karya tulis ilmiah - unud
TRANSCRIPT
KARYA TULIS ILMIAH
SKEMA KLASIFIKASI KEADAAN TERBELIT KUANTUM EMPAT PARTIT
DALAM EKUIVALENSI SLOCC
Oleh:
Ni Luh Putu Trisnawati, S.Si., M.Si. [Divisi Biofisika Teoritik]
I Ketut Sukarasa, S.Si., M.Si. [Divisi Fisika Bumi]
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA
2017
ii
HALAMAN PENGESAHAN
1 Judul Karya Tulis Ilmiah : Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat
Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC
2 Ketua Peneliti
a. Nama lengkap dengan gelar : Ni Luh Putu Trisnawati, S.Si., M.Si.
b. Jenis Kelamin : Perempuan
c. Pangkat/Gol./NIP : Penata Muda Tk-I/III-b/19720212 200003 2 001
d. Jabatan Fungsional : Lektor
E. Fakultas/Jurusan : MIPA/Fisika
f. Universitas : Udayana
g. Bidang Ilmu yang diteliti : Biofisika Teoritik: Keterbelitan Kuantum Multipartit
3 Anggota Peneliti
a. Nama Lengkap : I Ketut Sukarasa, S.Si., M.Si.
b. NIP : 19690601 199802 1 001
c. Perguruan Tinggi : Udayana
4 Jumlah Peneliti :
5 Lokasi : Divisi Biofisika Teoritik, Fisika/FMIPA Unud
6 Kerjasama
a. Nama Instansi : -
7 Jangka Waktu Penelitian : 6(enam) bulan
Bukit Jimbaran, 21 Juli 2017
Mengetahui Ketua Peneliti
Dekan FMIPA Unud
Drs. Ida Bagus Suaskara, M.Si. Ni Luh Putu Trisnawati, S.Si., M.Si.
NIP. 19660611 199702 1 001 NIP. 19720212 200003 2 001
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadapan Hyang Widhi Wasa atas asung waranugraha-Nya, penulis bisa
menyelesaikan karya tulis ilmiah yang berjudul” Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum
Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC”. Yang merupakan karya tulis dalam pendekatan teoritis
terhadap fenomena keterbelitan pada kawasan fisika kuantum terutama kuantum biofisika. Yang mana
penerapan teoritiknya meluas pada bidang informasi kuantum. Demikian juga dalam kawasan biologi
terutama fenomena alih informasi dalam DNA melalui pendekatan proses keterbelitan kuantum.
Semoga karya tulis yang sederhana ini mampu memberikan celah kecil untuk mengungkapkan
fenomena kuantum dalam mahluk hidup. Besaran harapan penulis pada masukan berupa saran atau
kritik dari pembaca dan para pakar kuantum untuk dikemudian hari memberikan perbaikan dari segi
tinjauan fiiska dan penggunaan metode aljabar lanjut yang bersesuaian.
Terimakasih penulis ucapkan pada kolega I N Artawan yang memberikan banyak masukan pada
kasus penjabaran aljabar lanjut terutama vektorisasi hasil tripartit dari Single Value Decomposition.
Bukit Jimbaran, Juli 2017
Penyusun
iv
ABSTRAK
Telah diturunkan skema klasifikasi keadaan terbelit empat partite dibawah ekuivalensi SLOCC
metode dekomposisi keadaan keterbelitan kuantum empat partit terurai menjadi keadaan kerterbelitan
kuantum tripartit melalui mekanisme vektorisasi, matrik unfolding, dan SVD (singular value
decomposition) dan memberikan tiga representasi matrik tripartit dan sejumlah vektor bebas linier.
Dimana dalam jumlah vektornya dibatasi oleh rank matrik nilai tunggal SVD. Dari hasil uraian kedua
kelompok vektor-vektor ini disusun kembali dalam bentuk representasi matrik (matrices realignment)
yang akhirnya menjadi dasar klasifikasi keterbelitan kuantum untuk kasus multipartit yaitu melaui
ekivalensi rank matrik bersangkutan dalam kelas yang sama. Telah juga ditunjukkan uraian metode
klasifikasi ini melalui contoh kasus keterbelitan empat partit yaitu pada kelas: Four Qubits can be
entangled in nine different ways, yang memberikan beragam ekuivalensi keterbelitan.
