karakterisasi ideal maksimal fuzzy near-ring

Prosiding ISSN :9 772407 749004

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 i

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

Yogyakarta, 27 Desember 2014

Tema :

Revitalisasi Pendidikan Matematika Menuju AFTA 2015

Editor :

Dr. Suparman, M.Si., DEA.

Sugiyarto, P.hD.

Dr. Tutut Herawan, M.Si.

Bidang Ilmu :

Pendidikan Matematika dan Matematika

Prosiding ISSN :9 772407 749004

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 xiv

Pemodelan Bayesian SUR Spasial Autoregressive pada Kasus Heteroskedastisitas .............................................................................................. 1124

Deteksi Abnormality melalui BIRADS untuk Memprediksi Posisi dan Potensi Keganasan Kanker pada Kasus Kanker Payudara (Ca mammae) di Jawa Timur dengan Pendekatan Multinomial Normit Analysis ................... 1137 Penerapan Logika Fuzzy Mamdani untuk Diagnosa Penyakit Hipertiroid ...... 1146

JARINGAN SYARAF RADIAL BASIS FUNCTION (RBF) UNTUK KLASIFIKASI PENYAKIT KARIES GIGI ...................................................... 1158

Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus ...................................................................................................................... 1167 MODIFIKASI DISTRIBUSI PERJALANAN COMMUTER LINE JABODETABEK DENGAN MODEL GRAVITASI VOORHEES .................. 1175 Pengaruh Tingkat Kemiringan Tanah dan Pola Tanam Graf Tangga Segitiga Terhadap Sirkulasi Udara Pada Perkebunan Kopi ............................. 1181 PERUBAHAN NILAI TUKARIMPOR DAN HARGA KONSUMEN DI KAMBOJA DAN INDONESIA: BUKTI DARI VEKTOR AUTOREGRESI (VAR) ...................................................................................... 1187 KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING ...................... 1199 Metode Numerik Pada Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Beda Hingga ......................................................................................................... 1208 Solusi Numerik Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Sapuan Ganda .................................................................................................................. 1214 Mengkonstruksi Algoritma Bentuk Numerik Pada Sistem Persamaan Linear .................................................................................................................. 1222 Pemodelan GSTARX Dengan Intervensi Pulse dan Step Untuk Peramalan Wisatawan Mancanegara ................................................................ 1230 Nilai Strong Rainbow Connection pada Graf Khusus dan Hasil Operasinya .......................................................................................................... 1242 PENGEMBANGAN TOTAL SELIMUT SUPER PADA GRAF SHACKLETRIANGULAR BOOK .................................................................... 1249 BILANGAN KROMATIK PADA PENGOPERASIAN GRAF LINTASAN DENGAN GRAF LINGKARAN ................................................... 1257 PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN SALING LEPAS GRAF DAUN mLgn ....................................... 1263

Acer

Rectangle

Prosiding ISSN: 9 772407 749004

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1199

KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING

Saman Abdurrahman Program Studi Matematika FMIPA Unlam

Jl. A. Yani KM 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, [email protected]

ABSTRAK

Dalam tulisan ini dibahas konsep ideal maksimal fuzzy near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring. Kata kunci: Near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy, ideal prima fuzzy.

ABSTRACT In the paper discuss concept fuzzy maximal ideal of near-ring, which includes the relationship between fuzzy maximal ideal of near-ring and fuzzy prime fuzzy ideal of near-ring. Keywords: Fuzzy near-ring, fuzzy maximum ideal, fuzzy prime ideal PENDAHULUAN

Near-ring yang dikontruksi oleh

Pilz (1983), Clay (1992) dan Kandasamy

(2002), merupakan salah satu perluasan

dari ring, dimana beberapa aksioma yang

ada pada ring tidak harus diberlakukan

pada near-ring. Operasi pertama pada

near-ring sebarang tidak harus abelian,

terhadap operasi kedua membentuk

semigrup, dan terhadap operasi pertama

dan kedua, cukup dipenuhi salah satu

sifat distributif kiri atau kanan.

Seiring dengan perkembangan

zaman, penelitian pada near-ring tidak

hanya berkisar pada strukturnya tetapi

mulai memadukan dengan teori lain,

diantaranya dengan himpunan fuzzy yang

diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun

1965.

