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Kapitel 3: Schaltnetze und ihre Verbesserung Seite 1 / 100

Kapitel 3: Schaltnetze und ihre Verbesserung

Kapitel 3Schaltnetze und ihre Verbesserung


Kapitel 3: Schaltnetze und ihre Verbesserung

Inhaltsverzeichnis3.1 Entwurf von Schaltnetzen

3.2 Addiernetze3.3 Vereinfachung von Schaltnetzen

3.4 Fehlerdiagnose in Schaltnetzen


Entwurf von Schaltnetzen

In Kapitel 2 wurden Boolesche Funktionen aus einfachen Grundgattern für die Operatoren +,⋅ und aufgebaut.Die verschiedenen Darstellungssätze lieferten allgemeine Prinzipien zur Synthese von Schaltnetzen, diese sind aber nur theoretische Hilfsmittel.

Allgemein gibt es zwei Techniken für den Entwurf von Schaltnetzen:� Bottom-Up-Entwurf:

komplexe Schaltungen werden aus elementaren Bausteinen zusammengesetzt.

� Top-Down-Entwurf:Die Gesamtaufgabe wird in Teilaufgaben zerlegt, die Schaltnetze für diese Aufgaben werden entworfen und anschließend zusammengesetzt.Auch die Teilaufgaben können dabei weiter in kleinere Teilaufgaben zerlegt werden.


==

Bottom-Up-Entwurf von NAND und NOR

Als Bottom-Up-Entwurf entwickeln wir Schaltnetze für NAND ( ) und NOR ( ):

011

101

110

100

x ��yx

011

001

010

100

x ��yx


Beweis: (nur { }, für { } analog)Zu zeigen ist, dass jede Boolesche Funktion allein durch NAND dargestellt werden kann. Wir wissen bereits, dass {+, } funktional vollständig ist.Also reicht es, NAND-Darstellungen dieser Funktionen anzugeben:

x = x �x+y = (x ��

Als neue Grundbausteine erhalten wir also NAND- und NOR-Gatter.Einer dieser beiden Bausteine reicht also prinzipiell aus, um jede Boolesche Funktion durch eine Schaltung zu realisieren.

NAND und NOR

Satz 3.1:

{ } und { } sind funktional vollständig.


Schaltung für den Euler-Kreis

Als nächstes sollen Bausteine zur Lösung des Euler-Kreis-Problems (Beispiel 2.9) entworfen werden.Dazu benutzen wir das Euler-Kriterium:

Wir betrachten nur Graphen mit fünf Punkten, die zusammenhängend sind.Idee: � Es kommen nur die Gradzahlen 2 und 4 in Frage.

� Eine Übersicht über alle Graphen mit fünf Punkten, die einen Euler-Kreis besitzen, ist leicht zu erstellen.

Satz 3.2: Euler-Kriterium

Ein (zusammenhängender) Graph besitzt einen Euler-Kreis genau dann, wenn jeder Punkt des Graphen einen geraden Grad hat. (Dabei ist der Grad eines Punktes gleich der Anzahl der Kanten, die an ihm zusammentreffen.)


Fall (b): Vier Punkte haben den Grad 2, einPunkt hat den Grad 4:

Fall (a): Alle Punkte haben den Grad 2Dann sieht ein dazugehöriger Graph z.B. so aus:

Euler-Kreis – mögliche Graphen


Fall (d): Zwei Punkte haben den Grad 2, drei Punkte den Grad 4:

Dieser Fall ist nicht möglich. Haben in einem Graph mit fünf Punkten drei den Grad 4, dann sind diese drei Punkte mit allen anderen verbunden. Die verbleibenden zwei Punkte hätten dann also mindestens den Grad 3:

Grad 3

Fall (c): Drei Punkte haben den Grad 2, zwei Punkte den Grad 4:



Fall (f): Alle Punkte haben den Grad 4:Fall (e): Ein Punkt hat den Grad 2, dreiPunkte haben den Grad 4:

Auch dieser Fall ist nicht möglich. Haben in dem Graphen vier der fünf Punkte den Grad 4, dann sind diese vier Punkte mit allen anderen verbunden. Insbesondere hat dann auch der fünfte Punkt den Grad 4.



Euler-Kreis – Entwurf der Schaltung

Die möglichen Gradzahlen lassen sich also in einer Tabelle zusammenfassen:

Für das Schaltnetz bedeutet das:� Es reicht, zu testen, ob der gegebene Input das Euler-Kriterium für Graphen mit

fünf Punkten erfüllt.� Die unmöglichen Fälle können in die Schaltung einbezogen werden, da sie nicht

auftreten können.� Die Hinzunahme dieser Fälle bedeutet, dass es bei einer Eingabe von zehn Bits

ausreicht, zu testen, ob jede Ecke des Graphen den Grad 2 oder 4 hat.

44444f

22244c

22224b

22222a

Typ

54321Ecke


Euler-Kreis – Baustein-Entwurf

Wir entwerfen einen neuen Baustein, der die Ausgabe 1 liefern soll, wenn der Grad des Punktes i gleich 2 oder 4 ist.

Beispiel 3.1:

Die Ecke 1 hat den Grad 2 oder 4 genau dann, wenn gilt:

G enthält die Kanten (k1 und k2 und nicht k3 … und nicht kA)

oder (k1 und k3 …) oder (k1 und k4 …) oder (k2 und k3 …) oder (k2 und k4 …) oder (k3 und k4 …) oder (k1 und k2 und k3 und k4 …).

Das ist erfüllt, wenn gilt, dass die Anzahl der Einsen im Input-Bereich x1 bis x4gerade ist, also:

die Anzahl der Einsen ist gerade es gibt mindestens eine Eins

1 2 3 4 1 2 3 4( )x x x x x x x x⊕ ⊕ ⊕ ∧ ∨ ∨ ∨


Euler-Kreis – Baustein für Ecke 1

Beispiel 3.1: SchaltungDaraus erhalten wir als Baustein für die Ecke 1:

Der Baustein heißt 1/g, weil er die Ecke 1 auf einen geraden Grad testet.


Euler-Kreis – Schaltung für XOR

Die im letzten Beispiel verwendete Schaltung für den Baustein XOR ist so zusammengesetzt:

=


Euler-Kreis - Schaltung

Aus den Bausteinen zum Test der einzelnen Ecken setzen wir die Schaltung zum Test auf einen Eulerkreis in einem Graphen mit fünf Ecken zusammen:


Multiplexer

Ein Multiplexer (MUX) ist ein häufig verwendetes Selektionsschaltnetz:� 2d Dateninputs

� d Steuersignale � Ein Output

(die Steuersignale codieren binär den Index des auszugebenden Inputs)

Allgemein heißt ein MUX mit d Steuersignalen und 2d Inputs d-MUX.

