karmaù ik sayilar · 2013-03-11 · e. karmaşık sayılarda dört İşlem 1. toplama - Çıkarma...

KARMAŞIK

SAYILAR

Derse giriş için tıklayın...

A. TanımB. i nin Kuvvetleri

C. İki Karmaşık Sayının Eşitliği

1. Toplama - Çıkarma

2. Çarpma

3. Bölme

A. Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi

D. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

E. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem

G. Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)

H. Mutlak Değerle İlgili Özellikler

B. Kutupsal Biçimde İşlemlerC. Bir Karmaşık Sayının Kuvveti

D. Bir Karmaşık Sayının Kökleri

F. Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının Görüntüsü

A. Tanım

ax2 + bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk.

Mesela x2 + 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2 + 1 = 0 x2 = -1 ) karesi -1 olan

reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar

kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.

a ve b birer reel sayı ve i = olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen

z sayısına karmaşık ( kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C =

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel) kısmı, b ye

karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z)=b şeklinde gösterilir.

1

.1,;: diriveRbabiazz

.)11( 2 dirii

Örnek ...1

izziziz 3,2,2,32 4321

sayıları birer karmaşık sayıdır.

Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.

Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.

Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.

Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür.

iz 321

iz 22 2

23 z

iz 34

Örneği görmek için tıklayın

Ana Menü

B. i nin Kuvvetleri i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = -i

i4 = 1

i5 = i

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden

birine eşit olmaktadır.

n N olmak üzere

i4n = 1

i4n+1 = i

i4n+2 = -1

i4n+3 = -i dir.

Örnek ...2

84 = 4.21 olduğu için i84 = 1,

61 = 4.15 + 1 olduğu için i61 = i,

98 = 4.24 + 2 olduğu için i98 = -1

47 = 4.11 + 3 olduğu için i47 = -i dir.

Örnek ...3

i2 = -1 olmak üzere

(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22)

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i


Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın

i20= (i4)5 = 1 , i21= (i4)5.i = i ve

i22= (i4)5.i2 = 1.(-1) = -1 olduğu için,

(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22) = (1 + 1). (1 + i). (1 – 1)

= 2. (1 + i). 0

= 0 olur.Cevap C

Ana Menü


Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki

karmaşık sayı eşittir.

.. 21

2

1dirdbvecazzolsun

dicz

biaz

Örnek ...4 Örneği görmek için tıklayın

ÇözümÇözümü görmek için tıklayın

kaçtır?bagöre,olduğuna

32

32

21

2

1

zz

aibiaz

ibiaz

A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5

olur.3)2(5,göreBuna

.2513513

,5322

.13322

göre,olduğunave

).()32(

).13()2(

21

2

1

ba

dirbbbaveabb

aaa

dırabbveaa

zz

iabaz

ibaz

Cevap D

Ana Menü


.' denireşleniğininz

sayısınabiaziçinsayısıkarmaşıkbiaz


.53:eşleniğisayısının53.5




.4:eşleniğisayısının41

55

44

33

22

11

diriziz

diriziz

tirzz

türiziz

diriziz.

Reel katsayılı ax2+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin

köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün

eşleniği olan z=m-ni sayısıdır.

Örnek ...6

x2 - 2x + 5 = 0

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm Çözümü görmek için tıklayın

Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

.21,21

.2121

212

162

1.2

162

2

,165.1.424

21

2

2,1

22

diriiÇ

dirixveixise

ii

a

bx

acb


Ana Menü



Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve

sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.

dicz

biaz

2

1

.)()(

)()(

21

21

diridbcazz

veidbcazz


.55)4())3(2()43()2(

31)4()32()43()2(

göre,olduğuna432

21

21

21

diriiiiizz

iiiiizz

izveiz

2. ÇarpmaKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel

sayılardakine benzer şekilde yapılır.

.21 olsundiczvebiaz

)).((. 21 dicbiazz

dbcibdiaca

idibcibdiaca

....

)1(,.... 22

221111

21

.)).((.

