h−2 ) ( x−2 )
.1h=
3x−6−3 x−3h+6( x+h−2 ) ( x−2 )
.1h=
−3( x+h−2 ) ( x−2 )
3. Carilah daerah asal mula dari
a. F ( z )=√2 z+3→ syaratusahakan janganbilangannegatif
FUNGSI DAN GRAFIK
maka daerah asal mula selang [32
,∞ ¿
b. g (v )= 1( 4v+1 )
→syarat bilangantidak mengasilkan ∞
maka daerah asal mula selang (−∞ ,14
¿∪( 14
,∞)
4. manakah dari grafik tersebut merupakan grafik fungsi
Syarat: daerah asal tidak dapat memetakan dua kali
a. b.
tidak fungsi fungsi
alasan: karna grafik berbentuk elips alasan:
c. d.
tidak fungsi fungsi
alasan: karna terdapat 2 titik yang sama alasan:
5. Sketsakan grafik dan nyatakan apakah fungsi yang di berikan genap atau ganjil atau tidak sama
Sekali
a. g (t )={ 1 jika t ≤ 0t+1 jika0<t<2t 2−1 jika t ≥ 2
penyelesain:
y
3
2
1
x
-1 1 2
b. h ( x )={−x2+4 jikax ≤ 13 x jikax>1
penyelesaian:
y
3
2
1
0 1 x
1. Jika f ( x )=√x2−1 dan g ( x )=2x
, cari rumus-rumus untuk berikut dan nyatakan daerah asal
nya
a) ( f . g ) ( x )=√ x2−1 . 2x
daerah asal
b) f 4 ( x )+g4 ( x )=(√ x2−1 )4+( 2x )
4
=( x2−1 )2+ 8
x4 daerah asal
c) ( f ° g )(x ) =f ( g ( x ) )=√( 2x )
2
−1=2x−1=
2−xx
daerah asal
d) ( g° f ) ( x )=2
√x2−1 daerah asal
Penyelesaian:
2. Cari f dan g sedemikian sehingga p=f ° g
a. p ( x )= 2¿¿
penyelesaian : f ( x )= 2
x3 g ( x )=x2+x+1
b. p ( x )=log ( x3+3 ) penyelesaian: f ( x )=log x g ( x )=x3+3
3. Sketsakan grafik darig ( x )=|x+3|−4 dengan petama-tama mensketsakan h ( x )=|x|dan
kemudian dangan menggeserkan
penyelesaian:
y y
Operasi pada Fungsi
x -3 -2 -1 1 2 3 x
y=|x| y=|x+3|
y y
x x
-1 -3 -2 -1
-2 -1
-3 -2
-4 -3
-4
y=|x|−4 y=|x+3|−4
4. Sketsakan grafik dari f ( x )=¿ dengan memanfaat kan pergeseran
Penyelesaian:
y y
x x
-2 -1 1 2
y=|x2| y=|x−2|2
y y
x x
-1 -1 1 2
-2 -2
-3 -3
-4 -4
y=|x|2−4 y=|x−2|2−4
5. Sketsakan grafik dari g ( x )=(x+1)2-3 dengan memanfaatkan penggeseran
Penyelesaian:
y y
x x
-1 1
-1 -1 -1
-2 -2
-3 -3
1. Konversikan ukuran radian berikut menjadi derejat
a)7π6
=7.1806
=1266
=21 °
b)−π
3=−180
3=−60°
c)−π
5=−180
5=−35°
d)−11π
12=−11.180
12=−1980
12=−165°
e)7π4
=7.1804
=12604
=315 °
2. Hitung tanpa menggunakan kalkulator
a) tan( π3 )=tan( 180
3 )=tan 60 °= sin 60 °cos60 °
=
√3212
=12
√3 .21=√3
b) sec( π3 )=¿¿
sec ( 1803 )=sec 60°= 1
cos60 °= 1
12
=2
c) cot ( π3 )=cot( 180
3 )=cot 60 °= 1tan 60 °
= 1
√3
d)csc( π
4 )=csc( 1804 )=csc 45 °= 1
sin 45 °= 1
12
√2=2√2
e) tan(−π6 )=tan(−180
6 )=−tan 30 °=−( sin 30 °cos30 ° )=−(
12
√32
)=−( 12
∙2
√3 )=−1
√3
Fungsi Trigonometri
f) cos (−π3 )=cos (−180
3 )=cos−60 °=−12
3. Periksa kebenaran berikuta) ¿
sec2t+sec t−sect +1=tan2 t
sec2t+1=tan2t tan2t=tan2 t ( terbukti )
b) sect−¿ sin t tan t=¿cos t ¿¿
1
sin t−sin t .