v
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN
………………………………………………………………….. ii
KATA PENGANTAR
………………………………………………………………….. iii
ABSTRAK
………………………………………………………………….. iv
DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. v
BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………………….. 1
BAB II DASAR TEORI A Representasi Keadaan Kuantum ……………………….. 3
B Ekuivalensi SLOCC Keadaan Empat-Partite …………. 7
BAB III PEMBAHASAN A Uraian Keadaan Tripartit ………………………………. 12
B Contoh Kasus Pertama ………………………………….. 13
C Penjelasan Ekuivalensi SLOCC ………………………… 15
D Contoh Kasus Kedua …………………………………….. 21
E Contoh Perhitungan ekivalen SLOCC …………………. 26
BAB IV KESIMPULAN ………………………………………………………………….. 28
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………….. 29
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 1
BAB I
PENDAHULUAN
Penelitian tentang kalsifikasi keterbelitan kuantum multipartit saat ini masih berkutat
pada kasus tripartit antara lain adalah penentuan ekivalensi LOCC (Local Quantum
Operation and Classical Comunication ) untuk kasus keterbelitan tripartite yang proses
ekivalensinya diturunkan melalui operasi lokal uniter, ekivalensi SLOCC (Stochastic Local
Quantum Operatin and Classical Comunication) juga pada kasus keterbelitan tripartite yang
melibatkan operasi ILO (Invertible Local Operator) [1,2,3]. Kedua, mekanisme pendeteksian
keterbelitan yang melibatkan karakter rank matrik tereduksi dari matrik kerapatan keadaan
keterbelitan tripartite dan fourpartite untuk varian partisi elemen pembentuk keterbelitannya
[4,5,6,7]. Ketiga, adalah penerapan keterbelitan multipartite sebagai kanal kuantum dalam
protokol teleportasi kuantum yang sampai saat ini hanya sampai keterbelitan fourpartit
[8,9,10,11,12].
Dari uraian di atas tergambarkan bahwa masih terhampar luas area penelitian dan
pengembangan metode klasifikasi keterbelitan kuantum multipartit. Untuk itu dalam
penelitian ini berkonsentrasi pada masalah berikut:
Metode ekivalensi SLOCC pada keterbelitan multipartit melalui ekivalensi HOSVD
(High Order Single Value Decomposition) yang berbasis pada kesamaan matrik nilai
tunggalnya.
Formalisma pendeteksian keterbelitan multipartit melalui karakter pengaturan
(realignment matrices) matrik kerapatannya dalam varian partisi pembentuknya.
Dengan memanfaatkan hasil kedua penelitian diatas selanjutnya akan dibangun
formalisma klasifikasi keterbelitan multipartit.
Tujuan utama yang ingin dicapai dari ketiga hasil penelitian di atas adalah menyediakan
kerangka teoritis klasifikasi keterbelitan multipartit yang berupa metode ekivalensi SLOCC,
formalisma pendeteksian keterbelitan dan formalisma seleksi kanal multipartite dalam
protokol teleportasi kuantum. Disamping tujuan utama di atas ada sejumlah tujuan khusus
ingin dicapai dalam penelitian ini yaitu:
Menyediakan skema klasifikasi keadaan terbelit empat partite dibawah ekuivalensi
SLOCC.
Mentransformasikan empat-partite menjadi 2 (dua) keadaan tripartite 1 (satu)
bipartite.
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 2
Meredefinisikan metode matematis: vektorisasi, matrik unfolding, dan SVD (singular
value decomposition.
Mendemonstrasikan bahwa dua keterbelitan 4-partite adalah satu kelas, jika dan
hanya jika setiap bentuk partisi keadan triple ( ) dari masing-masing
keterbelitan adalah ekuivalensi SLOCC: disimpulkan kedua keterbelitan masuk dalam
satu kelas yang sama
Hal yang membedakan antara sistem informasi kuantum dibandingkan dengan informasi
klasik adalah mengenai keamanan datanya. Karena dalam informasi kuantum dikenal adanya
teorema non-clonning dan non-delete sehingga data sangat aman dari serangan peretas dan
sifat ini tidak dimiliki oleh informasi klasik, [11,12]. Hal ini ditunjukkan oleh peristiwa akhir-
akhir ini yang mengebohkan dunia maya dari serangan peretas informasi atau data (klasik)
dalam jumlah besar dan masif, untuk itu kedepan dengan ditunjang oleh perkembangan
teknologi material kuantum sekiranya sistem informasi kuantum yang berbasis pada keadaan
keterbelitan multipartit ini mampu diimplementasikan untuk menggantikan sistem informasi
klasik.
Sejalan dengan peran penting keterbelitan multipartite dalam informasi kuantum, yang
pertama adalah mekanisne kuantifikasi keterbelitannya yang melibatkan metode aljabar lanjut
guna menurunkan ekivalensi LOCC/SLOCC yang mampu saling menggantikan peran media
kanal dalam lalu lintas informasi kuantum. Kedua, melalui mekanisme karakter rank matrik
kerapatan tereduksi sebagai formalisma pendeteksi keterbelitannya, dan terakhir adalah
tingkat kesuksesan keterbelitan multipartite sebagai kanal pembawa informasi kuantum
dalam protokol teleportasi kuantum. Dari tiga hal utama ini sekiranya mampu menyediakan
tonggak baru informasi masa depan yang cepat, praktis, murah dan aman. Dan akhirnya
mampu mendorong pengembangan teleportasi kuantum, komputasi kuantum, terjemahan
cepat kuantum, kriptografi kuantum, distribusi kunci kuantum dan penyebaran informasi
kuantum.