)()(.

bazzbiabiazz

ibcadbdaczz

Ana Menü İleri


Çözümü görmek için tıklayın


?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının

)2.()2( 33 ii

A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E) 4i


.1255

)14()12(

)2).(2()2.()2(

3

3322

333

tir

iiii

Cevap A Geri Ana Menü İleri

yapalım.iişlemlerin

..

,göreolduğuna221

211121

21

zzzzz

izveiz

1. 2. 3.

Çözüm

)2).(21(. 21 iizz

i

i

iiii

5

)1(252

)1(,242 22

1.

541)21)(21(. 11 iizz2.

.43

)1(441441

)2(2.1.21)21(

2

2221

oluri

iii

iiiz

3.

3. Bölme

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay

ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır.

.21 olsundiczvebiaz

222

1 )()(

))((

))((

dc

iadbcbdac

dicdic

dicbia

dic

bia

z

z


olur.5

5

41

)1(252

21

242

)21)(21(

)21)(2(

21

2

göre,olduğuna21ve2

22

2

2

1

21

iii

iii

ii

ii

i

i

z

z

iziz

z=a+bi sayısının,

toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi

çarpma işlemine göre tersi :

.11

22dir

ba

bia

biaz


kaçtır? kısmı imajiner

n eşleniğinitersinin göre,çarpmayasayısının

3

(sanal)

i


dur.10

1- kısmıimajiner sayının Bu

dur.1010

3

eşleniğibunun için olduğu

1010

3

19

3

13

3

)3)(3(

3

3

1

tersi;göre çarpmayasayısının 3

22

i

iii

ii

i

i

i

Geri Ana Menü


İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y

ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme

karmaşık düzlem denir.

z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü

M(a,b) noktasıdır.

z = a + bi kompleks sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki

görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.


OReel

Eksen

İmajiner

Eksen

2

3

.z = 3+2i

Ox

y

2

3

.z = 3+2i

Ana Menü

.gösterelim uzayındaVektör

düzlemdeKarmaşık

say ısını,karmaşık 23

iz

1.

2.


Karmaşık düzlemde, bir

karmaşık sayıya karşılık gelen

noktanın başlangıç noktasına

uzaklığına mutlak değeri

(modülü) denir ve IzI şeklinde

gösterilir.

Ox

y

b

a

.z = a+bi

IzI

IzI 22 ba


z = 4 + 3i sayısının mutlak değerini bularak

karmaşık düzlemde gösterelim.


.534

34

22 tirz

iz

y

Ox

3

4

.z = 4+3i

Ana Menü


212121

2

22

1

2

1

2121

.

0,

..

zzzzzz

zzz

zz

zz

z

z

z

zzzz

zzzz

nn

6.

5.

4.

3.

2.

1.



kaçtır? göre olduğuna

23

23

üzere,olmak 12

z

i

iz

i

.123

23

23

23

göre, Buna dir.2323

için,olduğu eşleniğisay ısının 23 say ısı 23

diri

i

i

iz

ii

i--i

Cevap A

A) 1 B) C) D) 2 E) 5 2 3

Ana Menü İleri


?hangisidirerden aşağıdakil sayısıkarmaşık zsağlayaneşitliğini

31zz

üzereolmak12

i

i

A) –4-3i B) –3-4i C) –4+3i D) 3+4i E) 4+3i


.34

göre,olduğuna34

.4

82

219)1()9(

.1919

13

.31

31

31

göre, eVerilenler

olsun.

22222

22

22

22

22

diriz

bvea

türa

a

aaaaa

dıraaaa

denbaaveb

türbvebaa

ibabia

ibiabia

biaz

Cevap C Geri Ana Menü İleri

z1= x1+ iy1 ve z2= x2+ iy2 sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların

karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa

eşittir. Yani,

Iz-z0I = r şartını sağlayan z karmaşık sayılarının kümesi, z0 sabit

noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi

z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

Iz-z0I < r ifadesi merkezi z0, yarıçapı r olan çemberin iç

bölgesindeki noktaların kümesini gösterir.