sin tcos t
=cos t
1
sin t −sin t ( sin t
cos t )=cos t
1−sin2 tcos t
=cos t
cos2 tcos t
¿cos t
cos t=cos t ( terbukti )
c) cos t ¿¿
cos t ( sin tcos t
+ cos tsin t )=csc t
cos t ( sin2 t+cos2 tcos t sin t ) ¿csc t
cos t ( 1cos t sin t )=csc t
cos t
cos t sin t=csc t
1sin t
=csc t
csc t=csc t ( terbukti)
4. Periksa bahwa yang berikut ini adalah kesamaan
a)sin ucsc u
+ cosusecu
=1→sin u secu+cscu cosu
csc usec u=1
sin u1
cosu+ 1
sin ucosu
1sin u
1cosu
=1
sin ucos u
+ cosusin u
1sin u
1cosu
=1
sin2u+cos2 usin ucosu
¿
sin2 ucos2 u=1
1=1 ( terbukti )
b) (1−cos2 x¿ (1+cot2 x )=1→ sin2 x (1+ cos2 xsin2 x )=1
sin2 x ( sin2 x+cos2 xsin2 x )=1
sin2 xcos2 x=1
1=1 ( terbukti)
5. Sketsakan grafik pada[−π ,2 π ]
y=sin(t−π4 )
t −π −34
π−π
2−π
40 π
4π2
34
ππ 5
4π
32
π74
π2π
(t− π4 ) −5
4π
−π −34
π−π
2−π
40 π
4π2
34
ππ 5
4π
32
π74
π
sin( t−π4 ) 1
2√2
0 −12
√2−1 −1
2√2
0 12√2
1 12√2
0 −12
√2−1 −1
2√2
1
12√2
−π 34
π−π2
−π
4 0
π4
π2
34
π π54
π32
π74
π 2 π
−12
√2
−1
Soal2.4
1.Periksa lah limit tersebut
a) lim ¿ x→3❑
(2 x−8)=(2.3−8 )= (6−8 )=−2
b)lim ¿ x→1
❑
5x−x2
x2+2 x−4=
5 (1 )−(1 )2
(1 )1+¿2 ( 1)−4= 5−11+2−4
=−4¿
2. lim ¿ x→0❑
tan x2x
lim ¿ x→0❑
tan xx
.12
¿12
3. Gambarkan gungsi f dari limit yang ditunjukan atau nilai fungsi atau nyatakan bahwa limit tersebut tidak ada
a. lim ¿ x→−3❑
f (x)=2
b. f (−3 )=1
c. f (−1 )tidak ada
d.lim ¿ x→−1❑
f (x)=¿ 2,5
e. f (1 )=2
f. lim ¿ x→1❑
f (x ) tidak ada
g. lim ¿ x→1⁻❑
f (x )=1
h. lim ¿ x→1⁻❑
f (x) tidak ada
y
3
2 sketsa grafik
1
-3 -2 -1 1 2 3 x
4. Sketsakan grafik dari
f ( x )={ x2 jika x≤ 0x jikax<x<11+x2 jika x≥ 1
Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada.