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 3
BAB II
DASAR TEORI
A. Representasi Keadaan Kuantum
Tinjau representasi keadaan kuantum bipartite | ⟩ ∑
| ⟩| ⟩ dalam bentuk
matrik, yaitu:
(
) (2.1)
Dua | ⟩ dan | ⟩ adalah ekuivalen SLOCC jika dan hanya jika dihubungkan
melalui operator lokal invertibel, artinya, | ⟩ ⨂ ⨂ | ⟩. Misalnya untuk keadaan
bipartite bentuk ekuivalensi SLOCC dituliskan [4,8],
(2.2)
dimana, dan yang merupakan matrik invertibel. Untuk tripartite
diungkapkan sebagai matrik tuple,
( ) (2.3)
dimana untuk * +. Ekuivalensi SLOCC, | ⟩ ⨂ ⨂ | ⟩,
yang dapat diungkapkan sebagai:
.
/ ( ) (2.4)
Disini keadaan tripartite berperilaku sebagai vektor baris yang komponen-komponennya dalah matrik.
Tinjau operasi berkaitan dengan matrik, yaitu: vektorisasi dan folding [6,9],
Vektorisasi:
( ) [( ) ( ) ( ) ]
(2.5)
Operasi folding merupakan operasi kebalikan dari operasi vektorisasi yaitu melalui pengkemasan
elemen vektor ke dalam matrik, misalnya kasus bipartite:
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 4
| ⟩ | ⟩
| ⟩
| ⟩
| ⟩
| ⟩
| ⟩
| ⟩ | ⟩}
[
]
( ) 0.
/ .
/ .
/ 1
( ) ( )
( )
[
]
[
( )
( )
] (2.6)
Tinjau bipartisi keadaan empat partikel ( )( ) , dimana tensor
kompleks empat partikel ini direpresentasikan menjadi matrik berindeks bipartisi berikut,
( )( )
[ ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )]
[
]
( )
Tinjau ilustrasi berikut,
( )( ) , ( ) *( ) ( ) ( ) ( )+ demikian juga
untuk, ( ) *( ) ( ) ( ) ( )+ dalam ungkapan vektor:
( )( ) ( ( )( ))
[( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ))
( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ))]
yang dalam representasi matrik dituliskan,
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 5
( ( )( )) ( )( )
[ ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )]
[
]
( )
Dekomposisi nilai tunggal (SVD) persamaan (2.7) adalah, [12,14,16]:
( )( ) (2.8)
dimana adalah matrik diagonal rank , matrik uniter dan yang dibentuk oleh vektor
tunggal kiri dan kanan dari ( )( ), artinya ( ) ( ) dan
dimensi vektor-vektor dan adalah masing-masing, dan dan ( ) .
Dalam penelitian ini akan diperkenalkan formulasi keadaan empat-partikel berdasarkan pada
partisi ( )( ),
( )( ) ( ) (2.9)
dimana ( ( ) ( )) dengan ( ) ( ), ( ( ) ( ))
dengan ( ) ( ) dan ( ) dengan * + yang
berbentuk nilai tunggal taknol dalam . Di dalam representasi ini, dan dipandang
sebagai keadaan tripartite berdimensi .
Juga ditetapkan keadaan komplementer keadan tripartite. Jika keadaan
( ), dimana merupakan keadaan terbelit asli berdimensi
Gambar.1 Keadaan empat partite Ψ𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 difaktorisasi kedalam
bipartisi (𝐼 𝐼 )(𝐼 𝐼 ) yang melibatkan dua keadaan tripartite
murni Ψ𝑢 dan Ψ𝑣 dan satu keadaan bipartite murni Ψ𝜆.
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 6
selanjutnya ( ) * + merupakan vektor-vektor bebas linier. Keadaan
komplementer adalah,
( ). (2.10)
Disini ( ) { } adalah vektor-vektor bebas linier. Berdasarkan
definisi ini , keadaan komplementer dapat dituliskan,
( ( ) ) ( ), (2.11)
dimana ( ) . Vektor tunggal kiri dibagi menjadi dua bagian ( ) dengan
( ) dan ( ). Keadaan kuantum diperoleh dengan
mengkemaskan vektor tunggal kiri berhubungan dengan nilai tunggal nol dari ( )( ).
Hal yang sama juga diterapkan pada . Untuk keadaan komplementer tinjau Lemma berikut
yang tidak pernah lepas dari pembicaraan [14,15,16].
Lemma 1. Keadaan tripartite (
) dan ( ) adalah
ekuivalen SLOCC jika dan hanya jika terdapat .