02 1,...,dx x−

1 0,...,dy y−1 0 2( ,..., )dy y

z x−

=


Beispiel: Der 2-MUX

Beispiel 3.2: MUX mit d=2

Der 2-MUX besitzt 4 Dateninputs (x3 ,…,x0),

2 Steuerleitungen (y1 ,y0) und

1 Output (z).

Realisierte Funktion: Zeichen:

DNF-Darstellung von z:

x311

x201

x110

x000

zy0y1

��

��

��

��

��

��

��

0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1z x y y x y y x y y x y y= + + +


Bottom-Up-Entwurf des 2-MUX

Der 2-MUX lässt sich als dreistufiges Schaltnetz realisieren:� Stufe 1: Negation

� Stufe 2: AND-Gatter

� Stufe 3: OR-Gatter

Problem: Es gehen viele Leitungen in ein Gatter (je 3 Leitungen in die AND-,

4 in das OR-Gatter)

0 0 1 1 0 1

2 0 1 3 0 1

z x y y x y y

x y y x y y

= + ++


Problem beim Bottom-Up-Entwurf

Die Anzahl der Leitungen, die in ein Gatter führen, nennt man Fan In (analog bezeichnet man die Anzahl der Inputs, mit denen der Output verbunden ist, als Fan Out).

Allgemein lässt sich jeder MUX als dreistufiges Schaltnetz realisieren.Problem: Hoher Fan In bei den Gattern:� OR-Gatter: Fan In = 2d

� AND-Gatter: Fan In = d+1

2-MUX

z

x1

x2

y1 y0

x0

x3

Fan In

Fan Out


Top-Down-Entwurf des 2-MUX

Idee: Zerlegung der Steuersignale in zwei Hälften, die mit 1-MUXen verarbeitet werden. Aus diesen 1-MUXen wird dann der 2-MUX aufgebaut.

Vorteil: Der Fan In bei allen Gattern ist 2.

1-MUX

DNF:

Schaltbild:Funktionstabelle:

x11

x00

zy

0 1z yx yx= +


2-MUX aus 1-MUXen

Aus den 1-MUXen wird nun rekursiv der 2-MUX aufgebaut:

Obere Schicht (im Bild links): enthält die „obere Hälfte“ (y1) der Steuersignale und jeweils 21 Dateninputs.

Ist z.B. y1=1, dann werden x1 und x3 an die untere Hälfte übergeben.

Untere Schicht (rechts im Bild): enthält die „untere Hälfte“ (y0) der Steuersignale und 2 Dateninputs.

Ist z.B. y0=0, dann wird x1 ausgewählt.

Vorteil: Der Fan In ist auch hier für jedes Gatter 2.

Nachteil: Das Schaltnetz hat mehr als 3 Stufen.


2d-MUX aus d-MUXEN

Analog kann jeder 2d-MUX aus 2d+1 d-MUXen zusammengesetzt werden:


2d-MUX aus d-MUXEN - Arbeitsweise

Jeder d-MUX der oberen Zeile hat 2d Dateninputs:� Der erste hat die Inputs

� Der zweite die Inputs � Der 2d-te die Inputs

� Beachte: der Index des jeweils ersten x ist ein Vielfaches von 2d.

Die Steuersignale in der oberen Reihe ( )� selektieren jeweils den k-ten Dateninput mit

� Die untere Zeile erhält also als Inputs:

Die Steuersignale am unteren MUX � selektieren den j-ten Input mit

� Der selektierte Output ist also:

Ausgewählt wurde der i-te Input mit ,das gilt weil ist:� Die Multiplikation von j mit 2d bewirkt Linksshift um d Stellen:

� Wegen folgt: .

Der 2d-MUX selektiert also den Dateninput xi mit .

02 1,...,dx x−

2 2 1 2,...,d dx x× −

22 1 (2 1)2,...,d d dx x− −

2 1,...,d dy y−2 1 2( ... )d dk y y−=

(2 1)2 2 2 2,..., , ,d d d d kk k kx x x x− + × + +

1 0( ,..., )dy y−1 0 2( ... )dj y y−=

2dj kx

+�2di j k= +� 1 0 2( ... )dj y y−=

1 0 22 ( ... 0...0)d

dj y y−=�

2 1 2( ... )d dk y y−= 1 1 2 22 ( ... ... )d

d d dj k y y y y++ =�

2 1 0 2( ... )di y y−=


Anwendung von Multiplexern

MUXe sind universell und können als Grundbausteine zur Realisierung jeder booleschen Funktion verwendet werden.

Beispiel 3.3 (a): Realisierung einer booleschen Funktion

Diese Realisierung nennt man Hardware-Lookup, da die Funktion direkt in Hardware umgesetzt wird.

Die Funktion f(x2, x1, x0) ist gegeben durch die Funktionstabelle.

Sie kann mit einem 3-MUX wie folgt realisiert werden:

1011

0111

0101

0001

1110

0010

1100

1000

fx0x1x2


Anwendung von Multiplexern

Man kann eine n-stellige Funktion auch mit einem (n-1)-MUX realisieren:

Jede Boolesche Funktion lässt sich in Abhängigkeit einer Variablen ausdrücken.

Beispiel 3.3 (b): Realisierung einer booleschen Funktion

f lässt sich jetzt durch einen

2-MUX realisieren:

Die Funktion f lässt sich auch in Abhängigkeit von x0darstellen:

x011

001

x010

100

fx1x2

1011

0111

0101

0001

1110

0010

1100

1000

fx0x1x2


Demultiplexer

Ein Demultiplexer (DeMUX) ist ein Weiterleitungsschaltnetz mit:� Einem Dateninput x� d Steuersignalen

� 2d Outputs mit für .(die Steuersignale codieren binär den Index des Outputs, an den der Input weitergeleitet werden soll)

Allgemein heißt ein DeMUX mit d Steuersignalen und 2d Outputs d-DeMUX.Der DeMUX ist nicht universell, d.h. nicht jede Boolesche Funktion ist mit einem DeMUX realisierbar.

02 1,...,dz z−

1 0,...,dy y−1 0( ,..., )i i dz x m y y−= � 1 2 1di≤ ≤ −


Realisierung eines DeMUX

Beispiel 3.4: 1-DeMUX und 2-DeMUX

0x1

x00

z0z1y

000x11

00x001

0x0010

x00000

z0z1z2z3y0y1


Spezialfall des DeMUX: Decoder

Ein Decoder ist ein DeMUX mit� Dateninput: .

x wird dann Aktivierungssignal genannt, da x als Ein-und Ausschalter fungiert.

� d Steuersignalen � 2d Outputs , der Output mit

wird auf 1 gesetzt.

Aus den DeMUXen erhält man also einen Decoder durch Vernachlässigung des Dateninputs:

Ein Decoder mit d Steuersignalen und 2d Outputs heißt d x 2d-Decoder.