a) lim ¿ x→0❑
f ( x )=0
b) f (1 )=2
c) lim ¿ x→1❑
f (x ) tidak ada
d) lim ¿ x→1⁻❑
f=1
y
2
1
-1 0 1 x
5. Sketsakan grafik dari g ( x )={−x+1 jika x<1x−1 jika1< x<25−x2 jika x≥ 2
Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada
A. lim ¿ x→1❑
g(x )=0
B. g (1 )tidak ada
C. lim ¿ x→2❑
g(x )=2
D. lim ¿ x→2⁺❑
g(x )=2
Sketsa grafik
1
-2 -1 0 1 2
Teorema Limit
Gunakan teorema A untuk mencari limit. Berikan pembenaran tiap langkah dengan mengacu pada pernyataan bernomor. 6
1. lim ¿ x→0❑
[ (4 x2−3 ) (7 x3+2 x )]= lim ¿ x→ 0❑
( 4 x2−3 ) lim ¿x → 0❑
(7 x3+2 x ) 5,4
¿ (lim ¿x →0❑
4 x2−lim ¿x →0❑
3 )( lim ¿ x→0❑
7x3+ lim ¿ x→0❑
2x )
8,1,3
¿ [4 ( lim ¿ x→0❑
x)2−3 ]. [7( lim ¿ x→0
❑x )
3+2 (lim ¿ x→0
❑x )]
2
¿ (4.0−3 ) (7.0+2.0 )=0
8 4
2. lim ¿ t →−2❑
(2 t ¿¿3+15)13¿=[ lim ¿t →−2❑
(2 t3+15 ) ]13=¿¿
8,1,3 2
=[2 (lim ¿ t →−2❑
t )3+15]
13
=¿ [2 (−2 )3+15 ]13=−1
8
3. lim ¿w →5❑
( 2w4−9w3+19 )−12 =[ lim ¿ w →5
❑❑(2w4−9w3+19)]
−12
5,4
= ¿¿
3,1
=[2 (lim ¿w →5❑
w )4−9 (lim ¿ w →5
❑w )
3+19 ]
−12
2
=[2.54−9.53+19 ]−12
=[ 2.625−9.125+19 ]−12
=[ (1250−1125+19 ) ]−12
=[ 144 ]−12
=1
√144
=1
12
Cari limit yang ditunjukan atau nyatakan bahwa itu tidak ada
4. lim ¿ x→−1❑
x2+7 x+6x2−4 x−5
=¿ lim ¿ x→−1❑
( x+6 ) ( x+1 )( x−5 ) ( x+1 )
¿
¿ lim ¿x →−1❑
(x+6 )(x−5 )
=−1+6−1−5
=56
5. lim ¿ t →−1❑
t 2+7 t+7t 2−4 t−5
=(−1 )2+7 (−1 )+7
(−1 )2−4 (−1 )−5
¿1+7 (−1 )+7
1+4−5=1
0 = (tidak ada)
Kekontinuan Fungsi
Nyatakan apakah fungsi yang ditunjukan kontinu atau tidak ,jika kontinu jelasakan sebab nya.
1) f ( x )=4 x2−2 x+12Penyelesaian: fungsi tersebut kontinu karna tidak berbentuk akar atau bagi sehingga memiliki Limit, fungsinya ada dan nilai limit dan fungsi nya sama.
2) g ( x )= 3 x2
x−2
Penyelesaian : fungsi tidak kontinu karna salah satu syarat dari ketiga syarat tak terpenuhi yaitu fungsi bentuk pembagian sehingga nilai limit dengan fungsi tidak sama
3) f ( x )={ x+3 jika x<2x2+1 jika x≥ 2
Penyelesaian:
5
4 3
2
1
-1 0 1 2
Ket: lim ¿ x→2
❑
+¿ f ( x )=5
¿
lim ¿ x→2❑
−¿ f ( x )=5
¿ lim ¿ x→2
❑f (x )=5
f (2 )=5
Maka, fungsi tersebut kontinu
Fungsi yang diberikan tidak terdefenisi di suatu titik tertentu.bagaimanakah harus mendefenisikan nya di sana agar kontinu di titik itu.
4) f ( x )= x2−9x−3
Penyelesaian:
Fungsi tersebut kontinu di titik f(3)¿6
Dititik mana jika ada,fungsi takkontinu?