/, sehingga memenuhi
hububungan,
( ⨂ ) (2.12)
Disini (
) dengan ( (
) ( )),
. ( ) (
)/;
( ) dengan ( ( ) ( )), . ( ) ( )/;
, dan ( ) ( ) adalah matrik-matrik invertible dan
adalah sembarang.
Bukti:Jika adalah ekuivalen SLOCC dengan , maka
( ⨂
)( ( ) (
) ( )) ( ( ) ( ) ( )) (2.13)
dimana , , dan adalah matrik-matrik invertibel.
Karena vektor kolom ( ⨂
) ( ) * + adalah bebas linier dan
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 7
termasuk juga ruang vektor dari vektor kolom ( ( ) ( ) ( )) . Oleh karena
itu terdapat matrik invertibel sehingga,
( ⨂
)(
) ( ) .
/ (2.14)
disini ( (
) ( ) (
)), . (
) ( )/, dan juga untuk
( ( ) ( ) ( )), . ( ) ( )/.
B. Ekuivalensi SLOCC Keadaan Empat-Partite.
Untuk dua keadaan kuantum dan dengan bentuk keadan triple: (
) dan
( ), serta teorema berikut.
Teorema 1. Dua keadaan kuantum quadripartite dan adalah ekuivalen jika dan
jika himpunan keadaan-keadaan triple-nya adalah ekuivalen SLOCC dalam bentuk
berikut,
| ⟩ ⨂ ⨂ | ⟩, |
⟩ ⨂ ⨂
| ⟩, | ⟩ ⨂ | ⟩ (2.15)
dimana , , ,
, , dan adalah matrik-matrik invertibel.
Bukti: Pertama, tinjau dua keadaan empat-partite dan adalah ekuivalen SLOCC,
maka
( ⨂ ) ( ⨂ ) dan
( ⨂ ) ( ⨂ ) . (2.16)
Faktorisasi QR dari ( ⨂ ) dan ( ⨂
) adalah,
( ⨂ ) , ( ⨂
) . (2.17)
dan adalah matrik uniter, dan adalah matrik segitiga atas. Ambil
persamaan (2.17) dan (16), diperoleh,
(2.18)
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 8
dimana merupakan SVD dari
. Ini memberikan relasi berikut,
( ), ( ) (2.19)
disini adalah matrik-matrik uniter dengan dimensi yang bersesuian dengan
degenerasi nilai tunggal dalam . Tinjau persamaan (17) dan (19), diperoleh,
( ⨂ ) ( ⨂ ) dan (
⨂ )
( ⨂ ) ( ) ( ⨂ )
(20)
( ⨂ )
( ) ( ⨂ ) (2.21)
Tinjau persamaan (2.16), (2.20), dan (2.21).
( ⨂ ) ( ⨂ )
( ⨂ ) ( ( ))
( ( )) (
) ( ⨂ ) ( ⨂ ) ( ⨂ )
( ( ))
( ( )) (
)
. ( ( ))/
( ( ) (
) )
( ( ))
( )( ) (
) ( )( ( ) )
( ( ))
( ( ) )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
(2.22)
dimana ( ) dan
( ), dan mempunyai bentuk berikut,
0
1 0
1. (2.23)
Disini dan memuat nilai-nilai tunggal tidak nol dari dan . Oleh karena itu matrik-
matrik invertibel dan dalam persamaan (2.22), mengambil bentuk,
[
] [
] (2.24)
dimana dan adalah invertibel; adalah submatrik yang tidak perlu
diidentifikasi sebelumya. Berdasarkan representasi persamaan (2.9), persamaan (2.20) –
(2.22) dan juga persamaan (2.15).
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 9
Kedua, jika (
) dan ( ) adalah SLOCC yang bersesuian, maka menurut
lemma 1 dan persamaan (12) serta (15), diperoleh
( ⨂ ) , ( ⨂ ) , (2.25)
dimana dan mempunyai bentuk seperti pada persamaan (2.24). Dengan demikian,
( ⨂ ) (( ⨂ ) )
( ⨂ ) (( ⨂ ) )
( ⨂ ) ( ) ( ⨂ )
( ⨂ )( )( ⨂ )
( ⨂ ) ( ⨂ ) ( )
Artinya dan adalah ekuivalen SLOCC.
Teorema 1 merubah ekuivalen SLOCC keadaan empat-partite dalam tripartite dan bipartite.
Ini tidak hanya mereduksi kerumitan klasifikasi keterbelitan keadaan multipartite, tetapi juga
menyediakan cara untuk mempelajari keterbelitan multipartite seluruh sistem melaui
subsistemnya. Dalam praktiknya, jika kita ingin memverifikasi ekuivalensi SLOCC dua
keadaan empat-partite, lebih awal yang harus dibuktikan adalah ekuivalensi SLOCC dua
keadaan tri-partite-nya. Berikut akan ditunjukkan, hanya diperlukan persamaan linier dan
matrik-matrik dan dalam pembuktiannya.
