kapitel 19 kointegration

Kapitel 19

Kointegration

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

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Integrierte Zeitreihen

Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen t -Werte zu groß R2 zu groß

Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte (spurious regression)

Stochastischer Trend!

Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen

Integration von stochastischen Prozessen (Zeitreihen):

Ein stochastischer Prozess Yt heißt integriert von der Ordnung d, wenn seine d-fachen Differenzen dYt ein stationärer Prozess sind; Yt ~ I(d)


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Beispiel: Random-walk-Prozess

X sei ein random-walk:

Xt = Xt-1 + ut

mit u: Weißes Rauschen, u ~ I(0)

Dann gilt:

X ~ I(1) (“X ist integriert von der Ordnung 1“):

Xt = Xt – Xt-1 = ut ~ I(1)


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Integrierte stochastische Prozesse

Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis:

d: Ordnung der Integration

Beispiel: PCR = 1 + 2PYR + u ist vermutlich spurious regression; besser Modell in Änderungen (oder Zuwachsraten)

Variable d

YER Brutto-Inlandsprodukt, real 1

PCR Privater Konsum, real 1-2

PYR Verf. Einkommen der HH, real 1-2

PCD Konsumdeflator 2


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Differenzen vs. Niveauwerten

Analysieren von Differenzen Vermeidet Konsequenzen von spurious regression Information über Entwicklung der Niveauwerte (langfristiges

Verhalten, Trends, Verhalten im Gleichgewicht) geht verloren

Ökonomische Theorien sind meist Aussagen über Zusammenhänge im Gleichgewichts-Zustand!

Vermeiden von spurious regression durch Modell auf Basis von Differenzen durch Ausnützen von Kointegration


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Beispiel: Kointegrierte Variable

Nicht-stationäre Variable X: X ~ I(1) Y = 1 + 2X + u

mit u: Weißes Rauschen

Dann gilt Y ~ I(1) X, Y zeigen den gleichen stochastischen Trend Y – 2X = 1 + u ~ I(0)

Y – 2X ist eine stationäre Linearkombination der nicht-stationären Variablen!

X, Y sind kointegrierte Variable!


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Kointegration

X, Y sind integrierte Variable:

X ~ I(1), Y ~ I(1)

X, Y heißen kointegriert, wenn sich ein 2 finden lässt, so dass

Y – 2X ~ I(0)

Für kointegrierte I(1)-Variable X, Y gilt also Y – 2X ~ I(0); es existiert eine Beziehung

Y = 1 + 2X + u

mit u ~ I(0) oder Weißem Rauschen u


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Kointegration: Interpretation

Interpretation des Begriffs Kointegration

Wegen

Y – 2X ~ I(0)

befinden sich X und Y in einer Gleichgewichts-Beziehung; es gibt nur stationäre Abweichungen

Beispiel: Saldo-Bestände der ein- und verkauften Warenmengen bilden

einen stationären Prozess: sie sind kointegriert Einkünfte und Ausgaben der Haushalte sind kointegriert


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Kointegration: Definition

Komponenten des k-Vektors x seien integriert vom Grad d :

x ~ I(d)

existiert ein Vektor und eine Zahl b > 0 mit

z = ‘x ~ I(d – b)

so heißen die Komponenten von x kointegriert vom Grad (d, b); k-Vektor heißt kointegrierender Vektor


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Fehlerkorrektur-Modell

Adäquate Darstellung ökonomischer Prozesse berücksichtigt

1. Gleichgewichts-Beziehung

2. Short-run Dynamik (Kompensation von Abweichungen vom Gleichgewicht)


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ADL(1,1)-Modell: Fehlerkorrektur-FormAusgangspunkt: ADL(1,1)-Modell

Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + ut

mit X ~ I(1), || < 1; dann gilt: Y ~ I(1) Gleichgewichts-Beziehung zwischen X und Y:

Yt = 0 + 1Xt + t

Wie hängen ADL-Modell und Gleichgewichts-Beziehung zusammen?