5)f ( x )={ x jika x<0x2 jika0≤ x ≤12−x jika x>1
Penyelesaian:
y
3
2
1
0 1 2 3
Ket: fungsi tersebut kontinu dititik 0 dan 1
Fungsi yang tidak kontinu tidak ada
Bab 3
Turunan
Dua masalah dengan satu tema
1.cari kemiringan garis singgung pada kurva y=x2-3x+2 dititik dengan x=-2;1,5;2;5
Jawab:
= lim ¿h→0
❑¿¿¿
= lim ¿h→0❑
c2+2ch+h2−3c−3h+2−c2+3c−2h
= lim ¿h→0❑
h(2c+h−3)h
= lim ¿h→0❑
2c+h−3
= 2c-3
x→−2 m=2(-2)-3 =-4-3 =-7
x→ 1,5 m=2(1,5)-3 =3-3 =0
x→2 m=2(2)-3 =4-3 =1
x→5 m=2(5)-3 =10-3 =7
Jadi, m=(-7,0,1,7)
2. jika sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat sehinggah jarak berarah dari
Titik asal ke titik setelah t detik adalah (-t2+4t)meter,kapan partikel akan berhenti
(yaitu bilamana kecepatannya menjadi nol) ?
Jawab:
V=lim ¿h→0❑
f (c+h )−f (c)h
=lim ¿h→0❑
f (c+h )2+4 (c+h )+c2+4ch
=lim ¿h→0❑
−2ch+4 h−h2
h
= lim ¿h→0❑
−2c+4−h
V= -2c+4
0 = -2c+4
2c= 4
C= 2sekon
3. cari persamaan garis singgung pada y=2
(x−2) dititik (0,-1)
Jawab:
Mtan = lim ¿h→0❑
f (0+h )−f (0)h
lim ¿h→0
❑
20+h−2
− 20−2
h
lim ¿h→0
❑
2h−2
−−2−2
h
lim ¿h→0❑
−4−2(h−2)h¿¿
¿
lim ¿h→0❑
−4−2h+4h(−2h+4 )
lim ¿h→0❑
−2hh(−2h+4)
lim ¿h→0❑
−2(−2h+4) =
−2−2.0+4
=−24
=−12
y-y1 = m(x-x1)
y-(-1) = -12
(x-0)
y+1 = -12
x+0
y+ 12
x+1=0 (×2 )
2 y+x+2=0
Soal 4 dan 5
Turunan
Dari soal berikut taksirlah kemiringan (kemiringan = naik/jarak) dari garis singgung yang digambar pada kurva!
y
7
5
3
2
1 2 3
Penyelesaian:
Kemiringan = naik/ jarak
=6
2,5=4
Sama seperti soal diatas carilah kemiringannya!
y
14
10
6
4
1 2 3 4 5 6 x
Penyelesaian:
Kemiringan = naik/jarak
=12−6
=−2
1. fx = f (x + h) − f ( x )
lim = [(x + h)4 ] ( x 4 )h→ 0
lim = x 4+4 x3 h + 4 xh3 + h3+h4+ x4
hh→0
lim = 4 x3h+4 xh3+h4
hL→0
Lim = h( 4 x3 +4 xh2+h3)h
h→0
Lim 4 x3+4 x2+h3
h→04 x3 +4 x (0 )2+(0 )3
= 4 x3
2. f ( x ) = x2 + 3x +4
f ( x ) Lim f( c+h )− f ( c )h
k→0
Lim(x+ )2+3 ( x+h )+4−( x2+3x+4 )h
h→0
Lim2 xh +h2+3hh
h→0
Lim h(2x+h+3 )h
h→0
= 2x+3
3 . f ' ( x ) = Limh→0
f(c+h )− f (c )h
limh→0
2( x+h )+6
−2¿ x+6 ¿¿
¿ limh→0
2 ( x+6 )−2 (x+h )+6( x+h+6 ) ( x+6 )
⋅1h
¿ ¿ limh→0
2+12−2x−2h−12( x+h+6 ) ( x+6
. 1¿ h ¿¿
¿ ¿ limh→0
−2h( x+h+6 ) ( x+6 )
.1h
¿ ¿ = −2
( x+6 )2¿¿
4 . 9 (x ) =1
√3 x
limh→0
( x+h )−f ( x )h
limh→0
1
√3 ( x+h )h
−13 x
limh→0
√3x−(√3 x+3h )
√3 x+h(√3 x )
.1h
limh→ 0
−h3 x+3 x . 3h
.1h
= −13x
5 . f ( x ) = 2x3
limh→0
f( x+h )−f ( x )h
limh→0
2 ( x+h )32 x3
h
limh→ 0
2 ( x2+3x2h+3xh2+h3 )−x3
h
limh→0
h (6 x2+6 xh+2h2)h
= 6 x2
Aturan pencarian turunan
Carilah Dy dari soal-soal berikut!