Jika matrik , tanpa kehilangan generalitasnya (sifat matrik invertibel)
yang dapat dituliskan sebagai bentuk blok,
[
]
. (2.27)
Disini adalah sub matrik . Pengaturan kembali matrik menurut blok-blok
yang didefinisikan menjadi,
( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/
dimana ( ) .
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 10
Contoh: Misalkan , dimana
[ 0
1
0
1
0
1
0
1
]
Pengaturan kembali matrik :
( ) .( ( ) ( )) ( ( ) ( ))/
[( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ]
[ ( ( ))
( ( ))
( ( ))
( ( )) ]
[ ,( )
-
,( ) -
,( ) -
,( ) - ]
[ ( )
( )
( )
( )]
( ) <
=
Selanjutnya gunakan Corollary berikut.
Corollary 1. Untuk dua keadaan tripartite dan , tiga pernyataan beikut
adalah ekuivalen:
1. dan adalah ekuivalen SLOCC;
2. matrik invertibel , sehingga rank [ ( )]
3. Terdapat matrik invertibel , sehingga untuk sembarang
vektor-vektor , mempunyai rank 0 .( ) /1 , ( )-.
Bukti:
Pertama:
Ekuivalensi 1 dan 2. Ekuivalensi 1 dan 2 langsung dapat diperoleh dari persamaan
(12). Artinya pengaturan kembali dan memberikan rank-1 yang selanjutnya
merupakan direct product dari dua matrik invertibel.
Ekuivalensi 1 dan 3. Jika dan adalah ekuivalen SLOCC, mak
dan
adalah ekuivalen SLOCC, maka menurut persamaan (12) diperoleh
( ⨂
) dan,
.( ) / ,(
⨂ ) -
( ) (2.28)
Disini rank .( ) / dan ( ) adalah sama untuk sembarang .
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 11
Kedua: Matrik invertibel bekerja pada vektor-vektor yang mempengaruhi
pemetaan linier untuk operasi pengkemasan berikut,
( ) , ( )- (2.29)
Karena kita punya , ( )- [ , ( )-] , ( )- untuk semua ,
pemetaan linier pada matrik ( ( )) ( ) , dimana dan matrik-matrik
invertibel menurut teorema 3.1 pada pustaka [18]. ( Perhatikan, ketika dimensi
pemetaan linier kemungkinan menjadi ( ) , dimana dua keadaan adalah
ekuivalen SLOCC).
Corollary 1 menyediakan cara efektif untuk pembuktian ekuivalensi SLOCC
untuk keadaan tripartite. Kombinasikan dengan Teorema 1 dan Corollary 1, dan jelas bahwa
informasi matrik penghubung tidak perlu dalam pembuktian ekuivalensi
SLOCC dua keadaan terbelit empat-partite yang sembarang [13,16].
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 12
BAB III
PEMBAHASAN
A. Uraian Keadaan Tripartit.
Untuk mendapatkan gambaran yang jelas dan tuntas dalam pembahsan ini akan
ditinjau persamaan (9), sebagai pintu masuk pemahaman keadaan tripartit dari empat
keadaan kuantum yaitu, misalkan SVD yang diperoleh dari persamaan (7.a) adalah:
<
=
<
=
[
]
* +
( ( ) ( ))
( )
( )
* ( ) ( )+
( ) 0
1
( ) 0
1
( ( ) ( ))
.0
1 0
1/
( ( ) ( ))
( )
( )
* ( ) ( )+
( ) 0
1
( ) 0
1
( ( ) ( ))
.0
1 0
1/
* + * +
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
Dari uraian diatas tergambarkan bahwa keadaan empat partit dapat dikomposisikan menjadi keadaan
tripartit berbentuk representasi matrik yaitu; . Selanjutnya akan didemonstrasikan
untuk persamaan (10), keadaan komplementer dari kedaan tripartite dalam matrik tensor
kompleks 4-partite. Tinjau persamaan (7.a):
( )( )
[[
] [
]
[
] [
]]
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 13
( )( )
[[
] [
]
[
] [
]]
* +
* +
* +
[
] [
] [
] [
]
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
* ( ) ( ) ( ) ( )+ ( )
( )
<
=
<
= [
] * + * +
( ) ( )
( ) 0
1 ( ) 0
1 ( ( ) ( )) .0
1 0
1/
( ) 0
1 ( ) 0
1 ( ( ) ( )) .0
1 0
1/
B. Contoh Kasus Pertama
Tinjau keadaan empat-kubit GHZ dan W: | ⟩
√ ( | ⟩ | ⟩) dan | ⟩
( | ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩). Masing-masing tensor keadaan kuantum ini
direpresentasikan sebagai berikut dalam bentuk matrik ,
√ <
= (3.3)
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 14
<
= (3.4)
Uraian: Keadaan triple ( )
1. SVD dan keadaan triple GHZ.
<
= |
|
( )( )( )( ) * +
[ 6√
√ 7
]
6√
√ 7
(| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)
[
] <
=
{
}
| ⟩ ( )
| ⟩ ( )
| ⟩ ( )
| ⟩ ( )
<
= >
( ) 0
1
( ) 0
1?
