katıhal fiziği - lisans dersleri - Özet notları

8/10/2019 Katıhal Fiziği - Lisans Dersleri - Özet Notları.

http://slidepdf.com/reader/full/katihal-fizigi-lisans-dersleri-oezet-notlari 1/17

KATIHAL FİZİĞİ DERSİ

KONULARA GÖRE ÖZET BİLGİLER

Yazan: Mehmet TAŞKANHTML Derleme: Zeki ÇIPLAK

KRİSTALDE KIRINIM1) KATILARIN SINIFLANDIRILMASI: Modern katıhal fiziği, göze katı olarak görünen bütün maddeleriincelemek yerine, yapılarında gözlenen simetri, daha kolay incelenebilme ortamı oluşturduğu içinözellikle kristal özelliğe sahip olan maddeleri konu olarak alır. Kristal yapı gösteren katılarısınıflandırmanın en kolay ve basit yolu onları metaller ve metal olmayanlar diye ikiye ayırıvermektir.Metaller yüksek elektriksel iletkenliğe sahiptirler ve serbest elektronları vardır. Buna karşılık metalolmayan katılar (ametaller) yalıtkan özellik gösterirler ve sadece yörünge elektronları bulunur. Metalik olmayan kristal özellikli katılarda, katının oluşması sırasında atomların değerlilik elektronlarınıözelliklerine göre üç grupta sınıflandırılabilirler. Bunlar; iyonik kristaller, kovalent kristaller ve molekülerkristallerdir. İyonik kristale iyi bir örnek NaCl kristalidir ve bu tür kristallerde katyonun değerlilik

elektronları tümü ile anyona geçer, böylece katı zıt yüklü iyonların çekimi ile bağlanmış olur. İyonikkrista ller, düşük elektrik ve ısı iletimine sahiptirler, erime noktaları yüksektir, kırılgan ve renksizdirler. Kovalent kristallerde değerlilik elektronları atomlar arasında paylaştırılmıştır. Bunlar, yarı-iletken özelliğesahip ve serttirler. Moleküler kristallerin değerlik elektronları ne anyondan katyona geçer, ne de atomlararasında paylaşılır, serbest atom veya moleküldeki durumlarını değiştirmezler. Bu tür kristaller, düşükelektrik ve ısı iletimi gösterirler, yumuşak ve a lçak erime noktasına sahiptirler.

2) BİRİM ÖRGÜ HÜCRESİ: Kristal yapı belirli bir düzen içerisinde bir araya gelen atomların budüzenlerini üç boyutta periyodik olarak devam ettirmeleri sonucu oluşur. Atomların ortaya çıkardığıdüzeni bir nokta ile gösterecek olursak, üç boyutta oluşan kristal, noktalardan yapılmış bir kafes gibidüşünülebilir. İşte bu kafese örgü denir. Örgüde alınan bir noktadan çıkan üç boyutta a, b, c

vektörlerinin kristal içerisinde belirlediği hacme birim örgü hücresi denir.

3) ÖRGÜ ÇEŞİTLERİ: Kristal içersinde alınan her hangi bir nokta R UVW=ua+vb+wc ötelemesi ile

belirlenebilir. Burada a, b, c kristalin referans eksenlerini oluşturan vektörler u, v, w ise tamsayıdırlar. Buvektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açılar belirli bir kristalin özelliklerini ortaya koyarlar. Buna göre birbirinden farklı 14 değişik şekil ortaya çıkar. Bu 14 değişik örgü çeşidine Bravais örgüleri denir.

Bu yedi ayrı eksen sisteminde dağılmış olan 14 uzay örgüsünde her bir eksen sisteminde bir basit örgü



vardır. Bu örgüler Hermann-Mauguin uluslar arası gösterimiyle şöyledir;

4) MİLLER İNDİSLERİ: Kristallerde, kolaylık için, doğrultuları ve düzlemleri göstermek üzere bazı özelgösterimler kullanılır. Başlangıçtan herhangi bir uvw noktasına uzanan doğrultu [uvw] olarakgösterilebilir. Bu gösterimde, doğrultuyu belirlemeye yettiği için en küçük tamsayıları kullanmak adetolmuştur. Örneğin; [2,2,0] doğrultusunu belirleyen çizgi [1,1,0] dan geçer ve 2,2,0 yerine 1,1,0

tamsayıları kullanılır. Eksi indisler ise sayının üzerine çizgi çekerek be lirlenir. Kristaldeki simetri dolayısı ilekristal içerisindeki pek çok doğrultu birbirine özdeştir. Bu özdeş doğrultuların takımı da <uvw> ilegösterilir. Örneğin kübik bir birim hücrenin kenarları <100> şeklinde gösterilebilir. Her hangi bir başlangıç noktası vermeden, kristal içerisinde yüzeyleri veya düzlemleri belirleyen gösterimşekline Miller indisleri denmektedir. Bu indisler, düzlemlerin üç kristal ekseni ile kesişme noktalarıbelirlenerek bulunur ve kesişme noktalarının yeri, birim hücrenin ele alınan eksen için belirli olanuzunluğu indisle çarpılarak ortaya çıkar.