y=2x2
penyelesaian :
dy=4 x
y=√2 x5
Penyelesaian: Dy=5√2 x4
y=2x−6+x−1
Penyelesaian: Dy=−12x−7−1
y=( x4−1 ) ( x2+1 )
Penyelesaian: f . g ( x )=f ' ( x ) g ( x )+f ( x ) g ' ( x )
dy=¿ 4 x3 ( x2+1 )+( x4−1 )2 x
¿(4x5+4 x3 ¿+(2x¿¿5−2x )¿
¿6x5+4 x3−2 x
y=2 x−1x−1
Penyelesaian: fg=
f ' ( x ) g (x )−f ( x ) g' (x )g2(x)
dy=2 ( x−1 )− (2 x−1 ) 1
( x−1 )2
¿(2x−2 )−(2 x−1)
x2−2 x+1
¿−1
x2−2x+1
Jika f (3 )=7 , f ' (3 )=2 , g (3 )=6 g' (3 )=−10 ,
(a) ( f −g )' (3 )=2− (−10 )=12
(b) ( f . g )' (3 )=2.6+7 (−10 )=12−70=−58
(c) ( gf )
'
(3 )=2.6+(−70)
(6)2 =−5836
=−2912
Cari persamaan garis singgung pada y=1
( x2+1 ) di titik (1 ,12 )
Penyelesaian:dydx
=0 ( x2+1 )−1(2x )
( x2+1 )2
¿−2 x
x2+2 x+1
m=dydx
=−2 (1 )
(1 )2+2 (1 )=−2
3
Persamaan garis singgung
y - y1 = m(x-x1)
y - 12
= - 23
(x-1)
y- 12
=- 23
x + 23
y + 23
x - 12
- 23
= 0
6y +4x – 3 – 4 =0
4x +6y – 7 =0
Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada saat t detik di berikan oleh
s=−16 t2+40t−100
(a) berapa kecepatan sesaatnya pada t=2?
(b) bilamana kecepatan sesaatnya 0?
Penyelesaian:
s=−16 t2+40t−100
dsdt
=v=−32 t+40=0
a). Kecepatan sesaatnya saat t = 2
v=−32 (2 )+40
v=−64+40
v=−24kaki/sekon
Jadi, kecepatan bola ketika t=2 adalah -24 kaki/sekon
b). t pada saat v=0
v=−32 t+40
0=−32 t+40
32 t=40
t=4032
=1,25 sekon
Jadi bola berhenti(v=0) pada saat t=1,25 sekon
Sebuah bola mengelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari titik awal setelah t detik adalah s=4,5 t 2+2 t kaki.kapankah kecepatan sesaatnya akan sebesar 30 kaki/detik?
Penyelesaian:
s=4,5 t 2+2 t
dsdt
=v=9t+2
30=9 t+2
−9 t=−28
t=−28−9
=289
Jadi bola akan memiliki kecepatan sesaat sebesar 30 kaki/ detik pada saat t=289
detik
Turunan sinus dan kosinus
Carilah Dy dari y=cot x=cos xsin x
!
Penyelesaian:
y=cot x= sin xcos x
D y=D (cot x )= D (sin x )cos x−sin xD (cos x )(cos x )2
¿ cos xcos x+sin x sin x
cos2 x
¿ cos2 x+sin2 xcos2 x
¿ cos2 xcos2 x
+ sin2 xcos2 x
¿1+ tan2 x
¿ sec2 x
Carilah turunan dari y=sec x= 1cos x
!