000111

001001

010010

100000

Z0z1z2z3y0y1

02 1,...,dz z−

1x =

1 0,...,dy y−iz 1 0 2( ,..., )di y y−=


Encoder

Der Encoder besteht aus: � 2d Inputs

� d Outputs

Der Encoder hat die umgekehrte Funktion eines Decoders: anstatt eine Adresse zur Aktivierung eines bestimmten Outputs zu verwenden, erzeugt der Encoder die Adresse des aktuell aktiven Input-Signals:

Beim Encoder wird stets angenommen, dass genau ein Input aktiviert ist, die Schaltfunktion ist also partiell.

02 1,...,dx x−

1 0,...,dy y−

110001

010010

100100

001000

y0y1x0x1x2x3


Realisierung boolescher Funktionen

Beispiel 3.5:Als Beispiel für die Universalität von MUXen und Decodern realisieren wir vier verschiedene Schaltungen für die Funktion:

(a) Hardware-LookupAnalog zu Beispiel 3.2 (a) wird ein 4-MUX verwendet, bei dem die xi die Steuersignale sind. Als Inputs wird für m0, m5, m10 und m15 eine 1 angelegt:

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3( , , , )f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x= + + +



(b) 3-MUXAnalog zu Beispiel 3.2 (b) kann man f auch mit einem 3-MUX realisieren, indem man f von x0 abhängig macht:

x0010

0110

x0111

0011

x0101

0001

0100

x0000

fx1x2x3



(c) Decoder und OR-Gatter:Hier wird ein Decoder mit 4 Eingängen und 16 Ausgängen verwendet, wobei die Outputs, die den Mintermen m0, m5, m10 und m15 entsprechen, durch ein OR-Gatter verknüpft werden:



(d) Decoder und MUX:Die Inputs sind in Paare aufteilbar, dadurch kann man f mit einem Decoder und einem MUX realisieren:

0111

0010

1001

1100

x2x3x0x1


Addiernetze

Schaltnetze für die Addition sind zentrale Bausteine eines Rechners.

Problem: Für die Addition zweier 16-stelliger Dualzahlen entsteht eine Schaltfunktion A: B32 B17.

Das ist nicht praktikabel, denn:� Jede der 17 Funktionen hat 232 4 � 109 verschiedene Eingaben. � Wenn etwa 50% der Eingaben den Wert 1 liefern, erhält man

2 ⋅ 109 ⋅ 17 = 3,4 � 1010 einschlägige Minterme.� Pro Minterm braucht man 15 AND-Gatter mit 2 Eingängen: es wären insgesamt

5,1 � 1011 AND-Gatter nötig, um die Addition dieser beiden Dualzahlen auszuführen.

Einfachste Lösung: Stellenweise Addition wie in der Schule.


Stellenweise Addition zweier Dualzahlen

Im Dualsystem kann man genauso wie im Dezimalsystem addieren, indem man von hinten anfangend die einzelnen Stellen addiert und dabei eventuell auftretende Überträge berücksichtigt:

Diese Methode kann auch durch eine Schaltung realisiert werden.

Beispiel 3.6:

Addition von 13 und 9 imDualsystemDezimalsystem

+

Übertrag1

22

9

31

Übertrag11

01101

1001+

1011


Addition zweier Dualzahlen - Halbaddierer

Betrachten wir die letzte Stelle, so stellen wir fest:

� Sie hat als einzige Stelle keinen Übertrag zu verarbeiten, an allen anderen Stellen können Überträge in die Berechnung einfließen.

� Also erhält die letzte Stelle als Eingabe zwei Dualziffern (x und y), als Ausgabe hat sie das Resultat R und den Übertrag U für die nächste Stelle.

� Ein Übertrag U tritt nur dann auf, wenn sowohl x als auch y den Wert 1 haben, ansonsten ist der Übertrag 0.

� Das Resultat R ist genau dann 1, wenn nur eine der beiden Dualziffern den Wert 1 hat und die andere den Wert 0. Sind beide Werte gleich, ist das Resultat 0.

Dieses Verhalten ist durch eine Schaltung realisierbar, diesen Baustein nennt man Halbaddierer (HA).


Halbaddierer

Aus den Überlegungen für das Resultat R und den Übertrag U ergibt sich folgendes:

Daraus lassen sich die Schaltfunktionen für R und U ableiten:

Aus den Schaltfunktionen lässt sich die Schaltung aufbauen:

So sieht der Halbaddierer aus.

Als Funktionstabelle für R und U ergibt sich:

1011

0101

0110

0000

URyx

R x y y x x y= + = ⊕� �

U x y= �


Addition zweier Dualzahlen - Volladdierer

Für jede beliebige andere Stelle außer der letzten gilt:

� Es muss unter Umständen ein Übertrag berücksichtigt werden.

� Eingabe sind also drei Dualziffern x, y und ein Übertrag u, Ausgabe sind wieder ein Resultat R und ein Übertrag U für die nächste Stelle.

� Der Übertrag U ist genau dann 0, wenn maximal einer der drei Eingabewerte 1 ist, ansonsten erhält U den Wert 1.

� Das Resultat R ist genau dann 1, wenn eine ungerade Anzahl der Eingabeziffern 1 ist, sonst hat R den Wert 0.

Dieses Verhalten ist durch eine Schaltung realisierbar, diesen Baustein nennt man Volladdierer (VA).


Volladdierer

Aus den Überlegungen für R und U ergibt sich also:

Das ist die Schaltung für den Volladdierer:Funktionstabelle für R und U:

( )

R x y u

U x y x u y u

x y x y u

= ⊕ ⊕= + += + ⊕

� � ��

11111

10011

10101

01001

0

0

0

0

x

1011

0101

0110

0000

URuyAus der Tabelle lassen sich die Schaltfunktionen für R und U ableiten:


Asynchrones Addiernetz: Ripple-Carry-Adder

Beispiel 3.7:Für zwei vierstellige Dualzahlen mit x=(x3x2x1x0) und y=(y3y2y1y0) sieht der Ripple-Carry-Adder so aus:

Mit einem Halbaddierer zur Berechnung der letzten Stelle und Volladdierern zur Berechnung der restlichen Stellen kann ein Addiernetz entworfen werden, das die stellenweise Addition nachvollzieht: der Ripple-Carry-Adder. Dabei „rieselt“ der endgültige Übertrag durch die komplette Schaltung.


Ripple-Carry-Adder - Eigenschaften

Der Ripple-Carry-Adder ist erweiterbar:

� Durch Hinzufügen weiterer Volladdierer kann das Addiernetz auf Dualzahlen größerer Stellenzahl erweitert werden:für die Addition zweier 16-stelliger Dualzahlen benötigt man 15 Voll- und 1 Halbaddierer.

� Der Halbaddierer ist auch durch einen Volladdierer ersetzbar, bei dessen u-Eingang stets 0 anliegen muss.


Ripple-Carry-Adder - Eigenschaften

Der Ripple-Carry-Adder ist langsam:

� Bei einer Schaltzeit von 10 psec pro Gatter liegen die Ergebnisse erst spät vor:• Beim Halbaddierer nach 30 psec,• Beim Volladdierer nach 70 psec.