5) KRİSTAL YAPI KUSURLARI: bir kristal içerisinde atomlar veya atom grupları tümü ile düzgün birsıralanım içinde bulunmazlar. Kristallerdeki yapı bozukluklarının; kristalin s ıcaklığı, dış bas ıncı, saflığı... vbnedenleri vardır. Kristallerdeki yapı bozuklukları; noktasal, çizgisel ve hacimsel olmak üzere üç şekilde

sınıflandırılır. a) Noktasal: Atomların bulunması gereken yerde bulunmayışı veya fazladan bulunmasıdır. Kristalde bu

oran; n/N=S.e-Ef

/ kT olarak verilir. Burada; N:atom sayısı, n:atom başına boşluk sayısı, S: entropi,

Ef : boşluk oluşumu için gerekli enerjidir.

b) Dislokasyon (çizgisel): Bunlar örgü içerisinde oldukça uzun atomik boyutlarda ortaya çıkarlar.Oluşum özellikleri Burgers vektörü ile belirlenir. Burgers vektörü dislokasyon çizgisine dik ise kenar tipi,paralel ise vida tipi dislokasyon mevcuttur. Dislokasyonların ortaya çıktığı bölgeler yüksek enerji

bölgeleridir. Dislokasyon enerjisi; E=μb2 şeklindedir. Burada; E:dislokasyon enerjisi, μ:kristalin kesmeparçası, b:Burgers vektörüdür.

c) Hacimsel: Kristallerde görülen hacimsel yapı kusurlarının en çok görülenleri ikizlenmeler (twining) vekayma türü (slip) bozukluklardır. Kayma türünde kristalin iki bölümü kayma düz leminde birbirlerine göreatomik uzaklıklar düzeyinde kayar. İkizlenmelerde ise, kristalin bir miktar hacmi diğerine göre belirli biraçı altında döner.



6) BRAGG KANUNU: Kristallerde kırınım olayı Bragg kanunu ile fiziksel bir model oluşturur. Bir birineparalel olan atomik düzlemlere tek dalga boylu X-ışınları gönderildiğinde ışınlar yansımaya uğrar. Gelenışınla yansıyan ışın arasındaki yol farkı; nλ=2d sinθ şeklinde olur. Bu ilişkiye Bragg Kanunu denir.Burada; n:tamsayı , λ:dalga boyu, d:kristal düzlemleri arasındaki uzaklık, θ:gelen ışınla düzlemarasındaki açıdır. 7) BRİLLOUİN BÖLGELERİ: Kristal örgüde kırınım şartını sağlayan noktaların üzerinde bulunun ve

yarıçapı karşıt örgü uzayında S0/k=S/λ olan küreye Ewald küresi denir. Bu kürede Bragg kanunu (kà

+Gà)2=k2 şeklindedir. Burada; k:dalga vektörü, G:karşıt örgü vektörüdür. Öncelikle, yansımayı ortaya

çıkaran en küçük k vektörlerinin büyüklüleri belirlenir. Başlangıç noktasından başlayıp bu çizgilerüzerinde biten bütün k vektörleri Bragg yansımasını verir. İşte bu çizgiler arasında kalan bölgelere deBrillouin bölgeleri denir. Brillouin bölgesi içerisinde hiçbir k vektörü Bragg yansıması vermez, yansımabölge sınırında olur. 8) MOLEKÜLER BAĞLANMA: Bir kristali oluşturan atomların bağlanma biçimlerini belirleyen onların dışyörüngelerindeki elektronlarıdır. Basitçe bir asal gaz kristalinde atomları bir arada tutan Van der Waalsetkileşmesi incelenerek kristallerde moleküler bağlanma hakkında bilgi edinilir. Bunun için sabit birnoktada duran bir (+) yük ile bu yükün etrafında, x doğrultusunda, denge konumu etrafında titreşen (–)yükten oluşan iki eşlenik elektriksel salınıcı düşünülüp çözümleme yapılır. Bu durumda toplam enerji;

şeklinde olur. Burada x atomların denge konumundan ayrılma miktarı, P momentum, R atomlar

(moleküler) arası uzaklık,a dipol polarma sabitidir. Bu bağıntıdan kuantum mekaniği kullanılarak enerji;

bulunur. Bu seriye açıldığında bağlanma enerjisi e = hn (1 - a2 / 2R 6 + . . .) şeklinde bulunur. Burada

e :bağlanma enerjisi, a:polarma sabiti, R:moleküller arası uzaklıktır. Buradaki ikinci terim Van der Waalsbağlanmayı belirtmektedir.

9) KOVALENT BAĞLANMA: Atomların karşılıklı bir birlerinin elektronlarını ortak kullanmalarıyla oluşanbağa kovalent bağ denir. Bu bağ; H2+ iyonu ele alınarak incelenebilir. Bunun incelemesi tamamen

kuantum mekanikseldir. İyonun toplam hamiltoniyeni yazılarak (çekirdeğin itme enerjisi ihmal edilir)çözümleme yapıldığında, bağ enerjisi;

şeklinde bulunur. Burada rA ve rB elektronun iki çekirdekten olan uzaklığı, y ’ler hidrojen atomunun

dalga fonksiyonlarıdır.

ÖRGÜ DİNAMİĞİ

1) TEK ATOMLU ENİNE ÖRGÜ TİTREŞİMİ: Birim hücresinde bir tek atom olan bir kristalde n. atomun

enine hareket denklemi M.(d2/dt2) Un = SC(U

n+m-U

n) şeklindedir. Burada U

n=U.e-iwt alınarak

çözüm yapılırsa -w2 M=-SC(eimka-1) bulunur. Buradan da w'yı k'ya bağlayan dispersiyon bağıntısı



olarak bulunur. Burada K:dalga vektörü, C:kuvvet sabiti, M:atomun kütlesi, m ise tamsayıdır. Katılar için

w; 1012 ile 1014 Hz aras ındadır.

2) İKİ ATOMLU ÖRGÜ TİTREŞİMİ: Birim hücresinde iki atom bulunan bir kristalde 2n. ve 2n+1.atomun enine hareket denkemleri

M1(d2/dt2)U2n=C(U2n+1-2Un+U2n-1) ve M2(d2/dt2)U2n+1 = C(U2n+2-2U2n+1+U2n)

U2n=U1.e-i (wt+2nKa) ve U2n+1 = U2.e-i[wt+(2n+1)Ka]

sonucunda dispersiyon bağıntısı;

şeklinde bulunur. Burada; a aynı cins atomlar arasındaki uzaklık, k dalga vektörü, m'ler birim hücredekiatomların kütleleridir. Bu dağınım bağıntısında w’nın bir kökü optik,diğer kökü de akustik dalgaları temsileder.