Penyelesaian:
y=sec x= 1cos x
D y=D ( sec x )=D( 1cos x )
¿D (1 ) (cos x )− (1 ) D (cos x )
(cos x )2
¿(0 ) (cos x )−(1 ) (−sin x )
cos2 x
¿ sin x
cos2 x
¿ sin xcos x ( 1
cos x )¿ tan x sec x
Carilah turunan dari y=csc x= 1sin x
Penyelesaian:
y=csc x= 1sin x
D y=D (csc x )=D( 1sin x )
¿D (1 ) (sin x )−(1 ) D (sin x )
(sin x )2
¿(0 ) (sin x )−(1 ) (cos x )
sin2 x
¿− cos x
sin2 x
¿(−cos xsin x )( 1
sin x )
¿−cot xcsc x
Carilah Dy dari y=sin x
sin x+cos x
Penyelesaian:
y= sin xsin x+cos x
D y=D ( sin xsin x+cos x )
¿D (sin x ) (sin x+cos x )−(sin x ) D (sin x+cos x )
(sinx+cos x )2
¿(cos x ) (sin x+cos x )−(sin x ) (cos x−sin x )
(sin x+cos x )2
¿[ (cos x ) (sin x )+(cos x ) (cos x ) ]−[ (sin x ) (cos x )−(sin x ) (sin x ) ]
(sin x+cos x )2
¿sin xcos x+cos2 x−sin x cos x+sin2 x
(sin x+cos x )2
¿sin2 x+cos2 x(sin x+cos x )2
¿1
(sin x+cos x )2
¿ (sin x+cos x )−2
Carilah turunan dari y=x2 sin x !
Penyelesaian:
y=x2 sin x
D y=D ( x2 sin x)
¿ D ( x2 ) (sin x )+( x2 ) D (sin x )
¿2 x sin x+x2cos x
¿ ( x ) (2 sin x+xcos x )
Aturan rantai
1. y= (x3-3x2+11x)9 →y= u9 , u=x3-3x2+11x
Dxy= Du9.Du
=9u8.(3x2-6x+11)
=9(x3-3x2+11x)8.(3x2-6x+11)
2. y=3
(4 x3+11 x )7 →y=
3
u7 = 3u-7
u= (4x3+11x)
Dxy=D3u-7.Du
=3.Du-7.D(4x3+11x)
=3.-7.u-8.(12x2+11)
=-21.u-8. (12x2+11)
=-21 (4x3+11x)-8(12x2+11)
=−21
(4 x3+11 x )8 .(12x2+11)
=−21 (12 x2+11)
( 4 x3+11 x )8
3. y =( x2−1x+4 )
4
→ y= u4, u= x2−1x+4
Dxy = Du4. Du
=4u3. D( x2−1x+4 )
= 4u3. ( D ( x2−1 ) (x+4 )−( x2−1 ) D ( x+4 )( x+4 )2 )
= 4.( x2−1x+4 )
3
. ( 2x ( x+4 )−( x2−1 ) (1 )( x+4 )2 )
=4.( x2−1x+4 )
3
. ( (2 x2+8 x )−( x2−1 )( x+4 )2 )
=4. ( x2−1x+4 )
3
.( x2+8 x+1( x+4 )2 )
4. y=sin( 3 x−12 x+5 ) → y= sin u, u= ( 3 x−1
2 x+5 )Dxy= D(sin u). Du
= cos u. D( 3 x−12 x+5 )
= cos ( 3 x−12 x+5 ) .( D (3 x−1 ) (2x+5 )−(3 x−1 ) D (2 x+5 )
