karnaughy quine
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Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh y métodoy métodode Quinede Quine McCluskeyMcCluskey
Ing. Mónica Patricia René_2010
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IntroducciónIntroducción
Vimos como representar funciones de conmutación (o booleanas)con tablas de verdad, implementándolas con compuertas lógicas.
Además mediante el álgebra de Boole, reducimos dichas funcionespara que puedan emplearse el mínimo número posible decompuertas lógicas.
Cuando la función de conmutación depende de muchas entradas, elmétodo para reducir la función mediante teoremas y postuladosdel álgebra booleana se vuelve tedioso.
Además una misma función se puede expresar algebraicamente dedistintas maneras.
Los métodos que veremos a continuación remedian estasdificultades.
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Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh
Como una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh de una función,especifica el valor de dicha función para todas las combinaciones devalores de las variables independientes (entradas).
Es un diagrama en forma de matriz de cuadros, donde cada cuadrocorresponde a un minitérmino de la función.
Las expresiones simplificadas, que se generan del mapa, siempreestán en una de las dos formas canónicas: suma de minitérminos oproducto de maxitérminos.
La expresión más simple no es única.
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Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
Para dos variables, existen 4minitérminos, por lo tanto 4cuadros en la matriz.
Ejemplo
A,B: variables de
entrada
A B
0 00 11 01 1
m0 m2
m1 m3
AB 0
0
1
1
0 2
1 3
AB 0
0
1
1
00 10
01 11
AB
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Se pueden leer los minitérminosigual que en una tabla de verdad.Cada 1 contenido en el mapacorresponde a un minitérmino de F.Un 1 contenido en la celda 00,indica que A´B´ es un términoproducto de F.Los términos productos ubicados enceldas adyacentes, puedencombinarse, dado que solo difierenen una sola variable.A´B´ y A´B se combinan para formarA´.Lo anterior se indica mediante unlazo que envuelve a loscorrespondientes unos sobre elmapa.
EjemploPara la siguiente tabla de verdad
construya el mapa de K.
Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
1 0
1 0
AB 0
0
1
1
A B F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 01 0
1 0
AB 0
0
1
1A´ B´
A´ B
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Para tres variables:
Los términos productos situados enceldas adyacentes se pueden combinarutilizando el teorema XY´+XY=XPor ejemplo el término producto 001(A´B´C) se puede combinar con trestérminos producto como se ve en la fig.
Las filas superiores e inferiores del mapatambién son adyacentes (100 con 110y 000 con 010)
A B C F
0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0
Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
0 4
1 5
AB C
73
00
01
10
11
2 6
0 1
NOTACION DECIMAL
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Dada la expansión en términos producto canónicos de una función,puede representarse sobre un mapa colocando unos en las celdasque corresponden a lo minitérminos de la función y ceros en lasceldas restantes.
Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
0 0
1 1
AB C
01
00
01
10
11
0 0
0 1
F(A,B,C)= (m1,m3,m5)
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Si una función se especifica en forma algebraica, no es necesarioexpandirla en términos producto canónicos antes de representarlasobre un mapa.Por ejemplo suponiendo que f(a,b,c,d)=abc´+b´c+a´ construiremos elmapa como se muestra:El término abc’ es 1 cuando a=1, y bc=10, por lo que
colocamos un 1 en la celda que corresponde a lacolumna a= 1 y la fila bc=10
El término b´c es 1 cuando bc=01,por lo quecolocamos un 1 en ambas celdas de la fila bc=01del mapa.
El término a´ es 1 cuando a=0, por lo que colocamosun 1 en todas las celdas de la columna a=0 del mapa.Nota: dado que hay un 1 en la celda abc=001 no tenemos que colocar
un segundo 1 ahí, ya que x+x=x
Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
1 0
1 1
ab c
01
00
01
10
11
1 1
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Ejemplo de deducción de una expresión simplificada utilizando unmapa de Karnaugh.
F(a,b,c)=a´b´c+a´bc+ab´c
Rellenamos el mapa con los términos producto correspondientes.Agrupamos mediante los lazos.Simplificamos.
F(a,b,c)=a´c+b´c
Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
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Si queremos encontrar el complemento de la función mostrada enel ejemplo anterior, simplemente cambiamos en el mapa los 0 por 1y los 1 por 0.
F´(a,b,c)=(a´b´c+a´bc+ab´c)´
Simplificamos como se explicó.