3) ÖRGÜ ISI SIĞASI: Isı sığası, sabit bir hacmin toplam enerjisinin sıcaklıkla değişimidir. Bir kristal içinısı sığası Cv=T S (dS/dT)v =(dE/dT)v şeklindedir. Burada S:entropi, T:sıcaklık, E ise enerjidir.

4) PLANK DAĞILIMI: Bir salınıcının ortalama uyarılmış kuantum sayısı <n> dir. Kristal örgüde Tsıcaklığında parçacıkların planck dağılımı şeklindedir.

Burada n:ısısal denge durumunda ortalama fonon sayısıdır. 5) ISI SIĞASI DEBYE MODELİ: Debye, Einstein modelindeki kip frekans kavramını değiştirerek, ısısığası ile ilgili yeni bir model ortaya koymuştur. Buna göre kip frekansı K fonon dalga vektörüne bağlıolup, tüm kipler için bir maksimum açısal frekans ortaya çıkarır. Bu durumda kristalin örgü enerjisi

şeklinde olur. Burada g(w):durum yoğunluğu, T sıcaklık (Kelvin), E ise örgü enerjisidir. Kristal için örgüısı sığası ise, g(w)=(3w2/2p2v0

3) durumunda,

şeklindedir. Burada

ve qD

:Debye sıcaklığıdır. Debye yaklaşımı alçak s ıcaklıklar için oldukça iyi sonuçlar vermektedir. Bu model

alçak sıcaklıklarda bütün dielektrik katıların ısı sığalarının T3 ile, amorf katıların ise T ile orantılı olarakdeğişir. Debye sıcaklığı ile de kristaldeki fonon durumları, ısısal ve elektriksel iletim hakkında bilgiedinilebilmektedir. Debye sıcaklığının üzerinde fononların dalga boyları küçük, altında ise büyüktür.

6) ISISAL İLETKENLİK: Katılarda ısısal iletim fononların çarpışmaları sonucu olur. Çarpışan fononlar



diğer fononlar, örgü bozuklukları ya da elektronlar tarafından saçılmaya uğrarlar. Kristallerde ısı iletimi,sitemde oluşan ısısal dengesizliğin bir yerden başka bir yere aktarılmasıdır. Bu dengesizlik bir dağılımgradyenti ortaya çıkarır. Bu durumda ısı akımı yoğunluğu Q=-K(dT/dx) şeklindedir. Burada K; ısısaliletim katsayısıdır. Gazlarda ısı iletimi genellikle gaz moleküllerinin çarpışmaları sonucu oluşur. Gazlar için

ısısal iletkenlik ise ; K=(Nklv)/2 şeklindedir. Burada N:molekül

sayısı, l:ortalama serbest yol, v:hızdır. Katılar için T >> qD koşulunda ısı sığası (ısı iletim katsayısı ) ise

K=(sabit)k qD / T şeklindedir.

7) ISISAL GENLEŞME: Bir boyutta örgü potansiyeli harmonik olmayan terimlere U(x)=Ax2-Bx3-Cx4...şeklinde bağlıdır. Burada A, B, C potansiyel genlikleridir. Yüksek sıcaklıklarda ortalama genleşmeBoltzmann dağılımı yardımıyla klasik olarak

şeklinde bulunur. Bu kuantum olarak alçak sıcaklıklarda

şeklindedir. Genleşme katsayısı

ifades inden bulunur.

METALLERDE ELEKTRONLAR

1) METALLERDE ELEKTRİKSEL İLETKENLİK: Metallerde elektriksel iletkenlik elektron yoğunluğuna,ortalama serbest yola ve elektron bağıl hızına

şeklinde bağlıdır. Burada Vm:elektrik alanının elektron hızına katkısı (klasik), l: Ortalama serbest yol, n:

elektron yoğunluğudur. 2) ISISAL İLETKENLİK(DRUDE MODELİ): Metallerde serbest elektron gazı ilk defa Drude tarafındangeliştirilmiştir. Bu modelde, elektron gazını oluşturan her bir atomun, bir gaz hacminde n elektronun

olmasını sağlayacak şekilde, bir veya daha fazla elektronu verdiği, ve her bir elektronun üç serbestlikderecesine sahip olduğu üzerine kurulmuştur. Drude modelinde ısısal iletkenlik için Ke=(2tmS2Ck)/3

şeklindedir. Burada tm:ortalama serbest zaman, S: ortalama elektron hızı, Ck: elektron gazının ısı

sığasıdır. Sabit hacimde ısı sığası ise Ck=(3/2)nk şeklindedir. Isısal iletkenliğin elektriksel iletkenliğe

oranınna Lorentz sayısı denmektedir.

3) ELEKTRİKSEL İLETKENLİKTE LORENTZ MODELİ: Lorentz modeli metallerin elektriksel ve ısısaliletkenliği ile ilgilidir. Bu model temelde Drude modelini kabul eder, fakat elektron hızları için klasikMaxwell-Boltzman hız dağılımını göz önüne alır. Elektron gazındaki ötelemeler için de Boltzman taşımadenklemini kullanır. Elektriksel iletkenlik için Lorentz modeli sıcaklığa da bağlı olup,

şeklindedir (klasik). Lorentz modeli ile Drude modeli elektriksel iletkenliği arasında (3p /8)2 kadar farkvardır. Bu modelde ısı sığası deneylerle gözlenenden oldukça büyük çıkmaktadır. Çünkü o dönemde



bilinmediğinden elektronun spin etkisi göz önüne alınmamıştır. Sonuç olarak klasik modeller elektrikselve ısısa l iletkenliği açıklamada yetersiz kalmaktadır. Bunlar kuantum mekaniği ile açıklanır.