(2 x+5 )2 )
=cos ( 3 x−12 x+5 ) .( (3 ) (2 x+5 )− (3 x−1 ) (2 )
(2x+5 )2 )
= ( (6 x−15 )−(6 x−2 )(2x+5 )2 ) .cos( 3 x−1
2 x+5 ) = ( −13
(2x+5 )2 ) .cos (3 x−12x+5 )
5. Dt[sin3 (cos t ) ] → y= u3, u = sin v, v= cos t
Dty= Duy . Dvu . Dtv = 3u2. cos v. –sin t
= 3 . [sin (cos t ) ]2 . cos (cos t). –sin t
= 3. [sin2 (cos t ) ] .¿ = -3. Sin t. [sin2 (cos t ) ] . [cos (cos t ) ]
Notasi leibniz
1. y= x2+1x
→y= u
dydx
=dydu
¿ ddy ( x2+1
x ) ¿
2x ( x )−( x2+1 ) (1 )x2
¿ 2x2−x2−1x2
¿ x2−1x2
2. y= 1
u−2=u−2
dan u= sin x
dydx
= dydu
.dudx
dydx
=-2.u-3. Cos x
=−2
u3.cos x
= −2
(sin x )3.cos x
=−2
sin3 x.cos x
= -2 . 1
sin2 x.cos xsin x
= -2 csc2 x . cot x
3. y= ( x2+1cos x )
4
→y= u4, u= x2+1
cos x
dydx
=dydu
.dudx
= ddu
(u4) . ddx
(u)
= 4u3. ( d ( x2+1 ) . (cos x )−( x2+1 ) d (cos x )( cos x )2 )
= 4 . ( x2+1cos x )
3
. ( 2x .cos x−( x2+1 ) (−sin x )cos2 x )
= 4 . ( x2+1cos x )
3
.( 2 xcos x+( x2+1 ) (sin x )cos2 x )
4. y= sin3[cos2(x2)] →y= u3, u= sin v, v=w2, w= cos z, z= x2
dydx
= dydu
.dudv
.dvdw
.dwdz
.dzdx
.
= 3u2 . cos v . 2w . sin z . 2x
= 3 (sin [cos2 (x2)])2 . (cos (cos2 (x2)) . 2 (cos (x2)) . (sin (x2)) . 2x
=3 sin 2(cos 2x2) . cos (cos 2 x2) . 2 cos x2 . sin x2 . 2x
= 12x sin2 (cos 2 x2) . cos (cos 2 x2) . cos x 2 . sin x2
5.dds
[ ( s2+3 )3−(s2+3 )−3 ] = (3. ( s2+3 )2
.2 s¿−(−3. ( s2+3 )−4.2 s)
=6 s ( s2+3 )2+6 s ( s2+3 )−4
Turunan tingkat tinggi
Carilah d3 y /dx3 dari soal 1-3!
1. y=2x5−x4
Jawab: dydx
=10 x4−4 x5
d2 ydx2 =40x3−20x 4
d3 ydx3 =120 x2−80 x3
2. y= 1x−3
Jawab:
y= (x−3 )−1 dydx
=¿
dy2
dx2 =(−2 )[−( x−3 )−3] (1 )=2 ( x−3 )−3
d3 ydx3 =(−3 ) [2 ( x−3 )−4 ] (1 )=−6 ( x−3 )−4
3. y=cos ( x2 ) Jawab: dydx
=−sin ( x2 ) (2x )=−2 x sin x2
d2 ydx2 =(−2 )¿
d3 ydx3 =¿
Dalam soal 4-5 carilah f’’(2)!