Iz-z0I > r ifadesi merkezi z0, yarıçapı r olan çemberin dış

bölgesindeki noktaların kümesini gösterir.

.)()( 221

22121 diryyxxzz


birimdir? kaçuzaklık arasındaki sayıları

5234

üzereolmak1

21

2

iziz

i

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 13


birimdir.10)8(6

86)52()34(z

:uzaklık arasındaki sayıları5234

22

21

21

iiiz

izveiz

Cevap DGeri Ana Menü


olsun. ölçümü açının u oluşturduğ

eksenininOx ile OM.noktasıdır b)M(a,

görüntüsü düzlemdekikarmaşık nin

olsun.

z

biaz

Ox

y

b

a

.M(a,b)

H

denir. gösterimi

trik)(trigonome kutupsalsayının karmaşık

edilmesine ifade şekildebu sayının Karmaşık

.sin.cos

sin..cos.

sin.cos. Buradan, yazılır.

btan,

z

acos,

z

bsin,

,üçgenindendik OHM

22

dırizz

zizbiaz

zbveza

abaz

Yukarıda ifade edilen eşitlikleri sağlayan reel

sayısına z nin argümenti denir ve

arg(z) = şeklinde gösterilir.

0 2 ise ya karmaşık sayının esas

argümenti denir.

Karmaşık sayının mutlak değer ve

argümentine bu sayının kutupsal koordinatları

denir ve (IzI,) şeklinde gösterilir.

z= IzI.(cos +i.sin) sayısı

z=IzI.cis şeklinde de yazılabilir.

Ana Menü İleri


kaçtır? tan

göre, olduğuna argümentisayısının karmaşık

14

iz


.5

1tan göre, olduğuna

tanise argümentisayısının

...514

tir

a

bbiaz

diriziz


bulalım. iargümentin esassayısının

33 iz


Zkk

ziz

,2.4

3

2

1

23

3cos

2

1

23

3sin

233333 22

tür.4

3 argümenti esasnin z

için olduğu 4

3 değeri kiaralığında 0,2nın

göre olduğuna ,2.4

3)arg( halde O

Zkkz

Geri Ana Menü İleri


.gösterelim biçimde kutupsal sayısını

232 iz


.3304330sin.330cos4

:biçimi kutupsalsayısının 232 göre, Buna

.330

2

3

4

32cos

2

1

4

2sin

4232

232

22

dirciszveyaiz

iz

dir

z

iz


?hangisidirerden aşağıdakil

sayıkarmaşık olan 6

,2 arıkoordinatl Kutupsal

A) B) C)i31 i32 i22

D) E)i1 i22


.32

2

1.

2

32

6sin.

6cos2sin.cos.

göre, olduğuna6

)arg(2

diri

i

iizz

zvez

Cevap B


IzI=4

32

2

x

y


?hangisidirerden aşağıdakil değeri

i

i3arg

A) B) C) D) E)3

2

3

2

3

4

6

11


1.

2.

3. )arg()arg(arg

)arg()arg().arg(

)arg(.)arg(

21

2

1

2121

zzz

z

zzzz

znz n

Cevap D

tür.

3arg göre, Buna

dir. arg(z ve

için,olduğu z ve

2

2

3

4

6

8

26

11

argargarg

2)

20

1

0cos

11

1sin

10

21

2

1

2

zzz

z

i

i

iz


dır. 6

11)arg(z ve

6

11

2

3cos

2

1sin

için,olduğu 2z ve3z

olsun. ve sırayla riargümentlen sayılarını z vez

dir. 110z ve213z

olsun. i ve3

1

11

2 1

222

22

1

21

i

zzi

Örnek ...6

radyandır? kaç z

zarggöre, olduğuna

zarg ve

2

1

2

3

2

194

arg

z

A) B) C) D) E)2

9

6

4

Çözüm

dır. 6329

.34

.2

arg3arg2argargarg 21

3

2

2

13

2

2

1

zzzz

z

z

Cevap B



.doğrusudur yarı MP

görüntüsün sayılarınıkarmaşık zsağlayan şartını

)z-(z arg

olsun. noktası b)M(a,görüntüsü

düzlemdekikarmaşık sayısının karmaşık

0

0

biaz

M

P

y

x

0z

Geri Ana Menü

B. Kutupsal Biçimde İşlemler

dir. sincos.

sincos...z

olsun. sincos.z

vesincos.

