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Kapitel 8
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2
Bewegung von geladenen
Teilchen im Magnetfeld
2
Übersicht
Bewegung eines Teilchens im Magnetfeld
Multipolentwickung des Magnetfeldes
Multipolstärken
Exakte Teilchenbahn im Quadrupol
Transformationsgleichungen in Matrizenschreibweise
Differentialgleichung für die Teilchenbewegung I
FODO Zelle [slide]
Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
Koordinatensystem in Bezug auf die Idealbahn
Nur transversale Komponenten des Magnetfeldes werden berücksichtigt:
Es wird angenommen, dass die Abweichung der Teilchenbahn klein im Vergleich zum Radius ist (x,z << R)
x
)),,(,),,,(( szx0szx zx BBB
R
4
Bewegung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld
),,(),,(
),,(),,(
/:
:
)),,(,),,,((
szxp
e
szxR1
:Ebene vertikalen der in Bewegung
szxp
e
szxR1
:vmp mit sich ergibt Kräfte der chtGleichgewi dem Aus
RvmlkraftZentrifuga
vemit Teilchen geladenes einfach ein für ftLorentzkra
:Ebene enhorizontal der in Bewegung
szx0szx
x0
z
z0
x
2
f
z0x
zx
B
B
F
BF
BBB
5
Multipolentwicklung
...!!
...!!
)(
...!!
)(
32
3
3
z
302
2
z
20z0
0z0
z0
0
3
3
z
32
2
z
2
z0zz
xo31
xm21
xkR1
xdx3
d
p
ex
dx2
d
p
ex
dx
d
p
e
p
ex
p
e
:damit sich ergibt Es
ert.multiplizi p
e mit und
xdx3
dx
dx2
dx
dx
dx
:entwickelt Sollbahn die um wirdMagnetfeld Das
BBBBB
BBBBB
6
Definition der Multipolstärken
3
z
30
2
z
20
z0
0z0
dx
d
p
eo : abilitätenStrahlinst von ungUnterdrück
zur und n,Feldfehler von Korrektur zur Oktupol
dx
d
p
em :tätChromatizi der onKompensati zur Sextupol
dx
d
p
ek :ngFokussieru zur eldQuadrupolf
p
e
R1
:nkungStrahlable zur Dipolfeld
B
B
B
B
7
Rechteckmodel für einen Quadrupolmagnet
dx
sd
p
esk z0 )()(
B
s
z
s
k(s)
k0
0
Quadrupolmagnet mit k = k0 innerhalb des Magneten,
und k = 0 ausserhalb
8
0szsk(s)'z' leichungBewegungsg die sich ergibt dz
sdB
p
esk mit
szdz
sdBsB
:slenkungTeilchenau
zur alproportion sMagnetfeld des dieStärke ist agnetQuadrupolm Im
p
sBq(s)'z'
vm
sBq(s)'z' sBvq
dszd
vm
:sich ergibt vdtds mit
sBvqdtz(t)d
m
:sich ergibt mm Masse ischenrelativist der Mit
gungBeschleuni Masse Kraft :Beziehung der aus sich ergibt
Bewegung vertikale die für atengerkoordinBeschleuni den in leichungBewegungsg Die
x0
xx
x
0
xx2
22
0
x2
2
0
0
)()()(
)(
)()(
)(
)()()(
)(
Ableitung der Bewegungsgleichung für die vertikale Bewegung
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Teilchenbewegung im Quadrupol
0k : k konstantem mit Quadrupol nderFokussiere
0k : k konstantem mit Quadrupol renderDefokussie
dsx(s)d
(s)' x'mit
dxsd
pe
skmit0sxsk(s)' x'
2
2
z0
)()()()(
B
)cos()sin()('
)sin()cos()(
)cosh()sinh()('
)sinh()cosh()(
skBkskAksx
0k Für skBskAsx
skBkskAksx 0k Für
skBskAsx
10
Transformationsgleichungen
)cos()sin()('
)sin()cos()(
sk(0)x'skkx(0)sx
skk(0)x'
skx(0)sx
Defokussierender Quadrupol
k > 0
Fokussierender Quadrupol
k < 0
)cosh()sinh()('
)sinh()cosh()(
:
:
sk(0)x'skkx(0)sx
ksk
(0)x'skx(0)sx
damitk(0)x'
B Bk(0)x'
x(0)A Ax(0)
:gilt 0s FürungenRandbeding
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Transformationsgleichungen - Matrixschreibweise
)cosh()sinh()('
)sinh()cosh()(
sk(0)x'skkx(0)sx
ksk
(0)x'skx(0)sx
(0)x'mx(0)m)s('x
(0)x'mx(0)m)s(x
2221
1211
)cosh()sinh(
)sinh()cosh(
skskk
skk1
skmm
mm
2221
1211M
Defokussierender Quadrupol
k > 0
12
Transformationsmatrizen für Teilchenkoordinaten
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L1MD Driftstrecke der
Länge L
Defokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s
)cosh()sinh(
)sinh()cosh(
skskk
skk
1sk
MQD
)cos()sin(
)sin()cos(
skskk
