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Kapitel 3Fuzzy-Mengen und Relationen

12. Mai 2005

Ruckblick Fuzzy-Mengen Reprasentation von Fuzzy-Mengen Fuzzy-Relationen

Ruckblick

I Darstellung unscharfer Konzepte mit Hilfe von Fuzzy-Mengen,

I Definition von Fuzzy-Mengen,

I Fuzzy-Mengen uber einem festen Universum bilden einenVerband,

I Alternative”Schnitt-“und

”Vereinigungsoperatoren“.

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Paare von t-Normen und t-Konormen

I die Weber-Familie (umfaßt die von beschranktem Produkt,Produkt und drastischem Produkt erzeugten Paare):

tλ(a, b) = max{0, a + b − 1 + λab

1 + λ} fur λ ∈ (−1,∞),

sλ(a, b) = min{1, a + b − λab

1 + λ} fur λ ∈ (−1,∞),

I die Yager-Familie(umfaßt die von drastischem Produkt undMinimum erzeugten Paare):

tp(a, b) = 1−min{1, [(1− a)p + (1− b)p]1p } fur p ∈ [0,∞),

sp(a, b) = min{1, [ap + bp)]1p } fur p ∈ [0,∞),

I Archimedische t-Normen und t-Konormen.3(34)


Archimedische t-Normen

Definition

Seien t : [0, 1]2 → [0, 1] und s : [0, 1]2 → [0, 1] zwei Funktionen.

1. t heißt archimedische t-Norm genau dann, wenn t stetiget-Norm ist und fur alle a ∈ (0, 1) die Ungleichung t(a, a) < agilt.

2. s heißt archimedische t-Konorm genau dann, wenn s stetiget-Konorm ist und fur alle a ∈ (0, 1) die Ungleichungs(a, a) > a gilt.

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Darstellung von Archimedischen t-Normen undt-Konormen

SatzEine Funktion t : [0, 1]2 → [0, 1] ist genau dann eine archimedischet-Norm, wenn eine streng monoton fallende Funktionf : [0, 1] → [0,∞] existiert mit f (1) = 0 undt(a, b) = f −1(f (a) + f (b)), wobei f −1 die Pseudoinverse von f istmit

f −1(y) =

{x ∈ [0, 1] | f (x) = y , falls y ∈ [0, f (0)];0, falls y ∈ [f (0),∞].

Fur f (0) = ∞ ist t streng monoton wachsend in beidenArgumenten.

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Beispiel Archimedische t-Normen

Sei f : [0, 1] → [0, 1] mit f (x) = 1− x .Dann gilt:

f (0) = 1,

f −1(y) =

{1− y , falls y ∈ [0, f (0)]

0, sonst.

t(x , y) = max{0, a + b − 1} (beschrankte Summe)

I die im Satz auftretende Funktion f ist eindeutig bis aufMultiplikation mit einer positiven reellen Konstanten,

I f heißt additiver Generator von t,

I eine archimedische t-Norm heißt nilpotent, wenn f (0) <∞.

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Beispiele fur Archimedische t-Normen II

fp : [0, 1] → [0, 1], fp(x) = (1− x)p, p ∈ [0,∞)

t(a, b) = f −1(f (a) + f (b))= f −1((1− a)p + (1− b)p)

= 1− ((1− a)p + (1− b)p)1p

definiert die Yager-Familie.

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Beispiel fur Archimedische t-Normen III

f : [0, 1] → [0, 1],

f (x) =

{−ln(x), falls x ∈ [0, 1],

∞, fallsx = 0.

t(a, b) = f −1(f (a) + f (b))= f −1(−ln(a)− ln(b))

= e ln(a)+ln(b) = a ∗ b

definiert das algebraische Produkt.

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Literatur zu t-Normen

I Ling,C.-H. Representations of associative functions,Publucations Mathematicae Debrece, 12: 189-212, 1965

I H.Bandemer, S.Gottwald: Einfuhrung in Fuzzy-Methoden,Akademie-Verlag, Berlin, 4.Auflage, 1993,

I S.Gottwald: A Treatise on Many-Valued Logic, Studies inLogic and Computation 9, Research Studies Press, Baldock,2000,

I G. Klir, T.A. Folger: Fuzzy-Sets, Uncertainty, and Information,Prentice Hall, 1988

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α-Schnitte von Fuzzy-Mengen

I bisher wurden Fuzzy-Mengen u ausschließlich durch die siecharakterisierende Zugehorigkeitsfunktion dargestellt: vertikaleReprasentation,

I ein Experte muß dazu fur jedes Element x aus demReferenzbereich M einen Wert u(x) bestimmen,

I horizontalen Reprasentation durch Niveau-Mengen.