2121

2

1

2

1

21212121

2222

1111

iz

z

z

z

izzz

iz

izz

Örneği görmek için tıklayın Çözümü görmek için tıklayınÖrnek ...7 Çözüm

bulalım.bölümünü

ve

çarpımını z göre, olduğuna

3

23

6

56

2

1

21.

2

1

z

z

z

cisz

cisz

3

2

6

5.

3

6

3

23

6

56

18))1(0(18

2

3sin

2

3cos18

2

3.18

)3

2

6

5(.3.6

3

23.

6

56.

2

1

21

cis

cis

cis

z

z

ii

icis

ciscisciszz

olur. ii

icis

32

1.

2

32

6sin

6cos2

62

Ana Menü

C. Bir Karmaşık Sayının Kuvveti

.n sin cos.sincos.z

üzere,olmak sayı doğalbir n

dırinzinn

r.gidilebili sonuca daak kullanılar ieşitlikler

2121.1.21i-1

ve2121.1.212i1

bakılmadan kurala belirtilen yukarıdaiçin

hesaplamak y i z ise i-1z veya1

222

22

n

iiii

iiii

iz

Örneği görmek için tıklayınÖrnek ...8


Çözüm

?hangisidirerden aşağıdakil zgöre, olduğuna

15

6

cisz 2

A)-64i B)32 C)32i D)64 E)64i

Cevap E

9064

)15.6(.2

15 2

66

cis

cisz

cisz

dir. 64

)1.0(64

)90sin90(cos64

i

i

i

Ana Menü İleri





Çözüm

?hangisidirerden aşağıdakil zgöre, olduğuna 100

iz 22

olur. 150

21505050100

50100502100

100100100100

2

.2.2.2

)2(212

)1(212

1222

ii

ii

iiz

iziz

Cevap A

A) B) C) D) E)1502 1002 i.2150 i.2100 1502

Örnek ...10

?hangisidirerden aşağıdakil zgöre, olduğuna 300

22

3 iz

.330

2

3

1

2

3

cos

2

1

1

2

1

sin

,12

1

2

3

22

322

dir

zi

z

Çözüm

dir. 1

.01

0sin0cos.1

99000330.300.1

300

300

300

300300

z

iz

iz

ciscisz

Cevap E

A) -i B) -1 C) D)i E)1 2

31 i

Geri Ana Menü


bulalım.

inikarekökler sayısının

)3

4sin.

3

4(cos16

iz


ve

)sin(cos

sincos

i

i

iw

322

3

2

3

24

2

3

4

2

3

4

160

bulunur. ii

i

iw

3222

3

2

14

3

5sin

3

5cos4

2

3

4

sin2

3

4

161

Çözümü görmek için tıklayınÇözüm

Ana Menü İleri

dır. için karekökler Ayrıca,dir. ve

ikarekökler sayısının karmaşık

:şunlardır sayıları sağlayan denklemini

r.sayılarıdı wsağlayan ıbağıntısın

kökler, Buiz.göstereceğ i le köklerini dereceden Zn.(n sayısının

n

n

nn

n

wwθ

π.cisrwθ

.cisrw

θr.cisz

)...,(n,,;kn

kπθcisr

wzw için )z,(rZ nθ ver.cisz

zwzw

z biaz

0110

1

22

12102

)


bulalım. sayılarını z sağlayan denklemini 083 z


bulunur. 31)2

3

2

1(2

)3

5sin

3

5(cos2

3

52ziçin 2

2)01(2

)sin(cos22ziçin 1

312

3

2

12

)3

sin3

(cos23

2cisziçin 0

3

2.8

)2.(.8808

3

2

1

3

1

33

ii

icisk

i

icisk

ii

ik

kcisz

kciszz

z=a+bi karmaşık sayısının karekökleri

formülünden yararlanarak da bulunabilir.