4) FERMİ–DİRAC DAĞILIMI: Metallerde fononlar Bose-Einstein istatistiğine, elektronlar ise Fermi-Dirac istatistiğine uyarlar. Bir kip için uyarılabilecek fonon sayısında kısıtlama yokken, elektron sayısındavardır (Pauli dışarlama ilkesi). Fermiyonlar (buçuklu spinli parçacıklar) için dağılım fonksiyonu

şeklindedir. Bu bağıntı termodinamik denge halinde, T sıcaklığında E enerjili bir durumun doldurulmaolas ılığını belirtir. Burada; k: Boltzmann sabiti, m: kimyasal potansiyeldir. 5) FERMİ ENERJİSİ: N tane serbest elektronu bulunan bir sistemin taban durumunda doldurulmuşyörüngeleri k uzayında bir küre içerisinde gösterilebilmektedir. İşte bu kürenin yüzeyindeki enerjiyeFermi enerjisi denir. k uzayında fermi küresinin fermi enerjisi

şeklindedir. Burada kF, k uzayında fermi küresinin yarıçapı, m ise elektronun kütlesidir.

Fermi küresinin yarıçapı ise

şeklindedir. Burada; N: elektron sayısı, V=L3 küpün hacmidir. Durum yoğunluğu D(E)=dE/dN denbulunur.

6) SERBEST ELEKTRON GAZININ ISI SIĞASI: Serbest elektron gazının ısı sığas ı fermi sıcaklığına

Cel =şeklinde bağlıdır. Burada T sıcaklık, N elektron sayısı, TF ise fermi sıcaklığıdır. Metaller için toplam ısı

sığas ı Debye ve Fermi sıcaklıklarının çok a ltındaki sıcaklıklarda C=Cel+Cörgü=AT+BT3 şeklindedir.

7) METALLERİN ELEKTRİKSEL ÖZDİRENCİ: Metallerin elektriksel direnci hem fonon direnci hem de

örgü kusuru direncine bağlıdır. Buna göre direnç r=rfonon + rörgü-kusuru iki bileşenden oluşur.

Burada

şeklindedir.Fermi gaz ının ısısal iletkenliği

şeklindedir. Elektriksel iletkenlik ile ısısa l iletkenlik arasındaki ilişki Wiedemann-Franz kanunu

ile verilir.

8) HALL OLAYI: Bir iletkenin elektrik ve manyetik alan içerisinde elektriksel davranışı ile ilgilidir. Biriletkende elektrik alandan dolayı bir doğrultuda toparlanacak şekilde sürüklenen e lektronlar, iletkenin iki

ucu arasında Hall alanı denilen bir alan oluşturur. İletken enine Ex elektrik alanı, boyuna Bz manyetikalanı içine konursa elektronların y yönünde sürüklenme hızı Vy=0 olur. Bu durumda Ey=-eBtEx/mc

(cgs) olur. Bu durumda x doğrultusundaki akım yoğluğu



olur. Burada n taşıyıcı yoğunluğu, e elektronun yükü, çarpışma (durulma) zamanı, taşıyıcı kütlesidir. Halldirenci ise R H=-1/(nec) (cgs) şeklindedir.

KATILARIN BANT TEORİSİ

1) BLOCH FONKSİYONLARI: 1928'de dış yörüngeden ayrılmış bir elektronun kristal içerisindekipotansiyelinin uzaya bağımlılığı F.Bloch tarafından verilmiştir. Periyodik kristal yapısı için Schrödingerdenkleminin k(r) çözümünün gerekliliğine Bloch teoremi, bu fonksiyonlara da Bloch fonksiyonları denir.

Bloch fonksiyonu; Yk(r)=Uk(r).ei.k.r şeklinde olup, Schrödinger denkleminde dalga fonksiyonunun

periyodik potansiyel için periyodik olduğunu öngörür. 2) KRONİG – PENNEY MODELİ: Bu model; bir boyutlu kare kuyuda, elektronun hareketini inceler.

Schrödinger denkleminde, U=0 için Y=AeiKx +Be-iKx şeklinde

ile, U=U0 için Y=CeQx +De-Qx ve

sınır şartlarına uygun, kuyudaki elektronun Yn dalga fonksiyonlarını belirlenir.

3) PERİYODİK POTANSİYELDE ELEKTRONUN DALGA DENKLEMİ: Örgü sabiti a o lan çizgisel bir örgüiçinde hareket eden elektronun örgü potansiyeli

ve dalga fonksiyonu

şeklindedir. Burada G: herhangi bir karşıt örgü vektörü, k: elektron dalga vektörüdür. Periyodik örgü için

dalga denklemi özel formda

şeklindedir. Bu durumda katsayılar determinantı

olmalıdır. Burada

U: örgü potansiyel enerjisidir. 4) YARI İLETKENLERDE BOŞLUKLAR : Yarı iletkende değerlilik bandından iletim bandına uyarılan



elektronlar değerlilik bandında boşluklar bırakır. Bu boşluklar (holler) elektrik ve manyetik alan içerisinde(+e) yüküne sahipmiş gibi davranır. Kristalde boşluğun hareket denklemi, elektrik ve manyetik alana

(cgs)şeklinde bağlıdır.

5) ETKİN KÜTLE: Katılarda etkin kütle

elektrik alan ve dalga vektörüne (sayısına) bağlıdır. Bu bağıntıda E; enerji, m*; etkin kütledir. Etkin kütlekatıların bant yapısını belirlemede kullanılabilmektedir. Yarı iletkenlerin etkin kütlesi siklotron rezonansdeneyleri ile be lirlenebilmektedir. Bu durumda enerji

şeklindedir. Buradaki m’ler etkin kütlenin bileşenleridir.

6) YARI İLETKENLERİN İLETİM BANDINDA ELEKTRON,DEĞERLİLİK BANDINDA BOŞLUKSAYISI: Yarı iletkenlerde özden taşıyıcı yoğunluğu, iletim bandındaki elektron yoğunluğu veya değerlilikbandındaki boşluk yoğunluğudur.