� Im schlimmsten Fall liegt bei der Addition zweier vierstelliger Dualzahlen (z.B. 1111 und 0001) das Ergebnis erst nach (70+70+70+30)psec = 240psec vor.

� Problem: Der Durchlauf des Übertrags durch die gesamte Schaltung ist bei großen Wortlängen besonders störend. (Bei einer Wortlänge von 32 Bit liegt der Übertrag erst nach 2200 psec vor.)


Beschleunigung der Addition

Um die Addition zu beschleunigen, gibt es mehrere Möglichkeiten:

� Verringerung der Anzahl der Schaltebenen durch Zusammenfassen von Bit-Gruppen der Größe 4, mit denen vierstellige Dualzahlen addiert werden:Dabei steht A4 für ein Addiernetz mit 3 Volladdierern und einem Halbaddierer.Ã4 steht für ein Addiernetz aus 4 Volladdierern.

� Schnelle Bereitstellung des Übertrages für die nachfolgende Schaltung durch eine Carry-Look-Ahead-Schaltung, welche den Übertrag separat berechnet und direkt an das nächste Addiernetz weitergibt. Zusammen mit dem Ripple-Carry-Adderergibt sich daraus der sog. Carry-Bypass-Adder.

� Die Summe der „oberen Hälfte“ der Eingaben wird einmal für den Übertrag 0 und einmal für den Übertrag 1 berechnet. Steht der Übertrag der „unteren Hälfte“ der Eingaben fest, wird das entsprechende Ergebnis ausgewählt. Dieses Prinzip wird durch den Carry-Select-Adder realisiert.


Die Carry-Look-Ahead-Schaltung

Die Carry-Look-Ahead-Schaltung wird gemäß folgender Formel für Uentwickelt:

Dabei entspricht U dem R4 des Ripple-Carry-Adders Ã4.Bei einem Baustein vom Typ A4 entfällt die letzte Zeile, da A4 keinen bereits vorhandenen Übertrag zu berücksichtigen hat.

3 3 2 2 1 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y u+ + + + + + + +3 3 2 2 1 1 0 0( ) ( ) ( )x y x y x y x y+ + + + + +

3 3U x y=

3 3 2 2( )x y x y+ +

3 3 2 2 1 1( ) ( )x y x y x y+ + + +


Das Carry-Look-Ahead-Schaltnetz

Das Carry-Look-Ahead-Schaltnetz ist dreistufig:

� Stufe 1: jeweils zwei Inputs werden additiv und multiplikativ miteinander verknüpft.

� Stufe 2: die benötigten Produkte werden gebildet.

� Stufe 3: die Summe wird gebildet.

Nimmt man pro Stufe eine Schaltzeit von 10 psec an, liegt der Übertrag nach 30 psec vor. Das ist eine Verbesserung um den Faktor 8 für den Übertrag bei einem A4-Addiernetz.


Das Carry-Bypass-Addiernetz besteht aus dem Ripple-Carry-Addiernetz Ã4 und derdreistufigen Carry-Look-Ahead-Schaltung:

Stufe 1: additive und multiplikative Verknüpfung

zweier Inputs.

Stufe 2: Bildung derProdukte.

Stufe 3: Bildung derSumme.

Carry-Bypass-Addiernetz

A4~

y0

R3U R2 R1 R0

R4

U

y1y2y3 x0x1x2x3


Carry-Select-Addiernetz

Hier wird das Resultat für den Übertrag 0 vorberechnet.

Und hier für den Übertrag 1.

Liegt der Übertrag aus dem Ripple-Carry-AdderA4 vor, wird hier das entsprechende Ergebnis ausgewählt.


Addition mehrerer Dualzahlen

Um mehr als zwei Zahlen zu addieren, verwendet man ein Carry-Save-Addiernetz:� Mehrstufiges Addiernetz

� In der ersten Stufe werden drei Summanden durch einen Carry-Save-Addierbaustein (CSA) addiert.

� Die pro Addition auftretenden Ergebnisbits bilden einen Summanden der nächsten Stufe.

� Genauso bilden auch die Carry-Bits einen weiteren solchen Summanden.

� Die drei Eingangssummanden werden also auf zwei Summanden (das Ergebnis und den Übertrag) reduziert.

� In jeder weiteren Stufe wird jeweils ein weiterer Summand mit einem CSA hinzuaddiert.

� Ist kein weiterer Summand mehr vorhanden, werden das Ergebnis und der Übertrag des letzten CSA mit einem beliebigen Addiernetz für zwei Zahlen addiert.


Beispiel 3.8:Addition von vier vierstelligen Summanden X,Y,Z und W:

Prinzip der Carry-Save-Addition

1010Übertrag

0010Summe

0100+Z

0011Y

0101X

0100neuer Übertrag

1001neue Summe

0001+W

1010Übertrag

0010Summe

1101Ergebnis

0100+neuer Übertrag

1001neue Summe


Realisierung eines Carry-Save-Adders


Optimierungsproblem und Kostenmaß

Schaltnetze lassen sich durch Verwendung zusätzlicher Hardware (z.B. der Carry-Look-Ahead-Schaltung) beschleunigen.

Will man ein Schaltnetz optimieren, entsteht eine komplementäre Aufgabe: das Entfernen von Hardware, ohne das Verhalten des Schaltnetzes zu verändern.

Dazu wird zunächst das Kostenmaß einer Funktion definiert.


Disjunktive Form

Dafür wird die disjunktive Form wie folgt definiert:

Die disjunktive Normalform einer Booleschen Funktion f: Bn B ist damit eine disjunktive Form, bei welcher jeder Term ein Minterm ist.

Definition 3.1: Disjunktive Form

Eine Boolesche Funktion f: Bn B liegt in disjunktiver Form vor, wenn f als Summe von Termen

dargestellt ist. Dabei verstehen wir unter einem Term Mi ein Produkt der Form

wobei x für ∈ B wie in Kapitel 2 definiert ist.

1

, 1,k

ii

M k=

≥∑

1

, 1,jj

l

ij

x lα

=

≥∏


Optimierungsproblem und Kostenmaß

Definition 3.2: KostenmaßDas Kostenmaß K( ) ist für Funktionen in disjunktiver Form (DF) wie folgt definiert:1. Ist , dann ist .Das entspricht der Anzahl zweistelliger AND-Gatter, um darzustellen.

2.Ist , dann ist .

(k-1) entspricht der Anzahl der zweistelligen OR-Gatter, die nötig sind, um darzustellen.