22

1,0

azazw


z= 3 - 4i

karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.


olur.2

142

35

2

35w

göre, olduğuna5434,3

0,1

22

i

ii

zveba

Geri Ana Menü




2. Çarpma

3. Bölme









ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1

Soru ...1


kaçtır? kısmı iner)sanal(imajn eşleniğini

sayısının karmaşık zsağlayan eşitliğini

12342 iziz

13

12

13

5

13

5

13

121A) B) C) D) E)

tür.13

5)zİm(

: kısmı sanalsayısının 13

5

13

12

için,olduğu 13

512

32

6496

)32)(32(

)32)(23(

32

23

23)32(

12342

22

2

iz

iz

iii

ii

ii

i

iz

iiz

iziz

Cevap B

Soru ...2

?hangisidirerden aşağıdakilsonucu çarpımının

)3.()3( 1110 ii

202 )3(220 i )3(220 i

)3(210 i )3(210 iE)

A) B) C)

D)


olur.)3(2

)3.()13(

)3.()3)(3(

)3.()3.()3()3.()3(

20

10

10

10101110

i

i

iii

iiiii

Cevap C

Ana Menü İleri

Soru ...3

r.)eşleniğidinin ',z (?hangisidirerden aşağıdakil

sayısıkarmaşık zsağlayan eşitliğini

2).3(

z

zzi

E)

A) B) C)

D)

)1(9

2i )1(

9

2i )2(

9

2i

)2(9

2i i24


olur.)2(9

2

9

2

9

4z

göre, Buna bulunur.9

2

9

4

,çözümündenortak denklemin ikiBu

.224

323

)2()3()3(

233

)(2))(3(z-2i).z-(3

olsun.

2

ii

yvex

diryxveyx

yxyvexyx

yixixyyx

yixyixiyix

yixyixi

yixz

Cevap C

Soru ...4

?hangisidirerden aşağıdakil x göre, olduğuna

26.

2

ziz

xixz

A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) 1


42

3131

9)1(

72)1(8

26)1(2)1(2

26)1(2)1(2

2622

26)2.(2

26.2

2

2

22

2

xveyax

xveyax

x

x

xx

ixx

xiixixix

xixixix

zizvexixz

Cevap A


Soru ...5 Soru ...6


kaçtır? toplamı

göre olduğuna 3 birin köklerinden denklemini

0

üzere,olmak ,,

2

cba

i-

cbxax

IRcba

A) 5 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17


olur.171061 halde, O

dır.0106010)6(x

denklemi; 0 göre, Buna

101)3()3)(3(x.x

6)3(3xx

dir. 3olan eşleniği

bununkökü diğer ise 3 birin köklerinde

n denklemini0 katsayılı Reel

22

2

2221

21

2

cba

xxx

cbxax

-i-i

-i-i

-i-

i

cbxax

Cevap E

kaçtır?z göre, olduğuna

43

1-

iz

5

1

5

2

5

3

5

41A) B) C) D) E)


olur.5

15z

için,olduğu 5)4(343

111-

22

z

ziz

Cevap A

Soru ...7 Soru ...8



eşiti ifadesinin z-z

göre, olduğuna

2

2

zz

iz

A) –4i B) –2i C) -2 D) -4 E) 4


olur.

zz

için, olduğu

41

442

2

4

)2(2

22

22

2

2

222

ii

iii

ii

zz

iziz

Cevap D

?hangisidirerden aşağıdakil eşiti ifadesinin

1

1

üzereolmak 1

50

2

i

i

i


.1i-1

i1

için,olduğu 2

21

)1)(1(

)1)(1(

1

1

250

50

2

dirii

iii

ii

ii

i

i

Cevap B

A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

Soru ...9 Soru ...10

Geri Ana Menü

birimdir?

kaç uzaklığıolan noktasına ortanin nın

. veriliyornoktaları

2825 düzlemdeKarmaşık

BCA

i)) ve C(i), B(-A(

A) B) C) D) E)3 32 13 525


.