Abou-Zaid (1991) melakukan

fuzzyfikasi pada struktur near-ring,

sehingga melahirkan definisi near-ring

fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy

near-ring, dan ideal prima fuzzy near-

ring. Jun dan Ozturk (2001) melakukan

penelitian pada ideal maksimal fuzzy

gamma near-ring, Young dan Hee (2002)

melakukan penelitian pada ideal prima

fuzzy near-ring, dan Satyanarayana dan

Kuncham (2005) melakukan penelitian

pada ideal prima fuzzy gamma near-ring.

Mengingat penelitian sebelumnya

sudah membicarakan ideal prima fuzzy

dan ideal maksimal fuzzy pada near-ring,

maka pada tulisan ini akan diteliti sifat



dari ideal maksimal fuzzy, yang meliputi

hubungan dengan ideal prima fuzzy pada

near-ring.

Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan

berdasarkan studi literatur berupa buku-

buku dan jurnal-jurnal ilmiah, khususnya

yang berkaitan dengan near-ring, near-

ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, ideal

malsimal fuzzy near-ring dan ideal prima

fuzzy near-ring.

Pada tahap awal dipelajari

konsep-konsep dasar tentang near-ring,

subnear-ring, ideal near-ring, ideal

maksimal near-ring dan ideal prima

near-ring. Konsep-konsep dasar ini yang

nantinya akan banyak membantu untuk

memahami konstruksi near-ring fuzzy,

subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy,

ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal

prima fuzzy near-ring.

Setelah memahami konstruksi

near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal

near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy

near-ring dan ideal prima fuzzy near-

ring, dibuktikan beberapa lemma dan

teorema yang terkait sehingga diperoleh

“hubungan antara ideal di himpunan

klasik dan himpunan fuzzynya”.

Selanjutnya ditentukan asumsi-

asumsi sehingga terbentuk sifat baru,

yang mendukung pada pembahasan

hubungan antara ideal maksimal fuzzy

near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring

Langkah terakhir, dengan

menggunakan lemma-lemma dan

teorema-teorema yang saling terkait,

maka diperoleh hubungan antara ideal

maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima

fuzzy near-ring, yang hasilnya dituangkan

dalam bentuk teorema.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Definisi 1. (Pilz 1983) Himpunan tidak

kosong dengan dua operasi biner + dan

disebut near ring, jika memenuhi:

1. ( , +) adalah grup (tidak harus grup

abelian),

2. ( , .) adalah semigrup,

3. untuk setiap x,y,z berlaku salah

satu sifat distributif kanan atau kiri

(i). distributif kanan :

(ii). distributif kiri :

Selanjutnya yang dimaksud near-

ring adalah near-ring kiri, kecuali ada

keterangan lebih lanjut, dan xy dapat

juga ditulis xy.

Definisi 2. (Clay 1992) Diberikan near-

ring . Subgrup H dari disebut

subnear-ring dari (ditulis dengan

H ), jika memenuhi HH H.



Pada near-ring, grupnya tidak

harus abelian terhadap operasi +, maka

dalam mendefinisikan ideal di near-ring

subgrupnya harus merupakan subrup

normal.

Definisi 3. (Satyanarayana 2013)

Diberikan ( , +, .) adalah near-ring.

Subgrup normal dari disebut ideal

dari , jika

1. RI I

2. (r + i)s – rsI untuk setiap r,sR dan

iI.

Subgrup normal I dari ,

memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri

dari , dan memenuhi kondisi (2) disebut

ideal kanan dari .

Definisi 4. (Mordeson, 2005) Diberikan

X adalah himpunan tidak kosong. Suatu

pemetaan disebut subset fuzzy di X jika

. Selanjutnya himpunan

semua subset fuzzy di X dinotasikan

dengan (X).

Definisi 5. (Mordeson, 2005) Jika

, (X), maka untuk setiap xX:

1. jika dan hanya jika (x) (x),

2. jika dan hanya jika (x) (x),

Definisi 6. (Mordeson, 2005) Diberikan

(X) dan t[0,1]. Level subset dari

dinotasikan dengan t yang didefinisikan

dengan,

t {xR | (x) t}.