Definition

Sei u ∈ F(M) und α ∈ [0, 1]. Die Menge

C (u, α) = {x ∈ M | u(x) ≥ α}

heißt α-Schnitt von u.

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Beispiel α-Schnitte

I Interpretation des Begriffes”jung-Sein“durch die

Fuzzy-Menge u(x) = e−1/1000x

I 0.5− Schnitt von u besteht aus den Jahreszahlen, fur die wir(entsprechend unserer Modellierung) sagen wurden, daß einMensch in diesem Alter mindestens zum Grad 0.5 als jungbezeichnet werden kann.

Alter

1

10 20 30 40

0.5

C(u, 0.5) 0.5-Schnitt der Fuzzy-Menge u(x) = e−1/1000x

1

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Eigenschaften von α-Schnitten

Satz

Sei u ∈ F(M), α, β ∈ [0, 1]. Dann gilt:

1. C (u, 0) = M,

2. fur α < β gilt: C (u, α) ⊇ C (u, β),

3.⋂

α|α<β C (u, α) = C (u, β).

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Offene α-Schnitte

Definition

Ein offener α-Schnitt einer Fuzzy-Menge u wird definiert durch:

O(u, α) = {x ∈ M | u(x) > α}

I Im obigen Beispiel ist der offene 0.5-Schnitt das rechtsseitighalboffene Intervall [0,26.6).

I fur alle u ∈ F(M) gilt: O(u, 1) = ∅.I O(u, 0) heißt Trager der Fuzzy-Menge u. Falls O(u, 0) nur ein

einziges Element enthalt, dann heißt u Fuzzy-Einermenge.

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Eigenschaften abgeschlossener α-Schnitte

Satz

1. Die Familie der abgeschlossenen α-Schnitte einerFuzzy-Menge ist sup-umkehrend, d.h. fur eine Menge{αi}i∈I ⊆ [0, 1] gilt:

C (u, supi∈I

αi ) =⋂i∈I

C (u, αi ).

2. Fur eine Menge {ui}i∈I ⊆ F(M) von Fuzzy-Mengen giltaußerdem:

C (l

i∈I

ui , α) =⋂i∈I

C (ui , α).

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Eigenschaften offener α-Schnitte

Satz

1. Die Familie der offenen α-Schnitte einer Fuzzy-Menge istinf-umkehrend, d.h. fur eine Menge {αi}i∈I gilt:

O(u, infi∈Iαi ) =

⋃i∈I

O(u, αi ).

2. Fur eine Menge {ui}i∈I ⊆ F(M) von Fuzzy-Mengen gilt:

O(⊔i∈I

ui , α) =⋃i∈I

O(ui , α).

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α-Schnitte zur Charakterisierung von Fuzzy-Mengen

Sei α ∈ [0, 1],X ⊆ M, uα(x) := α fur alle x ∈ M.Bezeichnung:

α ∧ X = uα u χX

α ∨ X = uα t χX

Satz

Fur jede Fuzzy-Menge u ∈ F(M) gilt:

u =⊔

α∈[0,1]

(α ∧ C (u, α)) und u =⊔

α∈[0,1]

(α ∧ O(u, α)),

u =l

α∈[0,1]

(α ∨ C (u, α)) und u =l

α∈[0,1]

(α ∨ O(u, α)).

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Extensionsprinzip

I bisher Moglichkeit der Verallgemeinerung mengentheoretischerOperationen auf Fuzzy-Mengen,

I Erweiterung von Funktionen f : X n → Y zu Abbildungenf : F(X )n → F(Y ),

I v Interpretation des Begriffes”Jung“, u Interpretation des

Begriffes”ungefahr 20“,

I man interpretiert u(22) als Grad der Akzeptanz, daß dieAussage

”22 ist ungefahr 20“ korrekt ist,

I u u v(22) ist der Zugehorigkeitsgrad von 22 zum vagen Begriff

”ungefahr 20 und jung“ ,

I Akzeptanzgrade stellen verallgemeinerte Wahrheitsgrade dar,

I Wie operiert man auf solchen Akzeptanzgraden?