F´(a,b,c)=c´+ab
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Si queremos expresar la función F como un producto estándar,buscamos el complemento de dicha función simplificamos y luegoaplicamos el teorema de Morgan, para volver a complementar, ypoder expresar F finalmente como un producto estándar.
Para el ejemplo anterior donde F(a,b,c)=a´b´c+a´bc+ab´c vimoscomo encontrar F´(a,b,c)=c´+ab
Ahora aplicando el teorema de Morgán, para volver a complemetar:
(F’)’= F = c (a’ +b’) producto estandar
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Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de dos y tres variablesde dos y tres variables
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Las siguientes figuras muestran la distribución de un mapa K decuatro variables:
La definición de celdas adyacentes se amplia, no sólo las filassuperior e inferior son adyacentes, sino que también lo son laprimera y la última columna.
Mapas deMapas de KarnaughKarnaugh de cuatro variablesde cuatro variables
0 4
1 5
AB
CD
73
00
01
11
2 6
00
12
13
15
14
8
9
11
10
01 11 10
10
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EjemplosEjemplos
Checar concepto de desbordamiento pag. 16
Fundamentos de diseño lógico, Charles H. Roth, Jr., 5ª ed.Thomson
• Problemas 5.3, a),b)c)
• 5.4
• 5.5 (observación la operación EQU (equivalencia)=XNOR)
• 5.6 (solo hallar la suma mínima de productos de cada función)
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Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
Este método proporciona un procedimiento simplificado ysistémico que puede programarse en una computadora.
Se utiliza cuando el número de variables es más grande o se tienenque simplificar varias funciones y ya no es aconsejable utilizarmapas de K.
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El procedimiento consta de dos pasos:
Eliminar tantos literales como sea posible de cada término,aplicando sistemáticamente el teorema XY+XY´=X . Los términosresultantes se denominan resultantes primos.
Utilizar un gráfico de implicantes primos para seleccionar unconjunto mínimo de implicantes primos que, combinados mediantela operación OR, equivalgan a la función que se va a simplificar yque contenga un número mínimo de literales.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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Procedimiento:
La función debe estar dada como una suma de minitérminos ( osuma de productos).
De no estar en la forma anterior, deberá expandirse a una suma deminitérminos según los procedimientos vistos en temas anteriores.
Se forman sistemáticamente todos los implicantes primos de lafunción, combinando los minitérminos.
Los minitérminos se representarán en notación binaria y secombinarán utilizando el teorema de absorción XY+XY´=X
Donde X representa un producto literal eY es una sola variable
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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Ej.
Para hallar todos los implicantes primos, deben compararse todos lospares posibles de producto y combinarse siempre que se pueda.
Veamos mediante un ejemplo como formar la tabla de determinaciónde implicantes primos.
AB´CD´ AB´CD AB´C101 0 101 1 101 el guión indica una variable que falta
X Y´ X Y X
A´BC´D A´BCD ´ (no se combinan)0 1 0 1 0 1 1 0 (no se combinan)
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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Veamos un ejemplo, dada la siguiente función encuentre losimplicantes primos
Dividimos los minitérminos en grupos, numerados según lacantidad de unos contenidos en dichos minitérminos:
Luego, dos términos podrán
combinarse si difieren en
exactamente una variable.
Compararemos los términos
del grupo 0 con los del grupo 1.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
f a,b,c, d m 0,1,2, 5,6,7, 8,9,10,14
grupo 0 0 0000
grupo 1 1 00012 00108 1000
grupo 2 5 01016 01109 1001
10 1010
grupo 3 7 011114 1110 18Ing. Mónica P. René_2010
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GRUPO COLUMNA 1 COLUMNA 2 COLUMNA 3
0 0 0000 0,1 000-
0,2 00-0
0,8 -000
0,1,8,9 -00-
1
1 0001 0,2,8,10 -0-0
2 0010 0,8,1,9 -00-
8 1000 1,5 0-01
1,9 -001
2,6 0-10
2,10 -010
8,9 100-
8,10 10-0
0,8,2,10 -0-0
2
5 0101 2,6,10,14 --10
6 0110 2,10,6,14 --10
9 1001
10 010
37 0111
14 1110 5,7 01-1
6,7 011-
6,14 -110
10,14 1-10
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
Tabla 1 19Ing. Mónica P. René_2010
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Se combinan a´b´c´d´+a´b´c´d=a´b´c´
Se combinan a´b´c´d´+a´b´cd´=a´b´d´
Se combinan a´b´c´d´+ab´c´d´=b´c´d´
Los términos anteriores se combinan para eliminar una variable,utilizando el teorema de absorción XY+XY´=X
Los términos de la columna 2 se dividen también en grupos segúnla cantidad de unos que contienen.