Lemma 7. (Mordeson, 2005) Jika

, (X), maka

1. maka a a untuk setiap

a[0,1]

2. a b maka b a untuk setiap

a,b[0,1]

3. jika dan hanya jika a a

untuk setiap a[0,1]

Definisi 8. (Abou-Zaid, 1991) Diberikan

near-ring dan . Subset fuzzy

disebut subnear-ring fuzzy di jika

untuk setiap berlaku:

1. min{ , }, dan

2. min{ , }.

Selanjutnya, disebut ideal fuzzy di

jika adalah subnear-ring fuzzy di

dan untuk setiap berlaku:

3. ,

4. , dan

5. .

Suatu disebut ideal kiri fuzzy di

jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan

(4), sedangkan disebut ideal kanan

fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2),

(3) dan (5).

Definisi 9. (Williams. P, 2008)

Diberikan ideal fuzzy di near-ring .

Ideal fuzzy disebut normal, jika ada

sedemikian hingga 1.

Selanjutnya himpunan semua ideal



normal fuzzy dari dinotasikan dengan

N( ).

Lemma 10. (Abdurrahman, 2012)

Diberikan near-ring . Jika adalah

subnear-ring fuzzy di , maka

, dan untuk setiap

.

Teorema 11. Diberikan near-ring .

Jika adalah ideal fuzzy di , maka

| adalah

ideal di .

Teorema 12. Diberikan dan adalah

ideal fuzzy di near-ring . Jika dan

, maka .

Teorema 13. Diberikan near-ring .

Jika , N( ) dan , maka .

Lemma 14. Diberikan near-ring . Jika

A ideal di , maka A ideal normal fuzzy

di dan A.

Bukti:

Misalkan A ideal di dan A fungsi

karakteristik dari A. Mengingat A adalah

ideal di , maka A sehingga

A 1 dan menurut [Abdurrahman

2012, Teorema 4.1.9], A adalah ideal

fuzzy di yang mengakibatkan A ideal

normal fuzzy di . Selanjutnya,

{ R | A A }

{ | A 1}

{ R | A } A. ■

Setelah diberikan beberapa sifat

dari ideal normal fuzzy di near-ring ,

berikut diberikan sifat dari fungsi

karakteristik dari suatu ideal di .


A dan B ideal di , maka A B jika dan

hanya jika A B.

Bukti:

( ) Misalkan A dan B adalah fungsi

karakteristik dari ideal A dan B di

dengan A B. Akan dibuktikan A B,

yaitu A B untuk setiap R.

Untuk membuktikan A B, akan dilihat

dari tiga kondisi berikut:

1. jika A, maka B sehingga

A B 1,

2. jika A dan B, maka

A 0 1 B , dan

3. jika , maka

A B 0

Berdasarkan (1), (2), dan (3) maka

A B untuk setiap .

( ) Misalkan A dan B adalah ideal di

dan A B. Akan dibuktikan A B.

Diambil sebarang A, maka A 1.

Mengingat A B dan B [0,1], maka

1 A B untuk setiap ,

sehingga B 1 yang mengakibatkan

B, dengan kata lain A B. ■


adalah ideal fuzzy di dan



yang didefinisikan dengan, +

1 untuk setiap , maka

ideal normal fuzzy di dan .

Bukti:

Misalkan ideal fuzzy di dan

dimana + 1

untuk setiap . Mengingat

ideal fuzzy di dan definisi , maka

untuk setiap , berlaku:

1) + 1

min{ , } + 1

min{ + 1 , + 1

} min{ , }.

2) + 1

min{ , } + 1

min{ + 1 , + 1

}

min{ , }.

2)

+ 1

+ 1 .

3) + 1

+ 1 .

4)

+ 1

+ 1 .

5) + 1 1.

6) , [0,1] dan 1,

maka ≤ 1,

untuk setiap .

Mengingat 1 dan (x) +

1 , maka (x) yang

mengakibatkan . Jadi, adalah

ideal normal fuzzy di dan . ■

Lemma 17. Diberikan ideal fuzzy di

near-ring . Jika 0 untuk suatu

, maka 0.