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Beispiel

+ : R× R → R Addition auf den reellen Zahlen.Ziel: eine Additionsoperation auf Intervallen

+ : P(R)× P(R) → P(R).

Seien A1,A2 ⊆ R reele Intervalle.

A1+A2 = {x1 + x2 mit x1 ∈ A1, x2 ∈ A2}.

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Verallgemeinerung auf Mengen

Fur f : X n → Y ergibt sich f : (P(X ))n → P(Y ), mit

f (A1, . . . ,An) = {y ∈ Y | ∃(x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . .× An :f (x1, . . . xn) = y}

Der Akzeptanzgradacc(y gehort zum Bild von (A1, . . . ,An))

= acc (∃(x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . .× An : f (x1, . . . xn) = y)

=

{1, falls ∃(x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . .× An : f (x1, . . . xn) = y)

0, sonst.

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Verallgemeinerung auf Fuzzy-Mengen

Erweiterung von f : X n → Y auf f : (F(X ))n → F(Y )Der Akzeptanzgrad

acc(y gehort zum Bild von (v1, . . . , vn)) | vi ∈ F(X )

ist dann= acc(∃(x1, . . . , xn) ∈ X n f (x1, . . . xn) = y

x1 gehort zu v1 undx2 gehort zu v2 und...xn gehort zu vn.)

=sup(x1,...,xi )∈X n,y=f ((x1,...,xi )){min{v1(x1), . . . vn(xn)}}

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Extension

Definition

Sei f : X n → Y eine Abbildung, die Extension von f ist gegebendurch

f : (F(X ))n → F(Y )

mit

f (v1, . . . vn)(y) = sup{min{v1(x1), . . . vn(xn)} | (x1, . . . , xi ) ∈ X n

und y = f (x1, . . . , xn)}

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Fuzzy-Relationen

Definition

Eine Fuzzy-Relation S uber U1, . . . ,Un ist eine Abbildung

S : U1×, . . . ,×Un → [0, 1].

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Beispiel

I Relation n � m:”die naturliche Zahl n ist viel kleiner als m“,

I laßt sich im klassischen Sinn einer Relation nicht definieren,

I als Fuzzy-Relation:

S(n,m) =

{0 falls m ≥ n

1− 1n−m sonst.

I es gibt kein absolutes”viel kleiner“ d.h. es existiert kein Paar

(n,m) so daß S(n,m) = 1.

I die Werte von S(m, n) konvergieren aber fur (m − n) →∞gegen 1

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Beispiel

I andere Definition:

Sx(n,m) =

{0 falls m ≥ n

(1− 1n−m )x sonst.

I man erhalt damit eine (allerdings der Intuition nicht besondersgut entsprechende) scharfe Relation, wenn man fur x = 0einsetzt,

I welche Definitionen im konkreten Fall verwendet wird, istkeine mathematische Frage, sondern hangt vomAnwendungszweck ab.

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t-Ahnlichkeitsrelationen

Definition

Sei t eine t-Norm. Eine Fuzzy-Relation R : U×U → [0, 1] uber demUniversum U heißt t-Ahnlichkeitsrelation, wenn fur alle x , y , z ∈ Ugilt:,

(i) R(x , x) = 1 (Reflexivitat)

(ii) R(x , z) ≥ t(R(x , y),R(y , z)) (Transitivitat)

(iii) R(x , y) = R(y , x) (Symmetrie)

Falls ∀x , y ∈ U gilt R(x , y) ∈ {0, 1} dann ist R charakteristischeFunktion einer klassischen Aquivalenzrelation.

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Beispiel

Thriller Krimi SciFi Fantasy

Thriller 1 0.8 0.7 0.5

Krimi 0.8 1 0.5 0.5

SciFi 0.7 0.5 1 0.4

Fantasy 0.5 0.5 0.4 1

R ist t2-und t4-Ahnlichkeitsrelation aber keine t1-odert3-Ahnlichkeitsrelation.