Los términos del primer grupo de la columna 2 solo tienen quecompararse con los términos del segundo grupo que contenganguiones en las mismas posiciones, a´b´c´+ab´c´=b´c´.
El término resultante se enumera en la columna 3.
Luego repetimos el procedimiento anterior para la columna 3.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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De la tabla anterior, los términos que no se han combinado conotros términos, se denominan implicantes primos.
Luego la función es la suma de sus implicantes primos.
Pero la expresión anterior todavía se puede reducir:
Vamos a utilizar la segunda parte del método para encontrar unconjunto mínimo de implicantes primos.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
f a bd b´c cd´
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f a c d a bd a bc b‘c‘ b´d´ cd´1, 5 5,7 6,7 0, 1, 8, 9 0, 2, 8, 10 2,6,10,14
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La segunda parte del método de Quine McCluskey emplea ungráfico de implicantes primos para seleccionar un conjunto mínimode implicantes primos.
A partir de la tabla anterior (tabla 1), se construye una tabla deimplicantes primos como se muestra a continuación:
Si un término producto está cubierto sólo mediante un implicanteprimo, entonces dicho implicante primo se denomina implicanteprimo esencial.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14
(0,1,8,9) b´c´(0,2,8,10) b´d´(2,6,10,14) cd´(1,5) a´c´d(5,7) a´bd(6,7) a´bc
x x x ¤x x x x
x x x ¤x x
x xx x
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Los implicantes primos esenciales son fáciles de encontrar y sedeben incluir en la suma mínima de productos de la función.
Si una determinada columna contiene sólo una X, entonces lacorrespondiente fila es un implicante primo esencial.
En la tabla anterior, las columnas 9 y 14 contienen una sola X, porlo que b´c´y cd´ son implicantes primos esenciales.
Cada vez que se selecciona un implicante primo esencial, se debetachar la fila correspondiente (ver líneas rojas en tabla siguiente).
Luego, las columnas que corresponden a todos los términosproducto cubiertos por dichos implicantes primos también debentacharse (ver líneas negras en tabla siguiente).
Veamos como queda la tabla.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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Luego se debe elegir un conjunto mínimo de implicantes primospara cubrir las restantes columnas.
En este ejemplo a´bd cubre las dos columnas restantes.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14
(0,1,8,9) b´c´(0,2,8,10) b´d´(2,6,10,14) cd´(1,5) a´c´d(5,7) a´bd(6,7) a´bc
x x x ¤x x x x
x x x ¤x x
x xx x
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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Cubriendo las dos columnas restantes (líneas violetas).
Finalmente la suma mínima de productos resultante es:
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Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
f a bd b´c cd´
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14
(0,1,8,9) b´c´(0,2,8,10) b´d´(2,6,10,14) cd´(1,5) a´c´d(5,7) a´bd(6,7) a´bc
x x x ¤x x x x
x x x ¤x x
x xx x
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Entonces luego de seleccionar los implicantes primos esenciales,los términos producto a los que cubren pueden eliminarse delgráfico de implicantes mínimos, tachando las correspondientescolumnas.Si los esenciales no cubren todos los términos producto, entoncesson necesarios implicantes primos no esenciales.En gráficos de implicantes primos más grandes, pueden emplearseprocedimientos adicionales para reducir.Los mapas K son útiles para funciones con tres a cinco variables.El método de Quine McCluskey se puede utilizar en computadorasde alta velocidad para simplificar funciones con hasta 15 variables omás.Para problemas con un gran número de variables pero pocostérminos, la simplificación algebraica puede ser el método mássencillo.
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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En las situaciones en las que no se requiera de una solución mínimao en las que obtener una solución mínima requiere de una potenciade cálculo excesiva, pueden utilizarse procedimientos herústicos.
El método Espresso-II es uno de los métodos herústicos máspopulares, el cual puede generar soluciones mínimas aproximadaspara una amplia variedad de problemas.
Hasta el momento, sólo consideramos la implementación de unaúnica función de conmutación.
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• Problemas Fundamentos de diseño lógico, Charles H. Roth,Jr.,Thomson, 5a ed.
6.2
6.3
• Trabajo práctico de laboratorio n°4
Método de QuineMétodo de Quine McCluskeyMcCluskey
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