Lemma 18. Ideal fuzzy di near-ring

adalah normal jika dan hanya jika

.

Akibat 19. Jika adalah ideal fuzzy di

, maka ( ) .

Akibat 20. Jika ideal normal fuzzy di

near-ring , maka ( ) .

Definisi 21. (Williams. P, 2008)

Diberikan near-ring . Ideal fuzzy di

disebut maksimal, jika memenuhi

kondisi:

(1) tidak konstan,

(2) adalah elemen maksimal di

( N( ), ).

Contoh 22. Diberikan adalah

near-ring, dengan operasi pergandaan

pada didefinisikan, untuk

setiap . Jika 2 adalah ideal

maksimal di dan ( ) yang

didefinisikan dengan,

(x)

untuk setiap z , maka ideal maksimal

fuzzy di



Setelah diberikan definisi ideal

maksimal fuzzy di near-ring , berikut

diberikan sifat dari elemen maksimal di

N( ).

Lemma 23. Jika N( ) dengan

elemen maksimal yang tidak konstan di

( N( ), ), maka nilai keanggotaan dari

adalah 0 dan 1.

Bukti:

Misalkan N( ) dengan elemen

maksimal yang tidak konstan di ( N( ),

). Akan dibuktikan nilai keanggotaan

dari adalah 0 dan 1.

Mengingat N( ), maka .

Misalkan untuk suatu .

Klaim 0.

Andaikan , maka 0 1.

Didefinisikan subset fuzzy ,

dengan (x) untuk setiap

. Akan ditunjukkan well-defined.

Misalkan dengan .

Mengingat adalah pemetaan, maka

sehingga

+ +

Jadi , dengan kata lain well-

defined.

Selanjutnya, akan dibuktikan adalah

ideal fuzzy di .

Diambil sebarang , maka

a)

min{ }

min{(x), (y)},

b)

min{ }

min{(x), (y)},

c)

,

d) ,

e)

.

Jadi, adalah ideal fuzzy di .

Akibatnya menurut Lemma 16,

N( ) sehingga 1.

Berdasarkan analisa di atas, maka

+ 1 untuk setiap

+ 1

+ 1

dan 1 .

Akibatnya .

Jadi, tidak konstan dan .

Mengingat , maka bukan elemen

maksimal di ( N( ), ). Ini kontradiksi

dengan elemen maksimal di ( N( ),



), sehingga pengandaian salah,

seharusnya untuk suatu .

Jadi, nilai keanggotaan dari adalah 0

dan 1. ■

Selanjutnya diberikan beberapa sifat

dari ideal maksimal fuzzy di near-ring

, yang berhubungan dengan fungsi

karakteristik dan .

Teorema 24. Jika adalah ideal

maksimal fuzzy di near-ring , maka

(1) nilai kenggotaan adalah 0 dan 1,

(2) adalah normal,

(3) R ,

(4) adalah maksimal di .

Bukti:

(1) Mengingat adalah ideal maksimal

fuzzy di maka menurut Definisi

111, tidak konstan. Karena tidak

konstan dan + 1

untuk setiap , maka tidak

konstan, sehingga menurut Definisi

111 dan Lemma 113, adalah

elemen maksimal tidak konstan di

( N( ), ) dan nilai keanggotaan dari

adalah 0 dan 1.

(2) Dari (1), diambil (a) 0 untuk

suatu a , sehingga menurut Lemma

17, (a) 0. Di lain pihak,

0 (a) (a) + 1 0 + 1

1 1.

Jadi, adalah normal.

(3) Misalkan R adalah fungsi

karakteristik dari . Dari (2)

diperoleh, adalah normal, maka

menurut Lemma 18 dan Definisi 21,

dan elemen maksimal di

( N( ), ), sehingga menurut (1)

nilai keanggotaan dari adalah 0 dan

1. Di lain pihak,

{x | }

{x | 1}.

Berdasarkan analisa di atas, maka

(x)

Jadi, adalah fungsi karakteristik

dari yang mengakibatkan R .

(4) Menurut Teorema 11, adalah ideal

di . Misalkan A adalah ideal fuzzy di

dan A adalah fungsi karakteristik

dari A sedemikian hingga A.