Anderes Kostenmaß:K‘( )=Zahl der Eingänge in AND- bzw. OR-Gatter (ohne Berücksichtigung von Negationen)

11

ttx xααα = ��

1 kM Mα = + +�1

( ) ( 1) ( )k

ii

K k K Mα=

= − +∑

( ) 1K tα = −


Optimierungsproblem und Resulotionsregel

Das Optimierungsproblem lautet: Sei f: Bn B in DNF gegeben. Finde eine disjunktive Form d, die f darstellt und minimale Kosten hat. Ein Hilfsmittel dazu ist die Resolutionsregel

Satz 3.3: Resolutionsregel

Kommen in einer disjunktiven Form zwei Summanden vor, welche sich in genau einer komplementären Variablen unterscheiden, so können diese beiden Summanden durch den ihnen gemeinsamen Teil ersetzt werden:

( ) + ( ) =

Beispiel 3.9: Kostenmaß

K( ) = (5-1) + 5 • (4-1) = 19OR-Gatter Maxterme AND-Gatter


Beispiel: Resolutionsregel

Beispiel 3.10: Anwendung der Resolutionsregel(a)

Damit liegen die Kosten nicht mehr bei 5, sondern bei 1.(b) Die Resolutionsregel darf auch mehrfach angewendet werden:

Damit liegen die Kosten nicht mehr bei 19, sondern bei 4.Die mehrfache Anwendung der Resolutionsregel beruht auf der Regel x+x=x.

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x= +1 1 2 3( )x x x x= +

2 31 x x= �

2 3x x=

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( , , , )f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x= + + + +

2 3 4 1 2 4 1 3 4 1 3 4 1 2 4x x x x x x x x x x x x x x x= + + + +

2 3 4 1 4 1 4x x x x x x x= + +

2 3 4 1 4x x x x x= +


Vereinfachung nach Karnaugh

Das Verfahren nach Maurice Karnaugh ist eine grafische Darstellung, um alle möglichen Resolutionen einer maximal vierstelligen Funktion zu bestimmen:

Definition 3.3: Karnaugh-Diagramm

Ein Karnaugh-Diagramm einer booleschen Funktion f: Bn B mit n∈ {3,4}ist eine graphische Darstellung der Funktionstafel von f durch eine 0-1-Matrix der Größe 2 × 4 für n = 3 bzw. 4 × 4 für n = 4, deren Spalten mit den möglichen Belegungen der Variablen x1 und x2 und deren Zeilen mit den möglichen Belegungen der Variablen x3 und x4 beschriftet sind.

Die Reihenfolge der Beschriftung erfolgt dabei so, dass sich zwei zyklisch benachbarte Zeilen oder Spalten nur in genau einer Komponente unterscheiden.

(Zyklisch benachbart heisst, dass auch die obere und die untere Zeile bzw. die linke und die rechte Spalte als benachbart angesehen werden.)


Beispiel 3.11:

Karnaugh-Diagramm-Schema für

(b) n=4(a) n=3

Beispiel: Karnaugh-Diagramm

x1x2x3 000

01

1

11 10x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

10

x1x2 x1x2 x1x2 x1x2x3x4 x3x4 x3x4 x3x4





Verwendung des Karnaugh-Diagramms

� Die Funktionswerte von f werden an den entsprechenden Stellen eingetragen, wobei es ausreicht, nur die Einsen einzutragen.

• Jedem Minterm von f mit einschlägigem Index entspricht dann genau eine 1 im Karnaugh-Diagramm und umgekehrt.

• Zwei zyklisch benachbarte Einsen entsprechen dann zwei Mintermen, die sich in genau einer komplementären Variablen unterscheiden.

� Überdecke die Einsen mit möglichst wenigen, möglichst großen Rechtecken der Größe 2r × 2s (möglich sind also 1 × 1, 1 × 2, 1 × 4, 2 × 2, 2 × 4, 4 × 4)

• Jede 1 muss von mindestens einem Rechteck überdeckt werden

• Ein Rechteck darf nur Einsen überdecken.

• Rechtecke dürfen sich überlappen (d.h. eine 1 darf von mehr als einem Rechteck erfasst werden)

• Die Rechtecke können über die Grenzen des Diagramms hinausgreifen, da auch die erste und die letzte Spalte (bzw. Zeile) zyklisch benachbart sind.

� Fasse dann die Rechtecke zu Termen zusammen.

� Die Funktion ist dann minimiert.


Karnaugh-Diagramm: Funktionsweise

Beispiel 3.12:Die Funktion soll minimiert werden.Schritt 1: Eintragen der Einsen liefert das folgende Karnaugh-Diagramm:


x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1

1 2 3 4x x x x1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x 1 2 3 4x x x x



Beispiel 3.12:Schritt 2: Überdecken der Einsen mit Rechtecken der Form 2r × 2s:

20 × 21

3 Rechtecke überdecken alle Einsen, eine sogar doppelt. Ein Rechteck geht über die Grenzen des Diagramms hinaus.

20 × 20

Hier überdecken 5 Rechtecke alle Einsen.

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1



Beispiel 3.12:

Die restlichen Rechtecke sind nicht möglich, da sie auch Felder überdecken würden, in denen keine Einsen stehen.

21 × 21

Es gibt nur ein solches Rechteck. Es erfasst 4 Einsen:

21 × 20

4 Einsen werden durch 2 Rechtecke überdeckt. Die zu gehörende Eins wird nicht überdeckt.

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1

1 2 3 4x x x x

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1



Beispiel 3.12:Schritt 3: Auswählen der Rechtecke so, dass alle Einsen überdeckt sind. Die Anzahl der Rechtecke soll dabei so gering sein, wie möglich.

Der 21 × 21-Block überdeckt 4 Einsen. Für die verbliebene Eins wird das 21 × 20-Rechteck gewählt, da es grösser ist, als das 20 × 20-Rechteck:

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1


1 2 3 4 1 4 2 3 4( , , , )f x x x x x x x x x= +


Beispiel 3.12:Schritt 3: Minimierung der Funktion.

In dem 21 × 21-Block nimmt x2 sowohl den Wert 1 als auch 0 an. Dennoch hat die Funktion f an dieser Stelle den Wert 1. x2 hat hier also keinen Einfluss auf den Wert der Funktion. Gleiches gilt für x3. Also sind nur die Werte x1=1 und x4=1 für f notwendig.

Im 21 × 20-Rechteck variiert der Wert von x1, also sind an dieser Stelle nur die Werte von x2, x3 und x4relevant.

Also lässt sich f minimieren zu:

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

101

1 11 1


Blöcke im Karnaugh-Diagramm

� Rechteckige 2r×2s-Blöcke von zyklisch benachbarten Einsen entsprechen 2r•2sMintermen, die sich in höchstens r+s Variablen unterscheiden, wobei alle Möglichkeiten des negierten bzw. nicht-negierten Auftretens dieser Variablen vorkommen.

� Die Summe dieser Minterme lässt sich durch wiederholte Resolution zu dem Term vereinfachen, welcher gemeinsamer Bestandteil aller dieser Minterme ist. Die Gestalt des Terms ist dabei aus der Randbeschriftung des Diagramms (wie im Beispiel gezeigt) ablesbar.