İletim bandında bir elektronun enerjisi

şeklindedir. Burada Eg:band aralığı enerjisi, k dalga sayısı (dalga vektörü), m* elektronun etkin

kütlesidir.Yarı iletkende elektron sayısı;

ve boşluk sayısı daşeklindedir. Burada; m potansiyel enerji, T ise sıcaklıktır.

7) YARI İLETKENLERDE ELEKTRİKSEL İLETKENLİK: Yarı iletkenlerde elektriksel iletkenlik şeklinde ikibileşenden oluşur. Elektronların hareketliliği

boşlukların hareketliliği

şeklindedir. Yarı iletkenin verici iyonizasyon enerjisi Bohr yaklaşımı ile

şeklindedir.Yarıiletkende alçak sıcaklık limitinde alıcıların olmadığı bir durumda iyanize olmuş elektronsayısı

dir. Nd:vericilerin sayısı ise

dir. Boşluk sayısı fazla ise yarı iletken P tipi, elektron sayısı fazla ise n tipidir.

8) SCHOTTKY ENGELİ: Değme durumuna gelen bir metal ile bir yarı iletkenin bantlarındaki elektrondağılımını inceler. Elektronlar için Poisson denklemi



olarak bulunur. Plasma frekansı

dir. İyon tabanının frekansın çok yüksek değerlerinde dielektrik sabiti

ise elektron gazının dielektrik fonksiyonu

dir. Elektromanyetik dalgalar ε artı olunca yayılırlar,eksi olunca yansırlar.

3) PLASMADA ENİNE OPTİK KİPLER: İzotropik bir ortamda elektromanyetik dalga denklemi

(cgs)şeklinde olup

buradan dispersiyon bağıntısı

olarak bulunur. K’nın küçük değerleri için enine plasma dalgalarını tanımlayan dispersiyon bağıntısı

w2 =şeklindedir.

4) BOYUNA PLASMA SALINIMLARI: Dielektrik fonksiyonunun sıfırları boyuna kipfrekanslarını belirler. Bir plasmada boyuna kutuplanma dalgasının dipol momenti

K=0 yakınında ε(wL)=0 dır. Dispersiyon bağıntısı

şeklindedir. Bu durumda Fermi gazının boyuna salınımlarının dağınım bağıntısı

şeklindedir.

5) PLASMON: Bir metal içinde iletim elektronu gazının topluca boyuna uyarılmasına plasma salınımları,plasma salınımının kuantumuna da plasmon denir. İnce bir metal filmine gönderilen e lektron plasmon

enerjisinin tam katlarına eşit olacak şekilde enerji kaybına uğrar. 6) POLARİTONLAR: Kristalde fonon –fonon alanının kuantumuna polariton denir. Birim hacımda etkinyükü q, indirgenmiş kütlesi m olan N tane iyondan

oluşmuş plasmanın polariton dağınım bağıntısı

dan bulunur. Burada wE enine optik fonon frekansıolup K dan bağımsızdır. Boyuna ve enine salınımlar

aras ında bir bağıntı vardır. Bu bağıntıya LTS bağıntısı denir ve

şeklindedir. 7) POLARON: Kristalde e lektron-fonon etkileşmesinde elektron ile elektronun zorlanma alanının

(fonon) bileşimine polaron denir. Bu durumda elektronun kütlesinde artma görülür. Kristaldepolaron bağlanma katsayısı



Polarizasyonun etkin kütlesi ise

bağıntısıyla bulunur.a polaronbağlanma katsayısı iyonik kristallerde büyük,kovalent kristallerde küçüktür.

8) ÇİZGİSEL METALLERİN PEİERLS KARARSIZLIĞI: Mutlak sıfır civarında cizgisel bir metal iletim bandıyörüngelerini dolduran elektron gazının G=2kF dalga vektöründe,durgun örgü bozulması için karasızdır.Deformasyon durumunda fermi yüzeyinde bir enerji aralığı oluşarak elektronların enerjileri bu aralığınaltına düşer. Bu durum Peierls kararsızlığıdır.

Deformasyonda R denge bozulması

denklemiyle bulunur. Ortalama elastik enerji

şeklindedir. Deformasyon enerjisi (minumum);

olup,bu denklemden R denge bozulması belirlenebilir.

SÜPERİLETKENLİK

1) SÜPERİLETKENLİK: Süper iletkenlik durumu, metalde iletim elektronlarının düzenli bir sıralanmagösterdikleri durum olarak tanımlanabilmektedir. Bu düzenli sıralanma elektronların gevşek tarzda biraraya gelerek çiftler oluşturmaları şeklindedir. elektronlar geçiş sıcaklığının altında düzgün birsıralanma gösterirler, bunun üstünde ise bu sıralanma yok olur. Bu düzgün sıralanmanın yapısı veoluş nedeni 1957 yılında Bardeen, Cooper ve Schrieffer tarafından açıklanmıştır ve BCS teorisiolarak fizik literatürüne girmiştir. 2) MANYETİK ALANIN SÜPERİLETKENLİĞE ETKİSİ VE MEİSSNER OLAYI: Süperiletkenliğin ortaya çıktığı

kritik sıcaklığa karşılık gelen manyetik alan şiddeti Hc=H0 [1-(T/Tc)2] şeklindedir. Burada H0süperiletkenliğin tümüyle ortadan kalktığı alan şiddeti, T ise herhangi bir sıcaklıktır. Bir ince süperiletken

telin manyetik alınganlığı cs=-1/4p (cgs) şeklindedir. Bu durumda dB/dt=0 olup ideal bir iletkendemanyetik manyetik akının değişmediğini gösterir. Yani soğutma sırasında geçiş sıcaklığında, metaldekiakı değişmemektedir. İşte Meissner oleyı bu sonucun karşıtını ortaya koymakta ve tam birdiamanyetikliğin süperiletkenlik halinin temel özelliği olduğunu söylemektedir (1933). 3) SÜPERİLETKENLİĞİN TERMODİNAMİĞİ: Normal ve süperiletken fazlar arasındaki

entropi farkı

şeklindedir. Bu durumda normal durum ve süper iletkenlik durumu arasındaki ısı sığası farkı

şeklindedir. T=Tc durumundaki ısı sığas ı farkı Rutger bağıntısı olarak bilinir. Mutlak sıfırda süperiletken

durumunundengeleme enerjisi (perdeleme enerjisi)



kadardır.