( ( ) ( )) .0
1 0
1/
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 15
( ) ( )
√ | ⟩
√ | ⟩
√
√ <
= ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
<
= >
( ) 0
1
( ) 0
1?
( ( ) ( )) .0
1 0
1/
( )
6 .0
1 0
1/ 6√
√ 7 .0
1 0
1/7 ( )
2. SVD dan keadaan triple W.
Dengan cara yang sama pada kasus GHZ diatas dapat hitung matrik SVD dan keadaan triple
untuk W:
[
√
√
√
√
]
[ √ ⁄
√ ⁄
]
[
√
√
√
]
<
40
1 6 √
√ 75
<
√
√
= 46
√
√ 7 0
15=
( )
C. Penjelasan ekuivalensi SLOCC:
Menurut Teorema 1 dan Corollary 1, bahwa dan adalah ekuivalen SLOCC jika hanya
memenuhi hubungan berkut:
Terdapat matrik invertibel , sehingga rank [ ( )]
0
1 0
1 ( ) 2 0 0
1 ( ) 13
Terdapat matrik invertibel , sehingga rank [ ( )]
[
]
[
] ( ) { [ [
] ( ) ]}
dan dari persamaan (2.22), (2.23) , dan (2.24)
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 16
[
] [
] [
] 0
1
0
1 [
] [
] [
]
[
] [
] [
]
[
] [
] [
]
0
1 [
]
, misalkan [
] dan [
] adalah matrik invertibel, maka
[
] 6√
√ 7 [
]
[
√
√ ]
8
9
√
√ ( )
( )
Berarti berapapun nilai memberikan rank matrik dalam uraian berikut.
Tinjau Corrolary 1:
0
1 ( ) <0
1 0
1
0
1 0
1= [
[
]
[
]] [
[
√ ] [
√ ]
[ √
] [ √
]
]
[
] [
√
√
√
√
]
[ √
√
√
√
]
[ 6 √
√ 7 6
√
√ 7
0
1 [
]]
[ 6 √
√ 7 0
1 6 √
√ 7 [
]]
[
√
√
√ √
]
Demikian juga pengujian , dengan cara yang sama diperoleh juga [ ( )] .
Paling mudah kita ambil dan adalah matrik nul maka juga tidak memenuhi,
{ ( )} dan { ( )} (3.7)
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 17
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa jika: { ( )} dan { ( )} ,
maka keterbelitan empat-partite keadaan GHZ dan W adalah tidak ekuivalen SLOCC.
Selanjutnya tinjau kasus pada pustaka [2]. Tinjau kedaan kuantum empat-partite yang dituliskan
berikut,
(| ⟩ | ⟩)
(| ⟩ | ⟩)
(| ⟩ | ⟩)
(| ⟩ | ⟩)
Dalam representasi matrik , tensor kompleksnya dapat dituliskan sebagai berikut:
[
]
<
= <
=
[
]
|
|
|
|
|
|
6
7 84
5 64
54
57
4
54
54
579
6
7 8( ) 4
5 6( ) 4
54
5
4
5 ( ) 4
54
579
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 18
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
{6
7
6
7
⏟
}{6
7
6
7
⏟
}
6
7 6
7 * +
6
7 6
7 * +
* +
Matrrik, dituliskan sebagai,
[ √
√
√
√ ]
[ √
√
√
√ ]
<
=
Perhitungan matrik (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)
Contoh perhitungan: ambil
[
] <
=
( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
( )
| ⟩ [
√
√
] | ⟩ [
√
√
] | ⟩ [
√
√
] | ⟩ [
√
√
]
(| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 19
Perhitungan matrik (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)
Contoh perhitungan: ambil
√
<
= [
√
√
]
[ ( )
√
( )
√
( )
√
( )
√ ]
[
√ ⁄
√ ⁄
] [
√ ⁄
√ ⁄
]
| ⟩ [
√ ⁄
√ ⁄
] | ⟩ [
√ ⁄
√ ⁄
] | ⟩ [
√ ⁄
√ ⁄
] | ⟩ [
√ ⁄
√ ⁄
]
[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]
[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
] <
= [
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]
...(3.3)
Disini diperoleh matrik . Tinjau keadaan kuantum lainnya, misalkan
adalah ekuivalen SLOCC dengan keadaan pada contoh ini, jika dan hanya jika
memenuhi,
( ) ( ) (3.8)
Uraian: Ambil dan , serta , ,maka diperoleh hubungan
berikut:
[
] 0
1 6
7 6
7
[
] 0
1 [
] [
] [
]
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 20
misalkan maka kedua syarat keadaan keterbelitan empat-partite tersebut dikatakan
ekuivalensi SLOCC adalah:
[ ] {[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
] <
= [
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]
{[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
] [
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]} <0
1 0
1
0
1 0
1=
6 0
1 0
1 0
1 0
17
<
= <
=
[ ] {[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
] [
] <
=
<
= [
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]}
[ ]
{
[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄ ]
[ √ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄ ]
}
{
[ [
⁄
⁄] 0
1
0
1 [
⁄
⁄]]
}
< [
⁄
⁄] 0
1 0
1 [
⁄
⁄]=
[
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 21
* +
{
{
}
{
}
<
= <
=
D. Contoh Kasus Kedua
Kasus yang diuraikan dalam tinjauna kedua adalah Four Qubits can be entangled in nine
different ways [7,17,18,19], yaitu:
Kelas II:
(| ⟩ | ⟩)
(| ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩ | ⟩)
<
=
[
] <
=
[
( )
( )
( )
( )]
Nilai Eigen: ||
( )
( )
( )
( )
||
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 22
.
