kalkulus-momen inersia
TRANSCRIPT
MOMEN INERSIA
Kelompok 8 :Reza Gulam Mustafa, 0906630456Risa Karlin, 0906630462Vicki Benita, 0906630481Samia Sofyan, 0906632700
Definisi
Momen inersia adalah jumlah total dari perkalian massa partikel penyusun sistem/benda dengan kuadrat jarak dari poros/sumbu putarnya.
Momen Inersia (I)
I = m r2
sistem
bidang datar benda padat
1. SistemPenyebaran massa
tidak merata.m1, m2, dan m3 untuk
berrotasi terhadap sumbu XX memerlukan energi.
Energi dari m1,m2,dan m3 disebut Energi Kinetik (Ek).
m1
m2
m3
r1
r2
r3
x
X
Ek = ½ mv2 v = r
= ½ m( r)2
= ½ m 2 r2
Bilangan konstan dikedepankanEk = ½ 2 mr2
m1
v
x
r1
I
Karena m dan r berubah-ubah, maka Ek untuk seluruh partikel:Ek = ½
2 2mr
2
1i
n
iixx rmI
(untuk seluruh partikel)
m1
m2
m3
r1
r2
r3
x
X
Contoh soal sistem
Carilah momen inersianya terhadap sumbu XX!
Jawab:
= 2.32 + 1.12 + 3.22 + 4.22
= 18 + 1 + 12 + 16
= 47 [kg m2 ]
2 kg
x
X
3 m1 kg
1 m3 kg
2 m4 kg
2 m
2
1i
n
iixx rmI
+Jari-jari Girasi
Jari-jari girasi (k) adalah jari-jari dimana momen inersia untuk semua partikel sama/setimbang dengan momen inersia dari jumlah total massa.
= ; dimana M =
2
1i
n
iirm
2Mk
m
MOMEN INERSIA PADA BIDANG DATAR R1
DITINJAU DARI BEBERAPA SUMBU PUTAR
Momen inersia pada bidang R1 terhadap sumbu putar AD dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Tentukan sumbu putarnya terlebih dahulu. Kita misalkan sumbu putar nya adalah AD
2. Bagi bidang R1 dengan beberapa bagian persegi panjang kecil seperti yang ditunjukkan oleh gambar disamping
A B
CD
a
b
3. Setelah itu ambil satu buah persegi panjang kecil, lalu tentukan pusat massa , dari persegi panjang kecil tersebut
4. Setelah itu hitung momen inersianya
Misal :
Momen Inersia dari massa potongan terhadap AD =
(massa×jarak2)
A B
CD
a
b
),( ii yx
x
),( ii yx
Aδm
δA
m
2
2
2
iAD
iAD
iAD
xxa
xA
xm
pelat massa m ;sumbu x kejarak
pelatlebar b ;y sumbu kejarak
pelat panjang a ; x nilaiperubahan x
Luas A ; massarapat
Keterangan
i
i
yx
x
y
∴ Momen Inersia total untuk seluruh potongan yang membentuk bidang
R1 adalahx a δ Ι
b
xAD
2
0x
b
b
AD
xa
dx xa δmaka Ι
0
3
2
0
3
0Δx jika
Contoh Soal Sebuah pintu terbuat dari logam, 40
cm×60 cm, mempunyai massa 8 kg dandiberi engsel pada salah satu sisi yang panjangnya 60 cm
Hitunglah :
1. Momen Inersia yang melalui engsel AB!
2. Momen Inersia yang melalui engsel AC!
INGAT !
Diketahui:
A
B
60 cm
40 cm
dxxa δmaka Ιb
AB2
0
0Δx jika
pintu
40
60
massam
bendamassaRapat
cmb
cma
C
D
MOMEN INERSIA YANG MELALUI ENGSEL AB
2
3
403
40
0
2
1280000
0403
60
360
60
kg cmδ
δ
x δ Ι
dxx Ι
o
AB
AB
]cm [kg 4267
00333333.01280000
00333333,060.40
8
2
2
AB
cm
kg
A
m
MOMEN INERSIA YANG MELALUI ENGSEL AC
][2880000
0603
40
340
40
2
3
603
60
0
2
kg cmδ
δ
y δ Ι
dyy Ι
o
]cm [kg 9600
00333333.02880000
cm
kg 00333333,0
60.40
8
2
2
AC
A
m
Contoh Soal 2
Carilah momen inersia untuk sebuah pelat empat persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisinya.
x2
d
2
d
2mrI Am
2 iXX xxbI
d
b
xxbIdx
dxiXX
2/
2/
2
x
Q
P
x
xi
2/
2/
2, 0d
d
xx dxxbIx
2/
2/
3
3
d
d
xb
2
333
122424 m
kgdbddb
Contoh Soal 3
Carilah momen inersia untuk sebuah empat persegi panjang 20 cm x 10 cm, dengan massa 2 kg, terhadap sumbu yang berjarak 5 cm dari sisi panjangnya.
x
cm5
cm10
cm20
P
Q
x01,0
20.10
2
x
Am
xm 20
xxI xx 220
xxtotalIx
xxx
15
5
220
dxxIx xx 15
5
220,0
12533753
20
320
15
5
3
x
][2173
650
100
13250
3
20 2kgcm
Momen Inersia Pada Sumbu Tegak Lurus
Momen inersia satu lingkaran kecil = mr2
z
z
r
X1-1
xi
Δx w
Δx.ww
δAr
mr Ι
Δx w
)x)(xx(x
)x(xA
δAm
i
ii
z
i
iiii
ii
3
2
2
2
11
21
2
2
2
2
2
4
0
4
0
3
0
3
0
3
2
42
2
2
2
m
kgr
x
dxx
dxx
xxtotal
r
r
r
r
xi
Teorema sumbu-sumbu tegak lurus (untuk pelat tipis)
Misalkan δm adalah suatu masa kecil di P.maka Ix ≈ ∑ δm. y2
dan Iy ≈ ∑ δm. X2 Misalkan ZZ adalah Sumbu yang tegak
lurus dengan sumbu XX dan YY. maka Iz = ∑ δm. (OP) 2
= ∑ δm.(X 2 + Y 2) = ∑ δm. Y2 + ∑ δm. X2
Sehingga : Iz = Ix + Iy
y
z
δm
px
y
Teorema sumbu-sumbu tegak lurus (untuk pelat tipis)
Oleh karena itu jika mengetahui momen kedua terhadap sumbu yang ketiga, tegak lurus dengan kedua sumbu tadi (melalui titik perpotongan) diberikan oleh Iz = Ix + Iy
x
Teorema sumbu-sumbu tegak lurus (untuk pelat tipis)
kita mencari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu.
kita telah menetapkan bahwa Iz = =
Contoh soal :Carilah I untuk sebuah cakram berdiameter
40 cm dan massa 12 kg :(a) Terhadap sumbu normal (sumbu Z)(b) Terhadap diameter sebagai sumbu(c) Terhadap garis-singgung sebagai sumbu
Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang saling tegak lurus.maka kita ketehaui bahwa
Ix + Iy = Iz =
Tetapi seluruh diameternya identikIx = Iy 2Ix = dan Ix =
Untuk suatu cakram lingkaranIz = = dan Iy = =
(a) Iz = =
= 2400 kg cm2
(b)Ix = = 0.5 Iz = 1200 kg cm2
(c) Ix = 1200 kg cm2
dengan teorema sumbu sejajarIT = Ix + Mℓ2
= 1200 + 12.202
= 1200 + 4800 = 6800 kg cm2
TERIMA KASIH