� Allgemein liefert ein Block mit 2k Einsen einen Term mit n-k Variablen.

� Je größer also die Blöcke, desto kleiner und kostengünstiger ist der entsprechende Term.


Blöcke im Karnaugh-Diagramm - Beispiel

Beispiel 3.13:

Es ist nicht immer sinnvoll, nur die größten möglichen Blöcke zu betrachten:

Diese ergibt:Diese Aufteilung ergibt:

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

10

11 1

11 11

1

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

10

11 1

11 11

1

1 2 3 4 2 4 1 2 3 4( , , , )f x x x x x x x x x x= +

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4x x x x x x x x x x x x+ + +1 2 3 4 1 2 3 1 3 4( , , , )f x x x x x x x x x x= +

1 3 4 1 2 3x x x x x x+ +


Don‘t Cares im Karnaugh-Diagramm - Beispiel

Beispiel 3.14: Partiell definierte Funktion

Betrachte Funktion f.

Karnaugh-Diagramm:

Minimierte Funktion:

.....15

......

010019

000018

111107

001106

110105

000104

111003

101002

010001

000000

fx4x3x2x1x

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

10

111

1

1 2 3 4 1 2 3 1 2 4( , , , )f x x x x x x x x x x= +


Don‘t Cares im Karnaugh-Diagramm

� Bisher waren die Funktionen immer total.

� Sie können aber auch partiell sein, d.h., die Funktion ist nicht für alle möglichen Eingaben definiert.

� Das kann zur Vereinfachung einer Funktion ausgenutzt werden: wird eine Eingabe nie verwendet, kann man die Ausgabe der Funktion beliebig festsetzen. Das kann größere Blöcke im Karnaugh-Diagramm zur Folge haben.

� Die nicht definierten Ausgaben werden als Don‘t Cares bezeichnet und mit einem D im Karnaugh-Diagramm eingetragen.

� Diese D-Felder können nun ebenfalls von rechteckigen Blöcken überdeckt werden (aber sie müssen nicht).


Don‘t Cares im Karnaugh-Diagramm - Beispiel

Beispiel 3.14: Partiell definierte Funktion

Jetzt bezeichnen wir die Ausgaben für die Werte von 10 bis 15 durch D:

Karnaugh-Diagramm:

Minimierte Funktion:

Funktionstabelle:

x1x2x3x4 00

0001

01

11

11

10

10

111

1

DDDD

DD

1 2 3 4 2 3 2 4( , , , )f x x x x x x x x= +D111115

D011114

D101113

D001112

D110111

D010110

010019

000018

111107

001106

110105

000104

111003

101002

010001

000000

fx4x3x2x1x


Der Gray-Code

Im Karnaugh-Diagramm sind die Beschriftungen der Zeilen und Spalten so gewählt, dass sich zwei benachbarte Zeilen (bzw. Spalten) nur an einer Stelle unterscheiden.Dieses Prinzip ist dem Gray-Code entliehen, bei dem sich zwei aufeinander folgende Dualzahlen an nur einer Stelle unterscheiden.Der Graycode wird z.B. zur Codierung von Dezimalzahlen verwendet.

10009

11008

11107

11116

01115

01104

00103

00112

00011

00000

Gray-Codex


Weitere Anwendungen des Karnaugh-Diagramms

Aus dem Karnaugh-Diagramm einer drei- oder vierstelligen Funktion kann auf einfache Weise auch eine Ringsummendarstellung (RF) gewonnen werden:� Man wählt Blöcke aus, die auch inhomogen gefüllt sein können (d.h., sie können

Einsen und Nullen enthalten).� Es ist darauf zu achten, dass die Einsen durch eine ungerade Anzahl von Blöcken

überdeckt werden und die Nullen durch eine gerade Anzahl von Blöcken.

� Man liest die Terme wie üblich ab und verbindet sie mit einem �.

Es ist auch möglich, das Karnaugh-Diagramm zur Bestimmung einer konjunktiven Form (KF) zu benutzen:� Man wählt möglichst große Blöcke von Nullen aus.

� Man liest die Terme wie üblich ab und negiert sie.� Das Produkt der negierten Terme ist dann eine minimierte konjunktive Form.


Karnaugh-Diagramme - Ringsummendarstellung

Beispiel 3.15: Ermittlung einer Ringsummendarstellung.Für die Funktion ermitteln wir zunächst das Karnaugh-Diagramm:


1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 4( , , , )f x x x x x x x x x x x x= ⊕ ⊕Die Ringsummendarstellung

lässt sich ablesen als


Karnaugh-Diagramme – konjunktive Form

Beispiel 3.16: Ermittlung einer konjunktiven Form.Wir nehmen wieder die Funktion

und ermitteln zunächst wieder das Karnaugh-Diagramm:

Die konjunktive Form lautet:


Daraus lassen sich jetzt die Terme

ablesen. Sie werden negiert und zu einem Produkt zusammengefasst.

3 4x x

3 4x x

1 3x x

1 2x x

1 2 3 4 3 4 1 3 1 2 3 4( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x x x x= + + + +� � �


Implikanten und Primimplikanten

Beachte:� Alle Minterme der einschlägigen Indizes von f sind Implikanten.

� Ist M ein Implikant von f, m ein Minterm von f und M ist eine Verkürzung von m, dann gilt m � M, d.h. m ist Implikant von M.

� Im Karnaugh-Diagramm entsprechen rechteckige Blöcke von Einsen den Implikanten und maximale derartige Blöcke den Primimplikanten.

Definition 3.4: Implikant und PrimimplikantSei f: Bn B in DNF gegeben.Ein Term M heißt Implikant von f, falls M � f.D.h.: wenn M(x1,…,xn )=1, dann auch f(x1,…,xn )=1 ∀ (x1,…,xn ) ∈ Bn.Ein Implikant M heißt Primimplikant, falls keine Verkürzung von M noch Implikant von f ist.


Primimplikanten

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht!

Satz 3.4:

Sei f: Bn B eine Boolesche Funktion, f � 0. Ist d = M1+…+Mk eine Darstellung von f als disjunktive Form mit minimalen Kosten, so sind die Mi , i=1,…,k, Primimplikanten von f.

Beispiel 3.17:

Die Summe aller Primimplikanten als disjunktive Form einer Funktion f ist nicht immer kostenminimal:

Für

lauten die Primimplikanten: , und .

Dann ist zwar eine disjunktive Form von f, aber nicht kostenminimal.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x x x x x x x= + + +

2 3x x 1 2x x 1 3x x

1 2 3 1 2 2 3 1 3( , , )d x x x x x x x x x= + +


Das Verfahren nach Quine-McCluskey

Das Verfahren nach Karnaugh stellt eine bequeme Möglichkeit dar, Funktionen zu optimieren, die eine Stellenzahl von 4 nicht überschreiten.