.

3

1

2

8

5

.

.

x

y

A

B

D

C

-2

noktasıortanin

üzere,olmak

)28(ve)2(

BC

iCB

)3()2

282( iD

iD

birimdir.543)15()30(

uzaklığı noktasına

3 noktasının

5 göre, Buna

2222

AD

i) D(

i)A(

Cevap B

bulunuz. denkleminiyerinin

geometrik n sayılarınıkarmaşık zsağlayan eşitliğini

11

iz

iz


olur. 2

1

121212

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1(

1

1

11

11

olsun.

2222

2222

2222

x

yyxxyyx

yxyx

yxyx

iyxiyx

iyixiyix

iziz

iz

iz

iz

iz

yixz

Özel Soru




2. Çarpma

3. Bölme









ÇÖZÜMLÜ SORULAR 2

Soru ...1


?hangisidirerden aşağıdakil z göre, olduğuna

4.ve3

2)arg( zzz

Cevap C

Ana Menü İleri

i 3 i3 i31

i31 i 3E)

A) B) C)

D)

Soru ...2

kaçtır? göre

olduğuna argümenti sayısının karmaşık ve

sin

1

z

ziiz


dir.1sinve2

)arg(

göre, olduğuna2

dir.2

2

1

)1(

1

1

1)1(

1

1

2

2

z

cisiz

ii

i

i

i

iz

iiz

iziz

ziiz

Cevap E

12

1 0

2

11A) B) C) D) E)

dir.312

3

2

12

3

2sin

3

2cos2

3

22

.

göre, olduğuna2ve3

2arg(z)

dir....24.

için,olduğu .

2

2

ii

icisz

ciszz

z

zzzz

zzz

Soru ...3


gösterimi kutupsalsayısının karmaşık

2424 iz


dir.

göre, Buna

olur.

ve

,olduğundan zz

olur.

alınırsa, eparantezinz sayısı

olur.

3158)315sin.315cos8

315arg

2

1sin

2

1cos

)sin..(cos

2

1.

2

18

2

2

2

28

82424

8)24()24(

2424

22

cisi(z

(z)

i

iiz

iz

z

iz

Cevap E

Soru ...4

kaçtır? argümenti

esassayısının göre, olduğuna

20ve40

21

21

zz

ciszcisz


Cevap C


E)

A) B) C)

D)

1354cis13524 cis 3158cis

31524 cis 1358cis

A) B) C) D) E)10 20 30 40

60

dir. 03 argümenti esas

sayısının karmaşık olduğundan

)03sin.03(cos01cos2

01cos.03sin.201cos.03cos.2

2

0240cos.

2

0240sin2.

2

0240cos.

2

0240cos2

)02sin40sin()02cos40(cos

02sin.02cos40sin.40cos

20ve40

21

21

21

zz

i

i

i

i

iizz

ciszcisz

Soru ...5

kaçtır? Re

için, sayılarıkarmaşık sağlayan eşitliğini

43arg

İm(z)(z)

z

i

iz


Cevap C

A) B) C) D) E)3 1 1 3 31

olur. 1Re

dir.11 göre, Buna

11

3

y-1

3

4tan

tür.4

argümentisayısının karmaşık 33

y-1

olur.43

1

3arg

43arg

43arg

olsun.

yxİm(z)(z)

yxxy

y

x

x

ix

yxi

i

iyix

i

iz

yixz


Cevap B

eşittir? hangisineerden aşağıdakil göre, olduğuna

sincos

cossin

98z

i

iz

A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 1+i

Soru ...6

olur.1z

göre, Buna

...dir...