skk
1sk
MQF
Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s
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Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol:
Quadrupolstärke: k 0.21
m2
xs s( ) xs0 cosh k s xs'0
ksinh k s
xc s( ) xc0 cosh k s xc'0
ksinh k s
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 20.002
0.001
0
0.001
0.002
xs s( )
xsn s( )
xc s( )
xcn s( )
s
Beispiel: Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol
14
Beispiel: Teilchenbahn im fokussierenden Quadrupol
Quadrupolstärke: k 0.11
m2
xs s( ) xs0 cos k s xs'0
ksin k s
xc s( ) xc0 cos k s xc'0
ksin k s
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 20.002
0.001
0
0.001
0.002
xs s( )
xc s( )
xsn s( )
xcn s( )
s
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Transformationsmatrizen – Dünne Linsennäherung
Defokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s
Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s
1sk
s1MQD
1f1
01
/M
Fokussierende dünne Linse
1sk
s1MQF
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Generelle Differentialgleichung für die Teilchenbewegung
pp
s1
sxsks
1(s)'x'
2
)(
)()()(
Ableitung siehe K.Wille, S.54-58
tärkeQuadrupols die ist k(s)
p Sollimpuls vom Impulses des g Abweichundie ist pp
des Ablenkfeldes adiusKrümmungsr der ist s
)(
0sxsk(s)'x' )()( Differentialgleichung ohne Ablenkfeld
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Teilchenbewegung im Ablenkmagneten
Ablenkmagnet mit dem Ablenkradius
)cos()sin(
)sin()cos(
s1
s11
s1
s1
MB
Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k
0sxsk(s)' x' )()(
0sxs
1(s)'x'
2
)(
)(
)(s1
k(s)- :entspricht Es 2
Lösung für Ablenkmagnet ähnelt Lösung für Quadrupole
Ein Ablenkmagnet bewirkt in der horizontalen Ebene eine schwache Fokussierung
18
Teilchentransport durch eine komplexe Struktur:F0D0 Zelle
lD=2.60 m
lq=0.40 m
QF QD QFDipol Dipol
F0D0 Zelle
MQF MQD MQFMQDMD MD
lD=2.60 m
lq=0.20 m lq=0.20 m
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Teilchentransport durch eine komplexe Struktur:F0D0 Zelle
QF QD QFDipol Dipol
F0D0 Zelle
MQF MQFMQDMD MD
k(s)
MQD
Definitionen
Anzahl der F0D0 Zellen in einem Kreisbeschleuniger : NF0D0 8
Quadrupolstärken: horizontal: kf 1.2m 2 vertikal: kd 1.2m 2
Länge eines Quadrupol: lq 0.4m
Länge der Driftstrecke: ld 2.6m
Länge einer Zelle: LF0D0 2 lq 2 ld
Länge des Beschleunigers mit 8 Zellen: LB 8 LF0D0
LF0D0 6 m und LB 48 m
Transformationsmatizen für die horizontalen Teilchenkoordinaten x0
xp0
:
mit der Quadrupolstärke k ergibt sich
f 0.5 lq kf
d 0.5 lq kd ,
Damit ergeben sich die folgenden Matrizen:
Horizontal fokussierender (halber) Quadrupol
MQF
cos f
kf m2
sin f
sin f kf m2
cos f
MQF
0.976
0.238
0.198
0.976
Vertikal defokussierender (halber) Quadrupol
MQD
cosh d
kd m2
sinh d
sinh d kd m2
cosh d
MQD1.024
0.242
0.202
1.024
Driftstrecke: MD1
0
ld
m
1
MQF0.976
0.238
0.198
0.976
MQD1.024
0.242
0.202
1.024
MD1
0
2.6
1
Es ergibt sich für die Transformationsgleichung einer F0D0 Zelle:
Mzelle MQF MD MQD MQD MD MQF
Mzelle0.056
0.1
9.966
0.056
Beispiel der Teilchentransformation durch eine Zelle :
Annahme:x0
xp0
1
0
Daraus ergibt sich : x1
xp1
Mzelle
x0
xp0
=> x1
xp1
0.056
0.1
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Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen
prinzipiell "relativ" einfach• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex
• Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird?
• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen
Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:
Betatronfunktion und Betatronschwingung