( ) / 2( )( ) .
( ) / ( )( ) .
( ) /3
( ) 2( )( ) (
( )* ( )( ) (
( )*3
.
( ) /
*( )( ) ( )( )+
(
( )*
*( )( ) ( )( )+
8.
( ) /
(
( )*
9 ( )
>
( )
( )
( ) √
( √ )
( √ )
( √ )
?
[ . ( √ )
/ ⁄
. ( √ )
/ ⁄ ]
Kelas III:
(| ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)
<
=
<
= <
= [
]
|
( )
|
Kelas IV:
(| ⟩ | ⟩)
(| ⟩ | ⟩)
(| ⟩ | ⟩)
√ (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 23
[ √
√
√
√ ]
[
√
√
√
√ ]
[ √
√
√
√ ]
[ √
√ ( )
√
( ) √
√ ( )
√
( ) √
√ ]
|
|
|
√
√
( )
√
( )
√
√
( )
√
( )
√
√
|
|
|
( ) 84 ( )
5 64
( )
5 ( ) 4
57
4 ( )
5 64
( )
5 ( ) 4
57
4 √
5 64
( )
5 4
√
5 4
( )
54
√
579
4 √
5 84
√
5 64
( )
5 ( ) 4
57
4 ( )
5 64
√
5 ( )7 4
√
5 6
79
4 √
5 84
√
5 64
( )
5 ( ) 4
57
4 ( )
5 64
√
5 ( )7 4
√
5 6
79
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 24
Kelas V:
(| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩) | ⟩
<
=
<
= <
=
[
]
||
( )
( )
( )
||
Kelas VI:
(| ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩ | ⟩)
<
=
<
= <
= [
]
|
( )
| ( ){( )( )(( ) ) ( ) }
*( ) ( ) +
{( )(( ) ) }*( ) +
* +
[√
]
Kelas VII:
| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩
<
=
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 25
[
√
√
√
√
]
[
√
] [
]
:<
√
√
= 0
1 <
√
√
=; [√
]
.0
1 0
1 0
1/
Kelas VIII:
| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩
<
=
[
] [
√
]
[
√
√
√
√
]
.0
1 0
1 0
1/ [√
] :0
1 6 √ ⁄
√ ⁄7 <
√
√
=;
Kelas IX:
| ⟩ | ⟩
<
=
[
] [
] [
]
.0
1 0
1/ 0
1 .0
1 0
1/
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 26
E. Contoh perhitungan ekivalen SLOCC:
Kasus kelas VII dan VIII untuk teorema 1, corollary 1.
a. 0 . 0
1 ( ) /1
[ [
√
] [
√
]
[
√ ] [
√ ]
]
[[
]
[
]] <
0
1 0
1
0
1 0
1=
[ [
√
] [
√
]
[
√ ] [
√ ]
]
[[
]
[
]] <
0
1 0
1
0
1 0
1=
[
[
√
] <
√
=
<
√
= [
√ ]
]
<0
1 0
1
0
1 0
1=
[ <
√
= [
√
]
[
√ ] [
]]
Pengaturan matrik :
. 0
1 ( ) /
: <
√
= [
√ ] [
√
] [
];
. 0
1 ( ) /
[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]
[
√ ⁄
√ ⁄
√ ⁄
]
,
2 . 0
1 ( ) /3 , tidak terpenuhi.
b. 0 .( ) /1 , ( )-, ambil salah satu vektor,
(
√
√ *
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 27
.( ) /
[ <
√
= [
√
]
[
√ ] [
]]
[
√
√ ]
[
√ ⁄
√ ⁄
]
.( ) / [
√ ⁄
√ ⁄
] 6 √ ⁄
√ ⁄ 7 6
√ ⁄
√ ⁄ 7
( ) ( ) ( √ ⁄ √ ⁄ ) 6
√ ⁄
√ ⁄7 6
√ ⁄
√ ⁄7
0 (.