Subtrahieren und Addieren von Yt-1 und 0Xt und Umformen gibt

Yt = – (1 – )[Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut

mit 0 = /(1 – ) und 1 = (0+ 1)/(1 – )


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Fehlerkorrektur-Form und GleichgewichtAus

Yt-1 – 0 – 1Xt-1 = t = – [1/(1 – )] (Yt – 0Xt – ut)

ergibt sich: der Gleichgewichts-Fehler t ist eine Linearkombination der I(0)-

Variablen Y, X und u und

t ~ I(0)

Es folgt: Yt-1 – 0 – 1Xt-1 ist eine Gleichgewichts-Beziehung Y und X sind kointegriert


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Fehlerkorrektur-Modell: Interpretation

Das Modell Yt-1 = 0 + 1Xt-1 + t-1 beschreibt die langfristige Beziehung zwischen X und Y

Das Modell Yt = – (1 – )[Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut

= – [Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut

beschreibt die kurzfristige Dynamik, 1. das Anpassen von Y an Änderungen von X und2. die Korrektur von Gleichgewichts-Fehlern der Vorperiode

Achtung! Das Vorzeichen von = (1 – ) muss positiv sein, wenn das Modell die Kompensation von Gleichgewichts-Fehlern beschreiben soll

Achtung! Gleiche Ordnung der Integration der Variablen ist Voraussetzung für kointegrierende Beziehung


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Modell für Importe

Importgleichung des AW-Modells:

log(MTR/FDD) = 1log(MTD/YED) + 2TIME +

MTR: reale Ausgaben für Importe von Gütern und Dienstleistungen, FDD: gesamte Nachfrage, MTD: Deflator zu MTR, YED: Deflator des BIP, TIME: Trendvariable

MTR/FDD: Anteil der Importe an gesamter Nachfrage (Mp), MTD/YED: Verhältnis der Deflatoren (RD); beide sind I(1)

Angepasstes Modell:

log(Mp) = – 1.956 – 0.255 log(RD) + 0.0044TIME

mit t-Statistiken 8.383 (für 1) und 30.518 (2), R2 = 0.966, Durbin-Watson d = 0.120

Mp, RD und TIME sind kointegriert, wenn Residuen I(0)


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Modell für Importe, Forts.

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

-2.2

-2.0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Residual Actual Fitted


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Test auf Kointegration

I(1)-Variable Y und X seien nicht kointegriert

Dann sind die = Y – 0 – 1X eine I(1)-Variable; der unit-root-Test sollte nicht-stationäres Verhalten anzeigen

Engle-Granger-Test auf Kointegration:

1. OLS-Anpassung der potentiellen Gleichgewichts-Beziehung Y = 0 + 1X +

2. Anwenden eines unit-root-Tests zum Überprüfen der Nullhypothese, dass die Residuen eine I(1)-Variable sind

3. wird die Nullhypothese verworfen: sind I(0)-Variable Y und X sind kointegriert


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Engle-Granger-Verfahren

zum Anpassen des Fehlerkorrektur-Modells

Ausgangspunkt: ADL(1,1)-Modell

Yt = –[Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut

Verfahren von Engle-Granger:

1. Prüfen der Integrations-Ordnung; X und Y müssen gleiche Ordnung haben; es gelte: X und Y sind I(1)-Variable

2. Schätzung der Gleichgewichts-Beziehung Y = 0 + 1X + liefert Schätzer für 0 und 1 sowie Residuen

3. Test auf Kointegration: unit-root-Test zum überprüfen, ob die Residuen ein stationärer Prozess sind; wenn ja,

4. Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells


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Engle-Granger-Verfahren: Schätzen der Parameter4. Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells: Es gibt zwei

Möglichkeiten:

a) OLS-Schätzer für und 0 aus Yt = – + 0Xt + ut

b) OLS-Schätzer für , und 0 aus

Yt = – [Yt-1 – 1Xt-1] + 0Xt + ut

1ˆ t

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