Funktionen höherer Stellenzahl können ebenfalls mittels des Karnaugh-Verfahrens optimiert werden, allerdings wird das sehr unübersichtlich.

Das Verfahren nach Quine-McCluskey stellt eine übersichtliche Möglichkeit zur Minimierung von Funktionen dar, es beruht auf Satz 3.4:� Zunächst werden alle Primimplikanten bestimmt.� Anschließend wird eine kostenminimale Auswahl der Primimplikanten bestimmt.

Diese stellt eine disjunktive Form der Funktion dar.


Quine-McCluskey - Primimplikanten

Beispiel 3.18: Primimplikantenbestimmung

Aufstellen einer Tabelle, die die Minterme nach der Anzahl der negiertenVariablen in Gruppen aufteilt:

Finden aller resolvierbaren Paare durch Vergleich der Minterme benachbarterGruppen.

121100

000004

401003

601102

141110

131101

1110111

Dezimaldarstellung des Index

Einschlägiger Index

MintermGruppe

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x

1 2 3 4x x x x




Die Resolutionsregel auf die gefundenen Paare anwenden, die weggefalleneStelle durch * markieren:

Mit der gleichen Methode weiterarbeiten.

4, 12*1002

0, 40*003

4, 601*0

6, 14*110

12, 1411*0

12, 13110*

1110111



MintermGruppe

1 2 3 4x x x x

1 2 3x x x

1 2 4x x x

2 3 4x x x

2 3 4x x x

1 2 4x x x

1 3 4x x x




Die Resolutionsregel wieder auf die neuen Paare anwenden, bis nicht mehrresolviert werden kann:

Die Primimplikanten lauten also:

0, 40*003

4, 6, 12, 14*1*0

12, 13110*

1110111



MintermGruppe

1 2 3 4x x x x

1 2 3x x x

2 4x x

1 3 4x x x

1 2 3 4x x x x 1 2 3x x x 2 4x x 1 3 4x x x



1. Schritt: Bestimmung aller Primimplikanten:Die Primimplikanten lassen sich durch wiederholte Anwendung der Resolutionsregel bestimmen.� Zwei Terme, auf die diese Regel anwendbar ist, unterscheiden sich in genau einer

Variablen.� Einteilung der Minterme in Gruppen, die angeben, wie viele Negationszeichen in

dem Minterm auftreten.� Wende Resolution auf Terme in benachbarten Gruppen an.

� Markiere im Index „herausgefallene“ Variablen durch einen *.

� Übernehme die Implikanten, die an keiner Resolution beteiligt waren.� Die Gruppeneinteilung erfolgt wie anfangs.

� Iteriere das Verfahren, bis keine neue Resolvente erzeugbar.


Quine-McCluskey - kostenminimale Auswahl

Schritt 2: Auswahl der Primimplikanten mit minimalen KostenAufstellen einer Matrix A = (aik) mit� i: Primimplikant

� k: einschlägiger Index

� aik := 1, falls i � mk; 0 sonst

Besitzt ein Minterm nur einen einzigen Primimplikanten, heißt dieser Implikant Kernimplikant.

Wähle Teilmenge der Zeilen aus, so dass� In jeder Spalte der resultierenden Teilmatrix mindestens eine 1 steht� die Gesamtkosten der Summe der Primimplikanten kostenminimal ist

(Existiert nur eine solche Zerlegung, dann ist diese kostenminimal)� Der zweite Teil ist im Allgemeinen schwierig, wenn viele Möglichkeiten verglichen

werden müssen.


Quine-McCluskey - kostenminimale Auswahl

Beispiel 3.18: (Fortsetzung)

Aufstellen der Matrix:

Da die Minterme 0, 6, 11 und 14 jeweils nur einem Primimplikanten zugeordnet sind, sind diese Kernimplikanten notwendig.

Also sind alle vier Primimplikanten als kernimplikanten in der disjunktiven Form enthalten:

0000011

1010110

0110000

0001000

Primimplikant

14131211640Minterm

1 2 3 4x x x x

1 2 3x x x

2 4x x

1 3 4x x x

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 4 1 3 4( , , , )f x x x x x x x x x x x x x x x x= + + +


Ordered Binary Decision Diagrams (OBDDs)

Erinnerung:� Ein Binary Decision Diagram (BDD) ist eine graphische Darstellung beliebiger

boolescher Funktionen

� Bei festgelegter Ordnung der Variablen spricht man von einem Ordered BinaryDecision Diagram (OBDD).

� Ein OBDD ist ein gerichteter azyklischer Wurzelgraph, wobei gilt:• Jeder innere Knoten ist mit einer Variablen xi markiert

• Jeder Blattknoten ist mit Null oder Eins markiert

• Von jedem inneren Knoten gehen genau zwei Kanten aus, wobei eine mit 0 ( ), die andere mit 1 ( ) beschriftet ist.

• Für jede Kante von xi nach xk gilt: xi < xk.

OBDDs können auch zur Vereinfachung boolescher Funktionen verwendet werden, dazu wird das zugehörige OBDD vereinfacht.


Vereinfachung von OBDDs - Eliminationsregel

Es gibt zwei wichtige Regeln zur Vereinfachung von OBDDs:Eliminationsregel (auch 2-1-Regel)

Dabei gilt: a ∈ {0,1}, z kann eine Variable oder auch 0 oder 1 sein.Ist y die Wurzel des OBDDs, dann wird y entfernt und z wird neue Wurzel.

gegeben, dann darf y eliminiert werden:Ist eine Teilkonfiguration der Form


Vereinfachung von OBDDs - Verschmelzungsregel

Es gibt zwei wichtige Regeln zur Vereinfachung von OBDDs:Verschmelzungsregel (auch Verjüngung oder 4-3-Regel)

a, b ∈ {0,1}, y und z können Variablen oder auch 0 oder 1 sein.

gegeben, dann dürfen die beiden Knoten x zu einem verschmolzen werden:

Ist eine Teilkonfiguration der Form


Vereinfachung von OBDDs

� Die Funktionalität eines OBDDs wird durch Anwendung dieser beiden Regeln offenbar nicht verändert: jede Belegung, die vorher zu einem Blatt führte, führt auch hinterher zu diesem Blatt.

� Die Regeln überführen ein OBDD also in ein äquivalentes OBDD.

� Durch sukzessives Anwenden dieser Regeln entsteht ein reduziertes OBDD, das eindeutig bestimmt ist.

� Durch systematisches Anwenden der Regeln von unten nach oben wird garantiert, dass man niemals zurückgehen muss, um das reduzierte OBDD zu erhalten.

� Vereinfachte OBDDs lassen sich leicht auf Äquivalenz untersuchen.


Vereinfachung von OBDDs - Beispiel

Beispiel 3.19:Betrachten wir das OBDD zur Funktion

mit x1



Beispiel 3.19:Durch Anwendung der beiden Regeln erhalten wir dann dieses OBDD:

Die Eliminationsregel ist noch ein weiteres Mal anwendbar.