Akibatnya menurut Lemma 14, (3)

dan Lemma 15, maka A N( ) dan

R A, R dan R A.

Mengingat ,A N( ), R A

dan adalah elemen maksimal

di ( N( ), ), maka A atau A

, dimana , (x) 1

untuk setiap . Selanjutnya, jika

A, maka yang

mengakibatkan A atau jika

A , maka yang



mengakibatkan A , sehingg

adalah ideal maksimal dari . ■

Berikutnya diberikan sifat dari ideal

maksimal di near-ring , yang

berhubungan dengan ideal maksimal

fuzzy dari .

Teorema 25. Diberikan M ideal dari

near-ring dan ( ) yang

didefinisikan dengan,

(x)

untuk setiap . Jika M maksimal dari

, maka ideal maksimal fuzzy dari .

Berikut diberikan sifat dari ideal

maksimal di near-ring , yang

berhubungan dengan fungsi

karakteristinya.

Akibat 26. Ideal M adalah maksimal di

near-ring jika dan hanya jika fungsi

karakteriatik dari M adalah ideal

maksimal fuzzy di .

Setelah diberikan definisi dan

sifat ideal maksimal fuzzy di near-ring ,

selanjutnya diberikan sifat yang

menunjukkan hubungan antara ideal

maksimal fuzzy dan ideal prima fuzzy dari

, yang merupakan akhir dari

pembahasan tulisan ini.


adalah ideal maksimal fuzzy di ,

maka adalah ideal prima fuzzy di

atau .

Bukti:

Mengingat ideal maksimal fuzzy di ,

maka menurut Teorema 26, R dan

adalah ideal maksimal di , sehingga

menurut [Pilz. G, 1983, Lemma 71],

adalah ideal prima di atau .

Selanjutnya, jika adalah ideal prima di

dan R , maka menurut

[Abdurrahman 2011, Akibat 4.14],

adalah ideal prima fuzzy di atau jika

dan , maka menurut

Lemma 15, . ■

Kesimpulan

Beberapa hasil penting atau sifat-

sifat yang dapat dijadikan sebuah

kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai

berikut:

1) Jika adalah ideal maksimal fuzzy di

near-ring , maka nilai kenggotaan

dari adalah 0 dan 1, adalah

normal, R dan adalah

maksimal di .

2) Ideal M adalah maksimal di near-ring

jika dan hanya jika M adalah ideal

maksimal fuzzy di .

3) Jika adalah ideal maksimal fuzzy

di near-ring , maka adalah ideal

prima fuzzy di atau .

PUSTAKA

Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N,

2013, Ideals prima fuzzy near-



ring, Jurnal Matematika Murni

dan Terapan Epsilon, vol. 07, no.

01, hal 21 – 32.

Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N,

2012, Ideals fuzzy near-ring,

Jurnal Matematika Murni dan

Terapan Epsilon, vol. 6, no. 2, hal

13 – 19.

Abou-Zaid. S, 1991, On fuzzy subnear-

rings and ideals, Fuzzy Sets and

Systems, vol. 44, pp. 139-146.

Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and

applications, Oxford, New York.

Jun. Y.B, Sapanci. M. and zt rk. M.A,

1998, Fuzzy ideal in gamma near-

ring, Tr. J. of Math, vol. 22, no.

__, pp. 449-459.

Kandasamy. W.B.V, 2002, Smarandache

near-rings, American Research

Press Rehoboth.

Mordeson, J.N, Bhutani. K.R. and

Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group

theory, Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg.

Pilz. G, 1983, Near-ring, the theory and

applications 2nd ed., North-

Holland Mathematict Studies, vol.

23, North-Holland, Amsterdam.

Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2005,

Fuzzy prime ideal of gamma near-

ring, Soochow Journal of

Mathematics, vol. 31, no. 1, pp.

121-129.

Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2013,

Near-ring, Fuzzy Ideals, and

Graph Theory, Taylor and Francis

Group, LLC.

Williams. P, 2008, Fuzzy ideals in near-

subtraction semigroups,

International journal of

Computational and Mathematical

Sciences, vol. 2, no. 1, pp. 39-46.