/ *1 , ( )-, terpenuhi.
Kesimpulan: kelas keterbelitan VII dan VIII tidak ekivalen SLOCC, karena ada salah satu
kriteria ekivalen SLOCC tidak terpenuhi, yaitu 2 . 0
1 ( ) /3 .
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 28
BAB IV
KESIMPULAN
Dari uraian dalam bab pembahasan terlihat bahwa metode dekomposisi keadaan
keterbelitan kuantum empat partit terurai menjadi keadaan kerterbelitan kuantum tripartit
melalui mekanisme SVD (single value decomposition) memberikan tiga representasi matrik
berbentuk: . Untuk matrik dan memberikan sejumlah rank- vektor * +
dan * + dimana, ( ). Dari hasil uraian kedua kelompok vektor-
vektor ini disusun kembali dalam bentuk representasi matrik (matrices realignment) yang
akhirnya menjadi dasar klasifikasi keterbelitan kuantum untuk kasus multipartit yaitu melaui
ekivalensi rank matrik bersangkutan dalam kelas yang sama.
Dalam penelitian selanjutnya disarankan memperluas formalisma klasifikasi
keterbelitan multipartit untuk kasus keterbelitan diatas empat keadaan melalui metode aljabar
lanjut. Metode lain yang berangkat dari aljabar lanjut adalah perluasan rank matrik
representasi tensor kompleks keterbelitan kuantum. Juga sifat aditivitas, koherensi dan vektor
bebas linier.
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 29
DAFTAR PUSTAKA
[1]. C. H. Bennett, G. Brassard, C. Cr´epeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters,
Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-
Rosen channels, Phys. Rev. Lett. 70, 1895-1899 (1993).
[2]. F. Verstraete, J. Dehaene, B. De Moor, and H. Verschelde, Four qubits can be entangled
in nine different ways, Phys. Rev. A 65, 052112 (2002).
[3]. K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwiat, and A. Zeilinger, Dense coding in experimental
quantum communication, Phys. Rev. Lett. 76, 4656-4659 (1996).
[4]. T. Bastin, S. Krins, P. Mathonet, M. Godefroid, L. Lamata, and E. Solano, Operational
families of entanglement classes for symmetric N-qubit states,
Phys. Rev. Lett.103, 070503 (2009).
[5]. A. K. Ekert, Quantum cryptography based on Bell’s theorem, Phys. Rev. Lett. 67,
661-663 (1991).
[6]. W. D¨ur, G. Vidal, and J. I. Cirac, Three qubits can be entangled in two inequivalent
ways, Phys. Rev. A 62, 062314 (2000).
[7]. M. Walter, B. Doran, D. Gross, and M. Christandl, Entanglement polytopes: multiparticle
entanglement from single-particle information, Science, 340, 1205-1208 (2013).
[8]. C. H. Bennett and S. J. Wiesner, Communication via one- and two-particle operators
on Einstein-Podolsky-Rosen states, Phys. Rev. Lett. 69, 2881-2884 (1992).
[9]. Xiangrong Li and Dafa Li, Classification of general n-qubit states under stochastic
local operations and classical communication in terms of the rank of coefficient
Matrix, Phys. Rev. Lett. 108, 180502 (2012).
[10]. Shuo Cheng, Junli Li, and Cong-Feng Qiao, Classification of the entangled states of
2 × N × N, J. Phys. A 43, 055303 (2010).
[11]. Liang-Liang Sun, Jun-Li Li, and Cong-Feng Qiao, Classification of the entangled
states of 2 × L ×M × N, Quant. Inf. Process. 14 229-245 (2015).
[12]. G. Gour and N. R. Wallach, Classification of multipartite entanglement of all finite
dimensionality, Phys. Rev. Lett. 111, 060502 (2013).
[13]. Jun-Li Li, Shi-Yuan Li, and Cong-Feng Qiao, Classification of the entangled states
L × N × N, Phys. Rev. A 85, 012301 (2012).
[14]. R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix analysis (Cambridge University Press, 2013).
Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 30
[15]. C. F. Van Loan, The ubiquitous Kronecker product, J. Comp. Appl. Math. 123,
85-100 (2000).
[16]. Bin Liu, Jun-Li Li, Xikun Li, Cong-Feng Qiao, Local unitary classification of arbitrary
dimensional multipartite pure states, Phys. Rev. Lett. 108, 050501 (2012).
[17]. M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum computation and quantum information
(Cambridge University Press, 2000).
[18]. Chi-Kwong Li and S. Pierce, Linear preserver problems, Am. Math. Mon. 108, 591-
605 (2001).
[19]. Tinggui Zhang, Ming-Jing Zhao, and Xiaofen Huang, Criterion for SLOCC equivalence
of multipartite quantum states, J. Phys. A: Math. Theor. 49, 405301 (2016).