Beispiel 3.19:Nach einem letzten Anwenden der Eliminationsregel erhalten wir:

Dieses OBDD ist nicht weiter zu vereinfachen.

1 2 3 1 3 1 2( , , )f x x x x x x x= +



Die Vereinfachung eines OBDDs führt nicht immer zu einer minimalen Darstellung:

Beispiel 3.20:Betrachten wir die Funktion

mit x1


Beispiel 3.20:


und damit erhalten wir die vereinfachte Funktion:

Die minimale Funktion lautet dagegen:

Nach mehrmaliger Anwendung der Regeln erhalten wir:

1 2 3 1 2 3 1 3( , , )f x x x x x x x x= +

1 2 3 2 3 1 3( , , )f x x x x x x x= +


Vereinfachung von OBDDs – Beispiel

Durch Veränderung der Ordnung eines OBDDs erhält man häufig andere Vereinfachungen einer Funktion:

Beispiel 3.21:Betrachten wir wieder die Funktion

mit x2


OBDDs und die konjunktive Form

Aus einem OBDD kann man ähnlich wie beim Karnaugh-Diagramm auch die konjunktive Form ablesen:

Beispiel 3.22:Betrachten wir erneut die Funktion

mit der Ordnung x2


Fehlerdiagnose in Schaltnetzen - Problemstellung

Bei der Chip-Produktion sind ca. 90% fehlerhaft. Daher ist es wichtig, Fehler mit möglichst wenig Aufwand zu erkennen.

Schlechte Idee: Testen aller Inputs. Bei einem Addierer, der zwei 16-stellige Dualzahlen addiert, sind das 232 Inputs, also ungefähr 4⋅109 Tests.

Bessere Idee: Kann man die Art der Fehler einschränken, geht das Testen oft effizienter.

Deswegen trifft man häufig die folgende Fehlerannahme:� Es tritt im gegebenen Schaltznetz höchstens ein Fehler auf.

� Dieser Fehler ist ein gerissener Draht, es wird also nur der Wert 0 weitergegeben.(Diesen Fehler nennt man deswegen auch stuck-at-zero)


Fehlerdiagnose in Schaltnetzen - Beispiel

Beispiel 3. 23:

Unter der Ein-Fehler-Annahme betrachten wir die Schaltung der Funktion

Dazu bedienen wir uns wieder der DAG-Darstellung:

Die Knoten sind mit den Funktionen beschriftet, die Leitungen sind durchnummeriert.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x x x x= + +



Beispiel 3. 23: Aufstellen der FehlerfunktionenUnter der Annahme, dass der Draht i gerissen ist, ergibt sich f jeweils als fi :

1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3( , , ) 0f x x x x x x x x x x x x x x x= + + = +

2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3( , , ) 0f x x x x x x x x x x x x x= + + =

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3( , , )f x x x x x x x x x x x= + =

4 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x= +

5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3( , , )f x x x x x x x x x x x= + =

6 1 2 3 1 2 3 1 3( , , )f x x x x x x x x= +

7 1 2 3 2 3( , , )f x x x x x=

8 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x= +

9 1 2 3 1 3( , , )f x x x x x=

10 1 2 3 2 3( , , )f x x x x x=

11 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x= +

12 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 3( , , ) 0f x x x x x x x x x x x x= + + =

13 1 2 3 2 3( , , )f x x x x x=

14 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x= +

15 1 2 3 1 3( , , )f x x x x x=

16 1 2 3 2 3( , , )f x x x x x=

17 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x=

18 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x x x x= +



Beispiel 3.23: Fehlermöglichkeiten (Ausfalltafel)Die Ausfalltafel zeigt die Ergebnisse der einzelnen fi:

Dabei stellt sich heraus, dass einige fi gleich sind:

011101101101110111111

000000000000000000011

100110110110111011101

000000000000000000001

101011011011101101110

000000000000000000010

000000000000000000100

000000000000000000000

f18f17f16f15f14f13f12f11f10f9f8f7f6f5f4f3f2f1x3x2x1

f4 = f8 = f11 = f14 = f18f2 = f5 = f9 = f12 = f15

f3 = f7 = f10 = f13 = f16f1 = f6



Beispiel 3.23: AusfallmatrixDie Ausfallmatrix ist die vereinfachte Version der Ausfalltafel:Da gilt:

ist das die Ausfallmatrix:

10111111

00000011

01011101

00000001

01101110

00000010

00000100

00000000

f17f4f3f2f1x3x2x1

f4 = f8 = f11 = f14 = f18f2 = f5 = f9 = f12 = f15

f3 = f7 = f10 = f13 = f16f1 = f6



Beispiel 3.23: FehlermatrixMit der Fehlermatrix wird festgestellt, ob es Unterschiede zwischen den fi und f gibt:

f1 ist identisch mit der Ausgangsfunktion.Da Fehler nur bei drei Werten auftreten, müssen auch nur diese Werte (also 3, 5 und 7) überprüft werden und nicht alle acht möglichen Eingaben.

7

6

5

4

3

2

1

0

Zeilen-Nr.

01000111

00000011

10100101

00000001

10010110

00000010

00000100

00000000

f17 ⊕ ff4 ⊕ ff3 ⊕ ff2 ⊕ ff1⊕ fx3x2x1


Fehlerdiagnose in Schaltnetzen

Mit dieser Methode ist nicht feststellbar, welcher Draht gerissen ist. Das ist aber akzeptabel, da die Schaltung nicht mehr repariert, sondern neu gefertigt wird.

Die im Beispiel durchgeführte Fehlerdiagnose ist eine so genannte schaltungsabhängige Fehlerdiagnose.

Es gibt noch die Möglichkeit einer schaltungsunabhängigen Fehlerdiagnose, die hier aber nicht behandelt wird.


Zusammenfassung

� Funktionale Vollständigkeit

� Bottom-Up-Entwurf

� Top-Down-Entwurf• MUXe

• DeMUXe

• Decoder

• Encoder• Realisierung boolescher Funktionen

� Fan In, Fan Out

� Addiernetze• Halb-, Volladdierer

• Ripple-Carry-Adder

• Carry-Look-Ahead Carry-Bypass-Adder• Carry-Select-Adder

• Carry-Save-Adder


Zusammenfassung

� Optimierungsproblem, Kostenmaß• Resolutionsregel (DF)

• Karnaugh-Diagramm (DF, RF, KF, Don‘t Care)

• Quine-McCluskey (DF)• OBDD (DF, KF)

• (Prim-)Implikanten

• Gray-Code

� Schaltungsabhängige Fehlerdiagnose • Fehlerfunktion

• Ausfalltafel• Ausfallmatrix

• Fehlermatrix

kapitel 3 schaltnetze und ihre verbesserungkapitel 3: schaltnetze und ihre verbesserung seite 3 /...

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