4) LONDON DENKLEMİ: Bir süperiletkende akım yoğunluğu A vektör potansiyeline ve elektronlarınsızma derinliğine

şeklindedir. Burada manyetik alan

dır. Bu denklem London denklemidir. Bu denklem Maxwell denklemleriyle birleştirildiğinde

elde edilir. Bunun düzlem sınırında B(0) için bir boyutlu çözümü

dir.Burada

şeklinde London sızma derinliğidir. Burada m kütle, q yük, c ışık hızı, n e lektron yoğunluğudur.

Sızma derinliği mutlak sıfırda Sn için 3,4.10-6cm, Cd için 11.10-6 cm, Nb için 3,9.10-6 cm dir.

5) BCS TEORİSİ: Bu teori süperiletkenliğin kuantum teorisidir. Bu teorinin başarıları özetle şöyledir.

a) Elektronlar arasındaki çekici bir etkileşme, taban ve uyarılmış durumlar aras ında bir enerji aralığınınortaya çıkmasına yo açar. Kritik alan, ısısal özellikler ve elektromanyetik öze lliklerin pek çoğu enerjiaralığının sonucudur. Bazı özel durumlarda, süperiletkenlik enerji aralığı olmadan da ortaya çıkabilir.b) Elektron-örgü-elektron etkileşmesi, gözlenen büyüklükte bir enerji aralığını ortaya koyabilir.c) Sızma ve uyum uzunlukları teorinin sonuçları olarak ortaya çıkar. Uyum uzunluğu sızma uzunluğu ile

birlikte süper iletkenliği karakterize eder. Uyum uzunluğu

şeklindedir.d) Bir elementin ya da alaş ımın geçiş sıcaklığını veren kriter, yörüngelerin Fermi düzeyindeki D(Ef)elektron yoğunluğunu ve elektriksel dirençten bulunabilen U elektron-örgü titreşimini içine alır.

için , BCS Teorisi

olması gerektiğini varsaymaktadır. Burada q Debye sıcaklığı, U çekici etkileşmedir.e) Süper iletken bir halkadan geçen manyetik akı kuantumlaşmıştır ve etkin yük birimi e yerine 2e dir.

BCS teorisinde taban durumu elektron çiftlerini öngörür, böylece, çiftlerin 2e yükleri cinsinden akıkuantumlaşması teorinin doğal bir sonucudur. Buradaki elektron çiftlerine Cooper Çiftleri denir.

6) SÜPERİLETKENDE AKI KUANTUMLANMASI: Bir süper iletken halkadan geçen toplam manyetik akı

şeklinde bulunur. Buradaki s sayısı akı kuantum sayısıdır. Bir elektron çifti için s=1 de akı değeri yaklaşık

2,0678.10-7gauss.cm2 bulunur. Halkadan geçen toplam akı

şeklindedir. Dış akının kuantumlaşma şartı yoktur.

7) SÜPERİLETKEN TİPLERİ: Genel olarak iki tip süper iletken vardır. her iki tip süper iletkende deMeisner olayının oluşumu farklıdır. İyi bir I.tip süperiletken, bir manyetik alanı süper iletkenlik aniden yokolana kadar dışarıda tutar, ancak bundan sonra alanı tümü ile içeri alır. İyi bir II.tip süperiletken ise, birHc1 alan değerine kadar alanı tümü ile dışarıda tutar. Hc1 in üzerinde, alanın bir kısmı dışarıdadır



ancak, iletken elektriksel olarak süperiletken özellik gösterir. Daha da yüksek bir Hc2 alanında, akı tümü

ile girer ve süper iletkenlik yok olur. Uyum uzunluğu sızma derinliğinden uzunsa iletken I.tipsüperiletkendir. Saf metallerin çoğu bu tipe girerler. Ancak, ortalama serbest yol kısa ise, uyum uzunluğukısadır, sızma derinliği ise uzundur, bu taktirde süper iletken II.tip süper iletken olur. Hc1, Hc2 ve Hcarasında yaklaşık olarak (Hc1.Hc2)1/2=Hc bağıntısı vardır.

8) TEK PARÇACIK SIZMASI (TÜNEL OLAYI): İki metal arasında çok ince bir yalıtkan tabaka varsametalin birinden diğerine elektronların geçiş olas ılığı vardır. Bu durum tünel olayıdır. Uygun şartlaraltında, süper iletken elektron çiftleri de tünel olayını gerçekleştirebilmektedirler. Tünel olayında elektrik

ve manyetik alan olmada da elektron sızması gerçekleşebilmektedir. Bu olay doğru akım Josephsonolayı dır. Süper iletkene doğru akım voltajı uygulanırsa eklem boyunca bir doğru akım oluşur ve bu olayada alternatif akım josephson olayı denir.