1.0

90sin.90cos

))(90sin(.))(90cos(

dır. )sin(.)cos(zsin.cosz

ve)90sin(.)90(cos

cos.sin

29898

22

1

1

ii

iz

iz

iz

iz

ii

iz

iz


Soru ...7


biriinden kareköklersayısının karmaşık

344 iz


i434 i344 i232

i232 i62 E)

A) B) C)

D)

olur.622

3

2

122

)240sin240(cos2224022için1

622

3

2

122

)60sin60(cos226022için0

ii

iciszk

ii

iciszk

Cevap E

2

360.1208

)360.1208cis(z

dir....1208

)120sin120(cos8

2

3

2

18344

dir...br8)34()4(344

2

1

2

1

22

kciszz

k

cisz

iz

izz

zz


Soru ...8


gösterimi kutupsalsayısının karmaşık

3

4

iz

A)6

5sin

6

5cos

i

B)

C)

D)

E)

6

11sin

6

11cos

i

)6

5sin

6

5(cos2

i

)6

5sin

6

5(cos2

i

)6

11sin

6

11(cos2

i


Cevap Eolur.)

6

11sin

6

11(cos2

)6

2sin()6

2cos(2

4

olsun.6

sin6

cos2

2

1

2

323

ve)2sin2(cos44

2

1

2

22

11

i

iz

zz

iz

iziz

izz


Soru ...9 Soru ...10

Geri Ana Menü



birian sayılarındkarmaşık z göre, olduğuna

320325 cisz

E)

A) B) C)

D)

722cis1362cis 2442cis

2162cis 2882cis

dir.3522ziçin4

2802ziçin3

2082ziçin2

1362ziçin1

642ziçin0

)5

360.320(.)2()(

)360.320(.2)320(32

5

4

3

2

1

5

1

55

1

5

55

cisk

cisk

cisk

cisk

cisk

kcisz

kciscisz

Cevap B

birimdir? kaçuzaklık arasındaki sayıları

karmaşık ve göre, Buna

r.verilmişti

igörüntülern sayılarını

karmaşık ve Şekilde

21

21

zz

zz


Cevap B

A) B) C) D) E) 5 32 14 15 23

1545

22

2

1z

2z

x

y

O

.

.

1545

22

2

1z

2z

x

y

O

.

.x

bulunur.br 1414

410)2

1.(828

120cos.2.22.22)22(

en teoremindkosinüs üçgeninde Ozz

göre, olduğuna 120)Ozzm(

br ve 2

br, 22

olsun.uzaklık x

arasındaki ile

2

2

222

21

21

2

1

21

xx

x

x

z

z

zz

Özel Soru

Özel Soru

kaçtır? göre, olduğuna

zz

5)(z

2)(z

üzere,olmak 0

21

2

1

ac-bc

acb

icba

cba

A) -29 B) -21 C) 7

D) 21 E) 29

Çözümü

bulunur.-21bc-ac

25ac-ab

4bc-ab

a,çıkarılırs tarafa tarafidenklemler ve

dir....4)(2c)-b(a

...25)(5c)-a(b

dir.2c)-b(ave5c)-a(b

.c)-b(a52ic)-a(b

c)i-b(a52ic)-a(b

c)(-1)-b(a52ic)-a(b

5a)-b(c2ic)-a(bzz

göre, olduğunazz

5a)-b(cz 2i,c)-a(bz

dır...0 ve0

için,olduğu 0

2

21

21

21

cab

cba

i

c-ab-c

cba

görmek için tıklayın

Cevap B

Geri Ana Menü


argümenti esassayısının karmaşık

20sin20cos1 iz

A) B) C)

D) E)

35 40 40

100160

)20sin180(sin20cos180cos

20sin20cos180sin180cos

20sin20cos1

i

iiz

iz

2

20180cos.

2

20180sin2.

2

20180cos.

2

20180cos2 i

dir.100 :argümenti esas

ve802cos değerimutlak say ısının karmaşık z

için,olduğu )100sin100.(cos80cos2

80cos.100sin2.80cos.100cos2

i

i

Geri Ana Menü

Özel Soru Çözümü görmek için tıklayın

Cevap D




2. Çarpma

3. Bölme









BİTİŞ

karmaù ik sayilar · 2013-03-11 · e. karmaşık sayılarda dört İşlem 1. toplama - Çıkarma...

Documents