R(K ,T )t1R(T ,S) = min(0.8, 0.7) = 0.7 � R(K ,S) = 0.5

R(K ,T )t3R(T ,S) = 0.8 ∗ 0.7 = 0.56 � R(K ,S) = 0.5

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Produkt von Relationen

Definition

Seien R ⊆ U1, . . . ,Un,W und S ⊆ W ,V1, . . . ,Vm Relationen. DasProdukt R ◦ S zweier Relationen ist gegeben durch:

(x1, . . . , xn, y1, . . . ym) ∈ R ◦ S ,

gdw. ∃z ∈ W , so daß (x1, . . . , xn, z) ∈ R und (z , y1, . . . ym) ∈ S .

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Produkt von Fuzzy-Relationen

I Fuzzy-Relationen sind Fuzzy-Mengen, namlich uber dementsprechenden kartesischen Produkt,

I die schon definierten Operationen u,t,− lassen sich aufPaare von Fuzzy-Relationen anwenden,

I das Produkt von Fuzzy-Relationen laßt sich nicht mit Hilfe derverallgemeinerten Mengenoperationen darstellen.

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Standardprodukt von Fuzzy-Relationen

Definition

Seien S1 : U1× . . .×Un×W → [0, 1] und S2 : W ×V1× . . .×Vm →[0, 1] zwei unscharfe Relationen. DasStandardprodukt S1 ◦ S2 : U1 × . . .× Un × V1 × . . .× Vm → [0, 1]wird definiert durch:

S1 ◦ S2((x1, . . . , xn, y1, . . . ym)) =

sup{min(S1((x1, . . . , xn, z)),S2((z , y1, . . . ym))) | z ∈ W }.

I Verwendet man anstelle von sup nur max, so ist S1 ◦ S2

eventuell nur partiell definiert.

I Andere Produkte von Fuzzy-Relationen als dasStandardprodukt erhalt man, wenn man min durch eineandere t-Norm ersetzt.

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Abstrakte Ahnlichkeitslogik

I (Ying, 1994) Logik fur approximatives Schließen auf der Basisvon Fuzzy-Relationen,

I Ableitungsregeln konnen auch dann anwendet werden, wenndie Pramissen den Antezenten nur annahernd erfullen,

I Gegeben sei folgende Inferenz:

x ist ein Thriller ⇒ x gefallt mir,y ist ein Krimi,

Thriller ist ahnlich zu Krimi,

y gefallt mir.

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Abstrakte Ahnlichkeitslogik II

I Die Relation ahnlich zu ist eine Fuzzy-Relation.

I Eine Fuzzy-Logik sollte einen Zusammenhang zwischen demGrad der Ahnlichkeit und dem Grad, zu dem wir dieKonklusion als gultig anerkennen, herstellen.

I Der Grad der Konklusion”y gefallt mir“ sollte groß sein, wenn

wir annehmen wollen, daß der Grad der Ahnlichkeit zwischenKrimi und Thriller groß ist.

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Transitive Hulle unter einer Fuzzy-Ahnlichkeitsrelation

Sei R : FL×FL → [0, 1].

SIM(u)(ϕ) = sup{t2(R(ϕ,ψ), u(ψ)) | ψ ∈ FL}.

Beispiel

I Sei R die t2 Ahnlichkeitsrelation von oben,

I u mit u(T ) = 0.8, u(F ) = 0.9 Charakterisierung einerspannenden Fantasy-Geschichte,

I SIM(u)(T ) = 0.8,SIM(u)(K ) = 0.6SIM(u)(S) = 0.7,SIM(u)(F ) = 0.9

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Transitive Hulle unter einer Fuzzy-Ahnlichkeitsrelation II

I SIM(u) ist eine Art”transitive Hulle “,

I es gilt:

1. SIM(u)(ϕ) ≥ u(ϕ) (Inklusion)2. fur u v v gilt SIM(u) v SIM(v) (Monotonie)3. SIM(SIM(u)) = SIM(u) (Idempotenz)

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Abstrakte Ahnlichkeitslogik

Fur den Schluß”y gefallt mir“ brauchen wir noch einen

Abschlußoperator D, der das logische Schließen ubernimmt.

D : F(FL) → F(FL), Abschlußoperator auf Fuzzy-Mengen

K = D ◦ SIM

v v SIM(v) v D(SIM(v)) v SIM(D(SIM(v)))...→ DR(v)

DR(v) =⊔n∈N

Kn(v).

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