DİELEKTRİKLER VE FERROELEKTRİKLER

1) DİELEKTRİKLER VE FERROELEKTRİKLER: Bir dielektrik materyalin toplam dipol momenti

dir. Bir su molekülünün dipol moment türünden elektrik alanı cgs’de

şeklindedir. Su için p=1,9.10-18 esb.cm dir. Elektrik alanın etkisiyle dielektriklerkutuplanabilmektedirler. Basit dipollerin yükleri, dielektriğin içinde birbirlerini dengelerler, yalnız dış

yüzeydeki yükler bunlara uymazlar. Paralel ve düz plakalar arasındaki (kondansatör) dielektrikkutuplanmaya karşı koyar. Bu

şeklindedir. Burada g kutuplanmayı giderici faktördür. Bunun değeri düz plakalar için 4p, küre için 4p/3dür.Elipsoid şekilli bir dielektrik içinde kutuplanma elektrik alana bağlı olarak P=cE dir. Dielektrik sabiti ε

olan kübik bir ortamın böşluğa göre dielektrik sabiti

şeklindedir. Dielektrik sabitini Lorentz bölgesel alanının geçerli olduğu bölgelerde, elektriksel

kutuplanabilirliğe bağlayan

şeklinde Clausius-Mossotti bağıntısıdır. Bu bağıntı ε=n2 kırılma indisinin karesi alındığında bağıntı optikbölge için yazılmış olur. Elektronik kutuplanabilirlik frekansa da bağlıdır. Bu bağımlılık

şeklindedir. burada fij, i ve j atomik durumları arasındaki elektriksel dipol geçişlerinin salınıcı gücü olaraktanımlanır.

2) FERROELEKTRİK KRİSTALLER: Bir kristalde kendiliğinden ortaya çıkan elektriksel kutuplanmayaferroelektriklik denir. Bu kristaller elektriksel alan yokken de bir dipol momentine sahiptirler. Birferroelektrik kristalin Clausius-massotti bağıntısı



şeklindedir.Burada ai , i tipi bir iyonun elektronik ve iyonik kutuplanabilirlikleri toplamı, Ni ise birim hacım

baş ına i iyonlarının sayısıdır. Bir atom çiftinde a=a3 /2 ise sistem ferroelektrik öze llik gösterir.

3) LANDAU FAZ DÖNÜŞÜMÜ TEORİSİ: Ferroelektrik ve paraelektrik durumlar arasında olduğu gibinormal ve süper iletken durumlar arasındaki geçişlerde ikinci dereceden faz geçişleridir. Bir boyuttaLandau serbest enerji yoğunluğu

şeklindedir. Burada g’ler sıcaklığa bağlı enerji genlikleri, P ise kutuplanmalardır. F’nin minumum değeriHelmholtz serbest enerjisi olarak bilinir. T<T0 için uygulanan alan sıfır ise minumum enerji

dir ve bu durumda faz dönüşümü de II.derecedendir. Fakat g4 negatif olduğunda dönüşüm I.derece

olur. Geçiş sıcaklığı üzerinde iyi bir yaklaşıkla Landau serbest enerjisi

dir. Bu durumda dielektrik sabiti cgs’de

olarak bulunur. Bu denklemde; I.dereceden dönüşüm varsa T0<Tc, II.dereceden dönüşümde T=Tc

alınır.

4) ANTİFERROELEKTRİKLER: Bazı dielektriklerde, ferroelektrik geçişlerin hemen hemen bütünözelliklerini taşıyan faz dönüşümleri vardır. Bunlarda dielektrik sabitleri bir maksimumdan geçer, ısısığasında bir düzensizlik vardır, örgünün büyüklüğünde ve simetrisinde değişimler gözlenir. Buna en iyiörnek Kurşun-Zirkonat (PbZrO3) dır. Bu kristalin alt örgülerinin kutuplanma eksenleri, paralel

olmayacak şekilde yönelmişler ve bileşke kutuplanmayı sıfır yapmışlardır. Dielektriğin bu durumunaantiferroelektriklik denir ve geçiş sıcaklığı da Curie sıcaklığı olarak bilinir. Toplam 32 kristal sınıfından22 sinde antiferroelektriklik gözlenir.

5) PİEZOELEKTRİKLİK: Ferroelektrik durumundaki bütün kristaller aynı zamanda piezoelektriktirler. Bukristallerde dıştan uygulanan bir Z zoru elektriksel kutuplanmayı değiştirir. İşte bu durumapiezoelektriklik denir. Bir boyutta piezoelektrik denklemler cgs’de

ve

şeklindedir. Burada P kutuplanma, Z zor, d dielektrik zorlanma sabiti, E elektriksel alan, c dielektrikalınganlık, e elestik zorlanma, s elastik uyum sabitidir. Bu kristale iyi bir örnek kuartz kristalidir.

MANYETİK ÖZELLİKLER

1) MANYETİK ÖZELLİKLER: Cisimler manyetik alan içerisine konunca bir m’ manyetik momentine sahipolur. Bu durumda birim hacim başına manyetik moment o lan mıknatıslanma

olur. Burada m0 elemanter manyetik momenttir. Serbest bir atomun manyetik momenti üç ana kısımdan

oluşur; elektronların sahip oldukları spin, çekirdek etrafındaki yörünge açısal momentumları veuygulanan manyetik alanın etkisi ile ortaya çıkan yörünge momenti değişimi. Maddenin manyetikalınganlığı c=M/B (cgs) şeklindedir.

2) DİAMANYETİZMA: Bir cismin uygulanan bir manyetik alanın içerisinde iken, elektriksel yüklerin cisminiçini manyetik alandan kısmen yalıtma eğilimidir. Bu durum Lenz kanununa benzer. Atomların ve iyonlarındiyamanyetikliklerinin incelenmesinde Lormor teoreminden faydalanılır. Bu teorem çekirdek etrafındakielektronların yörünge açısal frekanslarını w=eB/2mc (cgs) olarak öngörür. Bu durumda oluşan ilmekakımı



(cgs)şeklindedir. Küresel s imetrik yük dağılımı için birim hacımda manyetik alınganlık

(cgs)olarak bulunur.Bu klasik Ladgevin denklemidir. Burada m ilmeğin manyetik momenti, N birim hacimdeatom sayısıdır. Elekrton gazının diyamanyetikliğini 1930 lu yıllarda Landau gösterdi. Bu durumda

periyodik hareket kuantumlanmış ve bunun sonucunda da elektron gaz ının enerjisi değişmiştir. Böyleceelektron gazı sıcaklıktan bağımsız diyamanyetiklik gösterir ve bu diyamanyetikliğin değeri

dir. 3) PARAMANYETİZMA: Manyetik alınganlıkları artı olan cisimler paramanyetiktirler. Paramanyetikmaddenin ortalama manyetik momenti, elemanter magnetin teta açısı altında yönelme olasılığını daiçeren Boltzmann fonksiyonuda hesaba katılarak,

oradan da m = m0 Cothq-1/ß olarak bulunur. Burada

dir. ß<<1 olduğunda ortalama

olur.Maddenin bir gram molekülü için paramanyetik alınganlık

olur. Bu Curie kanunudur. Paramanyetizmin sıcaklığa bağlılığı Langevin tarafından geliştirilmiştir.