4. f(t)=1t
jawab:
f’(t)=t-2
f’’(t)=−2 t−3=−21
t 3
f’’(2)=(−2) 1
23 =−14
5. f ( x )=x ( x2+1 )3
Jawab:
f ' ( x )=(1 ) [ (3 ) ( x+1 )2 ] (2 x )=6 x (x+1)2
f ' ' ( x )=(6 )(x¿¿2+1)2+6 x (2 ) ( x2+1 ) (2 x )=6 ( x2+1 )2+24 x2(x2+1)¿
f ' ' (2 )=6 (22+1)2+24¿
Pendifensialan implisit
1.cos (xy )= y2+2x
cos (xy )− y2=2 x
−sin ( xy )( y+xdydx )−2 y
dydx
=2
− y sin ( xy )−xdydx (sin ( xy )−2 y
dydx )=2
−dydx
sin ( xy )−2 ydydx
=2+ y sin ( xy )
dydx
=2+ y sin(xy )
−x sin ( xy )−2 y
2. cari persamaan garis singgung
x2 y2+3 xy=10 y (2,1)
x2 y2+3 xy−10 y=0
(2 x y2+2 x2 y y ' )+ (3 y+3xy ' )−10 y '=0
2 x2 y y '+3 x y '−10 y '=−2x y2−3 y
y ' ( 2x2 y+3x−10 )=−2 x y2−3 y
y '= −2x y2−3 y2x2 y+3x−10
subsitusikan (2,1)
y '=−2.2 .¿¿
y '=−74
Persamaan garis
y− y1=m(x−x1)
y−1=−74
(x−2)
y=−74
x+ 72+1
y=−74
x+ 92
7 x+4 y−18=0
3.cari dydx
dari y=3√x+ 1
3√x
y= 3√x+ 13√x
y=x13 +x
−13
dydx
=13
x−23 1
3x
−43
4.jika y=sin(x¿¿2)+2 x3¿cari dxdy
Peny:
y=sin x2+2 x3
sin x2+2x3= y
cos ( x2 ) .2 xdxdy
+6 x2 dxdy
=1
dxdy
(2 x cos ( x2 )+6 x2)=1
dxdy
= 12 x cos¿¿
5.caridydx
dari y=4√1+cos ( x2+2 x )
Peny:dydx
= 1
(4 4√1+cos ( x2+2 x ))3.−2 x−2sin ( x2+2 x )
¿(−2x−2 )sin ( x2+2 x )
(4 4√1+cos ( x2+2x ))3
Bab 4
Penggunaan turunan
Maksimum dan minimum
Carilah nilai maksimum dan minimum
1. f ( x )=x2+3 x
f ' ( x )=2 x+3
2 x+3=0
2 x=−3
x=−32
Maka titik kritis :−2 ,−32
,3
f (−2 )=x2+3 x
¿−22+3(−3)
¿4−6
¿−2→ titik minimum
f (−32 )=x2+3 x
(−32 )
2
+3(−32 )
94−9
2=9−18
4=−9
4
f (3 )=x2+3x
¿(3)2+(3)
¿9+9
¿18→maximum
2. f ( x )= x
x2+2
[−1,4 ]
f ' ( x )= D (x ) ( x2+2 )−xD (x2+2)
( x2+2 )2
D=x2+2−x (2 x)
( x2+2 )2
D=−x2+2x2+2
−x2+2=0
−x2=−2
x=√2
Maka titik kritis: −1 ,√2 , ,4
f (−1 )= x
x2+2= −1
(−1)2+2=−1
3→ minimum
f (−1 )= √2
(√2 )2+2=1,41
4=0.35
f ( 4 )= 4
( 4 )2+2= 4
10=0,4→maximum
3. f ( x )=x3−3x+1
f ' ( x )=3 x2−3
3 x2−3=0
3 x2=3
x2=1
x=√1
x=± 1
(−32
,3)→maka [−32
,−1,1,3]
Titik kritis: −32
,−1,1 ,dan3
f (−32 )=x3−3x+1
¿(−32 )
3
−3(−32 )+1
¿(−278 )+ 9
2+1
¿ −27+36+88
¿ 178
f (−1 )=x3−3 x+1
¿ (−1 )3−3 (−1 )+1
¿−1+3+1
¿3
f (1 )=( x )3−3 x+1
¿1−3+1
¿−1→minimum
f (3 )=¿
¿ (3 )3−3 (3 )+1
¿27−9+1
¿19→maksimum
4.g ( x )=x25 ; I=[−1,32 ]
¿ 25
x−35
¿0
Maka,titik kritis nya [−1,0,32 ]
g (−1 )=x25
¿−125
¿1
g (0 )=0
g (32 )=3225
¿25 (2
5 )
¿4
5.dono mempunyai 200 meter kawat duri
x lebar=x=1
panjang=y=3
y
x+3 y=200
y=2003
−13
x
Luas total yang di berikan oleh A=xy=2003
x−13
x2
0=2003
x−13
x2
Maka batas 0≤ x≤ 200 interval [ 0,200 ]
dAdx
=2003
−23
x
Jadi terdapat 3 titik kritis (0,23
,100¿
Kedua titik ujung nya 0 dan 100 memberikan A=0 sedangkan x=−23
menghasilkan A=44,59
X=200 meter dan y=200
3meter