4) PARAMANYETİZMİN KUANTUM TEORİSİ:Serbest uzayda bir atomun ya da iyonun manyetikmomenti;

şeklindedir. Burada g jiromanyetik oran ya da spektroskopik yarılma faktörü,

şeklinde Bohr magnetonu, J toplam açısal momentumdur. Manyetik alandaki bir sistemin enerji düzeyleri

şeklindedir. m j=±1/2 ve g=2 için

dir. İki düzeye sahip bir sistemde (N=N1+N2) birim hacimdeki N atom için bileşke mıknatıslanma ,

x=mB/kT olmak üzere; büyüklüğündedir.Bir manyetik alanda, J açısal momentum kuantum sayılı bir atomun 2j+1 tane eşit

aralıklı enerji düzeyi vardır. Bu durumda mıknatıslanma Brillouin fonksiyonu cinsinden

şeklindedir. Burada

dir. x<<1 için manyetik alınganlık M/B=C/T şeklinde Curie kanununa yaklaşır. Metallerde iletim



elektronlarının paramanyetik alınganlığını belirleyen mıknatıslanma, serbest elektron gazı için Fermi-Dirac dağılımı kullanılarak

şeklinde bulunur. Burada elektronların uzaysal hareketlerinin manyetik alandan etkilenmediği

varsayılmıştır. 5) FERROMANYETİKLİK: Bir ferromagnet, manyetik alanın bulunmaması halinde bile var olan,

kendiliğinden oluşmuş bir manyetik momente sahiptir. Bu öze llik elektron çiftlerine sahip olmayanatomlarda görülür. Çifrlenmemiş elektronların spinleri bu durumu belirler. Ferromagnetler zayıf alanlardabile doymaya ulaşabilen büyük mıknatıslanmalar gösterir. Doyma mıknatıslanması sıcaklığa bağlıdır veCurie sıcaklığında sona erer. m/mB magneton sayısının büyüklüğü, katıların elektronik enerji

bantlarının spektrumu ile de açıklanabilmektedir. 6) CURİE SICAKLIĞI: Üzerindeki sıcaklıklarda kendiliğinden, mıknatıslanmanın yok olduğu s ıcaklıktır(Tc). Bu sıcaklık düzenli paramanyetik fazı, düzensiz paramanyetik fazdan ayırır. Paramanyetik bir faza

bir Ba alanı uygulandığında, sınırlı mıknatıslanmadan dolayı bir BE alanı meydana gelir. Bu durumda

mıknatıslanma

olur. Burada cp paramanyetik alınganlıktır. Pierre Weiss yaklaşımına göre

dir. Burada l ortalama alan sabitidir. T=Cl Curie kanunu ile birleştirildiğinde, ortalama alan sabiti

şeklindedir. Burada S spin kuantum sayısıdır. Kristalde i ve j atomları arasında enerji etkileşmesi

şeklinde J değişim integraline ve S spinlerine bağlıdır. Bu eşitlik Heisenberg modeli olarak tanımlanır. J

integrali ile l arasında , iyi bir yaklaşıklıkla,

bağıntısı yazılabilir. Burada z bir atomun en yakın komşuları sayısıdır.

7) MAGNONLAR: Kuantumlanmış spin dalgasına magnon denir. Basit bir ferromagnetin tabandurumunda, bütün spinleri paraleldir. Her biri S büyüklüğünde o lan bir çizgi veya halka üzerindeki, enyakın komşusuna Heisenberg bağıntısı ile bağlı N tane spin için, Heisenberg bağıntısı;

şeklindedir. Bu durumda sistemin taban durumunda değişim enerjisi

bulunur. İlk uyarılmış durumun enerjisi de

dir. Spin dalgaları bir örgüde birbirine göre dönmüş durumdaki spinlerin salınımlarıdır. Buna karşılık örgütitreşimleri (fononlar) , örgüdeki atomların birbirlerine göre konumlarındaki sa lınımlarıdır. P. Spin için

hareket denklemi

dir. Bu denklemin kartezyen koordinatlarda çizgisel çözümünden elde edilen katsayılar determinantı

dır. Bu bağıntı magnonların dağınım bağıntısıdır. Burada k dalga sayısı, a ise örgü sabitidir. Bir magnonun



enerji kuantumu da

dır. Burada nk kuantum sayısı, wk açısal frekanstır.

8) MAGNONLARIN ISISAL UYARILMASI: Isısal denge halinde, magnon kuantum sayısı nk’nın ortalama

dağılımı

Planck dağılımı ile verilir. T sıcaklığında uyarılmış toplam magnon sayısı ise;

şeklindedir.

yaklaşımında toplam sayı,

olmak üzere;

dır. Bu durumda birim hacım için N atom sayısı Q/a3 o lmak üzere mıknatıslanma değişimi DM=M(0).

şeklinde Bloch kanununa götürür.

KAYNAK:1) Katıhal Fiziğine Giriş, Prof.Dr. Tahsin Nuri Durlu, Ankara üniversitesi yayınları-1992, 2.Baskı.2) Atom ve Molekül Fiziği, Prof.Dr. Erol Aygün - Doç.Dr. D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi yayınları-1992

katıhal fiziği - lisans dersleri - Özet notları

Documents